MODUL 8
DISTRIBUSI POISSON
Dikembangkan oleh Simon Poisson
Poisson memperhatikan bahwa distribusi binomial sangat bermanfaat dan
dapat menjelaskan dengan baik, namun untuk n di atas 50 dan nilai P(p)
sangat kecil akan sulit mendapatkan nilai binomialnya.
Distribusi probabilitas teoritis diskrit terdiri dari delapan macam
diantaranya adalah :
Distribusi seragam diskret (discrete uniform distribution)
Distribusi hipergeometris (hypergeometric distribution)
Distribusi Bernoulli (Bernoulli distribution)
Distribusi binomial (Binomial distribution)
Distribusi binomial negatif atau Pascal (negative binomial or Pascal
distribution)
Distribusi geometris (geometric distribution)
Distribusi Poisson (Poisson distribution)
Pada kesempatan ini akan dibahas mengenai Distribusi Poison. Distribusi
Poisson diberi nama sesuai dengan penemunya yaituSiemon D.
Poisson. Distibusi ini merupakan distribusi probabilitas untuk variabel
diskrit acak yang mempunyai nilai 0,1, 2, 3 dst. Suatu bentuk dari
distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang Poisson untuk peluang
Binomial yang dapat digunakan untuk pendekatan probabilitas Binomial
dalam situasi tertentu. Rumus Poisson dapat digunakan untuk menghitung
probabilitas dari jumlah kedatangan, misalnya : probabilitas jumlah
kedatangan nasabah pada suatu bank pada jam kantor. Distribusi Poisson
ini digunakan untuk menghitung probabilitas menurut satuan waktu.
Distribusi Poison adalah Suatu eksperimen yang menghasilkan sejumlah
nilai numerik dari variabel random X dengan outcome terjadi selama waktu
tertentu disebut dengan eksperimen poisson. Interval waktu yang diberikan
dapat dalam menit, jam, hari, minggu, bulan atau bahkan tahun. Contoh
dari hasil eksperimen poisson misalnya adalah :
- Jumlah Call Telpon per jam disuatu kantor
- Jumlah kedatangan konsumen Bank dari jam 08.00-12.00
- Jumlah kedatangan mobil disuatu perempatan dari arah tertentu pada jam
7.00 – 8.00
Eksperimen poisson diturunkan dari proses poisson yang mempunyai ciri-
ciri sebagai berikut :
1. Tingkat kedatangan rata – rata setiap unit waktu adalah konstant.
Dalam ilustrasi tadi dapat berarti bahwa jika tingkat kedatangan rata
– rata untuk periode jam adalah, misalkan 72 kedatangan setiap jam,
maka tingkat ini melambangkan interval waktu pada jam kerja tadi :
yaitu tingkat yang dapat dirubah kepada rata – rata yaitu 36
kedatangan setiap ½ jam atau 1.2 kedatangan setiap menit.
2. Jumlah kedatangan pada interval waktu tidak bergantung pada ( bebas
apa yang terjadi di interval waktu yang sudah lewat. Dalam ilustrasi
tadi, dapat berarti bahwa kesempatan dari sebuah kedatangan di menit
berikutnya adalah sama.
3. Tidak memiliki kesamaan bahwa akan lebih dari satu kedatangan dalam
interval pendek, semakin pendek interval, semakin mendekati nol adalah
probabilitas yang lebih dari satu kedatangan. Dalam ilustrasi tadi,
bisa berarti bahwa adalah tidak mungkin untuk lebih dari satu nasabah
yang dapat melawati jalan masuk dalam waktu satu detik.
Distribusi kemungkinan dari variabel random poisson X yang menyatakan
jumlah kejadian ( outcome ) yang terjadi selama interval waktu t adalah :
P ( ( ; Rt )
Dengan R adalah rata-rata jumlah kejadian persatuan waktu dan e = 2,71828
ATAU :
P(X) = (xe-(/X!
Jumlah emiten di BEJ ada 120 perusahaan. Akibat krisis ekonomi, peluang
perusahaan memberikan deviden hanya 0,1. Apabila BEJ meminta secara acak 5
perusahaan, berapa peluang ke-5 perusahaan tersebut akan membagikan
dividen?
