BAB 5 Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar Untuk materi ini mempunyai 3 Kompetensi Dasar yaitu: Kompetensi Dasar : 1. Mengidentif Mengidentifikasi ikasi sifat-sifat sifat-sifat bilang bilangan an berpangkat berpangkat dan bentuk bentuk akar akar 2. Melakukan Melakukan operasi operasi aljabar aljabar yang melibat melibatkan kan bilangan bilangan berpangkat berpangkat bulat bulat dan dan bentuk akar 3. Memecahkan Memecahkan masalah masalah sederhanay sederhanayang ang berkaitan berkaitan dengan dengan bilangan bilangan berpangkat berpangkat dan dan bentuk akar Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat Positif Masih ingat bentuk berikut : 32 = 3 x 3 23 = 2 x 2 x 2 ! = x x x x x "emikian seterusnya sehingga diperoleh bentuk umum sebagai berikut. "engan a bilangan bulat dan n bilangan bulat positif "ari pengertian di atas akan diperoleh sifatsifat berikut. Sifat 1 an x an am ! n 2# x 23 = $2 x 2 x 2 x 2 %x$2 x 2 x 2 % =2x2x2x2x2x2x2 = 2& = 2#'3 Sifat " am : an am # n$ m % n : 3 = $ x x x x % : $ x x % =x = 2 = - 3 Sifat 3 &am'n am x n $3#%2 = 3# x 3# = $3 x 3 x 3 x 3% x $3 x 3 x 3 x 3% = $3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3% = 3( = 3# x 2 Sifat ( &a x )'m am x )m $# x 2%3 = $# x 2% x $# x 2% x $# x 2% 1
= $# x # x #% x $2 x 2 x 2% = #3 x 23 Sifat 5 &a : )'m am : )m $! : 3% # = $! : 3% x $! : 3% x $! : 3% x $! : 3% = $! x ! x ! x !% : $3 x 3 x 3 x 3% = !# : 3# Bilangan Bulat dengan Eksponen Bilangan Bulat *egatif
"ari pola bilangan itu dapat disimpulkan bah)a 2* = 1 dan 2-n = 1+2n , secara umum dapat ditulis :
ecahan erpangkat ilangan ulat /ita telah mengetahui bah)a pecahan adalah bilangan dalam bentuk dengun a dan b bilangan bulat $b 0 *%. agaimanakah jika pecahan dipangkatkan dengan bilangan bulat ntuk menentukan hasil pecahan yang dipangkatkan dengan bilangan bulat, caranya sama dengan menentukan hasil bilangan bulat yang dipangkatkan dengan bilangan bulat. +onto,: entukan hasil berikut ini4 $1+2% -a.a) :
Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat Pe/a,an Bilangan 0asional dan rasional Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a+ b dengan a, b bilangan
bulat dan b 0 *. ilangan rasional merupakan gabungan dari bilangan bulat, nol, dan pecahan. 5ontoh bilangan rasional adalah -, -1+2, *, 3, 3+#, dan +6.
2
7ebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk a+ b dengan a, b bilangan bulat dan b 0 *. 5ontoh bilangan irasional adalah . ilangan-bilangan tersebut, jika dihitung dengan kalkulator merupakan desimal yang tak berhenti atau bukan desimal yang berulang. Misalnya 82 = 1,#1#213!2 .... 7elanjutnya, gabungan anrara bilangan rasional dan irasional disebut bilangan real. Bentuk Akar erdasarkan pembahasan sebelumnya, contoh bilangan irasional adalah 82 dan 8 . entuk seperti itu disebut bentuk akar. "apatkah kalian menyebutkan contoh yang lain entuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang hasilnya bukan bilangan 9asional. entuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi 8a2 = a jika a *, dan ;a jika a < * +onto, : 7ederhanakan bentuk akar berikut 8& -a.a) : 8& = 82x3 = 82 x 83 = 83 2engu)a, Bentuk Akar 2enadi Bilangan Berpangkat Pe/a,an dan Se)aliknya entuk 8a dengan a bilangan bulat tidak negatif disebut bentuk akar kuadrat dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan a. oleh karena itu 82,83, 8, 81*, 81 dan 816 merupakan bentuk akar kuadrat. ntuk selanjutnya, bentuk akar n8am dapat ditulis am+n $dibaca: a pangkat m per n%. entuk am+n disebut bentuk pangkat pecahan. /onto, :
a.a) :
4perasi Ala)ar pada Bentuk Akar Penumla,an dan Pengurangan enjumlahan dan pengurangan pada bentuk akar dapat dilakukan jika memiliki suku-suku yang sejenis. 3
kesimpulan : jika a, c = 9asional dan b *, maka berlaku a8b ' c8b = $a ' c%8b a8b - c8b = $a - c%8b Perkalian dan Pem)agian +onto, : entukan hasil operasi berikut :
4
a.a) :
Perpangkatan /alian tentu masih ingat bah)a $a%> = a?. 9umus tersebut juga berlaku pada operasi perpangkatan dari akar suatu bilangan. 5ontoh:
4perasi +ampuran "engan memanfaatkan sifat-sifat pada bilangan berpangkat, kalian akan lebih mudah menyelesaikan soal-soal operasi campuran pada bentuk akarnya. 7ebelum melakukan operasi campuran, pahami urutan operasi hitung berikut.
5
•
•
rioritas yang didahulukan pada operasi bilangan adalah bilangan-bilangan yang ada dalam tanda kurung. @ika tidak ada tanda kurungnya maka
1. pangkat dan akar sama kuatA 2. kali dan bagi sama kuatA 3. tambah dan kurang sama kuat, artinya mana yang lebih a)al dikerjakan terlebih dahuluA #. kali dan bagi lebih kuat daripada tambah dan kurang, artinya kali dan bagi dikerjakan terlebih dahulu. +onto, :
2erasionalkan Penye)ut "alam perhitungan matematika, sering kita temukan pecahan dengan penyebut bentuk akar, misalnya Bgar nilai pecahan tersebut lebih sederhana maka penyebutnya harus dirasionalkan terlebih dahulu. Brtinya tidak ada bentuk akar pada penyebut suatu pecahan. enyebut dari pecahan6
pecahan yang akan dirasionalkan berturut-turut adalah Merasionalkan penyebut adalah mengubah pecahan dengan penyebut bilangan irasional menjadi pecahan dengan penyebut bilangan rasional. Penye)ut Ber)entuk ) @ika a dan b adalah bilangan rasional, serta 8b adalah bentuk akar maka pecahan a+8b dapat dirasionalkan penyebutnya dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan 8b+8b .
+onto, : 7ederhanakan pecahan berikut dengan merasionalkan penyebutnya4
a.a) :
Penye)ut Ber)entuk &a!)' atau &a!)' @ika pecahan-pecahan mempunyai penyebut berbentuk $a'8b% atau $a'8b% maka pecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan seka)annya. 7eka)an dari $a'8b% adalah $a'8b% adalah dan sebaliknya. ukti
+onto, : 9asionalkan penyebut pecahan berikut.
7
a.a) :
Penye)ut Ber)entuk &)!d' atau &)!d' ecahan tersebut dapat dirasionalkan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk akar seka)annya, yaitu sebagai berikut.
