PLAN DE NIVELACIÓN
Matemática
MÓDULO 1
2009
9 0 0 2 a c i t á m e t a M
PLAN DE NIVELACIÓN Números Enteros Los números enteros están formados por los números enteros positivos, el cero y los números enteros negativos. ............ –5
–4
–3
–2
–1
0
+1
+2
+3
+4
+5................. +5............... ..
Ejemplos: el – 4 se lee “menos cuatro” o “negativo cuatro”, el +2 se lee “más dos” o bien “dos”. Observación: Los números enteros positivos se pueden escribir sin el signo “+”. Ejemplo: +4 se puede escribir 4.
Valor absoluto de un número entero El valor absoluto de un número entero, en la recta numérica, corresponde a la distancia entre ese número y el cero. Éste se representa por el siguiente símbolo | |. Matemáticamente, el valor absoluto de un número x es x, si x es un número positivo o cero y – (– x) , , si x es un número negativo. Ejemplos: a) | – 3| = 3 d) | – 2| = 2
b) | 3| = 3 e) |254| = 254
c) | – 106| = 106 f) | – 23| = 23
Observación: La noción de distancia se s e asocia al valor absoluto de un númer número. o.
Orden en los números enteros El conjunto de los l os números enteros es ordenado, ordena do, es decir, dados dos d os números enteros distintos, dis tintos, siempre uno de ellos es mayor que el otro.
2
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Matemática
2009
Mayor que y menor que: 1)
Si un número x es mayor que un número y , se escribe x > y.
2)
Si un número x es menor que un número y , se escribe x < y.
P L A N
Ejemplos: Observa el orden de menor a mayor de números enteros en los siguientes ítemes a) – 7, – 2, 5, 1:
– 7 < – 2 < 1 < 5
b) – 8, |– 5|, – 2, |– 2|:
D E N I V E L A C I Ó N
– 8 < – 2 < |– 2| < |– 5|
Adición de números enteros Términos de la adición
Regla para sumar números enteros: 1)
En la adición de números enteros, se pueden identificar los siguientes términos:
Si los sumandos tienen igual signo, se suman sus valores absolutos y el resultado conserva el signo de los sumandos.
a + b = c sumandos
2)
suma
Si dos sumandos tienen diferentes signos, se restan los valores absolutos y el resultado conserva el signo del sumando que tiene el mayor valor absoluto.
Ejemplos: Verifica las siguientes adiciones a) 4 + 6 = 10
d) 7 + – 4 = 3
g) – 12 + 3 = – 9
b) 2 + 7 = 9
e) – 2 + – 5 = – 7
h) – 11 + 15 = 4
c) 3 + – 8 = – 5
f ) – 5 + 5 = 0
i ) 7 + – 4 = 3
En la adición de números enteros se cumplen las siguientes propiedades:
• Existe un elemento neutro, que es el 0. a+0=a 5+0=5
• Conmutatividad. a+b=b+a 3+8=8+3
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9 0 0 2
PLAN DE NIVELACIÓN
• Asociatividad.
• Existe un elemento inverso u opuesto.
(a + b) + c = a + (b + c) a (3 + 5) + 7 = 3 + (5 + 7) c i t á m Sustracción de números enteros e t a Opuesto de un número entero: M
a + (– a ) = 0 (– a) + a = 0
+ (– 7 ) = 0 (– 8) + 8 = 0
7
Un signo negativo delante de un paréntesis significa el opuesto del valor que está en el interior del paréntesis.
– (a) = – a
– (– a) = a
La sustracción de números enteros corresponde a la suma del opuesto, es decir, cada vez que haya una resta puedes resolverla como la suma del opuesto: a – b = a + –b
Considerando que la resta equivale a la suma del opuesto, observa los siguientes ejemplos: a) 12 – (– 5) = 12 + 5 = 17 b) – 4 – (10) = – 4 + – 10 = – 14 c) 6 – (14) = 6 + (– 14) = – 8
Multiplicación de números enteros En una multiplicación de números enteros, se pueden identificar los siguientes términos: a·b
Factores
=
c
Producto
Si los signos de los factores de una multiplicación de números enteros son diferentes, el signo del producto es negativo.
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Matemática
2009
Si los signos de los factores de una multiplicación de números enteros son iguales, el signo del producto es positivo.
