KUASA LINGKARAN
DZIKRA FUADIAH 137785071
PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM PASCASARJANA UNIVERSITAS NEGEGRI SURABAYA 2014
Kuasa Lingkaran Roda telah digunakan dalam transportasi selama lebih dari lima ribu tahun, kendaraan pertama pribadi praktis dengan menggunakan roda yaitu sepeda, ditemukan lebih dari seratus tahun yang lalu. Sepeda modern adalah salah satu transportasi yang paling efisien, dengan jumlah energi yang diperlukan untuk membawa sejumlah berat. Untuk mencegah rangka sepeda goyang, maka posisi titik temu rangka harus diperhitungkan dengan tepat dan memperhatikan posisi roda pula. Bidang olah raga juga menggunakan konsep kuasa lingkaran untuk memperhitungkan posisi pemain untuk melukan lemparan, tendang dan lainnya. Contohnya dalam kasus berikut: Misalkan seorang pemain bola berlari di garis sisi lapangan dan dia ingin melepaskan tendangan. Pada posisi mana seharusnya dia menendang sehingga memberikannya kesempatan terbaik menggolkannya. Permasalahan di atas adalah menentukan titik pada garis sisi lapangan sehingga memaksimumkan sudut terhadap garis gawang. Diillustrasikan pada gambar di bawah ini:
1.
Kuasa Titik terhadap Lingkaran Jika
diketahui
sebuah
titik
( M , R) ( x x M )2 ( y y M )2 R2
P ( x p ,y p)
dan
lingkaran
K
dan sembarang garis g yang melalui P dan
memotong lingkaran di A dan B maka yang dimaksud dengan kuasa titik
P
terhadap
lingkaran L adalah perkalian panjang PA dengan panjang PB.
Kuasa Lingkaran
1
Gambar 1
Perhatikan gambar 1. Menurut definisi maka kuasa titik P ditulis K ( P ) atau K P adalah K P = PA x PB
(1)
Kuasa titik P terhadap lingkaran K tersebut bernilai tetap. Artinya kuasa titik P terhadap lingkaran K itu tidak bergantung pada posisi garis g yang melalui titik P tersebut. Bukti: Ambil garis l yang melalui P dan memotong lingkaran di titik C dan D maka kuasa titik P terhadap lingkaran K adalah PC.PB. Perhatikan
PAD dan
PBC
m PDA m PBC (menghadap busur AC )
(2)
m APD m BPC (berhimpit)
(3)
m PAD m PCB (jumlah besar sudut segitiga)
(4)
Berdasarkan pernyataan (2), (3), dan (4), maka
PAD sebangun
dengan
PBC .
Maka PA : PD = PC : PB atau PC x PD = PA x PB
■
Sehingga terbukti kuasa titik P terhadap lingkaran K bernilai tetap. Selanjutnya, dengan melukis garis ⃡ yang memotong lingkaran K di titik S dan T. Maka kuasa titik P terhadap lingkaran K adalah K p
= PS x PT = ( PM – MS )( PM + MT ) = = ( PM – R)( PM + R) = PM 2 – R2 = ( x p x M )
(5)
2
( y p y M )2 R2
Jadi kuasa titik P terhadap lingkaran K : ( x x M ) K p = ( x p x M )
2
2
( y y M )2
2
R adalah (7)
y 2 Ax By C 0 adalah
K p= x p y p Ax p By p C 2
2
( y p y M )2 R2
dan begitu juga pada K: x 2
(6)
(8)
Kuasa Lingkaran
2
Gambar 2
Perhatikan gambar 2. Misalkan Q adalah titik singgung garis yang melalui P . PQM adalah
segitiga siku-siku di Q dan PQ 2=PM 2 – R2
(9)
Sehingga berdasarkan (5) dan (7) K p =PQ 2
(10)
Catatan :
a. Jika titik P berada di luar lingkaran L, maka kuasa titik P terhadap lingkaran tersebut adalah positif. Hal ini jelas karena panjang garis singgung dari titik P ke titik singgungnya adalah bilangan positif. b. Jika titik P berada pada lingkaran maka kuasa titik P terhadap lingkaran itu adalah nol. c. Jika titik P berada di dalam lingkaran maka kuasa titik P terhadap lingkaran adalah negatif, sehingga memperoleh panjang garis singgungnya inajiner. Hal ini sesuai dengan kenyataan geometrik bahwa garis singgung suatu lingkaran tidak bisa dikonstruksi dari sebuah titik di dalam lingkaran.
Soal Latihan: 1.
Selidikilah
letak
: ( x 3) 2 ( y 2) 2
titik-titik A(5,2), B(-1,-6) dan
C (7,1) terhadap lingkaran L
25 (terletak di dalam, di luar atau pada lingkaran)
2. Melalui titik A(4,2) dilukis garis singgung pada lingkaran K: x
2
y
2
2 x 4 y 4 0
dengan titik singgung S . Tentukan setengah panjang AS. 3.
Lukislah illustrasi penerapan konsep kuasa lingkaran terhadap masalah pemain bola di awal pembelajaran.
