FACILITADOR
PARTCIPANTES
GABRIEL MATOS
VIOCARLYS LEON
MANTENIMIENTO 06
CARABALLO OSLIANY BOLIVAR SARA RIVAS IRIAN ARANGUREN XENIA YANEZ EMILI ACOSTA MANUEL
CIUDAD BOLIVAR; DICIEMBRE DE 2.009
FUERZAS DISTRIBUIDAS: CENTROIDES El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo, el centroide nos ayuda a encontrar el punto en el que se concentra las fuerzas que actúan sobre una figura irregular, o figuras geométricas no muy conocidas, por ejemplo el centroide nos ayudaría a encontrar el punto en el que se concentran las fuerzas de un puente. El centro de gravedad es el punto de aplicación de un cuerpo rígido donde al ubicar la resultante de las fuerzas los efectos sobre el cuerpo no varían. En el caso de superficies homogéneas, el centro de gravedad se sust sustitituy uyee po porr el cent centro roid idee de dell área área,, el cual cual cons consid ider eraa las las área áreass de los los elem element entos os en vez vez de los pesos pesos y las expre expresi sione oness pa para ra de deter termin minar ar las coordenadas centroidales son: A
= ∫ dA; xA = ∫ xdA; yA = ∫ ydA
Centroide del área A y coordenadas de una parte del área ΔA
CENTROIDE DE AREAS COMPUESTAS En gran gran canti cantidad dad de caso casoss un unaa superf superfici iciee cualqu cualquie iera ra pue puede de ser ser subd subdiv ivid idid idaa en un unaa seri seriee de figu figura rass comu comune ness (rec (rectá táng ngul ulo, o, tria triang ngul ulo, o, circunferencia etc.). Esta forma de análisis es útil y permite determinar el centroide de cualquier superficie según: A=Ai ; x= xiAiAi ; y yiAiAi
Los centr Los centroid oides es y el área área común común se ob obtie tiene nenn de la ap aplic licac ación ión de fórmulas para áreas comunes como los indicados en la tabla.
Subdivisión de un área
TEOREMA DE PAPPUS-GULDINUS Una superficie superficie de revoluci revolución ón es aquella que se gen genera era al girar girar una curva con respecto de un eje, por ejemplo una esfera se puede generar al girar girar un arco arco semici semicirc rcula ular. r. De ma mane nera ra simila similarr tenem tenemos os los cuer cuerpos pos de revolución que son obtenidos al girar un área con respecto de un eje fijo.
TEOREMA I El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva generadora por la distancia recorrida por el centroide de la curva, al generar la superficie. TEOREMA II El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generadora por la distancia recorrida por el centroide del área al generar el cuerpo.
FUERZAS DISTRIBUIDAS: MOMENTOS DE INERCIA El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal angular longitudinal de un sólido rígido.
PRODUCTO DE INERCIA DE UN CUERPO Para los productos de inercia, es posible derivar un teorema de ejes parale paralelo loss pa para ra mo mome mento ntoss de inerc inercia. ia. Consid Consider eree un area area A y un sistem sistemaa coordenadas rectagulares x y y:
A trav través és de dell centr centroid oidee C del area, area, cuyas cuyas coord coorden enas as son son xy y, se dibujan dos ejes centroidales x´y y´ que son paralelos, respectivamente, a los ejes x y y. representa representando ndo con x y y las coordenad coordenadas as de un elemento elemento de un area dA con respectos a los ejes originales y con x´y y´las coordenadas del mismo elemento con respecto a los ejes centroidales, se escribe x = x´+ x y y = y´ + y.
EJERCICIOS.
1.
PARA EL AREA PLANA MOSTRADA EN LA FIGURA, DETERMINE: a) LOS PRIMEROS MOMENTOS CON RESPECTO A LOS EJES x Y y, Y b) LA UBICACIÓN DE SU CENTROIDE.
SOLUCION.
componente
A, mm
x,
y,
mm
xA,mm
yA, mm
mm Rectán tángulo
(120)(8 0)(800)=9 )=9.6x103
60
40
576x103
384x103
Triangulo
12(120)
40
-20
144x103
-72x103
(60)=3.6x103 Semicírculo
12π(60)2=5.655x10
60
105.46 339.3x103 596.4x103
3
Circulo
- π(40)2=-5.027x103 A=13.828x103
a) Primer Primeros os m mome omento ntoss del del área área
b) Ubicaci Ubicación ón del centro centroide ide
60
80
-301.6x103
402.2x103
xA=757.7x10
yA=506.2x10
3
3
2) LA FIGURA MOSTRADA ESTA HECHA A PARTIR DE UN PEDAZO DE ALAMBRE DELGADO Y HOMOGENEO. DETERMINE LA UBICACIÓN DE SU CENTRO DE GRAVEDAD.
SOLUCION.
SEGMENTO
L, in.
X, in.
Y, in.
xl, in.
yL, in.
AB
24
12
0
288
0
BC
26
12
5
312
130
CA
10
0
5
0
50
x= 600
yL= 180
L=60
3) DETERMINE LA UBICACIÓN DEL CENTROIDE DEL ARCO MOSTRADO.
SOLUCION.
4) DETE DETERM RMIN INE E EL AREA AREA DE LA SUPE SUPERF RFIC ICIE IE DE REVO REVOLU LUCI CION ON MOSTRADA EN LA FIGURA, LA CUAL SE OBTIENE ROTANDO UN CUARTO DE ARCO CIRCULAR CON RESPECTO A UN EJE VERTICAL.
SOLUCION.
6) CON CON LOS LOS TEOR TEOREM EMAS AS PAPP PAPPUSUS-GU GULD LDIN INUS US,, DETER DETERMI MINE: NE: a) EL CENTROIDE DE UN AREA SEMICIRCULAR Y b) EL CENTROIDE DE UN ARCO SEMICIRCULAR. SE DEBE RECORDAR QUE EL VOLUMEN Y EL
AREA SUPERFICIAL DE UNA ESFERA SON, RESPECTIVAMENTE,
Y SOLUCION.
7) DETERMINE EL MOMENTO D EINERCIA DE UN TRIANGULO CON RESPECTO A SU BASE. SOLUCION.
8) a) DETERMINE EL MOMENTO POLAR CENTROIDAL DE INERCIA DE UN AREA CIRCULAR POR INTEGRACION DIRECTA; b) UTILICE EL RESULTADO DEL INCISO; a) Y DETERMINE EL MOMENTO DE INERCIA DE UN AREA CIRCULAR CON RESPECTO A UNO DE SUS DIAMETROS. SOLUCION.
a) MOMENT MOMENTO O POLA POLAR R DE DE INERC INERCIA: IA:
b)
MOMENTO DE INERCIA CON RESPECTO A UN DIAMETRO:
9) DETERM DETERMINE INE EL MOMENT MOMENTO O DE INERCI INERCIA A CON RESPECTO RESPECTO A CADA CADA UNO DE LOS EJES COORDENADOS CORRESPONDIENTES AL AREA SOMBREADA QUE SE MUSTRA EN LA FIGURA, UTI UTILICE LOS RESULTADOS INCISOS Y DETERMINE EL RADIO DE GIRO DEL AREA SOMBREADA CON RESPECTO DE CADA ADA UNO DE LOS EJES COORDENADOS.
SOLUCION.
MOMENTO DE INERCIA Ix
MOMENTO DE INERCIA Iy
RADIOS DE GIRO kx Y ky.
10) DETERMINE EL MOMENTO DE INERCIA DEL AREA SOMBREADA CON RESPECTO AL EJE X.
SOLUCION.
MOMENTO DE INERCIA DEL RECTANGULO.
MOMENTO DE INERCIA DEL SEMICIRCULO.
MOMENTO DE INERCIA DEL AREA DADA
11) 11) DETE DETERM RMIINE EL PRODU RODUCT CTO O DE INERC NERCIIA DEL DEL TRI TRIANG ANGULO ULO RECTANGULO MOSTRADO EN LA FIGURA, a) CON RESPECTO A LOS EJES x Y y, Y b) EN RELACION CON LOS EJES CENTROIDALES QUE SON PARALELOS A LOS EJES x Y y.
SOLUCION
a)
PRODUCTO DE INERCIA Ixy
b)
PRODUCTO DE INERCIA Ix”y”
12) DETERMINE EL MOMENTO DE INERCIA DE UNA BARRA DELGADA DE LONGITUD L Y MASA m CON RESPECTO A UN EJE QUE ES PERPENDICULAR A LA BARRA Y QUE PASA A TRAVES DE UNO DE SUS EXTREMOS.
SOLUCION
13) DETERMINE DETERMINE POR INTEGRACIO INTEGRACION N DIRECTA DIRECTA LA LOCALIZACI LOCALIZACION ON DEL CENTROIDE DE UNA ENJUNTA PARABOLICA.
SOLUCION.
DETERMINACION DE LA CONSTANTE k
ELEMENTO DIFERENCIAL VERTICAL
ELEMENTO DIFERENCIAL HORIZONTAL.
14) 14) REEM REEMPL PLAC ACE E LA CARG CARGA A POR POR UN MOME MOMENT NTO O PAR PAR Y FUER FUERZA ZA RESULTANTE QUE ACTUE EN EL PUNTO O. 50Lb/ft
6fT
9Ft
50Lb/ft Fconcentrada = 50Lb/ft * (pft) = 225Lb 2 +↑TR = F +MRO = MO
FR= 0 MRO = 225 lB/ft * 6 Ft = 1350 Lb.ft 1.35 Kp.ft
