MODEL INDEKS TUNGGAL
Nama kelompok Angantyo Adi
(0910320205)
Beny Makaria
(0910320218)
UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS ILMU ADMINISTRASI JURUSAN ADMINISTRASI BISNIS MEI 2012
Model Indeks Tunggal
Model indeks tunggal dikembangkan oleh William Sharpe (1963), merupakan penyederhanaan dari model Markowits, misalnya model Markowits dalam dalam penentuan 2
besarnya risiko memerlukan perhitungan sebanyak n+ (n -n)/2, model indeks tunggal dalam penentuan besarnya risiko hanya membutuhkan 2n+1 perhitungan. Model indeks tunggal didasarkan pada pengamatan bahwa harga dari suatu sekuritas berfluktuasi searah dengan indeks harga pasar. Berdasarkan kondisi tersebut, maka fungsi return dari setiap sekuritas secara matematis dapat ditulis:
………………………………………………… (2.13)
Ri = i + i.Rm + ei
Dimana; Ri
= Return sekuritas ke-i,
= Nilai ekspektasi return sekuritas ke-i yang independent terhadap return pasar,
= Koefisien yang mengukur tingkat perubahan Ri akibat perubahan Rm,
Rm
= Tingkat return dari indeks pasar, merupakan variabel acak,
ei
= residual error, dimana E(ei) = 0, merupakan variabel acak.
Model
indeks
tunggal
membagi
return
dari
suatu
sekuritas
kedalam
2
komponen,yaitu:
1. Komponen return yang unik diwakili oleh I yang independen terhadap return pasar. 2. Komponen return yang berhubungan dengan return pasar yang diwakili oleh i.Rm
Bagian return yang unik ( I) hanya berhubungan dengan peristiwa mikro(micro event) yang mempengaruhi perusahaan tertentu saja,tetapi tidak mempengaruhi semua perusahaan-perusahaan secara umum.Contoh dari peristiwa ini adalah misalnya ada pemogokan
karyawan,kebakaran,penemuan-penemuan
penelitian.Bagian
return
yang
berhubungan dengan return pasar ditunjukan oleh beta( i) yang merupakan sensivitas return
suatu sekuritas terhadap return dari pasar.Secara konsesnsus,return pasar mempunyai Beta bernilai 1.Suatu sekuritas yang mempunyai Beta bernilai 1,5 misalnya mempunyai arti bahwa perubahan return pasar sebesar 1% akan mengakibatkan perubahan return dari sekuritas tersebut dengan arah yang sama sebesar 1,5%.
Berdasarkan pers. (2.13), maka ekspektasi return sekuritas ke-i dapat ditulis: E(Ri) = E( i + i.Rm + ei) E(Ri) = E( i) + E(i.Rm) + E(ei), kerena E(ei) = 0, maka E(Ri) = i + i.E(Rm)
………..………………………………… (2.14)
Contoh:
Misalnya return diekspektasikan dari indeks pasar E(R m) adalah sebesar 20%,bagian dari return ekspetasian suatu sekuritas yang independen terhadap pasar( i) adalah sebesar 4% dan
I adalah sebesar 0,75.Model indeks tunggal mengestimasi besarnya return ekspetasian untuk sekuritas ini sebesar: E(Ri)= 4% + 0.75 . 20%= 19%
Sedang besarnya nilai return realisasi berdasarkan model indeks tunggal untuk sekuritas ini adalah sebesar: Ri = 19% + ei
Dari contoh ini terlihat bahwa nilai return realisasi merupakan nilai return ekspetasian ditambah dengan kesalahan residu.Jika ternyata nilai return realisasi nantinya sama dengan nilai return yang diharapkan, berarti investor mengestimasi nilai return ekspetasian tanpa kesalahan. Jika ternyata nilai return realisasi sebesar misalnya 21%, maka besarnya kesalahan estimasi(ei) adalah sebesar 21% - 19% = 2%
Asumsi-asumsi :
Residual error dari sekuritas ke-i tidak berkorelasi dengan residual error ke-j, untuk semua nilai i dan j, dan i j, sehingga; Cov(ei,e j) = 0, …………………………………………….
