Modul-metode-distribusi-momen

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis ucapkan kepada pujaan alam Allah SWT atas rahmat, dan karunia-Nya kepada saya sebagai penulis, sehingga terciptanya modul tentang metode distribusi momen.
Modul ini merupakan bahan ajar yang digunakan sebagai panduan peserta diklat Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) untuk membantu salah satu bagian kompetensi memahami materi pembelajaran mekanika terapan. Modul Metode distribusi momen ini menyajikan tentang cara menghitung dan menganalisis strukur dengan metode distribusi momen (cross) terhadap momen primer dan faktor distribusi guna mencapai keseimbangan momen disetiap titik simpul.
Terima kasih penulis ucapkan kepada segenap rekan yang membantu penulis baik dalam segi moril maupun materil, sehingga penulis mampu menyelesaikan modul pembelajaran ini. Modul ini tentu tidak luput dari kekurangan maupun kesalahan, baik dari segi format, bahasa maupun penulisannya. Untuk itu, penulis mohon maaf atas segala kekurangan, dan sangat mengharapkan kritik maupun saran guna kesempurnaan Modul-modul berikutnya. Semoga Modul ini ada manfaatnya.

Penulis,

Meri Sufina

PETA KEDUDUKAN MODUL
Pendefinisian Metode Distribusi
Pendefinisian Metode Distribusi

Tabel distribusi momen (cross)Menghitung momen primer Menghitung faktor kekakuan Menghitung faktor distribusi momen

Tabel distribusi momen (cross)

Menghitung momen primer

Menghitung faktor kekakuan

Menghitung faktor distribusi momen

GLOSARY

Momen : Gaya yang bekerja pada suatu benda, tapi garis kerja gayanya tidak melalui titik pusat benda itu/gaya dikali jarak.

Momen primer: adalah momen yang terjadi pada ujung batang sebagai akibat dari beban-beban yang bekerja disepanjang batang

Distribusi momen : Proses analisis dengan cara induksi dan pembagian terhadap momen primer sebanyak beberapa putaran guna mendapatkan keseimbangan di setiap titik simpul.

T. Sendi : Tumpuan yang dapat menerima gaya tarik maupun gaya tekan asal melalui titik pusat engsel

T. Rol : Tumpuan yang dapat menerima gaya tekan yang tegak lurus pada bidang perletakan rol.

T. Jepit : Tumpuan yang dapat menerima gaya dari segala arah dan momen

BAB l
PENDAHULUAN

DESKRIPSI
Modul ini membahas tentang analisis struktur dengan metode distribusi momen. Metode ini melakukan distribusi (pembagian) momen dan induksi terhadap momen primer sebanyak beberapa putaran guna mendapatkan keseimbangan di setiap titik simpul.

PRASYARAT
Agar dapat memahami dan mengerti tentang pembahasan modul metode distribusi momen ini, terlebih dulu syaratnya siswa sudah belajar dan lulus Mekanika Dasar.

PETUNJUK PENGGUNAAN MODUL
Pahami dengan seksama daftar kedudukan modul serta daftar isi modul yang mencakup seluruh pembahasan ketentuan pembelajaran modul.
Pelajari dan pahami contoh-contoh soal yang tercantum dalam modul, dan pelajari sampai mengerti.
Jawablah soal-soal latihan dalam modul sebagai evaluasi atas pemahaman dalam pembelajaran isi modul.
Jika ada kesalahan atau kurang mengerti tentang modul, maka pelajari kembali contoh atau hubungi guru yang bersangkutan.

TUJUAN AKHIR MODUL
Setelah mempelajari modul ini, diharapkan siswa :
Memahami konsep Metode Distribusi Momen
Memahami dan mengerti cara menghitung momen primer, faktor kekakuan, dan faktor distribusi momen
Memahami dalam menganalisis tabel distribusi momen (cross)
Memahami dan mampu menjawab soal-soal latihan.

BAB II
PEMBELAJARAN

1. Pendahuluan
Analisis struktur dengan metode distribusi momen pertama kali diperkenalkan oleh Harry Cross pada tahun 1933 dalam bukunya yang berjudul "Analysis of Continous Frames by Distributing Fixed-End Moments", dan disebarluaskan oleh ilmuan lainnya. Metode distribusi momen juga dikenal sebagai metode Cross. Metode ini merupakan salah satu metode yang dipakai untuk analisis struktur balok menerus dan portal statis tak tentu.

