MOVIMIENTO ARMONICO 1.1 MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE (M.A.S) Consideramos un bloque de masa m; suspendido de un resorte de constante K.
En el equilibrio, las fuerzas aplicadas son: el peso mg y la fuerza F ejercida por el resorte, cuya c uya magnitud viene dada por: F = K. siendo la deformación elástica del resorte res orte en posición de equilibrio. equilibrio.
Por lo tanto: mg = K.
Supongamos ahora, que se estira el resorte, llevando el bloque hacia debajo de la posición de equilibrio, un valor A, y luego se abandona a si mismo sin velocidad inicial. Se originara un movimiento oscilatorio arriba y debajo de la posición de equilibrio, desde la posición + A a la posición – posición – A.
Para el estudio del movimiento supongamos al bloque en la posición P en el tiempo t. Sea x la posición del bloque, medida desde la posición de equilibrio 0 (tomando hacia abajo como sentido positivo).
Ya hemos dicho que las fuerzas aplicadas son el peso mg y la fuerza F ejercida por el resorte en esta posición; cuya magnitud será: F = K ( + x). De aquí que la resultante de ambas fuerzas vendrá dada dada por:
F = mg – K ( + x + x ) = mg – K. – K – K . x
Pero:
mg = K .
; entonces:
F = = – K. . x
Que nos dice que la resultante de las fuerzas aplicadas al bloque, es proporcional a la posición posic ión x medida a partir de la posición posic ión de equilibrio equilibrio 0. Y el signo menos nos indica que siempre siem pre está dirigido dirigido hacia equilibrio.
la posición de
Este tipo de movimiento bajo la acción de una fuerza recuperadora elástica ( F = - K . x ) y en en ausencia ausencia de todo razonamiento se denomina Movimiento Armonico Armonico Simple.
1.2 DINAMICA DINAMICA DEL MOVIMIENT M OVIMIENTO O ARMO ARMONICO NICO SIMPLE Teniendo en cuenta la ecuación fundamental del movimiento
Se obtiene:
F = m y que:
La ecuación obtenida es la ecuación es la diferencial del movimiento armónico simple. La forma de resolver este tipo de ecuación diferencial es la siguiente: nos damos la solución de antemano y luego la reemplazamos en la ecuación. Verificando si cumple. Ahora Ahora bien; bien; como saber la solución de antemano. antemano. Si observamos observamos la ecuación diferencial.
Nos damos cuenta que tenemos que buscar una solución de x en función del tiempo t, tal que su segunda derivada respecto del tiempo sea igual a la misma función x con signo cambiando y multiplicanda por una constante. .
Sabemos que una función seno o coseno cumplen con esta condición. Por ejemplo, ensayemos una solución seno:
La segunda derivada de x respecto del tiempo t, es igual a la función misma x con signo cambiado; y no es afectada si la multiplicamos por una constante. Vemos que cumple, lo mismo pasa con una solución, coseno:
Es decir, podemos escoger una solución seno o coseno o una combinación de ambas. Nosotros escogeremos una solución seno de la forma más general.
Con 3 constantes A, y
desconocidas.
Verifiquemos esta solución:
Reemplazando en la ecuación ec uación diferencial del M.A.S M.A.S x
-
Si hacemos de una las
Constantes. .
=-
A sen (
)
,la ecuación se cumple cum ple y a la vez tenemos el valor
Por lo tanto:
x = A sen ( t + ) Es la solución de la ecuación diferencial del M.A.S.
La cantidad ( t + α ) se denomina la fase del movimiento y por ello inicial.; esto es, su valor cuando t = 0.
α a
es la fase
Como la función seno varía entre -1 y + 1 la posición x varía entre x = - Ay x = + A. El desplazamiento máximo "A" a partir de la posición de equilibrio se define como la amplitud del Movimiento Armónico Simple. La función seno se repite cada vez que el ángulo aumenta en 2π; por consiguiente, la posición de la partícula se repite después de un intervalo de tiempo 2π/ .