(2.15)
jika; Cov(ei,e j) = E(ei – E(ei)).(e j – E(e j)), karena E(ei) dan E(e j) sama dengan 0, maka; Cov(ei,e j) = E(ei.e j), karena Cov(ei,e j) = 0, maka; E(ei.e j) = 0 …………………………………………………. (2.16)
Return indeks pasar (Rm) tidak berkorelasi dengan residual error (e i) untuk i=1 … n, sehingga; Cov(ei,Rm) = 0 …………………………………………….. (2.17) Jika; Cov(ei,Rm) = E(ei – E(ei)).(Rm – E(Rm)) = 0, karena E(ei) = 0, maka; Cov(ei,Rm) = Eei.(Rm – E(Rm)) = 0, jadi; Eei.(Rm – E(Rm)) = 0 …………………………………. (2.18)
Asumsi-asumsi dari model indeks tunggal mempunyai implikasi bahwa sekuritassekuritas bergerak bersama-sama bukan karena efek di luar pasar misalnya efek dari industry atau perusahaan-perusahaan itu sendiri), melainkan karena mempunyai hubungan yang umum terhadap indeks pasar. Asumsi-asumsi ini digunakan untuk menyederhanakan msalah.Dengan demikian sebenarnya berapa besar model ini dapat diterima dan mewakili kenyataan sesungguhnya tergantung dari seberapa besar asumsi-asumsi ini realistis.Jika asumsi-asumsi ini kurang realistis,berarti bahwa model ini akan menjadi tidak akurat.
VARIAN RETURN SEKURITAS MODEL INDEKS TUNGGAL
Varians return sekuritas ke-i, dapat secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut:
2
i = ERi – E(Ri)
Subtitusikan persamaan (2.13 dan 2.14), diperoleh:
2
2
i = E(i + i.Rm + ei) – (i + i.E(Rm)) 2
2
2
i = E(i + i.Rm + ei – i - i.E(Rm)) 2
2
i = Ei.Rm - i.E(Rm) + ei 2
2
i = Ei.(Rm - E(Rm)) + ei 2
2
2
2
i = Ei .(Rm - E(Rm)) + 2i.(Rm - E(Rm)).ei + ei i2 = i2.ERm - E(Rm)2 + 2i.ERm - E(Rm).ei + E(ei)2 2
2
2
2
Karena 2i.ERm - E(Rm).ei = 0, ERm - E(Rm) = m dan E(ei) =
2
Eei – E(ei) = ei ,
maka; 2
2
Nilai ei dapat ditulis sebagai E ei -0 dan karena secara konstruktif bahwa E( ei)=0, 2
maka nilai 0 selanjutnya juga dapat diganti dengan nilai E( ei), sehingga nilai E(ei) dapat ditulis 2
dengan arti yang sama dengan E[ei –E(ei )] dan nilai ini merupakan varian dari kesalahan residu 2
2
2
untuk sekuritas ke-I (ei ). Dengan mensubtitusi E(ei) dengan ei ,maka rumus varian return sekuritas berdasarkan model indeks tunggal adalah
2
i =
2 i .
