BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang
Dala Da lam m St Stat atis isti tika ka ki kita ta di diha hada dapk pkan an un untu tuk k me mena nari rik k ke kesi simp mpul ulan an da dan n keputu kep utusan san dar darii sua suatu tu per permas masala alahan han.. Kesi Kesimp mpulan ulan ya yang ng dib dibuat uat,, keb kebena enaran ranny nyaa tidaklah tidak lah pasti secara absol absolut, ut, sehing sehingga ga timbu timbull persoa persoalan lan bagai bagaimana mana keya keyakinan kinan untuk untu k mempercayai mempercayai ke-benaran dari dari kesimpulan kesimpulan tersebut. tersebut.
Untuk hal tersebut tersebut
diperlukan suatu teori yang biasa disebut teori peluang atau probabilitas.Dalam teori teo ri ini dib dibaha ahas, s, ant antara ara lai lain n ten tentan tang g ket ketida idak k pas pastia tian n dar darii sua suatu tu kej kejadi adian an ata atau u peristiwa. Ada tiga lingkungan dalam proses pengambilan keputusan yang telah dijadi dij adikan kan dal dalil il yak yakni ni pas pasti, ti, ket ketida idakpa kpastia stian n dan risi risiko. ko. Mak Makaa dar darii itu itu,, dal dalam am makalah ini akan dijelaskan lebih lanjut tentang teori peluang probabilitas!
1.2
Rumusan Masalah
".#." ".#."
Apa penger pengertia tian n pelu peluang ang proba probabil bilitas itas!! $
".#.# ".#.#
%endekatan %endekatan apa saja saja yang digunakan digunakan dalam perhitunga perhitungan n peluan peluang$ g$
".#.& ".#.&
Apa saja saja atura aturan n dasar dasar dalam dalam peris peristiw tiwaa probab probabili ilitas$ tas$
".#. ".#.' '
Apa Apa itu itu perm permut utas asii dan komb kombin inasi asi$$
1.3
Tujuan
".&." ".&."
Agar Agar kita menget mengetahu ahuii pengertia pengertian n dari peluan peluang g probab probabilit ilitas! as!
".&. ".&.# #
Untu Untuk k
meng menget etah ahui ui
pend pendek ekat atan an-p -pen ende deka kata tan n
yang ang
digu diguna naka kan n
dala dalam m
perhitungan peluang ".&.& ".&.&
Agar Agar mengeta mengetahui hui aturan aturan dasar dasar dalam dalam perist peristiwa iwa proba probabil bilita itass
".&.' ".&.'
Untuk Untuk meng mengetah etahui ui apa apa itu perm permuta utasi si dan kom kombin binasi asi
11
BAB II PEMBAHAAN
2.1
Pengert!an Peluang
%eluang probabilitas! adalah derajat atau tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasil percobaan statistik. Suatu probabilitas dilambangkan dengan %!. Untuk membantu pemahaman konsep dasar probabilitas terlebih dahulu harus memahami analisis kombinatorial, yaitu analisis bilangan (aktorial, permutasi dan kombinasi. Secara umum probabilitas dapat dipahami sebagai suatu nilai dari ) s*d " yang mennjukkan mennjukkan seberapa besar terjadinya terjadinya suatu peristiwa, peristiwa, suatu kejadian e+ent!. Adapun hasil output! adalah sekumpulan data yang merupakan seluruh hasil dari eksprimen. Sedangkan eksprimen sendiri menjelaskan suatu proses yang dilakukan untuk mendapat hasil-hasil yang diamati lebih jauh. Sebagai contoh, proses pelemparan dadu untuk mendapatkan hasil adalah merupakan suatu eksprimen, sedangkan ", #, &, ', , adalah keseluruhan hasil out o ut co come mes! s! ya yang ng mu mung ngki kin n te terja rjadi di.. Ku Kump mpul ulan an an angk gkaa ge gena nap p # #,, ', ! ata atau u kumpulan angka ganjil ", &, ! adalah kejadian e+ent!.
2.2 2.2
Pen" Pen"ek ekat atan an "ala "alam m Per Perh! h!tu tung ngan an Pelu Peluan ang g
A. %end %endek ekat atan an Klasi Klasik k Apabila Apabila suatu peristiwa +ent! dapat terjadi sebanyak h dari sejumlah sejumlah
n
kejadian kejadian yang mempunyai mempunyai kemungkin kemungkinan an sama untuk untuk terjadi maka probabilit probabilitas as peristiwa atau %! dapat dirumuskan /
Misalnya/ bila sekeping koin dilempar sekali, maka secara logika dikatakan bahwa masing-masing sisi mempunyai peluang yang sama, yaitu ), karena koin
12
hanya terdiri atas dua sisi masing-masing, dan masing-masing sisi mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul atau dicatat. %A! 0 %1! 0 ),
1. %end %endek ekat atan an mpi mpiris ris %erumusan %erumusan perhitungan perhitungan berdasarkan berdasarkan pendekatan pendekatan empiris empiris adalah atas dasar pengertian (rekuensi relati(. %endekatan ini dilakukan karena pendekatan perhitungan klasik dipandang memiliki beberapa kelemahan. Dalam kenyataan , syarat yang ditetapkan jarang dapat dipenuhi. Suatu peristiwa peristiwa mempunya mempunyaii h kejadian dari serangkaian serangkaian n kejadian dalam suatu percobaan, percobaan, maka peluang merupakan merupakan (rekuensi relati( relati(
h/n
, dinyatakan dinyatakan
sebagai /
Untuk n mendekati nilai tak terhingga.
2. %end %endek ekat atan an Subjek Subjekti ti( ( %ada pendekatan subyekti(, beberapa orang dapat saja memiliki keyakinan yang yang berbed berbedaa terhad terhadap ap terjadi terjadiny nyaa suatu suatu peristi peristiwa, wa, meskip meskipun un in(orm in(ormasi asi yang yang diterima berkaitan dengan peristiwa tersebut adalah sama. 3al tersebut disebabkan karena setiap orang berpikir dam mempunyai keyakinan yang berbeda terhadap suatu masalah yang sama. Dari pengertian pengertian-penge -pengertian rtian tersebut, dapat disusun suatu pengertian umum mengenai probabilitas, yaitu sebagai berikut / %robabilitas adalah suatu indeks atau nilai yang digunakan untuk menentukan tingka tingkatt terjadi terjadiny nyaa suatu suatu kejadia kejadian n yang yang bersi(a bersi(att random random acak!. acak!. 4leh 4leh karena karena probabilitas merupakan suatu indeks atau nilai maka probabilitas memiliki batas batas yaitu mulai dari ) sampai dengan " 5) 6 % ! 6 "7. "7.
13
Artinya / -
8ika 8ika % 0 ) diseb disebut ut proba probabi bili lita tass kemu kemust stahi ahila lan n arti artiny nyaa kejad kejadian ian atau atau peri perist stiw iwaa tersebut tidak akan terjadi.
-
8ika 8ika % 0 ", diseb disebut ut proba probabi bili lita tass kepa kepasti stian an,, arti artiny nyaa kejad kejadia ian n atau atau perist peristiw iwaa tersebut pasti terjadi.
-
8ika 8ika ) 9 % 9 ", diseb disebut ut proba probabi bili lita tass kemu kemung ngki kina nan, n, artin artiny ya keja kejadi dian an atas atas peristiwa tersebut dapat atau tidak dapat terjadi.
-
8ik 8ika kem kemungki ngkin nan terj terjad adin iny ya peris eristi tiwa wa diseb isebut ut % ! ! maka aka besa besarn rny ya probabilitas bahwa peristiwa tidak terjadi adalah /
2.3
Aturan Da Dasar Pr Pr#$a$!l!tas
A.
Aturan Penjumlahan
Untuk menerapkan aturan penjumlahan ini, harus dilihat jenis kejadiannya apakah bersi(at saling meniadakan atau tidak saling meniadakan.
1. %eja"!an al!ng Men!a"akan &
Dua peristiwa atau lebih disebut saling meniadakan jika kedua atau lebih peristiwa itu tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan. 8ika peristiwa A dan 1 saling meniadakan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah %A atau 1! 0 %A! : %1! atau %A ∪ 1! 0 %A! : %1!
