MOMENTOS DE INERCIA
I) INTRODUCCIÓN Los momentos de inercia tienen un significado importante para el estudio de la ingeniería puesto que su uso en la estática esta presente en los problemas que se presentan en el campo laboral del ingeniero civil. El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un sólido rígido.
II) DESARROLLO a) DEFINICIÓN ¿Qué son los momentos de inercia? Para resolver esta interrogante primero definiremos lo siguiente:
INERCIA: es la propiedad de la materia de resistir a cualquier cambio en su movimiento, ya sea en dirección o velocidad. Esta propiedad se describe claramente en la Primera Ley del Movimiento de Newton lo cual dice: “Un objeto en reposo tiende
a permanecer en reposo, y un objeto en movimiento tiende a continuar moviéndose en línea recta, a no ser que actúe sobre ellos una fuerza externa”.
MOMENTO: es la resultante de una fuerza por una distancia, este efecto hace girar elementos en torno a un eje o punto El momento es constante, se puede tomar en cualquier punto del plano y siempre dará el mismo resultado, siendo la distancia la perpendicular, entre el punto y la dirección de la fuerza.
Una vez asumido estas dos definiciones podemos deducir que el momento de inercia (también llamado Segundo Momento de Área; Segundo Momento de Inercia o Momento de Inercia de Área) es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo.
Siempre una carga distribuida actúa en forma perpendicular a un área y que su intensidad baria linealmente, el cálculo del momento de distribución de carga con respecto a un eje implicara una cantidad llamada el momento de inercia. En los análisis del movimiento de un cuerpo rígido aparecen expresiones en las que intervienen el producto de la masa de un pequeño elemento por el cuadrado de su distancia a una recta de interés. Este producto recibe el nombre de momento segundo de la masa del elemento o más frecuentemente de momento de inercia del elemento, así pues el momento de inercia dI de un elemento. De masa “dm” respecto al eje OO representado en la figura es por definición:
dI = r2 dm
El momento de inercia de todo cuerpo respecto al eje OO es, por definición:
Como tanto la masa del elemento como el cuadrado de su distancia al eje son cantidades positivas, el momento de inercia de una masa será siempre será positivo. Los momentos de inercia tienen las dimensiones de una masa multiplicadas por las del cuadrado de una distancia ML 2. Su unidad de medida será en el sistema SI el kg.m 2
Los momentos de inercia de un cuerpo respecto a los ejes coordenados de un sistema xyz se pueden determinar considerando un elemento de masa como el representado en la figura. Por la definición de momento de inercia,
Para el eje “y” y el eje “z” se puede escribir expresiones
análogas. Asi pues
b) RADIO DE GIRO La definición de momento de inercia indica que las dimensiones del momento de inercia son las de una masa multiplicada por el cuadrado de una longitud. En consecuencia, el momento de inercia de un cuerpo puede expresarse mediante el producto de la masa “m” del cuerpo por
el cuadrado de una longitud “k” se le da el nombre de radio de giro del cuerpo. Asi pues, el momento de iner cia de “I” de un cuerpo respecto a una recta dada se puede expresar en la forma
El radio de giro de la masa de un cuerpo respecto a un eje cualquiera puede interpretarse que es la distancia al eje de un punto en el que habría que concentrar toda la masa del cuerpo para tener el mismo momento de inercia respecto al eje de la masa real (o distribuida). El radio de giro de masa es muy parecido al radio de giro de superficie. El radio de giro de masa no es la distancia al eje dado de ningún punto fijo del cuerpo tal como en el centro de masa. El radio de giro de masa de un cuerpo respecto a un eje cualquiera es siempre mayor que la distancia al eje de centro de masa del cuerpo. No existe ninguna interpretación física útil del radio de giro; no es mas que un medio conveniente de expresar el momento de inercia de masa de un cuerpo en función de su masa y una longitud
c) MOMENTOS DE INERCIA POR INTEGRACION Cuando se utilicen métodos de integración para determinar el momento de inercia de un cuerpo respecto a un eje. La masa del cuerpo se puede descomponer en elementos de diversas maneras. Según sea el tipo de elemento que se tome. Será necesaria una integración simple doble o triple. La configuración geométrica del cuerpo suele determinar que se utilicen coordenadas cartesianas o polares. En cualquier caso los elementos de masa deberán seleccionarse de manera que:
1) Todas las partes del elemento se encuentren a igual distancia del eje respecto al cual hay que determinar el momento de inercia. 2) Si no se cumpliera la cond ición “1”. Debería seleccionarse el elemento de manera que fuese conocido el momento de inercia del elemento respecto al eje para el cual hay que determinar el momento de inercia del cuerpo. Este podrá entonces calcularse sumando los momentos de inercia de los elementos. 3) Si se conociera la situación del centro de masa del elemento y el momento de inercia del elemento respecto a un eje que pase por el centro de masa y sea paralelo al eje dado, se podrá determinar el momento de inercia del elemento utilizando el teorema de Steiner. A continuación se podrá hallar el momento de inercia de los elementos.
Cuando se utilice integración triple del elemento satisfará siempre el primer requisito. Si bien esta condición no se cumplirá necesariamente en los casos de integración simple o doble. En algunos casos, el cuerpo puede considerarse que es un sistema de puntos matriciales. El momento de inercia de un tal sistema respecto a una recta de interés es la suma de los momentos de inercia de los puntos respecto a la recta dada. Así pues, si las masas de los puntos de un sistema son r 1, r 2, r 3,…rn el momento de inercia del sistema podrá expresarse en la forma
Los momentos de inercia de placas delgadas son fáciles de determinar. Por ejemplo. Considérese la placa delgada representada en la figura. La placa tiene una densidad uniforme “d”, un grosor uniforme “t” y una sección de área “A”.
Los momentos de inercia respecto a los ejes x,y,z son , por definición
Donde los subíndices “m” y “A” significan momentos de inercia y momentos de segundos de
superficies, respectivamente. Como las ecuaciones de los momentos de inercia de placas delgadas contienen las expresiones de los momentos segundos de superficie los resultados que se consigan en la tabla de los momentos segundos de superficie se podrán utilizar para determinar momentos de inercia sin mas que multiplicar aquellos por “pt”.
En el caso generas de cuerpos tridimensionales, los momentos de inercia respecto a los ejes x,y,z son:
Si la densidad del cuerpo se uniforme el elemento de masa “dm” se puede expresar en función del elemento de volumen “dV” en la forma “dm=pdV” las ecuaciones anteriores queda entonces:
Si la densidad del cuerpo no fuese uniforme, debería expresarse en función de la posición y mantenerla dentro de la cantidad subintegral. El elemento concreto de volumen que haya que utilizar dependerá de la configuración geométrica del cuerpo. En el caso general de cuerpos tridimensionales, suele utilizarse el elemento diferencial “dm=dxdydz”, el cual exige una integración triple. En el caso de cuerpos con simetría de revolución, pueden utilizarse como elementos placas circulares que exigen solo una integración simple. En algunos problemas son útiles elementos cilíndricos y coordenadas polares.
d) SEGUNDO MOMENTO DE INERCIA En ingeniería estructural, el segundo momento de área, también denominado segundo momento de inercia o momento de inercia de área, es una propiedad geométrica de la sección transversal de elementos estructurales. Físicamente el segundo momento de inercia está relacionado con las tensiones y deformaciones máximas que aparecen por flexión en un elemento estructural y, por tanto, junto con las propiedades del material determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión. El segundo momento de área es una magnitud cuyas dimensiones son longitud a la cuarta potencia (que no debe ser confundida con el concepto físico relacionado de inercia rotacional cuyas unidades son masa por longitud al cuadrado). Para evitar confusiones, algunos ingenieros denominan "momento de inercia de masa" al momento con unidades de masa descrito en este artículo.
La VIGA
En ingeniería y arquitectura se denomina viga a un elemento constructivo lineal que trabaja principalmente a flexión. En las vigas, la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal. El esfuerzo de flexión provoca tensiones de tracción y compresión, produciéndose las máximas en el cordón inferior y en el cordón superior respectivamente, las cuales se calculan relacionando el momento flector y el segundo momento de inercia. En las zonas cercanas a los apoyos se producen esfuerzos cortantes o punzonamiento. También pueden producirse tensiones por torsión, sobre todo en las vigas que forman el perímetro exterior de un forjado. Estructuralmente el comportamiento de una viga se estudia mediante un modelo de prisma mecánico.
III) CONCLUSIONES:
después de esta investigación se llegó a la conclusión de que entre más alejada este la masa del centro de rotación, mayor es su inercia.
También se desarrolló un método para un momento de inercia para un área.
BIBLIOGRAFÍA:
Estatica para ingenieros By William F. Riley, Leroy D. Sturges
Ingenieria mecanica R.C. HIBBELER
WEBGRAFIA:
Momento de inercia- Wikipedia la encyclopedia libre Buenastareas.com/httm
