TABLAS DE MOMENTOS DE INERCIA
http://www.fisica-facil.com/Temario/Dinamicarotacional/Teorico/Inercia/momento.htm#PLACA PLANA RECTANGULAR Publicado por L.Abad en 07:16 Sin comentarios: Enviar por correo electrónicoEscribe un blogCompartir con TwitterCompartir con Facebook Enlaces a esta entrada
martes, 29 de marzo de 2011
DEFINICIONES En el análisis de sólidos sometidos a distintos ejes y desplazamientos observamos que es distinto hacer girar objetos respecto a diferentes ejes. El giro depende sobre todo de cómo esté distribuida la masa respecto del eje de giro. El momento de inercia es similar a la inercia (tendencia de un objeto a permanecer en reposo o a continuar moviéndose en línea recta con la misma velocidad). Sin embargo el momento de inercia se aplica a la rotación más que al movimiento lineal. Sería la resitencia que presentan los cuerpos al iniciar un movimiento circular o al detenerse si ya están girando. Al contrario que la inercia, el momento de inercia depende de la distribución de masa en un objeto. Cuanto más lejos esté la masa del centro de rotación, mayor e s el momento de inercia.
Consideremos los dos cilindros mostrados en la Figura:
Los dos cilindros de la Figura tienen el mismo peso, altura y radio. Ambos tiene damés una serie de tornillos (el mismo número, es decir una masa adicional idéntica) pero repartidos de forma diferente. En el cilindro de la izquierda se encuentran distribuidos en la periferia, mientras que en el de la derecha se encuentran más cerca del centro. El de la izquierda presenta por tanto mayor resitencia a empezar a rodar pues tiene un mayor momento de inercia. De igual forma, el de la derecha, el que tiene las masas más cerca del centro tiene menor momento de inercia, se resiste menos a empezar a rodar y por tanto llegará antes.
Veamos otro ejemplo: Muchas veces hemos visto a los patinadores en una pista de hielo girando a gran velocidad. Inicialmente el movimiento comienza abriendo los brazos ayudándose con un impulso de los pies. Inicialmente giran despacio, pero a medida que val elevando los brazos hacia la posición de cruz, aumentan su velocidad al máximo. Para para pliegan los brazos sobre el cuerpo, bien cruzando los brazos sobre el pecho o bien manteniéndolos paralelos. Si dos patinadores giran a una misma velocidad, el que posea más masa tendrá un mayor momento angular. La ley establece que este momento anguarl se conserva si no es interrumpido por alguna fuerza externa. Con esto se puede explicar el por qué un patinador gira mas rápido si junta sus brazos, si los extiende su masa se distribuye y su velocidad disminuye y por lo tanto el momento no es constante.
¿Cuál de estos giros resulta más difícil?
Un mismo objeto puede tener diferentes momentos de inercia dependiendo de dónde se considere el eje de rotación. Cuanto más alejada esté la masa del eje de rotación mayor será el momento de inercia.
En unidades del S.I. el momento de inercia se mide en kgm 2
RADIO DE GIRO Se define el radio de giro como la distancia desde el eje de giro a un punto donde podríamos suponer concentrada toda la masa del cuerpo de modo que el momento de inercia respecto a dicho eje se obtenga como el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado del radio de giro.
TEOREMA DE STEINER Los momentos de inercia de sólidos rígidos con una geometría simple (alta simetría) son relativamente fáciles de calcular si el eje de rotación coincide con un eje de simetría. Sin embargo, los cálculos de momentos de inercia con respecto a un eje arbitrario puede ser engorroso, incluso para sólidos con alta simetría.
El Teorema de Steiner (o teorema de los ejes-paralelos) a menudo simplifica los cálculos.
