PEMBAHASAN 1. MODEL INDEKS TUNGGAL
William sharpe (1963) mengembangkan model yang disebut model indeks tunggal ( single ( single ). Model ini dapat digunakan untuk menyederhanakan perhitungan di model index model ). Markowitz dengan menyediakan parameter-parameter input yang dibutuhkan di dalam perhitungan model Markowitz. Disamping itu, model indeks tunggal dapat juga digunakan untuk menghitung return ekspektasian dan resiko portofolio.
1.1.MODEL INDEKS TUNGGAL DAN KOMPONEN RETURNNYA
Model indeks tunggal didasarkan pada pengamatan bahwa harga dari suatu sekuritas berfluktuasi searah dengan indeks harga pasar. Secara khusus dapat dilihat bahwa saham cenderung mengalami kenaikan harga jika indeks harga saham naik. Dan sebaliknya jika indeks harga saham turun, maka saham mengalami penurunan harga. Hal ini menyarankan bahwa return dari sekuritas mungkin berkorelasi karena adanya reaksi umum (common response) response) terhadap perubahan nilai pasar. Dengan dasar ini, return dari suatu sekuritas dan return dari indeks pasar yang umum dapat dituliskan sebagai hubungan:
= +
(1-1)
Notasi:
= return sekuritas ke-i, = suatu variabel acak yang menunjukkan komponen dari return sekuritas ke-i yang independen terhadap kinerja pasar,
=
beta yang merupakan koefisien yang mengukur perubahan
akibat
dari
perubahan Rm,
= tingkat return dari indeks pasar, juga merupakan suatu variabel acak. Variabel merupakan komponen return yang tidak tergantung dari return pasar. Variabel dapat dipecah menjadi nilai yang diekspektasi (expected (expected value) value) dan kesalahan residu (residual (residual error ) sebagai berikut: = + . 1
Subtitusi dari persamaan rumus (10-1), maka akan didapatkan persamaan model indeks tunggal sebagai berikut:
= + +
(1-2)
Notasi:
= nilai ekspektasian dari return sekuritas yang independen terhadap return pasar, = kesalahan residu yang merupakan variabel acak dengan nilai ekspektasiannya sama dengan nol atau E( ) = 0. Model indeks tunggal membagi return dari suatu sekuritas kedalam dua komponen, yaitu sebagai berikut:
yang independen terhadap return pasar. Komponen return yang berhubungan dengan return pasar yang diwakili oleh .
1. Komponen return yang unik diwakili oleh 2.
Bagian return yang unik (
) hanya berhubungan dengan peristiwa mikro ( micro
event ) yang mempengaruhi semua perusahaan secara umum. Contoh dari peristiwa mikro misalnya adalah pemogokan karyawan, kebakaran, penemuan penelitian dan lain sebagainya. Bagian return yang berhubungan dengan return pasar ditunjukkan oleh beta (
)
yang
merupakan sensitivitas return suatu sekuritas terhadap return dari pasar. Secara consensus, return pasar mempunyai beta bernilai 1. Suatu sekuritas yang mempunyai beta bernilai 1,5 misalnya mempunyai arti bahwa perubahan return pasar sebesar 1% akan mengakibatkan perubahan return dari sekuritas tersebut dengan arah yang sama sebesar 1,5%. Model indeks tunggal dapat juga dinyatakan dalam bentuk return ekspektasian (expected return). Return ekspektasian dari model ini dapat diderivasi dari model di (10-2) sebagai berikut:
) = E( + + ),
E(
Atau :
) = E( ) + E( ) + E( ).
E(
Dari properti ke-2 dibab 6 diketahui bahwa nilai ekspektasian dari suatu konstanta adalah bernilai konstanta itu sendiri, maka E(
) dan E( ) =
E(
) dan secara
konstruktif nilai E( ) = 0, maka return ekspektasian model indeks tunggal dapat dinyatakan sebagai:
2
) = +
E(
).
E(
(1-3)
Contoh 1.1 :
Misalnya return ekspektasian dari indeks pasar E(R M) adalah sebesar 20%, bagan dari return ekspektasian suatu sekuritas yang independen terhadap pasar ( dan
) adalah sebesar 4%
adalah sebesar 0,75. Model indeks tunggal mengestimasi besarnya return ekspektasian
untuk sekuritas ini sebesar: E(R i) = 4% + 0,75 . 20% = 19% Sedangkan besarnya nilai return realisasian berdasarkan model indeks tunggal untuk sekuritas ini adalah sebesar : R i = 19% + ei Dari contoh ini terlihat bahwa nilai return realisasian merupakan nilai return ekspektasian ditambah dengan kesalahan residu. Jika ternyata nilai return realisasi nantinya sama dengan nilai return yang diharapkan, berarti investor mengestimasi nilai return ekspektasian tanpa kesalahan. Jika ternyata nilai return realisasi sebesar misalnya 21%, maka besarnya kesalahan estimasi (ei) adalah sebesar 21% - 19% = 2%.
1.2.ASUMSI-ASUMSI
Model indeks tunggal menggunakan asumsi - asumsi yang merupakan karakteristik model ini sehingga menjadi berbeda dengan model yang lainnya. Asumsi utama dari model indeks tunggal adalah kesalahan residu dari sekuritas ke-i tidak berkovari dengan kesalahan residu sekuritas ke-j atau
tidak berkovari (berkorelasi) dengan untuk semua nilai dari i
atau j. asumsi ini secara matematis dapat dituliskan sebagai: Cov(
) = 0
Besarnya Cov( Cov(
(1-4)
) dapat juga ditulis sebagai berikut:
) = E([ – E( )] [ – E( )]).
Karena secara konstruktif bahwa E( ) dan E( ) adalah sama dengan nol, maka: Cov(
) = E([ – E( )] [ – E( )]) )
= E( ·
3
Sehingga asumsi bahwa kesalahan residu untuk sekuritas ke-i tidak mempunyai korelasi dengan kesalahan residu untuk sekuritas ke-j dapat juga ditulis:
) = 0
E( ·
(1-5)
) dan kesalahan residu untuk tiap sekuritas ( ) merupakan variabel acak. Oleh karena itu, diasumsikan bahwa tidak berkovari dengan return indeks pasar . Asumsi kedua ini dapat dinyatakan secara matematis sebagai: Cov( , ) = 0 (1-6) Return indeks pasar (
Lebih lanjut persamaan ini dapat diuraikan:
) = E([( – E( )] · [ – E( )]) = 0.
Cov( ,
Cov( , ) = E( · [ – E( )]) = 0.
Karena E( ) = 0, maka dapat ditulis:
Dengan demikian, asumsi kedua dari model indeks tunggal dapat dituliskan sebagai:
– E()]) = 0.
E( · [
(1-7)
Asumsi dari model indeks tunggal mempunyai implikasi bahwa sekuritas bergerak bersama bukan karena efek diluar pasar (misalnya efek dari industry atau perusahaan itu sendiri), melainkan karena mempunyai hubungan yang umum terhadap indeks pasar. Asumsi ini digunakan untuk menyederhanakan masalah. Dengan demikian berapa besar model ini dapat diterima dan mewakili kenyataan sesungguhnya tergantung dari seberapa besar asumsi ini realistis. Jika asumsi ini kurang realistis, berarti model ini akan menjadi tidak akurat 1.3.VARIAN RETURN SEKURITAS MODEL INDEKS TUNGGAL
Secara umum, varian return dari suatu sekuritas dapat dinyatakan sebagai berikut:
2 = E[ – E( )]². Untuk model indeks tunggal, besarnya
dan E( ) tampak di(1-2) dan (1-3). Substitusi dari
nilai persamaan varian diatas, akan didapatkan hasil:
2 = E[( + · + ) – ( + · E( ))]² = E[ + · - - · E( )]² = E[ · - · E( ) + ]² 4
- E()) + ]² = E[ ² · ( - E( ))² + 2 · · ( - E( )) · + ²] = ² · E[( - E( )]² + 2 · · E[ - E( ) · ] + E[ ]² 2 ) dan E[ Perlu diketahui bahwa E[( – E( )]² merupakan varian dari return pasar ( E( ) · ] adalah sama dengan nol sesuai dengan asumsi kedua dari model indeks tunggal, = E[ · (
maka rumus varian diatas dapat ditulis:
2 = 2 · 2 + 0 + E[ ]². Nilai E[ ]² dapat ditulis sebagai E[ - 0]² dan karena secara konstruktip bahwa E( ) = 0, maka nilai 0 selanjutnya juga dapat diganti dengan nilai E( ), sehingga nilai E[ ]² dapat ditulis dengan arti yang sama dengan E[ - E( )]² dan nilai ini merupakan varian dari 2 ). Dengan mensubtitusikan E[ ]² dengan 2 , maka kesalahan residu untuk sekuritas ke i ( rumus varian return sekuritas berdasarkan model indeks tunggal adalah:
= · + .