+onto,: 7elesaikan soal berikut4 -a.a) :
8
BAB 6 Barisan dan Deret Barisan Aritmatika (1) 3, 7, 11, 15, 19, ... (2) 30, 25, 20, 15, 10,... Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukuna selalu teta!. "arisan an# de$ikian itu disebut barisan arit$etika. %elisih itu disebut beda suku atau beda sa&a dan dila$ban#kan den#an '. "arisan (1) $e$!unai beda, b 4. "arisan ini disebut barisan arit$etika naik karena nilai suku-sukuna $akin besar. "arisan (2) $e$!unai beda, b -5. "arisan ini disebut barisan arit$etika turun karena nilai suku-sukuna $akin ke'il. %uatu barisan 1, 2, 3,....disebut barisan arit$etika &ika selisih dua suku an# berurutan adalah teta!. *ilai ntuk $enentukan suku ke-n dari barisan arit$etika. !erhatikan ke$bali '+nt+h barisan (l). 3, 7, 11, 15, 19, ... isalkan 1, 2, 3 , .... adalah barisan arit$etika tersebut $aka 1 3 4 (0) 2 7 3 4 3 4 (1) 3 11 3 4 4 3 4 (2) .... n 3 4(n-1) %e'ara u$u$, &ika suku !erta$a ( 1) a dan beda suku an# berurutan adalah b $aka dari ru$us n 3 4(n - 1) di!er+leh 3 adalah a dan 4 adalah b. leh sebab itu, suku ke-n da!at diru$uskan Un = a + b(n-1) "arisan arit$etika an# $e$!unai beda !+siti/ disebut barisan arit$etika naik, sedan#kan &ika bedana ne#ati/ disebut barisan arit$etika turun. 1, 2, 3, ....... n-1, n disebut barisan arit$atika, &ika 2 - 1 3 - 2 .... n - n-1 k+nstanta Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) un#si linier dala$ n
Deret Aritmatika %e!erti telah dibahas sebelu$na, deret adalah bentuk !en&u$lahan dari suku-suku !ada sebuah barisan. ika 1, 2, 3, ... barisan arit$etika. 1, 2, 3, ... adalah deret arit$etika. ntuk $enda!atkan &u$lah n suku !erta$a dari deret arit$etika, !erhatikan ke$bali deret an# dihasilkan barisan (l ). 3 7 1l 15 19 ... ika &u$lah n suku !erta$a din+tasikan den#an.%n $aka % dari deret di atas adalah
9
Perhatikan &u$lah 5 suku !erta$a, % an# di!er+leh. n#ka 3 !ada !erhitun#an tersebut berasal dari suku !erta$a, sedan#kan l9 adalah suku ke-5. leh karena itu, &u$lah suku ke-n adalah
ika nilai n tidak diketahui, kita #unakan ru$us n, barisan arit$etika, aitu n a (n-1)b, sehin##a &u$lah n suku !erta$a adalah
&u$lah n suku !erta$a dari suatu deret arit$etika an# suku !erta$ana a dan beda b adalah
ntuk $e$udahkan !erhitun#an %n suatu deret arit$etika, !erhatikan hal-hal berikut. a. ika
diketahui suku !erta$a a dan beda b, #unakan ru$us b. ika diketahui suku !erta$a dan suku ke-n,#unakan ru$us
10
SOAL LATIHAN 1.
%elisih dua bilan#an asli adalah 36 dan bilan#an kedua adalah li$a kali bilan#an !erta$a. ika kedua bilan#an itu berturut turut $e$bentuk suku keli$a dan suku kedua suatu barisan arit$etika $aka tentukan suku ke se!uluh Penelesaian ) 36
36
→
→
) 5
5 36 4 36 → 9
45
→
5 9 → a 4b 9 2 45
a b 45 -
→
3b -36 b 12
10 a 9b
a 57 2.
57 108 51
isalkan a1 a2 a3 a4 a5 a6 adalah suatu deret arit$etika an# ber&u$lah 75. ika a 2 8 $aka tentukan a 6 a1 a2 a3 a4 a5 a6 75
a2 8
a (a b) (a 2b) (a 3b) (a 4b) (a 5b) 75 6a 15b 75
ab8 a8b
2a 5b 25 2(8 b) 5b 25 16 3b 25 3.
b 3
→
a 5
→
a6 a 5b 5 15 20
→
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 .. 193 195 197 : 13(57)9(1113)15(1719)21 ..189(191 193)195197 13 12 9 24
15
36
21.. 189
384 195 197
1 197 (12 24 36 384) 3 9 15 . 195 198 16(12 384) 33;2(3 195) 198 6336 3267 3267
11
4.
