P I u R
Puv C
-Puv
I
I v
P
I
I min I max
Nótese que los valores de Momento de Inercia Máximo y Mínimo se obtienen cuando el producto de inercia es cero:
Puv
1 2
I
x
I y sen2 m P xy cos 2 m 0
tan(2 m )
2P xy
I
x
De esta manera se obtiene el ángulo mínimo del momento de inercia.
m
I y
que permite determinar el valor máximo y
I max, min I x cos
2
θ m
I y sen 2 θ m P xy sen 2θ m
I max , min I x sen
2
θ m
I y cos 2 θ m P xy sen 2θ m
EJES PRINCIPALES
Se llaman ejes principales de inercia al par de ejes ortogonales para los cuales los momentos de inercia son máximos y mínimos respectivamente.
Se sabe:
tan(2θ p )
2P xy
I
x
I y
Nótese que se obtienen dos valores para 2θ p que difieren en 180°, por lo tanto los valores de
θ p
difieren en 90°. De esta manera se dice que los valores de
definen 2 ejes perpendiculares entre sí.
y θ P1
v P2
θ P 2 90
u P1
x
EJES PRINCIPALES Y CENTRALES Son los ejes principales que pasan por el centroide de la figura
θ p
ROTACIÓN DE EJES Hasta el momento hemos analizado lo que ocurre con los momentos y productos de inercia de un área plana al TRASLADAR los ejes respecto de los cuales estamos realizando los cálculos. ¿Qué ocurrirá si en lugar de trasladarlos en forma paralela, los rotamos alrededor del origen de coordenadas? En principio debemos definir el momento polar de inercia que se denota y calcula de la siguiente manera:
JO donde:
Ix
Iy
Iu
Iv
JO es el momento polar de inercia Ix e Iy son los momentos de inercia respecto de ejes x e y perpendiculares entre sí. Iu e Iv son los momentos de inercia respecto de ejes u e v perpendiculares entre sí.
y
Basándonos en esta relación y calculando los momentos y productos de inercia en función del ángulo de rotación podemos llegar a expresiones de Iu, Iv y Puv en función de , Ix, Iy y Pxy.
v
u
Estas expresiones se conocen como “fórmulas o ecuaciones de rotación” y son
las siguientes:
x Ix I y Iu 2 Ix I y Iv 2
Ix Ix
Ix I y sen2 Puv 2
I y cos2 2 I y cos2 2 Pxy cos2
Pxy sen2 Pxy sen2
EJES PRINCIPALES DE INERCIA Al realizar la rotación de ejes los momentos y productos de inercia del área plana van a ir cambiando de valores hasta que llegue un punto en el que para un ángulo determinado se cumpla que el producto de inercia Puv sea igual a cero y por consiguiente los valores de los momentos de inercia Iu e Iv tomarán un valor máximo y un valor mínimo (pero SIEMPRE POSITIVOS). Estos ejes se donominan EJES PRINCIPALES DE INERCIA.
CÍRCULO DE MOHR Una forma alternativa y muy útil de calcular los momentos y productos de inercia de ejes rotados es el Método del Círculo de Mohr, que se resume en lo siguiente:
C
Ix 2
Puv R
Ix
R
,0
Iy
2
Pxy
2
C Imáx
Iy
2
Iu
Imín Imáx
C
R
Imín
C
R
Para obtener cualquier valor de momento o producto de inercia, respecto de cualquier ángulo de giro, bastará con aplicar relaciones de geometría dentro del círculo.
MOMENTOS DE INERCIA DE MASAS El momento de inercia de un cuerpo se define por medio de las siguientes expresiones: I y 2 z 2 dm xx m
donde:
2 2 I x z dm yy m
I zz
x
2
y 2 dm
m
Ix es el momento de inercia con respecto al eje x. Iy es el momento de inercia con respecto al eje y. Iz es el momento de inercia con respecto al eje z. y es la posición del plano xz al elemento diferencial dm. x es la posición del plano yz al elemento diferencial dm. z es la posición del plano xy al elemento diferencial dm.
Para efectos de este curso vamos a trabajar con valores conocidos de momentos de inercia que pueden ser obtenidos de tablas. Las figuras compuestas con las que vamos a trabajar serán combinaciones de las áreas contenidas en las tablas. TEOREMA DE STEINER PARA MASAS El Teorema de Steiner nos permite obtener el momento y producto de inercia de un cuerpo con respecto a ejes distintos de los que se presentan en la tabla. La única consideración que debemos tomar en cuenta para aplicarlo es que siempre debemos incluir un eje centroidal (es decir, que pase por el centroide de la figura analizada) en el cálculo. El Teorema de Steiner, para el caso de masas, se expresa de la siguiente manera:
donde:
Ix
IxC
y2
Iy
IyC
x
Iz
IzC
x
2
2
z2 m
z2 m y
2
m
Ix es el momento de inercia con respecto al eje x. Iy es el momento de inercia con respecto al eje y. Iz es el momento de inercia con respecto al eje z. y es la posición del plano xz al centro de gravedad del sólido. x es la posición del plano yz al centro de gravedad del sólido. z es la posición del plano xy al centro de gravedad del sólido. IxC es el momento de inercia centroidal en x. IyC es el momento de inercia centroidal en y. IzC es el momento de inercia centroidal en z. m es la masa del sólido analizado.