* +
X =
X =
Luego: El movimiento armónico simple es un movimiento periódico y cuyo periodo está dado por: τ=
La frecuencia F de un movimiento armónico simple es igual al número de oscilaciones completas por unidad de tiempo; entendiéndose por oscilación, el movimiento de ida y vuelta hasta volver al punto de partida.
ƒ 1
Así:
La cantidad se denomina frecuencia angular de la partícula oscilante y está relacionada con la frecuencia por una relación similar a la del movimiento circular. =
τ
=
=
ƒ =
1.3 RELACIÓN ENTRE LA POSICIÓN, LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN EN EL M.A.S. En el movimiento armónico simple, la posición x medida a partir de la posición de equilibrio, está dada por:
x = A sen ( t +
).
… (1)
Las expresiones de la velocidad y de la aceleración en función del tiempo, se obtiene ahora por derivación:
... (2) … (3)
La ecuación (3) indica, que en el movimiento armónico simple la aceleración es siempre proporcional y opuesta a la posición x.
De la ecuación (2) se puede deducir que la velocidad máxima sucede cuando cos ( t + α ) = ± 1.
Si
= ± A
cos (
t + α )
=±1
;
sen (
t + α )=
= 0
Reemplazando en la ecuación (1) se obtiene: x = 0
"La velocidad máxima sucede en la posición de equilibrio". De la ecuación (3):
a=-
La aceleración máxima se obtiene cuando
x = ± A
= ( ) “La aceleración máxima sucede en los extremos de la trayectoria”.
Graficas de la posición, de la velocidad, y de la aceleración en función del tiempo en el M.AS.
1.4 CONSIDERACIONES DE ENERGÍA EN EL M.A.S. Hemos visto que cuando una partícula ejecuta un movimiento armónico simple, la fuerza resultante que actúa sobre la partícula es proporcional a la posición medida a partir de la posición de equilibrio F = - K. x
∫ ∫
Aplicando la ecuación fundamental F = m .a y teniendo en cuenta que:
Obtenemos
Integrando:
El primer término es la energía cinética potencial elástica .
de la partícula, y el segundo, la energía
Por lo tanto, la ecuación establece que la suma de la energía cinética más la energía potencial del sistema es constante, y que la constante de integración es igual a la energía total E. + = E
Dibujemos en un diagrama posición versus energía, la curva de la energía potencial: que nos resulte una K ;
1 parábola.
En el mismo diagrama podemos dibujar la energía total, que como es constante es igual a una recta paralela al eje horizontal y a una altura E.
El movimiento de una partícula queda restringido a los valores de x, determinados por la intersección de la curva de la energía potencial, con recta de la energía total. Ya que si x, estuviera fuera de este intervalo la energía potencial excedería a la energía total, lo cual es imposible. Para una posición x cualesquiera, la longitud del segmento comprendido entre el eje X y la parábola representa la energía potencial elástica de la partícula; y la longitud del segmento comprendido entre la parábola y la recta horizontal de altura E, corresponde a la energía cinética. Por lo tanto: En los puntos extremos toda la energía es potencial, mientras que en el centro toda la energía es cinética. Por consiguiente, la partícula tiene su máxima velocidad en el centro.
± ±
En los extremos de la trayectoria, la posición tiene su máximo valor.
1.5 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL M.A.S.
⃗
La posición de una partícula que se mueve con movimiento armónico simple, puede también considerarse como la componente horizontal de un vector 0 , con 10 ' 1 = A, que rota alrededor de 0 en sentido contrario a las agujas del reloj, con velocidad angular y formando un ángulo ( t + α) con el eje negativo de las 'Y, medido también en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj.
⃗
'
⃗
x = 0P = I
´I sen ( t + α )
x = 0P = A sen ( t + α ) La velocidad y la aceleración de la partícula puede también representarse por los vectores rotantes ´y 0 ´cuyas longitudes son . A y respectivamente, y cuyas componentes a lo largo del eje X dan la velocidad .v , y la aceleración a, de la partícula que se mueve con M.A.S.
⃗ ⃗
⁄ ⃗ ⃗
Puede notarse que 0 ´esta adelantado , y 0 ´esta adelantado π, ambos con respecto al vector rotante 0
⃗⃗ | |⃗⃗| |
1.6 APLICACIONES DEL M.A.S. PÉNDULO SIMPLE:
Se define como una partícula de masa m suspendida en un punto, por medio de una cuerda inextensible de longitud L y de masa despreciable.
Cuando se separa a un lado de la posición de equilibrio y se suelta, el péndulo oscila en un plano vertical bajo la influencia de la gravedad.
En el tiempo t , la cuerda forma un ángulo Ө con la vertical; y el sistema de fuerzas aplicadas lo constituyen: el peso propio mg, y la tensión T de la cuerda, tal como se muestra en el diagrama de cuerpo libre. Estudiando el movimiento en la dirección tangente, la sumatoria de fuerzas en esa dirección está dada por:
= - mg .sen Ө (Sentido positivo hacia la derecha)
Aplicando la segunda ley de Newton y teniendo en cuenta que:
= m .
=L
;
- mg .sen Ө = m .L
= - sen Ө
Si comparamos esta ecuación con la ecuación diferencial del M.A.S.
() = -
x
;
en donde
Deducimos, que el movimiento del péndulo simple no es un movimiento armónico simple.
Sin embargo, si el ángulo es pequeño, sen es casi igual a que resulta.
Ө
= -[
⦌
Ө
;
en donde
en radianes, con lo
Y por consiguiente la ecuación es en todo análoga a la ecuación diferencial del M.A.S., lo cual nos indica que el movimiento de un péndulo simple, es un movimiento armónico simple para pequeñas oscilaciones. El período viene dado por: =
=
Así mismo, la solución de la ecuación diferencial del péndulo simple será:
En donde
Ө = Ө sen ( + α ) es la amplitud (angular) del movimiento
PÉNDULO FÍSICO Es todo cuerpo rígido que puede oscilar libremente alrededor de un eje horizontal bajo la acción de la gravedad.
Cuando se separa a un lado de la posición de equilibrio y se suelta, el péndulo físico oscila en un plano vertical. En el tiempo T, la recta que une 0 con el centro de gravedad forma el ángulo la vertical.
con
El peso del cuerpo origina un momento recuperador alrededor del eje horizontal que pasa por 0, y está dado por: M = - (mg .sen ) h
(Sentido positivo, el contrario al movimiento de las agujas del reloj)
Siendo h la distancia del eje al centro de gravedad del cuerpo.
Teniendo en cuenta que: M = I .
I = momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de giro.
=
Ө
; aceleracion angular
Reemplazando obtenemos: I.
= - (m . Sen Ө ) h =
sen Ө
En general, no se puede considerar que el movimiento sea armónico simple, sin embargo para pequeñas oscilaciones sen Ө = Ө. Con lo que resulta:
ℎ ℎ
Y la ecuación es análoga a la del M.A.S.
El período del péndulo físico será:
ℎ
Y la solución de la ecuación diferencial del péndulo físico será:
En donde
es la amplitud angular.
0
1.7 MOVIMIENTO ARMÓNICO AMORTIGUADO En el estudio anterior del movimiento armónico simple no se tomó en cuenta el efecto del rozamiento, y las ecuaciones deducidas indicaron que el movimiento debía continuar indefinidamente con la misma amplitud. En la práctica, un bloque suspendido de un resorte no oscila indefinidamente, sino que a consecuencia del rozamiento su amplitud ya disminuyendo gradualmente, llegando a detenerse finalmente el movimiento. A este tipo de movimiento se le conoce como Movimiento Armónico Amortiguado.