Kuasa Lingkaran
3
2. Garis Kuasa
Tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa sama terhadap dua lingkaran berupa garis lurus dan disebut garis kuasa. Jika diberikan dua lingkaran K 1 dan K 2 maka garis kuasa dapat dicari. Misalkan kita akan menentukan persamaan garis kuasa lingkaran K 1 x2 + y2 + a1 x + b1 y + c1 dan K 2 x2 + y2 + a2 x + b2 y + c2 dan misalkan P ( x P , y P ) adalah titik yang mempunyai kuasa sama terhadap K 1 dan K 2. Menurut (8) maka kuasa titik P terhadap lingkaran K 1 adalah
= x P 2 + y P 2 + a1 x P + b1 y P + c1 dan kuasa titik P terhadap lingkaran K 2 adalah
= x P 2 + y P 2 + a2 x P + b2 y P + c2 Kuasa titik P terhadap kedua lingkaran adalah sama sehingga: x P 2 + y P 2 + a1 x P + b1 y P + c1 = x P 2 + y P 2 + a2 x P + b2 y P + c2 (a1 – a2) x P + (b1 – b2) y P + (c1 – c2) = 0
Jika titik P berubah-ubah maka diperoleh tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa sama terhadap lingkaran K 1 dan K 2 yaitu (a1 – a2) x + (b1 – b2) y + (c1 – c2) = 0
(11)
Secara simbolis persamaan garis kuasa lingkaran = 0 dan = 0 dituliskan sebagai:
= 0
(12)
Contoh :
Tentukan persamaan garis yang kuasa sama terhadap lingkaran L1 : ( x – 1) 2 + ( y – 4) 2 = 16 dan L2 : x2 + y2 + 2 x – 6 y – 15 = 0. Jawab:
Kuasa Lingkaran
4
Menurut (11) maka persamaan garis kuasa kedua lingkaran adalah L1 – L2 = 0. Jadi persamaan garis kuasanya adalah : ( x – 1)2 + ( y – 4)2 – 16 – ( x2 + y2 + 2 x – 6 y – 15) = 0
– 4 x – 2 y + 16 = 0
2 x + y – 8 = 0
Semua titik yang berada pada garis ini mempunyai kuasa sama terhadap kedua lingkaran L1 dan L2 di atas. Soal:
1. Diketahui : K 1 : x2 + y2 + 2 x – 4 y – 6 = 0 K 2 : ( M, 3) dan M (1,2) g : 2 x – y + 3 = 0 Tentukan: a. Koordinat titik pada sumbu- x yang berkuasa sama terhadap K 1 dan K 2 b. Koodinat titik pada garis g yang berkuasa sama terhadap terhadap K 1 dan K 2
3. Melukis Garis Kuasa
1) Kedua lingkaran saling lepas Perhatikan bahwa garis kuasa (11) mempunyai gradien m1 lingkaran K 1 dan K 2 berturut adalah M 1
a1 a2 b1 b2
. Titik pusat
1 1 1 a1 , b1 dan M 1 a2 , b2 , sehingga 2 2 2 2 1
gradien garis penghubung kedua pusat lingkaran ini adala h m2
b1 b2 a1 b2
.
Karena m1.m2 = -1, maka garis kuasa dua buah lingkaran akan tegak lurus dengan garis penghubung titik-titik pusat kedua lingkaran tersebut.
Kuasa Lingkaran
5
Gambar 3
2) Kedua lingkaran bersinggunga n Jika K 1 dan K 2 bersinggungan di titik A maka garis kuasa K 1 dan K 2 akan melalui titik A dan tegak lurus dengan garis penghubung titik-titik pusat kedua lingkaran tersebut melalui titik A.
Gambar 4
3) Kedua lingkaran berpotongan Jika K 1 dan K 2 berpotongan di titik A dan B maka garis kuasa K 1 dan K 2 adalah garis AB. Bukti: Titik A terletak pada K 1 maka kuasa titik A terhadap K 1 = 0 Titik A terletak pada K 2 maka kuasa titik A terhadap K 2 = 0 Jadi titik A berkuasa sama terhadap K 1 dan K 2 Dengan uraisan yang sama didapat juga bahwa titik B berkuasa sama terhadap K 1 dan K 2.
Kuasa Lingkaran
6
4. Titik Kuasa
Misalkan K 1, K 2, K 3 adalah tiga lingkaran yang pusat-pusatnya tidak berada pada satu garis lurus (konsentris). Ketiga lingkaran tersebut mempunyai tiga garis kuasa yang saling berpotongan di satu titik. Titik potong ketiga garis ini disebut titik kuasa (gambar 4). Dilambangkan dengan:
K 1 K 2 0 K 1 = K 2 = K 3 atau K 2 K 3 0 K K 0 3 1
Gambar 3
Jika ketiga lingkaran adalah konsentris maka garis-garis kuasanya sejajar, dan ini berarti titik kuasa ketiga lingkaran berada di titik tak hingga. Contoh:
Tentukan titik kuasa lingkaran L1 x2 + y2 + 3 x + 5 y – 7 = 0; L2 x2 + y2 – 2 x + 4 y – 6 = 0; dan L3 x2 + y2 + 4 x – 2 y – 2 = 0. Jawab: Garis kuasa lingkaran L1 dan L2 adalah L1 – L2 = 0 yaitu 5 x + y – 1 = 0
(1)
Garis kuasa lingkaran L1 dan L3 adalah L1 – L3 = 0 yaitu x – 7 y + 5 = 0
(2) Kuasa Lingkaran
7
Dari persamaan simultan (1) dan (2) menghasilkan penyelesaian x = 1/18 dan y = 13/18. Dengan demikian koordinat titik kuasa ketiga lingkaran tersebut adalah (1/18, 13/18). Soal Tes Evaluasi :
1. Tentukan nilai x dari gambar di bawah ini:
2. Diketahui: L1 x2 + y2 - 6 x - 4 y + 4 = 0; L2 x2 + y2 + 4 x - 4 y – 1 = 0; dan L3 x2 + y2 = 4. Gambarkan 3 garis kuasa yang berkuasa sama terhadap L1, L2 dan L3 dan tentukan titik kuasa 3 lingkaran tersebut!
Kuasa Lingkaran
8