Jawab:
Untuk mendapatkan nilai distribusi Poisson, dapat digunakan tabel
distribusi Poisson. Carilah Nilai ( = 12 dan nilai X = 5, maka akan didapat
nilai …?
LATIHAN SOAL TERJAWAB
1. PT JATIM ABADI memproduksi buah melon di Magetan dan Madiun. Setiap
bulannya dapat dihasilkan 20 ton buah melon dengan kualitas A. Buah
melon tersebut di bawa dengan truk ke Jakarta. Probabilitas melon
mengalami kerusakan selama perjalanan adalah 20%. Berapa probabilitas
maksimal 4 ton dari jumlah melon tersebut rusak dan berapa peluang tepat
4 ton buah melon tersebut rusak?
Jawab:
Dari soal dapat diketahui bahwa jumlah sampel atau n=20, dan jumlah
minimal buah melon rusak atau r= 4, probabilitas buah melon rusak atau q
= 0,2, jadi probabilitas buah melon tidak rusak atau p=1-0,2= 0,8
Probabilitas maksimal 4 ton rusak dapat diartikan P(r(4)
P(r(4) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4)
P(r(4) = 0,012 + 0,058 + 0,137 + 0,205 + 0,218
P(r(4) = 0,630
Jadi probabilitas buah melon rusak maksimal 4 ton adalah 0,63.
Peluang tepat 4 ton buah melon rusak adalah:
P(r=4) = P(4)
= 0,218
Jadi probabilitas buah melon rusak tepat 4 ton adalah 0,218.
2. PT Mercubuana Abadi, sebuah perusahaan yang memproduksi mobil,
Tangerang. Setiap bulaanya pabrik dapat menghasilkan 50 buah mobil (N).
Dari sejumlah mobil yang diproduksi, 40 mobil dapat berjalan dengan baik
(S), dan 10 buah mengalami kecacatan. Untuk uji mutu, maka diambil 5
mobil secara acak, dari sejumlah contoh tersebut, berapa peluang 4 buah
mobil akan berjalan baik.
3. Pada tahun 1999, di suatu daerah, jumlah penduduk yang memilih PDIP
adalah 60%. Untuk memprediksi suara PDIP pada tahun 2004 diadakan
survei terhadap 20 orang yang berada di daerah tersebut. Dari kondisi
tersebut, hitunglah probabilitas:
a. Semua orang tersebut memilih PDIP pada tahun 2004
b. Kurang dari 10 memilih PDIP pada tahun 2004
c. Lebih dari 15 memilih PDIP pada tahun 2004
Jawab:
a. Probabilitas semua memilih PDIP pada tahun 2004
P(20) = [20!/20!(20-20)!] 0,6200,420-20 = 0,0000366
b. Probabilitas kurang dari 10 memilih PDIP pada tahun 2004
P(<10) = P(0) + P(1)+ P(2) + P(3)+ P(4) +P(5) +P(6) +P(7)+ P(8) +
P(9)
P(<10) = 0,00 + 0,00 + 0,00 + 0,00 + 0,00 + 0,001
+ 0,005 + 0,015 + 0,035 + 0,071
P(<10)= 0,128
c. Lebih dari 15 memilih PDIP pada tahun 2004
P(>15) = P(16) + P(17) + P(18) + P(19) + P(20)
P(>15) = 0,035 + 0,012 + 0,003 + 0,000 + 0,000
P(>15) = 0,05
4. Produsen susu ABC melakukan penelitian produk baru yang akan
diluncurkan yaitu ABC susu komplit. Konsumen pria ternyata 90% menerima
produk baru ini. Apabila diambil 9 orang orang sebagai contoh:
a. Berapa probabilitas semua orang menerima ABC susu komplit?
b. Berapa probabilitas kurang dari 5 orang menerima ABC susu komplit?
c. Paling sedikit tujuh orang menyukai ABC susu komplit?
5. Pada sebuah pengiriman barang guci keramik dari Singapura ke Jakarta,
dari 10 guci, 6 di antaranya rusak. Untuk memeriksa tingkat kerusakan
dipilih 3 guci. Berapa probabilitas terpilih 2 guci yang rusak?
