OPERASI BILANGN BULAT Idikator : 1. Siswa dapat memberi contoh bilangan bulat. 2. Siswa dapat menyatakan sebuah besaran sehari-hari yang menggunakan bilangan negatif. 3. Siswa dapat menentukan letak bilangan bulat dalam garis bilangan. 4. Siswa dapat menyelesaikan operasi tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat bilangan bulat termasuk operasi campuran. 5. Siswa dapat menentukan sifat-sifat perkalian dan pembagian bilangan negatif dengan negatif dan positif dengan positif. 6. Siswa dapat menghitung kuadrat dan akar pangkat tiga bilangan bulat. 7. Siswa dapat menaksir hasil perkalian dan pembagian bilangan bulat. 8. Siswa dapat menemukan dan menggunakan sifat perkalian, pembagian, dan pemangkatan pemangkatan bilangan bulat berpangkat untuk menyelesaikan masalah.
PECAHAN Indikator : 1. Siswa dapat memberi contoh berbagai bentuk dan jenis bilangan. 2. Siswa dapat mengubah bentuk pecahan kebentuk yang lain. lain . 3. Siswa dapat mengurutkan pecahan dan menentukan letaknya pada garis bilangan 4. Siswa dapat menyelesaikan operasi hitung : tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat, dengan melibatkan pecahan serta mengaitkan dalam kejadian sehari-hari. 5. Siswa dapat menuliskan bilangan pecahan bentuk baku. 6. Siswa dapat melakukan pembulatan bilangan pecahan pecahan sampai satu atau dua desimal. 7. Siswa dapat menaksir hasil operasi hitung bilangan pecahan.
Operasi Bilangan Bulat dan Pecahan A. Bilangan Bulat Bilangan bulat adalah gabungan dari bilangan cacah dan lawan dari bilangan asli (negatif), yaitu ......,-3,-2,-1,0,1,2,3,..... ......,-3,-2,-1,0,1,2,3,..... a. Penjumlahan Pada Bilangan Bilangan Bulat Jika kedua bilangan bertanda sama, jumlahkan kedua bilangan tersebut dan hasilnya berilah tanda sama dengan tanda kedua bilangan tersebut. Contoh : 1. 25 + 40 = 65 2. (-15) + (-20) = -(15+20) = (-35) Jika kedua bilangan berlawanan tanda, tanpa memperhatikan tandanya kurangkan bilangan yang besar dengan bilangan yang kecil. Kemudian , berikan tanda t anda sama dengan bilangan yang lebih besar. Jika kedua bilangan itu sama besar maka hasilnya adalah nol. Contoh : 1. 47 + (-87) = - (87-47) = -40 2. 89 + (-45) = (89-45) = 44 b. Pengurangan Pengurangan Pada Bilangan Bil angan Bulat Operasi pengurangan pada dua bilangan bulat adalah mencari selisih antara kedua bilangan tersebut. Jika a dan b adalah bilaangan bulat, a-b=a+(-b). Dengan perkataan lain mengurangi a dan b sama dengan menjumlahkan a dengan lawan (invers) dari b. Contoh : 1. 15 - 26 = 15 + (-26) = -11 2. (-14) – 20 20 = (-14) + 20 = 6 3. (-34) - (-12) = (-34) + 14 = -20 c. Perkalian Pada Bilangna Bulat Perkalian memiliki pengertian sebagai penjumlahan berulang sehingga dapat dijabarkan sebagai berikut : m x a = a+a+a+a+a+..........+a Sebanyak m suku Dalam operasi perkalian bilangan bulat berlaku ketentuan berikut ini : 1. Hasil perkalian dua bilangan bulat berbeda tanda adalah bilangn bulat negatif Contoh : a x (-b )= - ab 10 x (-11) = - (10x11) = -110 (-a) x b = - ab (-14) x 12 = - (14x12) = -168 2. Hasil perkalian dua bilangan bulat bertanda sama adalah bilangan bulat positif. Contoh : (-a) x (-b) = ab (-21) x (-10) = 21 x 10 = 210 a x b = ab 12 x 10 = 120 d. Pembagian pada Bilangan Bulat Pembagian adalah operasi kebalikan dari perkalian. Jika a,b,c € B (bilangan bulat); b ≠ 0 da n b adalah faktor dari a maka a: b=c <=> a= b x c Jika a,b,c, bilangan bulat, b≠0 dan memenuhi a:b=c maka : 1. Untuk a,b berlainan tanda , c adalah bilangan bulat negatif (-36) : 6 = -6 2. Untuk a,b bertanda sama, c adalah bilangn bulat positif 20 : 2 = 10 3. Untuk a=0 maka c=0 0:3=0