2
2
m + ei
Contoh:
Tabel berikut memuat return saham PT “A” dan return indeks pasar selama 7 periode:
Tabel 2.3 Periode ke-t
Return saham PT “A”
Return Indeks Pasar
(RA)
(Rm)
1
0,060
0,040
2
0,077
0,041
3
0,095
0,050
4
0,193
0,055
5
0,047
0,015
6
0,113
0,065
7
0,112
0,055
Rata-Rata Aritmatika
E(RA) = 0,09957
E(Rm) = 0,04586
Dalam model indeks tinggal i dan i konstan dari waktu ke waktu untuk setiap sekuritas. Dari contoh tersebut, misalnya diketahui A sebesar 1,70, maka besarnya A dapat dihitung sebagai berikut: E(RA) = A + A.E(Rm) 0,09957 = A + (1,70 x 0,04586)
A = 0,0216
Selajutnya, berdasarkan persamaan (2.13), maka; ei = Ri – i - i.Rm Jika; 2
2
eA = eAi – E(eA) /n-1, karena E(eA) = 0, maka; 2
2
eA = (eAi) /n-1 2
2
2
eA = (0,060 – 0,0216 – (0,70x0,040)) + (0,077 – 0,0216 – (1,70x0,041)) + (0,095 – 0,0216 2
– (1,70x0,050)) 2
(1,70x0,015))
2
2
+ (0,113 – 0,0216 – (1,70x0,065))
(1,70x0,055)) /(7-1)
eA2 = 0,00128
2
+ (0,193 – 0,0216 – (1,70x0,055))
+ (0,047 – 0,0216 – + (0,112 – 0,0216 –
2
2
m = Rmi – E(Rm) /n-1 m2 = (0,040 – 0,04568)2 + (0,041 – 0,04568)2 + (0,050 – 0,04568)2 + (0,055 – 0,04568)2 + 2
2
2
(0,015 – 0,04568) + (0,065 – 0,04568) + (0,055 – 0,04568) /n-1 2
m = 0,00026
Risiko sistematis untuk sekuritas PT “A” akibat pengaruh pasar sebesar; 2
2
2
A . m = (1,70) .0,00026 = 0,00075, jadi risiko adalah; 2
2
2
2
A = A . m + eA 2
i = 0,00075 + 0,00128 2
i = 0,002
2 2 2 Dengan menggunakan metode regresi kita memperoleh nilai , , i , m dan ei sebagai
berikut: = 0,00645; = 2,03066
2
= 0.00748739
2
= 0.006436324
ei
m
Berdasarkan persamaan (2.19), maka; 2
2
2
2
i = i . m + ei 2
= (2,03066) x 0.006436324 + 0.00748739 = 0.037311
KOVARIAN RETURN ANTARA SEKURITAS MODEL INDEKS TUNGGAL
Kovarians antar sekuritas, adalah:
ij = E(Ri – E(Ri)). E(R j – E(R j)) Subtitusikan persamaan (2.13 dan 2.14), diperoleh:
ij = E((i + i.Rm + ei) – (i + i.E(Rm))). (( j + j.Rm + e j) – ( j + j.E(Rm))), setelah dilakukan penyederhanaan diperoleh;
2
ij = i. j.ERm – E(Rm)
ij = i. j. m2 Contoh:
Dua buah sekuritas A dan B masing-masing mempunyai Beta yaitu A= 1,7 dan B= 1,3.Varian return dari indeks pasar diketahui sebesar 0,00026. Dengan menggunakan rumus,kovarian antara sekuritas A dan B adalah sebesar:
2
ij = i. j. m = 1,7 . 1,3 . 0.00026= 0,000057
RETURN EKSPETASIAN PORTOFOLIO
Return espektasi portofolio berdasarkan model indeks tunggal adalah rata-rata tertimbang dari return ekspektasi individu sekuritas, sebagai berikut:
E(Rp) = wi .E(Ri) , i=1 … n. Berdasarkan persamaan (2.14), maka; E(Rp) = wi .(i + i.E(Rm)) , i=1 … n. E(Rp) = wi .i + wi.i.E(Rm) , i=1 … n. Jika, wi .i = p dan wi.i = p , maka; E(Rp) = p + p.E(Rm) …………………………………….. (2.21)
RESIKO PORTOFOLIO
Risiko portofolio adalah sebagai berikut:
Berdasar pada persamaan (2.19), yaitu; 2
2
2
2
i = i . m + ei , maka risiko portofolio dapat ditulis sebagai berikut; p2 = (wi . i)2. m2 + (wi. ei)2 , i=1 … n. Karena, wi.i = p , maka; 2
2
2
……………………………………..
2
p = p . m + (wi.ei)
(2.22)
2
2
Sisi kiri dari persamaan (2.22) terdiri dari dua bagian, bagian pertama ( p . m ) adalah 2
risiko sistematis yang dipengaruhi oleh risiko pasar, bagian kedua (( wi. ei) ) adalah risiko tidak sistematis. Jika wi adalah bobot yang merupakan porsi alokasi investasi untuk masingmasing sekuritas, maka untuk portofolio yang terdiri dari n sekuritas, besarnya wi = 1/n untuk tiap-tiap sekuritas ke-i. Dengan demikian maka: 2
2
2
2
2
2
2
2
p = p . m + 1/n .ei
, n=1 … n.