Jawab:
P(2) = {[6C2] [4C1]}/ [10C3] = [15(4)]/120 = 0,50
6. PT PSK Jaya mempunyai usaha pengiriman barang dengan menggunakan truk
kontainer. Perusahaan memiliki 15 truk. Pada tahun 2003 ternyata 6 truk
rusak. Bagian perbaikan akan memeriksa truk dengan mengambil contoh 5
truk, berapa peluang dari contoh tersebut, 2 truk rusak?
7. Kepala Bagian Kredit Lippo Bank, Nani, SE. MM berdasarkan pada data
Bank Lippo probabilitas seorang nasabah kredit tidak mampu melunasi
kreditnya atau menjadi kredit macet sebesar 0,025. Apabila Bank Lippo
pada bulan Mei 2003 menerima 40 nasabah, berapa probabilitas:
a. Ada tepat 3 nasabah yang akan macet?
b. Paling sedikit ada 3 nasabah yang akan macet?
Jawab:
a. n = 40 ; p=0,025 dan (=n.p = 40x 0,025=1
P(3) = 132,71828-1 / 3! = 0,0613
b. P(<3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3)= 0,0803
8. Penjualan mobil Land Cruiser di Indonesia mengikuti pola distribusi
Poisson dengan nilai rata-rata hitung 3 mobil setiap harinya.
a. Berapa probabilitas tidak satupun mobil laku pada suatu hari?
b. Berapa peluang terjual 1 mobil dalam 1 hari dalam 5 hari berurutan?
9. Pabrik sepatu di Tangerang menghasilkan sepatu dengan jumlah cacat
sebanyak 10%. Apabila dilakukan sampel sebanyak 10 sepatu, berapa
probabilitas:
a. 5 cacat
b. 5 atau lebih di antaranya cacat?
Jawab:
n=10; q=0,1; p=1-q=1-0,1=0,9
a. P(5) = [10!/5!(10 - 5)!] )0,950,110-5 = 0,001
b. P(>5) = P(5) + P(6) + P(7) + P(8) + P(9) + P(10)
= 0,001 + 0,011 + 0,057 + 0,194 + 0,387 + 0,349
= 0,999
10. PT Mercu Buana Group meluncurkan produk baru berupa mobil OPEL. Untuk
uji coba "drive test" dipilih 10 orang. Enam orang menyatakan bahwa
mobil tersebut nyaman dikendarai, sedang 4 orang menyatakan kurang
nyaman. Apabila dari 10 orang tersebut akan diwawancara secara mendalam
untuk suatu iklan, berapa probabilitas akan terpilih 2 orang yang
menyatakan nyaman dan 2 orang yang menyatakan tidak nyaman?
Rumus Pendekatan Peluang Poisson untuk Binomial
Pendekatan Peluang Poisson untuk Peluang Binomial dilakukan untuk
mendekatkan probabilitas probabilitas dari kelas sukses (x) dari n
percobaan Binomial dalam situasi dimana n sangat besar dan probabilitas
kelas sukses (p) sangat kecil. Aturan yang diikuti oleh kebanyakan ahli
statistika adalah bahwa n cukup besar dan p cukup kecil, jika n adalah 20
atau lebih dari 20 dan p adalah 0.05 atau kurang dari 0.05. Pada
pendekatan ini rumusnya lebih mudah untuk digunakan dibandingkan dengan
rumus Binomial.
Rumus pendekatannya adalah :
P ( x ; μ ) = e – μ . μ X
X ! Dimana : e = 2.71828
μ = rata – ratakeberhasilan = n . p
x = Banyaknya unsur berhasil dalam sampel
n = Jumlah / ukuran populasi
p = probabilitas kelas sukses
Rumus proses poisson :
P ( x ) = e –λ . t . ( λ . t ) x
X! Dimana :λ = Tingkat rata – rata kedatangan tiap unit waktu
t = Jumlah unit waktu
x = Jumlah kedatangan dalam t unit waktu
Teorema :
Rata-rata dan varian dari distribusi poisson keduanya adalah sama dengan Rt
Contoh Histogram Poison :
Contoh 1
Dalam sebuah percobaan dilaboratorium, jumlah rata-rata partikel yang
melewati sebuah counter adalah = 4 per milisecond. Berapa kemungkinan bahwa
akan ada 6 partikel yang masuk dalam counter selama satu milisecond ?