e. Kelipatan dan Faktor Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) KPK dari dua bilangan atau lebih adalah bilangan asli terkecil yang merupakan anggota kelipatan-kelipatan persekutuan dari bilangan tersebut. Misalnya, Jika a,b ϵ Ab maka KPK dari a dan b adalah bilangan terkecil anggota A yang habis dibagi oleh a dan b. Contoh : Tentukan KPK DARI 3,4, dan 6! Jawab : Himpunan kelipatan 3 adalah (3,6,9,12,15,18,21,24,......) (3,6,9,12,15,18,21,24,......) Himpunan kelipatan 4 adalah (4,8,12,16,20,24,28,......) (4,8,12,16,20,24,28,......) Himpunan kelipatan 6 adalah (6,12,18,24,30,36,......) (6,12,18,24,30,36,......) Himpunan kelipatan persekutuan dari 3,4,dan6 adalah (12,24,......) Jadi, KPK dari 3,4,dan6 adalah 12 Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) FPB adalah bilangan asli terbesar yang merupakan faktor persekutuan bilangan tersebut. Contoh : Tentukan FPB dari 54 dan 60 dengan cara memfaktorkan ! Jawab : 54=2x3x3x3=2x33 60=2x2x3x5=22x3x5 Langkah-langkah mencari FPB FPB : 1. Ambilah bilangan berpangkat dengan bilangan pokok sama dan pangkat terkecil! 2. Kalikan bilangan-bilangan tersebut! Jadi, FPB dari 54 dan 60 adalah 2x3=6 f. Pemangkatan pada Bilangan Bulat Bilangan bulat berpangkat Positif Untuk sembarang bilangan bulat a dan bilangan bulat positif m maka berlaku : am = a x a x a x a x........x a, dengan a 1 =a, a0=1 dan a≠0. am disebut bilangan berpangkat, berpangkat, dengan a sebagai bilangan pokok pokok (basis) dan m sebagai pangkat (eksponen) Contoh : 34 =3x3x3x3=81 (-2)3 =(-2)x(-2)x(-2)=(-8) (-10)2 =(-10)x(-10)=100 (23 )2 =(2x2x2)x(2x2x2)=64 Sifat-sifat bilangan berpangkat : ap x aq = ap+q 23 x 22 = 23+2 =25 ap : aq = ap-q 34 x 32 = 34-2 = 32 (ap )q = apxq (52 )3 = 52x3 =56 (axb)p = ap x bp (3x2)3 = 33 x23 =27x8=216 (a:b) p = ap : bp (4:2)2 = 42 : 22 = 16:4=4 g. Kuadrat dan Pangkat Tiga Akar Kuaadrat dan Akar Pangkat Tiga Kuadrat dan akar kuadrat bilangan bulat Misalkan a suatu bilangan maka a 2 = a x a. Bentuk a 2 disebut disebut kuadrat dari a. 2 Jika b=a maka a =b
Contoh : √64=8
√144=12 Pangkat Tiga dan Akar pangkat Tiga Misalkan a suatu bilangan maka a 3 = a x a x a. Bentuk a 3 disebut pangkat 3 dari a. Jika b=a maka a 3=b Contoh : 3 √64=4 3 √27=3
B. Pecahan
Pecahan adalah bilangan yang disajikan dalam bentuk dengan a,b anggota bilangan B
dan b≠0 Pada bentuk tersebut a disebut disebut pembilang dan dan b disebut disebut penyebut penyebut pecahan adalah bilangn yang menggambarkan bagian dari keseluruhan . a. Pecahan Senilai Pecahahn senilai adalah pecahan-pecahan yang memiliki nilai -nilai yang sama.
, , , , ...... Pecahan senilai ...... dapat diperoleh dengan mengalikan atau membagi pembilang dan
peyebut pecahan semula dengn bilangn yang sama selain nol. Untuk memperoleh pecahan senilai, perhatikan berikut ini!
= = = : = = = = : = = = = : = . Menyatakan Menyatakan hubungan “Lebih “Lebih dari” atau “Kurang dari dari antara dua Pecahan
b.
Untuk membandingkan dua pecahan dengan penyebut sama maka untuk menyatakan lebih dari atau kurang dari cukup membandingkan pembilangnya saja. Contoh :
< >
Untuk membandingkan dua pecahan ynag penyebutnya tidak sama kita harus menyatukan pecahan-pecahan tersebut menjadi pecahan yang senilai hingga diperoleh penyebut sama yaitu KPK dari penyebut kedua pecahan itu , Kemudian dibandingkan pembilangnya. Contoh : Dari pasangan berikut manakah yang lebih besar :
Jawab :
KPK dari 3 dan 4 adalah 12 maka
c.
2 = 2 4 = 8 2 = 3 3 = 9 3 3 4 12 3 4 3 12 8 < 9 >
Menentukan Pecahah yang nilainya diantara dua pecahan Diantara dua pecahan yang tidak senilai, selalu dapat ditemukan pecahan yang nilainya di antara dua pecahan terseebut. Contoh :
Tentukan sebuah pecahan diantara
!
