BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Persoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa (engineering), seperti Teknik Kimia, Teknik Sipil, Teknik Mesin, Elektro dan sebagainya. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak ideal atau sulit untuk dikerjakan secara analitik untuk mendapatkan solusi sejatinya ( exact solution).
Yang
dimaksud
dengan
metode
analitik
adalah
metode
penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku atau lazim digunakan. Ada beberapa persoalan matematika yang tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Akan tetapi metode analitik unggul untuk sejumlah persoalan yang memiliki tafsiran geometri sederhana. Misalnya menentukan akar penyelesaian dari menggunakan rumus abc. Padahal persoalan yang muncul dalam kehidupan sehari-hari tidak selalu dalam bentuk sederhana tetapi sangat kompleks serta melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas. Bila metode analitik tidak dapat lagi digunakan, maka salah satu solusi yang dapat digunakan adalah dengan metode Numerik. Metode Numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematika sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan atau aritmatika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi) (Susy, 2006 : 3-5). Penyelesaian secara numerik umumnya melibatkan proses iterasi, perhitungan berulang dari data numerik yang ada. Jika proses iterasi tersebut dilakukan secara manual, akan membutuhkan waktu yang relatif lama dan kemungkinan timbulnya nilai kesalahan (error) akibat manusia itu sendiri juga relatif besar. Misalnya untuk menyelesaikan persoalan persamaan nonlinear , jika diselesaikan menggunakan cara manual menggunakan Metode
Biseksi diperlukan beberapa iterasi. Untuk penyelesaian sampai tujuh angka di belakang koma dapat terjadi iterasi sampai puluhan kali. Ini tentu membutuhkan waktu yang relatif lama. Pada kenyataannya sering terjadi proses iterasi sampai ratusan kali, pada keadaan demikian ini komputer sangat dibutuhkan untuk mengurangi mengurangi waktu penyelesaian (Munif, 1995 : 3). Selain mempercepat perhitungan numerik, dengan komputer dapat dicoba berbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat perubahan beberapa parameter tanpa menyita waktu dan pikiran. Solusi yang diperoleh juga dapat ditingkatkan ketelitiannya dengan mengubah-ubah nilai parameter (Susy, 2006 : 9). Penyelesaian
yang
digunakan
dalam
metode
Numerik
adalah
penyelesaian pendekatan, oleh karena itu biasanya timbul kesalahan (error). Pada penyelesaiannya diusahakan untuk mendapatkan error yang sekecil mungkin.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut di atas, maka permasalahan dalam makalah ini adalah bagaimana menyelesaikan persamaan non-linear menggunakan menggunakan berbagai metode dengan program komputer.
1.3 Batasan Masalah
Batasan masalah dalam makalah ini adalah persamaan non-linear dalam bentuk polinomial satu variabel.
1.4 Tujuan
Dengan adanya permasalahan yang muncul, maka tujuan dari makalah ini adalah mengetahui perbedaan kecepatan dan tingkat kemudahan dalam menyelesaikan persamaan non-linear ditinjau dari berbagai metode yang digunakan.
1.5 Manfaat
Ada beberapa manfaat yang diharapkan dari makalah ini, diantaranya adalah memberikan wawasan tambahan mengenai cara-cara menyelesaikan persamaan non linear menggunakan Metode Numerik yang paling efektif dan efisien, karena hanya dengan beberapa langkah saja sudah bisa didapatkan apa yang diinginkan. Metode analitik tidak berlaku lagi karena terlalu memakan banyak waktu, tenaga dan pikiran
BAB II PENYELESAIAN PERSAMAAN NON LINEAR DENGAN METODE NUMERIK
Dalam usaha mendapatkan persamaaan matematika yang menjabarkan model dari suatu persoalan nyata, sering solusi yang dicari berupa suatu nilai variabel x sedemikian rupa, sehingga terpenuhi persamaan f (x) = 0 yang digunakan dalam model. Untuk beberapa kasus, melalui faktorisasi f(x) = 0 dapat diperoleh penyelesaian seperti yang diinginkan, namun bentuk yang lebih rumit telah mampu memberikan solusi melalui analisis matematik. Apa yang dimaksud dengan menentukan x hingga terpenuhi persamaan f(x) = 0 ? secara geometri ini berarti mencari suatu titik hal mana f(x) tepat memotong sumbu x, sehingga f(x) = 0. jika dianggap f(x) sesungguhnya memotong sumbu x, maka dapat dicari suatu interval [a,b], sedemikian rupa sehingga f(a) dan f(b) mempunyai mempunyai tanda berbeda.
