Medidas de posición para datos agrupad agrupados os y no agrupados: cuartiles, deciles y percentiles Los cuantiles son medidas de posición que se determinan mediante un método métodoque que determina la ubicación de los valoresque valores que dividen un conjunto de observaciones en partes iguales. Los cuantiles son los valores de la distribución distribuciónque que la dividen en partes iguales, es decir , en intervalos que comprenden el mismo número de valores. Cuando la distribución contiene un número alto de intervalos o de marcasy marcas y se requiere obtener un promedio de una parte de ella, se puede dividir la distribución en cuatro, en diez o en cien partes. Los más usados son los cuartiles, cuando dividen la distribución en cuatro partes; los deciles, cuando dividen la distribución en diez partes y los centiles o percentiles, cuando dividen la distribución en cien partes. Los cuartiles, como los deciles y los percentiles, son en cierta forma una extensión de la mediana. Para algunos valores u, se dan nombres particulares a los cuantiles, Q (u):
u
Q(u)
0.5
Mediana
0.25, 0.75
Cuartiles
0.1, ... , 0.99
Deciles
0.01, ..., 0.99
Centiles
CUARTILES
Los cuartiles son los tres valores que dividen al conjunto de datos ordenados en cuatro partes porcentualmente iguales. Hay tres cuartiles denotados usualmente Q1, Q2, Q3. El segundo cuartil es precisamente la mediana. El primer cuartil, es el valor en en el cual o por debajo del cual queda un cuarto (25%) de todos los valores de la sucesión (ordenada); el tercer cuartil, es el valor en el cual o por debajo del cual quedan las tres cuartas partes (75%) de los datos.
Datos Agrupados
Como los cuartiles adquieren su mayor importancia cuando contamos un número grande de datos y tenemos en cuenta que en estos casos generalmente los datos son resumidos en una tabla de frecuencia. La fórmula para el cálculo de los cuartiles cuando se trata de datos agrupados es la siguiente: k =
1,2,3
Donde: Lk =
n
k
Número de datos
=
Fk =
fk =
c =
Límite real inferior de la clase del cuartil
Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del cuartil
Frecuencia de la clase del cuartil
k .
k
Longitud del intervalo de la clase del cuartil
k
Si se desea calcular cada cuartil individualmente, mediante otra fórmula se tiene lo siguiente: El primer cuartil Q1, es el menor valor que es mayor que una cuarta parte de los datos; es decir, aquel
y
valor de la variable que supera 25% de las observaciones y es superado por el 75% de las observaciones. Fórmula de Q1, para series de Datos agrupados:
Donde: L1
=
limite inferior de la clase que lo contiene
P =
valor que representa la posición de la medida
f1
la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
=
Fa-1
Ic =
=
frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
intervalo de clase
El segundo cuartil Q2, (coincide, es idéntico o similar a la mediana, Q2
y
=
Md), es el menor valor que es
mayor que la mitad de los datos, es decir el 50% de las observaciones son mayores que la mediana y el 50% son menores. Fórmula de Q2, para series de Datos agrupados:
Donde: L1
=
limite inferior de la clase que lo contiene
P =
valor que representa la posición de la medida
f1
la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
=
Fa-1
Ic =
=
frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
intervalo de clase El tercer cuartil Q3, es el menor valor que es mayor que tres cuartas partes de los datos, es decir aquel
y
valor de la variable que supera al 75% y es superado por el 25% de las observaciones. Fórmula de Q3, para series de Datos agrupados:
Donde: L1
=
limite inferior de la clase que lo contiene
P =
valor que representa la posición de la medida
f1
la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
=
Fa-1
Ic =
=
frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
intervalo de clase.
Otra manera de verlo es partir de que todas las medidas no son sino casos particulares del percentil, ya que el primer cuartil es el 25% percentil y el tercer cuartil 75% percentil.
Para Datos
No
Agrupados
Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se localiza mediante las siguientes fórmulas: - El primer cuartil: Cuando n es par:
Cuando n es impar:
y
Para el tercer cuartil
Cuando n es par:
Cuando n es impar:
DECILES
Los deciles son ciertos números que dividen la sucesión de datos ordenados en diez partes porcentualmente iguales. Son los nueve valores que dividen al conjunto de datos ordenados en diez partes iguales, son también un caso particular de los percentiles. Los deciles se denotan D1, D2,..., D9, que se leen primer decil, segundo decil, etc. Los deciles, al igual que los cuartiles, son ampliamente utilizados para fijar el aprovechamiento académico. Datos Agrupados
Para datos agrupados los deciles se calculan mediante la fórmula.
k =
1,2,3,... 9
Donde: Lk =
n
k
Número de datos
=
Fk =
fk =
c =
Límite real inferior de la clase del decil
Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del decil
Frecuencia de la clase del decil
k .
k
Longitud del intervalo de la clase del decil
k
Otra fórmula para calcular los deciles: El cuarto decil, es aquel valor de la variable que supera al 40%, de las observaciones y es superado por
y
el 60% de las observaciones.
y
El quinto decil corresponde a la mediana.
y
El noveno decil supera al 90% y es superado por el 10% restante.
