Mathcad - Centroides y Momentos de Inercia[1]

MOMENTOS DE PRIMER ORDEN O MOMENTO ESTÁTICO

Q x

Q y

=

=

CENTROIDES DE ÁEAS X c

⌠ ⎮ y d A ⎮ ⌡ ⌠ ⎮ x d A ⎮ ⌡

Y c

=

=

Q x

⌠ ⎮ ⎮ ⌡

. d A

Q y

⌠ ⎮ ⎮ ⌡

. d A

MOMENTOS DE SEGUNDO ORDEN O MOMENTOS DE INERCIA

I x

=

I y

I p

I xy

=

=

=

⌠ ⎮ 2 y d A ⎮ ⌡

Momento de inercia respecto res pecto al eje "x"

⌠ ⎮ 2 x d A ⎮ ⌡

Momento de inercia respecto al eje "y"

⌠ ⎮ 2 r d A ⎮ ⌡

=

⌠ ⎮ ⎮ ⌡

( x 2 + y 2 ) d A

=

I x + I y

⌠ ⎮ x ⋅ y d A ⎮ ⌡

Para ejes centroidales

Momento polar de inercia

Producto de inercia I xy.c

=

0

TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS. El momento de inercia de una superficie respecto a un eje cualquiera, es

igual al momento de inercia ine rcia respecto respecto a su eje centroidal paralelo al anterior, más el producto del área por el cuadrado de la distancia entre ambos ejes.

I x

I y

Este teorema también se aplica al caso de los pr productos oductos de inercia solo que el segundo término tér mino de la expresión es el área por las coodenadas del centroide. Pág.- 1

=

=

I xy

2

I xc + A⋅ y´

2

I yc + A⋅ x´

=

I xy.c + A⋅ x c ⋅ y c

02/11/2009

03:26 PM

RADIO DE GIRO (k). Propiedad de la sección que se deriva de los momentos de inercia I x

I y

I p

=

( k x ) 2 ⋅ A

=

( )

=

( )

k y

k p

2

⋅A

2

⋅A

=>

k x

=>

k y

=>

k p

Se cumple que si

I p

=

=

=

=

I x A I y A I p A

( k p ) 2 ⋅ A

=

I x + I y

=

( k x ) 2 ⋅ A + ( k y ) 2 ⋅ A

2

=>

k p

2

2

k x + k y

=

MOMENTOS DE INERCIA DE FIGURAS SIMPLES 1 ) Cuadrado

Momento de inercia respecto al eje "X" : ⌠ ⎮ 2 I x := y y d A ⎮ ⌡

h

3

⌠ 2 b ⋅ h I x := ⎮ y ⋅ b d y → 3 ⌡0

Del teorema de los ejes paralelos :

I x

2

I xc + A⋅ y´

h

Donde :

A := b b⋅ h

Despejando :

b ⋅ h 2 I xc := I x − A⋅ y´ → 12

y´ :=

=

2 3

Momento de inercia respecto al eje "Y" : Del teorema de los ejes paralelos :

⌠ ⎮ 2 I y := x d A ⎮ ⌡ I y

b

3

⌠ 2 b ⋅ h I y := ⎮ x ⋅ h d x → 3 ⌡0 2

I yc + A⋅ x´

=

3

Donde :

I y :=

b ⋅ h

x´ :=

3

b 2

3

b ⋅ h

2

Momento de inercia centroidal respecto al eje "Yc" :

Centroidal

I yc := I y − A⋅ x´ → 12

2 ) Triángulo escaleno Por triángulos semejantes : x b

I x

=

=

(h − y ) h

⌠ ⎮ 2 y d A ⎮ ⌡

x :=

b h

⋅ (h − y ) h

3

⌠ 2 b ⋅ h I x := ⎮ y y ⋅ x d y → 12 ⌡0

Del teorema de los ejes paralelos : Donde : Pág.- 2

A :=

b b ⋅ h 2

y´ :=

I x

=

2

I xc + A⋅ y´

h 3

02/11/2009

03:26 PM

3

b ⋅ h

2

Despejando :

Centroidal

I xc := I x − A⋅ y´ → 36

3) Triángulo rectángulo Momento de inercia respecto al eje "Y" : dA

=

y ⋅ dx

x := x

⌠ ⎮ 2 I y := x d A ⎮ ⌡

y :=

h b

⋅ x

b

3

b ⋅ h ⌠ 2 I y := ⎮ x ⋅ y d x → 4 ⌡0

Del teorema de los ejes paralelos : Donde :

⌠ ⎮ 2 I x := y y d A ⎮ ⌡

h

x :=

b h

⋅ (h − y )

2

2 3

=

2

I yc + A⋅ x´

⋅ b 3

b ⋅ h

I yc := I y − A⋅ x´ → 36

dA

=

Centroidal

x ⋅ dy

3

⌠ 2 b ⋅ h I x := ⎮ y y ⋅ x d y → 12 ⌡0

Del teorema de los ejes paralelos : Despejando :

y := y

x´ :=

2

Despejando :

Momento de inercia respecto al eje "X" :

b b ⋅ h

A :=

I y

2

I x

=

2

Donde :

I xc + A⋅ y´

A :=

b b ⋅ h 2

y´ :=

h 3

3

b ⋅ h

I xc := I x − A⋅ y´ → 36

Centroidal

4) Triángulo equilátero

Utilizando el teorema de los ejes paralelos y los resultados de los triángulos rectángulos se obtiene : 2 ⎡ b ⎞ ⎤ ⎛ → I YC := 2 ⋅ I yc + A⋅ ⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎦

3

I YC

=

Pág.- 3

b ⋅ h 6

3

b ⋅ h 6

B := 2 ⋅ b

3

=

B ⋅ h 48

02/11/2009

03:26 PM

5 ) Circulo I x

=

⌠ ⎮ 2 y d A ⎮ ⌡ dA y

=

=

=

⌠ ⎮ ⎮ ⌡

( ρ ⋅ sin ( θ ) ) 2 d A

ρ ⋅ d θ ⋅ d ρ

ρ ⋅ sin ( θ )

4

I x

=

I y

=

π ⋅ r

Centroidales

4

Momento polar de inercia : I p

=

⌠ ⎮ 2 ρ d A ⎮ ⌡ r

4

⌠ 2 π ⋅ r I p := ⎮ ρ ⋅ (2 ⋅ π ⋅ ρ ) d ρ → 2 ⌡0

6 ) Semicirculo

Y

Y´ 4

I x

X

=

I y

=

4

π ⋅ R

I y :=

8

A :=

8

I yc := I y − A⋅ (x´ )

Teorema de ejes paralelos

2

π ⋅ R

2

π ⋅ R

x´ :=

2 4

→

π ⋅ R 8

−

4 ⋅ R 3 ⋅ π

4 8 ⋅ R 9 ⋅ π

X´

Centroidales de tablas : 4

I x´

=

π ⋅ R 8

I y´

=

⎛ π − 8 ⎞ ⋅ R 4 ⎝ 8 9 ⋅ π ⎠

I xý´

=

0

4 ⋅ R 3 ⋅ π

Pág.- 4

02/11/2009

03:26 PM

7 ) Cuarto de circulo Y c

Y

2

A :=

R

4

π ⋅ R

I x :=

4

π ⋅ R

y´ :=

16

4 ⋅ R 3 ⋅ π

Centroidales :

X c

I xc := I x − A⋅ (y´ )

X

2

4

→

π ⋅ R 16

−

4 4 ⋅ R 9 ⋅ π

I xc

=

⎛ π − 4 ⎞ ⋅ R 4 ⎝ 16 9 ⋅ π ⎠

I yc := I xc

4 ⋅ R 3 ⋅ π

EJEMPLO 1. Determine los momentos y producto de inercia respecto a ejes centridales Características geométricas : Figura 1 Figura 2 Figura 3 Areas :

R := 10 b := 20

h := 20

B := 20

H := 17.3

2

A1 :=

π ⋅ R

=

2

157.08

A2 := b ⋅ h = 400 A3 :=

B ⋅ H 2

=

173

AT := A1 + A2 + A3 = 730.08

0

Coordenadas centroidales de las figuras con origen en "0" ( esquina inferior izquierda de la figura ) : 4 ⋅ R x 1 := R − = 5.76 3 ⋅ π b = 20 x 2 := R + 2

B = 20 x 3 := R + 2

Centroide global :

y 1 := R = 10 h = 10 y 2 := 2 H y 3 := h + = 25.77 3

X C :=

( A1⋅ x 1 + A2 ⋅ x 2 + A3 ⋅ x 3 ) AT

=

16.935

Y C :=

( A1⋅ y 1 + A2 ⋅ y 2 + A3 ⋅ y 3 ) AT

=

13.736

Distancias "con signo" medidas desde centroide global (origen), al centroide de las figuras.