(1-8)
Risiko (varian return) sekuritas yang dihitung berdasarkan model ini terdiri dari dua bagian: risiko yang berhubungan dengan pasar ( market related risk ) yaitu masing-masing perusahaan (unique risk ) yaitu
2 .
2 · 2 dan risiko untuk
1.4.KOVARIAN RETURN ANTARA SEKURITAS MODEL INDEKS TUNGGAL
Secara umum, kovarian return antara dua sekuritas i dan j dapat ditulis:
= E[( - E( ))]. Untuk model indeks tunggal, nilai
, , E( ) dan E( ) dapat disubtitusikan, sehingga
kovarian return menjadi:
= E[(( + · + ) – ( + · E( ))) · · + ) – ( + · E( )))]
( +
· + - - · E( )) · ( + · + - - · E( ))].
= E[( +
5
- · E( ) + ) · ( · - · E( ) + )]
= E[( ·
- E( )) + ) · ( · E( - E( )) + )]
= E[( · (
- E( )) · · ( ) + E( ))
= E[ · ( + =
· ( - E( )) · + · ( - E( )) · + · )]
· · E[ - E( )]² + · E( - E()) · E()) · ] + · - E( )) · ] + E[ · ].
E(
Berdasarkan asumsi yang digunakan dimodel ini, maka tiga bagian terakhir dari persamaan diatas adalah sama dengan nol, sehingga kovarian return menjadi:
= · · E[ – E( )]². atau = · ·
(1-9)
Contoh 1.2 :
Dua buah sekuritas A dan B masing-masing mempunyai Beta yaitu β A=1,7 dan β B=1,3. Varian return dari indeks pasar diketahui sebesar 0,00026. Dengan menggunakan rumus 1-9, kovarian sekuritas A dan B adalah sebesar :
= · · = 1,7 . 1,3 . 0.00026 = 0,00057 1.5.PARAMETER-PARAMETER INPUT UNTUK MODEL MARKOWITZ
Model indeks tunggal dapat digunakan untuk menghitung return ekspektasian (E( varian dari sekuritas (
)),
2) dan kovarian antar sekuritas ( ) yang merupakan parameter input
untuk analisis portofolio menggunakan model Markowits. Maksudnya bahwa hasil dari model indeks tunggal ini yaitu E(
) dari rumus di (10-3), 2 dari rumus di (10-8) dan
dari rumus di (10-9) dapat digunakan sebagai input untuk menghitung return ekspektasian dan resiko portofolio menggunakan model Markowits.
6
1.6.ANALISIS PORTOFOLIO MENGGUNAKAN MODEL INDEKS TUNGGAL
Selain hasil dari model indeks tunggal dapat digunakan sebagai input analisis portofolio, model indeks tunggal dapat juga digunakan untuk analisis portofolio. Analisis portofolio menyangkut perhitungan return akspektasian portofolio dan resiko portofolio.
1.6.1. Return ekspektasian portofolio
Return ekspektasian dari suatu portofolio selalu merupakan rata-rata tertimbang dari return ekspektasian individual sekuritas (lihat 8-2):
) = ∑=1 · E( ).