2
p = p . m + 1/n.ei /n , n=1 … n. Berdasarkan asumsi bahwa sekuritas tidak berkorelasi satu dengan yang lainnya, maka semakin besar n nilai risiko tidak sistematis akan semakin kecil mendekati nol, maka:
p2 = p2. m2 , untuk n= …………………………………… (2.23)
MODEL PASAR
Model pasar merupakan bentuk dari model indeks tunggal dengan batasan yang lebih sedikit.Model pasar bentuknya sama dengan model indeks tunggal.Perbedaanya terletak di asumsinya.Di model indeks tunggal,di asumsikan bahwa kesalahan residu masing-masing sekuritas tidak berkovari satu dengan yang lainnya atau Cov( ei, ej)= 0.Di model pasar,asumsi ini tidak digunakan atau kesalahan residu masing-masing sekuritas dapat berkorelasi.Kenyataanya
bahwa sekuritas berkovari atau berkorelasi satu dengan yang lainnya membuat model pasar lebih realistis.Model pasar ini banyak digunakan oleh peneliti-peneliti pasar modal untuk menghitung abnormal return.Bentuk model pasar yang sama dengan bentuk model indeks tunggal mempunyai return dan return ekspetasian sebagai berikut: E(Ri) = i + i.E(Rm) dan E(Ri) = i + i.. Rm + ei
Penentuan Portofolio Optimal Berdasarkan Model Indeks Tunggal
Berdasarkan model indeks tunggal, portofolio optimal merupakan portofolio yang terdiri dari kumpulan sekuritas-sekuritas yang akan memberikan return yang lebih besar dari return sekuritas bebas resiko, dimana penambahan return tersebut (yang lebih besar dari return sekuritas bebas risiko) sebanding dengan tingkat risiko dari sekuritas tersebut. Oleh karena itu sekuritas yang akan membentuk portofolio optimum harus memenuhi ketentuan sebagai berikut: 1. Sekuritas yang akan dimasukkan ke dalam portofolio optimal adalah sekuritas yang memiliki Excess Return positif dan terbesar.
2. Sekuritas tersebut harus mempunyai excess return lebih besar sama dengan suatu nilai yang dijadikan titik pembatas ( cut-off point ). Excess return (excess return to beta ratio), didefinisikan sebagai ERBi = E(Ri) - RBR/i
berikut: ……………………………………. (2.24)
Dimana; ERBi
= excess return
RBR = return sekuritas bebas risiko E(Ri)
= ekspektasi return beresiko ke-i
i
= beta sekuritas ke-i
Nilai yang dijadikan titik pembatas (cut-off point) adalah nilai C i terbesar (Ci*). Untuk menentukan nilai Ci diperlukan langkah-langkah sebagai berikut:
Menentukan nilai Ai dan Bi untuk masing-masing sekuritas ke-i, dengan rumus: 2
Ai = E(Ri) - RBR.i/ei , dan 2
2
Bi = i /ei , dan
2 2 Ci = m A j/1+m B j , j=1 … i ………………. (2.25)
Jadi sekuritas-sekuritas yang membentuk portofolio optimal adalah sekuritas-sekuritas yang mempunyai nilai excess return lebih besar atau sama dengan C* (cut-off point). Adapun besarnya alokasi investasi untuk masing-masing sekuritas yang membentuk portofolio optimal adalah: Wi = Xi/X j , j=1 … k. ………………………………………. (2.26) 2
Xi = (i/ei ).(ERBi – C*) ………………………………….. (2.27) Dimana; Wi = proporsi investasi untuk sekuritas ke-i dalam portofolio optimal k
= jumlah sekuritas dalam portofolio optimal.
Contoh: Misalnya kita memiliki data sejumlah saham dari perusahaan-perusahaan yang terdaftar di pasar saham (misalnya BEJ) seperti pada table 2.4, dan diketahui bahwa return sekuritas bebas risiko (RBR) sebesar 10. Untuk menentukan saham yang akan mengisi portofolio optimal, kita dapat melakukan langkah-langkah sebagai berikut:
Menghitung nilai excess return ERBi seperti pada kolom 6 tabel 2.4, kemudian mengurutkan nilai ERBi dari nilai tertinggi ke nilai terendah, seperti pada kolom 7 tabel 2.4.
