Ecuaciones de Primer Orden y Grado Superior

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DEINGENIERÍA CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL

Materia: Ecuaciones Diferenciales

Tema: Ecuaciones de Primer Orden y Grado Superior

Nombres y Apellidos: .Henry Vinicio Carrión Vivar .Pedro David Gallegos Agila . Wilson Daniel Narváez Granda .Leonardo Javier Pulles Mina Curso: Tercero Paralelo: Segundo

Profesor: Ing. Raúl Villacres

Fecha de Entrega: 10/Jun/13

Marzo/Agosto

– 2013–

ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR

1 de 39

OBJETIVO. General: Reconocer e identificar los modelos que se usan para ecuaciones diferenciales de primer orden y grado superior. Específicos Resolver modelos de ecuaciones diferenciales como Ricatti y de Clairout. Desarrollar los distintos métodos de solución para ecuaciones de primer orden y grado Superior

INTRODUCCION Hasta ahora hemos visto únicamente ecuaciones diferenciales en las que y’ no estaba elevada a ninguna potencia, es decir, que tenían la forma:

En este apartado vamos a estudiar ecuaciones de la forma:

En las que y’ puede estar elevada a la potencia n.

Existen algunos tipos de ecuaciones diferenciales que pueden ser transformadas y estudiadas como ecuaciones de primer grado y primer orden; entre ellas tenemos como casos especiales los siguientes: Ecuación de Bernouilli Ecuación de Riccati Dentro Dentro de la categoría de las ecuaciones diferenciales de primer orden y grado superior a uno, tenemos varios tipos: Ecuaciones diferenciales resolubles en y’ Toda ecuación diferencial algebraica resoluble en y’:

descomponerse, despejando y’, ene Donde P0, P1, …, Pn son funciones de x e y, pueden descomponerse, ecuaciones lineales, habiendo tantas de estas como raíces tenga la ecuación algebraica:

Para cada uno de estos casos tendremos una solución de la forma:


1 de 39

OBJETIVO. General: Reconocer e identificar los modelos que se usan para ecuaciones diferenciales de primer orden y grado superior. Específicos Resolver modelos de ecuaciones diferenciales como Ricatti y de Clairout. Desarrollar los distintos métodos de solución para ecuaciones de primer orden y grado Superior

INTRODUCCION Hasta ahora hemos visto únicamente ecuaciones diferenciales en las que y’ no estaba elevada a ninguna potencia, es decir, que tenían la forma:

En este apartado vamos a estudiar ecuaciones de la forma:

En las que y’ puede estar elevada a la potencia n.

Existen algunos tipos de ecuaciones diferenciales que pueden ser transformadas y estudiadas como ecuaciones de primer grado y primer orden; entre ellas tenemos como casos especiales los siguientes: Ecuación de Bernouilli Ecuación de Riccati Dentro Dentro de la categoría de las ecuaciones diferenciales de primer orden y grado superior a uno, tenemos varios tipos: Ecuaciones diferenciales resolubles en y’ Toda ecuación diferencial algebraica resoluble en y’:

descomponerse, despejando y’, ene Donde P0, P1, …, Pn son funciones de x e y, pueden descomponerse, ecuaciones lineales, habiendo tantas de estas como raíces tenga la ecuación algebraica:

Para cada uno de estos casos tendremos una solución de la forma:


2 de 39

Y la solución general vendrá dada por una combinación lineal de ellas. Ejemplo.- resolver la ecuación diferencial:

Puesto que no podemos poner y’ de forma explícita aplicamos el método que estamos estudiando. Consideramos la ecuación ecuación como un polinomio de grado 4 en y’, y calculamos sus raíces.

Como en el caso general de las ecuaciones algebraicas podemos aplicar la regla de Ruffini para determinar las raíces de la anterior ecuación:

Podemos decir que 1 es raíz de la anterior ecuación. Aplicando los métodos de resolución de ecuaciones algebraicas se llega a la conclusión de que, además de 1, las raíces de la anterior ecuación son 0, x, 2y, es decir, que la anterior ecuación se puede poner en la forma:

Con lo que tenemos cuatro ecuaciones diferenciales que serán:

Para expresar la solución general debemos poner cada solución parcial en la forma hi(x,y,Ci) = 0 para después multiplicar todas las ecuaciones obtenidas entre sí, es decir:

En el caso más general de las ecuaciones de la forma F(x,y,y’) = 0 se puede sustituir y’ por una variable p, de modo que se tenga F(x, y, p) = 0 que es la ecuación de una superficie, puesto que se tienen tres parámetros independientes: x, y, p.

Si se conoce una representación paramétrica de la superficie, podemos poner:

Si se conoce una integral de la ecuación diferencial del sistema anterior, dicha solución vendrá representada por una curva α y su ecuación sería:

3 de 39

ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR Donde suponemos que α es la proyección de otra curva superficie S de tal forma que se verifica:

σ

que se encuentra sobre la

Recíprocamente, si σ es una curva tal que y = f(x) ; p = g(x), sobre la que se cumple p = dy/dx, la proyección de σ sobre el plano XY nos da la curva y = f(x) que es la integral buscada. Según eso, el problema de buscar las soluciones cumplan la condición (1):

α

sobre la superficie S tales que

Integrando esta ecuación se obtiene una solución de la forma H(u, v, C) = 0 que corresponde a la curva σ dada por los parámetros u, v. Mediante el cambio:

Obtendremos una proyección de dicha curva sobre el plano XY: h(x, y, C) = 0, que será la curva α buscada. Según la anterior interpretación de la ecuación F(x, y, y’) = 0, podemos encontrar además de las ecu aciones resolubles en y’ otros casos que estudiamos en el capítulo siguiente.


4 de 39

PROBLEMAS DE APLICACIÓN CON ECUACIONES DIFERENCIALES 

Ejemplo de aplicación número 01

Tipo: Ecuaciones que se pueden resolver respecto a P

RESOLVER:

SOLUCIÓN:

        

1) Problema:

                 √                                                                                                               ①

2)

②

3) ② en ①


                                                                                               ⁄ ∫ ⁄ ⁄ ⁄ Calculo de la integral de

Potencialidad Negativa

5 de 39




6 de 39

Potencialidad Positiva

∫ ⁄  ⁄

Formula:

∫[∫ ∫] ⁄  ⁄  ⁄ *⁄ + ⁄⁄       ∫∫∫            

SOLUCIÓN FINAL

⁄    

 ∗

ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 


Tipo: Ecuaciones que se pueden resolver respecto a P

Resolver:

      SOLUCIÓN:

1.

                          √                                                              

2. Problema:

3.



4. Solución por la fórmula:

5. Raíces:

7 de 39


6.

                                                                 

8 de 39


                            

7. SOLUCIÓN FINAL:

9 de 39


10 de 39


Tipo: Ecuaciones que se pueden resolver respecto a P RESOLVER:

        

SOLUCIÓN:

1) Problema: ①

2) ②

3) ② en ①

          

         √                   ( ) ( )                                                                                          


                                                            {         ⁄ ∫ ⁄ ⁄ ⁄ ∫   ⁄ Calculo de la integral de



11 de 39




12 de 39

Formula:

∫[∫ ∫]  ⁄    ⁄ *⁄ + ∗  ∗      ∫∫∫            

SOLUCIÓN FINAL

∗  

 ∗


13 de 39


Tipo: Ecuaciones que se pueden resolver respecto a P RESOLVER:

SOLUCIÓN:

          

1) Problema:

          

2)

            √                                                                                                    3) en


                                                              

14 de 39


Modelo

     {        ∫    ∫   

Calculo de la integral de



Formula:

∫[∫  ∫]      

SOLUCIÓN FINAL

() 

15 de 39



Tipo: Ecuación Diferencial De Ricatti RESOLVER:

        

SOLUCIÓN: 1) Modelo:

2) Problema:

                     

3) Sustitución:

4) Reemplazamos

B en A

                       

16 de 39


①

  ∗   ()                   ∫ ()    ∫   

5) Sustitución: ②

③

6) ② y ③ en ①




Formula:

∫[∫  ∫]

Integral por Partes

        ∫ 

17 de 39


                  

7) Regreso a

8) Regreso a

SOLUCIÓN O PRIMITIVA

18 de 39



Tipo: Ecuación Diferencial De Ricatti

Resolver:

                                                                                            SOLUCIÓN: 1.

MODELO: Problema:

2.

SUSTITUCIÓN:

3.

Reemplazamos

4.

SUSTITUCIÓN:

19 de 39


5.

6.

7.

8.

9.

                                  ∫    ∫      ∫  ∫                   Cálculo de la integral de P(x): Potencialidad Negativa:

Potencialidad Positiva: FÓRMULA:

10. Regresamos a

(u):

11. Regresamos a

(y):

Como:

20 de 39


              

21 de 39




       


2) Problema:

ᴬ

                 

3) Sustitución:

ᴮ

4) Reemplazamos

B en A

          ̇  ̅  ́  ̇ ̅ ̇  ́          

22 de 39


①

                          ∫    ∫ 

23 de 39

∗

5) Sustitución: ②

③

6) ② y ③ en ①




Formula:

∫ [∫  ∫]

Integral por Partes

      ∫ 

∗


                 

              

7) Regreso a

8) Regreso a


  

24 de 39




-

Condición:

Solución.1. Modelo:

Problema:

Sustitución:

 

     

                                                             

Reemplazo de (B) en (A):

25 de 39


Sustitución:

(2) y (3) en (1).-

                                ∗                ∫    ∫   ∫   ∫           

-

Cálculo de la integral P(x).-

-

Exponencial Negativa

-

Exponencial Positivo

-

Fórmula:

26 de 39


-

Regreso a u:

-

Regreso a y:

                           


27 de 39



Tipo: Ecuación Diferencial De Clairout

Resolver:

  SOLUCIÓN:

                                                         

1. MODELO: Problema:

2. 3.

4. Derivamos

5.

6. Trabajamos con

con respecto a “x”:

:

28 de 39


7.

                                                                      

8. SISTEMA DE ECUACIONES ENTRE

9. DESPEJAMOS P DE

10.

29 de 39

FOCO

ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR Ejemplo de aplicación número 10 Tipo: Ecuación Diferencial De Clairout RESOLVER:

      


                e                     e                 

2) Problema:

3) Sustitución

4)

5) Derivamos

6)

con respecto de

7) Trabajamos con

30 de 39


8)

   ∫∫   ⑧                   e                                                              en

9) Sistema de ecuaciones entre

10) De

11)

11)

despejamos P

Grafico

^

31 de 39


                    

32 de 39



Tipo: Ecuación Diferencial De Clairout RESOLVER:

      


                e                      e                 

2) Problema:

3) Sustitución

4)

5) Derivamos

6)

con respecto de

7) Trabajamos con

33 de 39


8)

   ∫∫   ⑧                   e                                                           en


10) De

11)

11)

despejamos P

Grafico

^

34 de 39


              3

 

35 de 39



Tipo: Ecuación Diferencial De Clairout RESOLVER:

      


                e                      e                 

2) Problema:

3) Sustitución

4)

5) Derivamos

6)

con respecto de

7) Trabajamos con

36 de 39


8)

   ∫∫   ⑧                   e                                            en


10) De

11)

despejamos P

^

37 de 39

ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR 11)

  

Grafico

                     

38 de 39

Ecuaciones de Primer Orden y Grado Superior

Recommend Documents