MODEL INDEKS TUNGGAL

1





MODEL INDEKS TUNGGAL
William Sharpe (1963) mengembangkan model yang disebut dengan model indeks tunggal (single-index model). Model ini dapat digunakan untuk menyederhanakan perhitungan. disamping itu, model indeks tunggal dapat juga digunakan untuk menghitung return ekspektasi dan resiko portofolio.

Model Indeks Tunggal dan Komponen Returnnya
Model indeks tunggal didasarkan pada pengamatan bahwa sekuritas berfluktuasi searah dengan indeks harga pasar. Secara khusus dapat diamati bahwa kebanyakan saham cenderung mengalami kenaikan harga jika indeks harga saham naik. Kebalikannya juga benar, yaitu jika indeks harga saham turun, kebanyakan saham mengalami penurunan harga. Dengan dasar ini, return dari suatu sekuritas dan return dari indeks pasar yang umum dapat dituliskan sebagai hubungan:
Ri = ai + βi.Rm
Parameter ai menunjukkan komponen tingkat keuntungan yang tidak terpengaruh oleh perubahan indeks pasar. Parameter ini bisa dipecah menjadi dua yaitu αi (alpha) yang menunjukkan nilai pengharapan dari ai dan ei yang menunjukkan elemen acak dari ai. Dengan demikian maka:
ai = αi + ei
Subtitusikan persamaan diatas kedalam rumus sebelumnya, maka didapatkan persamaan model indeks tunggal sebagi berikut:
Ri = αi + βi . RM + ei
Notasi:
Ri = Return sekuritas ke-i
ai = nilai ekspektasian dari return sekuritas ke-I yang independen terhadap kinerja pasar
βi = Beta yang merupakan koefisien yang mengukur perubahan Ri akibat dari perubahan RM
RM = tingkat return dari indeks pasar, juga merupakan suatu variabel acak
ei = kesalahan residu yang merupakan variabel acak dengan nilai ekspektasiannya sama dengan nol

Asumsi-Asumsi
Asumsi-asumsi utama dari model indeks tunggal adalah kesalahan residu dari sekuritas ke-i tidak berkovari dengan kesalahan residu sekuritas ke-j. Asumsi model indeks tunggal dapat dirumuskan:
E(ei. [RM . E(RM)])= 0
Asumsi-asumsi dari model indeks tunggal mempunyai implikasi bahwa sekuritas-sekuritas bergerak bersama-sama bukan karena efek pasar melainkan karena mempunyai hubungan yang umum terhadap indeks pasar. Asumsi-asumsi ini digunakan untuk menyederhanakan masalah.

Varian Return Sekuritas Model Indeks Tunggal
Secara umum, varian return dari suatu sekuritas dapat dinyatakan sebagai berikut:
σi2 = βi2 . σm2 + σei2
Risiko (varian return) sekuritas yang dihitung berdasarkan model ini terdiri dari dua bagian: risiko yang berhubungan dengan pasar (market related risk) yaitu βi2 . σm2 dan risiko unik masing-masing perusahaan (unique risk) yaitu σei2 

Kovarian Return Antara Sekuritas Model Indeks Tunggal
Secara umum, kovarian return antara dua sekuritas i dan j dapat dirumuskan:
σij= βi. Βi. σM2

Parameter-Parameter input untuk Model Markowitz
Model indeks tunggal dapat digunakan untuk menghitung return ekspektasian (E(R)) , varian dari sekuritas σei2 dan kovarian anatar sekuritas σij yang merupakan parameter-parameter input untuk analisis portofolio menggunakan model Markowitz. Model Markowitz ini digunakan untuk menghitung return ekspektasian dan risiko portofolio dengan menggunakan hasil indeks tunggal sebagai input perhitungan Model Markowitz.

ANALISIS PORTOFOLIO MENGGUNAKAN MODEL INDEKS TUNGGAL
Selain hasil dari model indeks tunggal dapat digunakan sebagai input analisis portofolio, model indeks tunggal dapat juga digunakan secara langsung untuk analisis portofolio. Analisis portofolio menyangkut perhitungan return ekspektasian portofolio dan risiko portofolio
Return Ekspektasian Portofolio
Return ekspektasian dari suatu portofolio selalu merupakan rata-rata tertimbang dari return ekspektasian portofolio menjadi:

ERP= i=1nWi . ERi

Dengan mensubstitusikan E(Ri) menggunakan nilai di persamaan, return ekspektasian portofolio menjadi:
ERP= i=1nWi. (αi+βi. ERM)


Risiko Portofolio
Varian dari suatu sekuritas yang dihitung berdasarkan model indeks tunggal telah teruraikan dan dapat dilihat di persamaan. Varian dari sekuritas ini adalah:
σi2 = βi2 . σM2 + σei2


MODEL PASAR
Model pasar (market model) merupakan bentuk dari model indeks tunggal dengan batasan yang lebih sedikit. Model pasar bentuknya sama dengan model indeks tunggal. Perbedaannya terletak di asumsinya. Di model indeks tunggal, diasumsikan bahwa kesalahan residu masing-masing sekuritas tidak berkovari satu dengan yang lainnya atau Cov(ei,ej) = 0. Di model pasar, asumsi ini tidak digunakan atau kesalahan residu masing-masing sekuritas dapat berkorelasi.
Kenyataannya bahwa sekuritas berkovari atau berkorelasi satu dengan yang lainnya membuat model pasar lebih realistis. Model pasar ini banyak digunakan oleh peneliti-peneliti realistis. Model pasar ini banyak digunakan oleh peneliti-peneliti pasar modal untuk menghitung abnormal return. Bentuk model pasar yang sama dengan bentuk model indeks tunggal mempunyai return dan return ekspektasian sebagai berikut:
Ri = αi + βi . RM + ei
Dan
E(Ri) = αi + βi . E(RM)

PORTOFOLIO OPTIMAL BERDASARKAN MODEL INDEKS TUNGGAL
Model indeks tunggal dapat digunakan sebagai alternatif dari model Markowitz untuk menentukan efficient set dengan perhitungan yang lebih sederhana. Model ini merupakan penyederhanaan dari model Markowitz. Model ini dikembangkan oleh William Sharpe (1963) yang disebut dengan (single-index model), yang dapat digunakan untuk menghitung return ekspektasi dan risiko portofolio.
Perhitungan untuk menentukan portofolio optimal akan sangat dimudahkan jika hanya didasarkan pada sebuah angka yang dapat menentukan suatu sekuritas dapat dimasukkan ke dalam portofolio optimal tersebut. Angka tersebut adalah rasio antara ekses return dengan Beta (excess return to beta ratio). Rasio ini adalah:
ERBi=ERi-RBRβi

Excess return didefinisikan sebagai selisih return ekspektasian dengan return aktiva bebas risiko. Excess return to beta berarti mengukur kelebihan return relative terhadap satu unit risiko yang tidak dapat didiversifikasikan yang diukur dengan Beta. Rasio ERB ini juga menunjukkan hubungan antara dua faktor penentu investasi, yaitu return dan risiko.
Portofolio yang optimal akan berisi dengan aktiva-aktiva yang mempunyai nilai rasio ERB yang tinggi. Aktiva-aktiva dengan rasio ERB yang rendah tidak akan dimasukkan ke dalam portofolio optimal. Dengan demikian diperlukan sebuah titik pembatas (cut-off point) yang menentukan batas nilai ERB berapa yang dikatakan tinggi.





















DAFTAR PUSTAKA

Prof. Dr. Hartono Jogiyanto, M.B.A., Ak. Teori Portofolio Dan Analisis Investasi. Yogyakarta: BPFE Yogyakarta