INTRODUCCION
La inercia es la propiedad de la materia que hace que ésta resista a cualquier cambio en su movimiento, ya sea de dirección o de velocidad. Esta propiedad se describe con precisión en la primera ley del movimiento del científico británico Isaac Newton, que dice lo siguiente: un objeto en reposo tiende a permanecer en reposo, y un objeto en movimiento tiende a continuar moviéndose en línea recta, a no ser que actúe sobre ellos una fuerza externa. El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la
inercia rotacional de un cuerpo. Más
concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal angular longitudinal de un sólido rígido.
MOMENTOS DE INERCIA RESPECTO A EJES INCLINADOS
En el diseño estructural y mecánico, a veces es necesario calcular los momentos y el producto de inercia I u, Iv e Iuv para un área con respecto a un conjunto de ejes inclinados U y V cuando se conocen los valores de θ, I u, Iv e Iuv. Para hacer esto usaremos las ecuaciones de transformación que relacionan las coordenadas x, y, u, v.
Respecto a un sistema de ejes inclinados u, v conocidos los valores de θ, I x, Iy e Ixy
Usamos ecuaciones de transformación que relacionan los ejes x, y con los u, v
u=xcos θ+y sin θ v=y cosθ − x sin θ dIu=v2 dA=( y cosθ − x sin θ )2dA dI v=u2 dA=( x cosθ+y sin θ )2dA dIuv=uvdA=( xcos θ+y sin θ )( y cos θ − xsin θ )dA
Integrando,
Iu=I x cos2θ+I y sin2θ −2I xy sin θ cos θ Iv=I x sin2θ+I y cos2θ+2I xy sin θ cosθ Iuv=I x sin θ cosθ − I y sin θ cosθ+2I xy (cos2θ −sin2θ)
Simplificando mediante identidades trigonométricas,
sin2θ=2sin
θ cosθ
cos2θ=cos2θ −sin2θ
Podemos simplificar en
Iu= Ix+I y + Ix− I y =cos2θ− Ixy sin2θ 2 2 Iv= I x +I y − Ix− I y cos2θ+I xy sin2θ 2 2 Iuv= Ix− I y sin2θ+2I xy cos2θ 2
El momento polar de inercia respecto al eje
z que
pasa a través del punto
J O=Iu+I v=I x+I y
Momentos principales de Inercia I u , I v , I uv
dependen del Angulo de inclinación θ de los ejes u, v
El Angulo θ = θp define la orientación de los ejes Principales del área
−2 ( sin2θ−2I
xy
cos2θ=
θ=θp tan2θ p=− I xy (Ix− I y)/2
Momentos principales de Inercia • Sustituyendo cada una de las razones para el seno y El coseno, tenemos
) +I
I min= (Ix+I y)/2 Max
2
2 xy
O
es,
• Los resultados dan el momento de inercia max y min para el área • Se puede demostrar que Iuv = 0, i.e. el producto de inercia respecto a los ejes principales es cero • Cualquier eje simétrico representa un eje principal de inercia para el área
EJEMPLO:
Determine los momentos principales de inercia para la sección transversal de la viga respecto a un eje que pasa por el centroide.
SOLUCION:
El momento y el producto de inercia de la sección resulta,
Ix=2. 90(109) mm4 I y=5. 60 (109) mm4 I z =−3. 00 (109) mm4 Usando los ángulos de inclinación de los ejes principales u, v
= =-2.22
tan2θ p=
2θ p1=−65
.8°, 2θ p2=114 .2°
⇒θp1=−32
.9°, θp2=57.1°
Para los momentos principales de inercia a u, v:
+ =
2
√ [ ] + [-3.00 ( )] =4. 25 ()3. 29 ()
2
