Momentos de Inercia y Teorema de Ejes Paralelos

MOMENTOS DE INERCIA Y TEOREMA DE EJES PARALELOS RESUMEN: El momento de inercia se trata de una distriuci!n continua de masa" una #rimera a#ro$imaci!n a#ro$imaci!n #ara el c%lculo del momento de inercia consiste en considerar &ue la m%s total es la suma de masas in'nitesimales( El )alor del momento de inercia se otendr% cuando tienda a cero la #orci!n de masa considerada" lo &ue con)ertir% a la su ma en una inte*ral( El teorema de Steiner +denominado en ,onor de Ja-o Steiner. estalece &ue el momento de inercia con res#ecto a cual&uier e/e #aralelo a un e/e &ue #asa #or el centro de masa" es i*ual al momento de inercia con res#ecto al e/e &ue #asa #or el centro de masa m%s el #roducto de la masa #or el cuadrado de la distancia entre los dos e/es( PALA0RAS CLA1E: e/es #aralelos" cuer#os r2*idos" momento de inercia" centro de masa" sumatorias" e/es 3( MOMENTO DE INERCIA El momento de inercia o inercia rotacional +s2molo I. es una medida de la inercia rotacional de un cuer#o( Aun&ue #ara muc,os casos" el momento de inercia #uede ser re#resentado como una ma*nitud escalar" una re#resentaci!n re#resentaci!n m%s a)an4ada #or medio de tensores es necesaria #ara el an%lisis de sistemas m%s com#le/os" como #or e/em#lo en mo)imientos *irosc!#icos( El momento de inercia re5e/a la distriuci!n de masa de un cuer#o o de un sistema de #art2culas en rotaci!n"res#ecto a un e/e de *iro( El momento de inercia s!lo de#ende de la *eometr2a del cuer#o 6 de la #osici!n del e/e de *iro7 #ero no de#ende de las 8uer4as &ue inter)ienen en el mo)imiento( El momento de inercia desem#e9a un #a#el an%lo*o al de la masa inercial en el caso del mo)imiento rectil2neo 6 uni8orme( Es el )alor escalar del momento an*ular lon*itudinal de un s!lido r2*ido( Si un cuer#o r2*ido no #uede re#resentarse con unas cuantas masas #untuales #or&ue es una distriuci!n continua de masa" la su matoria de masas 6 distancias &ue de'ne el momento de inercia se )uel)e una inte*ral( Ima*ine di)idir el cuer#o en elementos de masa #e&ue9os dm de modo &ue todos los #untos deun elemento est;n #r%cticamente a la misma distancia #er#endicular del e/e de rotaci!n( Llamamos a esta distancia r" como antes( El momento de inercia es entonces donde m es la masa del #unto" 6 r es la distancia al e/e de rotaci!n( Dado un sistema de #art2culas 6 un e/e aritrario" se de'ne como la suma de los #roductos de las masas de las #art2culas #or el cuadrado de la distancia r de cada #art2cula a dic,o e/e( Matem%ticamente se e$#resa como: Para un cuer#o de masa continua +Medio continuo." se *enerali4a como: I Para calcular la inte*ral" deemos re#resentar re#resentar r 6 dm en t;rminos de la misma )ariale de inte*raci!n( Si tenemos un o/etoe8ecti)amente unidimensional" como las )arillas de las '*uras a 6 " #odemos usar una coordenada $ a lo lar*o 6 relacionar dm con un incremento d$( Si el o/eto es tridimensional suele

ser m%s 8%cil e$#resar dm en t;rminos de un elemento de )olumen d1 6 la densidad # del cuer#o( La densidad es la masa #or unidad de )olumen" # < dmt d1" as2 &ue #odemos escriir la Ecuaci!n como I Si la densidad del cuer#o es uni8orme" #odemos sacar   de la inte*ral: I Para usar esta ecuaci!n deemos e$#resar d1 en t;rminos de di8erenciales de las )ariales de inte*raci!n" como d1 < d$ d6 d4( Siem#re deemos esco*er d1 de modo &ue todos los #untos dentro de ;l est;n casi a la misma distancia del e/e de rotaci!n( Los l2mites de la inte*ral est%n determinados #or la 8orma 6 las dimensiones del cuer#o( En el caso de cuer#os re*ulares" la inte*raci!n es mu6 8%cil( Pasos #ara calcular el momento de inercia de %reas com#uestas 3( Di)idir el %rea com#uesta en )arias #artes &ue sean sim#les =( Determinar las %reas de las #artes" desi*narlas #or ( >( Determinar las coordenadas del centro de masas de estas #artes con res#ecto a los e/es ? e Y( Y calcular el cdm de toda la '*ura 8ormada #or todas las %reas #arciales anteriores( @( Calcular las distancias de los cdm de cada %rea res#ecto al cdm total de la '*ura( ( Calcular los momentosde inercia de las #artes res#ecto a sus e/es de centro de masas +&ue ser%n #aralelos a $ e 6.( Desi*nar como: Ii"$ e Ii"6" #ara el %rea i ;sima( B( Calcular el momento de inercia de cada #arte res#ecto a los e/es $ e 6 a#licando el teorema del e/e #aralelo" es decir" el teorema de Steiner: 6 ( Calcular los momentos de inercia del %rea com#uesta a #artir de los momentos anteriores: e MOMENTOS DE INERCIA DE DI1ERSOS CUERPOS

Este conce#to desem#e9a en el mo)imiento de rotaci!n un #a#el an%lo*o al de masa inercial en el caso del mo)imiento rectil2neo 6 uni8orme( La masa es la resistencia &ue #resenta un cuer#o a ser acelerado en traslaci!n 6 el Momento de Inercia es la resistencia &ue #resenta un cuer#o a ser acelerado en rotaci!n( As2" #or e/em#lo" la se*unda le6 de Neton: tiene como e&ui)alente #ara la rotaci!n: donde: es el momento a#licado al cuer#o( es el momento de inercia del cuer#o con res#ecto al e/e de rotaci!n 6 es la aceleraci!n an*ular( La ener*2a cin;tica de un cuer#o en mo)imiento con )elocidad ) es

" mientras &ue la ener*2a cin;tica de un cuer#o en rotaci!n con )elocidad an*ular  es " donde I es el momento de inercia con res#ecto al e/e de rotaci!n( La conser)aci!n de la cantidad de mo)imiento o momento lineal tiene #or e&ui)alente la conser)aci!n del momento an*ular: El )ectormomento an*ular" en *eneral" no tiene la misma direcci!n &ue el )ector )elocidad an*ular( Amos )ectores tienen la misma direcci!n si el e/e de *iro es un e/e #rinci#al de inercia( Cuando un e/e es de simetr2a entonces es e/e #rinci#al de inercia 6 entonces un *iro alrededor de ese e/e conduce a un momento an*ular diri*ido tami;n a lo lar*o de ese e/e(  TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS Un cuer#o no tiene un solo momento de inercia( De ,ec,o" tiene un nFmero in'nito" #or&ue el nFmero de e/es sore los &ue #odr2a *irar es in'nito( Sin emar*o" ,a6 una relaci!n sim#le entre el momento de inercia Icm de un cuer#o de masa M alrededor de un e/e &ue #asa #or el centro de masa 6 el momento alrededor de cual&uier otro e/e #aralelo al ori*inal #ero des#la4ado una distancia d( Esta relaci!n" llamada teorema de los e/es #aralelos" dice &ue IP < IcmG Md= +teorema de los e/es #aralelos.( Para demostrarlo" consideramos dos e/es #aralelos al e/e 47 uno #asa #or el centro de masa" el otro #or un #unto P +Hi* .( Primero tomamos una roda/a mu6 del*ada del cuer#o" #aralela al #lano $6" #er#endicular al e/e 4( Tomamos el ori*en de nuestro sistema de coordenadas en el centro de masa del cuer#o7 as2" las coordenadas del centro de masa son < Ycm < cm < O( El e/e #or el centro de masa #asa #or el #unto O" 6 el e/e #aralelo #asa #or P" cu6ascoordenadas $" 6 son +a" .( La distancia entre este e/e 6 el &ue #asa #or el centro de masa es d" donde d= < a= G =( Podemos escriir una e$#resi!n #ara el momento de inercia I# alrededor del e/e &ue #asa #or P( Sea m un elemento de masa de nuestra roda/a" con coordenadas +$i" 6i" 4i.( El momento de inercia Icm de la roda/a alrededor del e/e &ue #asa #or O es Icm <imi +$i=G 6i=.( El momento de inercia de la roda/a alrededor del e/e &ue #asa #or P es I#<imi K +$i  a.=G +6i  .= El elemento de masa tiene coordenadas +$i" 6i. res#ecto a un e/e de rotaci!n &ue #asa #or el centro de masa 6 es #er#endicular al #lano de la '*ura( El elemento de masa tiene las coordenadas +$i  a" 6i  . res#ecto al e/e #aralelo &ue #asa #or el #unto P En estas e$#resiones no inter)ienen las coordenadas 4 medidas #er#endicularmente a las roda/as" as2 &ue #odemos e$tender las sumatorias #ara incluir todas las #art2culas de todas las roda/as( E$#andiendo los cuadrados 6 rea*ru#ando" I#< imi +$i=G 6i=.(=a imi$i  = imi6i +a=G=. imi La #rimera sumatoria es Icm( Por la de'nici!n de centro de masa" la se*unda 6

tercera sumatorias son #ro#orcionales a $cm" 6cm" &ue son  #or&ue tomamos el ori*en en el centro de masa( El t;rmino 'nal es a multi#licada #or la masa total" o sea" Md=( Queda demostrado &ue I# < Icm G Md=(