Probabilitas Fung Fu Fungsi ngs si Dist Distri ribu busi si Pr Prob Probabilitas obab abil ilit itas as Minggu--4 Minggu -4 & 5
•
Dengan cara yang sama, untuk variabel acak kontinyu X dengan PDF f x(x), nilai ratarata-rata -rata adalah E(x) = ∫
∞
-∞
x f x(x) dx
(1b)
1.2 Ekspektasi matematik • Gagasan ratarata-rata -rata weighted atau nilai harapan dapat dinyatakan untuk sebuah fungsi X. Diberikan sebuah fungsi g(X), nilai harapan E[g(X)], ditentukan sebagai suatu pernyataan dari persamaan (1), adalah E[g(X)] =
g(xi) px(xi)
(2a)
Semua xi
jika X adalah diskret. Jika X adalah kontinyu, maka E
x
=
∞
x f x dx
2b
-∞
•
Kedua kasus diatas, E[g(X)] disebut sebagai ekspektasi matematik dari g(X). Kuantitas lain yang digunakan juga untuk mendisain nilai sentral .
•
Mode x adalah nilai yang paling mungkin dari variabel acak atau kerapatan probabilitas paling tinggi.
•
nilai-nilai diatas Median, x m adalah nilai tengah dari variabel acak dimana nilai. m median dari X, maka Fx(xm) = 0.50
•
(3)
Secara umum, mean, median, dan mode adalah berbeda, khususnya jika fungsi kerapatan tidak simetri. Akan tetapi, jika PDF adalah simetri dan unimodal mode tun al keti a besaran ini adalah sama.
1.3 Varian dan Deviasi standar (pengukuran dispersi). • Besaran paling penting lainnya dari variabel acak adalah pengukuran spers , ya u esaran yang mem er an pengu uran, se erapa e a nilai--nilai yang berbeda dikelompokkan (atau seberapa besar nilai penyebarannya) disekitar nilai sentral.
•
Jika deviasi diambil terhadap nilai ratarata -rata, maka pengukuran rata rata--rata an sesuai dari dis ersi adalah varian. Untuk variabel acak X diskret dengan PMF px(xi), varian X adalah N
(xi - µx)2 px(xi) = (1/N)
Var(X) = Semua xi
(xi - µx)2
(4)
i=1
dimana µx Ξ E(x). Persamaan diatas adalah berdasarkan persamaan (3) adalah ekspektasi matematik dari g(X) = (X - µx)2. Selanjutnya jika X , x ∞
Var(X) = ∫ (x - µx)2 f x(x) dx
(5)
-∞
span n egra
a am persamaan
,
apa
∞
Var(X) = ∫ (x2 - 2µxx + µx2) f x(x) dx -∞
= E(x2) - 2µx E(x) + µx2 Var(x) = E(x2) - µx2
(6)
•
Pada persamaan (6), suku E(X 2) diketahui sebagai nilai ratarata -rata kuadrat dari X.
•
Pengukuran lebih mudah dari dispersi adalah akar kuadrat dari varian, atau deviasi standar, σ; yaitu, σx = square root(Var(X))
(7)
• Dengan kata lain, apakah dispersi besar atau kecil sangat berarti jika relatif terhadap nilai sentral. Untuk alasan ini, koefisien variasi, x
=
x
x
1.4 Pengukuran skewness • Sifat lain an ber una dari variabel acak adalah simetri atau kuran simetri dari suatu distribusi probabilitas, berkaitan dengan besar dan arah ketidaksimterian. Pengukuran ketidaksimetrian ini atau skewness adalah momen sentral ketiga, atau E(X - µx)3 =
(xi - µx)3 px(xi) Semua xi
untuk X diskret
dan ∞
E(X - µx)3 = ∫ (x - µx)3 f x(x) dx
untuk X kontinyu
-∞
-
x
3
x
Skewness positif
Skewness negatif f x(x)
fx2 E(X2-µ2)3 > E(X1-µ1)
f x(x)
E(X1-µ1)3 < E(X2-µ2)3
fx1
f x1 x2
0
x
0
Ketidaksimetrian PDF
x
2. Distribusi Probabilitas •
Jenis- jenis Jenisjenis fungsi sebelumnya dapat digunakan untuk menggambarkan distribusi probabilitas dari suatu variabel acak. Akan tetapi, terdapat sejumlah fungsi diskret dan kontinyu yang berguna dan dikenal luas,
(1). 2 . (3). (4). (5).
Distribusi Distribusi Distribusi Distribusi Distribusi
Normal Normal Standar Rayleigh Rayleigh Tak Berdimensi Binomial
2.1 Distribusi Normal • Distribusi normal merupakan distribusi probabilitas yang paling dikenal . Gaussian. Distribusi normal memiliki fungsi kerapatan probabilitas, PDF diberikan oleh x
x =
σ.sqr
exp -
. x x--µ σ
, -∞ < x < ∞
dimana µ dan σ adalah parameter distribusi, yang mana adalah juga ratarata . , . f x(x)
Area = Pr(a ≤ x ≤ b)
0
•
a
µx
b
x
Sifat-sifat PDF Normal berdasarkan gambar adalah: Sifat- Simetris di x = µx - Pr(X ≤ x*) = ∫ (1/(σ ∫ (1/(σx.sqrt(2∏)).exp[ .sqrt(2∏)).exp[--1/2.((x1/2.((x-µx)/σ )/σx)2] dx -∞ CDF Normal b - Pr(a ≤ X ≤ b) = ∫ (1/(σ ∫ (1/(σx.sqrt(2∏)).exp[ .sqrt(2∏)).exp[--1/2.((x 1/2.((x--µx)/σ )/σx)2] dx a
- Pr[x ≤ µx] = Pr[x ≥ µx] = 50 %
2.2 Distribusi Normal Standar • Distribusi Gaussian dengan parameter µ x = 0 dan σx = 1 dikenal sebagai distribusi normal standar dan dinyatakan sebagai N(0,1). Fungsi kerapatannya adalah f z(z) = (1/sqrt(2∏)).exp [[-1/2.z2]
, -∞ < z < ∞
(10)
dimana z = (x - µx)/σ )/σx •
a -s a orma an ar: - Simetris di z = 0 - Pr[z ≤ 0] = Pr[z ≥ 0] = 50 % z*
- F(z*) = Pr(Z ≤ z*) = Φ(z*) = ∫ (1/(2∏)).exp[∫ (1/(2∏)).exp[-z2 /2] dz , z ≥ 0 -∞
CDF normal standar, Gambar (1a), nilai Φ(z*) di lamp Ang&Tang
dan inversnya z* = Φ-1(p) p = F(z*)
f z(z)
Probabilitas = p
0
Z*
z
-
- * , * Pr[Z ≤ ≤ -z*] = Pr[Z ≥ +z*] = 1 – Pr[Z ≤ +z*] Φ(-z*) = 1 – Φ(z*) ,
z* ≥ 0
dan inversnya -z* = Φ-1(1 (1--p) z =- -p f z(z)
Probabilitas = p
-Z*
0
Gambar (1b)
z
- Untuk p = Pr(Z ≥ z*) , z* ≥ 0 Pr(Z ≥ z*) = 1 – Pr[Z ≤ +z*] = 1 – Φ(z*)
(Gambar 1c)
z* = + Φ-1(1 (1--p)
f z(z)
Probabilitas = p
0
+Z*
Gambar (1c)
z
- Untuk p = Pr(Z ≥ z*) , z* ≥ 0 Pr[Z ≥ ≥ -z*] = Pr[Z ≤ +z*] = Φ(z*)
(Gambar 1d)
an nversnya z* = -Φ-1(p) z
Probabilitas =
-Z*
0
Gambar (1d)
z
•
Distribusi Normal kebanyakan digunakan untuk: - Penentuan persentase kejadian pada batas tertentu - Penentuan interval kepercayaan pada persentase tertentu
. . • Persentase kejadian suatu kejadian pada batas [a,b] dapat ditentukan dengan mengubah distribusi N(µ x,σx) menjadi distribusi N(0,1): - x - x x x = Φ[(b [(b--µx)/σ )/σx] – Φ[(a [(a--µx)/σ )/σx] = Φ(zb) – Φ(za)
(11)
2.2.2 Penentuan Interval Kepercayaan • Penentuan interval suatu kejadian pada suatu persentase tertentu dilakukan dengan aturanaturan-aturan penggunaan distribusi normal standar berikut: 1. za = -zb 2. Pr[za ≤ z ≤ zb] = (1 - α) 3. Pr[z ≤ za] = Pr[z ≥ zb] = α /2 4. z = -Φ-1 1 - α 2
5. zb = Φ-1(1 - α /2) 6. [a,b] = [µx + za σx , µx + zb σx] •
Untuk memperjelas aturanaturan -aturan diatas dapat dilihat pada gambar.
x
z
/2
/2
α
/2
α
/2
α
α
-
a
µx
-
b
x
za
0
z
zb
Gambar (2) Definisi interval kepercayaan dengan persentase kejadian (1 -
)
α
•
Contoh: Diketahui arus kendaraan bermotor di kota A di tahun 1999 Contoh: mengikuti aturan distribusi normal N(200, 85). (a) Berapa persentase kejadian tahun 2000 dengan jumlah jumlah kendaraan diantara 180 dan 205 ? persentase kejadian yang diinginkan adalah 80 %.
• Solusi (a) Berdasarkan persamaan Pr[180 ≤ X ≤ 205] = = = = =
11: Φ((205 ((205--200)/85) – Φ((180 ((180--200)/85) Φ(0.059) – Φ(-0.176) Φ(0.059) – (1(1-Φ(0.176)) 0.523 – (1 – 0.570) 0.09 = 9 %
(b) Berdasarkan sifat sifat--sifat distribusi normal standar standar:: Pr[z Pr[ za ≤ Z ≤ z ≤ zb] = 80 % 1-α = 80 %
α α
= 1 – 80 % = 20 %
Pr[za ≤ Z] = za = = = Pr[Z ≤ zb] = zb = = =
/2 = 10 % - -α -Φ-1(0.9) -1.282
α
/2 = 10 % Φ-1(1 (1--α /2) Φ-1(0.9) 1.282
α
Jadi persentase kejadian 80 % terjadi saat jumlah kendaraan bermotor . . , .
2.3 Distribusi Rayleigh • Distribusi ini disebut juga dengan distribusi selisih atau distribusi puncakpuncak lembah. Untuk lebih jelas lihat gambar.
H5
H1 H4
H3
Gambar 3 – Data pengamatan dan selisih puncak - lembah
t
•
Berdasarkan gambar sampel data elevasi muka air diatas, yang dimaksud dengan selisih puncak – lembah adalah tinggi gelombang, H.
•
Bentuk PDF dan CDF Rayleigh: f(x) = (2x/R).exp[(2x/R).exp[ -x2 /R] X
F x =
2x R .ex
-x2 R dx = 1 – ex
(12) -x2 R
13
0
dimana R adalah parameter distribusi, yang secara matematika dinyatakan sebagai: N
xi2
R = (1/N) i=1
=
rms
2
xrms disebut x root mean square atau x akar ratarata -rata kuadrat.