Jawab :
P ( x = 6 ) = P ( x ( 6 ) - P ( x ( 5 )
=
=
= 0.8893 - 0.7851
= 0.1042
Contoh 2
Rata-rata jumlah mobil tanker yang datang setiap hari pada suatu
pelabuhan adalah 10. fasilitas dalam pelabuhan tersebut dapat menangani
paling banyak 15 mobil tanker perhari. Berapa kemungkinannya pada suatu
hari mobil tanker harus kembali karena tidak dapat dilayani ?
Jawab :
Distribusi poisson dengan R = 10
P ( x ( 16 ) = 1 – P ( x ( 15 ) = 1 – 0.9513
= 0.0487
Jadi kemungkinan terjadi mobil harus kembali karena tidak dapat
dilayani = 0.0487
Seperti pada distribusi binomial, distribusi poisson banyak digunakan
didalam masalah pengendalian kwalitas, jaminan kualitas dan sampling
penerimaan. Disamping itu, distribusi kontinu tertentu yang digunakan
didalam teori reliabilitas dan teori antrian bergantung kepada proses
poisson ini.
Hampiran Distribusi Poison terhadap Binomial :
X ~ binomial (n, p); n ; p 0
X ~ Poisson (λ); λ = np
Contoh 3
Jika rata – rata kedatangan λ = 72 setiap jam, berapakah peluang dari x =
4 kedatangan dan t = 3 menit. Gunakan proses poisson.!
Jawab :
Dik : λ = 72 kedatangan setiap jam atau 72 / jam maka 1 jam atau 60 menit
adalah unit waktunya. Berarti 3 menit adalah 3 / 60 = 1 / 20 unit waktu
maka t t = 1 / 20 dan x = 4
P ( x ) = e –λ . t . ( λ . t ) x
X!
P ( x ) = e –72 . ( 1/ 20 ) . ( 72 . 1 / 20 ) 4
4!
= 0.191 atau 19.1 %
Latihan soal :
1. Banyaknya gangguan mesin yang terjadi per hari diketahui berdistribusi
Poisson dengan rata rata 10 gangguan per hari. Probabilitas bahwa
terdapat paling sedikit terdapat 5 gangguan
per hari?
2. Probabilitas suatu produk yang harus dibuang karena rusak adalah 0,01.
Jika terdapat sebanyak 1000 produk, probabilitas terdapat 10 produk
yang dibuang karena rusak?
3. Sebuah eksperimen dilakukan sebagai berikut : Sebuah dadu dilempar 1x.
Bila muncul angka genap maka sebuah mata uang dilempar 1x, akan tetapi
bila muncul angka ganjil sebuah mata uang dilempar 2x. Gambarkan
"diagram pohon" dari eksperimen ini dan tentukan ruang sampelnya.
4. Sebuah perusahaan "Real Estate" merencanakan akan membangun perumahan
dengan alternatif perancangan sebagai berikut :
a. Ada 4 alternatif perancangan.
b. Ada 3 alternatif sistem pendingin
c. Dengan 1 garasi atau 2 garasi mobil
d. Dengan taman atau tanpa taman.
Hitunglah jumlah seluruh alternatif rancangan yang dapat ditawarkan
kepada calon pembeli.
5. Probabilitas sebuah pesawat mengalami gangguan mesin dalam sebuah
penerbangan adalah 0.001. Berapa probabilitas sebuah pesawat mengalami
5 kali gangguan mesin dalam 500 kali penerbangan berikutnya? Diketahui
masing-masing gangguan adalah independen.
6. Rata-rata jumlah panggilan lewat telepon yang masuk bagian pelayanan
Telkom per menit adalah 5 buah. Berapa probabilitas dalam satu menit
tertentu tidak terdapat panggilan yang masuk dari pelanggan? Berapa
probabilitas dalam satu menit lebih dari 5 panggilan masuk?
-----------------------
Harga ini dilihat dari tabel