Jawab : Langkah pertama adalah menyamakan penyebut kedua pesahan.
5 =5 8 8 = = Karena belum diperoleh pecahan yang dimaksud maka masing-masing penyebutnya diperbesar lagi sehingga diperoleh :
c.
5 = 5 2 = 10 86 86 22 16 12 = = 8 8 2 16 Diantara ℎ Jadi, Pecahan tersebut diantara ℎ Menyatakan Menyatakan bilangan bilangan bulat bulat dalam dalam bentuk pecahan Setiap bilangan bulat dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a/b dengan a merupakan kelipatan dari b dan a,b € himpunan bilanga n bulat; b≠0 Contoh : Nyatakan bilangan berikut dalam bentuk pecahan! pecahan! 1. 5 2. 7 Jawab :
= = = = … . 2. 7 = = = = = .... Mengubah Pecahan menjadi Desimal dan dan Sebaliknya Sebaliknya ditulis 0,1, pecahan ditulis 0,01, dan pecahan Dalam bentuk desimal, pecahan ditulis 0,001. Jadi, angka , angka 1 pada 1 pada 0,1 menunjukan bilangan . 0,01 menunjukan bilangan dan angka 1 pada 0,001 menunjukan bilangan Mengubah pecahan menjadi desimal : 1. 5 =
d.
Contoh :
= 0,1 =0.75 Mengubah desimal menjadi pecahan :
Contoh:
= = =
0.5 =
0.4
e. Mengubah Pecahan ke Bentuk Persen dan Sebaliknya Sebalikn ya Mengubah bentuk pecahan ke bentuk persen Untuk mengubah pecahan ke bentuk persen, dapat digunakan cara berikut : a. mengubah pecahan semula menjadi pecahan senilai dengan penyebut 100. b. pecahan semula dikalikan dengan 100 100 %. Contoh : Cara ke-1
=28% 7:25= = 100%=28% Cara ke-2
Mengubah bentuk persen kebentuk pecahan Contoh:
= Penjumlahan dan Pengurangan Pengurangan Pecahan
20%=
f.
Penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan bilangan bulat Untuk menentukan hasil penjumlahan pecahan dengan bilangan bulat, terlebih dahulu ubahlah bilangan bulat ke dalam bentuk pecahan dengan penyebutnya sama dengan penyebut pecahan, kemudian jumlahkan pembilangnya sebagaimana penjumlahan pada bilangan bulat. Demikiam juga untuk menentukan hasil pengurangan. Contoh :
1 = = = = Penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan pecahan
Untuk menentukan hasil penjumlahan atau pengurangan dua pecahan yang penyebutnya tidak sama maka penyebutnya harus disamakanterlebih dahulu dengan cara mencari KPK dari penyebut-penyebutnya, kemudian baru dijumlahkan atau dikurangkan. Contoh :
+ = + = = 1 Perkalian dan Pembagian Pecahan
g.
Perkalian Pecahan Untuk mengalikan dua pecahan, kalikanlah pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebutdari penyebutdari kedua pecahan tersebut, atau dapat ditulis
=
Contoh : 1. 2.
= = 12 = = 9 Pembagian Pecahan
Untuk sembarang pecahan dan dengan b Contoh :
≠ 0 dan d ≠ 0 berlaku : = x
: = =
h. Pemangkatan Bilangan Pecahan Bilangan pecahan berpangkat bulat positif Untuk sembarang bilangn bulat a dan b dengan berlaku
= ………… = M faktor Dalam hal ini, a/b sebagai bilangan pokok.
Sifat-sirat bilangan pecahan berpangkat
+ = + =
=
b ≠0 dan bilanganbulat positif m
− ∶ = 4 ∶ 2 = 42 ( ) = ( ) =
= 2
SOAL-SOAL 1. Tentukan hasil perkalian bilangan bulat berikut ! a. (-11) x 13 c. 16 x (-13) b. (-17) x (-15) d. (-14) x (8+9) 2. Hitunglah hasil pembagian; bilangan bulat berikut! a. 144 : 12 b. (-200) : (-40) c. (-240) : 15 3. Tentukan KPK dan FPB bilangan berikut ! a. 24,28,dn 50 b. 50,75,dan 100 c. 16,32,dan 40 4. Hitunglah hasil operasi dibawah ini! a. 106 X 103 b. 78 : 74 c. (55 )2 d. (3x 2)2 e. (4:2)2 5. Hitunglah nilai berikut ini! a. √400 b. 3 √243 c. 3 √729 d. √49 x 3 √216 6. Hitunglah nilai dibawah ini a. 6/8+4/5 b. 3/4x6/9 c. 12/16:3/4 7. Ubahlah pecahan berikut kebentuk desimal a. ¾ b. 36/5 c. 25/8