Observación: Una multiplicación se puede escribir como una adición iterada. Ejemplo: 4· x = x + x + x + x. Ejemplos: Observa los siguientes productos (multiplicaciones): a) – 5 · 20 = – 100
b) 4 · 15 = 60
c) – 7 · – 12 = 84
P L A N D E N I V E L A C I Ó N
d) 8 · – 90 = – 720
Propiedad distributiva En los números enteros se cumple: a · (b + c) = a · b + a · c. Esta propiedad se llama propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición.
Observación: Esta propiedad también se cumple por la derecha, es decir, también se cumple que (a + b) · c = a · c + b · c Ejemplos: Verifica la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición a) 2 · (12 + 8) = 2 · 20 = 40 b) 2 · 12 + 2 · 8 = 24 + 16 =40
c) 15 · (2 + – 5) = 15 · – 3 = – 45 d) 15 · 2 + 15 · – 5 = 30 + – 75 = 30 – 75 = – 45
División de números enteros En una división de números enteros se pueden identificar los siguientes términos: a
:
b
=
c
dividendo divisor cociente La división es la operación inversa de la multiplicación, es decir, si a · b = c, entonces sabemos que c : a = b y que c : b = a. A partir de esta relación se puede deducir que las reglas de los signos en la división de números enteros es equivalente a la regla de los signos de la multiplicación.
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PLAN DE NIVELACIÓN Ejemplos: Observa las siguientes divisiones a) b) c) d) e) f) g) h)
– 9 : 3 = – 3 – 30 : – 5 = 6 100 : 10 = 10 – 1.000 : 100 = – 10 0 : – 6 = 0 27 : – 9 = – 3 – 15 : – 1 = 15 30 : – 30 = – 1
Prioridad de las operaciones 1º PARÉNTESIS 2º POTENCIAS 3º MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN 4º ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
ORDEN DE IZQUIERDA A DERECHA
EN ORDEN DE IZQUIERDA A DERECHA
Ejemplos: Verifica los siguientes ejercicios combinados a) b) c) d) e)
6
6 + 24 · (– 3) = 6 + (– 72) = 6 – 72 = – 66 – 27 + 45 : 32 = – 27 + 45 : 9 = – 27 + 5 = – 22 – 15 : (– 2 + 7) = – 15 : 5 = – 3 (– 10) · 10 – 8 : (– 2) = – 100 – (– 4) = – 100 + 4 – 35 – (– 3) · (– 5) = – 35 – 15 = – 50
Cpech
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= – 96
Matemática
2009
Ejercicios Propuestos 1.
P L A N
Ordena de menor a mayor los siguientes números enteros: a) b) c) d)
D E N I V E L A C I Ó N
{– 5, – 10, – 1, – 3} {– 199, – 200, – 188, – 201} {1, – 1, 0, 2} {|– 3|, – 3, |– 2|, – 2}
• Completa con >, < o =, según corresponda: a) – 3 b) – 10 2 c) 0 d)
– 5 10 – 1 – 1
• Determina el número entero que le corresponde a: a) |– 10| = b) |10| = c) |– 18| = d) |20| = e) |– 2| = f) |– 3| + |3| = g) |– 3 + 3| = h) |– 200| + |100| = 2.
Resuelve las siguientes adiciones: a) – 8 + 2 = 6 + – 3 = b) c) – 10 + – 1 = d) 20 + – 40 = e) – 20 + – 40 = f) – 20 + 40 = g) – 1 + 2 + – 3 = h) – 70 + 90 =
Cpech
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9 0 0 2 a c i t á m e t a M
PLAN DE NIVELACIÓN 3.
4.
Completa la siguiente tabla: a
b
2
–3
–5
6
10
–20
–32
18
a+b
Determina el producto de: a) – 3 ∙ 5 = 2 ∙ – 10 = b) c) – 4 ∙ – 3 = d) – 10 ∙ – 3 = e) 20 ∙ 4 = f) – 1 ∙ – 1 ∙ – 1 ∙ – 1 = g) – 1 ∙ – 1 ∙ – 1 = h) – 3 ∙ 3 ∙ – 3 =
• Resuelve los siguientes cuocientes: a) – 100 20 b) c) – 81 d) – 105 e) (15 + 5) f) (24 – 30)
: : : : : :
– 10 = – 4 = 27 = 5 = – 5 = – 2 =
• Calcula usando la prioridad de las operaciones:
8
a) b) c) d) e) f)
21 – 6 + 2 ∙ 5 = (21 – 7) + 2 ∙ 4 = (21 – 7 + 2) ∙ 5 = 32 + – 2 ∙ 6 : 3 = (7 – 4 ∙ 2 – 2) : – 3 = (– 4 + 5 ∙ 4) : (– 2 : 1)
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=
a + –b
Matemática
2009
Actividades Propuestas
P L A N D E N I V E L A C I Ó N
Números Enteros
1.
Escribe el número entero que corresponde a las siguientes frases: a) b) c) d) e)
2.
En un curso faltaron 3 alumnos.
El opuesto de – 10 es: El valor absoluto de – 8 es: El número entero que es 3 unidades menor que – 1 es: El número entero que es 20 unidades mayor que – 2 es:
Expresa el número entero que le corresponde a: a) b) c) d) e) f)
4.
del suelo.
Completa las siguientes oraciones: a) b) c) d)
3.
10 °C bajo cero. Ahorro de $ 2.000. 3 pisos bajo el nivel Debo $ 15.000.
– (– 4) = – (5 + 3) = – (– 5 + 2) = – (– 14 + 10) = – (52 + – 60) = – (30 + – 15) =
Completa la siguiente tabla: a
b
– 4 – 6
– 1
2
– 7
– 3
– (a + b)
– (a – b)
5 8
Cpech
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9 0 0 2
PLAN DE NIVELACIÓN 5.
a c i t á m e t a M
Resuelve los siguientes problemas: a) La suma de tres números enteros es igual a – 2. Dos sumandos son números opuestos entre sí. ¿Cuál es el valor del otro sumando? b) ¿Cuál es el número entero que está a la misma distancia en la recta numérica de – 3 y 5? c) ¿Cuál es el número entero que está a la misma distancia en la recta numérica de – 50 y 10?
6.
Si a = – 2, b = 1 y c = – 1, determina el valor numérico de las siguientes expresiones algebraicas: a) b) c) d) e) f) g) h)
10
Cpech
a+b+c= a – b + c = a – b – c = –(a) + –(b) = – a ∙ (a + b – c) = – (a + b) = a∙b∙c= – a ∙ b ∙ c =
Preuniversitario, Edición 2009
Matemática 7.
2009
Resuelve: a) El producto de dos números enteros es 480. Si uno de sus factores es – 48, ¿cuál es el otro factor? b) El opuesto de la suma de – 10 y un número es 2. ¿Cuál es el número? c) La temperatura baja 2 °C cada hora. ¿Cuántos grados habrá bajado en 6 horas?
P L A N D E N I V E L A C I Ó N
d) A las 4:00 a.m. la temperatura en cierta ciudad es – 10 °C. Si después de cada hora transcurrida la temperatura sube 2 °C, ¿cuál es la temperatura a las 8:00 a.m.? 8.
Busca los grupos de números que estén ubicados en forma vertical, horizontal o diagonal, cuyo producto sea – 100 y enciérralos con una línea. – 5 2 – 5 – 2
9.
6 – 2 4 5
– 2 10 5 – 2
4 – 10 – 5 – 5
10 1 – 5 2
9 – 2 3 20
Resuelve los siguientes ejercicios combinados: a) 9 – 6 ∙ 7 – 5 b) 56 : (14 : – 2) c) (56 : – 14) : 2 d) (12 + – 8) : (– 6 + 5) e) – 25 + 12 ∙ – 4 f) 54 : (9 : – 3) + 3
Cpech
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9 0 0 2
SOLUCIONARIO PLAN DE NIVELACIÓN
Solucionario
a c Ejercicios Propuestos i t á m Números Enteros e t 1. a) {– 10, – 5, – 3, – 1} a b) {– 201, – 200, – 199, – 188} M c) {– 1, 0, 1, 2} d) { – 3, – 2 |– 2|, |– 3|}
• a) > b) < c) > d) >
• a) b) c) d) e) f) g) h) 2.
12
a) b) c) d) e) f) g) h)
Cpech
10 10 18 20 2 6 0 300
– 6 3 – 11 – 20 – 60 20 – 2 20
Preuniversitario, Edición 2009
a
3.
4.
b
– b
a+b
a+
2
– 3
– 1
5
– 5
6
1
– 11
10
– 20
30
– 32
18
– 10 – 14
a) – 15 b) – 20 c) 12 d) 30 e) 80 1 f) g) – 1 h) 27
• a) b) c) d) e) f)
• a) b) c) d) e) f)
10 – 5 – 3 – 21 – 4 3
25 22 80 28 1 – 8
– 50
Matemática 6.