Donde (para todos): L1
=
limite inferior de la clase que lo contiene
P =
valor que representa la posición de la medida
f1
la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
=
Fa-1
Ic =
=
frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
intervalo de clase.
Fórmulas Datos
No Agrupados
Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se localiza mediante las siguientes fórmulas:
Cuando n es par:
Cuando n es impar: Siendo A el número del decil. CENTILES
O PERCENTILES
Los percentiles son, tal vez, las medidas más utilizadas para propósitos de ubicación o clasificación de las personas cuando atienden características tales como peso, estatura, etc. Los percentiles son ciertos números que dividen la sucesión de datos ordenados en cien partes porcentualmente iguales. Estos son los 99 valores que dividen en cien partes iguales el conjunto de datos ordenados. Los percentiles (P1, P2,... P99), leídos primer percentil,..., percentil 99. Datos Agrupados
Cuando los datos están agrupados en una tabla de frecuencias, se calculan mediante la fórmula:
k =
1,2,3,... 99
Donde: Lk =
n
k
Número de datos
=
Fk =
fk =
c =
Límite real inferior de la clase del decil
Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del decil
Frecuencia de la clase del decil
k
Longitud del intervalo de la clase del decil
Otra forma para calcular los percentiles es:
k
k .
y
Primer percentil, que supera al uno por ciento de los valores y es superado por el noventa y nueve por ciento restante.
y
El 60 percentil, es aquel valor de la variable que supera al 60% de las observaciones y es superado por el 40% de las observaciones.
y
El percentil 99 supera 99% de los datos y es superado a su vez por el 1% restante.
Fórmulas Datos
No Agrupados
Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se localiza mediante las siguientes fórmulas: Para los percentiles, cuando n es par:
Cuando n es impar: Siendo A, el número del percentil. Es fácil ver que el primer cuartil coincide con el percentil 25; el segundo cuartil con el percentil 50 y el tercer cuartil con el percentil 75.
3. EJEMPLO
Determinación del primer cuartil, el séptimo decil y el 30 percentil, de la siguiente tabla:
Salarios
No. De
fa
(I. De Clases) Empleados (f1)
200-299
85
85
300-299
90
175
400-499
120
295
500-599
70
365
600-699
62
427
700-800
36
463
Como son datos agrupados, se utiliza la fórmula
Siendo,
La posición del primer cuartil.
La posición del 7 decil.
La posición del percentil 30.
Entonces,
El primer cuartil: 115.5 ± 85 Li =
300,
30.75
=
Ic =
100 , fi 90 =
El 7 decil:
Posición: 324.1 ± 295 Li =
500,
=
fi =
29.1
70
El percentil 30 Posición:
138.9 ± 85 fi =
=
53.9
90
Estos resultados nos indican que el 25% de los empleados ganan salariospor debajo de $ 334; que bajo 541.57 gana el 57%de los empleados y sobre $359.88, gana el 70% de los empleados.
Para algunos valores u, se dan nombres particulares a los cuantiles, Q (u):
u
Q(u)
0.5
Mediana
0.25, 0.75
Cuartiles
0.1, ... , 0.99
Deciles
0.01, ..., 0.99
Centiles
Datos Agrupados
Como los cuartiles adquieren su mayor importancia cuando contamos un número grande de datos y tenemos en cuenta que en estos casos generalmente los datos son resumidos en una tabla de frecuencia. La fórmula para el cálculo de los cuartiles cuando se trata de datos agrupados es la siguiente: k =
1,2,3
Donde: Lk =
n
k
Número de datos
=
Fk =
fk =
c =
Límite real inferior de la clase del cuartil
Frecuencia acumulada de la clase que antecede a la clase del cuartil
Frecuencia de la clase del cuartil
k
Longitud del intervalo de la clase del cuartil
k
Fórmula de Q1, para series de Datos agrupados:
k .
Donde: L1
=
limite inferior de la clase que lo contiene
P =
valor que representa la posición de la medida
f1
la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
=
Fa-1
Ic =
=
frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
intervalo de clase
Fórmula de Q2, para series de Datos agrupados:
Donde: L1
=
limite inferior de la clase que lo contiene
P =
valor que representa la posición de la medida
f1
la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
=
Fa-1
Ic =
=
frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
intervalo de clase
Fórmula de Q3, para series de Datos agrupados:
Donde: L1
=
limite inferior de la clase que lo contiene
P =
valor que representa la posición de la medida
f1
la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.
=
Fa-1
Ic =
=
frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida solicitada.
intervalo de clase.
Para Datos
No
Agrupados
Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 ... Xn, se localiza mediante las siguientes fórmulas:
- El primer cuartil: Cuando n es par:
Cuando n es impar:
y
Para el tercer cuartil
Cuando n es par:
Cuando n es impar:
