Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo Ingeniería Civil
Momento de Inercia
MOMENTOS DE INERCI PR E!ES GIRDOS " MOMENTOS PR E!ES PRINCIP#ES DE $RES SIMP#ES " COMPUESTS
Contenido
INTRODUCCIÓN................ INTRODUCCIÓN.......................... ..................... ..................... ..................... ..................... .................................... .......................... 1 MOMENTO DE SEGUNDO ORDEN....................... ORDEN................................. ....................................... .................................. .....2 2 MOMENTOS DE SEGUNDO ORDEN PARA EJE GIRADOS...........................................2 SEGUNDO MOMENTO DE INERCIA PARA PARA EJES PRINCIPALES.............................. PRINCIPALES.................................... .......5 .5
EJERCICIOS......... EJERCICIOS................... ..................... ..................... ..................... ...................... ..................... ....................................... ............................. 8 CONCLUSIONES....... CONCLUSIONES.................. ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ................................ ...................... 29 BIBLIOGRA!A.......... BIBLIOGRA!A..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ................................ ...................... "#
Contenido
INTRODUCCIÓN................ INTRODUCCIÓN.......................... ..................... ..................... ..................... ..................... .................................... .......................... 1 MOMENTO DE SEGUNDO ORDEN....................... ORDEN................................. ....................................... .................................. .....2 2 MOMENTOS DE SEGUNDO ORDEN PARA EJE GIRADOS...........................................2 SEGUNDO MOMENTO DE INERCIA PARA PARA EJES PRINCIPALES.............................. PRINCIPALES.................................... .......5 .5
EJERCICIOS......... EJERCICIOS................... ..................... ..................... ..................... ...................... ..................... ....................................... ............................. 8 CONCLUSIONES....... CONCLUSIONES.................. ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ................................ ...................... 29 BIBLIOGRA!A.......... BIBLIOGRA!A..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ..................... ................................ ...................... "#
Universidad Nacional Pedro Ruiz Gallo Ingeniería Civil
Momento de Inercia
INTRODUCCI%N L$ ine%&i$ e' ($ )%o)ied$d de ($ *$te%i$ +,e -$&e +,e ' 'tt$ %e' e'i' i't$ t$ $ &,$( &,$(+ +,ie% ,ie% &$* $*/i /io o en ', *o0i*iento $ 'e$ de di%e&&i3n o de 0e(o&id$d. E't$ )%o)ied$d 'e de'&%i/e &on )%e&i'i3n en ($ )%i*e% i*e%$ $ (e (e de( de( *o0i* o0i*ie ient nto o de( de( &ien &ient4 t4 &o /%it6ni&o I'$$& Ne7ton +,e di&e (o 'i,iente ,n o/:eto en %e)o'o tiende $ )e%*$ne&e% en %e)o'o ,n o/:eto en *o0i*iento tiende $ &ontin,$% *o0indo'e en (4ne$ %e&t$ $ no 'e% +,e $&t;e 'o/%e e((o' ,n$ <,e%=$ e>te%n$. E( *o*ento de ine%&i$ o ine%&i$ %ot$&ion$( e' ,n$ *edid$ de ($ ine%&i$ %ot$&ion$( de ,n &,e%)o. M6' &on&%et$*ente e( *o*ento de ine%&i$ e' ,n$ *$nit,d e'&$($% +,e %e?e:$ ($ di't%i/,&i3n de *$'$' de ,n &,e%)o o ,n 'i'te*$ de )$%t4&,($' en %ot$&i3n %e')e&to $( e:e de i%o. E( *o*ento de ine% ine%&i$ &i$ '3 '3(o (o de)e de)end nde e de ($ eo* eo*et et%4 %4$ $ de( de( &,e%)o de ($ )o'i&i3n de( e:e de i%o@ )e%o no de)ende de ($' <,e%=$' +,e inte%0ienen en e( *o0i*iento. E( *o*ento de ine%&i$ de'e*)e$ ,n )$)e( $n6(oo $( de ($ *$'$ ine%&i$( en e( &$'o de( *o0i*iento %e&ti(4neo ,ni
1
MOMENTO DE SEGUNDO ORDEN E( Mo*ento de Ine%&i$ o Mo*ento de Se,ndo O%den e' ,n$ )%o)ied$d eo*t%i&$ de ($ 'e&&i3n t%$n'0e%'$( de e(e*ento' e't%,&t,%$(e'. 4'i&$*ente e( 'e,ndo *o*ento de ine%&i$ e't6 %e($&ion$do &on ($' ten'ione' dei*$' +,e $)$%e&en )o% ?e>i3n en ,n e(e*ento e't%,&t,%$( )o% t$nto :,nto &on ($' )%o)ied$de' de( *$te%i$( dete%*in$ ($ %e'i'ten&i$ *6>i*$ de ,n e(e*ento e't%,&t,%$( /$:o ?e>i3n.