E(
Dengan mensubtitusikan E(
) menggunakan nilai dipersamaan (10-3), return ekspektasian
portofolio menjadi:
) = ∑=1 · ( + · E( ))
E(
) = ∑= · + ∑= · · E()
E(
(1-10)
Model indeks tunggal mempunyai beberapa karakteristik sebagai berikut ini. 1. Beta dari portofolio (
)
merupakan rata-rata tertimbang dari beta masing-masing
sekuritas ( ):
= ∑= · (1-11) 2. Alpha dari portofolio ( ) juga merupakan dari alpha tiap-tiap sekuritas ( ): = ∑= · Dengan mensubtitusikan karakteristik ini, yaitu
(1-12)
dan kedalam persamaan (10-10), maka
return ekspektasian portofolio menjadi:
) = + · E()
E(
(1-13)
1.6.2. Risiko portofolio
Varian dari suatu sekuritas yang dihitung berdasarkan model indeks tunggal telah diuraikan dan dapat dilihat dipersamaaan (10-8). Varian dari sekuritas ini adalah sebagai berikut:
7
2 = 2 · 2 + 2 . Varian dari portofolio adalah sebesar:
= (∑= · )² · + (∑= · )²
(1-14)
Dengan menggunakan karakteristik beta dipersamaan (1-11), maka varian dari portofolio selanjutnya dapat dituliskan:
= · + (∑= · )²
(1-15)
Salah satu kegunaan model indeks tunggal adalah untuk menyederhakan perhitungan model Markowits. Untuk menghitung return dan resiko portofolio, model Markowits membutuhkan parameter input berupa return ekspektasian masing-masing sekuritas, varian masing-masing sekuritas dan kovarian antara sekuritas. Untuk menghitung risiko portofolio yang terdiri dari n-buah aktiva, model Makowits membutuhkan perhitungan sebanyak n buah varian dan (n · (n - 1)) buah kovarian. Karena kovarian sifatnya simetri, yaitu Cov( adalah sama dengan Cov(
, ),
, )
maka perhitungan kovarian dapat dilakukan hanya
separuhnya, yaitu sebanyak (n · (n – 1) / 2). Dengan demikian jumlah perhitungan yang dibutuhkan untuk menghitung risiko portofolio model Markowits adalah sebanyak n + (n · (n - 1) / 2). Misalnya n adalah 200 aktiva, maka untuk menghitung risiko portofolio dengan model Markowits dibutuhkan perhitungan sebanyak 200 varian dan (200 · (200 – 1) / 2) = 19,900 kovarian atau 200 + 19,900 = 20,100 perhitungan. Dengan menggunakan model indeks tunggal, perhitungan risiko portofolio hanya membutuhkan (2 · n) + 1 perhitungan (lihat rumus di 1-14 dan 1-15), yaitu
untuk masing-masing sekuritas ke-i sebanyak n buah,
² juga untuk masing-masing sekuritas ke-i sebanyak n buah dan sebuah varian return dari 2 ). Sebagai perbandingan untuk 200 aktiva jika digunakan model indeks market indeks ( tunggal untuk menghitung risiko portofolio hanya dibutuhkan perhitungan sebanyak (2 · 200) + 1 = 401 perhitungan. Untuk portofolio yang di diversifikasikan, bagian kedua dari risiko varian ini, yaitu risiko yang tidak sistematik akan semakin kecil nilainya dengan semakin banyaknya sekuritas didalam portofolio, akan bernilai nol jika jumlah sekuritas sangat besar. Misalnya portofolio terdiri dari n sekuritas dengan bobot nilai dalam rupiah sama untuk masing-masing sekuritas, sehingga
= 1/n untuk tiap sekuritas ke-i. substitusi dari nilai bobot ke persamaan (1-15),
maka akan didapatkan:
8
= ·
(1-16)
1.7.Model pasar
Model pasar (market model ) merupakan bentuk dari model indeks tunggal dengan batasan yang lebih sedikit. Model pasar bentuknya sama dengan model indeks tunggal. Perbedaannya terletak di asumsinya. Di model indeks tunggal, diasumsikan bahwa kesalahan
) =
residu masing-masing sekuritas tidak berkovari satu dengan yang lainnya atau Cov( ,
0. Di model pasar, asumsi ini tidak digunakan atau kesalahan residu masing-masing sekuritas dapat berkorelasi. Kenyataannya bahwa sekuritas berkovari atau berkorelasi satu dengan yang lainnya membuat model pasar lebih realitis. Model pasar ini banyak digunakan oleh peneliti pasar model untuk menghitung abnormal return. Bentuk model pasar yang sama dengan bentuk model indeks tunggal mempunyai return dan return ekspektasian sebagai berikut:
= + · + dan E( ) = + · E( ) 1.8.Portofolio optimal berdasarkan model indeks tunggal
Perhitungan untuk menentukan portofolio optimal akan sangat mudah jika hanya didasarkan pada sebuah angka yang dapat menentukan apakah suatu sekuritas dapat dimasukkan ke dalam portofolio optimal tersebut. Angka tersebut adalah rasio antara ekses return dengan beta (excess return to beta ratio). Rasio ini adalah:
= −
(10-17)
Notasi:
= excess return to beta sekuritas ke-i = return ekspektasian berdasarkan model indeks tunggal untuk sekuritas ke-i = return aktiva bebas risiko = beta sekuritas ke-i
9
Excess return didefinisikan sebagai selisi return ekspektasian dengan return aktiva bebas risiko. Excess return to beta berarti mengukur kelebihan return relative terhadap satu unit risiko yang tidak dapat didiversifikasikan yang diukur dengan beta. Rasio ERB ini juga menunjukkan hubungan antara dua factor penentu investasi, yaitu return dan risiko. Portofolio yang optimal akan berisi dengan aktiva yang mempunyai nilai rasio ERB yang tinggi. Aktiva dengan rasio ERB yang rendah tidak akan dimasukkan ke dalam portofolio optimal. Dengan demikian diperlukan sebuah titik pembatas (cut-off point ) yang menentukan batas nilai ERB berapa yang dikatakan tinggi. Besarnya titik pembatas ini dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut ini. 1. mengurutkan sekuritas berdasarkan nilai ERB terbesar ke nilai ERB terkecil. Sekuritas dengan nilai ERB terbesar merupakan kandidat untuk dimasukkan ke portofolio optimal. 2. menghitung nilai
dan untuk masing-masing sekuritas ke-i sebagai berikut:
= [−] ·
(10-18)
Dan
=
(10-19)
Notasi:
2 = varian dari kesalahan residu sekuritas ke-i yang juga merupakan risiko unik atau risiko tidak sistematik. 3. Menghitung nilai
.
∑ = + ∑
(10-20)
Notasi:
2 = varian dari indeks pasar. adalah nilai C untuk sekuritas ke-i yang dihitung dari kumulasi nilai 1 sampai dengan dan nilai 1 sampai dengan . Misalnya 3 menunjukkan nilai C untuk sekuritas ke-3 yang dihitung dari kumulasi 1 , 2 , 3 , dan 1, 2 dan 3. Dengan mensubtitusikan nilai dan dirumus (10-18) dan (10-19) ke nilai di rumus (10-20), maka rumus menjadi: 10
=
· ∑ +
∑
(10-21)
4. Besarnya cut-off point (C*) adalah nilai lebih besar dari nilai
dimana nilai ERB terakhir kali masih
.
5. Sekuritas yang membentuk portofolio optimal adalah sekuritas yang mempunyai nilai ERB lebih besar atau sama dengan nilai ERB dititik C*. sekuritas yang mempunyai ERB yang lebih kecil dengan ERB titik C* tidak diikutsertakan dalam pembentukan portofolio optimal. Contoh : Misalnya suatu pasar modal mempunyai 15 buah saham yang tercatat. Data return ekspektasian (R i), Beta (i) dan risiko tidak sistematik (ei2) untuk masing-masing sekuritas dapat dilihat pada tabel. Misalnya lagi diketahui bahwa return aktiva bebas risiko (R BR ) adalah sebesar 10% dan varian indeks pasar (M2) adalah 10%. Tabel. Data untuk menghitung portofolio optimal model indeks t unggal. nama
E(Ri)
i
ei
2
ERBi
A
20
2.00
5.0
5.00
B
19
1.50
4.0
6.00
C
17
1.50
3.0
4.67
D
15
1.20
1.5
4.17
E
17
1.40
2.5
5.00
F
27
2.00
7.5
8.50
G
12
1.00
5.5
2.00
H
11
0.80
3.0
1.25
I
12
0.75
3.5
2.67
J
14
1.20
4.0
3.33
K
15
1.25
4.5
4.00
L
23
1.50
5.0
8.67
M
22
1.20
3.5
10.00
N
15
1.50
2.5
3.33
O
25
1.80
2.0
8.33
saham
Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menghitung nilai ERB i untuk masingmasing sekuritas ke-i sesuai dengan rumus. Hasil perhitungan ERB i tampak pada kolom
11
terakhir. Langkah selanjutnya adalah mengurutkan tabel dari nilai ERB i tertinggi ke terkecil. Kemudian nilai Ai, Bi, C i untuk masing – masing sekuritas dapat dihitung yang hasilnya di sajikan dalam tabel berikut :
Di kolom Ci, nilai C* adalah sebesar 8.394, yaitu untuk sekuritas ‘F’ dengan nilai ERB sebesar 8.50 yang merupakan nilai ERB terakhir kali masih lebih besar dari nilai C i , nilai ERB selanjutnya, yaitu 8.33 untuk sekuritas ‘O’ sudah lebih kecil dari nilai C i yaitu sebesar 8.363. Oleh karena itu sekuritas ‘O’ sudah tidak dimasukan sebagai bagian dari portofolio optimal. Sekuritas-sekuritas yang membentuk portofolio optimal adalah sekuritas sekuritas yang mempunyai ERB besar dari C i yaitu sekuritas ‘F’, ‘M’, ‘L’. Setelah sekuritas yang membentuk portofolio optimal telah dapat ditentukan, pertanyaannya adalah berapa besar proporsi masing-masing sekuritas tersebut didalam portofolio optimal. Besarnya proporsi untuk sekuritas ke-i adalah sebesar:
= ∑ Dengan nilai
(10-22)
adalah sebesar:
= ( - C*)
(10-23)
Notasi:
12
= proporsi sekuritas ke-i.
