MOMENTOS DE INERCIA PARA UN AREA CON RESPECTO A EJES INCLINADOS En el diseño estructural y mecánico, a veces es necesario calcular los momentos y el producto de inercia , e para un área con respecto a un conjunto de ejes inclinados y cuando se conocen conocen los valores para e . Para hacer esto usaremos ecuaciones de transformación, transformación, las las cuales relacionan las coordenadas y . A partir de la figura 1, estas ecuaciones son son
Fig. 1
∫ ∫ ∫
Con estas ecuaciones, los momentos y el producto de inercia de respecto a los ejes y se convierten
con
Al desarrollar cada expresión e integrarlas, así como tener presente que , e , obtenemos
Estas ecuaciones pueden trigonométricas, en cuyo caso
simplificarse
mediante
(1)
las
identidades
Observe que si se suman la primera y la segunda ecuaciones, podemos mostrar que el momento de inercia polar con respecto al eje z que pasa a través del punto O es, como se esperaba, independiente de la orientación de los ejes y ; es decir
Las ecuaciones (1) muestran que , e dependen del ángulo de inclinación de los ejes y . Ahora determinaremos la orientación de esos ejes con respecto a los cuales los momentos de inercia del área son máximo y mínimo. Este sistema particular de ejes se llama ejes principales del área, y los momentos de inercia correspondientes con respecto a esos ejes se llaman momentos de inercia principales. En general, hay un conjunto de ejes principales para cada origen O elegido. Sin embargo, para el diseño estructural y mecánico, el origen O se ubica en el centroide del área. MOMENTO DE INERCIA PRINCIPALES.
El ángulo que define la orientación de los ejes principales puede encontrarse al diferenciar la primera de las ecuaciones (1) con respecto a y establecer el resultado igual a cero. De modo que,
Por tanto, en
( )⁄ ,
(2)
Las dos raíces, y de esta ecuación están separadas en 90° y especifican la inclinación de los ejes principales. Para sustituirlos en la ecuación (1), debemos encontrar primero el seno y el coseno de y . Esto puede hacerse mediante los triángulos de la figura 2, que se basan en la ecuación (2)
Fig. 2
Si sustuimos cada una de las relaciones de seno y coseno en la primera o la segunda de las ec. (1), y simplificamos, obtenemos
√
Según el signo que se elija, este resultado proporciona el momento de inercia máximo o mínimo para el área. Además, si las relaciones trigonométricas anteriores para y se sustituyen en la tercera de las ecuaciones (1), se puede ver que ; es decir, el producto de inercia con respecto a los ejes principales es cero. Como sabemos que el producto de inercia respecto a cualquier eje simétrico es cero, se infiere que cualquier eje simétrico representa un eje principal de inercia para el área.
