UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA
Realizado por : Huaringa Leon hernan
Ecuaciones de primer orden y grado superior
Ecuaciones de primer orden y grado superior
ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y GRADO SUPERIOR Una ecuación diferencial de primer orden tiene la forma f dy donde se ha sustituido (x,y,y’)= 0 o bien f (x, y, p) = 0, y ' dx por p. Si el grado de p es mayor que uno, como como en p 2 3 px 2 y 0 , la ecuación es de primer orden y grado superior (aquí, segundo). La ecuación general de primer orden de grado n se puede escribir en la forma p
n
p1 x, y p n 1 .......... .. pn 1 x, y p pn x, y 0
1) A veces se pueden resolver tales ecuaciones por uno o varios de los procedimientos que se van a exponer. En cada caso se reduce el problema a resolver una o mas ecuaciones de primer orden y primer grado.
ECUACIONES QUE SE PUEDEN RESOLVER RESPECTO DE “ p ”.
En este caso el miembro de la izquierda de 1), considerado considerado como un polinomio en p, se puede resolver en n factores reales lineales, lineales, es decir, 1) se puede poner en la forma
p F 1 p F 2 .......... .........( p F n ) 0 Donde las F son funciones de x e y. Iguálese a cero cada factor y resuélvanse las n ecuaciones diferenciales resultantes de primer orden y primer grado. dy dx
F 1 x, y ,
Obteniendo
dy dx
F 2 x, y
,
,
dy dx
F n x, y
2) f 1 x, y, C 0 ,
f 2 x, y, C 0
f n x, y, C 0 ,
La primitiva de 1) es el producto 3)
f 1 x, y, C
, f
2
x, y, C ,
,
f n x, y , C 0
De las n soluciones 2). Nota. Cada solución individual de 2) se puede escribir en cualquiera de sus diversas formas posibles antes de combinarla en el producto 3). Ejemplo 1) Determinar la solución general de la ecuación diferencial: xyy' 2 x 2 y ' y 2 y ' xy
0
Solución: Grado superior al primero, hacemos y’= p . Queda: xyp 2
x 2 ` p y 2 p xy 0
xyp 2
( y 2 x 2 ) p xp 0
……… ( 2 )
( polinomio en p
de grado 2) Expresamos ( 2 ) en factores liniales reales ( si es posible ):
p
x
2
y 2
y
2
x 2 4 x 2 y 2 2
2 xy
Es decir los factores son:
x
2
y 2 y 2 x 2 2 xy
x y p p 0 y x
p
x
y
o p
y x
( 3)
Procedemos a resolver cada ecuación diferencial que obtiene igualando que se obtiene igualando a cero cada factor de ( 3 ). De:
p
x
0 y y 2
De: p
p
x
y
y
'
x y
ydy xdx
y
2
x 2 c
x 2 c 0 y x
0
xy c
p
y x
y '
y x
dy y
dx x
( xy c) 0
La solucion general sera, el producto de las soluciones encontradas para cada factor. Asi:
y
2
x 2 c xy c 0
Grafica de la solución general
y
2
x 2 c xy c 0
Encontrar la solucion general y tambien la solución singular, si ella existe de la ecuación: 2
dy 4 x5 dy 12 x 4 y 0 dx dx Solución: Sea
p
2
dy dx
p dy pdx
4 x 5 p 12 x 4 y 0
diferenciando
2 pdp 20 x 4 pdx 4 x 5 dp 48 x 3 ydx 12 x 4 dy 0
2 pdp 20 x pdx 4 x dp 48 x 4
5
3
p 2 4 x5 p 4 dx x pdx 0 12 4 12 x
2 5 p x p 4 5 4 dx 12 x 4 pdx 0 2 p 4 x dp 20 x pdx 4 x
2 p 4 x dp 8 x pdx 5
4
2 4 p 2 p 4 x 5 dp x
2 x p 2 x
p 2 x Si x
dp dx
5
5
dp dx
4 p 2 x
dx 8 x
4
dx 16 x pdx 0 4
p dx 0
4 p p 2 x 5 0
dp x 2 p 0 dx
2 p
dp p
2
dx x
p 2 x
5
0
v
x dp 2 p 0 dx
ln p 2 ln x ln C
p C . x 2
Reemplazando p C . x Se tiene
2
C x
4
2
4 x 7 C 12 x 4 y
C C 4 x 12 y 3
5 Si p 2 x
en la ecuacion p 2
0
C 2
4 x 5 p 12 x 4 y 0
4 x 3 C 12 y
solución general
p 2 x 5
