6. Producto de Inercia para un área. En general el momento de inercia para un área es diferente para cada eje con respecto al cual se calcula. En algunas aplicaciones aplicaciones de diseño estructural estructural es necesario necesario conocer la orientación orientación de aquellos ejes que se dan, respectivamente, los momentos de inercia y mínimo para el área. Para usar un mtodo en el cual se pueda determinar lo dio anteriormente, es necesario calcular primero el producto de inercia para el área así como sus momentos de inercia para los ejes dados ! y " . El producto de inercia para un elemento de área locali#ado en el punto $%, y&, como se indica en la 'ig. 6.(, se define como
dIxy
=
∫ xy dA
)sí para toda el área, área, el producto de de inercia .
es*
∫
I XY = XY dA
+i se escoge el elemento del área con un tamaño diferencial en dos direcciones, como se indica en la 'ig. 6.(. e-e efectuarse una integral do-le para calcular Ixy. +in em-argo, muy a menudo es más fácil escoger un elemento que tenga un tamaño o espesor diferencial diferencial en una dirección solamente, en cuyo caso el cálculo requiere de solo una integral simple. omo el momento de inercia, el producto de inercia tiene unidades de longitudes elevadas a la cuarta potencia/ por ejemplo, m 0 ,mm0, pie0, plg0. +in em-argo como % o y pueden ser cantidades negativas, mientras que el elemento de área siempre es positivo, el producto de inercia puede puede ser positivo, negativo negativo o cero, dependiendo dependiendo de la locali#ación locali#ación y orientación orientación de los ejes coordenado coordenados. s. Por ejemplo, ejemplo, el product producto o de inercia inercia Ixy para un área será cero si cualquiera de los dos ejes % o y es un eje de simetría para el área. Para demostrar esto, consideramos el área som-rada en la 'ig. 6.1., donde para cada elemento d) locali#ado en el punto $%, y& 2ay un elemento correspondiente d) locali#ado en $%, 3y&. omo los productos de inercia para estos elementos son, respectivamente, %y d) y 4 %y d) la suma alge-raica o integración integración de los productos de inercia para todos los elementos elementos del área que se escogen escogen de esta manera se cancelaran unos con otros. onsecuentemente, el producto de inercia para el
área total se vuelve cero. e la definición de Ixy tam-in se deduce que el 5signo de esta cantidad depende del cuadrante donde está locali#ada el área, 'ig. 6.7. Para los productos de inercia, es posi-le derivar un teorema de ejes paralelos similar al esta-lecido en la 'ig. 6.0., para momentos de inercia. onsidere un área ) y un sistema de x´
coordenadas rectangulares x´ y ´ y
coordenadas son
y
y´
,$'ig. 6.8.&. ) travs del centroide del área, cuyas
se di-uja dos ejes centroidales %9
respectivamente, a los ejes %
yy.
:epresentando con %
y
y
y9 que son paralelos,
y las coordenadas de un elemento
de área d) con respecto a los ejes originales, y con %9 y y9 las coordenadas del mismo elemento respecto a los ejes centroidales, se escri-e
´ X = X + X '
y
Y =Y + Y´ . )l sustituir '
las relaciones anteriores se o-tiene la siguiente e%presión para el producto de inercia Ixy.
∫
∫ ( x + x´ )( y + y´ ) dA
I xy = xy dA =
'
'
¿∫ x' y ' dA + y´ ∫ x ' dA +´ x ∫ y ' dA +´ x ´ y ∫ dA
´ ;a primera integral representa el producto de inercia I x ' y ' del área ) con respecto a los ejes centroidales %9
y
y9. ;as dos integrales siguientes representan los primeros momentos del
área con respecto a los ejes centroidales/ dic2as integrales se reducen a cero puesto que el centroide está locali#ado so-re los ejes. ;a
'
Problema Propuesto:
eterminar el producto de Inercia I !" del triángulo indicado en la 'ig. 6. a. SOLUCION I:
onsideremos el elemento diferencial que tiene un espesor d% y un área d) = y d%, 'ig. 6.-. El producto de inercia del elemento con respecto a los ejes % y y se determinan usando el teorema de ejes paralelos.
~
~ Y + dA X Y d I XY =d ´ I X ~
~
~
~
onde $ x , y & locali#an el centroide del elemento. omo X = X ,
~
Y =
Y 2
~ Y = 0 d I X ~
, de-ido a la simetría, y
, entonces*
()(
d I XY =0 + ( y dX ) X
Y
¿(
h
=
2
)
h h X dX X ( X ) b 2b
2 3
2
2b
) X
Integrando con respecto a ! desde ! = > , 2asta ! =-, da por resultado * 2
h I xy = 2 2b
b
∫ x 0
2
3
dX =
2
b h 8
rpta .
SOLUCION II:
onsideramos un elemento diferencial que tiene un espesor d" y un área d) = $-3%&, como se indica en la 'ig. 6. c. El centroide se locali#a en el punto que el producto de inercia del elemento se vuelve* ~ Y + dA X Y d I XY =d ´ I X ~
x = x + ~
(b − x ) 2
,
y = y ~
,de modo
¿ 0 + ( b − x ) dY
¿
(
)
b b− y dY h
( ) b + X 2
Y
( ) b+
b y h
2
1
(
Y = Y b 2
2
2
−
b
2
h
2
)
y dY
Integrando con respecto a y desde y = > 2asta y = 2 da por resultado* 2
2
b− y (¿ y 2 ) dY = I xy =
)?E!@+
b
2
h 2 2 b h
1 2
8 h
∫¿ 0
rpta.