El efecto del rozamiento o de la resistencia que opone el medio puede considerarse proporcional a la velocidad del cuerpo que se mueve y dirigida en sentido contrario: F’ = La fuerza total actuante sobre la partícula será:
Pero
mg =K .
entonces
Aplicando la segunda Ley de Newton:
Realizando las sustituciones:
Se obtiene:
-k . x m.
Dividiendo todos los términos de la ecuación por la masa m. x = 0
Si hacemos
donde
viene a ser el valor de la frecuencia
angular sin amortiguamiento. Se obtiene:
Para resolver esta ecuación diferencial haremos un cambio de variable, consideraremos la variable z en lugar de la Variable x; tal que x = Hallando la primera y segunda derivada de x respecto a t.
z
Y reemplazando la ecuación diferencial se obtiene:
Si se hace
se obtiene:
=
La ecuación coincide con la ecuación diferencial del movimiento armónico simple, cuya solución conocemos. Por consiguiente:
z varía periódicamente y cuyo período es: Poniendo en lugar de
su valor:
4
La solución del movimiento armónico amortiguado se obtiene haciendo un nuevo cambio de variable; la variable x en lugar de la variable z.
Z = A sen ( x=
Y: Se obtiene:
La amplitud de las oscilaciones no es constante y está dada por A
Debido al exponente negativo, la amplitud decrece a medida que el tiempo aumenta, resultando un movimiento amortiguado.
1.8 MOVIMIENTO ARMÓNICO FORZADO Estudiemos ahora el movimiento de una partícula de masa m suspendida de un resorte; tomaremos en cuenta el efecto del rozamiento y además consideraremos que sobre la partícula actúa una fuerza periódica complementaria. Supongamos que esta fuerza complementaria F" varía con el tiempo según la Ley del seno o del coseno.
Dicha fuerza varía periódicamente con un período máxima
.
, y con una amplitud
Por consiguiente, la fuerza total actuante sobre la partícula es:
Aplicando (a segunda ley de Newton:
Realizando las sustituciones
Obtenemos:
=
Dividiendo todos los términos de la ecuación por la masa m
Si hacemos
donde
viene a ser el valor de la frecuencia
angular sin amortiguamiento. Se obtiene:
Es lógico suponer que la partícula no oscilará con su frecuencia angular sin amortiguamiento ni con la frecuencia angular amortiguada en su lugar la partícula será forzada a oscilar con la frecuencia angular de ¡a fuerza aplicada, .
Por consiguiente, supondremos como posible solución de la ecuación, una expresión de la forma: X= A sen ( Verifiquemos si cumple:
() [ ] [] [ ] [ ] [ ] Hallando la primera y segunda derivada de x respecto a t:
Y reemplazando en la ecuación diferencial se obtiene:
Desarrollando las funciones trigonométricas:
] ( ) [–( ) ⦌ Sen
Para que esta ecuación se cumpla es necesario igualar los términos de ambos miembros. Por lo tanto, obtenemos:
– ( – ) – ( )
…(1)
…(2)
De la ecuación (1) se obtiene:
– [( – ) ]
Elevando al cuadrado las ecuaciones (1) y (2) y sumándolas obtenemos:
De donde: A=
– 4
La amplitud de las oscilaciones forzadas A, tiene un valor máximo cuando el denominador sea mínimo, y para obtener un mínimo igualamos a cero la derivada de dicho denominador.
[ – ] – ( )
Este máximo da lugar al llamado fenómeno de la resonancia. La frecuencia de resonancia:
y la amplitud máxima: :
Cuando la frecuencia
=
de la fuerza aplicada es igual a
se dice
que hay resonancia en la amplitud. Cuanto menor es el amortiguamiento más pronunciada es la resonancia, y cuando es cero, la amplitud de resonancia es infinita y ocurre para
PROBLEMA N° 1: Supóngase que tenemos un bloque de masa desconocida y un resorte de constante de rigidez desconocida. Explique cómo puede predecirse el período de oscilación de ese sistema bloque resorte midiendo simplemente la deformación que sufre el resorte, al colgar de él. el bloque.