Actividades Propuestas 1.
2.
3.
a) b) c) d) e)
– 2 – 4 – 2
S O L U C I O N A R I O
1 0 1 2 – 2
P L A N D E N I V E L A C I Ó N
a) b) c) d)
10 8 – 4 18
7.
a) b) c) d) e) f)
4 – 8 3 4 8 – 15
8.
Revisión de Profesor o Profesora
9.
a) b) c) d) e) f)
4.
5.
– 10 2.000 – 3 – 15.000 – 3
a) b) c) d) e) f) g) h)
a
a) b) c)
–( a + b) –( a – b)
b
– 4 – 6
– 1
5
3
5
1
11
2
– 7
5
– 9
– 3
8
– 5
11
a) b) c) d)
2009
– 10 8 12ºC – 2ºC
– 38 – 8 – 2 – 4 – 73 – 15
– 2 1 – 20
Cpech
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13
9 0 0 2 a c i t á m e t a M
PLAN DE NIVELACIÓN Números Racionales Éstos están formados por los números enteros y todos los números que se pueden escribir como una fracción cuyos numerador y denominador son números enteros, pero el denominador es diferente de cero. Ejemplo de números racionales son: – 1
– 0,3
-8
– 51,2
8
2 7
– 7
0,5555...
a Observación: Signo de una fracción: – ba = –b = –
a b
Todo decimal tiene una parte entera y una parte decimal 51,17
parte entera
0,35
parte decimal
Período de la parte decimal de número
Números decimales periódicos Número decimal periódico
0,7 0,3 3,5 – 0,35
14
Cpech
Preuniversitario, Edición 2009
Notación fraccionaria
7 9 3 1 = 9 3
3
5 9
– 35
99
Matemática
2009
Transformación de un número decimal periódico a notación fraccionaria 1.
El numerador queda formado por la diferencia entre el número decimal completo sin la coma y la parte entera.
2.
El denominador queda formado por tantos 9 como cifras tenga el período.
Ejemplos: 1) 0,3 =
3–0 9
=
3 9
=
1 3
2)
1,3
=
13 – 1 9
=
12 9
=
P L A N D E N I V E L A C I Ó N
4 3
Números decimales semiperiódicos Número decimal semiperiódico
Notación fraccionaria
0,07
7 90
0,25
23 90
0,34
31 90
0,118
117 990
Transformación de un número decimal semiperiódico a notación fraccionaria 1.
El numerador de la fracción queda formado por la diferencia entre el número decimal completo sin la coma y la parte entera más el anteperíodo.
2.
El denominador de la fracción queda formado por tantos nueves (9) como cifras tenga el período y tantos ceros (0) como cifras tenga el anteperíodo. Recuerde que se llama antperíodo a los números que hay entre la coma decimal y el período.
Cpech
Preuniversitario, Edición 2009
15
9 0 0 2
PLAN DE NIVELACIÓN
Ejemplo:
225 – 2 990
0,225 =
=
223 990
a anteperíodo c i t á Orden y densidad en los números racionales m e t El conjunto de los números racionales es denso, debido a que entre dos números racionales a cualesquiera siempre podemos intercalar otros. M Para comparar decimales, resulta conveniente expresar todos los números con la misma cantidad de cifras decimales. Ejemplo: Para ordenar de menor a mayor los siguientes números racionales 0,38 ; 0,38 y 0,38 los expresamos mediante 0,3888... ; 0,3838... y 0,3800... Ahora resulta muy fácil saber que el orden, de menor a mayor, según la comparación de sus cifras decimales es: 0,38 ; 0,38 ; 0,38 .
Adición y Sustracción de Números Racionales Sean a, b, c, d diferentes de cero c a ± d = b
a·d±b·c b · d
con b · d = m.c.m. (b, d )
Multiplicación y División de Números Racionales • Para multiplicar fracciones debes multiplicar los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.
a c a·c · = b d b · d
16
Cpech
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con b y d ≠ 0
Matemática
2009
• Para dividir dos fracciones, el dividendo se multiplica por el inverso multiplicativo o recíproco del divisor:
d a c : = a · con b, c y d ≠ 0 b d b c
Observación: Todo número racional tiene un elemento inverso multiplicativo o recíproco. a b a b es el recíproco de , porque: · = 1, con a y b ≠ 0 b a b a
P L A N D E N I V E L A C I Ó N
Potencias de 10 aplicadas a notación numérica Ejemplo: 2.358 = 2 · 1.000 U
C UM
+ 3 · 100 + 5 · 10 + 8
D
Luego, se escribe en cada caso el exponente que corresponda: 2.358 = 2 · 103
+ 3 · 102 + 5 · 101 + 8 · 100
Al escribir el número 2.358 de esta forma decimos que lo hemos escrito como una suma de ponderados de potencias de 10.
