Universidad Nacional “José Faustino Sánchez Carrión” Facultad de Ingeniería Química y Metalúrgica Escuela Académica Profesional de Ingeniería I ngeniería Metalúrgica
APLICACIÓN DEL CÍRCULO DE MOHR Concepto: El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería para el cálculo de los momentos de inercia, las deformaciones y los esfuerzos, inercia, deformaciones y esfuerzos, adaptando los mismos a las características de un círculo (radio, centro, etc). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta. Este método fue desarrollado hacia 1882 por el ingeniero civil alemán Christian alemán Christian Otto Mohr (1835-1918)
Teoría: Supongamos el sólido de la figura sometido a un estado tensional plano ( σz=τ z=τzx=τ zx=τzy=0). Sea P un punto elástico (Punto geométrico más un entorno material de forma paralelepipédica de lados infinitesimales) de su interior. Su estado tensional vendrá definido por las tensiones σx, σy y τxy tal como se representa en la figura.
El criterio de signos para estas tensiones que se adopta es el siguiente: Tensiones normales: positivas si son de tracción y negativas si fueran de compresión.
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Universidad Nacional “José Faustino Sánchez Carrión” Facultad de Ingeniería Química y Metalúrgica Escuela Académica Profesional de Ingeniería Metalúrgica Supongamos que deseáramos determinar las tensiones en una dirección cualquiera como la definida en la figura mediante el ángulo θ:
Antes de continuar, conviene dejar claro que, los signos de las tensiones actuantes sobre el plano considerado, son las siguientes:
- La tensión normal será positiva si es de tracción - La tensión tangencial es positiva si desde el centro del punto elástico produjera un giro en sentido horario, tal como se indica en la figura siguiente.
Representacion de la grafica de las leyes de transformacion de esfuerzos Son positivos los esfuerzos normales de tracción y son negativos los esfuerzos normales de compresión. En las aplicaciones del círculo de Morh a la mecánica de suelos se empleara El esfuerzo cortante (x=cara positiva, y = dirección negativa ) es positivo si tiende a producir una rotación del elemento en sentido anti horario
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Para definir el signo del esfuerzo cortante solo bastan con fija del signo de
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Las componentes del vector tensión actuante
σ
′ sobre el plano considerado, así como sus
componentes normal y tangencial, pueden calcularse como sigue
Las Ecuaciones (1) pueden ponerse como:
(2)
Operando se obtiene:
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Que corresponde a la ecuación de una circunferencia centro:
Y radio
Respecto a unos ejes en los que en el de abcisas se llevaran los valores de σ y en el de ordenadas los de τ. El plano así definido se denomina plano de Mohr y, la circunferencia anterior se denomina círculo (no circunferencia) de Mohr.
Realizando la construcción gráfica anterior se observa que existe una correspondencia biunívoca entre cada dirección y un punto del círculo de Mohr: a cada dirección que pasa por las proximidades del punto P le corresponde un punto del círculo de Mohr cuya abcisa es la componente normal del vector tensión que actúa sobre la dirección considerada y cuya ordenada es la componente tangencial de dicho vector tensión.
Se podría demostrar que, para pasar del punto representativo de la dirección paralela al eje y (tensiones actuantes: σx y τxy) al punto representativo de la dirección que forma un ángulo θ en sentido antihorario con dicho eje, bastaría con girar el radio vector que une el centro del círculo de Mohr con el punto representativo del eje y un ángulo doble del que en la realidad forman las dos direcciones consideradas y en el mismo sentido, tal como se aprecia en la figura:
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Ecuaciones finales:
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Ejemplos de aplicación del circulo de mohr a la mecanica de suelos : En un punto sobre la superficie de un cilindro a presión, el material está sometido a tensiones biaxiales
x
90 Mpa
y
y
20 Mpa ,
según se ve sobre el elemento de
tensiones de la figura 1-1a. Usar el circulo de Mhor para determinar las tensiones que actúan sobre un elemento inclinado en un ángulo de en el plano.