•
Distribusi Rayleigh digunakan dalam penentuan ratarata-rata variabel tinggi gelombang terbesar (x 1/n) dengan persentase kejadian 1/n x 100 % dalam analisis gelombang individu. yang melewati atau sama dengan x p. Besar probabilitas yang terbentuk sebesar p = Pr(X ≥ xp). Besaran yang digunakan x1 = RataRata-rata variabel acak di Pr(X ≥ xp) = 1 x 100 % = 100 % =1 x1/3 = ataata-rata var a e aca r ≥ xp = x = . = 0.33 x1/10 = RataRata-rata variabel acak di Pr(X ≥ xp) = 1/10 x 100 % = 30 % = . n
f(x)
Pr[X>xp] = p
x xp
x1/n
Gambar (4) – Definisi probabilitas X yang terlewati oleh xp dan rata-rata tinggi gelombang lewat x 1/n
2.4 Distribusi Rayleigh Tak Berdimensi • Distribusi ini merupakan bentuk standar distribusi Rayleigh dan memiliki bentuk yang konstan = =
-
dimana: f(z)
z = x/xrms
z 0
Gambar (5) – Distribusi Rayleigh tak berdimensi
•
Distribusi Ra lei h tak berdimensi di unakan untuk mem ermudah dalam penentuan x1/n. ∞
Pr[X ≥ xp] = ∫ (2x/R).exp[∫ (2x/R).exp[-x2 /R] dx = 1/n
(15)
xp
xp = sqrt[R.(ln n)] •
(16)
Rata--rata adalah momen pertama PDF Rayleigh Rata ∞
xp = x1/n = ∫ x ∞ f(x) dx = xp exp[ exp[--xp2 /R] + sqrt(∏R){1sqrt(∏R){1-Φ(sqrt(2/R) xp)} xp ∫ f(x) dx 1/n xp
Substitusi persamaan (16) ke persamaan (17), menjadi: x1/n = {sqrt(ln(n)) + n sqrt(∏) [1 – Φ(sqrt(2 ln(n)))]} sqrt(R) (18) atau x1/n /xrms = sqrt(ln(n)) + n sqrt(∏) [1 – Φ(sqrt(2 ln(n)))]
(19)
•
Berdasarkan persamaan (18), besaran statistik untuk x 1 dapat ditentukan: x1/10 /xrms = 1.80 . 1/3 rms = x1 /xrms = 0.886
• •
10
, x1
3
, dan x1
(20) (22)
Contoh: Gelomban Diketahui sejumlah pasangan tinggi dan perioda gelombang, dengan besaran parameter statistik tinggi gelombang diberikan sbb:
Hrms
Normal.
= . me er = 0.705 meter
• •
Solusi Untuk distribusi Rayleigh Dengan mengunakan persamaan (21), didapat 1/3
•
.
rms
.
.
.
Untuk distribusi Normal - Tentukan σ Berdasarkan persamaan (6) Var(x) = E(x2) – E[x]2 atau σx = [E(x2) – E[x]2]0.5
σh = [Hrms2 – H j2]0.5 = [0.7052 – 0.622]0.5 = 0.336 meter = 0.34 meter
- Tentukan harga z1
3
Lihat Tabel. Pr[Z ≤ z1/3] = 1 – Pr[Z ≥ z1/3] = – . = 66.67 % Φ(z1/3) = 66.67 Maka harga z1/3 : z1/3 = Φ-1(66.67 %) z1/3 = 0.4307 - Tentukan persamaan rata rata--rata variabel di selang [H ≥ H1/n] 1/n
=
∞
=
H1/n ∞
∫ f(H) dH H1/n
∞ H1/n
σh sqr
.exp 1/n
.
-µh σh
H1/n = µh + (n/sqrt(2∏)) σh .exp( .exp(--z1/n2 /2) Jadi H1/3 = µh + (3/sqrt(2∏)) σh . exp(exp(-1/2 . z1/32) = 0.705 + (3/sqrt(2 3.14)) 0.34 exp(exp( -1/2 0.43072) = 0.705 + (1.09) (0.34) = 1.08 meter
∞
∞
z1/n = ∫ z f(z) dz = ∫ z (1/(σ (1/(σh sqrt(2∏)).exp[ sqrt(2∏)).exp[--1/2.z2] dz z1/n ∞ z1/n ∫ f(z) dz 1/n z1/n
z1/3
= ((-1/2) exp[exp[-1/2 .z1/n2] = ((-1/2) exp[ exp[--1/2 .z1/32] = 1.09
H1/3 = µh + z1/3 σh = 0.705 + (1.09) (0.34) = 1.08 meter
2.5 Distribusi Binomial • Bentuk persamaan distribusi binomial adalah sbb: Pr(X = x) =
n x
px (1 – p)n-x ,
x = 0, 1, 2, … , n
dimana: , n = koefisien binomial x = n! x! (n(n-x)! •
Bentuk fungsi diatas adalah Fungsi Massa Probabilitas (PMF), dimana terjadinya adalah 1 – p.