2ontoh / Sebuah dadu dilemparkan ke atas, peritiwanya adalah A 0 peristiwa mata dadu ' muncul. 1 0 peristiwa mata dadu lebih kecil dari & muncul.
;entukan probabilitas dari kejadian berikut <
14
- Mata dadu ' atau lebih kecil dari & muncul<
%enyelesaian / %A! 0 "* %1! 0 #* %A atau 1! 0 %A! : %1! 0 "* : #* 0 ),
2. %eja"!an T!"ak al!ng Men!a"akan &
Dua peristiwa atau lebih disebut peristiwa tidak saling meniadakan apabila apabila kedua peristiwa atau lebih tersebut dapat terjadi pada saat yang bersamaan. 8ika dua peristiwa A dan 1 tidak saling meniadakan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah %A atau 1! 0 %A! : %1! = %A dan 1! %A ∪ 1! 0 %A! : %1! = %A
∩ 1!
8ika & peristiwa A, 1, dan 2 tidak saling meniadakan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah %A ∪ 1 ∪ 2! 0 %A! : %1! : %2! = %A
∩ 1!
= %A
∩ 2!
= %1
∩ 2!
: %A
∩
1 ∩ 2!
2ontoh / Dua buah dadu dilemparkan bersamaan, apabila / A 0 peristiwa mata ', '! muncul. 1 0 peristiwa mata lebih kecil dari &, &! muncul.
;entukan probabilitas %A atau 1! <
%enyelesaian / %A! 0 "*& %1! 0 "'*&
15
%A ∩ 1! 0 ) %A atau 1! 0 %A! : %1! = %A
∩ 1!
0 "*& : "'*& = ) 0 ),'#
B.
Aturan Perkal!an
Dalam konsep probabilitas, aturan perkalian diterapkan secara berbeda menurut jenis kejadiannya. Ada dua jenis kejadian dalam hal ini, yaitu kejadian tak bebas dan kejadian bebas.
1. %eja"!an Tak Be$as &
Dua peristiwa atau lebih disebut kejadian tidak bebas apabila peristiwa yang satu dipengaruhi atau tergantung pada peritiwa lainnya. %robabilitas peristiwa tidak saling bebas dapat pula dibedakan atas tiga macam, yaitu yaitu probabilitas bersyarat, gabungan, dan marjinal.
a. Pr#$a$!l!tas Bers'arat &
%robabilitas bersyarat peristiwa tidak saling bebas adalah probabilitas terjadinya suatu peristiwa dengan syarat peristiwa peristiwa lain harus terjadi dan peristiwa-peristiwa tersebut saling mempengaruhi. 8ika peristiwa 1 bersyarat terhadap A, probabilitas terjadinya periwtiwa tersebut adalah %( 1*A ) =
%( 1 ∩ A ) %( A )
%1*A! dibaca probabilitas terjadinya 1 dengan syarat peristiwa A terjadi.
2ontoh / Sebuah kotak berisikan "" bola dengan rincian / buah bola putih bertanda : " buah bola putih bertanda = & buah bola kuning bertanda : # buah bola kuning bertanda =
16
Seseorang mengambil sebuah bola kuning dari kotak - 1erapa probabilitas bola itu bertanda :$
%enyelesaian / Misalkan / A 0 bola kuning 1: 0 bola bertanda positi( 1- 0 bola bertanda negati(.
%A! 0 *"" %1: ∩ A! 0 &*""
%1+*A!
=
% 1+ ∩ A %( A ) &
(
P B
)
+ * A =
"" ,
=
& ,
""
$. Pr#$a$!l!tas (a$ungan &
%robabilitas gabungan peritiwa tidak saling bebas adalah probabilitas terjadinya dua atau lebih peristiwa secara berurutanbe berurutanbersamaan rsamaan!! dan peristiwa-peristiw peristiwa-peristiwaa itu saling mempengaruhi. 8ika dua peristiwa A dan 1 gubungan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah %A dan 1! 0 %A
∩ 1!
0 %A! > %1*A!
8ika tiga buah peristiwa A, 1, dan 2 gabungan, probabilitas terjadinya peristiwa tersebut adalah %A ∩ 1 ∩ 2! 0 %A! > %1*A! > %2*A
∩ 1!
