MOMENTOS DE INERCIA PARA AREAS El momento de inercia de un área se origina siempre que relacionamos el esfuerzo normal, o fuerza por unidad de área, que actúa sobre la sección transversal de una viga elástica, con el momento M aplicado externo, el cual causa flexión de la viga.
FIGURA 1. Se puede mostrar que el esfuerzo dentro de la viga varía linealmente con su distancia desde un eje que pasa por el centroide C del área de la sección transversal transversal de la viga, es decir,
La magnitud de la fuerza que actúa sobre el elemento de área dA, es entonces dF= dA, ó también dF= kz dA F con respecto al Como esta fuerza está localizada una distancia z del eje y , el momento de d F 2 eje y es dM=dFz=kz dA El momento resultante de la distribución total de esfuerzo es igual al momento M; por tanto:
.
Ec.1
Aquí, la integral representa el momento de i nercia del área con respecto al eje y.
MOMENTO DE INERCIA Considere el área A, mostrada en la figura 2, que se encuentra en el plano x-y .
FIGURA2. Por definición, los momentos de inercia del área diferencial plana dA con respecto a los ejes x y 2 2 y son dIx=y dA y dIy=x dA, respectivamente. Los momentos de inercia son determinados por integración para toda área; es decir:
Ec.2 Ec.3
También
podemos formular el segundo momento de dA con respecto al polo O ó eje z. A este se le llama momento de inercia polar y se lo p uede calcular mediante:
Ec.4
Aquí r es la distancia perpendicular desde el polo (eje z) hasta el elemento dA. Las unidades para el momento de inercia implican la longitud elevada a la cuarta potencia.
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS PARA UN ÁREA Si el momento de inercia para un área se conoce con respecto a un eje que pasa a través de su centroide, lo que a menudo es el caso, es conveniente determinar el momento de inercia del área con respecto a un eje paralelo correspondiente usando el teorema de ejes paralelos.
FIGURA 3. Considérese el momento de inercia I de un área A con respecto de un eje AA figura 3. Representado con y la distancia desde un elemento de área dA hasta AA .
Ec.3
Ahora, se dibuja a través del centroide C del área un eje BB que es paralelo a AA , dicho eje recibe el nombre de eje centroidal. Representado con y la distancia desde el elemento dA hasta BB , se escribe y=y+d , donde d es la distancia entre los ejes AA y BB . Sustituyendo y + d en lugar de y en la integral anterior, se escribe:
Ec.4
Ec.5
En donde la primera integral representa el momento de inercia del área con respecto del eje centroidal BB . La segunda integral representa el primer momento con respecto de BB , puesto que el centroide C del área está localizado sobre dicho eje, la segunda integral debe ser igual a cero. Finalmente, se observa que la última integral es igual al área total A. Por tanto se obtiene: Ec.6
E
Propiedades geométricas de líneas y elementos de área
TABLA
1.
RADIO DE GIRO DE UN ÁREA El radio de giro de una área plana tiene unidades de longitud y es una cantidad usada a menudo en mecánica estructural para el diseño de columnas. Si se conocen las áreas y los momentos de inercia, los radios de giro son determinados a partir de formulas
Ec.7
MOMENTOS DE INERCIA PARA UN ÁREA POR INTEGRACIÓN Cuando las fronteras de un área plana son expresadas mediante funciones matemáticas, las ecuaciones 2 y 3 pueden ser integradas para determinar los momentos de inercia para el área. Si el elemento de área elegido para la integración tiene un tamaño diferencial en dos direcciones como se muestra en la figura 2, debe efectuarse una integración doble para evaluar el momento de inercia. Sin embargo, a menudo es más fácil efectuar una integración simple eligiendo un elemento que tenga un tamaño diferencial o espesor en solo una dirección.
MOMENTO DE INERCIA PARA ÁREAS COMPUESTAS Un área compuesta consiste en una serie de partes o formas más simples conectadas, tales como semicírculos, rectángulos y triángulos. Si el momento de inercia de cada una de esas partes se conoce o puede ser determinado con respecto a un eje común, entonces el momento de inercia del área compuesta es i gual a la suma algebraica de los momentos de inercia de todas sus partes.
Procedimiento de Análisis y
y
y
y
El momento de inercia de un área compuesta con respecto a un eje de referencia puede ser determinado usando el siguiente procedimiento. Usando un croquis, dividir el área en sus partes componentes e indique la distancia perpendicular desde el centroide de cada parte hasta el eje de referencia. El momento de inercia de cada parte debe ser determinado con respecto a su eje centroidal, que es paralelo al eje de referencia. Para efectuar el cálculo usar la tabla 1. El momento de inercia de toda el área con respecto al eje de referencia es determinado sumando los resultados de sus p artes componentes.
BIBLIOGRAFÍA
HIBBELER, Russel. Mecánica Vectorial Para Ingenieros - Estática. Décima Edición. BEER, Ferdinand, JOHNSTON Russell. Mecánica Vectorial Para Ingenieros Estática. Sexta Edición.