Momento de inercia de una distribución de masas puntuales Tenemos que calcular la cantidad
donde xi es la distancia de la partícula de masa mi al eje de rotación. Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas de 1 kg cada una, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.0 m de uno de los extremos. Calcular el momento de inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa a través de Un extremo De la segunda masa Del centro de masa
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la primera partícula es 2
2
2
2
2
I A=1·0 +1·0.25 +1·0.5 +1·0.75 +1·1 =1.875 kgm
2
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la segunda partícula es 2
2
2
2
2
I B=1·0.25 +1·0 +1·0.25 +1·0.5 +1·0.75 =0.9375 kgm
2
El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la tercera partícula (centro de masas) es 2
2
2
2
2
I C=1·0.5 +1·0.25 +1·0 +1·0.25 +1·0.5 =0.625 kgm
2
En vez de calcular de forma directa los momentos de inercia, podemos calcularlos de forma indirecta empleando el teorema de Steiner. Conocido I C podemos calcular I A e I B, sabiendo las distancias entre los ejes paralelos AC=0.5 m y BC=0.25 m. La fórmula que tenemos que aplicar es 2
I=I C+Md
I C es el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por el centro de masa I es el momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior M es la masa total del sistema d es la distancia entre los dos ejes paralelos.
2
2
I A= I C+5·0.5 =0.625+1.25=1.875 kgm . 2
2
I B= I C+5·0.25 =0.625+0.3125=0.9375 kgm .
Momento de inercia de una distribución continua de masa Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa. La fórmula que tenemos que aplicar es
dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación
Resolveremos varios ejemplos divididos en dos categorías
Aplicación directa del concepto de momento de inercia Partiendo del momento de inercia de un cuerpo conocido
Momento de inercia de una varilla Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla de masa M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masas.
La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es
El momento de inercia de la varilla es
Aplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la misma que pasa por uno de sus extremos.
Momento de inercia de un disco Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un anillo de radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectángulo de longitud 2 x y anchura dx, cuya masa es
El momento de inercia del disco es
Momento de inercia de un cilindro Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M , radio R y longitud L respecto de su eje.
Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa cilíndrica cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la figura. La masa dm que contiene esta capa es
El momento de inercia del cilindro e
Momento de inercia de una placa rectangular
Vamos a calcular el momento de inercia de una placa rectangular delgada de masa M de lados a y b respecto del eje que pasa por la placa. Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud a de anchura dx. La masa de este rectángulo es
El momento de inercia de la placa rectangular es
Momento de inercia de un disco
Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R, respecto de uno de sus diámetros. Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un rectángulo de longitud 2 y de anchuradx. La masa de este rectángulo es
El momento de inercia del disco es
Haciendo el cambio de variable x=R·cosθ y=R·senθ
Llegamos a la integral
Momento de inercia de una esfera Vamos a calcular el momento de inercia de una esfera de masa M y radio R respecto de uno de sus diámetros
Dividimos la esfera en discos de radio x y de espesor dz. El momento de inercia de cada uno de los discos elementales es
La masa de cada uno de los discos es
El momento de inercia de la esfera, es la suma de los momentos de inercia de todos los discos elementales.
Para resolver la integral tenemos que relacionar la variable x con la z. Como vemos en la 2 2 2 figura x +z =R
Momento de inercia de un cilindro Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M , radio R y longitud L, respecto de un eje perpendicular a su generatriz y que pasa por su centro.
Dividimos el cilindro en discos de radio R y espesor dx. El momento de inercia de cada uno de los discos respecto de uno de sus diámetros es
Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de este disco, respecto de un eje paralelo situado a una distancia x.
El momento de inercia del cilindro es
Momento de inercia de un paralepípedo Vamos a calcular el momento de inercia de un paralepípedo de masa M y de lados a, b y c respecto de un eje perpendicular a una de sus caras.
Dividimos el paralepípedo en placas rectangulares de lados a y b y de espesor dx.
El momento de inercia de cada una de las placas respecto de su eje de simetría es
Aplicando el teorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de esta placa respecto de un eje paralelo situado a una distancia x es
El momento de inercia del sólido en forma de paralepípedo es
EJERCICIOS 1.