Metode distribusi momen didasarkan pada anggapan sebagai berikut:
Perubahan bentuk akibat gaya normal dan gaya geser diabaikan, sehingga panjang batang-batangnya tidak berubah.
Semua titik simpul (buhul) dianggap kaku sempuma.

Dalam proses analisis, metode ini melakukan distribusi momen dan induksi (carry over) terhadap momen primer (Fixed End Moment) sebanyak beberapa putaran (iterasi) guna mendapatkan keseimbangan di setiap titik simpul. Hal ini dilakukan karena momen-momen primer yang bekerja di setiap tumpuan maupun simpul suatu struktur tidak sama besarnya, sehingga simpul tidak seimbang. Untuk mendapatkan keseimbangan simpul melakukan perputaran, sehingga momen-momen primer di tiap simpul melakukan distribusi (pembagian) sampai jumlah momen primer di masing-masing simpul sama dengan nol. Proses distribusi dan induksi secara manual dapat dilakukan sebanyak empat putaran (iterasi), dan dianggap semua simpul sudah seimbang atau mendekati nol.

Beberapa pengertian yang digunakan dalam metode distribusi momen, yaitu momen primer, momen induksi, dan distribusi momen. Berikut ini akan diuraikan satu persatu.

2. Momen Primer
Momen primer adalah momen yang terjadi pada ujung batang sebagai akibat dari beban-beban yang bekerja di sepanjang batang. Besarnya momen primer sama dengan momen jepit (momen reaksi) dengan tanda atau arah yang berlawanan. Dengan kata lain, momen jepit atau momen reaksi merupakan kebalikan dari momen primer. Momen primer biasanya digambarkan melengkung ke luar pada bagian dalam ujung batang dengan arah tertentu sesuai dengan pembebanan. Arah momen primer ditentukan berdasarkan kecenderungan melenturnya batang, seolah-olah batang akan patah akibat momen yang bekerja di ujung batang. Dilain pihak, momen jepitan atau momen reaksi merupakan kebalikan dari momen primer, disebut juga sebagai momen perlawanan (Gambar 1).

Gambar 1 Momen Primer dan Momen Reaksi

3. Faktor Distribusi Momen
Apabila struktur portal bekerja momen primer sebesar M' di simpul A (Gambar 2), maka di masing-masing ujung batang simpul A akan terjadi distribusi momen sebesar MAB, MAC, dan MAD dengan arah berlawanan dengan momen primer M'. Hal ini terjadi karena simpul A kaku sempurna, sehingga batang-batang berputar menurut garis elastisnya guna mendapatkan keseimbangan.
Berapa besar faktor distribusi momen dan momen distribusi yang terjadi di ujung A untuk masing-masing batang? Untuk menyelidiki hal ini batang struktur dapat diselidiki berdasarkan gambar portal berikut ini.

Gambar 2 Distribusi Momen

Jika diamati Gambar 2, pada batang AB terjadi rotasi (perputaran sudut) sebesar θA akibat pengaruh MAB, pada batang AB terjadi rotasi (perputaran sudut) sebesar θA akibat pengaruh MAC, dan pada batang AD terjadi rotasi (perputaran sudut) sebesar θA akibat pengaruh MAD. Jadi, keseimbangan simpul A, yaitu:
M' = MAB + MAC + MAD.

Apabila kAB, kAC, dan kAD merupakan faktor kekakuan masing-masing batang AB, AC, dan AD, maka:
MAB = kAB θA; MAC = kAC θA; MAD = kAD θA

Jadi:
M' = (kAB + kAC + kAD) θA
M = kA . θA
θA = M' / kA

Dengan demikian, diperoleh:
MAB = kABkA.M' MAC = kACkA.M' MAD= kADkA.M'

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa:
Faktor distribusi (FD) adalah perbandingan kekakuan batang (k) dengan kekakuan batang total di titik simpul ( k).
Jadi, faktor distribusi FD = k / k
Momen distribusi (MD) adalah hasil perkalian faktor distribusi dengan rnomen primer (M').
Jadi, momen primer MD= M' . FD

4. Faktor kekakuan batang dan momen induksi
Untuk mengetahui faktor kekakuan batang dan momen induksi pada portal (Gambar 3), dapat diuraikan berdasarkan rumus slope deflection (sudut kemiringan lendutan) pada masing-masing jenis batang.
Batang AC:

Gambar 3 Batang AC
Batang prismatis AC dengan tumpuan jepit-jepit, bekerja momen distribusi sebesar MAC di ujung A (simpul) dengan sudut kemiringan lendutan sebesar θA. Sedangkan, ujung B (tumpuan jepit) berhak menerima momen induksi sebesar MCA dengan arah yang sama. Dengan demikian, diperoleh persamaan: θA1 - θA1 = θA dan θC2 - θC1 = 0
Akibat pengaruh memen distribusi MAC saja akan menimbulkan sudut kemiringan lendutan pada kedua ujung batang sebesar:
θA1=MAC.LAC3EI θC1=MAC.LAC6EI

Selanjutnya, pengaruh momen induksi MCA saja akan menimbulkan rotasi dengan sudut kemiringan lendutan pada kedua ujung batang sebesar:
θA2=MAC.LAC6EI θC2=MAC.LAC3EI

Dengan demikian:
θC2-θC1=0
MCA.LCA3EI-MAC.LAC6EI=0
MCA=1/2MAC
θA1-θA2=θA
MCA.LCA3EI-MAC.LAC6EI=θA
MAC=4EILAC.θA
Apabila θA=1 radian, maka: MAC=4EILAC

Persamaan ini menunjukkan bahwa ujung A memberi induksi pada ujung C sebesar setengah momen distribusi (1/2 M) dengan arah yang sama. Selanjutnya, nilai momen MAC telah menyebabkan terjadinya rotasi hingga membentuk sudut kemiringan lendutan di ujung A sebesar θA. Nilai momen ini disebut sebagai kekakuan batang AC yang diberi notasi kAC. Dengan demikian, kekakuan batang AC (tumpuan jepit-jepit) dapat diketahui dengan rumus: kAC = 4EI/LAC,
Batang AD:

Gambar 4 Batang AD

Batang prismatis AD dengan tumpuan jepit-sendi, bekerja momen distribusi sebesar MAD di ujung A (simpul) dengan sudut kemiringan lendutan sebesar θA. Sedangkan, ujung D tidak berhak menerima momen induksi karena jenis tumpuan sendi (momen induksi sama dengan nol). Dengan demikian, diperoleh persamaan; θA1 - θA1 = θA
Akibat pengaruh memen distribusi MAD akan menimbulkan rotasi dengan sudut kemiringan lendutan pada ujung batang A sebesar:
θA=MAD.LAD3EI; dimana θA=1radian, maka:
MAD=3EILAD
Persamaan ini menunjukkan bahwa nilai momen MAD merupakan nilai yang dibutuhkan hmgga menyebabkan terjadinya rotasi di ujung A (ujung D sendi), sehingga membentuk sudut kemiringan lendutan di ujung A sebesar θA. Nilai momen ini disebut sebagai kekakuan batang AD yang diberi notasi kAD. Dengan demikian, kekakuan batang AD (tumpuan jepit-sendi) dapat diketahui dengan rumus: kAD = 3EI/LAD.
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa:
1) Kekakuan batang dengan tumpuan jepit-jepit : k = 4EI/L
2) Kekakuan batang dengan tumpuan jepit-sendi: k = 3EI/L

Contoh Soal 1:
Diketahui balok menerus statis tertentu dengan bentuk, dimensi, dan pembebanan seperti Gambar, hitunglah momen reaksi di titik tumpuan maupun simpul sepanjang balok dengan metode Distribusi Momen (Cross).

Gambar Contoh Soal

Peyelesaian:
Momen primer masing-masing bagian balok:
MAB = -MBA = l/12.q .L2
= 1/12. 5. 52 = 10,416 kNm
MBC = -MCB = P.a.b2/L2
= 4.3.32/62 =11,25 kNm

Faktor kekakuan dan distribusi momen
Distribusi momen hanya terjadi di titik simpul. Oleh karena itu faktor kekakuan batang dan distribusi momen masing-masing batang hanya ditinjau pada titik simpul saja.
Simpul B:
Kekakuan batang :
kBA = 4EI/L = 4EI/5 = 0,8 EIkBC = 4EI/L = 4EI/6 = 0,6 EI kB=1,4EI

Faktor distribusi :
FBA = kBA/ kB = 0,8EI/1,4EI = 0,571FBC = kBC/ kB = 0,6EI/1,4EI = 0,429

