NIVELACION Números Enteros, Potencias, Ecuaciones Primer Grado

3 456

Módulo Nº 1

Plan de Nivelación

a

M

Matemática2006

MÓDULO 1

Contenidos Números Enteros Potencias Ecuaciones de Primer Grado

2 1

78

9

0

Nivelación Nivelación Números Enteros

Los números enteros están formados por los números enteros positivos, el cero y los enteros negativos. ............ –5

–4

–3

–2

–1

0

+1

+2

+3

+4

+5.................

Ejemplos: el –4 se lee “menos cuatro” o “negativo cuatro”, el +2 se lee “más dos” o bie

Observación: Los números enteros positivos se pueden escribir sin el signo “+”. Ejemplo: +4

se puede escribir 4.

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto de un número entero, en la recta numérica, corresponde a la distancia en ese número y el cero. Éste se representa por el siguiente símbolo | |. Matemáticamente, absoluto de un número x es x, si x es un número positivo o cero y (– x), si x es un número negativo. Ejemplos: a) |–3| = 3

b) | 3| = 3

c) |–106| = 106

d) |–2| = 2

e) |254| = 254 f) |–23| = 23

Observación: La noción de distancia se asocia al valor absoluto de un número.

Orden en los números enteros

El conjunto de los números enteros es ordenado, es decir, dados dos números entero siempre uno de ellos es mayor que el otro. Mayor que y menor que 1) 2)

Si un número x es mayor que un número y, se escribe x > y. Si un número x es menor que un número y, se escribe x < y.

Ejemplos: Observa el orden de menor a mayor de números enteros en los siguientes a) –7, –2, 5, 1:

2 2

–7 < –2 < 1 < 5

b) –8, |–5|, –2, |–2|: –8 < –2 < 2 < 5

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Adición de números enteros Regla para sumar números enteros:

Términos de la adición

la adición 1) Si los sumandos tienen igual signo, seEn suman sus de números enteros, se pueden identificar los siguientes valores absolutos y el resultado conserva el signo términos:

de los sumandos.

2)

a + b = c

Si dos sumandos tienen diferentes signos, se restan los valores absolutos y el resultado conserva el signo sumandos del sumando que tiene el mayor valor absoluto.

suma

Ejemplos: Verifica las siguientes adiciones d) 7 + –4 = 3 e) –2 + –5 = –7 f ) –5 + 5 = 0

a) 4 + 6 = 10 b) 2 + 7 = 9 c) 3 + –8 = –5

g) –12 + 3 = –9 h) –11 + 15 = 4 i ) 7 + –4 = 3

En la adición de números enteros se cumplen las siguientes propiedades:

• Existe un elemento neutro, que es el • 0. Conmutatividad. a+0=a 5+0=5

a+b=b+a 3+8=8+3

• Asociatividad. (a + b) + c = a + (b + c) (3 + 5 ) + 7 = 3 + ( 5 + 7 )

• Existe un elemento inverso u opuesto. a + (–a) = 0 7 + (–7) = 0 (–a) + a = 0 (–8) + 8 = 0

Sustracción de números enteros Opuesto de un número entero:

Un signo negativo delante de un paréntesis significa el opuesto del valor que está en el in del paréntesis. – (a) = –a

– (–a) = a

La sustracción de números enteros corresponde a la suma del opuesto, es decir, cada vez que haya una resta puedes resolverla como la suma del opuesto: a – b = a + –b

3 3 CEPECH Preuniversitario CEPECH Preuniversitario, , Edición 2006 Edición 2006

Nivelación Nivelación

Considerando que la resta equivale a la suma del opuesto, observa los siguientes eje a) 12 – (–5) = 12 + 5 = 17 b) –4 – (10) = –4 + –10 = –14 c) 6 – (14) = 6 + (–14) = –8

Multiplicación de números enteros

En una multiplicación de números enteros, se pueden identificar los siguientes térm a·b

=

Factores

c

Producto

Si los signos de los factores de una multiplicación de números enteros son diferent del producto es negativo. Si los signos de los factores de una multiplicación de números enteros son iguales, producto es positivo.

Observación: Una multiplicación se puede escribir como una adición iterada. Ejemplo: 4· x = x + x + x + x. Ejemplos: Observa los siguientes productos (multiplicaciones): a) –5 · 20 = –100

b) 4 · 15 = 60

c) –7 · –12 = 84

d) 8 · –90 = –720

Propiedad distributiva

En los números enteros se cumple: a · (b + c) = a · b + a · c. Esta propiedad se llama propieda distributiva de la multiplicación respecto de la adición.

Observación: Esta propiedad también se cumple por la derecha, es decir, también se cumple

que (a + b) · c = a · c + b · c

Ejemplos: Verifica la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición a) 2 · (12 + 8) = 2 · 20 = 40 b) 2 · 12 + 2 · 8 = 24 + 16 =40 4 4


c) 15 · (2 + –5) = 15 · –3 = –45 d) 15 · 2 + 15 · –5 = 30 + –75 = 30 – 75 = –45

División de números enteros En una división de números enteros se pueden identificar los siguientes términos: a

:

b

=

c

dividendo divisor cociente La división es la operación inversa de la multiplicación, es decir, si a · b = c, entonces sabemos que c : a = b y que c : b = a. A partir de esta relación se puede deducir que las reglas de los signo

en la división de números enteros es equivalente a la regla de los signos de la multiplicac Ejemplos: Observa las siguientes divisiones a) b) c) d) e) f) g) h)

– 9 : 3 = –3 –30 : –5 = 6 100 : 10 = 10 –1.000 : 100 = –10 0 : –6 = 0 27 : –9 = –3 –15 : –1 = 15 30 : –30 = –1

Prioridad de las operaciones 1º

PARÉNTESIS

2º

POTENCIAS

3º

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN ORDEN DE IZQUIERDA A DERECHA

4º

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN EN ORDEN DE IZQUIERDA A DERECHA

Ejemplos: Verifica los siguientes ejercicios combinados a) b) c) d) e)

6 + 24 · (–3) = 6 + (–72) = 6 – 72 = –66 –27 + 45 : 32 = –27 + 45 : 9 = –27 + 5 = –22 –15 : (–2 + 7) = –15 : 5 = –3 (–10) · 10 – 8 : (–2) = –100 – (–4) = –100 + 4 –35 – (–3) · (–5) = –35 – 15 = –50

= –96


Nivelación Nivelación Ejercicios Propuestos 1.

Ordena de menor a mayor los siguientes números enteros:

a) b) c) d)

{– 5, – 10, – 1, – 3} {– 199, – 200, – 188, – 201} { 1, – 1 , 0 , 2 } {|– 3|, – 3, |– 2|, – 2}

• Completa con >, < o =, según corresponda: a) – 3 b) – 10 c) 2 d) 0

–5

10 –1 –1

• Determina el número entero que le corresponde a: a) |– 10| = b) |10| = c) |– 18| = d ) |20| = e) |– 2| = f) |– 3| + |3| = g) |– 3 + 3| = h) |– 200| + |100| = 2.

Resuelve las siguientes adiciones:

a) – 8 + 2 = b) 6 + – 3 = c) – 10 + – 1 = d) 20 + – 40 = e) – 20 + – 40 = f) – 20 + 40 = g) – 1 + 2 + – 3 = h) – 70 + 90 = 6 6


3.

4.

Completa la siguiente tabla: a

b

2

–3

–5

6

10

–20

–32

18

a+b

a + –b

Determina el producto de:

a) – 3 ∙ 5 = b) 2 ∙ – 10 = c) – 4 ∙ – 3 = d) – 10 ∙ – 3 = e) 20 ∙ 4 = f ) –1 ∙ –1 ∙ –1 ∙ –1 = g) – 1 ∙ – 1 ∙ – 1 = h) – 3 ∙ 3 ∙ – 3 =

• Resuelve los siguientes cuocientes: a) – 100 : – 10 = 20 : – 4 = b) c) – 81 : 27 = d) – 105 : 5 = e) (15 + 5) : – 5 = f) (24 – 30) : – 2 =

• Calcula usando la prioridad de las operaciones: a) b) c) d) e) f)

21 – 6 + 2 ∙ 5 = (21 – 7) + 2 ∙ 4 = (21 – 7 + 2) ∙ 5 = 32 + – 2 ∙ 6 : 3 = ( 7 – 4 ∙ 2 – 2) : – 3 = (– 4 + 5 ∙ 4) : (– 2 : 1)

=


Nivelación Nivelación Potencias

Potencias de exponente entero positivo ax = a · a · ... · a x veces ax

exponente de la potencia

base de la potencia Una potencia se puede escribir como una multiplicación iterada. Por ejemplo: a5 = a · a · a · a · a

Ejemplos: Observa cada multiplicación a) b) c) d) e)

7 · 7 · 7 · 2 · 2 = 73 · 22 5 · 4 · 4 · 4 · 5 = 43 · 52 –3 · –3 · –3 = (–3)3 –10 · –10 = (–10)2 8 · 8 · 8 · 8 = 84

Propiedades 1.

Para multiplicar potencias de igual base, se puede utilizar la siguiente propiedad: ax · ay = ax

+ y

Ejemplos: Verifica cada producto escrito en forma de potencia a) b) c) d) e) f)

8 8

73 · 72 = 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = 75 134 · 132 = 13 · 13 · 13 · 13 · 13 · 13 = 136 52 · 56 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 58 (–3)3 · (–3)5 = (–3)8 (–11)5 · (–11)5 = (–11)10 3 · (–3)3 = 3 · (–3) · (–3) · (–3) = –81 = –34


2.

Para simplificar la potencia de una potencia, se puede utilizar la siguiente propiedad:

(ax) y= ax· y Ejemplos: Observa la aplicación de la propiedad a) b) c) d) 3.

(54)5 = 520 ( 3 2 )4 = 3 8 (102)3 = 106 (45)4 = 420

Para multiplicar potencias de distinta base e igual exponente, se puede utilizar la sig propiedad: ax · bx = (a · b)x

Ejemplos: Verifica cada producto entre las potencias señaladas a) (–7)2 · (–2)2 = 142 b) 215 · 315 = 615 c) 44 · 64 = 244 d) 37 · 117 = 337 e) (–8)3 · (–1)3 = 83 f) 2010 · 510 = 10010 4.

Para dividir potencias de igual base se puede utilizar la siguiente propiedad: ax : ay = ax

– y

, con a ≠ 0

Ejemplos: Verifica usando la propiedad 3 a) 172 = 173 – 2 = 171

17

5 b) 32 = 33

3

6 c) 53 = 53

5

8 d) 115 = 113

11


Nivelación Nivelación 5.

Para dividir potencias de igual exponente, se puede utilizar la siguiente propiedad

( )

ax = a bx b

x

o ax : bx = (a : b)x, con b ≠ 0

Ejemplos: Verifica usando la propiedad 2 = (12 : 3)2 = 42 a) 12 2

3

5 b) 155 = 35

5

3 c) 363 = 43

9

4 d) 1004 = 104

6.

10

En toda potencia se cumple: a–x = 1x , con a ≠ 0 a

Ejemplos: Verifica usando la propiedad 1 –6 6 = 7 7 b) 1 = 9–1 9 c) 1 = 10–2 100 d) 1 = 2–4 16 1 e ) 9–4 = 4 9 f) 1 = 7–3 343

a)

7. Una potencia de exponente cero es siempre igual a 1.

a0 = 1,

a≠0

Ejemplos: Verifica usando la propiedad a) b) c) d)

10 10

50 = 1 20 · 30 = 60 = 1 90 : 30 = 30 = 1 (50)0 = 10 = 1


Ejercicios Propuestos 1.

Escribe cada expresión en notación exponencial.

a) b) c) d) 2.

∙ (– 2) ∙ (– 2) =

Calcula el valor numérico de las siguientes potencias.

a) b) c) d) e) f) 3.

5∙5∙5∙5= 10 ∙ 10 ∙ 10 = (– 2) ∙ (– 2) ∙ (– 2) x∙x∙x=

= (– 5)2 = – 52 = (– 7)4 = –(– 7)4 = –(– 7)3 =

33

Escribe cada número como una potencia, cuya base sea un número primo (usa calculadora).

a) 64 = b) 81 = c) 625 = d) 343 =

• Escribe como producto de números primos los siguientes números, utilizando potenci (usa tu calculadora).

