Materi Keliling Dan Luas Lingkaran

A. Materi Keliling dan Luas Lingkaran 1. Keliling Lingkaran

Coba kamu amati gambar di bawah ini secara seksama.

 A

(a)

 A’ 

(b)

Gambar 2.1 Lingkaran (a) dan diameter diameter lingkaran (b) Gambar (a) menunjukkan sebuah lingkaran dengan titik  A terletak  di sebarang lengkungan lingkaran. Jika lingkaran tersebut dipotong di t itik   A, kemudian direbahkan, hasilnya adalah sebuah garis lurus AA' seperti

pada gambar (b). Panjang garis lurus tersebut merupakan keliling lingkaran. Jadi, keliling lingkaran adalah panjang lengkungan pembentuk  lingkaran tersebut (Nuharini dan Wahyuni, 2008:140-148). 2008:140-148) . Bagaimana menghitung keliling lingkaran? Misalkan, diketahui sebuah lingkaran yang terbuat dari kawat. Keliling tersebut dapat dihitung dengan mengukur panjang kawat yang membentuk lingkaran tersebut. Selain dengan cara di atas, keliling sebuah lingkaran dapat juga ditentukan menggunakan menggunakan rumus. Akan tetapi, rumus ini bergabung pada sebuah nilai, yaitu π (dibaca phi). Berapakah nilai π? Untuk mengetahuinya, lakukan kegiatan berikut : a. Siapkan bahan-bahan seperti kertas, jangka, benang kasur, dan penggaris. b. Dengan menggunakan menggunakan jangka, buatlah buatlah lima lingkaran dengan panjang panjang diameter yang berbeda-beda.

c. Kemudian, hitunglah keliling setiap lingkaran yang telah kamu buat. Caranya dengan mengimpitkan benang kasur pada setiap li ngkaran tadi. d. Ukurlah panjang benang kasur tadi. e. Catat hasilnya pada tabel berikut. No

Panjang Diameter



Keliling

  1

.....

.....

.....

2

.....

.....

.....

3

.....

.....

.....

4

.....

.....

.....

Jika telah melakukan kegiatan diatas dengan teliti, akan diperoleh nilai yang sama untuk perbandingan keliling dan diameter pada setiap lingkaran. Nilai tersebut adalah 3,141592.... Inilah yang dimaksud dengan nilai π (phi). Jika dibulatkan dengan pendekatan, diperoleh π = 3,14. Oleh karena

 

= 3,14 maka nilai π dapat dinyatakan dengan π =

Dari hasi kegiatan diatas, diketahui

π =

 

 

.

sehingga rumus keliling

dapat dinyatakan dengan rumus sebagai berikut. K=π.d Dengan K = Keliling Lingkaran π=

 

atau 3,14

d = diameter lingkaran Oleh karena panjang diameter lingkaran adalah dua kali panjang jari-jari lingkaran maka K = π .d = π  (2 . r ) sehingga K=2.π.d

Contoh:

Sebuah lingkaran memiliki panjang diameter 28 cm. Tentukanlah: a. panjang jari-jari, b. keliling lingkaran. Jawab:

Diketahui d = 28 cm a. d = 2 . r maka 28 = 2 . r r=

 

r = 14 Jadi, panjang jari-jari lingkaran adalah 14 cm b. K = π . d =

 

. 28

= 66 Jadi, keliling lingkaran adalah 66 cm 2. Luas Lingkaran

Luas lingkaran merupakan luas daerah yang dibatasi oleh keliling lingkaran. Coba kamu perhatikan gambar di bawah ini. Daerah yang diarsir merupakan daerah lingkaran.



O

Gambar 2.2 Lingkaran Sekarang, bagaimana menghitung luas sebuah lingkaran?

Luas lingkaran dapat dihitung menggunakan rumus umum luas lingkaran. Perhatikan uraian berikut. Misalkan, diketahui sebuah lingkaran yang dibagi menjadi 16 buah juring yang sama bentuk dan ukurannya. Kemudian, salah satu juringnya dibagi dua lagi sama besar. Potonganpotongan

tersebut

disusun

sedemikian

sehingga

membentuk 

persegipanjang. Coba amati gambar di bawah ini.

π.r

Gambar 2.3 Lingkaran dan juring lingkaran Jika diamati dengan teliti, susunan potongan-potongan juring tersebut menyerupai persegi panjang dengan ukuran panjang mendekati setengah keliling lingkaran dan lebar r  sehingga luas bangun tersebut adalah: Luas persegi panjang =  p x l 

= keliling lingkaran x r   

= x (2 π r ) x r  

2

= π r 

Jadi, luas lingkaran dinyatakan dengan rumus berikut: 2 Luas lingkaran = π r 

Karena diameter lingkaran adalah dua kali jari-jari lingkaran, maka dapat diperoleh juga rumus luas lingkaran sebagai berikut: Luas lingkaran =

 

2

π d 

Contoh:

Tentukan luas sebuah lingkaran jika diketahui: a) Jari-jarinya 7 cm b) Diameternya 20 cm Jawab: 2

a) L = π r  =

 

x7x7

= 154 Jadi, luas lingkaran = 154 cm 

2

2

b) L =  π d  

= x 3,14 x 20 x 20  

= x 3,14 x 400 

= 314 Jadi, luas lingkaran = 314 cm

2

3. Menghitung Perubahan Luas dan Keliling Lingkaran Jika Jari-Jari Berubah

Misalkan lingkaran berjari-jari r1, diperbesar sehingga jari-jarinya menjadi r2, dengan r 2 > r1. Jika luas lingkaran semula adalah L 1 dan luas

lingkaran setelah mengalami perubahan jari-jari adalah L 2 maka selisih kedua lingkaran adalah 2

L2 – L1 = π r2 - π r1

2

2 2 = π ( r2  – r1 )

= π ( r2 – r1 ) ( r2 + r1 ) Jika keliling lingkaran semula adalah K 1 dan keliling setelah mengalami perubahan jari-jari adalah K 2 maka selisih keliling kedua lingkaran adalah K2 – K1 = 2πr2 - 2πr1 = 2π( r2 – r1 ) Kalian juga dapat menghitung perbandingan luas dan keliling lingkaran  jika jari-jari berubah. Perbandingan luas kedua lingkaran sebagai berikut. 2

2

L2 : L1 = π r2 : π r1 2

2

= r2 : r1

Adapun perbandingan kelilingnya adalah K2 : K1 = 2πr2 : 2πr1 = r2 : r1 Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa lingkaran yang berjari-jari r 1, setelah mengalami perubahan jari-jari menjadi r 2 dengan r2 > r1, maka selisih serta perbandingan luas dan kelilingnya sebagai berikut. L2 – L1 = π ( r2 – r1 ) ( r2 + r1 ) K2 – K1 = 2π( r2 – r1 ) 2

L2 : L1 = r2 : r1 K2 : K1 = r2 : r1

2

Contoh:

Hitunglah selisih serta perbandingan luas dan keliling lingkaran yang berjari-jari 2 cm dan 4 cm. Jawab:

Lingkaran berjari-jari 2 cm, maka r 1 = 2 Lingkaran berjari-jari 4 cm, maka r 2 = 4 -

Selisih luas = L1 – L2 = π (r 2 – r1) (r2 + r1) = π (4 – 2) (4 + 2) 2

= 12π cm -

Selisih keliling = K2 - K1 = 2π (r 2 - r1) = 2π (4 - 2) = 4π cm

-

Perbandingan luas = L 2 : L1 2

2

= r2 : r1 2

=4 :2

2

= 16 : 4 = 4:1 -

Perbandingan keliling = K2 : K1 = r2 : r1 =4:2 =2:1