K
= jumlah sekuritas diportofolio optimal.
2
= beta sekuritas ke-i.
C*
= nilai cut-off point yang merupakan nilai
= varian dari kesalahan residu sekuritas ke-i. = excess return to beta sekuritas ke-i.
terbesar.
Contoh soal Dari contoh sebelumnya terdapat tiga buah sekuritas yang membentuk portofolio optimal yang tampak pada tabel berikut :
Nilai Zi di tabel dihitung berdasarkan rumus sebagai berikut : Z1 = (1.20 / 3.5)(10.00 – 8.394) = 0.551 Z2 = (1.50 / 5.0)(8.67 – 8.394) = 0.083 Z3 = (2.00 / 7.5)(8.50 – 8.394) = 0.028 k
Besarnya nilai
Z j adalah sebesar Z1 + Z2 + Z3 atau sebesar 0.551 + 0.083 + 0.028 = 0.662. j 1
Nilai Wi yang merupakan proporsi sekuritas ke-i dapat dihitung berdasarkan rumus sebagai berikut : W1 = 0.551/ 0.662 = 0.8323 = 83.23% W2 = 0.083/ 0.662 = 0.1254 = 12.54% W1 = 0.028/ 0.662 = 0.0423 = 4.23%
13
2. DERIVASI RUMUS-RUMUS PORTOFOLIO OPTIMAL MODEL INDEKS TUNGGAL
Untuk n-buah sekuritas didalam portofolio optimal, struktur varian dan kovarian untuk masing-masing sekuritas dapat dituliskan sebagai berikut ini. Untuk sekuritas ke-1:
1 . 12 + 2 · 1,2 + . . . + . 1, = E(1) - . Untuk sekuritas ke-2:
1 . 2,1 + 2 · 22 + . . . + . 2, = E(2) - . Untuk sekuritas ke-n:
1 . ,1 + 2 · ,2 + . . . + . 2= E( ) - . Secara umum, untuk sekuritas ke-i, rumus diatas dapat dituliskan seba gai berikut:
. + ∑ = ≠ ., = E( ) - .
(L10-1)
Notasi:
1)
E(
= return ekspektasian sekuritas ke-i.
12 ,
= return aktiva bebas risiko. =Ѱ
, untuk Ѱ adalah suatu konstan.
= varian return sekuritas ke-i. = kovarian return sekuritas ke-i dengan sekuritas ke-j.
Untuk model indeks tunggal besarnya varian return sekuritas ke-i
sesuai dengan
rumus di (10-8). Dan kovarian return sekuritas ke-i dan ke-j seperti tampak di rumus (10-9) Subtitusi dari nilai varian (
.