18 = a) 27 = b) 72 = c) d) 242 = e) 1.000 = f) 10.000 =



Completa las siguientes igualdades:

a) 54 ∙ 53 = 5 b) 42 ∙

2

= 44

c) (32)5 = 3 d) (– 2)3 ∙ (– 2)3 = (– 2) e) (73) = 712 f)

13 ∙ 2

3

( ) ( )= 1

• Expresa cada número como potencias de exponente negativo. a) 1

=

b) 0,1

=

c)

1 25

=

d)

2 3

=

8

e) 1 1 = 4

f) 0,001 =

• Expresa las siguientes potencias con exponente positivo a) 10–3 = b) 5–4

=

c) 16–1 = d) 2–4 e) f)

12 12

= –1

( )= ( )= 2 3 1 2

–2


Ecuaciones de Primer Grado

Ecuación e Identidad Una igualdad con un término desconocido puede ser una ecuación o una identidad. Ejemplo: 1)

La ecuación x – 4 = 18 es verdadera sólo si x es 22. Decimos entonces que 22 es la solución de la ecuación, ya que 22 – 4 = 18.

2)

La identidad x + 8 = 2 + 6 + x, es verdadera ya que posee en ambos costados de la igua las mismas expresiones literales y numéricas.

Una identidad es una igualdad verdadera para cualquier valor del término desconocido. Una ecuación es de primer grado si el término desconocido o incógnita tiene como exponente a la unidad “1”, es decir: x = x1. Llamaremos solución de la ecuación al valor que hace verdadera la igualdad.

Lenguaje algebraico

El lenguaje algebraico es una gran ayuda para generalizar situaciones y para plantear ec que facilitan la resolución de problemas.

Observación: Si los enunciados o problemas tienen dos o más incógnitas, es indispensable expresar una en términos de la otra antes de escribir la ecuación.

Ejemplos: Para cada una de las siguientes expresiones algebraicas observa su enunciado a) b) c) d)

Un número disminuido en 5 Tres menos que un número El sucesor de un número El antecesor de un número

x–5 x–3 x+1 x–1

e) La quinta parte de un número

1 x 5

f) Un número aumentado en g) Un número aumentado en

1 5 1 8

x+ x+ del número

1 5 1 x 8


Nivelación Nivelación Ecuaciones equivalentes

Las ecuaciones que se plantean para resolver distintos problemas pueden ser distintas, veces dentro de un mismo problema pueden llegar a entregar el mismo resultado. La ob anterior nos permite establecer la existencia de ecuaciones equivalentes dentro del con de un mismo problema. Gracias a esto los problemas que se resuelven a través de dichas ecuaciones, no poseen una única forma de ser resueltos.

Por ejemplo: la ecuación 4x – 9 = 11 es equivalente a 4x – 11 = 9, ya que una se desprend la otra, es decir:

– 9 = 11 /+9 4x = 11 + 9 / – 11 4x – 11 = 9 4x

Ecuaciones y problemas de planteo Para resolver problemas, sigue este esquema: 1) 2) 3)

Identifica la incógnita o término desconocido y asígnale una letra. Plantea la ecuación y luego resuélvela. Verifica si la solución obtenida tiene sentido en el contexto del problema. Escribe l completa.

Ejemplos: 1)

Un carro del metro viaja con 52 pasajeros. Al llegar a una estación se bajan x p se suben 6. En la próxima parada se bajan 12 pasajeros, quedando en el carro 28 pa Encuentra el valor de x.

Una de las ecuaciones que resuelven este problema es: 52 – x

+ 6 – 12 = 28 (52 + 6 + –12) + –x = 28 46 + –x = 28 / + (–46) (–46 + 46) + –x = –46 + 28 0 + –x = –18 / · (–1) x = 18

En la primera estación, se bajaron 18 pasajeros.

14 14


2)

La sexta parte de un curso va a visitar una fábrica de zapatos. Si fueron 8 alumnos, ¿cu alumnos tiene el curso?

Una de las ecuaciones que permite resolver este problema se expresa por: Sea “x” el números de alumnos, entonces x

6 x

6

6

· 1

=8 =8

/·6

= 8· 6

x

6

· x = 48 x

= 48

El curso tiene 48 alumnos en total.


Nivelación Nivelación Ejercicios Propuestos 1.

