Bahan ajar A. Kompetensi Inti KI 1: Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. KI 2: Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia. KI3: Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan,
teknologi,
seni,
budaya,
dan
humaniora
dengan
wawasan
kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. KI4: Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan. B. Kompetensi Dasar Mendeskripsikan konsep sistem persamaan linier dua dan tiga variabel serta pertidaksamaan linier dua variabel dan mampu menerapkan berbagai strategi yang efektif dalam menentukan himpunan penyelesaiannya serta memeriksa kebenaran jawabannya dalam pemecahan masalah matematika.
C. Indikator Pencapaian Kompetensi 1.
Terlibat secara aktif dalam proses pembelajaran Persamaan Linear Tiga Variabel.
2.
Bekerjasama dalam kegiatan kelompok dan toleran terhadap proses pemecahan masalah yang berbeda dan kreatif.
3.
Menjelaskan dan memahami definisi Persamaan Linear Tiga Variabel
4.
Menentukan Himpunan Penyelesaian untuk Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel.
D. Tujuan Pembelajaran 1. Dapat menjelaskan dan memahami definisi Persamaan Linear Tiga Variabel 2. Dapat menentukan himpunan penyelesaian Persamaan Linear Tiga Variabel
E. Materi Matematika Materi Pokok : Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel terdiri atas tiga persamaan dan tiga variable. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) pada dasarnya merupakan perluasan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV). Dengan variable 𝑥, 𝑦, 𝑑𝑎𝑛 𝑧 SPLTV memiliki bentuk umum sebagai berikut : 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 = 𝑑1 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 = 𝑑2 𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 𝑧 = 𝑑3 Dengan 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 , 𝑐1 , 𝑐2 , 𝑐3 , 𝑑1 , 𝑑2 , 𝑑𝑎𝑛 𝑑3 bilangan-bilangan real. Jika 𝑥 = 𝑥𝑜 , 𝑦 = 𝑦0 dan 𝑧 = 𝑧𝑜 memenuhi system persamaan tersebut, maka berlaku hubungan : 𝑎1 𝑥𝑜 + 𝑏1 𝑦𝑜 + 𝑐1 𝑧𝑜 = 𝑑1 𝑎2 𝑥𝑜 + 𝑏2 𝑦𝑜 + 𝑐2 𝑧𝑜 = 𝑑2 𝑎3 𝑥𝑜 + 𝑏3 𝑦𝑜 + 𝑐3 𝑧𝑜 = 𝑑3 Pasangan berurutan 𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 , 𝑧𝑜 disebut penyelesaian dari system persamaan. Himpunan yang beranggotakan penyelesaian system persamaan itu, yaitu { 𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 , 𝑧𝑜 } disebut himpunan
penyelesaian. Untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dapat dilakukan dengan metode : 1. Eliminasi 2. Subtitusi 3. Gabungan eliminasi dan subtitusi 1. Penyelesaian persamaan linier tiga variabel dengan metode eliminasi
Ada beberapa langkah dalam metode ini: Langkah 1: Pilihlah salah satu dari persamaan yang sederhana, kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y. Langkah 2: Subtitusikan x atau y atau z yang diperoleh langkah 1 ke dalam persamaan lainya sehingga didapat SPLDV. Langkah 3: Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah 2.