Selanjutnya menghitung nilai Ai dan Bi untuk masing-masing saham seperti pada kolom 8 dan 9 tabel 2.4, kemudian menentukan nilai Ci berdasarkan persamaan (2.25) untuk masing-masing saham seperti pada kolom 10 tabel 2.4.
Berdasarkan nilai pada kolom 10 tabel 2.4, diketahui bahwa nilai Ci tertinggi adalah 8,363. Dengan demikian C* (cut-off point) adalah 8,394 sehingga saham yang akan mengisi portofolio optimal adalah saham yang mempunyai nilai ERBi lebih besar atau sama dengan 8,363. Sesuai dengan data yang ada pada table 2.4, maka saham/sekuritas
yang akan membentuk portopolio optimal adalah saham M, L, dan F dengan nilai ERB i berturut-turut (10,00), (8,67) dan (8,50).
Tabel 2.4 Sh
E(Ri) i
2
ei
RBR
ERBi
Sh
m
ERBi
Ai
Bi
A j
B j
Ci
m
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
A
20
2,00
5,0
10
5,00
M
10,00
4,114
0,411
4,114
0,411
8,045
B
19
1,50
4,0
10
6,00
L
8,67
3,900
0,450
8,014
0,861
8,336
C
17
1,50
3,0
10
4,67
F
8,50
4,533
0,533
12,548
1,395
8,394
D
15
1,20
1,5
10
4,17
O
8,33
13,50
1,620
26,048
3,015
8,363
E
17
1,40
2,5
10
5,00
B
6,00
3,375
0,563
29,423
3,577
8,001
F
27
2,00
7,5
10
8,50
A
5,00
4,000
0,800
33,423
4,377
7,465
G
12
1,00
5,5
10
2,00
E
5,00
3,920
0,784
37,343
5,161
7,098
H
11
0,80
3,0
10
1,25
C
4,67
3,500
0,750
40,843
5,911
6,794
I
12
0,75
3,5
10
2,67
D
4,17
4,000
0,960
44,843
6,871
6,432
J
14
1,20
4,0
10
3,33
K
4,00
1,389
0,347
46,232
7,218
6,317
K
15
1,25
4,5
10
4,00
J
3,33
1,200
0,360
47,432
7,587
6,177
L
23
1,50
5,0
10
8,67
N
3,33
3,000
0,900
50,432
8,478
5,879
M
22
1,20
3,5
10
10,0
I
2,67
0,429
0,161
50,860
8,639
5,820
N
15
1,50
2,5
10
0
G
2,00
0,364
0,182
51,224
8,821
5,742
O
25
1,80
2,0
10
3,33
H
1,25
0,267
0,213
51,490
9,034
5,637
8,33
Setelah menentukan sekuritas yang membentuk portofolio optimum, dalam contoh ini terdiri dari tiga sekuritas yaitu saham M, L dan F, selanjutnya kita menentukan besarnya porsi investasi untuk masing-masing sekuritas sebagai berikut: Berdasarkan persamaan (2.26) dan (2.27) diperoleh nilai W i sebagai berikut;
W1 (untuk saham M) = 0,551/0,662= 0,8323=83,23% W2 (untuk saham L) = 0,083/0,662= 0,1254=12,54% W3 (untuk saham F) = 0,028/0,662 = 0,0423= 4,23%
Secara ringkas hasil penyusunan portofolio optimal dapat dilihat pada tabel 2.5 sebagai berikut:
Tabel 2.5 Shm
E(Ri)
i
ei2
ERBi
Ci
Xi
Wi
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
M
22
1.20
3,5
10,00 8,045
0,551
0,8323
L
23
1,50
5,0
8,67
8,336
0,083
0,1254
F
27
2.00
7,5
8,50
8,394
0,028
0,0423
Total
Z 1(1,20/3,5)(10,00/8,394)= 0,551 Z 2 (1,50/5,0)(8,67/8,394)= 0,083 Z 3 (2,00/7,5)(8,50/8,394)= 0,028
1,0000
Daftar Pustaka:
