Media aritmética para datos agrupados Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:
Ejercicio de media aritmética Si los datos se presentan en una tabla de distribución distribución de de frecuencias, no es posible conocer los valores valores individuales individuales de cada una de las observaciones, pero si las categorías en las cuales se hallan. Para poder poder calcular calcular la media, se supondrá que dentro de cada categoría, las observaciones se distribuyen uniformemente dentro alrededor del punto medio de la clase clase,, por lo tanto puede considerarse que todas las observaciones dentro de la clase ocurren en el punto medio, por lo expuesto la media aritmética para datos agrupados puede definirse de la siguiente manera Si en una tabla de distribución de frecuencia, con r clases, los puntos medio son !", !#, !$,%,!n& y las respectivas frecuencias son f", f#, f$, % , fn, la media aritmética se calcula de la siguiente manera
En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media. xi [10, 20) [20, 0) [0,!0) [!0, "0) ["0, #0 [#0,$0) [$0, %0)
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La media aritmética para datos no agrupados
Si se dispone de un con'unto de n n(meros, tales como !", !#, !$,%,!n, la media aritmética de este con'unto de datos se define como )la suma de los valores de los ni n(meros , divididos entre n), lo que usando los símbolos explicados anteriormente , puede escribirse como
Ejemplo: Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de *er a+o, a saber ",#$, #-,$ y #/., para calcular la media aritmética 0promedio de las edades, se tiene que
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Propiedades de la media aritmética
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Puede ser calculada en distribuciones con escala relativa y de intervalos
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.1odos los valores son incluidos en el cómputo de la media.
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2na serie de datos solo tiene una media.
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3s una medida muy (til para comparar dos o más poblaciones
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3s la (nica medida de tendencia central donde la suma de las desviaciones de cada valor respecto a la media es igual a cero.
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Por lo tanto podemos considerar a la media como el punto de balance de una serie de datos.
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Desventajas de la media aritmética
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Si alguno de los valores es extremadamente grande o extremadamente peque+o, la media no es el promedio apropiado para representar la serie de datos. 4o se puede determinar si en una distribución de frecuencias hay intervalos de clase abiertos.
".$.5 La Mediana
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6uando una serie de datos contiene uno o dos valores muy grandes o muy peque+os, la media aritmética no es representativa. 3l valor central en tales problemas puede ser me'or descrito usando una medida de tendencia central llamada mediana., y denotada por X0.5 7a mediana es una medida de posición y se define como la posición central en el arreglo ordenado de la siguiente manera 8ado un con'unto de n(meros agrupados en orden creciente de magnitud, la mediana es el n(mero colocado en el centro del arreglo, de tal forma que una mitad de las observaciones está por encima y la otra por deba'o de dicho valor. Si el n(mero de observaciones es par, la mediana es la media de los dos valores que se hallan en el medio del arreglo, de donde se concluye en la siguiente definición Mediana. Es el punto medio de los valores de una serie de datos después de haber sido ordenados de acuerdo a su magnitud. Hay tantos valores antes que la mediana como posteriores en el arreglo de datos La Mediana para datos no agrupados. Sea X1, X2; X; ! ; Xn; una sucesi"n de datos, la mediana denotada por X#.$ se calcula de la siguiente manera% X#.$ & X 'n(1)*2 si n es par Xn*2 ( X'n*2)(1 X#.$& ++++++++++++++++++++++ si n es impar 2 Nota: El resultado obtenido en la ormula corresponde al n!mero de la observaci"n en el arreglo# por tanto debe reempla$arse por el valor de dic%a variable en el arreglo. Ejemplo: &n es impar' Se tienen las edades de cinco estudiantes universitarios de a-o, a saber% 1,2,2$.2/ y $. 0bsérvese que los datos deben estar ordenados en un arreglo ascendente o descendente. or cuanto que el nmero de datos es cinco 'n&$) y es impar, entonces X0.5 ( Xn)*+, ( X&5)*'+, ( X-+, ( X ( ,5 a/os