Figura 2-2
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30º .Considerar solo las tensiones
Universidad Nacional “José Faustino Sánchez Carrión” Facultad de Ingeniería Química y Metalúrgica Escuela Académica Profesional de Ingeniería Metalúrgica a) Elemento en tensión plana b) Circulo de mhor correspondiente
Solución: Construcción del círculo de Mhor. Comenzamos fijando los ejes para las tensiones normales y tangenciales, con
x1
positivo hacia la derecha y
x1 y1
positivo hacia abajo,
como se muestra en al figura 2-2b. Luego situamos el centro C del circulo sobre el eje 1 x
en el punto en que la tensión es igual a la tensión normal promedio.
x y
prom
2
90 Mpa 20 Mpa 2
55 Mpa
El punto A, que representa las tensiones sobre la cara x del elemento (
0 ),
tiene
coordenada:
x1
90 Mpa
x1 y1
0
De manera similar, las coordenadas dl punto B, que representan las tensiones sobre la cara y ( (
x1
90º ) , son:
20 Mpa
x1 y1
0
Ahora dibujamos el círculo a través del punto A y B con centro C y radio R igual a:
2
2 x y 90 Mpa 20 Mpa 2 xy R 0 35 Mpa 2 2
Tensiones sobre un elemento a
30º .Las
orientado según un ángulo
halla a un ángulo
del punto A (Figura 2-2b).
2
60º
30º están
tensiones que actúan sobre un plano
dados por las coordenadas del punto D que se
Por inspección del círculo, vemos que las coordenadas del punto D son:
(Punto D)
1 x prom
R cos 60º
55 Mpa (35 Mpa)(cos 60º ) 72.5 Mpa
x1 y1
Rsen 60º
(35 Mpa)( sen60º )
30.3 Mpa
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Universidad Nacional “José Faustino Sánchez Carrión” Facultad de Ingeniería Química y Metalúrgica Escuela Académica Profesional de Ingeniería Metalúrgica De manera similar, podemos encontrar las tensiones representadas por el punto D’, que
120º (o2
corresponde a un ángulo
(Punto D’)
R cos 60º
x1
prom
240º ) :
55 Mpa (35 Mpa)(cos 60º ) 37.5 Mpa
x1 y1
Rsen 60º
(35 Mpa)( sen60º )
30.3 Mpa
Figura 2-2 continuación Las tensiones que actúan sobre un elemento orientado a un
30º
Estos resultados se presentan en la figura 2-2 sobre un croquis de un elemento orientado a un ángulo
30º ,
con todas las tensiones en sus direcciones verdaderas.
Note que la suma de las tensiones normales sobre el elemento inclinado es igual a x
y
, o 110 Mpa.
Ejercicio 2: Un elemento infinitesimal está sometido a los esfuerzo uno de los ejercicios numéricos indicados a continuación:
Encontrar: a) b)
Los esfuerzos principales y su orientacion Los esfuerzos cortantes maximos y su orientacion 9
x
y
r xy
, indicados en cada
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COORDENADAS
CIRCULO DE MORH
a) Esfuerzos principales
b) Esfuerzos cortantes máximos
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Conclusiones: La representación gráfica del circulo de Mhor es de gran utilidad porque permite visualizar las relaciones entre las tensiones normales y tangenciales que actúan sobre varios planos inclinados en un punto de un cuerpo sometido a tensiones; permite calcular tensione principales, tangenciales máximas y las tensiones en planos inclinados.
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BIBLIOGRAFÍA:
file:///C:/Users/Usuario/Desktop/Ejercicios%20de%20Circulo%20de%20M ohr.pdf
http://ocw.uc3m.es/mecanica-de-medios-continuos-y-teoria-deestructuras/elasticidad-resistencia-de-materialesii/material-de-clase1/materiales-compuestos/anexoA.circulo.mohr.pdf
http://www.aero.ing.unlp.edu.ar/catedras/archivos/Circulo%20de%20Moh r2.pdf
http://www1.ceit.es/asignaturas/Materiales1/docu/tension%20plana.pdf
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esfuerzo normal : Esfuerzo
que es perpendicular al plano sobre el que se aplica la fuerza de tracción o compresión, que es distribuido de manera uniforme por toda su superficie. También llamado esfuerzo axial.
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