2. Penyelesaian persamaan linier tiga variabel dengan metode subtitusi
Langkah 1: Eliminasi salah satu peubah x, atau y atau z sehingga diperoleh SPLDV. Langkah 2: Selesaikan SPLDV ang didapat pada langkah 1. Langkah 3: Subtitusikan nilai-nilai peubah yang diperoleh pada langkah 2 kedalam salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai peubah yang lainnya. 3. Penyelesaian persamaan linier tiga variabel dengan metode gabungan eliminasi dan subtitusi Metode penyelesaian persamaan linear ini menggunakan metode gabungan antara metode substitusi dan eliminasi. Metode gabungan ini sering digunakan dalam menyelesaikan system persamaan linear tiga variable karena lebih mudah dan efisien. Contoh : 𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 8 2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 0 3𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = 17 Jawab : 𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 8 … . … (1) 2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 0 … … . (2) 3𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = 17 … … . (3)
eliminasi variable z pada (1) dan (2) 𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 8 2𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 0 + 3𝑥 − 2𝑦 = 8
… … … (4)
eliminasi variable z pada (1) dan (3) 𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 8 3𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = 17
𝑥1 |𝑥 2|
𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 8 6𝑥 + 10𝑦 − 2𝑧 = 34 + 7𝑥 + 7𝑦 = 42 … … (5)
eliminasi variable y pada (4) dan (5) 3 𝑥 − 2 𝑦 = 8 |𝑥7| 7 𝑥 + 7𝑦
= 42 𝑥 2
21𝑥 − 14𝑦
= 56
14𝑥 + 14𝑦
= 84
35𝑥 = 140 𝑥 = 4
+
Nilai x = 4 disubtitusikan ke (4)
nilai x = 4, dan y = -2 Subtitusi ke (1)
3𝑥 − 2𝑦 = 8
𝑥
3 4 − 2𝑦 = 8
4 − 3 −2 + 2𝑧 = 8
2𝑦 𝑦
−
3𝑦 +
= −4
2𝑧 = 8 2𝑧 = −2
= −2
𝑧 = −1
𝐽𝑎𝑑𝑖 𝐻𝑃 = ( 4 , −2 , −1 )
Model Matematika yang Berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Banyak masalah dalam kehidupan sehari-hari yang dapat diterjemahkan dalam model matematika. Langkah yang perlu dilakukan pertama kali untuk menerjemahkan masalah dalam model matematika adalah mengidentifikasi bahwa masalah yang diselesaikan itu merupakan sebuah system persamaan. Setelah itu, lakukan langkah berikut : 1. Nyatakan besaran yang ada dalam masalah sebagai variable system persamaan. 2. Rumuskan system persamaan yang merupakan model matematika dari suatu masalah. 3. Tentukan penyelesaian model matematikanya. 4. Tafsirkan hal yang diperoleh sesuai dengan permasalahannya. Contoh : Sebuah kios menjual bermacam-macam buah di antaranya jeruk, salak, dan apel. Seseorang yang membeli 1 kg jeruk, 3 kg salak, dan 2 kg apel harus membayar Rp33.000,00. Orang yang membeli 2 kg jeruk, 1 kg salak, dan 1 kg apel harus membayar Rp23.500,00. Orang yang membeli 1 kg jeruk, 2 kg salak, dan 3 kg apel harus membayar Rp36.500,00. Berapa harga per kilogram salak, jeruk, dan apel? Jawab : a. Misalkan harga per kilogram jeruk , harga per kilogram salak 𝑦, dan harga per kilogram apel 𝑧. b. Model matematika : 1 kg jeruk, 3 kg salak, dan 2 kg apel Rp33.000,00 2kg jeruk, 1 kg salak, dan 1 kg apel Rp23.500,00 1 kg jeruk, 2 kg salak, dan 3kg apel Rp36.500,00
𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 33.000 ...(1) 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 23.500…. 2 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 36.500 …. 3
c. Penyelesaian Sistem persamaan di atas adalah : Mengeliminasi variabel 𝑥 pada persamaan (1) dan (2) 𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 33.000 𝑥2 2 𝑥 + 6𝑦 + 4𝑧 = 66.000 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧
= 23.500 𝑥 1 2 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 23.500 − 5𝑦 + 3𝑧 = 42.500 …… 4
Mengeliminasi variabel 𝑥 pada persamaan (1) dan (3) 𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 33.000 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 36.500
−
𝑦 − 𝑧 = − 3.500 𝑦 = 𝑧 − 3.500 …. 5
Substitusi persamaan (5) ke persamaan (4), sehingga : 5 𝑧 − 3.500 + 3𝑧 = 42.500 5𝑧 + 3𝑧 = 42.500 + 17.500 8𝑧 = 60.000 𝑧 = 7.500 Nilai 𝑧 = 7.500 disubstitusikan ke persamaan (5) sehingga diperoleh : 𝑦 = 𝑧 − 3.500 𝑦 = 7.500 − 3.500 𝑦 = 4.000 Kemudian, nilai 𝑦 = 4,000 dan 𝑧 = 7.500 disubstitusikan ke persamaan (1) sehingga 𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 33.000 𝑥 + 3 4.000 + 2 7.500 = 33.000 𝑥 + 12.000 + 15.000 = 33.000 𝑥 + 27.000 = 33.000 𝑥 = 33.000 − 27.000 𝑥 = 6.000
Jadi, harga 1 kg jeruk Rp6.000,00, 1kg salak Rp4.000,00, dan 1kg apel Rp7.500,00.