Distribusi momen:
Untuk mendapatkan keseimbangan momen dilakukan distribusi momen pada masing-masing simpul dengan bantuan tabel cross. Sedapat mungkin tabel cross dirancang sedemikian rupa sesuai kebutuhan. Tempatkan titik simpul dan batang dengan posisi yang tepat pada tabel, sehingga memudahkan proses distribusi dan induksi momen. Posisi batang yang sejenis sedapat mungkin diusahakan berdampingan agar proses induksi tidak menyulitkan. Dalam hal ini proses distribusi dan induksr momen cukup dilakukan hingga ernpat kali putarari (dianggap mendakati nol).

TABEL DISTRIBUSI MOMEN (CROSS)
SIMPUL

-

BA

BATANG
AB

BA

BC
CB
FD

-

- 0,571
-0,429

-

MPRIMER

10,416

- 10,416

11,25

- 11,25

MD1
MI1
-0,238

- 0,476

-0,358

- 0,179

MD2
MI2
-

-

-

-

MD3
MI3
-

-

-

-

MD4

-

-

-

-

M TOTAL

10,178

- 10,892

10,892

- 11,429

mreaksi

-10,178

10,892

-10,892

11,429

Contoh soal 2:
Diketahui balok menerus statis tertentu dengan bentuk, dimensi, dan pembebanan seperti Gambar, hitunglah momen reaksi di titik tumpuan maupun simpul sepanjang balok dengan metode Distribusi Momen (Cross).

Gambar Contoh Soal 2 masing-masing bagian balok:

Peyelesaian:
Momen primer

MAB = -MBA = l/12.q .L2 = 1/12. 4 . 62 = 12 kNm

MBC = -MCB = l/12.q .L2 + P.a.b2/L2 + P.a2.b/L2
= 1/12. 1 .122 + 4 .3 .92/122 + 4.9 .32/122 = 21 kNm
MCD = P.a (L2-a2) / 2L2
= 10 .6 (92 - 62) / 2 .92 = 13,333 kNm

Simpul B:
Kekakuan batang :
kBA = 4EI/L = 4EI/ 6 = 0,667 EIkBC = 4EI/L = 4EI/12 = 0,333 EI kB=1,000EI

Faktor distribusi :

Simpul C
Kekakuan batang :
kCB = 4EI/L = 4EI/12 = 0,333 EIkCD = 3EI/L = 3 EI/9 = 0,333 EI kB=0,666EI

Faktor distribusi :
FCB = kCB/ kC = 0,333EI/0,666EI = 0,5FCD = kCD/ kC = 0,333EI/0,666EI = 0,5

Distribusi momen:
Untuk mendapatkan keseimbangan momen dilakukan distribusi momen pada masing-masing simpul dengan bantuan tabel cross. Sedapat mungkin tabel cross dirancang sedemikian rupa sesuai kebutuhan. Tempatkan titik simpul dan batang dengan posisi yang tepat pada tabel, sehingga memudahkan proses distribusi dan induksi momen. Posisi batang yang sejenis sedapat mungkin diusahakan berdampingan agar proses induksi tidak menyulitkan. Dalam hal ini proses distribusi dan induksi momen cukup dilakukan hingga empat kali putaran (dianggap mendakati nol).

SIMPUL
-
B
C

BATANG
AB
BA
BC
CB
CD
DC
FD
-
- 0,667
- 0,333
-0,5
-0,5
-
M PRIMER
12
-12
21
-21
13,333
0
MD1
MI l
-
3,000
- 6,000
-
-3,000 1,920
3,840
-1,500
3,840
-
-
-
MD2
MI2
-
-0,641
-1,281
-
-0,640 0,380
0,750
-0,320
0,750
-
-
-
MD3
MI3
-
-0,125
-0,250
-
-0,130 0,080
0,160
- 0,065
0,160
-
-
-
MD4
-0,003
-0,005
-0,003
0,033
0,033
-
M TOTAL
8,231
- 19,536
19,607
- 18,102
18,116
0
mreaksi
8,231
19,536
-19,607
18,102
-18,116
0

Contoh Soal 3:
Diketahui balok menerus statis tertentu dengari bentuk, dimensi, dan pembebanan seperti pada Gambar , hitunglah momen reaksi di titik tumpuan maupun simpul sepanjang balok dengan metode Distribusi Momen (Cross).

Gambar 3.7 Contoh Soal 3
Peyelesaian:
Momen primer masing-masing bagian balok:
MAB = -MBA = l/12.q .L2 = 1/12. 2.82 = 10,667 kNm
MBC = q/L2 1/3.L.X3-1/4.X4b1b2 + Pab2/L2
= 2/102[(1/3.10 .103 – 1/4.104) - (1/3.10.63 – 1/4.64)] + 8.7.32 /102
=13,787 kNm
MCB = - [q/L2 1/3.L.X3-1/4.X4a1a2 + Pa2b/L2
= - [2/102 (1/3.10 .43 – 1/4. 44) + 8 .72.3 /102] = -14,747 kNm

MCD = Pab2/L2
= 7.3.52/82 = 8,203 kNm
MDC = - Pa2 b/L2
= -7.32.5/82 = -4,922 kNm

Simpul A:
Kekakuan batang :
kAE = 0kAB = 4EI/L = 4EI/8 = 0,5 EI kB=0,5EI
Catt: batang AE tidak memiliki kekakuan, karena ditumpu satu tumpuan saja (balok kantilever)
Faktor distribusi :
FAE = 0FAB = kBA/ kA = 0,5EI/0,5EI = 1

Simpul B:
Kekakuan batang :
kBA = 4EI/L = 4EI/ 8 = 0,5 EIkBC = 4EI/L = 4EI/10 = 0,4 EI kB=0,9EI

Faktor distribusi :

Simpul C:
Kekakuan batang :
kCB = 4EI/L = 4EI/10 = 0,4 EIkCD = 4EI/L = 4EI/8 = 0,5 EI kC=0,9EI

Faktor distribusi :
FCB = kCB/ kC = 0,4EI/0,9EI = 0,44FCD = kCD/ kC = 0,5EI/0,9EI = 0,56

Distribusi momen:
Untuk mendapatkan keseimbangan momen dilakukan distribusi momen pada masing-masing simpul dengan bantuan tabel cross. Sedapat mungkin tabel cross dirancang sedemikian rupa sesuai kebutuhan. Tempatkan titik simpul dan batang dengan posisi yang tepat pada tabel, sehingga memudahkan proses distribusi dan induksi momen. Posisi batang yang sejenis sedapat mungkin diusahakan berdampingan agar proses induksi tidak menyulitkan. Dalam hal ini proses distribusi dan induksi momen cukup dilakukan hingga empat kali putaran (dianggap mendakati nol).

SIMPUL
A
B
C

BATANG
AE
AB
BA
BC
CB
CD
DC
FD
0
-1
-0,560
-0,440
-0,440
-0,560
-
M PRIMER
-4
10,667
- 10,667
13,787
- 14,747
8,203
-4,922
MD1
MI l
-
-
-6,667
-0,874
-1,747
-3,333
-1,373 1,440
2,879
-0,666
3,664
-
-
1,832
MD2
MI2
-
-
0,874 0,530
1,061 0,437
0,833 0,151
0,302 0,417
0,384
-
-
0,192
MD3
M33
-
-
-0,530
-0,165
- 0,329
-0,265
-0,259
-0,092
-0,183
-0,129
-0,233
-
-
0,117
MD4
-
0,165
0,200
0,157
0,057
0,072
0,036
M TOTAL
-4
4
-14,644
14,644
- 12,091
12,091
-2,978
M REAKSI
4
-4
14,644
-14,644
12,091
-12,091
2,978

BAB III
PENUTUP

A. KESIMPULAN
Metode Distribusi Momen ini dilakukan dengan distribusi (pembagian) momen dan induksi terhadap momen primer sebanyak beberapa putaran guna mendapatkan keseimbangan di setiap titik simpul. Semua materi mengenai Metode Distribusi Momen akan dapat dimengerti setelah kita mengetahui, mempelajari dan memahami materi dan contoh-contoh yang diberikan.

B.SARAN
Modul ini tentu tidak luput dari kekurangan maupun kesalahan, baik dari segi format, bahasa maupun penulisannya, atau cara menguraikan materi, atau langkah penyelesaian soal-soal yang kurang tepat. Untuk itu, penulis mohon maaf atas segala kekurangan, dan sangat mengharapkan kritik maupun saran guna kesempurnaan Modul-modul berikutnya.

Modul-metode-distribusi-momen

Recommend Documents