CARATULA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE BARRANCA “Año de la Promoción de la Industria Responsable y Compromiso Climático” FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
INTEGRANTES: ASENCIOS CASTILLO, Wilfredo BERNUY COCHACHIN, Ángel Asunción DURAN GABRIEL, Kevin Cristopher FLORES SOTO, Christian Béker ROSARIO ADRIAN, Zozimo Vicente
DOCENTE: ING. LEO AVELINO LA BORDA DUEÑAS TOVAR
ESTATICA Barranca – 2014
INTRODUCCION En el presente trabajo se tratamos de brindar las diferentes definiciones, ejercicios y ejemplos de Momento de inercia de superficies planas, teorema de ejes paralelos, Momento Segundo mixto, Momentos de inercias principales, Circulo de Mohr. Partiendo de que momento de inercia es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso más general posible la inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripción tensorial es necesaria para el análisis de sistemas complejos, como por ejemplo en movimientos giroscópicos. El momento de inercia refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación, respecto a un eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.
INDICE
Contenido CARATULA ..................................................................................................................... 2 INTRODUCCION ...................................................... .................................................... ... 3 INDICE.................................................. ...................................................... .................... 4 MOMENTO DE INERCIA ....................................................... ...................................... 5 MOMENTO DE INERCIA Y SUS PROPIEDADES ........................................................... 8 TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS O TEOREMA DE STEINER .................................. 9 RADIO DE GIRO ................................................... .................................................... . 11 PRODUCTO DE INERCIA ................................................................ ........................... 12 TEORIA DE LOS EJES PARALELOS ............................................................................. 13 Producto de inercia de un rectángulo ................................................... .................. 13 EJES PRINCIPALES Y MOMENTOS PRINCIPALES .................................... .................. 15 Circulo de Mohr .................................................. .................................................... . 16 Circunferencia de Mohr para esfuerzos .............................................................. 16 Esfuerzos principales. ............................................. ............................................. 18 Procedimiento para calcular el círculo de Mohr. ............................................... . 18 EJERCICIOS ........................................................................................................... 20 CONCLUSIONES ......................................................................................... .................. 26 ANEXOS ....................................................................................................................... 27
MOMENTO DE INERCIA
2
En muchos problemas técnicos figura el cálculo de una integral de la forma ∫ y dA,
donde y es la distancia de un elemento de superficie (dA) a un eje contenido en el plano del elemento (ejes x ó Y) o normal a éste (eje Z). Resulta conveniente desarrollar dicha integral para las superficies de formas más corrientes (círculo, rectángulo, triangulo, entre otras) y tabular los resultados a fin de tenerlos a mano. Ejemplo: 1. Una viga de sección transversal uniforme está sometida a dos pares iguales y opuestos que están aplicados en cada uno de los extremos de la viga. Se afirma que la viga bajo estas condiciones está a flexión Pura.
En mecánica de los materiales se demuestra que las fuerzas internas en cualquier sección transversal de la viga son fuerzas distribuidas cuyas magnitudes, ΔF=KyΔA, varían linealmente con la distancia “y” que hay entre el elemento de área ΔA y un eje que pasa a través el centroide de la sección. Nota: El eje que pasan a través del centroide de la sección se llaman Eje Neutro ó Eje centroidal. Las fuerzas en un lado del eje neutro son fuerzas a tracción, mientras que en el otro lado del eje neutro son fuerzas a compresión, lo cual permite decir que la resultante de las fuerzas sobre el eje neutro es cero. En forma general la magnitud de la resultan de las fuerzas ΔF, que actuan en un diferencial de área ΔA, es R.
En este caso R= cero, ya que la cantidad YA=0 define el centroide por el área, el cual se encuentra sobre el eje X. Por lo tanto el sistema de las ΔF se reduce a un par, cuya 2
magnitud M es la suma de los momentos dM=y*ΔF=y *ΔF de las fuerzas elementales.