Pág.- 5

02/11/2009

03:26 PM

d x

=

x ci − X C

d y

=

y ci − Y C

d x1 := x 1 − X C = −11.179

d y1 := y 1 − Y C = −3.736

d x2 := x 2 − X C = 3.065

d y2 := y 2 − Y C = −3.736

d x3 := x 3 − X C = 3.065

d y3 := y 3 − Y C = 12.031

Momentos de inercia centroidales Figura 1 I xc1 := I yc1 :=

Figura 2

4

π ⋅ R

b ⋅ h 3

3926.99

= 13333.33 I xc2 := 12

I xc3 :=

⎛ π − 8 ⎞ ⋅ R 4 = 1097.57 ⎝ 8 9 ⋅ π ⎠

I yc2 := I xc2 = 13333.33

I yc3 :=

8

=

Figura 3

3

B ⋅ H 36

=

2876.51

=

2883.33

3

B ⋅ H 48

Momentos y productos de inercia centroidal : I XC1 := I xc1 + A1⋅ d y1

2

2

2

2

2

2

+ I xc2 + A2 ⋅ d y2 + I xc3 + A3 ⋅ d y3 =

52951.87

= 42327.84 I YC1 := I yc1 + A1⋅ d x1 + I yc2 + A2 ⋅ d x2 + I yc3 + A3 ⋅ d x3 I XYC1 := A1⋅ d x1⋅ d y1 + A2 ⋅ d x2 ⋅ d y2 + A3 ⋅ d x3 ⋅ d y3 = 8359.333

EJEMPLO 2. Determine los momentos y producto de inercia respecto a ejes centridales

Características geométricas : Figura 1 Figura 2

b := 5 B := 25

h := 26 H := 4

Areas : A1 := b ⋅ h = 130 A2 := B ⋅ H = 100 AT2 := A1 + A2 = 230

0 Coordenadas centroidales de las figuras con origen en "0" ( esquina inferior izquierda de la figura ) : B = 12.5 x 1 := 2

h = 13 y 1 := 2

B = 12.5 x 2 := 2

H = 28 y 2 := h + 2

Pág.- 6

02/11/2009

03:26 PM

Centroide global :

X C2 :=

( A1⋅ x 1 + A2 ⋅ x 2 ) AT2

=

12.5

Y C2 :=

( A1⋅ y 1 + A2 ⋅ y 2 ) AT2

=

19.52

Distancias "con signo" medidas desde centroide global (origen), al centroide de las figuras. d x

=

x ci − X C

d y

=

y ci − Y C

d x1 := x 1 − X C2 = 0

d y1 := y 1 − Y C2 = −6.522

d x2 := x 2 − X C2 = 0

d y2 := y 2 − Y C2 = 8.478

Momentos de inercia centroidales Figura 1

Figura 2

b ⋅ h 3

I xc1 := = 7323.33 12

I xc2 :=

3

3

B ⋅ H 12

=

133.33

=

5208.33

3

b ⋅ h I yc1 := = 270.83 12

I yc2 :=

B ⋅ H 12


2

+ I xc2 + A2 ⋅ d y2 =

2

I YC2 := I yc1 + A1⋅ d x1

2

+ I yc2 + A2 ⋅ d x2 =

2

20174.06

5479.17

I XYC2 := A1⋅ d x1⋅ d y1 + A2 ⋅ d x2 ⋅ d y2 = 0

EJEMPLO 3. Determine los momentos y producto de inercia respecto a ejes centridales

Características geométricas : Figura 1 Figura 2

b := 20 B := 5

h := 4 H := 26

Areas : A1 := b⋅ h = 80 A2 := B ⋅ H = 130 AT3 := A1 + A2 = 210

Coordenadas centroidales de las figuras con origen en "0" ( esquina inferior izquierda de la figura ) : b = 10 x 1 := 2

h = 2 y 1 := 2

Pág.- 7

02/11/2009

03:26 PM

B = 2.5 x 2 := 2

H = 17 y 2 := h + 2

Centroide global :

X C3 :=

( A1⋅ x 1 + A2 ⋅ x 2 )

=

AT3

Y C3 :=

5.36

( A1⋅ y 1 + A2 ⋅ y 2 ) AT3

=

11.29


=

x ci − X C

d y

=

y ci − Y C

d x1 := x 1 − X C3 = 4.643

d y1 := y 1 − Y C3 = −9.286

d x2 := x 2 − X C3 = −2.857

d y2 := y 2 − Y C3 = 5.714

Momentos de inercia centroidales Figura 1

Figura 2

b ⋅ h 3 = 106.67 I xc1 := 12

I xc2 :=

3

3

B ⋅ H 12

=

7323.33

=

270.83

3

b ⋅ h = 2666.67 I yc1 := 12

I yc2 :=

B ⋅ H 12


2

+ I xc2 + A2 ⋅ d y2 =

2

I YC3 := I yc1 + A1⋅ d x1

2

+ I yc2 + A2 ⋅ d x2 =

2

18572.86

5723.21

I XYC3 := A1⋅ d x1⋅ d y1 + A2 ⋅ d x2 ⋅ d y2 = −5571.429

EJEMPLO 4. Determine los momentos y producto de inercia respecto a ejes centridales. Compruebe el resultado utilizando el teorema de los ejes paralelos y el resultado del problema No. 2. Características geométricas : Figura 1 Figura 2 Figura 3