Sustituye n por los valores indicados y luego determina si cada igualdad es verdad

a) b) c) d) e)

– 18 = – 15 6 + 2n = 26 10 = 4 – 2n 4n – 7 = 2n + 1 4(8 – 3n) = 20 3n

n=

–1

n=

10

n=

–3

n=

4

n=

–1

• Resuelve las ecuaciones. Verifica que las soluciones estén en el siguiente conjunto: {– 140, – 100, – 1, 0, 16, 18, 19, 49, 104, 140}

a) c + 4 = 53 b) 3j = 48 c ) 4s = –400 d) – 10y = 1.400 e) 144 = 8c f) – 2s = 0 g) 61 = x – 43 h) 12 + x = 31 2.

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 4x – 3 = 3x + 1 b) 12x + 17 = 14x + 1 c) 3x = 4 + 2 (x – 3) d) 5 – x = 8 – 4x e) 10x – 32 = 3 – (x + 2) f) 7 – 3x = 21 – (x – 6)

16 16


• Resuelve los siguientes problemas, planteando previamente la ecuación correspondiente: a) La suma de 63 y 5 veces un número es 68. ¿Cuál es el número? b) Si restas 54 al producto de seis y un número, obtienes – 12. ¿Cuál es el número?

c) Manuel dice a su hermana: “Si le quitas 10 cm a mi estatura, ésta sería igual al doble de estatura disminuida en 60 cm”. ¿Cuál es la estatura de cada uno, considerando que sus estaturas suman 2,5 m?

Actividades Propuestas Números Enteros 1.

Escribe el número entero que corresponde a las siguientes frases:

a) b) c) d) e) 2.

Completa las siguientes oraciones:

a) b) c) d) 3.

°C bajo cero. Ahorro de $ 2.000. 3 pisos bajo el nivel del suelo. Debo $ 15.000. En un curso faltaron 3 alumnos. 10

El opuesto de – 10 es El valor absoluto de – 8 es El número entero que es 3 unidades menor que – 1 es El número entero que es 20 unidades mayor que – 2 es

Expresa el número entero que le corresponde a:

a) b) c) d) e) f)

– (– 4) = – (5 + 3) = – (– 5 + 2) = – (– 14 + 10) = – (52 + – 60) = – (30 + – 15) = 17 17 CEPECH Preuniversitario CEPECH Preuniversitario, , Edición 2006 Edición 2006


5.

Completa la siguiente tabla: a

b

–4

–1

–6

5

2

–7

–3

8

– (a + b )

– (a – b)

Resuelve los siguientes problemas:

a) La suma de tres números enteros es igual a – 2. Dos sumandos son números o entre sí. ¿Cuál es el valor del otro sumando?

b) ¿Cuál es el número entero que está a la misma distancia en la recta numérica d c) ¿Cuál es el número entero que está a la misma distancia en la recta numérica de 6.

Completa el siguiente cuadrado mágico, de modo que el producto de los númer horizontales, verticales y diagonales sea 1.000. –5 –8 10

7.

Si a = – 2, b = 1 y c = – 1, determina el valor numérico de las siguientes expre algebraicas:

a) b) c) d) e) f) g) h) 18 18

a+ b+ c= a–b+c= a–b–c= –(a) + –(b) = – a ∙ (a + b – c) = – (a + b) = a∙b∙c= –a ∙ b ∙ c =


Resuelve:

8.

a) El producto de dos números enteros es 480. Si uno de sus factores es – 48, ¿cuál es e otro factor? b) El opuesto de la suma de – 10 y un número es 2. ¿Cuál es el número? c) La temperatura baja 2 °C cada hora. ¿Cuántos grados habrá bajado en 6 horas? d) A las 4:00 a.m. la temperatura en cierta ciudad es –10 °C. Si después de cada hora transcurrida la temperatura sube 2 °C, ¿cuál es la temperatura a las 8:00 a.m.? Busca los grupos de números que estén ubicados en forma vertical, horizontal o dia cuyo producto sea – 100 y enciérralos con una línea.

9.

–5

6

–2

4

10

9

2

–2

10

– 10

1

–2

–5

4

5

–5

–5

3

–2

5

–2

–5

2

20

10.

Resuelve los siguientes ejercicios combinados:

a) 9 – 6 ∙ 7 – 5 b) 56 : (14 : – 2) c ) (56 : – 14) : 2 d) (12 + – 8) : (– 6 + 5) e) – 25 + 12 ∙ –4 f) 54 : (9 : – 3) + 3 19 19 CEPECH Preuniversitario CEPECH Preuniversitario, , Edición 2006 Edición 2006

Nivelación Nivelación Potencias 11.