La integral ∫y2dA define el segundo momento del área o momento de inercia de la sección de la viga con respecto al eje horizontal (x). El segundo momento se obtiene integrando sobre la sección de la viga, el producto del área dA Como cada producto y 2 dA es positivo la integral ∫y2dA será positiva, independientemente del valor y signo de la distancia “y”. r el cuadrado de la distancia “y “existente entre el eje (x) y el diferencial de área.
2. El agua actuando sobre una superficie vertical ABCD produce sobre cada elemento diferencial de área una presión proporcional a la profundidad del elemento P=γy. El momento respecto a el eje AB debido a la fuerza ejercida
sobre el elemento dA es :
El momento total sobre la superficie ABCD, M, es la suma de todos los momentos diferenciales dM.
2
donde la integral ∫ y dA representa la inercia del área “A” respecto al eje AB, se
denota por I ab, siendo el subíndice el nombre del eje sobre el cual se toma el momento. 4
4
El momento de inercia tiene unidades de longitud al cuadrado. Ejemplo: cm ,m 4
,pulg .
MOMENTO DE INERCIA Y SUS PROPIEDADES
El momento de inercia de un área respecto al eje polar, momento polar de inercia Jo, es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a dos ejes perpendiculares entre sí, contenidos en el plano del área y que se intercepta en el eje polar. El momento polar de inercia es de gran importancia en los problemas relacionados con la torsión de barras cilíndricas y en los problemas relacionados con la rotación de placas.
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS O TEOREMA DE STEINER
La integral eje C.
, representa el primer momento del área con respecto al
Si el centroide del área se localiza en el Eje C, dicha integral será nula. La integral La integral C,
, representa el área total. , define el momento de inercia de un área con respecto del eje
finalmente el segundo momento del área total se consigue mediante:
El momento de inercia I de un área con respecto a cualquier eje A, I A, es igual al momento de inercia respecto a un eje paralelo centroidal más el producto del área multiplicada por el cuadrado de la distancia (d) entre los dos ejes. Dicho en otras palabras la distancia d es la distancia existente entre el eje centroidal (Eje C) hasta el eje donde se desea calcular el momento de inercia (Eje A). LOS EJES A Y C DEBEN SER PARALELOS (Eje A // Eje C)
LIMITANTE: el teorema de Steiner sólo se puede aplicar si uno de los dos ejes paralelos pasa a través del centroide del área. Para comprender los términos de la ecuación que define el teorema de los ejes paralelos, se ilustra a continuación un área A (figura morada) con su centroide en el punto C y el origen de coordenadas pasando por el punto “o”.
Donde: Jo: momento polar de inercia de un área con respecto de un punto O. Jc es el momento polar de inercia de un área respecto a su centroide C. d3: distancia entre el polo o y el centroide C.
En las cuatro expresiones precedentes, la distancia d debe interpretarse como la distancia entre los dos eje paralelos involucrados; dependiendo el caso, se tomará como la distancia (d 2) entre los ejes X y Xcentroidal, o se razonará como la distancia (d 1) entre los eje Y e Ycentroidal.
RADIO DE GIRO Representa la distancia K, perpendicular respecto al eje L, a la cual habría que colocarse el área concentrada de tal manera que produzca el mismo momento de inercia del área total.
El radio de giro expresa una medida de la distribución del área respecto al eje.
PRODUCTO DE INERCIA Otra integral de aparición frecuente en análisis ingenieriles es la integral de la forma:
Ésta integral es considerada como el producto de inercia del área A respecto a los ejes coordenados XY. Contrario a lo que sucede con el momento de Inercia puede ser positiva, negativa o cero. Cuando uno ó ambos de los ejes (x será nulo.