Nota: obsérvese ue se obtuvo el n!mero de la variable mediana &X' ue en el arreglo de edades ordenado en orma ascendente corresponde a ,5 a/os &X(,5' 1ontinuaci"n del ejemplo2&n es par' Si el nmero de estudiantes hubiere sido par, suponga que se adiciona un estudiante con 1 a-os, entonces el arreglo ascendente consecuente ser3a 1, 2, 2$, 2/, 1 y $, entonces la mediana se calcula asi%
La mediana para datos agrupados
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Si se tiene una distribuci"n de 4recuencias, la mediana es igualmente ese valor que tiene $#5 de las observaciones por deba6o y $# 5 por encima. 7eométricamente, la mediana es el valor de X sobre el e6e de las abscisas correspondiente a la ordenada que divide un histograma en dos partes de igual 8rea. ara hallar el valor de la mediana, en el caso de datos agrupados debe encontrarse primero la clase mediana, la que se de4ine como la clase m8s ba6a para la cual la 4recuencia acumulada e9cede :*2 'siendo :&4i ). Encontrada esta clase, la siguiente 4ormula servir8 para hallar el valor de la mediana N+, 3 a X0.5 ( Li ) 4444444444444 & 1 ' i donde: L ( lmite inerior de la clase mediana. N ( recuencia total o 6i. a ( recuencia absoluta acumulada %asta la clase premediana i ( recuencia absoluta de la clase mediana 1 ( amplitud de la clase mediana. Ejemplo% Si se toman los datos obtenidos del e6emplo resuelto al construir la tabla de distribuci"n de 4recuencias de las cuentas por cobrar de la tienda 1abrera7s 8 9sociados que 4ueron las siguientes 1lases -.#9 : #".$/ #".$/ : $;.#/9 36.250 – 50.665 /9.;;/ : ;/.99 ;/.99 : -<.
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Propiedades de la mediana
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=ay solo una mediana en una serie de datos.
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4o es afectada por los valores extremos 0 altos o ba'os >
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Puede ser calculada en distribuciones de frecuencia con intervalos abiertos, si no se encuentra en el intervalo abierto. Puede ser calculada en distribuciones con escala relativa, de intervalos, y ordinal.
Moda datos agrupados 3s el valor que representa la mayor frecuencia absoluta. 3n tablas de frecuencias con datos agrupados, hablaremos de intervalo modal. 7a moda se representa por Mo.
Li 3xtremo inferior del intervalo modal 0intervalo que tiene mayor frecuencia absoluta>.
f i ?recuencia absoluta del intervalo modal. f i-1 ?recuencia absoluta del intervalo anterior al modal. f i+1 ?recuencia absoluta del intervalo posterior al modal. t @mplitud de los intervalos.
3 !alculemos la moda M o 7o primero que debemos hacer es identificar el intervalo modal
@hora podemos reemplaAar los datos en la fórmula
5 Si la moda está en el primer intervalo, entonces f i-1" 0. Si la moda está en el (ltimo intervalo, entonces f i+1" 0. 5 Puede haber más de una moda en el caso en que dos o más valores de la variable presenten la misma frecuencia 0distribuciones bimodales o multimodales>. MODA DATOS NO AGRUPADOS
(a moda es la medida que se relaciona con la frecuencia con que se presenta el dato o los datos con ma)or incidencia, con lo que se considera la posibilidad de que exista m*s de una moda para un con+unto de datos. (a notación mas frecuente es la siguiente: Mo )
.
Esta medida se puede aparecer tanto para datos cualitativos como cuantitativos. Se dice que cuando un con+unto de datos tiene una moda la muestra es unimodal, cuando tiene dos modas bimodal, cuando la muestra contiene mas de un dato repetido se dice que es multimodal ) un ltimo caso es cuando ningn dato tiene una frecuencia, en dicho caso se dice que la muestra es amodal.
E+emplos:
.- eterminar la moda del siguiente con+unto de datos:
a/.- , 2, $, $, 4 , !, &, ', ', $, , %, $ la moda de este con+unto de datos es igual a $ ) si considera unimodal
b/.- , 2, $, 4, 4, !, 2, , $, 4, 2, -$, 4, &, $, $
las modas de este con+unto de datos son $ ) 4 )a que ambas tienen la mas alta frecuencia, por lo que la muestra es bimodal
c/.- , 2, $, 4, !, &, ', ", %
(a muestra no contiene ningn dato repetido por lo que se considera que la muestra es amodal.
Propiedades Sus principales propiedades son •
6álculo sencillo.
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*nterpretación muy clara.
•
@l depender sólo de las frecuencias, puede calcularse para variables cualitativas. 3s por ello el parámetro más utiliAado cuando al resumir una población no es posible realiAar otros cálculos, por e'emplo, cuando se enumeran en medios periodísticos las características más
frecuentes de determinado sector social. 3sto se conoce informalmente como )retrato robot).