Determina el valor de a en cada caso:

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 12.

7a 3a 13

a2 a2 16a 11

a

2a

2a 5a

= = = = = = = = = =

49 27

a 100

25 256 121

8 256

1

Calcula el valor de cada expresión si n = 3.

a) b) c) d) e) f)

= ( 4 n )2 = n5 = 5n2 = 3n3 = ( 8 n )3 = 4n2

• Evalúa cada expresión según el valor de la variable a) b) c) d)

20 20

5x, si x

=2 4m, si m = 4 12x, si x = 1 1a, si a = 13


13. Una persona resolvió los siguientes ejercicios. Si están buenos, escríbeles un

si están malos, una x y al lado la respuesta correcta.

al lado.

a) 13 ∙ 31 = 34 b) 15 ∙ 21 = 2 c)

( )( ) ( ) 3 ∙ 4

2

3 3 = 4

3 4

5

d) (– 4)10 ∙ (– 4)2 = (– 4)20 e) 23 ∙ 33 = 63 f) (– 5)5 ∙ (– 1)2 = 57 g) (103)5 = 108 h) (102)7 = 1014 = 23; y = 25; z = 35, evalúa y expresa el resultado de la forma más simple usando l propiedades de las potencias.

14. x

a) x ∙ y = b) (y ∙ z)2 = c) 2 ∙ x ∙ y = d) (9 ∙ z )2 = e) 1 x = 2

f) y : x = g) (y : x)4 = h) 32 ∙ z =



Determina el valor numérico de:

a)

(

–1 1 ∙ 4 = 5 2

)

b) (2–1 ∙ 4–1)–1 = c) 37 ∙ 3–9 = d)

(

1

)( )

1 ∙ 2

–2

–2

2 = 3

e) 32 ∙ (33 + 3)0 = f)

( )

–1

1 ∙ (– 12)–2 = 2

Ecuaciones de Primer Grado 16.

Escribe una expresión algebraica para cada una de las siguientes oraciones:

a) 6 más que n. b) 6 aumentado en n. c) n disminuido en 6. d) 6 disminuido en n. e) La diferencia entre n y 6. f) El producto entre 6 y n. g) La sexta parte de n. h) 6 veces n. i) El cociente entre n y 6. j) 6 veces el doble de n.

22 22


17. Resuelve las ecuaciones. Verifica que las soluciones estén en el siguiente conjunto:

{– 42, – 25, – 18, 25, 41, 44, 59, 61, 75, 138}

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

18.

x – 31 = 28 a + 4 = –21 43 = m + 18 21 = s – 40 115 = u – 23 42 + t = 0 16 = 34 + v 100 – 2 = 23 + w x + 2 ∙ 3 = 50 0 = z – 41

Resuelve las ecuaciones y verifica que las soluciones estén en el conjunto:

{– 65, – 30, – 28, – 7, 1, 3, 8, 10, 12, 15, 28, 72, 75} a) 3t + 5 = 29 b) 6n – 19 = – 1 c) 9y + 10 = 19 d) 8 – 2t = 64 e) m + 21 = 3 3

f) 18 = 4k – 42 g) 5s – 60 = 0 h) 100 + 2t = 40 i) 14 + a j) 1 – a 7

5

=1 =0


Nivelación Nivelación 19. Resuelve

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

las siguientes ecuaciones:

x + 2x = 39

– x = –74 10t – 16t = 12 4a – 3 = 1 12s – 6s = 0 4m + 2m+ 8 = 26 6 + 3a – a = 40 3 – 8z + 5z = 0 50 = 30y – 5y 31 = 1 – 8v + 2v 3x

• Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 5a = 2a + 6 b) 5 + x – 4x = –10 c) 2x = 80 – 8x d) 30 = 8 – 2y e) 0 = n – 15 – 4n f) 4a + 5 = 6a + 7 g) 2a – 11a = –27 h) 2 (a – 6) = 3a i) 7 (2 + y) = 5y j) 5 (c – 2) = 5c – 10 k) 8m = 2m + 30 l) 12y = 34 – 5y m) 5b – 9 = 2b + 12 n) 4 (x – 6) = 7x ñ) z = 24 – 3z o) 7 (x – 2) – 6 = 2x + 8 + x p) 4x = 3x + 5 q) 2y – 1 = 3y

24 24


20.

Escribe una expresión algebraica para cada una de las siguientes situaciones:

a) Dos números suman 20 y uno de ellos es x, entonces el otro es... b) La diferencia de edades de dos hermanos es 5 años. Si el mayor tiene n años, entonces el otro tendrá...

c) Si Juan pesa p kilogramos y excede en 3 kg el peso de Pedro, entonces Pedro tendrá

d) Si Alejandra y Sofía juntas tienen 28 CD y Alejandra tiene x, entonces Sofía tendrá... e) Si el menor de dos números pares consecutivos es x, entonces el mayor será...

f) La mochila de Raúl pesa la mitad de la de Cristóbal. Si la de Cristóbal pesa s, la de Ra pesará...

g) El envase grande de un aceite contiene el triple de aceite de lo que contiene el en chico. Si el grande contiene l litros, el chico contendrá...

• Resuelve los siguientes problemas, planteando previamente la ecuación correspondient

a) Un día 6 de mayo, Daniel le dijo a una amiga: “Te daré una pista para que sepas cuánd es mi cumpleaños: si sumas 8 al producto de tres y el número de días que faltan para mi cumpleaños, obtienes 38”. ¿En qué fecha está de cumpleaños Daniel?


Nivelación Nivelación

b) Carolina tiene 68 láminas pegadas en su álbum, y algunas repetidas. Si con el tripl láminas repetidas que tiene y 22 láminas más, completa las 177 láminas del álbum, láminas repetidas tiene Carolina?

c) Mauricio fabrica llaveros a un costo de $ 930. Éstos se componen de una argolla m y dos figuras de madera. Si la argolla metálica cuesta la mitad de lo que cuesta una de madera, calcula el precio de la argolla.

d) Ignacio estudió Ciencias Sociales durante una hora. Organizó su tiempo de la sig manera: 1º leyó la materia, 2º imaginó las costumbres y preocupaciones del homb esa época y 3º volvió a leer la materia e hizo un resumen. En la última etapa demo 20 minutos más que en la primera, y en la primera demoró el doble que en la s ¿Cuánto demoró Ignacio en cada una de las etapas de su estudio?

e) En un consultorio, un pediatra y un oftalmólogo atendieron, en total, 24 paciente una tarde. Si el oftalmólogo hubiese atendido a dos personas más y el pediatra a d personas menos, el oftalmólogo habría atendido el doble de pacientes que el pedi ¿Cuántos pacientes atendió cada uno?

f) Luis, por motivos económicos, no quería salir a cenar con 5 de sus amigos. Éstos al le dijeron: “Paga lo que puedas y nosotros nos dividimos el resto en partes iguales”. cuenta salió $ 22.800. ¿Cuánto dinero pagó cada uno de sus amigos, si Luis sólo pudo $ 1.800?

26 26


Solucionario Solucionario

Solucionario Ejercicios Propuestos

Números Enteros 1.

a) b) c) d)

3.

a

b

2

{– 10, – 5, – 3, – 1} {– 201, – 200, – 199, – 188} {– 1, 0, 1, 2} { – 3, – 2 |– 2|, |– 3|}

–5

–3 6

– 20

10

– 32

18

a+b

–1 1

– 10 – 14

a+

–b 5

– 11

30

– 50

• a) > b) < c) > d) >

• a) b) c) d) e) f) g) h)

2.

10 10 18 20 2 6 0 300

a) – 6 b) 3 c) – 11 d) – 20 e) – 60 f) 20 g) – 2 h) 20

4.

a) b) c) d) e) f) g) h)

– 15 – 20 12 30 80 1 –1 27

• a)

10 –5 –3 – 21 –4 3

• a)

25 22 80 28 1 –8

b) c) d) e) f) b) c) d) e) f)


Solucionario 4.

Potencias 1.

a)

54

b) 103 c) (– 2)5 d) x3

a) b) c) d) e) f)

• a) 2.

a)

27

b)

25

c)

– 25

d)

2401

b) c) d) e) f)

3.

b)

b) c) d) e) f)

28 28

∙ 32

33

∙ 32 2 ∙ 112 23 ∙ 53 24 ∙ 54 23


10– 1 5– 2 2 · 3– 1 5 · 2– 2 10– 3

1 54

c) 1

343

2

2– 3

3

16

a) 26 b) 34 c) 54 d) 73

• a)

4 10 6 4 2

1 • a) 10

e) – 2401 f)

7

d)

1 24

e)

3 2

f)

4


a) Falsa b) Verdadera c) Verdadera d) Verdadera e) Falsa

•

2.

a ) c= 49 b) j = 16 c) s = – 100 d) y = – 140 e ) c = 18 f) s = 0 g) x = 104 h) x = 19 a) x = b) x = c) x = d) x = e) x = f) x =

• a)

63

4 8

–2

Actividades Propuestas Números Enteros 1.

a) – 10 b) 2.000 –3 c) d) – 15.000 e) –3

2.

a) 10 b) 8 c) – 4 d) 18

1 3 – 10

+ 5x = 68, con x =1

3.

a) 4 b) 6x – 54 = – 12, con x = 7 b) – 8 c) 3 c) x – 10 = 2(250 – x) – 60, x = 150, d) 4 Manuel mide 1, 5 m y su hermana e) 8 1 m. f) – 15

4.

a

b

–4 –6 2

–3

–1 5

–7

8

–( a + b)

–( a – b) 5

3

1

11

5

–5

–9

11


Solucionario 5.

6.

a) – 2 b) 1 c) – 20

Potencias 11.

– 5 – 8 25

– 50 10 – 2 4

7.

a) b) c) d) e) f) g) h)

–12,5 – 20

–2 –4 –2

12.

1 0 1 2 –2

a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

b) c) d)

a) – 10 b) 8 c) 12ºC d) – 2ºC 13.

30 30

9.

Revisión de Profesor o Profesora

10.

a) – 38 b) – 8 c) – 2 d) – 4 e) – 73 f) – 15


3 1 10 5 2 2 3 8 0

a) 36 b) 144 c) 243 d) 45 e) 81 f) 13.824

• a) 8.

2

25 256 12 1

a) r ; 3 b) a c) a d) r ; 412 e) a f) r ; (– 5)5 g) r ; 1015 h) a

14.

a) 28

b) c) d) e) f) g) h) 15.

17.

a) x = 59 b) a = – 25 c) m = 25 d) s = 61 e) u = 138 f) t = –42 g) v = –18 h) w = 75 i) x = 44 j) z = 41

18.

a) t = 8 b) n = 3 c) y = 1 d) t = –28 e) m = –54 f) k = 15 g) s = 12 h) t = –30 i) a = –65 j) a = 7

19.

a) x b) x c) t d) a e) s f) m g) a h) z i) y j) v

610 29 314 22 22 28 37

a) 5

2

b) 8 c) 1

9

d) 1 e) 9 f) 1

72


a) n + 6 b) 6 + n c) n – 6 d) 6 – n e) n – 6 f) 6n

g) 1 n 6

h) 6n i) n

= 13 = –37 = –2 = 1 = 0 = 3 = 17 = 1 = 2 = –5

6

j) 6 ∙ 2n


Solucionario • a)

2 b) 5 c) 8 d) –11 e) –5 f) –1 g) 3 h) –12 i) –7

j) k) 5 l) 2 m) 7 n) –8 ñ) 6 o) 7 p) 5 q) – 1 20.

a) 20 – x

b) n – 5 c) p – 3 d) 28 – x e) x + 2 f) s 2

g) l 3

32

CEPECH Preuniversitario, Edición 2006

• a) 8 + 3x = 38, con x = 10, Daniel está de cumpleaños el 16 de mayo.

b) 3x + 22 + 68 = 177. Carolina tiene 29 láminas repetidas. c) x + 2(2x)= 930. La argolla cuesta $ 186. d) 2x + x + 2x + 20 = 60 1º: 16 minutos 2º: 8 minutos 3º: 36 minutos

e) x + 2 = 2(24 – x – 2), el Oftalmólogo atendió 14 pacientes y el pediatra a 10. f) 1.800 + 5x = 22.800. Cada uno pagó $ 4.200.

NIVELACION Números Enteros, Potencias, Ecuaciones Primer Grado

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