∧
y) es un eje de simetría el producto de inercia
TEORIA DE LOS EJES PARALELOS
El producto será
∧
de inercia respecto a los ejes x y ubicados en el plano del área
equivalente a la suma del producto de inercia respecto a los ejes centroidales más el producto del área A por las distancias x e y desde ejes x y hasta los ejes centroidales.
los
PRODUCTO DE INERCIA DE UN RECTÁNGULO De acuerdo al teorema de los ejes paralelos para el producto de inercia es:
aplicando dicho teorema a un diferencial de área se tiene:
Como el diferencial de área (dA=h*dx) (rectángulo rayado) es simétrico respecto a sus ejes centroidales (X ce,xce), el valor del producto diferencial de inercia centroidal es nulo.
Los valores de x e y se definen mediante las siguientes expresiones:
Finalmente para obtener el producto de inercia del rectángulo (área amarilla) respecto a los ejes X,Y se plantea la siguiente integral:
EJES PRINCIPALES Y MOMENTOS PRINCIPALES
Cálculo de los momentos de inercia respecto a los ejes U y V (ejes aules):
CIRCULO DE MOHR El Círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de una circunferencia (radio, centro, entre otros). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta. Este método fue desarrollado hacia 1882 por el ingeniero civil alemán Christian Otto Mohr (1835-1918). Circunferencia de Mohr para esfuerzos Caso bidimensional
En dos dimensiones, la Circunferencia de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90º:
Medida 1
(
Medida 2
(
)
)
Ha de hacer notar que el eje vertical se encuentra invertido, por lo que esfuerzos positivos van hacia abajo y esfuerzos negativos se ubican en la parte superior. Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión normal ( ) y el eje vertical representa la tensión cortante o tangencial ( ) para cada uno de los planos anteriores. Los valores de la circunferencia quedan representados de la siguiente manera:
Centro del círculo de Mohr:
Radio de la circunferencia de Mohr:
Las tensiones máximas y mínimas vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por:
| [ ]
Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor tensión que en este caso viene dado por:
Caso tridimensional
El caso del estado tensional de un punto P de un sólido tridimensional es más complicado ya que matemáticamente se representa por una matriz de 3x3 para la que existen 3 valores propios, no necesariamente diferentes.
|
En el caso general, las tensiones normal ( ) y tangencial ( ), medidas sobre cualquier plano que pase por el punto P, representadas en el diagrama ( , ) caen siempre dentro de una región delimitada por 3 círculos. Esto es más complejo que el caso bidimensional, donde el estado tensional caía siempre sobre una única circunferencia. Cada uno de las 3 circunferencias que delimitan la región de posibles pares ( , ) se conoce con el nombre de circunferencia de Mohr.
Círculo de Mohr para la tracción simple.
El círculo de Mohr es un círculo en el que las coordenadas de los puntos de su circunferencia son la tensión normal y la tensión cortante que existen en una sección inclinada cualquiera de la barra. El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para representar gráficamente un tensor simétrico y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de un círculo (radio, centro, entre otros.). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta. El círculo de Mohr se construye de la siguiente forma: Se toman unos ejes coordenados de forma que en el eje de abscisas situamos las tensiones normales y en el de las ordenadas las tensiones cortantes.
Los puntos representativos de las tensiones que actúan en 2 caras perpendiculares definen un diámetro del círculo de Mohr. Las tensiones cortantes que actúan en dos secciones perpendiculares son iguales y de sentido contrario. Para dibujar correctamente el círculo de Mohr deben tenerse en cuenta los siguientes detalles:
El sentido de giro del ángulo en el círculo se corresponde con el sentido de giro del plano AB en la realidad.
El signo de las tensiones tangenciales (t) se toma como positivo si giran en sentido de las agujas del reloj alrededor del elemento diferencial y negativo en caso contrario.
El ángulo entre dos radios del círculo equivale al doble del ángulo entre los planos reales correspondientes.
Esfuerzos principales. Los esfuerzos principales son los mayores esfuerzos que actúan sobre el elemento y se hallan por medio de una rotación de coordenadas. Los esfuerzos normales principales se notan como , y donde , y en el ángulo de rotación en el que se dan el esfuerzo cortante es cero. El esfuerzo cortante máximo absoluto se nota como y en el ángulo de rotación al que se da los esfuerzos normales son el promedio de los esfuerzos normales del tensor de esfuerzos.
Procedimiento para calcular el círculo de Mohr. Para construir un círculo de Mohr que sirva en la solución de problemas, se usa el siguiente procedimiento: 1.- Se traza un par de ejes coordenadas tomando a σ como eje de las abscisas ya τ como eje de las ordenadas.
2.- Se trazan los valores de τ y σ correspondientes a dos superficies mutuamente perpendiculares del cubo elemental, tales como las caras cd y
ac de la Fig. 6.24 (a), obteniendo dos puntos en la periferia del círculo. De acuerdo con la convención de signos, los esfuerzos de tensión son positivos y los esfuerzos de compresión, negativos. Los esfuerzos cortantes que tienden a hacer girar al bloque en sentido de las manecillas del reloj, tales como los de las caras ac y bd, se consideran negativos. En el círculo de la Fig. 6.24 (b), el punto V con coordenadas (+ σ x, + τ), y el punto H con coordenadas (+ σ y, - τ) son los puntos que se trazarán.
3.- Se traza la línea recta HCV que une estos dos puntos. Esta recta es el diámetro del círculo cuyo centro es el punto C. 4.- Se completa el círculo tomando como centro el punto C y como radio CV
EJERCICIOS 1. Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo con el círculo de Mohr. Las series de datos siguientes dan los esfuerzos en el elemento sometido a esfuerzo inicial realice las operaciones siguientes: a) Dibuje el círculo de Mohr completo con los puntos críticos identificados incluidos
.
b) En el círculo de Mohr, indique la línea que presenta el eje x en el elemento sometido a esfuerzo inicial. c) En el círculo de Mohr, indique los ángulos a partir de la línea que representa el eje x hacia el eje
y el eje
.
d) Dibuje el elemento sometido a esfuerzo inicial y el elemento sometido a esfuerzo cortante máximo orientados adecuadamente con respecto al elemento sometido a esfuerzo inicial. DATOS:
() ()
El lado inferior del triangulo:
El centro O del circulo esta en
El radio del circulo:
El lado vertical del triangulo
√ √
:
Esfuerzo cortante máximo = 764,53 KPa
Ángulos:
2. Determine los esfuerzos principales y el esfuerzo cortante máximo con el círculo de Mohr. Las series de datos siguientes dan los esfuerzos en el elemento sometido a esfuerzo inicial realice las operaciones siguientes: a) Dibuje el círculo de Mohr completo con los puntos críticos identificados incluidos
.
b) En el círculo de Mohr, indique la línea que presenta el eje x en el elemento sometido a esfuerzo inicial. c) En el círculo de Mohr, indique los ángulos a partir de la línea que representa el eje x hacia el eje
y el eje
.
d) Dibuje el elemento sometido a esfuerzo inicial y el elemento sometido a esfuerzo cortante máximo orientados adecuadamente con respecto al elemento sometido a esfuerzo inicial. DATOS:
El lado inferior del triángulo:
() El radio del circulo:
√ √
()
El centro O del circulo esta en
:
El lado vertical del triangulo
Esfuerzo cortante máximo = 460 KPa
Ángulos:
CONCLUSIONES
Logramos determinar el momento de inercia de dos sólidos con masas similares (disco y aro) y pudimos ver como variaba el momento de inercia entre ellos gracias a la distribución de su masa, siendo mayor el momento del aro porque su masa esta distribuida en el borde de la circunferencia.
El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.
El teorema de ejes paralelos permite relacionar el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el Centro de Masa de un cuerpo con el momento de inercia respecto a un eje paralelo al anterior.
ANEXOS