MOMENTOS DE SEGUNDO ORDEN PR E!E GIRDOS En e( di'eo e't%,&t,%$( *e&6ni&o $ 0e&e' e' ne&e'$%io &$(&,($% (o' *o*ento' e( )%od,&to de ine%&i$ de I u I v e I uv )$%$ ,n 6%e$ &on %e')e&to $ ,n &on:,nto de e:e' in&(in$do' u v &,$ndo 'e &ono&en (o' 0$(o%e' )$%$ θ I x I y e I xy . P$%$ -$&e% e'to ,'$%e*o' e&,$&ione' de t%$n'
u= x cos θ + ysenθ v = y cos θ− xsenθ
Con e't$' e&,$&ione' (o' *o*ento' e( )%od,&to de ine%&i$ de &on %e')e&to $ (o' e:e' u v 'e &on0ie%ten 2
d I u= v 2
2
dA =( ycosθ − xsenθ ) dA 2
d I v =u dA=( xcosθ + ysenθ ) dA d I uv =uvdA =( xcosθ + ysenθ )( ycosθ − xsenθ ) dA
2
A( de'$%%o(($% &$d$ e>)%e'i3n $'4 &o*o tene% )%e'ente +,e I x =∫ y dA I y =∫ x dA I xy=∫ xydA enton&e' 2
2
d I u= y
2
cos
2
2
2
2
θ dA + x sen θ dA −2 xysenθ cos θ dA
2
d I v = y sen θ dA + x 2
2
2
cos
θ dA + 2 xysenθ cos θ dA
2
2
2
d I uv = y senθ cos θ dA − x senθ cos θ dA + xy cos θ dA− xy sen θ dA d I uv = y senθ cos θ dA − x senθ cos θ dA + xydA ( cos θ − sen θ ) 2
2
2
2
Inte%$ndo O/tene*o'
∫ I =sen θ ∫ y
∫ ∫ dA + cos θ∫ x dA + 2 senθ cos θ ∫ xy dA = senθ cos θ ∫ y dA −senθ cos θ∫ x dA + ( cos θ− sen θ ) ∫ xydA 2
2
2
2
2
2
2
2
I u =cos θ y dA + sen θ x dA −2 senθ cos θ xy dA v
d I uv
2
Ree*)($=$ndo o/tene*o'
2
∫
2
I y = x dA
∫
&
2
I x = y dA
2
2
2
2
2
2
∫
I xy = xydA
I u = I x cos θ + I y sen θ −2 I xy senθ cos θ I v = I x sen θ + I y cos θ + 2 I xy senθ cos θ I uv = I x senθ cos θ− I y senθ cos θ + I xy ( cos θ −sen θ ) 2
2
L$' e&,$&ione' ),eden %ed,&i%'e ,'$ndo identid$de' t%iono*t%i&$' +,e 'on ($' 'i,iente' 2
sen 2 θ =2 senθcosθ
1
cos
θ=
1
+ cos 2 θ
2 2
2
sen θ =
2
I u = I x cos θ + I y sen θ −2 I xy senθ cos θ
I u = I x 1
(
1
+ cos2 θ 2
) ( + I y
1
− cos2 θ 2
)−
[
I xy sen 2 θ
]
I u = I x ( 1 + cos2 θ ) + I y ( 1 −cos2 θ ) − I xy sen 2 θ 2 1
I u = [ I x + I y + I x cos2 θ − I y cos 2 θ ] − I xy sen 2 θ 2 1
I u = [ I x + I y +( I x − I y ) cos 2 θ ]− I xy sen 2 θ 2
I x + I y I x − I y + cos2 θ − I xy sen 2 θ I u = 2
2
1
2
2
2
I v = I x sen θ + I y cos θ + 2 I xy senθ cos θ
" I x + I y I x − I y − cos 2 θ + I xy sen 2 θ I v = 2
2
−cos2 θ 2
I v = I x I v = I v = I v =
