MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S) PÉNDULO DE RESORTE HELICOIDAL Ingeniería Electrónica
1. RESUMEN Consideremos una partícula acoplada a un muelle elástico. Si éste se estira o comprime y después se suelta, la partícula comienza a oscilar a uno y a otro lado de una posición de equilibrio. El movimiento en línea recta de una partícula a un lado y a otro, de una posición de equilibrio, se llama movimiento armónico simple (m.a.s), o movimiento vibratorio armónico. La partícula se dice que efectúa vibraciones. 2. OBJETIVOS
Comprobar la independencia entre el periodo de oscilación y la amplitud de un movimiento armónico simple (M.A.S) mediante un péndulo de resorte helicoidal. Encontrar la relación matemática entre el periodo de oscilación y la masa de un (M.A.S) mediante un péndulo de resorte helicoidal. Determinar si factores como la amplitud, masa, fuerza repulsiva determinan el periodo de oscilación de un péndulo de resorte helicoidal.
3. INTRODUCCION
El movimiento armónico simple, también denominado movimiento vibratorio armónico simple, es un movimiento periódico que queda descrito en función del tiempo por una función armónica (seno o coseno). Si la descripción de un movimiento requiriese más de una función armónica, en general sería un movimiento armónico, pero no un m.a.s..
En el caso de que la trayectoria sea rectilínea, la partícula que realiza un m.a.s. oscila alejándose y acercándose de un punto, situado en el centro de su trayectoria, de tal manera que su posición en función del tiempo con respecto a ese punto es una sinusoide. En este movimiento, la fuerza que actúa sobre la partícula es proporcional a su desplazamiento respecto a dicho punto y dirigida hacia éste. 3.1.
Ecuación del movimiento
3.1.1. Elongación
En un movimiento armónico simple la magnitud de la fuerza ejercida sobre la partícula es directamente proporcional a su elongación, esto es la distancia a la que se encuentra ésta respecto a su posición de equilibrio. En un desplazamiento a lo largo del eje Ox, tomando el origen O en la posición de equilibrio, esta fuerza es tal que donde es una constante positiva y es la elongación. El signo negativo indica que en todo momento la fuerza que actúa sobre la partícula está dirigida hacía la posición de equilibrio; esto es, en sentido contrario a su elongación (la "atrae" hacia la posición de equilibrio).
Aplicando la segunda ley de Newton, el movimiento armónico simple se define entonces en una dimensión mediante la ecuación diferencial.
Siendo la masa del cuerpo en desplazamiento. Escribiendo
se obtiene la siguiente ecuación donde ω es la frecuencia angular del movimiento:
() () ()
La solución de esta ecuación diferencial se puede escribirse en la forma Donde es la elongación de la partícula. es la amplitud del movimiento (elongación máxima). es la frecuencia angular. es el tiempo. es la fase inicial e indica el estado de oscilación o vibración (o fase) en el instante t = 0 de la partícula que oscila.
Además, la frecuencia de oscilación puede escribirse como
Por lo tanto el periodo como
La velocidad y aceleración de la partícula pueden obtenerse derivando respecto del tiempo la expresión
() () () () 3.2.
Dinámica del movimiento armónico simple
En el movimiento armónico simple la fuerza que actúa sobre el móvil es directamente proporcional al desplazamiento respecto a su posición de equilibrio, donde la fuerza es nula. Esta fuerza va siempre dirigida hacia la posición de equilibrio y el móvil realiza un movimiento de vaivén alrededor de esa posición.
Un ejemplo de MAS sería el que realiza un objeto unido al extremo un muelle, en ese caso k sería la constante de elasticidad del muelle. Aplicando la segunda ley de newton tendríamos:
Comparando esta ecuación y la que teníamos para la aceleración se deduce:
() ()
3.1.2. Velocidad
La velocidad se obtiene derivando la ecuación de la posición obtenida en el apartado anterior respecto al tiempo:
()
Esta ecuación nos permite expresar el periodo (T) del movimiento armónico simple en función de la masa de la partícula y de la constante elástica de la fuerza que actúa sobre ella:
3.1.3. Aceleración
La aceleración es la variación de la velocidad del movimiento respecto al tiempo y se obtiene por lo tanto derivando la ecuación de la velocidad respecto al tiempo:
4. PROCEDIMIENTOS Materiales:
Vástago metálico
Tabla No. 1
Regla Trasportador Masas de (50g, 100g, 200g) Cronómetro Hilo
Ahora de acuerdo con la ecuación:
Obtendremos la siguiente tabla que se origina al sustituir los tiempos promedios de la tabla No. 1. Masa 100gr 100gr 100gr
A(cm) 3 5 7
Tabla No. 2
Ahora promediando todos los tres periodos de la primera parte obtenemos que el periodo (T) promedio en realizar 20 oscilaciones con una masa de 100g es:
Imagen 1. Montaje a realizar
El montaje realizado consistió en un sistema de masa resorte, donde con una regla se midió con respecto a la parte superior del resorte el punto de equilibrio. Esta práctica se dividió en dos partes: en donde la primera consistió en modificar la amplitud del resorte con respecto al punto de equilibrio teniendo en cuenta que la masa es constante. En la segunda parte se modificó la masa y la amplitud fue constante. Para los dos procedimientos se tomaron valores de tiempo en 20 oscilaciones y el resorte utilizado siempre fue el mismo. Los valores obtenidos en la primera parte del laboratorio donde la masa es constante y la que modificamos es la amplitud están consignados en la tabla No 1 donde se tomaron 3 valores de tiempo en el cual se obtendrá el promedio de estos y las amplitudes a modificar fueron (3, 5 y 7cm). Masa 100gr 100gr 100gr
A(cm) 3 5 7
t1(s) 13.41 13.51 13.43
t2(s) 13.57 13.57 13.58
t3(s) 13.38 13.46 13.48
t(s) 0.672 0.675 0.674
̅
t(s) 13.45 13.51 13.49
La segunda parte de nuestra práctica de laboratorio consistió en variar la masa desde 100g hasta 300g de 50 en 50 teniendo en cuenta que la amplitud es constante y el resorte es el mismo. En el cual se tomaron valores de tiempo para casa masa en 20 oscilaciones, los valores obtenidos están consignados en la tabla No. 3 A(cm) Masa(g) 5 100 5 150 5 200 5 250 5 300 Tabla No. 3
t1(s) 13.51 16.28 18.83 20.97 23.2
t2(s) 13.57 16.31 18.97 21 22.95
t3(s) 13.46 16.31 18.96 21.03 23.08
̅
t(s) 13.51 16.3 18.92 21 23.07
Ahora de acuerdo con la ecuación:
Obtendremos la siguiente tabla que se origina al sustituir los tiempos promedios de la tabla No. 3. Masa 100gr 150gr
A(cm) 5 5
t(s) 0.675 0.81
200gr 5 250gr 5 300gr 5 Tabla No. 4
0.946 1.05 1.15
De acuerdo con esto podemos obtener la siguiente grafica donde se presenta T(s) vs la Masa (grs).
Entonces decimos:
Los datos obtenidos en la tabla No. 5 son los datos son los datos de la tabla No. 4 pero calculando logaritmo tanto en masa como periodo. Masa 2 2,1760 2,30103 2,39794001 2,47712125
A(cm) 5 5 5 5 5
t(s) -0,17069623 -0,09151498 -0,02410886 0,0211893 0,06069784
Tabla No. 5
Y la gráfica después de la linealización es la siguiente:
Como se puede observar la nuestra grafica experimental es similar a la gráfica de la función . Por lo tanto.
() √ √
Ahora describiremos una ecuación que nos defina el periodo en términos de la constate (c) y su masa (m). Como se presenta a continuación,
Para linealizar una función lo podemos hacer calculando el logaritmo de cada uno de los datos de la tabla T(s) vs m(grs) o como tenemos una relación directamente proporcional según la ecuación del periodo para un péndulo helicoidal la cual es:
√
Ahora como tenemos una ecuación donde podemos calcular la constante procedemos a despejarla de al siguiente manera
Los datos obtenidos al calcular esta ecuación están en la siguiente tabla: t(s) 0.675
Masa 100gr
Const. 0,004556
0.81 150gr 0.946 200gr 1.05 250gr 1.15 300gr Tabla No. 6
0,004374 0,004474 0,00441
Entonces finalmente tenemos nuestra ecuación del péndulo helicoidal para nuestro caso experimental.
0,004408
En la cual hallamos el promedio de las constantes obtenidas dando como constante.
Entonces nuestra ecuación que describe la función Periodo vs Masa es:
5. CONCLUSIONES:
() Teniendo en cuenta que la ecuación para un péndulo helicoidal es:
Podemos fácil mente hallar la constante de elasticidad del resorte de la siguiente manera:
De la cual procedemos a despejar la constante de elasticidad del resorte.
La característica principal de todo Movimiento Armónico Simple es presentar una fuerza que pretende regresar el sistema a su posición de equilibrio, determinada fuerza restauradora. Después del estudio de fenómenos ocurridos en nuestra cotidianita observamos, en el campo de oscilaciones q una oscilación depende de la amplitud del cuerpo y es directamente proporcional al tiempo Las oscilaciones son directamente proporcional a rango del periodo que genera decir entre más oscile los objetos su periodo se torna mayor Se pudo observar que mediante un proceso matemático se obtuvo la constante de elasticidad del resorte experimental la cual fue .
La cual toma el valor real de:
6. BIBLIOGRAFÍA
Colaboradores de Wikipedia. Movimiento armónico simple [en línea]. Wikipedia, La enciclopedia libre, 2011 [fecha de consulta: 14 de marzo del 2011]. Disponible en .
Monografías.com. Movimiento armónico simple [en línea]. monografías, [fecha de consulta: 12 de marzo del 2011]. Disponible en http://www.monografias.com/traba jos30/movimiento-armonicosimple/movimiento-armonicosimple.shtml