2) dan kovarian ( ) berdasarkan model indeks tunggal ke rumus
(L10-1), maka akan didapatkan hasil:
(2 · 2 + 2 ) + ∑=1 ≠ 2 = E(1) - . Atau: 14
2 2 + 2 + ∑=1 ≠ 2 = E(1) - . · 2 · 2 ) atau ( · · · 2 ) selanjutnya dapat digabungkan dengan nilai yang sehingga symbol j≠I dapat dihilangkan sebagai berikut: ada didalam =1
Nilai (
· 2 + ∑=1 2 = E(1) - . sehingga menjadi: 2 ) dapat dikeluarkan dari dalam =1
Nilai ( ·
· 2 + · 2 ∑=1 · = E(1) - Dan
. . = − - ∙ ∑ = Kalikan nilai
(L10-2)
− dengan nilai , sehingga menjadi:
] . ∙ = [− . - ∑=1 . − = [ . -
2 ∑=1 . ]
Karena
= − Dan (
(lihat rumus 10.17)
2 ∑=1 . ) diwakili dengan nilai C*, maka rumus di atas menjadi: = (− - C*)
Nilai
(L10-3)
. diketahui setelah sekuritas diportofolio optimal diketahui. Padahal nilai =1
C* dibutuhkan untuk menentukan sekuritas portofolio optimal tersebut. Oleh karena itu, nilai
. perlu =1
diuraikan lebih lanjut yang dapat dilakukan dengan menggunakan
kembali rumus di (L10-2) sebagai berikut:
=
− ∙ ∑ =1 . .
Kalikan kedua sisi persamaan ini dengan nilai
dan jumlahkan semua nilainya dari j=1
sampai dengan j=n, maka akan didapatkan hasil:
15
− 2 ∑=1 . = =1 . - =1 =1 . ()− . 2 ∑=1 . + =1 =1 . = =1 ()− . . 2 ∑=1 . [1 + =1 ] = =1
∑=1 . = Subtitusikan nilai
1+
∑=1 . ini ke rumus (L10-3), maka akan didapatkan nilai
cut-off
point C* sebesar:
C* =
+
(L10-4)
16
KESIMPULAN
1. Model indeks tunggal didasarkan pada pengamatan bahwa harga dari suatu sekuritas berfluktuasi searah dengan indeks harga pasar. return dari suatu sekuritas dan return dari indeks pasar yang umum dapat dituliskan sebagai hubungan:
= + 2. Model indeks tunggal membagi return dari suatu sekuritas kedalam dua komponen, yaitu sebagai berikut: a. Komponen return yang unik diwakili oleh
yang independen terhadap return
pasar. b. Komponen return yang berhubungan dengan return pasar yang diwakili oleh
. 3. Asumsi utama dari model indeks tunggal adalah kesalahan residu dari sekuritas ke-i
tidak berkovari ) = 0 Cov( (berkorelasi) dengan untuk semua nilai dari i atau j. rumus varian return sekuritas berdasarkan model indeks tunggal adalah: = · + . kovarian return model indeks tunggal ( = · · Model indeks tunggal dapat digunakan untuk menghitung return ekspektasian (E( )), varian dari sekuritas (2 ) dan kovarian antar sekuritas ( ) yang merupakan parameter tidak berkovari dengan kesalahan residu sekuritas ke-j atau
4.
input untuk analisis portofolio menggunakan model Markowits. Return ekspektasian
) = ∑= · + ∑= · · E() Dengan mensubtitusikan karakteristik ini, yaitu dan kedalam persamaan (10-10), maka return ekspektasian portofolio menjadi: E( ) = + · E( ) Varian dari portofolio adalah sebesar: = (∑= · )² · + (∑= · )². Dengan menggunakan karakteristik beta( = ∑ = · ) , maka varian dari portofolio selanjutnya dapat dituliskan: = · + (∑ = · )² . Rumus risiko yang terdiversifikasikan ∶ = · portofolio E(
5.
Model pasar (market model ) merupakan bentuk dari model indeks tunggal dengan batasan yang lebih sedikit perbedaanya terletak pada asumsinya.
6.
Menghitung portofolio optimal berdasarkan indeks tunggal yaitu menggunakan excess return to beta.
17
7.
Excess return to beta berarti mengukur kelebihan return relative terhadap satu unit risiko yang tidak dapat didiversifikasikan yang diukur dengan beta.
8.
Portofolio yang optimal akan berisi dengan aktiva yang mempunyai nilai rasio ERB yang tinggi. Aktiva dengan rasio ERB yang rendah tidak akan dimasukkan ke dalam portofolio optimal.
18
Daftar Pustaka Hartono, Jogiyanto., Teori Fortofolio dan Analisis Investasi edisi kesepuluh, 2015,yogyakarta : BPFE-Yogyakarta
19