1 2 1 2 1 2
(
−cos2 θ
1
2
) ( + I y
+ cos2 θ
1
2
)+
I xy sen 2 θ
[ I ( 1− cos 2θ )+ I ( 1 +cos2 θ ) ] + I x
y
xy
[ I + I − I cos2 θ + I cos 2 θ ]+ I x
y
x
y
xy
[ I + I −( I − I )cos2 θ ] + I x
y
x
y
xy
sen 2 θ
sen 2 θ
sen 2 θ
I x + I y I x − I y − I v = cos2 θ + I xy sen 2 θ 2
2
I uv = I x senθ cos θ− I y senθ cos θ + I xy ( cos θ −sen θ )
" I uv = I x
2
(
)− ( ( )+
sen 2 θ
I y
2
I uv = I x − I y
sen 2 θ 2
sen 2 θ 2
2
)+
I xy cos2 θ
I xy cos2 θ
I uv =
I x − I y 2
sen 2 θ + I xy cos 2 θ
Po% (o t$nto ($' e&,$&ione' de (o' *o*ento' e( )%od,&to de ine%&i$ +,ed$n I x + I y I x − I y + I u = cos2 θ − I xy sen 2 θ 2
2
I x + I y I x − I y
I v =
I uv =
2
−
I x − I y 2
2
... cos 2 θ
+ I xy sen 2 θ
sen 2 θ + I xy cos 2 θ
E't$' e>)%e'ione' )e%*iten &$(&,($% (o' *o*ento' de 'e,ndo dA o%den de ($ ',)e%&ie %e')e&to de( 'i'te*$ de e:e' o%toon$(e' u v en <,n&i3n de (o' &o%%e')ondiente' $( 'i'te*$ x . Si 'e ',*$n ($' do' )%i*e%$' e&,$&ione' *o*ento )o($% &on %e')e&to $( e:e z
'e o/'e%0$ +,e e( +,e )$'$ $ t%$0'
de( ),nto O e' inde)endiente de ($ o%ient$&i3n de (o' e:e' u v @e' de&i% J O = I u + I v = I x + I y
SEGUNDO MOMENTO DE INERCI PR E!ES PRINCIP#ES D$do +,e en ($ 'e&&i3n $nte%io% 'e de*o't%3 +,e e( *o*ento de ine%&i$ de ',)e%&ie 0$%4$ &on e( An,(o de( 'i'te*$ de e:e' &oo%den$d$' ($ )%e,nt$ +,e ',%e e' ($ 'i,iente FE>i'te ,n *o*ento de ine%&i$ *6>i*o o *4ni*oH en &$'o de +,e e>i't$ FC3*o ),ede 'e% o/tenidoH L$ %e'),e't$ $( )%i*e% inte%%o$nte e' )o'iti0$ d$d$ ,n$ ',)e%&ie &,$(+,ie%$ e( *o*ento *6>i*o o *4ni*o 'e en&,ent%$ 'o/%e e( )$% de e:e' &on:,$do' o%toon$(e' deno*in$do' e:e' )%in&i)$(e' de ine%&i$. P$%$ &$(&,($% ($ )o'i&i3n de e'to' e:e' )%in&i)$(e' de ine%&i$ e' ne&e'$%io %e&,%%i% )o% e:e*)(o $ ($ e>)%e'i3n de I u +,e )e%*ite &$(&,($% e( 0$(o% de I u en <,n&i3n de θ . E' de&i% ($ <,n&i3n I u =f ( θ) )$'$%6 )o% ,n *6>i*o o *4ni*o &,$ndo d I u dθ
=−2
0
=−2
(
2
(
I x − I y
(
I x − I y 2
I x − I y 2
)
)
)
sen 2 θ −2 I xy cos 2 θ
sen 2 θ −2 I xy cos 2 θ
sen 2 θ =− I xy cos2 θ
− I xy sen 2 θ = cos2 θ I x − I y
(
2
)
Po% (o t$nto en θ=θ p tan 2 θ p
=
(
− I xy I x − I y 2
)
...
L$' do' %$4&e' θ p θ p de e't$ e&,$&i3n e't6n 'e)$%$d$' 9# e')e&i&$n ($ in&(in$&i3n de (o' e:e' )%in&i)$(. E'to ),ede 1
2
5
-$&e%'e *edi$nte (o' t%i6n,(o' de ($ ,%$ in
I x + I y I x − I y + I u = cos2 θ p 1− I xy sen 2 θ p 1 2
2
[ √( ) ] (
)
I x − I y
I max=
I x + I y 2
(
+
)
I x − I y 2
2
2
I x − I y
2
+ I xy
2
I max=
I x + I y 2
(
+
I max=
I x − I y 2
I x + I y 2
)
2
[ √(
2
2
I x − I y
+ I xy
)+ 2
2
I xy
1
I x − I y
− I xy 2
)+ 2
2
I xy
]
)+ 2
2
I xy
1
2
I x − I y
[ √(
+
1
[ √( ] [ √( − I xy
I x − I y 2
)+ 2
2
I xy
] ]
[( ) ] I x − I y 2
2
2
+ I xy
...
√(
θ p I o/tene*o' Si ','tit,i*o' (o' 0$(o%e' de ($ ot%$ I x + I y%$4= I x − y = + + I xy I max 2 2 I x + I y I x − I y + I u = cos2 θ p − I xy sen 2 θ p 2
I min=
)
2
2
2
2
2
I x + I y 2
K
−
√(
I x − I y 2
2
)+ 2
2
I xy
...
En
I x + I y 2
±
√(
I x − I y 2
)+ 2
2
I xy
Se;n e( 'ino +,e 'e e(i:$ e'te %e',(t$do )%o)o%&ion$ e( *o*ento de ine%&i$ *6>i*o o *4ni*o )$%$ e( 6%e$. Ade*6' 'i ($' %e($&ione' t%iono*t%i&$' $nte%io%e' )$%$ θ p θ p 'e ','tit,en en ($ te%&e%$ de ($' e&,$&ione' 1 'e ),ede 0e% +,e I uv = 0 @ e' de&i% el 'roducto de inercia con res'ecto a los e(es 'rinci'ales es cero. Co*o 'e indi&3 en ($ 'e&&i3n de )%od,&to' de ine%&i$ e' &e%o &on %e')e&to $ &,$(+,ie% e:e 'i*t%i&o 'e ine%e +,e cual)uier e(e sim*trico re'resenta un e(e 'rinci'al de inercia 'ara el +rea, 1
2
E!ERCICIOS E!EMP#ODete%*ine (o' *o*ento' de ine%&i$ e( )%od,&to de ine%&i$ de( 6%e$ de ($ 'e&&i3n t%$n'0e%'$( &on %e')e&to $ (o' e:e' , 0.
Desarrollo L$ ,%$ *o't%$d$ e' ,n 6%e$ &o*),e't$ )o% (o +,e ($ 'e&&i3n t%$n'0e%'$( ),ede ',/di0idi%'e en 2 6%e$' %e&t$n,($%e' A B 'e *,e't%$n en ($ ,%$.