Gambar 2.1 Grafik non linier
Dengan pembatasan interval ini, secara cermat dapat dicari x = yang memberikan nilai f ( ) = 0 sebagai berikut : 1.
bagi dua interval [a,b] dan evaluasi nilai f(x) pada titik tengah interval.
2.
Apabila f(m) = 0 berarti x = m, bila tidak sama dicari posisi nilai m apakah berada pada interval [a,m] atau interval [m,b] ; yaitu dengan memeriksa perbedaan tanda :
jika f (a) dan f(m) berbeda berbeda tanda berarti di [a,m]
jika f(a) dan f(m) mempunyai tanda sama berarti di [n,b] proses pembagian interval dapat diulang sampai ditemukan nilai yang memberikan f( ) = 0.
Pada bab ini dibahas solusi dari persamaan non linear yang banyak dijumpai dalam formulasi kasus-kasus fisika, yaitu pencarian akar persamaan (finding roots). Disajikan beberapa metode yang biasa digunakan, dan inti pembahasan terletak beberapa metode komputasi numerik yang akan dibahas, yaitu metode Successive Substitution, metode Secant, metode Newton Raphson, dan metode Regula Falsi beserta cara menangani menangani berbagai kasus yang disertakan.
2. 1
Successive Substitution
Metode ini mempunyai strategi yang sama dengan metode iterasi titik tetap dan metode Gauss-Seidel. Masing-masing persamaan tak linier diselesaikan untuk memperoleh sebuah nilai x yang tak diketahui. Sistem persamaan ini selanjutnya diproses secara iteratif untuk menghitung nilai-nilai x yang baru, yang diharapkan akan konvergen. Suatu persamaan non linier tunggal dalam bentuk f(x) = 0 Dapat ditentukan akar-akarnya dengan cara iterasi subtitusi berurut, dengan cara sebagai berikut: 1.
Mengubah persamaan menjadi bentuk X = g(x)
2.
Dimulai dengan menebak nilai x0 awal untuk mengevaluasi nilai g( x0) dan menentukan nilai x1, kemudian lakukan iterasi. X(i+1) = g(xi)
dimana i =1,2,3,…
Sampai hasilnya tidak mengalami perubahan lagi, dimana
| | Tidak semua fungsi dapat diselesaikan dengan metode successive substitution, karena ada iterasi yang divergen. Syarat agar iterasi dijamin konvergen, adalah:
nilai dari
dg ( x ) dx
1 ,
pada nilai tebakan awal xo.
Ketika lereng dg (x)/dx < 1, maka metode tersebut konvergen seperti yang ditunjukkan pada gambar.
Ketika lereng dg (x) / dx> 1, maka metode tersebut divergen seperti yang ditunjukkan pada gambar. Contoh: 1. Tentukan nilai x dari persamaan berikut:
Jawab: Ubah persamaan persamaan menjadi menjadi bentuk X = g(x)
X = g(x) =
√
Misalkan x0 = -0.5 Penyelesaian iterasi dapat dilihat pada tabel. X
g(x)
-0.5
1.103657
1.103657 0.542445 0.542445 0.750208 0.750208 0.684039 0.684039 0.706208 0.706208 0.698905 0.698905 0.701325 0.701325 0.700525 0.700525 0.700789 0.700789 0.700702 0.700702 0.700731 0.700731 0.700721 0.700721 0.700724 0.700724 0.700723 0.700723 0.700724
2. Temukan penyelesaian dari: f(x)= x (tan x) - 1, Untuk 0 < x < π/2 Jawab: Pilih tebakan awal dalam range yg dipersyaratkan, missal π/8 Cari g(x) X=g(x) X=1/tan x Cek konvergensi, ternyata konvergen.
dg ( x ) dx
>1 maka tidak dijamin
Di coba subtitusi
x 0= π/8=0,3927 atau 22,5 derajat sebagai nilai tebakan
awal Maka menghasilkan 0,7 π, sehingga berada di luar range 0 < x < π/2 atau x1=2,4142 atau 0,7 divergen untuk g(x) yg lain: -1
x=tan (1/x) Cek konvergensi, konvergensi, ternyata Di coba subtitusi
dg ( x )
Maka menghasilkan table iterasi X
g(x)
0.3927
1.196599
1.196599 0.696135 0.696135 0.962669 0.962669 0.804416 0.804416 0.893368 0.893368 0.841657 0.841657 0.871166 0.871166 0.854142 0.854142 0.863902 0.863902 0.858286 0.858286 0.861511 0.861511 0.859657 0.859657 0.860722 0.860722 0.86011 0.860462
0.860462 0.86026 0.86026
<1 maka dijamin konvergen.
x 0= π/8=0,3927 atau 22,5 derajat sebagai nilai tebakan
awal.
0.86011
dx
0.860376
0.860376 0.860309 0.860309 0.860348 0.860348 0.860326
2.2 Metode Newton – Raphson
Metode Newton Rapshon adalah salah satu metode untuk menemukan solusi numerik dari persamaan non linier. Metode pendekatan yang menggunakan menggunakan satu titik t itik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik tersebut. Dengan konsep menggunakan iterasi (pengulangan) (pengulangan) mencari nilai x dengan rumus :
Sedangkan penentuan penentuan x awal harus memenuhi syarat sebagai berikut:
Jadi sebelum kita melakukan iterasi pencarian nilai x, terlebih dahulu harus mencari turunan pertama dan turunan kedua sebagai syarat dengan rumus di atas.
Gambar 2.2 Grafik metode Newton-Raphson Newton-Raphson
2.2.1
Alogaritma metode Newton Raphson 1
1.
Definisikan fungsi f(x) dan f (x)
2.
Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)
3.
Tentukan nilai pendekatan awal x 0
4.
Hitung f(x0) dan f ’(x0)
5.
Untuk iterasi I = 1 s/d n atau |f(x n)|> e
1
Hitung f(xn) dan f (xn)
Akar persamaan adalah nilai x i yang terakhir diperoleh.
Contoh soal : 1)
-x
Selesaikan persamaan persamaan x - e = 0 dengan titik pendekatan awal x 0 =0 Langkah-langkah Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut:
f(x) = x - e
-x
f’(x)=1+e
-x
-0
f(x0) = 0 - e = -1 -0
f’(x0) = 1 + e = 2
x1
f(x1) = -0,106631 dan f (x1) = 1,60653
x2 = x1
f(x2) = -0,00130451 dan f (x2) = 1,56762
x3 =
f(x3) = -1,96.10 . Suatu bilangan yang sangat kecil.
Sehingga akar persamaan x = 0,567143.
x 0
f x 0 f x 0 1
0
1
2
0,5
1
f x1 f x1 1
0,5
0,106531
1,60653
0,566311
1
x2
f x2 f 1 x2
0,566311
0,00130451
1,56762
-7
0,567143
2)
-x
x - e = 0 x0 =0, e = 0.00001
-x
Selesaikan persamaan x + e cos x -2 = 0
x0=1
Langkah-langkah Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut: -x
f(x) = x + e cos x - 2
-x f’(x) = 1 – e – e-x cos x – x – ee sin x
-x
Gambar 2.3 Grafik pers. x + e cos x -2 = 0
3)
Carilah penyelesaian persamaan di bawah ini dengan menggunakan menggunakan metode Newton Rapshon
Langkah-langkah Langkah-langkah yang harus h arus dilakukan adalah sebagai berikut: 1.
Mencari turunan pertama dan kedua dari f(x), yaitu: o
o
2.
Menentukan titik awal atau X1. Misalkan X1 = 0.5, maka didapat: o
o
o
3.
Langkah selanjutnya adalah mengecek persyaratan dengan rumus:
4.
Kemudian dilanjutkan dengan melakukan interasi dengan rumus :
Dan, iterasinya adalah sebagai berikut:
Iterasi dihentikan saat nilai Xn yang didapat tidak berubah secara signifikan atau nilai f(x) kurang dari 0.0000001. Jadi dari data di atas didapatkan nilai x = 0.360421703. 2.2.2
Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson
Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada 1
pada titik ekstrim atau titik puncak, karena pada pada titik ini nilai F (x) = 0 sehingga nilai penyebut dari F x sama dengan nol, secara grafis dapat F x dilihat sebagai berikut: 1
Bila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik selanjutnya akan berada di tak berhingga.
Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan penyelesaian ketika titik pendekatannya berada di antara dua titik stasioner.
Gambar 2.4 GrafikPendekatan Newton Raphson, dg. Titik pendekatan
berada diantara 2 titik puncak
Bila titik pendekatan berada pada dua tiitik puncak akan dapat mengakibatkan
hilangnya
penyelesaian
( divergensi).
Hal
ini
disebabkan titik selanjutnya berada pada salah satu titik puncak atau arah pendekatannya berbeda.
Gambar 2.5 Grafik hasil tidak konvergen
2.2.3
Penyelesaian Permasalahan pada pemakaian metode newton raphson 1. Bila titik pendekatan berada pada titik puncak maka titik pendekatan
tersebut harus di geser sedikit, x i = x i yang ditentukan dengan demikian tetap dapat berjalan.
dimana adalah
F 1 xi 0 dan
konstanta
metode newton raphson
2. Untuk menghindari titik-titik pendekatan yang berada jauh, sebaiknya pemakaian metode newton raphson ini didahului oleh metode tabel, sehingga dapat di jamin konvergensi dari metode newton raphson.
2.2.4
Contoh Penyelesaian Permasalahan Metode Newton Raphson
Selesaikan persamaan persamaan : x . e-x+ cos(2x) = 0 Jawab : Bila menggunakan titik pendekatan awal x 0 = 0,176281 f(x) = x . e-x+ cos(2x) f 1(x) = (1-x) e-x – 2 sin (2x) Sehinggaf(x0) = 1,086282 dan f1(x0) = -0,000015
2.3
Metode Secant
Masalah potensial dalam implementasi metode Newton adalah evaluasi pada turunan. Metode Secant diperoleh dari metode Newton dengan cara menggantikan turunan f’(x) dengan beda hingga terbagi terbagi.. Bila turunan fungsi f’(x) sulit ditemukan, metode newton tidak ti dak dapat dipakai. Solusinya, bahwa sebetulnya f’(x) pada hakekatnya merupakan suatu slope atau gradien.
Jika diambil persamaan backward untuk disubstitusikan pada persamaan forward iteratifnya menjadi
Atau bisa dituliskan dalam bentuk
Secara geometri, dalam metode Newton xi+1 merupakan perpotongan sumbu x dengan garis singgung di xi, sedangkan dalam metode Secant xi+1 adalah perpotongan sumbu x dengan talibusur kurva f(x) yang berpadanan terhadap xn+1 dan xn. Metode Secant memerlukan dua tebakan awal, xi – xi – 1 dan xi, tetapi tanpa perhitungan turunan. Dapat diperlihatkan metode Secant lebih lambat dibandingkan metode Newton Raphson, tetapi menjadi pilihan bilamana kerja penghitungan suatu nilai f’(x) lebih lama daripada ½ kali kerja penghitungan nilai f(x). Algoritmanya serupa dengan metode Newton.
Sebuah peluru bermassa 2 gram ditembakkan vertikal ke udara dan bergerak turun setelah mencapai batas kecepatan. Batas kecepatan ditentukan oleh mg=Ftarik , dimana m=massa dan g = percepatan gravitas i. Persamaan lengkap
adalah sebagai berikut:
dimana v adalah kecepatan batas, m/det. Suku pertama pada ruas kanan menyatakangesekan tarik ( friction drag), dan suku kedua menyatakan tekanan pressure drag). Tentukan batas kecepatan dengan metode secant. Nilai coba tarik ( pressure
awal v @ 30 m/det Solusi: Kasus ini didefinisikan sebagai pencarian akar dari
diset vo=30 dan v1=30,1 didasarkan pada nilai coba awal, dimana y0 dan y1 dihitung dengan persamaan (2.12). Iterasi penyelesaian dengan persamaan (2. 11) sebagai berikut:
Jadi batas kecepatannya adalah v=37,7 m/det
2.4 Regula Falsi
Sesi metode numerik numerik ini membahas salah salah satu metode penyelesaian sistem persamaan non linier, yaitu dengan metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas range. Dua titik a dan b pada fungsi f(x) digunakan untuk mengestimasi posisi c dari akar interpolasi linier, dikenal dengan metode False Position atau metode regula falsi.
Gambar 2.6 Grafik metode Regula Falsi
f (b) f (a) ba
x b
x
f (b) 0 b x
f (b)(b a) f (b) f (a )
af (b) bf ( a) f (b) f ( a)
2.4.1
Algoritma Metode Regula Falsi
2.4.2
Contoh Soal
-x
Selesaikan persamaan xe +1=0 pada range x= [0,-1]
Akar persamaan diperoleh di x=-0.56741 dengan kesalahan kesalahan =0,00074
DAFTAR PUSTAKA
Alifis.2008. bab-ii-solusi- persamaan- non-linear .pdf (di akses tanggal 8 oktober 2011)) Anonim.2010. Anonim.2010.http://www.pustakaskripsi.com/penyelesaian-persamaan-nonlinear-metode-biseksi-dan-metode-regula-falsi-menggunakan-carakomputasi-skripsi-373.html (diakses tanggal 5 oktober 2011)
El said, fairus. 2008.http://fairuzelsaid.wordpress.com/ 2008 .http://fairuzelsaid.wordpress.com/ (diakses (diakses tanggal 8 oktober 2011) nd
An introduction to numerical methods for chemical engineer 2 Riggs, James B. An edition.Texas Tech University Press : USA
