Momentos de Inercia Respecto a Ejes Inclinados y Circulo de Morh

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA FACUL TAD DE I NGENI ERÍ A

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA SANITARIA SANITARIA

MOMENTOS DE INERCIA: MOMENTOS DE INERCIA PARA PARA EJES INCLINADOS INCLINA DOS Y CÍRCULO DE MOHR PRESENTADO PRESENTADO POR: • •

MARIÑAS ZELADA, ALEXANDRA THALÍA RODRÍGUEZ VERGARA, MIGUEL ÁNGEL

DOCENTE:

ING. LEYLA, DÍAZ CADENILLAS CURSO:

MECÁNICA DE CUERPOS RÍGIDOS CICLO: CICLO VACACIONAL

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA

FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL – INGENIERÍA SANITARIA

CELENDÍN, 25 DE FEBRERO DEL AÑO 2017 2 017

CONTENIDO CONTENIDO........................................................................................................2 I. INTRODUCC INTRODUCCIÓN... IÓN......... ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ .................. ............................3 ................3 II. OBJETIVOS OBJETIVOS:.... :........... ............. ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ........................ .....................4 ...4 2.1. OBJETIVO OBJETIVO GENERAL:... GENERAL:......... ............ ............ ............ ............ ............ ................. ............................ .........................4 ........4 2.2. OBJETIVOS OBJETIVOS ESPECÍFICO ESPECÍFICOS:.... S:.......... ............ ............ ............ ............ ............ ............. .................. ...................4 ........4 III. MARCO MARCO TEÓRI TEÓRICO: CO:... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ........ ......... ......... ......... .......5 ...5 3.1. MOMENTOS MOMENTOS DE INERCI INERCIA A RESPECTO RESPECTO A EJES INCLINADOS:. INCLINADOS:....... ...........5 .....5 3.1.1. 3.1.1. Mom!"o# Mom!"o# $%&!'&$() $%&!'&$()## * I!%'&(:..... I!%'&(:........... ............ ............ ............ ............ ............ ..................+ ............+ 3.2. CIRCULO CIRCULO DE MO,R:...... MO,R:............ ............ ............ ............. ............. ............ ............ .................... ..........................................3.2.1. 3.2.1. PROCEDIMI PROCEDIMIENTO ENTO DE ANALISIS.. ANALISIS........ ............ ............ ............ ........................ .......................... ........ IV. IV. CONCLUSION CONCLUSIONES:.. ES:........ ............. ............. ............ ............ ............ ............ ............ ............ ............ ................... .....................13 ........13 V. BIBLIO BIBLIOGRA GRAFÍA FÍA:... :...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ....... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ....... ........ ......... .......13 ..13

TALA T ALA DE FIGURAS FIGURAS F&/0%( 1. E# &!')&!(*o# %!" ( 0! '0%$o. F&/0%( 2. Com$o!!"# $(%( mom!"o# $%&!'&$()# * &!%'&(. F&/0%( 3. E%'&'&o 1 $%o$0#"o. F&/0%( 3.1. !/0)o# *) %'&'&o 1. F&/0%( 4. E# $%&!'&$()# &!')&!(*o#. F&/0%( 5. I!%'&(# m&m(# 6 m7!&m(#. F&/0%( +. E%'&'&o 2 $%o$0#"o.

MECÁNICA DE CUERPOS RÍGIDOS

!

MOMENTOS DE INERCIA



I.

