Movimiento arm\u00f3nico simple
Un movimiento se llama peri\u00f3 dico cuando a intervalos regulares de tiempo se repiten los valores de las magnitudes que lo caracterizan. Un movimiento peri\u00f3dico es oscilatori o si la trayectoria se recorre en ambas direcciones. Un movimiento oscilatorio es vi bratorio si su trayectoria es rectil\u00ednea y su origen se encuentra en el centro de la misma.
El movimiento ARM\u00d3NICO es un movimiento vibratorio en el que la posici\u00f3n velocidad y aceleraci\u00f3n se pueden describir mediante funciones senoidales o cosenoidales. De todos los movimientos arm\u00f3nicos, el m\u00e1s sencillo es el Movimiento Arm\u00f3nico Simple, que es al que nos referiremos de aqu\u00ed en adelante. El MOVIMIENTO ARM\u00d3NICO SIMPLE es aquel en el que la posici\u00f3n del cuerpo viene dada por una funci\u00f3n del tipo:
1.2 Representaci\u00f3n del M.A.S.
Para simplificar en un principio, se supone el caso particular en el que no hay desfase , es decir \u03c6=0. En este caso la ecuaci\u00f3n del movimiento toma la forma: y= A \u00b7 sen (\u03c6\u00b7t)
2.1 La posici\u00f3n en el M.A.S.
Como ya se ha dicho, la posici\u00f3n de un cuerpo que describe un M.A.S. viene dada por una ecuaci\u00f3n de tipo senoidad:
El caso m\u00e1s sencillo se produce cuando no existe desfase (\u03c6=0). En este caso la ecuaci\u00f3n queda reducida a:
2.2 La velocidad en el M.A.S.
La velocidad v de un m\u00f3vil que describe un M.A.S. se obtiene derivando la posici\u00f respecto al tiempo:
Si nos ce\u00f1imos de nuevo al caso m\u00e1s simple, en el que el desfase \u03c6= 0 , ecuaci\u00f3n se simplifica:
2.3 La aceleraci\u00f3n en el M.A.S.
Al ser el M.A.S. un movimiento rectil\u00edneo no posee aceleraci\u00f3n normal. As\u00e aceleraci\u00f3n total coincide con la aceleraci\u00f3n tangencial y, por tanto, puede obtenerse derivando el m\u00f3dulo de la velocidad:
En el caso m\u00e1s simple, el desfase es nulo (\u03c6 = 0) y la ecuaci\u00f3n toma la form
2.4 Relaci\u00f3n entre el M.A.S. y el Movimiento Circular Uniforme El M.A.S. de un cuerpo real se puede considerar como el movimiento de la "proyecci\u00f3n" (sombra que proyecta) de un cuerpo auxiliar que describiese un movimiento circular uniforme (M.C.U.) de radio igual a la amplitud A y velocidad angular \u03c9, sobre el di\u00e1metro vertical de la circunferencia que recorre.
2.5 Significado del desfase Hasta ahora, hemos considerado siempre que el cuerpo real inicia su movimiento (t= 0 s) en el origen de coordenadas (y= 0 m) y parte hacia las ordenadas positivas (hacia arriba). Sin embargo, la situaci\u00f3n inicial puede ser distinta y para reflejar este hecho se introduce el concepto de desfase "\u03c6".
Recuerda que la ecuaci\u00f3n completa de un M.A.S. es:
La funci\u00f3n que desempe\u00f1a el desfase "\u03c6" es indicar cual es la posici\u00f3n el instante inicial (t= 0) y hacia donde se dirige.
Para determinar su valor debemos "imaginarnos" en qu\u00e9 situaci\u00f3n debe encontr el cuerpo auxiliar en el instante inicial para que, una vez iniciado el movimiento, su sombra siga estando sobre el cuerpo real, tal como vimos al estudiar la relaci\u00f3n entre el M.A.S. y el M.C.U. 3.1 El origen del M.A.S.: La fuerza el\u00e1stica
Como se ha visto anteriormente, al estudiar la aceleraci\u00f3n en el M.A.S. Si se escribe en funci\u00f3n de la posici\u00f3n: Ley de Hooke
Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos el valor de la fuerza
el\u00e1stica:
donde denomina
se constante el\u00e1stica
del movimiento,
N/m.
y se mide en
La frecuencia de la vibraci\u00f3n.
A partir de la definici\u00f3n de la constante el\u00e1stica, se obtiene la pulsaci\u00f3n:
Y recordando la relaci\u00f3n entre pulsaci\u00f3n y frecuencia, se tiene: Se observa que la frecuencia depende exclusivamente de la constante el\u00e1stica del movimiento y de la masa del cuerpo que lo describe. En la siguiente p\u00e1gina se intenta mostrar la influencia de ambas magnitudes sobre la frecuencia del movimiento: 3.3 Conclusiones sobre Din\u00e1mica del M.A.S.
La fuerza el\u00e1stica responsable de un M.A.S. es siempre opuesta al
\u2022
desplazamiento y proporcional al mismo.
•
La frecuencia con la que vibra un cuerpo que describe un M.A.S. depende sólo de su masa y de la constante elástica, mientras que es independiente de la amplitud de la vibración. 4.1 La energía mecánica se conserva en el M.A.S.
Cualquier cuerpo que se mueva posee energía cinética. Si se escribe la velocidad en función de la posición, se tiene:
Además, dado el hecho de que la fuerza elástica que actúa sobre el cuerpo es una fuerza conservativa, el cuerpo lleva asociada cierta energía potencial elástica, dada por la expresión:
Los valores que toman las energías cinética y potencial dependen de la posición que ocupa el cuerpo. Sin embargo, la energía total que posee el cuerpo se
mantiene constante en toda la trayectoria.
4.2 Representación gráfica de las energías implicadas Existe otra forma en la que se pueden representar las variaciones que se producen en las energías cinética y potencial en un M.A.S. Recuerda que la energía potencial viene dada por:
y por tanto su representación gráfica corresponde a una parábola. La energía mecánica o total se mantiene constante y en consecuencia su representación se corresponde con una recta.
4.3 Conclusiones sobre Energía en el M.A.S.
•
La fuerza elástica que origina un M.A.S. es conservativa. La energía
potencial elástica que lleva asociada es nula en el centro de la trayectoria y máxima en sus extremos.
•
•
La energía cinética en el M.A.S. varía continuamente, siendo máxima en el centro de la trayectoria y nula en sus extremos. Dado el caracter conservativo de la fuerza elástica, la energía mecánica
total del cuerpo permanece constante a lo largo de toda la trayectoria
