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Movimiento oscilatorio Se produce cuando una fuerza actúa siempre hacia la posición de equilibrio de un cuerpo y es proporcional al desplazamiento del cuerpo de dicha posición de equilibrio.
Movimiento armónico simple Es un movimiento lineal tal que su función de desplazamiento respecto al punto de equilibrio viene dado por la expresión x=A sen(w 0t+φ0) donde A, w 0 y φ0 son constantes. Representa una oscilación según el eje x entre los puntos – puntos –A A y +A x, elongación, es la separación de la posición de equilibrio, 0 A, amplitud, representa el máximo desplazamiento desde la posición de equilibrio. w0, pulsación o frecuencia angular, está relacionada con la velocidad de oscilación. 2
w0
w0
T es el período, período, tiempo dura una una oscilación completa
T
oscilaciones por segundo. 2f f=1/T es la frecuencia, número de oscilaciones
φ0, fase inicial, ajusta la posición inicial del móvil. w0t+φ0 se denomina fase del movimiento. La velocidad y aceleración son:
v Aw 0 cos( w 0t 0 ) w 0 A 2 x 2
a Aw 20sen( w 0 t 0 ) w 02 x Características:
La velocidad y aceleración varían senoidalmente con el tiempo, pero no están en fase.
La aceleración es proporcional al desplazamiento, pero va en sentido opuesto.
Frecuencia y Período no dependen de la amplitud
Los valores máximos de la velocidad son ±Aw y se dan en el punto de equilibrio
Los valores mínimos (nulos) de la velocidad se dan en los extremos del recorrido
Los valores máximos de aceleración son ±Aw y se dan en los extremos
El valor mínimo de la aceleración (cero) se da en el centro.
2
Movimientos que se consideran armónicos simples 1.- El oscilador armónico: Un objeto sujeto por un muelle oscilando de forma horizontal. 2
F=-kx=-mw x T
2
m
k
f
1
k
2
m
Energía
Ep
U
Ec
K
E Ep
1 2 1 2
kx 2
mv 2
Ec
1
kA 2sen2 ( w 0 t 0 )
2 1
2
mw 2 A 2 cos 2 ( w 0 t 0 )
1 2
kA 2
1 2
kx 2
1 2 kA 2
2.- El péndulo simple: Está formado por una masa puntual suspendida de un hilo ideal, inextensible y sin peso. Para oscilaciones pequeñas su movimiento se puede aproximar al armónico simple con el siguiente período y frecuencia.
T 2
L g
[email protected]
f
1
g
2 L
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3.- El péndulo físico: Es un sólido que puede oscilar libremente alrededor de un punto. Como el caso anterior, en oscilaciones pequeñas se aproxima al movimiento armónico simple. El período y frecuencia son:
T 2
I
mgd
f
1
mgd
2
I
I es el momento de inercia respecto a O 4.- El péndulo de torsión: Consiste en un cuerpo rígido sujeto de un alambre amarrado a un soporte fijo. El cuerpo (de momento de inercia I) se hace girar cierto ángulo y el alambre ejerce un momento restaurador proporcional al desplazamiento angular. El período y frecuencia se calculan como sigue: T
2
I
f
1
2
I
κ es la constante de torsión del alambre, I el momento de inercia del cuerpo que realiza la torsión
Relación del movimiento armónico simple y el movimiento circular uniforme. El movimiento armónico simple a lo largo de una recta puede representarse como la proyección de un movimiento circular uniforme a lo largo de un diámetro de un círculo de referencia. El valor de la proyección del punto P sobre el eje x, Q, corresponde a un movimiento de ecuación x=Asen(w0t+φ0), correspondiente al movimiento armónico simple. La pulsación coincide con la velocidad angular del movimiento circular, y el ángulo de f ase inicial marca la posición angular del punto P en el instante inicial.
Oscilaciones amortiguadas Suponemos un cuerpo que se mueve un una recta sometido a una fuerza restauradora, como un cuerpo sujeto por un muelle, y a una fuerza disipativa, que retarda su movimiento. Un tipo común de fuerza retardadora, para movimiento de cuerpos en fluidos, es el caso de una fuerza proporcional a la velocidad del cuerpo. La ecuación de esta fuerza es de la forma: R=-λv siendo λ la constante de amortiguamiento. Suponiendo que la fuerza restauradora es la típica fuerza de un muelle, F=-kx podemos escribir la ecuación de dinámica:
F
x
max kx v max kx
donde w 0
k
dt
2
m
d x dt
2
2
d x dt
2
2
dx dt
2
w0 x 0
se llama coeficiente de amortiguamiento m 2m La solución de la ecuación es complicada. Para fuerzas retardadoras pequeñas, comparadas con la restauradora, o sea para λ pequeña, γ
y
dx
Donde w es la frecuencia angular, que vale:
2
w m 2m k
2
2
w0
2m
2
w0
2
Si λ=0 no existe fuerza retardadora, el movimiento es un m.a.s. normal de pulsación w 0.
La amortiguación disminuye la pulsación y AUMENTA EL PERÍODO
[email protected]
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La amplitud es A A0 e
disminuye exponencialmente con el tiempo.
La relación entre la amplitud n y la n+1 viene dada por la expresión:
A n A n1 En E
A 0e t A 0e
( t T )
cuanto
1
KA
2
2
a
e
T
la
1 2
donde T es el período, T=2π/w
energía
2 2 t KA0 e
del 1 2
oscilador
2 KA0 e m
Y su variación con el tiempo sería
dE dt
como
t
E0 e
E0 e
de donde la pérdida de energía relativa es
t
m
E
proporcional
a
la
amplitud,
podemos
escribir
t
m
m
dE
es
E
m
m
enun perído T dt
E
E
m
T
A medida que λ crece se llega a la situación en que λ=λ c=2mw0, γ=w0, donde no existe m.a.s. y el sistema se frena en tiempo mínimo quedando en la posición de equilibrio. El oscilador está críticamente amortiguado . Si λ/2m>w0, γ>w0, se tiene un oscilador sobremortiguado y el sistema no oscila, pero regresa a la posición de equilibrio empleando más tiempo que en el caso anterior.
Índice de calidad Se define como Q
w0 2
w 0m
2
Entonces w
2
w0
2
2
w0
w0
2
4Q
w0
1
1 2
4Q
Si Q →∞ γ=0 y w=w0 no existe amortiguamiento. Oscilador libre Si Q>1/2 γ
w0 sobreamortiguado
Oscilaciones forzadas Una forma de compensar la energía perdida por amortiguamiento es aplicar una fuerza externa que realice un trabajo positivo sobre el sistema, por ejemplo aplicar una fuerza periódica del tipo F=F 0sen(wf t). En este caso la ecuación diferencial para un movimiento donde existe amortiguación, fuerza recuperadora y la fuerza excitadora antes indicada es de la forma: [email protected]
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F ma F0 sen(w f t) kx v ma F0sen(w f t) kx m
dx d2 x m 2 dt dt
F0 d2 x dx d2 x dx 2 kx F sen(w t) 2 w x sen(w f t) 0 f 0 dt 2 dt dt 2 dt m
donde
2m
y w 0
k
m
La solución tiene dos partes:
x Aetsen(wt 0 ) Bsen(w f t ) La primera parte es conocida como término transitorio, que decrece muy rápidamente con el tiempo, y a tiempos grandes prevalece el segundo término, llamado estado estacionario o permanente. En situación permanente: x Bsen(w f t ) la frecuencia es la de la fuerza aplicada wf .
B
F0 / m (w 2f
2 2
w0 ) 4
2
w 2f
arctg
2w f w 20
2
w f
Para ciertos valores de w f la amplitud B es máxima, se habla de que se alcanza la pulsación de resonancia en amplitud, wfmax y vale: w f max
2
w 0 2
2
Un gráfico de B frente a w f y para varios valores de γ muestra:
1.- La ordenada en el origen no depende de γ, es F0/k 2.- B tiende a cero si w f tiende a infinito 3.- Si crece γ la frecuencia de resonancia w fmax decrece 4.- Si no hay amortiguamiento la frecuencia de resonancia coincide con la natural y la amplitud crece hasta infinito.
Otra forma de analizar el efecto de la resonancia es con la curva que representa la potencia media transmitida a un oscilador en función de la frecuencia wf de la fuerza aplicada. Se llaman curvas de resonancia . Para amortiguamientos pequeños (γ pequeño, Q grande) la curva se estrecha en la zona de la frecuencia de resonancia w 0 y se vuelve muy aguda. La curva es más ancha para amortiguamientos grandes (γ grande, Q pequeño). Podemos decir que el índice de calidad Q es una medida de la agudeza
de
la
resonancia.
De
hecho
relativamente pequeños se cumple Q
[email protected]
para
amortiguamientos
w0 w
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