INTRODUCCI"N

L( &!%'&( # )( $%o$&*(* * )( m("%&( 80 9(' 80 #"( %#&#"( ( '0()80&% '(m;&o ! #0 mo<&m&!"o= 6( #( * *&%''&>! o * <)o'&*(*. E#"( $%o$&*(* # *#'%& *#'%&; ; 'o! 'o! $%'&# $%'&#&>! &>! ! )( $%&m% $%&m%( ( )6 *) *) mo<&m& mo<&m&!"o !"o *) '&!"7 '&!"7&' &'o o ;%&"!&'o I#((' N?"o!= 80 *&' )o #&/0&!": 0! o;"o ! %$o#o "&!* ( $%m $%m(! (!' '% % ! %$o %$o#o #o== 6 0! o; o;"o "o ! mo<& mo<&m& m&! !"o "o "&! "&!* * ( 'o!" 'o!"&! &!0( 0(% % mo<&!*o# ! )7!( %'"(= ( !o #% 80 ('"@ #o;% ))o# 0!( 0%( "%!(. E) mom mom!" !"o o * &!% &!%'& '&( ( o &!% &!%''&( %o"( %o"('& '&o! o!() () # 0!( 0!( m*& m*&*( *( * )( &!%'&( %o"('&o!() * 0! '0%$o. M# 'o!'%"(m!" ) mom!"o * &!%'&( # 0!( m(/!&"0* #'()(% 80 %)( )( *&#"%&;0'&>! * m(#(# * 0! '0%$o o 0! #&#"m( * $(%"7'0)(# ! %o"('&>!= %#$'"o ()  * /&%o. E) mom!"o * &!%'&( #>)o *$!* * )( /om"%7( *) '0%$o 6 * )( $o#&'&>! *)  * /&%o $%o !o *$!* * )(# 0%(# 80 &!"%<&!! ! ) mo<&m&!"o. E) mom!"o * &!%'&( *#m$( 0! $($) (!)o/o () * )( m(#( &!%'&() ! &!%'&() ! ) '(#o *) mo<&m& mo<&m&!"o !"o %'"&)7! %'"&)7!o o 6 0!&o 0!&o%m %m.. E# ) <()o% <()o% #'()( #'()(%% *) *) mom!"o (!/0)(% )o!/&"0*&!() * 0! #>)&*o %7/&*o. E! ) $%#!" &!o%m (*m# * "%("(% #o;% mom!"o# * &!%'&( ! # &!')&!(*o# <%mo# "(m;&! o"%o m"o*o 0#(*o $(%( '()'0)(% )o# mom!"o# * &!%'&( 0"&)&(!*o ) '&%'0)o * Mo9%.


#

MOMENTOS DE INERCIA



II. OJETIVOS: II.$. OJETI OJETIVO VO GENERAL: GENERAL: •

Dmo Dmo#" #"%( %(%% ) *#( *#(%% %%o) o))o )o * mom mom!" !"o# o# * &!% &!%'& '&( ( %#$ %#$' '"o "o ( # # &!')&!(*o#.

II.!. OJETI OJETIVOS VOS ESPECÍFICOS: ESPECÍFICOS: •

• •

D#(%%o D#(%%o))( ))(%% 0!( $o#& $o#&'&> '&>! ! ')(%( ')(%( 6 !"!* !"!*&;) &;)  #o;% #o;% mom! mom!"o# "o# * &!%'&( %#$'"o ( # &!')&!(*o# 6 '&%'0)o * Mo%9. P)(!"(% o%m(# ($)&'("&<(# *) '&%'0)o * Mo%9. A$)&'(% )o# m"o*o# $0#"o# $0#"o# ! %'&'&o#.

III II.. MAR ARCO CO TE" E"R RIC ICO: O: III. II I.$. $. MO MOME MENT NTOS OS DE IN INER ERCI CIA A RES RESPE PECT CTO OA EJES INCLINADOS: •

E! ) *&#o #"%0'"0%() 6 m'!&'o= ( <'# # !'#(%&o '()'0)(% )o# mom!"o# 6 ) $%o*0'"o * &!%'&( I 0= I <  I


%

$(%( 0! %( 'o!

0<

MOMENTOS DE INERCIA


FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL – INGENIERÍA SANITARIA %#$'"o ( 0! 'o!0!"o * # &!')&!(*o# U 6 V '0(!*o # 'o!o'! )o# <()o%# * =

I

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I

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•

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•

= I = I 6  I 6 U#(mo# '0('&o!# * "%(!#o%m('&>! 80 %)('&o!(! )o# # = 6 'o! )o# 0= <:

Figura 1. Ejes inclinados frente a un cuerpo.

•

I!"/%(!*o:


&

MOMENTOS DE INERCIA


FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL – INGENIERÍA SANITARIA •

S&m$)&&'(!*o m*&(!" &*!"&*(*# "%&/o!om"%&'(#:

•

Po*mo# #&m$)&&'(% !:

•

E) mom!" mom!"o o $o)(% $o)(% * &!%'& &!%'&( ( %#$' %#$'"o "o ()   80 $(#( ( "%(<# "%(<# *) $0!"o O #:

III. II I.$. $.$. $. • •

I

M'() M' ()*+ *+' ' - -/* /*0/0/-12 12) ) 3) I*) I*)0/ 0/1: 1:

= I <= I 0< *$!*! *) !/0)o * &!')&!('&>!  * )o# # 0= < E) !/0)o   $ *&! )( o%&!"('&>! * )o# # $%&!'&$()# *) %(. 0


4

MOMENTOS DE INERCIA



Figura 2. Componentes para momentos principales de inercia. Mom!"o# $%&!'&$()# * I!%'&(:  S0#"&"06!*o '(*( 0!( * )(# %(o!# $(%( ) #!o 6 ) 'o#!o= "!mo#:

 Lo# %#0)"(*o# *(! ) mom!"o * &!%'&( m. 6 m&!. $(%( ) %(.  S $0* *mo#"%(% 80 I uv = 0 = &.. ) $%o*0'"o * &!%'&( %#$'"o ( )o# # $%&!'&$()# # '%o.  C0()80&%  #&m"%&'o %$%#!"( 0!  $%&!'&$() * &!%'&( $(%( ) %(.

EJEMPLO $: •

D"%m&! )o# mom!"o# $%&!'&$()# * &!%'&( $(%( )( #''&>! "%(!#<%#() * )( <&/( %#$'"o ( 0!  80 $(#( $o% ) '!"%o&*.

Figura 3. Ejercicio 1 propuesto. SOLUCI"N: E) mom!"o 6 ) $%o*0'"o * &!%'&( * )( #''&>! %#0)"(:

U#(!*o )o# !/0)o# * &!')&!('&>! * )o# # $%&!'&$()# 0= <:


5

MOMENTOS DE INERCIA



P(%( )o# mom!"o# $%&!'&$()# * &!%'&( ( 0= <:

Figura 3.1. Ángulos del ejercicio 1.

III.!. CIRCUL CIRCULO O DE MOHR MOHR:: E) C7%'0)o * Mo9% # 0!( "'!&'( 0#(*( ! &!/!&%7( 6 /o7#&'( $(%( '()'0)(% 'o! ))( mom!"o# * &!%'&(= *o%m('&o!# 6 "!#&o!#= (*($"(!*o )o# m&#mo# ( )(# '(%('"%7#"&'(# * 0!( '&%'0!%!'&( %(*&o= '!"%o= "'H. T(m;&! T(m;&! # $o#&;) ) ')'0)o *) #0%o 'o%"(!" m&mo (;#o)0"o 6 )( *o%m('&>! m&m( (;#o)0"(.

Figura 4. Ejes principales inclinados. •

S !'0!"%( 80:


6

MOMENTOS DE INERCIA


FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL – INGENIERÍA SANITARIA I X − I Y I u − 2

¿ ¿ ¿ •

E! 0! $%o;)m( I u 6 I v #o! )(# <(%&(;)# 6 I x = I y = I xy #o! 'o!o'&*(#:

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•

−

a ) + I uv = R 2

2

2

C0(!*o /%(&'(mo# #"( '0('&>!= #o;% # 80 %$%#!"(! )o# mom!"o# 6 $%o*0'"o# * &!%'&(= )( /%&'( %#0)"( 0! '&%'0)o. E) '&%'0)o 'o!#"%0&*o # 'o!o' 'omo '&%'0)o * Mo9%=* %(*&o R=

√

I X + I Y 2

2

I xy

+

6 '!"%o C=H *o!*

III.!.$.

I x + I y ) ( I 2

.

PROCEDIMIENTO DE ANALISIS

DETERMINAR •

C =

I x , I y , I xy

:

Co! ) o%&/! )o'()&(*o ! ) $0!"o * &!"%# 6 *"%m&!(% I x , I y , I xy

CONSTRUCCION DEL CIRCULO Co!#"%0&% 0! #&#"m( * 'oo%*!(*(# %'"(!/0)(%= * m(!%( 80 )( •

(;#' (;#'&# &#( ( %$% %$%# #! !"( "( ! mom mom!" !"o o * &!% &!%'& '&( (

I

6 )( o%* o%*!( !(*( *( *) *)

$%o*0'"o * &!%'&( I xy •

D"%m&! ) '!"%o *) '&%'0)o C= )o'()&(*o ( 0!( *&#"(!'&(

( I x + I y ) 2

*) o%&/!= 6 $&!"(% () $0!"o * %%!'&(  * 'oo%*!(*(# ( I x , I xy ) •

Po% *&!&'&>! I x #&m$% # $o#&"&
!/("&
•

•

•

)o# mom!"o# * &!%'&( $%&!'&$()# I min 6 I max . E) $%o*0'"o * &!%'&( #% '%o ! #"o# $0!"o#.