3

1

2

b 1 := 5

h 1 := 26

b 2 := 5

h 2 := 26

b 3 := 50

h 3 := 4

Areas : A1 := b 1⋅ h 1 = 130 A2 := b 2 ⋅ h 2 = 130 A3 := b 3 ⋅ h 3 = 200 AT := A1 + A2 + A3 = 460

Coordenadas centroidales de las figuras con origen en "0" ( esquina inferior izquierda de la figura ) : Pág.- 8

02/11/2009

03:26 PM

3 ⋅ b 3

b 3 = 12.5 x 1 := 4

x 2 :=

h 1 = 13 y 1 := 2

h 1 = 13 y 2 := 2

Centroide global :

X C :=

4

=

b 3 = 25 x 3 := 2

37.5

h 3 = 28 y 3 := h 1 + 2

( A1⋅ x 1 + A2 ⋅ x 2 + A3 ⋅ x 3 ) AT

=

Y C :=

25

( A1⋅ y 1 + A2 ⋅ y 2 + A3 ⋅ y 3 ) AT

=

19.52


=

x ci − X C

d y

=

y ci − Y C

d x1 := x 1 − X C = −12.5

d y1 := y 1 − Y C = −6.522

d x2 := x 2 − X C = 12.5

d y2 := y 2 − Y C = −6.522

d x3 := x 3 − X C = 0

d y3 := y 3 − Y C = 8.478

Momentos de inercia centroidales Figura 1 I xc1 :=

b 1⋅ h 1

3

12

=

7323.33

Figura 2 b 2 ⋅ h 2 3

I xc2 :=

3

I yc1 :=

b 1 ⋅ h 1 12

12

Figura 3 =

7323.33

I xc3 :=

3

=

I yc2 :=

270.83

b 2 ⋅ h 2 12

b 3 ⋅ h 3 3 12

=

266.67

=

41666.67

3

=

270.83

I yc3 :=

b 3 ⋅ h 3 12

Momentos y productos de inercia centroidales : I XC4 := I xc1 + A1⋅ d y1

2

2

2

2

2

+ I xc2 + A2 ⋅ d y2 + I xc3 + A3 ⋅ d y3 =

2

40348.12

= 82833.33 I YC4 := I yc1 + A1⋅ d x1 + I yc2 + A2 ⋅ d x2 + I yc3 + A3 ⋅ d x3 I XYC4 := A1⋅ d x1⋅ d y1 + A2 ⋅ d x2 ⋅ d y2 + A3 ⋅ d x3 ⋅ d y3 = 0

Verificación del resultado con el teorema de los ejes paralelos : Del problema No. 2 : Propiedades centroidales de la sección "T" I XC2 = 20174.058

I YC2 = 5479.167

X C2 = 12.5

Y C2 = 19.522

AT2 = 230

Centroide de la sección doble "T"

X := 25

Y := 19.52

Pág.- 9

02/11/2009

03:26 PM

Momentos de inercia centroidales de la sección doble "T".

(

) 2

=

40348.117

(

) 2

=

82833.33

I XTT := 2 ⋅ I XC2 + AT2 ⋅ Y C2 − Y I YTT := 2 ⋅ I YC2 + AT2 ⋅ X C2 − X

EJEMPLO 5. Determine los momentos de inercia respecto a ejes centridales utilizando el teorema de los ejes paralelos y el resultado del problema No. 3.

Del problema No. 3 : Propiedades centroidales de la sección "L" I XC3 = 18572.86

I YC3 = 5723.21

X C3 = 5.36

Y C3 = 11.29

AT3 = 210

Centroide de la sección doble "L" Momentos de inercia centroidales de la sección doble "L".

X := 21

Y := 11.29

(

) 2

=

37145.72

(

) 2

=

114220

I XLL := 2 ⋅ I XC3 + AT3 ⋅ Y C3 − Y I YLL := 2 ⋅ I YC3 + AT3 ⋅ X C3 − X

Pág.- 10

02/11/2009

03:26 PM

Mathcad - Centroides y Momentos de Inercia[1]

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