Reemplazando este valor en la ecuación
dada tenemos:
4 x 10
8 x 10 12 x 4 y
3 y x 6
solución singular
solución general
solución singular
Encontrar la solución general y también la solución singular, si ella existe, de la ecuación: 2
x Solución: dy Sea p dx 3
x p
2
3
dy x 2 y dy 1 0 dx dx
dy pdx
x 2 py 1 0
dy xdp pdx
2dx 3
x p
pdx xdp pdx
2dx x 3 p
y
xp
dp 2
p x
2
dp p 2 x 2
1 2
x p
pero
diferenciando
dy pdx
2 p 23 dx x 21 2 dp 0 x p p x 1 1 dp 2 p1 3 2 x1 2 3 0 x p p x dx
1 dp 1 2 3 x 2 p 0 p x dx 1 Si
1 p 2 x 3
x
0
dp dx
v
x
dp dx
2p 0
2p 0
ln p 2 ln x ln C
dp p
2
ln px 2
dx x
0
ln C
p
C x
2
Reemplazando en la ecuación
C 2 x
Cy 1 0
C 2
x 3 p 2
Cyx x 0
x 2 py 1 0 solución general
Si 3
x p
1 2
1 2
p x
3
0
x 2 py 1 0
1 x x 2
y
32
2 x
y 1 0
p x
3 2
reemplazando en la ecuación
se tiene :
2 x y
y 2 x 4 0
0
solución singular
ECUACIONES QUE PUEDEN RESOLVERSE CON RESPECTO A “ y ”
Esto es, y=f(x,p). Derivando respecto de x se obtiene dy dx
p
dp f f p x p , , F dx x p x
Una ecuación de primer orden y primer grado. dp obteniendo x, p, C 0 Resuélvase p F x, p, dx Obténganse la primitiva eliminando p entre y
f x, p
y x, p, C 0
cuando sea posible, o bien exprésense x e y separadamente como funciones del parámetro p.
4 x py p 2
Resolver
3
Solución: Si
4
dx dy
1 p
derivando respecto de “ y “
p p 3 3 y p 1 2
p
2
Integrando , ln y
9 10
Luego
y
dp dy
de donde
ln p 2
C
p
2
9 10
4
p
9 10
dy y
1dp 0 2 4 p 1
3 p p 2
p
ln p 2
3 5
`2
ln p 2
1 ln C
x p 4 p 1 Cp p 3 2
2
3
1 5
2
9 10
2
3
5
Resolver
p
3
2 xyp 4 y 0 2
o bien
2 x
p
2
y
4 y p
Solución: Derivando respecto de y
2 p
2 p dp y dy
p 2 y 2
Integrando p
1 y 4. 2 p p
2 y
dp
0
dp
dy
de donde
dp p 2 y 2 y 2 p3 0 dy
y eliminando p entre la solución p 2
dy y la ecuación diferencial original, se tiene 16 y
ky
k k 2 x 2
Haciendo k=2c se puede poner la expresión anterior en la forma
2 y cc x
2
solución general
solución general
y ' e
Resolver :
y y'
(1)
Solución:
y
Es mas sencillo despejar y que p=y‟. Así en ( 1 ): Entonces:
lnp
y p
y p ln p
p
e p
(2)
Derivamos ( 2 ) con respecto a x:
y ' p ' ln p p.
p'
p p' ln p p'
p p' ln p 1 p ln p 1 dp dp dx p' Como , entonces escribimos: p dx 1 2 ln p ln p x c Integrando: (3) 2 Para la solución general, de ( 2 ) y ( 3 ) no es posible eliminar p. Expresamos la solución en forma parametrica, para x e y. Así:
y
x
p ln p
1 2
ln p ln p c 2
donde p = parámetro.
solución general
Hallar la solución general de: 2 y
y'2
x
y'9
(1)
Solución: p 2
Veamos de ( 1 ): Entonces: y
p
2
9 x
2 y x
p 9
(2)
2 p
Derivamos ( 2 ) con respecto de x:
y '
y'
2 p 2 pp' x p 2
9 2 p 2 9 xp'
4 p
2 p p 2
2
9 4 p 2 x 2 p 2 x 18 x p' 4 p
2
p 2
p
2
p2
p 2
9
9
2 p
2 p x 18 x p' 2
4 p 2
p 2 x 9 x
2 p 2
p
p' p
2
9
2 p
p 0
9 x p'1 0 2 p p 2
p
p
2
9
2 p
2
9 x
2 p
2
0
o
p'
p 2
x p
9
2 p
0
p '1 0
*
Tenemos que se presentan 2 casos: Para encontrar la solución general, nos interesa el factor que contiene a la derivada, es decir nos interesa x p '1 0 p dp dx integrando : p cx (3) Resolviendo : p x Para encontrar la solución general, de ( 2 ) y ( 3 ) eliminamos el parámetro p. 2 2 2 9 cx c x 9 x y Así de ( 3 ): p=cx .En ( 2 ): y 2 2c 2cx
solución general
Utilidad del otro factor: si en * ,
p
2
9
2 p
0
( 4 )
(nos debe conducir a otra solución ).
De ( 4 ) : p 9 2
p
3
Reemplazando en ( 1 ): donde y‟ = p, asi:
32
y
2 y x
3 9
3x
18
solución singular
6 y x
y 3 x
ECUACIONES QUE SE PUEDEN RESOLVER RESPECTO DE “ x ”, esto es , x f y, p
Derivando respecto de “y” de obtiene
dx dy
1 p
f f p dp F y, p, y p y dy
Una ecuación de primer orden y primer grado. Resuélvase
1 p
dp F y, p, dy
obteniendo
y, p, C 0
Obténgase la primitiva eliminando p entre x f y, p y y, p, C 0 cuando sea posible, o bien exprésense x e y separadamente como funciones del parámetro p.
y 2 p x p 2
Resolver Solución:
Derivando respecto de x. p 2 p x 2 p
dx dp
1 2
x p
dp dx
de donde
Esta es una ecuación lineal que tiene e
e 12 p
1 dp 2
como un factor integrante. Entonces
x
2 2
x.e
p
1 p 2
pe
Ce
1
1 p 2
2
p
dp 2 p.e
,
1 p 2
y 8 p
4.e 2
1 p 2
C
2 p Ce
12 p
solución general
Resolver
y 3 px 6 p 2 y 2
Solución: Derivando respecto de x, 3 x
3 p
1 p
y dp p 2 dy
6 y
2
dp dy
y p
12 py
6 py 2 y
. Derivando ahora respecto de y,
1 6 p
dp 0 y 2 p y dy
2
Igualando a cero el segundo factor se deduce py2=C. Despejando p y sustituyendo en la ecuación diferencial original se obtiene la primitiva
y 3
3Cx 6C 2
Resolver
xy” y 4x
Solución Aquí una de las variables, y, está ausente de la ecuación. El método en este caso es hacer y‟=v . Entonces y ” = v „ , y la ecuación puede escribirse d xv 4x xy” y 4x o dx , o
xv
La integración da
2x c 2
,
v 2x
Remplazando v por y’, tenemos
y' 2x
c1 x
o
y x 2 c1 lnx c 2
c1 x
solución general
Se asumió c1= c2l
Hallar la solución general y singular de la ecuación diferencial
y px x 2 . ln x px x
2 2
x2
……………………………….( 1 )
2
Solución: Observando la estructura de la ecuación hacemos el cambio de variable: u px x
2
queda:
y ' u '. ln x
Derivando respecto a x: 2 u px x Pero
y u. ln x u
u x 2 x
p
en ( 3 ):
2
u
u' 0
v
ln x 2u 0
2
……………….. ( 2 )
2u.u ' x
x u x 2
u ' ln x 2u u x u x 0 x x 2
x2
x
……… ( 3 )
u ' ln x 2.u '.u u ' ln x 2u 0
u x
x
Si u‟ = 0 ( nos conduce a la solución general )
u' 0
uc
y c. ln x c
2
x
Si
ln x 2u 0
1
u
2
y
2
4
ln x 2
( solución general )
2
ln x
1
. En ( 2 ):
(proceso que nos conduce a la solución singular)
En ( 2 ) : x2
2
y
1 2
ln 2 x
1 4
ln 2 x
x
2
2
( solución general )
Encontrar la solución general de la ecuación diferencial: y p tgx ln senx p tgx
Solución: En este caso sabemos que
p y '
dy dx
Nuestro problema se reduce a poner x en función de p y dar la respuesta en forma parametrizada, ya que “ y “ se encuentra despejado. Derivando ( 1 ), con respecto a x:
y ' p 'tgx ln senx p sec 2 x ln senx tgx
cos x
2 ' p tgx p ' tgx p sec x senx
2 2 p p 'tgx ln senx p sec x ln senx p ' p 'tgx p tgx p sec x. '. p.tgx
p 'tgx ln senx 'tgx. p tgx p sec 2 xln senx ' p.tgx
p'tgx.ln senx ' p tgx p sec 2 xln senx ' p.tgx 0
p' tgx p. sec 2 x .ln senx ' p.tgx 0
Si
p ' tgx p. sec 2 x
0
p ' tgx p. sec 2 x 0
p ' tgx p. sec x 2
o
(proceso que nos conduce a la solución general)
dp p
ln senx ' p.tgx 0
ln p ln tgx ln c
sec2 x
ln p ln tgx c1
tgx
ln p ln
c tgx
p
c tgx
Reemplazamos en ( 1 ) :
y C . ln senx c
solución general
Dada la ecuación diferencial: 2
y1 ln y
d y dx
2
2
dy 1 ln y . 0 dx
Que es la ecuación diferencial de una familia de curvas tangentes a la recta y=x en el punto (1,1), determinar una expresión que permita calcular la pendiente de cualquier tangente a cualquiera de tales curvas cuando se conozca la ordenada del punto de tangencia.
Solucion: Sea
dy dx
y' p
En la ecuación:
y ' '
dp dx
y 1 ln y p
dp dy
dp
1 ln y p 2 0
dy
dy dx
p
dp p y1 ln y 1 ln y p 0 dy
p 0
o
y 1 ln y
dp dy
dp dy
1 ln y p 0
Si
y 1 ln y
dp p
dp
dy 1 ln y
y 1 ln y
1 ln y p 0 dy
ln p ln y 2 ln 1 ln y
c1 ln y ln 1 ln y 2 ln c
p cy 1 ln y ……………………………………………………….( 1 ) 2
p y ' , En (1) :
C.I.: x = 1
En ( 2 ) : 1 = c
y ' cy 1 ln y
2
y = 1. Asi como y = x Queda : y ' cy 1 ln y
………………………….( 2 )
2
y‟ = 1 ( solución )
Si p=0 Tenemos y‟=p=0 vemos que no se cumple que y‟ = 1 en x=y, por lo tanto no se llega a nada con esta parte.
Encontrar la solución general de la ecuación diferencial : tgy.1 tgy
d 2 y dx
2
dy
2
1 tg 2 y 0 dx
……………………….(1)
Solución:
Hacemos el cambio de variable:
y '
u'
sec 2 y
u'
1 tg 2 y
dx
y ' '
u ' sec2 y. y'
u'
u 12
1 u 1 .u ' 'u '2(u 1).u ' 2
du
1 tgy u
1 u 1
2 2
u ' '. 1 u 12
2u' u 1
1 u 1
2 2
Reemplazando en ( 1 ):
u 1 u
u' ' 1 u 1
2
2u' u 1 u'. 2
1 u 1
2 2
2
u'
1 u 1
2
0
u u
1 1 u 12 .u ' '2u 1 2 u u ' 2 1 u 1 2 u ' 2 0
u u 1 1 u 1 .u ' 'u ' 2 2u 1 u 1 u 1 2
2
du dx
2
uu 11 u 1 . p. dp p
2
dp p
2
d u
u ' p
En (2):
2
2
dx 2
dp
2
du 2 2u 1 u 1 u 1
uu 1 1 u 1
2u 1 1 u 1
Integrando:
2
du
2
dx
u '
d dx
………………..( 2 )
d
p
2
2
p 2 2u 1 u 1 u 1 2u 1 u
2
d
0
2
uu 11 u 1 .u ' ' u ' 2u 1 u 1 u 1
Hacemos:
p.
2
du
p .
1 u u 1
uu 1 1 u 1
du
2(u 1) 1 u 1
ln p ln 1 u 1
2
2
du
2
du
du u
dx
p.
dp du
1 u 1
2
du
du
2
uu 1 1 u 1
du u 1
ln u ln( u 1) c1
2
du
1 u 12 .u 1 .c ln p ln u Pero p=u‟
du
luego tenemos:
12 .u 1 u
1 u 1 .u 1 2
u ' c.
1 u 1 .u 1 2
c.
p c.
1 u
u
u
1 u 1 .u 1 dx u Integrando utilizando fracciones parciales, obtenemos:
2 ln 1 u 1 arctg u 1 ln 2
2
du c.dx
ln u 1 cx D 2 1 u 1 1
Pero u = 1+tg y, entonces nos queda:
2 ln 1 tg
y arctg tgy ln
2
ln tgy1 cx D 1 tg 2 y 1
1 2 ln sec 2 y y ln ln tgy cx D sec y ln sec3 y y ln tgy cx D