7

MOMENTOS DE INERCIA


FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL – INGENIERÍA SANITARIA EJES PRINCIPALES E#" !/0)o %$%#!"( *o# <'# ) !/0)o *#* )   *) %( ! '0#"&>! ()  ) mom!"o * &!%'&( m&mo

I max

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mom!" mom!"o o * &!%'&( &!%'&( m7!&mo m7!&mo I min # $%$!*&'0)(% ()  * &!%'&( m&mo I max .

Figura 5. Inercias máximas  m!nimas. EJEMPLO !: U"&)&' ) '&%'0)o * Mo9% ( $(%"&% *) #&/0&!" $%&) * 0!( #"%0'"0%( m")&'(.

Figura ". Ejercicio 2 propuesto.


$8

MOMENTOS DE INERCIA


FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL – INGENIERÍA SANITARIA P%&m%o 9())(mo# ) mom!"o * &!%'&( I X  I Y 'o! ) "o%m( * S"&!% "!&!*o ! '0!"( 80: X o ´ + A x d ¿ y I K = I ¿ 2

2

3

I X =

a xb

I Y =

a x b

12 3

12

I X =

(

(

20 cm x 0.5 cm

(

•

)(

+ 10 cm ( 9.75 cm ) + 2

2

(

0.5 cm x 19 cm 12

)

3

)(

+ 9.5 cm ( 0 cm ) + 2

2

(

20 cm x 0.5 cm

(

12

12

3

)

2

2

)(

+ 10 cm ( 0 cm) +

(

19 cm x 0.5 cm 12

3

)

2

2

)(

+9.5 cm ( 0 cm ) +

(

0.5 cm x 20 cm 12

4

L0/o )( &!%'&( I xy   A 'o!"&!0('&>!= 0"&)&(mo# ) "o%m( "o%m( * S"&!% $(%( 9())(% ) mom!"o * &!%'&( 'o! %#$'"o % #$'"o () $0!"o A # *'&% "%(#)(*(mo# )o# # $(%())o# ( 0! $0!"o 'o!o'&*o $(%( 80 )( &!%'&( !o #( H

I XA = I X + A T x d

2

A T = A 1 + A 2+ A 3 A T =(20 cm x 0.5 cm )+( 0.5 cm x 19 cm )+( 20 cm x 0.5 cm) A T =29.5 cm

2

A#7: I XA =2187.45 cm I XA =5137.45 cm I YA =666.86 cm

)

3

+ 10 cm ( 2

4

0.5 cm x 20 cm

I Y Y = 666.86 cm

•

3

12

I X =2187.45 cm I Y =

)

4

4

+ 29.5

2

cm x ( 10 cm)

4

2

+ 29.5 cm x ( 10 cm )

I YA =3616.86 cm

2

2

4


$$

MOMENTOS DE INERCIA

3

)

2

+ 10 cm (


FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL – INGENIERÍA SANITARIA A9o%( 9())(mo# ) $%o*0'"o $%o*0'"o * &!%'&( %#$'"o () $0!"o A. I XY = I XY + A T x d x x d y •

A

2

I XY = 0 + 29.5 cm x 10 cm x 10 cm A

I XY = 2950 cm

4

A

•

•

,())(mo# )o# $%o*0'"o# * &!%'&( %%&*o# ( #o# #: Mom!"o# * &!%'&( $%&!'&$()# 6 # $%&!'&$()#= $o% )o 80 0"&)&(mo# ) C&%'0)o * Mo9%. S "%((! )o# # I xy = I x , I y o%"o/o!()# 'omo # mo#"%(% 'o! $o#"%&*(*.

•

S 0;&'(! ! ) $)(!o )o# $0!"o#  I xA = I XyA H   I yA = − I xyA H * 4

3616.86 cm

•

•

4

  5137.45 cm = 2950 cm H 6 K 

#"( o%m( 4

, 2950 cm

4

H

S 0!! )o# $0!"o# 80 'o!"&!! )(# 'oo%*!(*(# (!"%&o%# 80 <&! ( #% 0! *&m"%o *) '7%'0)o= ) $0!"o *o!* *&'9o *&m"%o 'o%"( ()  * )(# (;#'&#(# 80 <&! ( #% ) '!"%o C= 80 $%m&" *&;0(% ) '&%'0)o * Mo9%. E) '!"%o *) '7%'0)o= C= *#* ) o%&/!= #" ( )( *&#"(!'&(: I xA + I yA 5137.45 cm +3616.86 cm ¿ 4377.155 cm  2 2 4

4

4

4

•

4

Co! %%!'&( () $0!"o   5137.45 cm = 2950 cm H= ) %(*&o C # *"%m&!( 0#(!*o ) To%m( * P&"/o%(#:

•

E!'o!"%(mo# $%&m%o )( *&#"(!'&( C 9('&( I XA 80 # ) '(""o

(*6('!" 9(;)(!*o ! "%m&!o# "%&/o!om"%&'o#. I xA −C =5137.45 cm − 4377.155 cm =760.29 cm = !"o!'# ) R(*&o o C # 4

4

4

'()'0)(: CW = √ ( 2950 cm

4 2

4 2

) + ( 760.29 cm ) =3046.39 cm


$!

4

MOMENTOS DE INERCIA


FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL – INGENIERÍA SANITARIA A9o%( $(%( 9())(% ) mom!"o * * &!%'&( m&m( o m7!&m(= ! ) $%&m%

•

'(#o # *; /&%(% 0! !/0)o α 80 %$%#!"( 0! !/0)o *o;)= $o% )o "(!"o= $(%( 0;&'(% )  * m&m( &!%'&( 9(;% 80 /&%(% 0! !/0)o α 2

tg α =

! #!"&*o 9o%(%&o= *o!* α #: 2950 cm

4

760.29 cm

4

α =75.54 °

P%o 'omo # 0! !/0)o *o;)= ) <()o% %() *) (!/0)o #

•

α

75.54 °

2

2

=

=−37.77 °

F&!()m!" o;"!mo# ) %#0)"(*o * I máx  I min I máx=¿ C R  4377.155 cm + 3046.39 cm =7423.54 cm 4

I min

4

4

4

4

C  R 4377.155 cm −3046.39 cm =1330.76 cm

4

IV.. CO IV CONC NCLLUS USIO IONE NES: S: •

•

E) #"0*&o * mom!"o# * &!%'&( %#$'"o ( # &!')&!(*o#= # * <&"() &m$o%"(!'&( $0#"o 80 # < ($)&'(*o ! #"%0'"0%(# &m$o%"(!"# ! $0!"# 6 o"%(# #"%0'"0%(# ! &!/!&%7(= "!&!*o ! '0!"( )o# # 'oo%*!(*o# 'o! %#$'"o ( )( #0$%&'& "%%#"%= #"(!*o #"( 'o! &!')&! &!')&!('& ('&o! o!## o 6( #(! #(! )(# #"%0' #"%0'"0% "0%(# (# ($)&'( ($)&'(*(# *(# )(# 80 "!/(! "!/(! )( &!')&!('&>!. E) '&%'0)o * Mo%9 ($)&'(*o ( )o# mom!"o# * &!%'&( !o# $%m&" 9())(% mom!"o# * &!%'&( $%&!'&$()# 6 $%o*0'"o# * &!%'&( * '0()80&% #"%0'"0%( (*($"(!*o #"(# ( )(# '(%('"%7#"&'(# * 0! '&%'0)o.

V . ILIOGRAFÍA:


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MOMENTOS DE INERCIA


FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL – INGENIERÍA SANITARIA B0#"(m(!" B0#"(m(!" 2H 2H M'!&'( M'!&'( $(%( &!/!&%o &!/!&%o## Vo).1H Vo).1H R'o$)&(* R'o$)&(*o o * 9""$#:???.('#.o%/'o!"!"*(m('#o 9""$#:???. ('#.o%/'o!"!"*(m('#o%/(;o0"$0;)&'#"("&'1M' %/(;o0"$0;)&'#"("&'1M'!&'( !&'( *&!/!&%o#.$* M.C. F&/0%o( 23H E#""&'( 1 $(%( I!/!&%7( R'o$&)(*o *: 9""$:&!;#9".#&!#";'o!"!&*o#Do'0m!"('&>!#""&'( 'om$)m!"o&!/!&%7(!"$52.$*


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Momentos de Inercia Respecto a Ejes Inclinados y Circulo de Morh

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