17
2ontoh / Dari satu set kartu bridge berturut-turut diambil kartu itu sebanyak # kali secara acak. 3itunglah probabilitasnya kartu king A! pada pengambilan pertama dan as1! as1! pada pada pengam pengambila bilan n kedua, kedua, jika kartu kartu pada pada pengam pengambil bilan an pertam pertamaa tidak tidak dikembalikan <
%enyelesaian / A! 0 pengambilan pertama keluar kartu king. %A! 0 '*# 1*A! 0 pengambilan kedua keluar kartu as %1*A! 0 '*" %A ∩ 1! 0 %A! > %1*A! 0 '*# > '*" 0 ),))
). Pr#$a$!l!tas Marj!nal &
%robabilitas marjinal peristiwa tidak saling bebas adalah probabilitas terjadinya suatu peristiwa yang tidak memiliki hubungan dengan terjadinya peristiwa lain dan peristiwa tersebut saling mempengaruhi. 8ika dua peristiwa A adalah marjinal, probabilitas terjadinya peristiwa A tersebut adalah %A! 0 Σ%1 ∩ A! 0 Σ%Ai! > %1*A i!, i 0 ", #, &, ?..
2ontoh / Sebuah kotak berisikan "" bola dengan rincian / buah bola putih bertanda : " buah bola putih bertanda = & buah bola kuning bertanda : # buah bola kuning bertanda =
18
;entukan probabilitas memperoleh sebuah bola putih <
%enyelesaiana / Misalkan / A 0 bola putih 1: 0 bola bertanda positi( 1- 0 bola bertanda negati( %1: ∩ A! 0 *"" %1- ∩ A! 0 "*"" %A! 0 %1: ∩ A! : %1 - ∩ A! 0 *"" : "*"" 0 *""
2. %eja"!an Be$as &
Dua kejadian atau lebih dikatakan merupakan kejadian bebas apabila terjadinya kejadian tersebut tidak saling mempengaruhi. Dua kejadian A dan 1 dikatakan bebas, kalau kejadian A tidak mempengaruhi 1 atau sebaliknya. 8ika A dan 1 merupakan kejadian bebas, maka / %A*1! 0 %A! dan %1*A! 0 %1! %A ∩ 1! 0 %A! %1! 0 %1! %A!
2ontoh / Satu mata uang logam @p. ) dilemparkan ke atas sebanyak dua kali. 8ika A " adalah adalah lempara lemparan n pertam pertamaa yang yang mendap mendapat at gambar gambar burung burung1! 1!,, dan A # adalah lemparan kedua yang mendapatkan gambar burung1!, berapakah %A " ∩ A#!<
%enyelesaian / Karena pada pelemparan pertama hasilnya tidak mempengaruhi pelemparan kedua dan %A"! 0 %1! 0 ), dan %A #! 0 %1! 0 ),, maka %A " ∩ A#! 0 %A"! %A#! 0 %1! %1! 0 ), > ), 0 ),#.
19
Rumus Bayes :
8ika dalam suatu ruang sampel S! terdapat beberapa peristiwa saling lepas, yaitu A", A #, A&, ?., A n yang memiliki probabilitas tidak sama dengan nol dan bila ada peritiwa lain misalkan ! yang mungkin dapat terjadi pada peristiwa-peristiwa A", A#, A&, ?., An maka probabilitas terjadinya peristiwa-peristiwa A", A#, A&, ?., An dengan diketahui peristiwa tersebut adalah
(
P Ai * X i
=
)=
( ) P ( A" ) P ( X * A" ) + P ( A# ) ( X * A# ) + ...... + P ( An ) P X * An ! P Ai P X * Ai !
", #, &, ',...
2ontoh / ;iga kotak masing-masing memiliki dua laci. Didalam laci-laci tersebut terdapat sebuah bola. Didalam kotak B terdapat bola emas, dalam kotak BB terdapat bola perak, dan dalam kotak BBB terdapat bola emas dan perak. 8ika diambil sebuah kotak dan isinya bola emas, berapa probabilitas bahwa laci lain berisi bola perak$
%enyelesaian / Misalkan / A" peristiwa terambil kotak B A# peristiwa terambil kotak BB A& peristiwa terambil kotak BBB peristiwa laci yang dibuka berisi bola emas Kotak yang memenuhi pertanyaan adalah kotak BBB %A &*!!. %A"! 0 "*&
%*A"! 0 "
%A#! 0 "*&
%*A#! 0 )
%A&! 0 "*&
%*A&! 0 C
(
P A& * X
)=
( ) ( ) P ( A" ). P ( X * A" ) + P ( A# ). P ( X * A# ) + P ( A& ). P ( X * A& ) P A& . P X * A&
20
0
2.*
" " " & # = " (") + " ( )) + " " & & & & #
Permut mutas! "an %#m$! m$!nas!
%embicaraan mengenai permutasi dan kombinasi selalu berkaitan dengan prinsip dasar membilang dan (aktorial.
1. Pr!ns!+ Dasar Mem$!lang &
8ika kejadian pertama dapat terjadi dalam n" cara, kejadian kedua dalam n# cara, demiki demikian an seterus seterusnny nnya, a, sampai sampai kejadi kejadian an k dalam dalam nk cara, cara, maka maka keselu keseluruh ruhan an kejadian dapat terjadi dalam / n" > n# > ?> n k cara cara
2ontoh / Seoran Seorang g pengu pengusah sahaa ingin ingin beperg bepergian ian dari dari 8akarta 8akarta ke Ujungp Ujungpand andang ang melalu melaluii Surabaya. 8ika 8akarta = Surabaya dapat dilalui dengan tiga cara dan Surabaya = Ujungpandang dapat dilalui dengan dua cara, ada berapa cara pengusaha tersebut dapat tiba di Ujungpandang melalui Surabaya$
%enyelesaian / misalkan / dari 8akarta ke Surabaya n"! 0 & cara. Dari Surabaya ke Ujungpandang n #! 0 # cara.
2ara pengusaha tersebut dapat tiba di Ujungpandang melalui Surabaya adalah / n" > n# 0 & > # 0 cara.
2. ,akt#r!al &
21
aktorial adalah perkalian semua bilangan bulat positi( bilangan asli! terurut mulai dari bilangan " sampai dengan bilangan bersangkutan atau sebaliknya. aktorial dilambangkan/ E # > " > # > " 0 "# -<
c.
'<
- x , x ' x & x # x " =
' x & x # x "
&)
=
Permutasi : 1. Pengert!an Permutas! &
%ermutasi adalah suatu penyusunan atau pengaturan beberapa objek ke dalam suatu urutan tertentu.
2ontoh / Ada & objek, yaitu A12. %engaturan objek-objek tersebut ialah A12, A21, 12A, 1A2, 2A1, 21A yang disebut permutasi. 8adi, permutasi & objek menghasilkan enam pengaturan dengan cara yang berbeda.
2. Rumus-rumus Permutas! &
22
a. %ermutasi dari m objek seluruhnya seluruhnya tanpa pengembalian pengembalian / m%m 0 m<
2ontoh / %ada %ada suatu suatu tempat tempat terdap terdapat at ' buku buku matema matematika tika yang berbed berbeda. a. 1uku 1uku itu akan akan disusun pada sebuah rak buku. 1erapa cara susunan yang mungkin dari buku buku matematika dapat disusun. %enyelesaian / 1uku-buku matematika dapat disusun dalam / '%' 0 '< 0 ' > & > # > " 0 #' cara.
b. %ermutasi sebanyak > dari m objek tanpa pengembalian / mPx =
m<
( m − x ) <
( m ≥ x )
2ontoh / Dari Dari empat empat calon calon pimpin pimpinan an sebuah sebuah perusaha perusahaan, an, misalk misalkan an A, 1, 2, D hendak hendak dipilih seorang ketua, seorang sekretaris, dan seorang bendahara. 1erapa cara keempat calon tersebut dipilih$
%enyelesaian/ m 0 ' dan > 0 & '<
'%& 0
('
&
−
' x & x # x"
)<
=
=
#'
"
c. %ermutasi dari m objek dengan pengembalian / m%> 0 m> > 6 m dan bilangan bulat positi(
2ontoh /
23
;entukan permutasi dari A12 sebanyak # unsur dengan pengembalian unsure yang terpilih<
%enyelesaian / M 0 & dan > 0 # &%# 0 &# 0 G yaitu / AA, A1, A2, 11, 1A, 12, 22, 2A, 21
d. %ermutasi daaari m objek yang sama / m< m%m", m#, m&, ? 0 ----------------------m"< . m#< . m&< ?.
Dengan m " : m# : m& : ?.0 m
2ontoh / ;entukan permutasi dari kata E;AMA;F
%enyelesaian / M 0 , m " 0 #, m # 0 #, m & 0 " <
>'>&>#>"
%#, #, #, " 0 --------------- 0 -------------------- 0 &) #< . #< . "<
#>">#>">"
Kombinasi : 1. Pengert!an %#m$!nas! &
Kombinasi adalah suatu penyusunan beberapa objek tanpa memperhatikan urutan objek tersebut.
24
2ontoh / Ada ' objek, yaitu / A, 1, 2, D. Kombinasi & dari objek itu adalah A12, A1D, A2D, A2D, 12D. 12D. Seti Setiap ap kelo kelomp mpok ok hany hanyaa dibe dibeda daka kan n berd berdasa asark rkan an objek objek yang yang diikutsertakan, bukan urutannya. 4leh karena itu / A12 0 A21 0 1A2 0 12A 0 2A1 0 21A A1D 0 AD1 0 1AD 0 1DA 0 DA1 0 D1A A2D 0 2AD 0 AD2 0 2DA 0 DA2 0 D2A 12D 0 1D2 0 21D 0 2D1 0 D12 0 D21
2. Rumus-rumus %#m$!nas! &
a. Kombinasi > dari m objek yang berbeda / m< m2> 0 --------------
H m ≥ >
m = >!<.><
2ontoh / Dari pemain bulu tangkis, yaitu A, 1, 2, D, dan hendak dipilih dua orang untuk pemain ganda. 1erapa banyak pemain ganda yang mungkin terbentuk$
%enyelesaian / M 0 dan > 0 # < 2# 0 ---------------- 0 ") = #!< . #<
25
BAB III PENUTUP
3.1
%es!m+ulan
Dari Da ri pe penj njel elasa asan n da dala lam m ma makal kalah ah di at atas, as, da dapa patt di disi simp mpul ulka kan n ba bahw hwaa mempelajari probabilitas memberikan kita banyak man(aat. Man(aat probabilitas dalam dal am keh kehidu idupan pan seh sehari ari-har -harii ada adalah lah mem memban bantu tu kit kitaa dal dalam am men mengam gambil bil sua suatu tu keputusan, serta meramalkan kejadian yang mungkin terjadi. 8ika kita tinjau pada saat kita melakukan penelitian, probabilitas memiliki beberapa (ungsi antara lain / ". Me Mem mba bant ntu u
pen pe nel elit itii
dal alam am pen eng gam ambi bila lan n
kep eput utu usa san n yan ang g
leb le bih te tepa pat. t.
%engambilan keputusan yang lebih tepat dimagsudkan tidak ada keputusan yang sudah pasti karena kehidupanmendatang tidak ada yang pasti kita ketahui dari sekarang, karena in(ormasi yang didapat tidaklah sempurna. Dengan gan teo teori ri pro probab babili ilitas tas kit kitaa dap dapat at men menari arik k kes kesimp impula ulan n seca secara ra tep tepat at ata atass #. Den hipotesis hipot esis yang terkait tentan tentang g karakt karakteristik eristik populasi. Menari Menarik k kesim kesimpulan pulan seca se cara ra te tepa patt
atas at as hi hipo pote tesi siss
per p erki kira raan an se seme ment ntar araa
yan ang g
belu be lum m te teru ruji ji
kebenarannya! yang terkait tentang karakteristik populasi pada situssi ini kita hanya han ya men mengam gambil bil atau men menarik arik kes kesimp impula ulan n dar darii hip hipote otesis sis buk bukan an ber berart artii kejadian yang akan datang kita sudah ketehaui apa yang akan tertjadi. &. Men Menguk gukur ur derajat derajat ket ketida idakpa kpastia stian n dar darii analisis analisis sampel sampel has hasil il pen peneli elitian tian dari suatu populasi.
26
