CENTROIDES Y MOMENTOS DE INERCIA EN AREAS
1. CEN CENTRO TROID IDE E
El peso de un objeto generalmente se representa por el peso total aunque la real realid idad ad sugi sugier eree qu quee de debe be ser ser repr repres esen enta tado do como como un gran gran nú núme mero ro de diferenciales diferenciales de peso distribuidos distribuidos en todo el objeto. Un sistema equivalente equivalente al plante pla ntead adoo consi consiste ste en de dete termi rminar nar el pe peso so total total o resu resulta ltant ntee de tod todos os los los diferenciales de peso donde la ubicación de la resultante es un único punto denominado centro de gravedad. El centro de gravedad es el punto de aplicación en un cuerpo rígido de la resultante de las fuerzas donde los efectos sobre el cuerpo no varían. En el caso de superficies homogéneas, el centro de gravedad se sustitue por el centroide del !rea, el cual considera las !reas de los elementos en vez de los pesos las e"presiones para determinar las coordenadas centroidales son#
A = ʃ dA dA ; xA = ʃ xdA ; yA = ʃ ydA
1.1. CENTROIDES EN AREAS COMPUESTAS
En gran cantidad de casos una superficie cualquiera puede ser subdividida en una serie de figuras comunes $rect!ngulo, triangulo, circunferencia etc..%. Esta forma de an!lisis es útil permite determinar el centroide de cualquier superficie según#
&os centroides el !rea común se obtienen de la aplicación de fórmulas para !reas comunes como los indicados en la tabla del apéndice.
1.2. TEOREMA DE PAPPUS GUIDIN
Una superficie de revolución es aquella que se genera al girar una curva con respecto de un eje, por ejemplo una esfera se puede generar al girar un arco semicircular. 'e manera similar tenemos los cuerpos de revolución que son obtenidos al girar un !rea con respecto de un eje fijo. Teorema I
El !rea de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generadora por la distancia recorrida por el centroide de la curva, al generar la superficie. Teorema II
El volumen de un cuerpo de revolución es igual al !rea generadora por la distancia recorrida por el centroide del !rea al generar el cuerpo.
2. MOMENTOS DE INERCIA
El centroide representa el punto donde se ubica la resultante del peso de un objeto es proporcional a la ubicación del !rea asociada. (dicional al centroide tenemos el momento de inercia que adem!s depende de la distancia que est! el !rea a un eje dado.
El momento de inercia es una propiedad geométrica $similar al !rea% de una superficie o !rea que representa cuanta !rea est! situada que distancia est! con respecto a un eje dado. )e define como la suma de los productos de todas las !reas elementales multiplicadas por el cuadrado de las distancias a un eje. *iene unidades de longitud elevada a la cuatro $ longitud4%. Es importante para el an!lisis de vigas columnas, porque el dise+o del tama+o de estos elementos est! relacionado con el momento de inercia debido a que define la forma apropiada que debe la sección del elemento estructural. $eer -ohnston, /001 'as, 2assimali )ami, ///1 3ar4er (mbrose, //5% 'ada la definición de momento de inercia, esta se e"presa según la Ecuación 6 .
2.1. MOMENTOS DE INERCIA EN FRANJAS DIFERENCIALES
(l desarrollar la ecuación I 7 8 y dA x 9 para una figura rectangular, es según la :igura ; respecto a la base del rect!ngulo, la siguiente#
Esquema de elemento diferencial de inercia.
&a anterior ecuación se desarrolla para un elemento diferencial permite obtener el momento de inercia de un !rea cualquiera al ser integrada.
2.2. MOMENTOS DE INERCIA EN AREAS COMPUESTAS
3ara establecer los momentos de inercia de !reas compuestas, se debe considerar que el momento de inercia varía según el eje que se considere, por ello previamente se define el teorema de ejes paralelos que valora el momento de inercia de una sección con respecto a un eje cualquiera una vez conocido el momento de inercia con respecto al eje centroidal. 'e esta forma se establece el valor de la inercia de un !rea compuesta al relacionar el momento de inercia centroidales de cada !rea simple con respecto al centroide del !rea compuesta.
Esquema del Teorema de los Ejes aralelos
Teorema de los ejes paralelos
Areas compuestas
Un !rea compuesta se puede subdividir en varias !reas comunes cuas e"presiones de momento de inercia sean conocidas, de manera que el momento de inercia del !rea compuesta es igual a la suma de losmomentos de inercia de cada !rea común, siempre cuando cada momento de inercia este referido al mismo eje1 para ello se emplea el teorema de los ejes paralelos.
!i"ura #$. C%lculo de Inercia de %reas com&uestas
En la :igura > se observa un !rea subdividida en tres figuras simples donde para determinar el momento de inercia centroidal $eje horizontal c%, es igual a la suma de los tres momentos de inercia referidos al mismo eje c, por lo tanto previo a la aplicación de la Ecuación es necesario aplicar la Ecuación > para relacionar el momento de inercia centroidales de cada una de las !reas que la componen $ejes xc1, xc2 , xc 6% al eje c. 2.3. CENTROIDES Y MEMENTOS DE INERCIA MAS COMUNES
EJEMPLOS
% 'etermine el momento de inercia para el area rectangular respecto a# $a% el eje " centroidal, $b% el eje "b que pasa a traves de la base del rectangulo, $c% el polo o eje z? perpendicular al plano "?@? plane que pasa por el centroide <.
9%
<% 'etermine el producto de inercia A" del triangulo.
INTRODUCCION
El centroide los momentos de inercia son dos propiedades empleadas para determinar la resistencia deformación de elementos estructurales tales como vigas columnas, a que definen las características geométricas de la forma tama+o de la sección transversal de los elementos estructurales. 3or ello a continuación se establece la definición forma de determinar el centroide los momentos de inercia. 3ara precisar la ubicación del centroide valorar los momentos de inercia primero se definen establecen para !reas simples, luego se indica la forma de calcularse en !reas compuestas adem!s se definen otras propiedades geométricas que son función del centroide los momentos de inercia.
CARRERA: Ing. De minas ASIGNATURA: Resistencia de materiales DOCENTE: Ing. uan Carlos !alde" #oai"a TE$A: Centroides % momentos de inercia en areas A#U$NO: &ellota Gu"man A'el CIC#O: !II TURNO: noc(e
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