ika bilan#an #an&il dikel+$!+kkan se!erti berikut kel+$!+k 1
<1=,
kel+$!+k 2
<3,5=,
kel+$!+k 3
<7,9,11=,
kel+$!+k 4
<13,15,17,19=,
dst $aka bera!akah bilan#an !erta$a dari kel+$!+k ke-100 : kel+$!+k 1
<1=
12 0
kel+$!+k 2
<3,5=
22 1
kel+$!+k 3
<7,9,11=
32 2
kel+$!+k 4
<13,15,17,19=
42 3
. . >el+$!+k 100
1002 99 10.000 99 9.901
5. ?i#a buah bilan#an !+siti/ $e$bentuk barisan arit$etika den#an beda 16. ika bilan#an terke'il dita$bah 10 dan bilan#an terbesar dikuran#i 7, $aka di!er+leh barisan #e+$etri. ?entukan &u$lah keti#a bilan#an tersebut isalkan bilan#an itu a 16, a , a 16 (a 16 7 ) a a (a 16 10) a2 (a 9)(a 6) a2 a2 3a 54 3a 54
a 18
→
%ehin##a &u$lah 3 bilan#an itu 2 18 34 54 6. ika &u$lah se!uluh suku !erta$a suatu deret arit$etika adalah 110 dan &u$lah dua suku berturut-turut berikutna adalah 2 $aka tentukan &u$lah 2 suku !erta$a %10 5(2a 9b) 110 5(2a 9b)
11 12 2 a 10b a 11b 2
2a 9b 22 2a 21b
212
22 2a 9b
2a 21b 2
12b 24 b 2
a 20
→
sehin##a a a b 40 2 38 7.
ika a, b, ', d dan e $e$bentuk barisan #e+$etri dan a.b.'.d.e 1.024 $aka bera!akah nilai ': a.b.'.d.e 1.024 a.ar.ar2.ar3.ar4 45
karena ' $eru!akan suku ke-3 $aka
a5.r10 45
' ar 2 4
(ar2)5 45 ar2 4 8. @iketahui barisan bilan#an bulat 3, , dan 18. ika ti#a bilan#an !erta$a $e$bentuk barisan #e+$etri dan ti#a bilan#an terakhir $e$bentuk barisan arit$etika. aka tentukan 3
18
2 3
2 18
(18 );2
→
2 3(18 );2 22 3(18 )
sehin##a 6 12 18
22 3 54 0 (2 9)( 6) 0 6 9.
12
→
@iketahui !, A dan r $eru!akan akar akar !ersa$aan suku banak berdera&at ti#a. ika !, A dan r $e$bentuk barisan arit$etika, den#an suku keti#a ti#a kali suku !erta$a dan &u$lah dari keti#a akar adalah 12 $aka tentukan !ersa$aan dari suku banak tersebut rAA! 2A ! r 2A ! 3! 2A 4!
r 3!
! A r 12 ! 2! 3! 12 6! 12 ! 2 → A 4
r 6
→
A 2! sehin##a !ersa$aan suku banakna ( 2)( 4)( 6) 0
13
10. Pada suatu barisan #e+$etri den#an r B 1, diketahui dua kali &u$lah e$!at suku !erta$a adalah ti#a kali &u$lah dua suku #ena! !erta$a. ika diantara suku suku tersebut disisi!kan e$!at bilan#an, den#an 'ara antara suku kedua dan keti#a disisi!kan satu bilan#an dan antara suku keti#a dan kee$!at disisi!kan ti#a buah bilan#an $aka akan terbentuk barisan arit$etika den#an beda r. Citun# &u$lah dari bilan#an an# disisi!kan 2%4 3(2 4) 2 a(r4 - 1);(r - 1) 3(ar ar 3)
2a(r4 1) 3ar(1 r 2)(r 1) 2(r2 1)(r 1)(r 1) 3r(r 2 1)(r 1)
a 2b 2 4 6
2r 2 3r
r2
D a 5b 2 10 12
1 2 3 D w 4 a
2a
4a
a 4b 2 8 10
w a 6b 2 12 14 8a
D w 42
b 2a a 2a
14