Rect+ngulo . I x = I y =
1 12 1 12
3
( 1 ) ( 5 ) =10.42 ¿ 3
(5 ) ( 1 ) = 0.42 ¿
4
4
Rect+ngulo /. I x = I ´ x ´ + A d y = 2
´ y + A d x = I y = I
1 12 1
2
3
12
( 4 ) ( 1 ) +( 4 )( 1 )( 0 )=0.33 ¿ 3
I x =10.42 + 0.33 4
I x =10.75 ¿
3
12
8
4
( 1 ) ( 4 ) +( 4 )( 1 ) (2.5 ) =30.33 ¿
Suma,0 Enton&e' (o' *o*ento' de ine%&i$ )$%$ tod$ ($ 'e&&i3n t%$n'0e%'$( 'on
Teorema de los e(es 'aralelos . S$/e*o' +,e e( *o*ento de ine%&i$ de ,n %e&t6n,(o &on %e')e&to $ ', e:e &ent%oid$( e' 1 I ´ = b h )o% (o t$nto
2
4
I y =0.42 + 30.33
4
I y =30.75 ¿
9
Producto de inercia, 1 De/ido $ ($ 'i*et%4$ e( )%od,&to de &$d$ %e&t6n,(o e' &e%o %e')e&to $ &$d$ &on:,nto de e:e' > +,e )$'$n $ t%$0' de( &ent%oide de &$d$ %e&t6n,(o. Si ,'$*o' e( teo%e*$ de (o' e:e' )$%$(e(o' tene*o'. Rect+ngulo . I xy = I x´´ y ´ + A d x d y =0 + 0=0
Rect+ngulo /. I xy = I x´´ y ´ + A d x d y =0 + 0=0
Po% (o t$nto e( )%od,&to de ine%&i$ de tod$ ($ 'e&&i3n t%$n'0e%'$( e' &e%o I xy = 0
A-o%$ +,e $ 'e -$n dete%*in$do (o' *o*ento' e( )%od,&to de ine%&i$ de ($ 'e&&i3n t%$n'0e%'$( %e')e&to $ (o' e:e' > e
4
I x =10.75 ¿
I xy = 0
4
I y =30.75 ¿
P%o&ede%e*o' $ &$(&,($% (o' *o*ento' e( )%od,&to de ine%&i$ &on %e')e&to $ (o' e:e' in&(in$do' , 0 I x + I y I x − I y + cos2 θ − I xy sen 2 θ I u =
•
I u = I u =
10.75
2
+ 30.75 2
41.5 2
+
10.75
−30.75 2
2
(
cos2 30
)−( 0 ) sen 2 ( 30 )
− 20 cos60 2
4
I u =15.75 ¿
I x + I y I x − I y − I v = cos2 θ + I xy sen 2 θ
•
I v = I v =
10.75
+ 30.75 2
41.5 2
2
+
20 2 4
I v =25.75 ¿
−
10.75
cos 60
−30.75 2
2
(
cos2 30
)−( 0 ) sen 2 ( 30 )
I uv =
•
I uv = I uv =
10.75
−30.75 2
−20 2
I x − I y 2
sen 2 θ + I xy cos 2 θ
sen 2 ( 30)+( 0 )cos 2 ( 30 )
sen 60
I uv =−8.66 ¿
4
Co*o 'e ),ede o/'e%0$% e( )%od,&to de ine%&i$ ),ede 'e% ne$ti0o o )o'iti0o,
E!EMP#O 2 Dete%*in$% ($ di%e&&i3n de (o' e:e' )%in&i)$(e' &on o%ien en e( ),nto O. (o' *o*ento' de ine%&i$ )%in&i)$(e'.
Desarrollo $(($*o' e( *o*ento )o($% &on %e')e&to $( ),nto o
∫
2
I z= J O= r ' dA;dA=
π 2
'
r dr
'
r
∫ r ' ( π 2 r dr ' ) '
2
J O=
0
J O= J O=
π 2
r
∫ r ' d r ' J = 2 O
0
π r
[ ]
π r
3
4
4
4
8
Po% 'i*et%4$ I x I y 'on i,$(e' 'i J O= I x
+ I y ; I x = I y
I x
=
I x
= I y = I y
=
J O 2
πr
4
16
$(($*o' e( )%od,&to de ine%&i$ )$%$ e((o ,'$%e*o' ,n e(e*ento di
~
d I xy=d I x´´ y´ + dA x y
~ ~
d I xy=0 + x dy 2
ydy
2
r
y
2
( ) − =( ) x
d I xy = d I xy
() x
2
y
2
2
ydy
Inte%$ndo@ I xy =
r
1
∫ ( y r − y ) dy 2 2
3
0
I xy = I xy=
I xy=
1 2 1 2
r
[ [
2
y r
2
2
r
4
2
−
− r
4
4
y
4
4
]
]
4
8
Ree*)($=$ndo e( 0$(o% de( %$dio " in o/tene*o' (o' 0$(o%e' de (o' *o*ento' e( )%od,&to de ine%&i$ &on %e')e&to $( e:e > I x = I y =
πr
4
16
= 81 π =15.9 ¿
4
16
4
81 r I xy = = =10.125 ¿
4
8
8
Con ($ e&,$&i3n 2 'e -$(($n (o' 6n,(o' de in&(in$&i3n de (o' e:e' )%in&i)$(e'
tan 2 θ p=
(
− I xy I x − I y 2
)
I x = I y .
Pe%o &o*o
− I xy
tan 2 θ p
=
tan 2 θ p
=∞
0
Enton&e' 2 θ p 1
O
=90
2 θ p 2
=−90
Po% (o t$nto ($' %$4&e' 'on θ p 1= 45 θ p 2=− 45
Lo' *o*ento' de ine%&i$ )%in&i)$(e' &on %e')e&to $ e'to' e:e' 'e dete%*in$n )o% ($ 'i,iente e&,$&i3n I max=
I x + I y
min
2
±
√(
I x − I y 2
)+ 2
2
I xy
Pe%o &o*o I x = I y I max= min
I max= min
I x + I y 2
I x + I y 2
81
I max=
16
I max= min
81 16
2
Po% (o t$nto I max=
81 16
2
81 16
π + 10.125
I max=26.03 ¿
± I xy
π + 2
min
± √ I xy
I min=
π ± 10.125
π ± 10.125
81 16
π −10.125 I min=5.78 ¿
4
4
E!EMP#O 3 Lo&$(i&e e( &ent%oide > de( 6%e$ de ($ 'e&&i3n t%$n'0e%'$( de'),' dete%*ine ($ o%ient$&i3n de (o' e:e' )%in&i)$(e' (o' &,$(e' tienen ', o%ien en e( &ent%oide C de( 6%e$. Ade*6' en&,ent%e (o' *o*ento' de ine%&i$ )%in&i)$(e'.
SO#UCI%N •
U/i&$*o' e( &ent%oide )$%$ e'o -e*o' 0$*o' $ di0idi% e( 6%e$ de ($ 'e&&i3n t%$n'0e%'$( en do' ,%$'
x´ =
∑ x A = ( 0.25 ) (3 )+( 3.25 )( 2.75 ) =1.685 3 + 2.75 ∑ A
y´ =
•
i
i
∑ y A = ( 3 ) ( 3 ) +( 0.25 )( 2.75) =1.685 3 + 2.75 ∑ A i
i
C$(&,($*o' e( *o*ento )%od,&to de ine%&i$ &on %e')e&to $ (o' e:e' > +,e )$'$n )o% e( &ent%oide )$%$ (o &,$( $)(i&$*o' e( Teo%e*$ de (o' E:e' P$%$(e(o'.
A 1 x
A2 x
A 1 y
A 2 y
I x = I + I =
[ [
I y = I + I =
3
( 0.5)( 6 ) 12
2
][ ][
+(1.315 ) ( 3 ) + 3
( 6 )( 0.25 ) 12
2
+( 1.435 ) ( 3 ) +
]
3
( 5.5 )( 0.5 ) 12
2
+ ( 1.435 ) ( 2.75) =19.908 pu!" 3
( 0.5 )( 5.5 ) 12
2
]
+ ( 1.565 ) ( 2.75 ) =19.908 pu!"
I xy = I xy + I xy = [ ( 1.435 ) ( 1.315 ) ( 3 ) ] + [ ( 1.435 ) ( 1.565 ) ( 2.75 ) ] =11.837 pu!" A1
•
A2
4
4
4
Con (o' %e',(t$do' o/tenido' )ode*o' &$(&,($% e( 6n,(o +,e de/e i%$% )$%$ o/tene% (o' *o*ento' *6>i*o' o )%in&i)$(e'. − I xy −11.837 tan 2 θ p= = =∞ I x − I y 19.908 − 19.908
(
)(
2
2
)
= 90 y − 90 θ p= 45 y −45 tan 2 θ p
•
A-o%$ 0$*o' $ &$(&,($% (o' *o*ento' )%in&i)$(e' de ine%&i$ e'to &,$ndo 'e -$ i%$do ,n 6n,(o de 5 )$%$ o/tene% e( I max o 5 )$%$ o/tene% e( I min . I max= min
I x + I y 2
±
√(
I x − I y 2
)+ 2
2
I xy
I max=
I min=
19.908
+ 19.908 2
19.908
E:e*)(o
+19.908 2
√( − ( √ +
19.908
−19.908 2
19.908
−19.908 2
)
2 2
+(−11.837 ) =31.745 pu!"
) + (− 2
11.837
2
) =8.071 pu!"
4
4
So(,&i3n
θ=−29.87 y 60.13
E:e*)(o 5
So(,&i3n
E:e*)(o K Dete%*ine (o' *o*ento )%in&i)$(e' de ine%&i$ )$%$ ($ 'e&&ion t%$n'0e%'$( de ($ 0i$ %e')e&to $ ,n e:e +,e )$'$ )o% e( &ent%oide.
So(,&i3n
E:e*)(o Lo&$(i&e e( &ent%oide¯ de( 6%e$ de ($ 'e&&i3n t%$n'0e%'$( de ($ 0i$ de'),' dete%*ine (o' *o*ento' de ine%&i$ e( )%od,&to de ine%&i$ de e't$ 6%e$ &on %e')e&to $ (o' e:e' .
So(,&i3n
E:e*)(o 8
So(,&i3n
E:e*)(o 9
C$(&,($% (o' *o*ento' )%in&i)$(e' de ine%&i$ de ($ 'e&&i3n &o*),e't$ %e)%e'ent$d$ en ($ ,%$ %e')e&to de ', &ent%oide.
So(,&i3n
E:e*)(o 1# C$(&,($% (o' *o*ento' )%in&i)$(e' de ine%&i$ de ($ 'e&&i3n &o*),e't$ %e)%e'ent$d$ en ($ ,%$ %e')e&to de ', &ent%oide.
So(,&i3n
CONC#USIONES 1. L$ %e'i'ten&i$ de (o' e(e*ento' e't%,&t,%$(e' +,e 'e e*)(e$n en ($ &on't%,&&i3n de edi&io' de)ende en %$n *edid$ de ($' )%o)ied$de' de ',' 'e&&ione' t%$n'0e%'$(e'. E'to in&(,e (o' 'e,ndo' *o*ento' o *o*ento' de ine%&i$ de t$(e' 'e&&ione' t%$n'0e%'$(e'. 2. E( *o*ento de %ot$&i3n o *o*ento de ine%&i$ )o($% de ,n e(e*ento '3(ido de'&%i/e ', %e'i'ten&i$ $ ($ %ot$&i3n. ". Un$ e't%,&t,%$ &on ,n *o*ento de ine%&i$ *6' $(to ),ede %e'i'ti% &$%$' *6' )e'$d$' 'in ',<%i% nin;n d$o. . Un$ 0i$ &on 'e&&i3n en t%e*o' 'e -$ 0$&i$do en e( &ent%o tiene ,n *o*ento de ine%&i$ *$o% en ,n e:e *eno% en e( ot%o )o% t$nto +,e &,e'te *6' Qi%$%Q e'e )e%(. Po% e'o ($' 0i$' tienen e'$