Premisa: Supongamos que conocemos el momento de inercia con respecto a un eje que pase por el centro de masas de un objeto
Teorema: Entonces podemos conocer el momento de inercia con respecto a cualquier otro eje paralelo al primero y que se encuentra a una distancia D
Procedemos ahora la demostración del Teorema:
Tomemos un elemento de masa dm situado en las coordenadas ( x, y). Si ahora escogemos un sistema de coordenadas con origen en el centro de masas del objeto, las nuevas coordenadas del elemento de masa serán ( x', y')
Calculamos el momento de inercia respecto del eje Z que es paralelo al eje que pasa por el centro de masas:
Como el segundo sistema de referencia tiene como origen el centro de masas:
La primera integral es el momento de inercia respecto del eje que pasa por el CM. La última integral es la masa del sólido, y magnitud que multiplica a esta integral es la distancia al cuadrado entre los dos ejes. por tanto:
El teorema fue denominado así en honor de Jakob Steiner http://buscabiografias.com/bios/biografia/verDetalle/8562/Jakob%20Steiner
EJEMPLOS: INTEGRACIÓN En esta sección se muestran algunos ejemplos típicos de cálculos de momento de inercia por integración. Si bien los problemas se suelen resolver de muchas formas, en la mayoría de los que
mostramos aquí intentamos resolver las integrales de la forma más sencilla posible, de forma que no sea necesario la resolución de estos e jemplos mediante integrales dobles o triples.
En primer lugar mostramos en el EJEMPLO 1 un problema de densidad volumétrica, en el EJEMPLO 2, uno de densidad superficial y en EJEMPLO 3 uno de densidad lineal.
Los ejes X , Y y Z de la esfera coinciden con diámetros de la esfera, por tanto, el momento de inercia respecto de estos ejes será el mismo que el calculado en el ejemplo.
Los EJEMPLOS 2 y 3 constituyen también una aplicación del Teorema de los ejes perpendiculares
El EJEMPLO 4 es similar al EJEMPLO 1, pero con una diferencia fundamental, la esfera es hueca, es decir, una corteza esférica sin espesor
El EJEMPLO 5 es un problema donde aparece el concepto de densidad lineal de masa
En este EJEMPLO 5 podemos observar que el momento de inercia respecto del eje X de la varilla delgada sería nulo, al estar la varilla situada sobre dicho eje.
Muchas veces, como vemos en este EJEMPLO 6, descomponiendo la figura en figuras sencillas, la integración resulta muy sencilla.
Lo mismo ocurre en este EJEMPLO 7.
A veces los problemas de cálculos de momentos de inercia se complica porque aparecen otra serie de conceptos matemáticos. Así, en este EJEMPLO 8 aparece el concepto de Semejanza de Triángulos y el Binomio de Newton.
Para
ver
la
Semejanza
de
Triángulos
se
puede
http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/semej3.htm
consultar
la
dirección
Web:
El
binomio
de
Newton,
se
puede
calcular
con
esta
otra
página
Web:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0516-02/practica/binomio.html
En este EJEMPLO 9 hemos utilizado la conocida expresisón suma de cuadrados por diferencia de cuadrados
FIGURAS COMPUESTAS Como el momento de inercia es aditivo el cálculo de un momento de inercia de un cuerpo compuesto se puede tomar como la suma de los momentos de inercia de sus partes. También si tenemos un cuerpo formado por uno más sencillo al que ``le falta un trozo'' podemos calcular su momento como la suma del cuerpo sencillo menos el trozo que le falta. Muchas veces hay que calcular el momento de inercia de piezas, formadas a su vez por diferentes figuras. Se calcular el momento de inercia del conjunto como la suma de los momentos de inercia. En los cálculos hay generalmente que aplicar una serie de Teoremas, p.e, ejes perpendiculare o Steiner.
CÍRCULO DE MÖHR El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para el cálculo de los momentos de inercia, las deformaciones y los esfuerzos, inercia, deformaciones yesfuerzos, adaptando los mismos a las características de un círculo (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta. Este método fue desarrollado hacia 1882 por el ingeniero civil alemán Christian Otto Mohr (1835-1918 )
Para sólidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma técnica de la circunferencia de Mohr que se usa para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizada entonces para obtener este valor. También es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las fórmulas de cálculo del momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son análogas a las del cálculo de esfuerzos.