Notación científica Para expresar un número en notación científica, éste se debe descomponer en dos factores: El primero de ellos es un número mayor o igual a 1 y menor que 10, y el segundo factor es una potencia de 10. Ejemplo: 70.000.000
= 7 · 107
Cpech
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9 0 0 2 a c i t á m e t a M
PLAN DE NIVELACIÓN
Ejercicios Propuestos Números Racionales
1.
Escribe los siguientes decimales como fracción: a) – 0,4 b) 0,41 c) – 2,01 d) 6,38 e) 0,28 f) – 0,421 g) 0,302 h) 5,23 i) 2,171
2.
Escribe >, <, =, según corresponda. 7 13
3 7
b) – 4
– 3
c) – 0,4
– 1,2
d) – 6,2
– 2
a)
3
e) 0,34
18
2
5 0,34
f) – 0,3
– 0,5
g) 0,7
9 10
h) 0,2
2 9
Cpech
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Matemática 3.
2009
Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones de números racionales. a)
+ – 8 =
1 2
D E N I V E L A C I Ó N
16
b) – 1,36 + – 0,456 = 1 1 c) 4 + – 1 = 8
P L A N
2
d) – 3 – – 3 = 5
7
e) – 6,23 – 8,5 = f) – 2
1 4
– 2
1 8
=
g) 89,4 – – 15,2 = h) – 0,0015 + 0,005 = i) – 4 j)
1 3
1 4
+2
–
2 9
2 3
+ 0,5 =
+ 0,5 =
k) 0,16 + 0,16 = 4.
Resuelve las siguientes multiplicaciones y divisiones de números racionales: a) 5 ∙ – 9,6 = b)
( ) 5 6
2
=
c) – 5 ∙ 0,1 =
Cpech
Preuniversitario, Edición 2009
19
9 0 0 2
PLAN DE NIVELACIÓN d)
a c i t á m e t a M
∙ – 2 =
2 3
5
1 2 e) – 3 ∙ – 4 ∙3 = 3
4
5
f) – 4 ∙ – 1 ∙ – 5 = 5
5
1
g) 0,3 ∙ 6 ∙ 9 = h) 1 : 5 = 2
i) – 1 : 3 = 8
4
1 4 : j) – = 3
k) – 9 : – 12 = 27
l)
–5 2 5
=
–5
m)
6 10
=
n) (1,01)3 5.
Completa el siguiente cuadrado mágico, de modo que el producto de los números de las horizontales, verticales y diagonales sea 1.000. –5 –8 10
20
Cpech
Preuniversitario, Edición 2009
Matemática Solucionario
2.
Ejercicios Propuestos Números Racionales
1.
a) –4 9
41
b) 99 c) –199
3.
a) b) c) d) e) f) g) h)
S O L U C I O N A R I O P L A N D E N I V E L A C I Ó N
b) – 1,816 c)
632 99
> > > < < > < =
a) 0
99
d)
2009
21 8
d) –6 35
26
e) 90 f)
–379 900
g)
299 990
h) 518
e) – 14, 73 –35
f) 8
g) 104,6 h) 0,0035
99
i)
–13 12
i) 215
j)
11 18
99
k) 0,328
Cpech
Preuniversitario, Edición 2009
21
9 0 0 2
SOLUCIONARIO PLAN DE NIVELACIÓN 4.
a c i t á m e t a M
a) – 48 b)
25 36
c) – 0,5 d)
–4 15
e) 221 20
f)
–4 5
g)
1 2
h)
1 10
i) –2 3
j) – 12 k) 81 4
l)
–25 2
m) –1 12
n) 1,030301 5.
– 5 – 8 25 – 50 10 – 2 4
22
Cpech
– 12,5 – 20
Preuniversitario, Edición 2009
Matemática
2009 S O L U C I O N A R I O
Mis notas
P L A N D E N I V E L A C I Ó N
Cpech
Preuniversitario, Edición 2009
23