Solución:
Dibujemos el diagrama de cuerpo libre del bloque.
Sobre el bloque actúan, el peso propio del bloque mg, y la tensión T del resorte debido al alargamiento . T=k
El bloque está en equilibrio, por lo tanto: T = mg
k
El período está dado por:
PROBLEMA N° 2: Un cuerpo demasa 100 g pende de un largo resorte .helicoidal. Cuando se tira de él 10 cm por debajo de su posición de equilibrio y se abandona a sí mismo, oscila con un período de 2 segundos. a) ¿Cuál es su velocidad al pasar por la posición de equilibrio? b) ¿Cuál es su aceleración cuando se encuentra 5 cm por encima de su posición de equilibrio? c) Si se está moviendo hacia arriba. ¿Cuánto tiempo tarda en desplazarse desde un punto situado 5 cm por debajo de su posición de equilibrio a otro situado 5 cm por encima de ella?
Solución: La ecuación que describe el movimiento está dada por:
…. (1)
Como se tira del resorte 10 cm y luego se suelta, el bloque oscilará de la posición + 10 cm a la posición -10 cm, medidas a partir de la posición de equilibrio. Por lo tanto; la amplitud será: A = 10 cm
La constante miento. Cuando:
podemos hallarla a partir de las condiciones iniciales del movi-
t=0
x = +10 cm
Reemplazando estos valores en la ecuación (1) obtenemos: 10 = 10 sen (
Entonces:
sen
a) la velocidad del bloque al pasar por la posición de equilibrio será máxima y está dada por:
b)
Necesitamos conocer ( posición x = - 5 cm.
… (1) … (2) … (3)
) para la
Utilizando la ecuación (1) obtenemos:
-5 = 10
Reemplazando en (3):
1
c) Primero calcularemos el tiempo que el bloque emplea en ir de la posición A a la posición B. X = 10 cos En B
x = +5
1 1
5= 10 cos
; cos
=
t=
Ahora calcularemos el tiempo empleado de A aC En C
x = -5
1 1 1 1 X = 10 cos
cos
=- ;
Tenemos :
De donde:
; -5 = 10 cos
s
NOTA: Los valores de X, son medidos a partir de la posición de equilibrio, mientras que el tiempo t es medido a partir de la posición A.
PROBLEMA N° 3: El bloque de la figura oscila con una amplitud de 5 cm, en el instante que pasa por su posición de equilibrio, se deja caer verticalmente sobre el bloque, una masa de barro de 100 g que queda pegada a él.
Hállense los nuevos valores del .período y de la amplitud. m = 100 g
K = 4 000 din/cm
SOLUCION: En el choque, la cantidad de movimiento en la dirección x se conserva. El bloque en la posición de equilibrio posee velocidad máxima.
Cantidad de movimiento antes del
= Cantidad de movimiento después del
Choque
Choque
+
=
v
100 (0) + 100 (31,6) = (100+ 100) v
V= 15,8 cm/s (velocidad después del choque) Esta velocidad también será máxima para el movimiento de los nuevos sistemas (bloque y masa juntos) puesto que nos encontramos en la posición de equilibrio.
4 44 1 44 = 15,8 cm/s =
El periodo será:
Y la nueva amplitud : A=
PROBLEMA N° 4: El collar A de 4 kg de la figura se apoya, pero sin unirse sobre un resorte, y está animado de un movimiento vibratorio armónico simple de 5 cm de amplitud.
: Calcular a) El valor máximo de la constante del resorte. b) La frecuencia c orrespondiente del movimiento.
Solución: Como el movimiento es armónico simple, esto quiere decir, que el collar A siempre está en contacto con el resorte (si el collar se suelta, estaría sujeto simplemente a la acción de su peso propio, el cual no es una fuerza recuperadora elástica y por lo tanto no origina un M.A.S.) De donde: El valor máximo de la constante del resorte se obtiene cuando el bloque está justamente por soltarse del resorte, es decir cuando el resorte está apenas en contacto con el bloque, sin ejercer ninguna fuerza sobre él.
El bloque estará sujeto en ese instante a la acción de la gravedad y ésa será su aceleración máxima (una aceleración mayor origina que el collar se suelte completamente).
a)
4
b)
1
4 1 4 PROBLEMA
5: Despreciando el N° rozamiento del fluido, determinar la frecuencia de oscilación del líquido en el manómetro en U representado en la figura. Mostrar cómo dicha frecuencia es independiente de la densidad del líquido y de la amplitud de la oscilación.
Solución: Observarnos que la fuerza sin equilibrar que tiende a restaurar el equilibrio, es el peso de la columna de líquido de altura 2x p = densidad del líquido El peso será: (volumen) (peso específico) :(A.2x) (pg)
Siendo A área de la sección recta del manómetro. Aplicando la segunda ley de Newton tenemos: F = m. a
F = -2 A pgx
fuerza
F= m.
es opuesta a la elongación medida de la
El signo negativo se debe a que la …. (1)
Posición del equilibrio.
"La elongación de la columna de líquido es hacia arriba y la fuerza restauradora del equilibrio está dirigida hacia abajo"
m = masa de todo el líquido en movimiento m = (densidad ) (volumen) m = p ( A . L ) Reemplazando en (1): -2A pgx = pAL
es la ecuación diferencial de un M.A.S.
en donde:
PROBLEMA N° 6: Una pequeña masa m, unida a un hilo tenso, descansa sobre una superficie horizontal pulida.
Sea T la tensión soportada por dicho hilo. ¿Calcular el período y la frecuencia para las pequeñas oscilaciones de la masa en dirección perpendicular al hilo?
Solución: Démosle al bloque un pequeño desplazamiento x en dirección perpendicular al hilo, y observémosle desde arriba.
El movimiento del bloque será en la dirección x.
F=m.a=m
-(T sen
= m .
sen
Por lo tanto: la fuerza que origina el movimiento será la suma de las componentes en esa dirección de las tensiones del hilo.
F = -(T sen
El signo negativo se debe a que la fuerza está dirigida en sentido opuesto a la elongación medida a partir de la en posición de equilibrio.
Para pequeñas oscilaciones, podemos hacer la siguiente simplificación:
entonces:
1 1 * + 1 1
que es la ecuación diferencial de un M.A.S en donde:
el período será:
y la frecuencia
1
PROBLEMA N° 7: Entre dos guías verticales puede desplazarse un bloque de 50 kg\ se separa 5 cm de su posición de equilibrio y se abandona luego a si mismo. ' Hallar el período de vibración y la velocidad máxima alcanzada por el bloque en los dos esquemas representados en la figura.
1
= 4 kg/cm
= 6 kg/cm
Solución: Nótese que el sistema en los dos esquemas, consiste de dos resortes y un bloque, y en nuestro estudio se ha limitado a un sistema de un resorte y un bloque. Por lo tanto; será necesario transformar el sistema, a un sistema equivalente de un resorte y un bloque, para aplicar las fórmulas deducidas,
a) Resortes en paralelo.
"Ambos sistemas deben sufrir la misma deformación, al aplicarles la misma fuerza, para q ue sean equivalentes". De los diagramas de cuerpo libre podemos plantear las siguientes ecuaciones de equilibrio.
F= 1
K= constante equivalente
K=
Como la fuerza F para ambos sistemas es la misma, podemos igualar las dos ecuacio nes. "La constante equivalente de resortes colocad os en paralelo, es la suma de las constantes de los resortes componentes" K = 4 + 6 = 10 kg./cm = 1 000 kg/m Período
de
vibración:
14
;
1
Velocidad máxima:
()()
b) Resortes en serie.
X= 1 F= 1
“ La
F=
1
…… (1)
fuerza F se transmite por igual a ambos resortes.
1
1
1
1
Para el sistema equivalente tendremos: Reemplazando en (1):
”
F=Kx
1
"La inve rsa de la constante equivalente de resortes colocados en serie, es la suma de la s inve rsas de la s constantes de los resortes componentes" 1
1 4
1
k= 2,4 kg/cm = 240 kg/m
()
Periodo de vibración: r = Velocidad máxima: PROBLEMA N° 8 : Un
;
4
resorte tiene una constante de rigidez K y u na masa m está colgada de él. El reso rte.secorta a la mitad y la misma masa s e cuelga de una de las., mitades. ¿La fre cuencia de la vibración es igual, antes y después de cortar el resorte? ¿Cómo están relacionadas esas frecuencias?
Solución:
Pod emo s considerar el resorte in icial como dos r esortes colocados en serie, cada uno de ellos de longitud L/2 , y-de constante de rigidez K'. Evidentemente, la constante eq uivalente d e estos dos resortes colocad os en se rie es K.
1
1
1
K'.
La frecuencia de la vibración está dada por:
√ 1
Por lo tanto; no puede ser igual, antes y despu és de cortar el re sorte, p orque la fre cuencia depende de la constante del resorte. La frecuencia para la mitad del resorte será:
-
De donde:
√
1
PROBLEMA N° 9: Una plataforma ejecuta un movimiento armónico simple en dirección vertical con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de
vibraciones Is. Un bloque
se coloca sobre la plataforma en el punto más bajo de su trayectoria. a) ¿En qué punto abandonará el bloque a la plataforma? b) ¿Cuánto se elevará el bloque por encima del punto m ás alto alcanzado por la plataforma?
Solución:
1
vibraciones / s
Supondremos que la masa del bloque es pequeña comparada con la de la plataforma, de tal manera que los valores de la amplitud y frecuencia no se vean afectados.
Primero consideraremos el movimiento ascendente de la plataforma, de A a B. (La aceleración está dirigida hacia arriba).
Sobre el bloque actúan el peso propio y la fuerza que ejerce la plataforma sobre él. Aplicando la segunda ley de Newton: F - mg = m a F = mg + m a
Nótese que la fuerza F siempre tiene un valor positivo, por lo tanto en el movimiento de A a B, la plataforma siempre ejerce una fuerza sobre el bloque; esto quiere decir que permanecen juntos. Ahora consideremos el movimiento ascendente de la plataforma de B a C (la aceleración está dirigida hacia abajo.
Aplicando la segunda ley de Newton: Mg - F = m a F = mg - m a
Si a > g la fuerza F se hace negativa, esto quiere decir que la plataforma Jala al bloque; lo cual no es posible. Por lo tanto: el bloque se suelta de la plataforma. El momento en que se suelta es justamente cuando a = g a) Para hallar el punto en que abandona el bloque a la plataforma, haremos uso de las ecuaciones del movimiento.
4 4 ℎ ℎ x = A sen ( v=
X=-
El signo negativo indica que está por encima de la posición de equilibrio. b) Para saber cuánto se eleva el bloque, calcularemos con que velocidad abandona la plataforma.
Necesitamos conocer
De la ecuación que nos da la elongación X = A sen (
-2,45 = 5 sen ( Cos
Reemplazando valores tenemos:
El movimiento del bloque una vez que abandona la plataforma, corresponde al movimiento de un bloque lanzado al aire con una velocidad inicial. =
(movimiento uniformemente acelerado)
= velocidad final
= velocidad inicial = 87 cm/s gravedad = 980 cm/s 2
= altura
h=
=
= 3,86 cm
H = 3,86 + 2,45 - 5,00 = 1,31cm El bloque se eleva 1,31 cm por encima de la posición más alta alcanzada por la plataforma.
PROBLEMA
N°
10: Sobre
una superficie plana , tangente a la superficie terrestre se coloca una partícula sin velocidad inicial.
a) Demostrar que dicha partícula ejecutará teóricamente, un movimiento armónico simple, con un período de oscilación igual al de un péndulo simple cuya longitud fuera el radio de la tierra.
b) Tomando como radio de la tierra, el valor de 6 400 km. ¿Calcular el período teórico de oscilación?
Solución: a) Nótese que el peso de la partícula está dirigida hacia el centro dé la tierra, y es la única fuerza que actúa sobre la partícula. Podemos descomponer ésta fuerza en dos direcciones, una en dirección tangente a la superficie plana (mg sen ) y otra en dirección perpendicular (mg cos ).
La fuerza que origina el movimiento será la componente tangencial (mg sen ). f =
-mg sen . El signo negativo sé debe a que la fuerza es opuesta a la elongación medida a partir de la posición de equilibrio.
Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos: F = ma De la figura:
Si
R
;
- mg
√ 1
Reemplazando el valor de
Es la ecuación diferencial de un M.A.S. en donde
y el período será: t =
que es igual al de un péndulo simple de longitud R
4 t=
L=R
b) R = 6 400 km = 6 400 000 m
PROBLEMA N° 11: Se suelta una esférilla unida a un hilo inextensible de 1,20 m de longitud. Cuando
= 5° sabiendo que d = 60 cm .
Calcular: a) El tiempo empleado en volver el sistema a su posición inicial A.
b) La amplitud
.
Solución: a) De la figura podemos ver que el movimiento de A a B es el de un péndulo simple de longitud 1,20 m, y el movimiento de B a C es el de un péndulo simple de longitud 0,60 m. Calculemos el tiempo empleado por la esférilla en su movimiento de A-a B, el cual equivale a 1/4 del período del péndulo de longitud 1,20 m.
1 4 14 14 4 14 14 44 T= 2 =
Ahora consideremos el tiempo empleado por la esférilla en su movimiento de B a C, el cual equivale a 1/4 del período del péndulo de longitud 0,60m . T'¨= 2 =
El tiempo empleado para el movimiento de A a C será:
El tiempo total empleado para el movimiento de A a A será:
b) Para hallar la amplitud
C
podemos utilizar la siguiente condición:
El péndulo en el recorrido de A a C pasa por la posición B con una velocidad tangencial ( ), que debe ser la misma al volver a pasar por esa posición, en el recorrido de vuelta de C a A .
Velocidad tangencial = (velocidad angular) (radio) Velocidad angular =
V
(es máxima en la posición de equilibrio). Radio = longitud del péndulo.
Consideremos el recorrido de A a B (péndulo de longitud 1,20 m)'
Ahora consideremos el recorrido de C a B (péndulo de longitud 0,60 m).
Igualando ambas ecuaciones obtenemos:
(
2,86
(0,60)
(5°)(1,20)=
(4,04)
PROBLEMA N°12: Una varilla de longitud L oscila alrededor de un eje horizontal que pasa por uno de sus extremos.
Un cuerpo de masa igual a la de la varilla puede sujetarse a ella, a una distancia d, del eje. a)
Obtener el período del sistema en función de d y L.
b)
¿Hay algún valor de d, para el cual el período sea el mismo como si no hubiera ninguna masa?
Solución:
a) El período del sistema está dado por: t = 2
Donde: I = momento de inercia del sistema m = masa del sistema h = distancia del eje de giro al centro de gravedad del sistema. Primero calcularemos el momento de inercia del sistema.
1 1 =
+
=
=
I=
Ahora calcularemos el centro de gravedad del sistema
ℎ 4
Reemplazando valores obtenemos:
