6
LINGKARAN
Sumber: Jendela Iptek, 2001
Sejak zaman Babilonia, manusia sudah terkagum-kagum oleh bangun matematika yang dinilai sebagai bentuk yang sempurna, yaitu lingkaran. Kita semua pasti tidak asing lagi dengan beragam lingkaran. Lingkaran terjadi secara alami di alam semesta, mulai dari riak air sampai lingkar cahaya bulan. Di alam, lingkaran sering kali terbentuk apabila permukaan permu kaan datar dipen dipengaruh garuhii oleh suatu gaya yang bekerja merata ke segala arah. Misalnya, saat sebuah kelereng jatuh ke dalam air dan menghasilkan gelombang yang menyebar rata ke segala arah sebagai serangkaian riak yang berbentuk lingkaran.
Tujuan Tujua n pembelajaranmu pada bab ini adalah:
dapat menyebutkan unsur-unsur dan bagian-bagian lingkaran;
dapat menemukan nilai phi nilai phi;;
dapat menentukan rumus serta menghitung keliling kelili ng dan luas lingkaran;
dapat mengenal hubungan sudut pusat dan sudut keliling jika menghadap busur yang yang sama; sama;
dapat menentukan besar sudut keliling jika ji ka menghadap diameter dan busur yang sama;
dapat menentukan panjang busur, luas juring, dan luas tembereng;
dapat menggunakan hubungan sudut pusat, panjang busur, dan luas juring dalam pemecahan masalah.
Kata-Kata Kunci:
unsur-unsur lingkaran
keliling dan luas lingkaran
sudut pusat dan sudut keliling
panjang busur, luas juring, dan luas tembereng
Di tingkat sekolah dasar, kalian telah diperkenalkan dengan bangun lingkaran. Coba kalian ingat kembali materi tersebut. Agar kalian mudah memahami materi pada bab ini, kalian harus menguasai mengenai sudut, segitiga, dan faktorisasi suku aljabar. A.
1. Pe Peng nger erti tian an Li Ling ngka kara ran n
(Menumbuhkan kreativitas) Perhatikan lingkungan di sekitarmu. sekitarmu. T emuka emukan n 5 buah benda berbentuk lingkaran. Rabalah Rabala h p ermuka ermukaan an benda-benda tersebut. Menurutmu, unsurunsur apa sajakah yang menyusun sebuah lingkaran? Ceritakan temuanmu secara singkat di depan kelas.
B A
O
D
Gambar 6.2
LING LI NGKA KARA RAN N DAN DAN BAGI BAGIAN AN-B -BAG AGIA IANN NNY YA
C
Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering melihat benda-benda yang permukaannya berbentuk lingkaran, seperti tampak pada Gambar 6.1 berikut.
Gambar 6.1
Dari Gambar 6.1 di atas, apakah yang dapat kalian ceritakan mengenai lingkaran? Dapatkah kalian menyebutkan unsur-unsur lingkaran? Agar kalian memahami pengertian lingkaran, perhatikan Gambar 6.2 di samping. Lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut disebut jari-jari jari-jari lingkaran lingkaran dan titik tertentu disebut pusat lingkaran. lingkaran . Gambar 6.2 di samping menunjukkan titik A, B, C, dan D yang terletak pada kurva tertutup sederhana sedemikian sehingga OA = OB = OC = OD = jari-jari lingkaran (r (r ). ). Titik O disebut pusat lingkaran.
Selanjutnya, perhatikan Gambar 6.3 di samping. Gambar 6.3
138
Panjang garis lengkung yang tercetak tebal yang berbentuk lingkaran tersebut disebut keliling lingkaran, lingkaran , sedangkan daerah arsiran di dalamnya disebut bidang lingkaran atau luas lingkaran.. lingkaran
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
2. Ba Bagi gian an-B -Bag agia ian n Li Ling ngka kara ran n busur
Perhatikan Gambar 6.4 di samping agar kalian mudah memahami mengenai unsur-unsur lingkaran. A – Tit Titik ik O disebut titik pusat lingkaran. –
–
–
OA , OB , OC , dan OD disebut jari-jari lingkaran, yaitu garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dan titik pada keliling lingkaran.
Gambar 6.4
busur besar
B
A
busur kecil
OE tali busur BD dan OF tali busur AC disebut apotema, yaitu jarak terpendek antara tali busur dan pusat apotema, lingkaran.
Gambar 6.5
juring besar
Garis lengkung AC , BC , dan AB disebut busur lingkaran, lingkaran, yaitu bagian dari keliling lingkaran. Busur terbagi menjadi dua, yaitu busur besar dan busur kecil (Gambar 6.5).
O
C
B
juring kecil
2. Busur besar/panjang besar/panjang adalah busur AB yang lebih dari setengah keliling lingkaran.
–
apotema
D
1. Busur kecil/pendek adalah busur AB yang panjangnya kurang dari setengah keliling lingkaran.
–
juring
E
AC disebut tali busur , yaitu ruas garis yang menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran.
C B
disebut garis garis tengah atau tengah atau diameter , yaitu ruas garis yang AB disebut menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran dan melalui
tali busur
O
AO = OB = jari-jari (r (r ) lingkaran, sehingga diameter (d (d ) = 2 jari-jari (r (r ) atau d d = = 2r 2r.
–
tembereng
F
pusat lingkaran. lingkaran. Karena diameter AB = AO + OB , di mana
–
Gambar 6.6
Daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari, OC dan OB serta busur BC disebut juring disebut juring atau sektor atau sektor . Juring terbagi menjadi dua, yaitu juring besar dan juring kecil (Gambar ( Gambar 6.6). Daerah yang dibatasi oleh tali busur AC dan busurnya disebut tembereng . Gambar 6.7 menunjukkan bahwa terdapat tembereng kecil dan tembereng besar.
tembereng besar
A C
tembereng kecil Gambar 6.7
(Menumbuhkan inovasi) Sediakan sebuah jam w eker Sediakan eker.. A ngga nggaplah plah titik p erte ertemuan muan antara jaj arum menit dan jarum detik sebagai titik pusat lingkaran. Tunjukkan unsur-unsur lingkaran dengan menggunakan jam weker tersebut. Ceritakan secara singkat di depan kelas.
Lingkaran
139
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Pada Pada gamb gambar ar di baw bawah ah ini seb sebutk utkan an gar garis is yang merupakan A
a. jari-j -jar arii,
B
b. garis tengah,
C
c. tal alii bu busur ur,,
O
F
3. Sebu Sebutk tkan an nama nama unsu unsur-u r-uns nsur ur ling lingkar karan an yang ditunjukkan oleh nomor 1, 2, 3, 4, dan 5 pada gambar di bawah ini.
E
d. ap apo otem emaa.
5
O
2
D
2. Disebu Disebutt apaka apakah h daerah daerah ars arsira iran n yang yang ditunjukkan pada gambar berikut?
(a )
(b)
(c)
1
4
3
4. Be Benar nar atau atau salah salahka kah h pernya pernyataa taan n berik berikut ut?? a. Ling Lingkar karan an ada adalah lah tem tempat pat ked kedud uduk ukan an titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu. b. Jari-jari suatu lingkaran saling ber potongan di satu titik. c. Gari Gariss teng tengah ah mer merup upak akan an tal talii busu busur r yang terpanjang.
d. Temb emberen ereng g adala adalah h daera daerah h yang yang dib dibaatasi oleh dua jari-jari dan tali busur. (d )
(e )
B.
KELI KE LILI LING NG DA DAN N LUA LUAS S LIN LINGK GKAR ARAN AN
Pernahkah kamu mengamati gerak sebuah roda sepeda? Untuk mengetahui pengertian keliling lingkaran, coba kamu ambil roda sebuah sepeda. Tandai pada bagian tepi lingkaran dengan huruf A. Kemudian, gelindingkan roda tersebut dimulai dari titik A kembali ke titik A lagi. Lintasan yang dilalui roda dari A sampai kembali ke A lagi disebut satu putaran penuh atau satu keliling lingkaran. Sebelum kita menghitung keliling lingkaran, kita akan mencoba menemukan nilai (pi). 1. Men Menemu emukan kan Pen Pendek dekata atan n Nil Nilai ai
(pi)
Lakukan kegiatan berikut ini, untuk menemukan pendekatan nilai nilai (pi). (pi).
140
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
KEGIATAN
a. Buatlah Buatlah lingk lingkaran aran deng dengan an jarijari- jari jari 1 cm, 1,5 1,5 cm, cm, 2 cm, cm, 2,5 cm, dan 3 cm. b. U k u r l a h d i a m e t e r m a s i n g - ma s in g l i n g k a r a n d e n g a n menggunakan penggaris. c. Ukurlah Ukurlah kelili keliling ng masi masing-m ng-masin asing g lingk lingkaran aran meng mengguna gunakan kan bantuan bant uan benan benang g deng dengan an cara menem menempelk pelkan an benan benang g pada bagi bagian an tepi lingkaran, dan kemudian panjang benang diukur menggunakan penggaris. d. Buatlah Buatlah tabel tabel sepert sepertii di bawah ini dan dan hasil hasil penguku pengukuran ran yang yang telah kamu peroleh isikan pada tabel tersebut. Lingkaran
Diame te r
K e l il i n g
Keliling Diameter
Berjari-jari 1 cm
....
....
....
Berjari-jari 1,5 cm
....
. . ..
....
Berjari-jari 2 cm
....
....
....
Berjari-jari 2,5 cm
....
. . ..
....
Berjari-jari 3 cm
....
....
....
Coba bandingkan hasil yang kalian peroleh dengan hasil yang diperoleh teman-temanmu. Apa yang dapat kalian simpulkan? Apakah kamu mendapatkan nilai perbandingan antara antar a keliling dan diameter untuk setiap lingkaran adalah sama (tetap)? Jika kegiatan tersebut kalian lakukan dengan cermat c ermat dan teliti maka nilai
keliling akan memberikan nilai yang mendekati 3,14. diameter
Untuk selanjutnya, nilai
keliling disebut sebagai konstanta diameter
( dibaca: pi). Keliling Kelilin g Diameter
Coba tekan tombol pada kalkulator. Apakah kalian mendapatkan bilangan desimal tak berhingga dan tak berulang? Bentuk desimal yang tak berhingga dan tak berulang bukan bilangan pecahan. Oleh karena itu, bukan bilangan pecahan, namun bilangan irasional , irasional , yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan
(Menumbuhkan kreativitas) Dengan adanya teknologi komputer, nilai dapat dicari sampai puluhan tempat desimal. Coba carilah nilai n ilai dengan menggunakan komputer di sekolahmu. M intal intalah ah p etun etunjuk juk gurumu. Ceritakan pengalamanmu s ecara s ingkat di depan kelas.
Lingkaran
141
a . Bilangan irasional berupa desimal b tak berulang dan tak berhingga. dalam bentuk pecahan biasa
Untuk memudahkan dalam menyelesaikan soal yang berkaitan dengan jari-jari atau diameter lingkaran, gunakan 22
–
–
atau diameternya kelipatan 7; = = 3,14 jika jari-jari atau diameternya bukan kelipatan 7.
7
, jika jari-jari
Menurut penelitian yang cermat ternyata nilai = 3,14 1592 6535 8979324836 ... Jadi, nilai hanyalah suatu pendekatan. Jika dalam suatu perhitungan hanya memerlukan ketelitian sampai dua tempat desimal, pendekatan untuk adalah 3, 14. Coba bandingkan nilai dengan pecahan pecahan peca han
22 . Bilangan 7
22 jika dinyatakan dalam pecahan desimal adalah 7
3,142857143. Jadi, bilangan
22 dapat dipakai sebagai pendekatan 7
untuk nilai .
3,14 ,14 atau atau
22 7
2. Men Menghi ghitun tung g Kel Kelil iling ing Lin Lingka gkaran ran
Pada pembahasan di bagian depan diperoleh bahwa pada setiap lingkaran nilai perbandingan
keliling (K) (K ) menunjukkan diam di ameeter ( d )
bilangan yang sama atau tetap tetap disebut . Karena
K , sehingga didapat K = d. d. d
Karena panjang diameter adalah 2 K = 2 r.
jari-jari atau d d = = 2r 2 r , maka
Jadi, didapat rumus keliling ( K ) lingkaran dengan diameter (d (d ) atau jari-jari (r ) adalah K d atau K
142
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
2 r
Hitunglah keliling lingkaran jikaa dik jik diketa etahui hui a. diameter 14 cm; b. jari-jari jari-jari 35 cm.
Penyelesaian:
a . d d = = 14 cm sehingga K d
22 14 7 44
Jadi, keliling lingkaran adalah 44 cm. b. r = = 35 cm sehingga K 2 r
2 22 35 7
220 Jadi, keliling lingkaran = 220 cm.
Kerjakan soal-soal berikut di buku buku tugasmu.
1. Sediak Sediakan an mat mataa uang uang log logam am Rp1 Rp100, 00,00, 00, Rp200,00, dan Rp500,00. Ukurlah panjang diamete diameterr dan kelili keliling ng mata uang tersebut. Buatlah tabel seperti berikut dan isikan hasil pengukuranmu pada tabel tersebut. Mata Ma ta uang uang Di Diam amet eter er Keliling
3. Hitung Hitunglah lah pan panjan jang g tali tali yang yang dip diperl erluka ukan n untuk melilitkan sebuah drum berjari-jari 3 cm sebanyak lima putaran. 4. Hitung Hitunglah lah kel kelili iling ng daer daerah ah yang yang dia diarsi rsir r pada gambar berikut. 28 cm
Keliling Diameter
Rp100,00
....
....
....
Rp200,00
....
....
....
Rp500,00
....
....
....
Dari tabel tersebut, tentukan nilai sampai tiga tempat desimal. 2. Hitu Hitungl nglah ah keli kelilin ling g lingk lingkaran aran jik jikaa dike diketahu tahuii
1 4 c m
10 cm (ii)
(i)
m c 1 2
10 cm
a. jari-jari 49 m;
f . diameter 70 70 cm;
21 cm
b. jari-jari 21 m;
g. diameter 2,8 cm;
(iii)
c. jari-jari 5 cm;
h. di diameter 15 15 m; m;
d. jari-jari 12 cm;
i. diameter 50 m;
(iv)
e. ja jari ri-j -jar arii 10, 10,5 5 cm; cm; j. di diam amet eter er 2, 2,4 4 cm cm;
Lingkaran
143
5.. Ali ke 5 ke sekolah sekolah naik naik sepeda sepeda menem menempuh puh jarak jara k 706, 706,5 5 m. Ternyata sebu sebuah ah roda sepedanya berputar 500 kali untuk sampai ke sekolah.
a. Hi Hitu tung nglah lah pan panja jang ng jar jarii-jar jarii roda. roda. b. Tentukan kelili keliling ng roda itu.
Catatan: Gunakan kalkulator untuk membantumu mengerjakan soal di atas.
3. Me Meng nghi hitu tung ng Lua Luass Ling Lingka kara ran n
Untuk menemukan rumus luas lingkaran, lakukan kegiatan dengan langkah-langkah berikut. KEGIATAN
a. Bua Buatla tlah h lingk lingkara aran n denga dengan n jarijari-jar jarii 10 cm. b. Bagilah lingkaran tersebut menjadi dua bagian sama besar dan arsir satu bagian. c. Bagila Bagilah h lingka lingkaran ran ters tersebu ebutt menjad menjadii 12 bagi bagian an sama sama besarr deng besa dengan an car caraa membu membuat at 12 juri juring ng sama besa besar r dengan sudut pusat 30 o (Gambar 6.8 (i)). d. Bagilah Bagilah salah salah satu juring yang tidak diars diarsir ir menjadi menjadi dua sama besar. (i)
e. Gun Guntin ting g lingka lingkaran ran bese beserta rta 12 12 juring juring ters tersebu ebut. t. f.
(ii) Gambar 6.8
Atur poton Atur potongangan-pot potonga ongan n jurin juring g dan dan susun susun seti setiap ap jurin juring g sehingga membentuk gambar mirip persegi panjang, seperti pada Gambar 6.8 (ii) di samping.
Berdasarkan Gambar 6.8 (ii), diskusikan dengan teman sebangkumu untuk menemukan luas lingkaran. Hasilnya bandingkan dengan uraian berikut. Jika lingkaran dibagi menjadi juring-juring yang tak terhingga banyaknya, kemudian juring-juri juring-juring ng tersebut dipotong dan disusun seperti Gambar 6.8 (ii) maka hasilnya akan mendekati bangun persegi panjang. Perhatikan bahwa bangun yang mendekati persegi panjang tersebut panjangnya sama dengan setengah keliling lingkaran
3,14 10 cm 31, 4 cm dan lebarnya sama dengan jari-jari lingkaran (10 cm). Jadi, luas lingkaran dengan panjang jari-jari 10 cm = luas persegi panjang dengan p dengan p = 31,4 cm dan l = = 10 cm. = p l = 31,4 cm 10 cm = 314 cm
144
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Dengan demikian, dapat kita katakan bahwa luas lingkaran dengan jari-jari r sama sama dengan luas persegi panjang dengan panjang r dan lebar r , sehingga diperoleh L r r
(Menumbuhkan kreativitas)
L r 2
Carilah 4 buah benda di sekitarmu sekit armu yang yang berbentuk lingkaran. Ukurlah ke liling benda-benda tersebut menggunakan benang. Kemudian, luruskan benang tersebut pada penggaris untuk memperoleh kelilingnya. Dengan menggunakan rumus keliling, hitunglah pan jang jari-jari j ari-jari atau a tau diad iameternya. Kemudian, hitunglah luas setiap benda tersebut. Gunakan kalkulator u ntuk m emba embantu ntu pekerjaanmu.
Karena r
1 , maka L 1 d d 2 2
2
1 d 2 4 1 d 2 4 Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa luas lingkaran L lingkaran L dengan dengan jari jari r jari r atau atau diameter d adalah adalah L
L r 2 atau L
1 d 2 4
Hitunglah luas lingkaran jika ji ka a. jari-jarinya 7 cm; b. diameternya 20 cm.
Penyelesaian: a. ja jari ri-j -jar arii = 7 cm, cm, mak makaa r = = 7
L r 2
22 7 7
7 154 Jadi, luas lingkaran = 154 cm2. b. diameter = 20 cm, maka d = = 20 1 L d 2 4 1 3,14 20 20 4 1 3,14 400 4 314 Jadi, luas lingkaran = 314 cm2.
Lingkaran
145
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Hitung Hitunglah lah lua luass daera daerah h lingk lingkaran aran den dengan gan panjang panja ng jari-j jari-jari ari beriku berikutt ini. a . 21 cm
d. 70 70 m
b. 25 cm
e . 3,5 m
m c 0 1
c . 49 cm
10 cm
2. Hitung Hitunglah lah lua luass daera daerah h lingk lingkaran aran den dengan gan diameter berikut ini. a . 50 m
d. 25 25 cm
b. 1,4 m
e . 18 cm
(c)
7 cm 14 cm (d)
4. Dua Dua buah buah lingk lingkara aran n berjar berjari-j i-jari ari 5 cm cm dan dan 15 cm. Hitunglah perbandingan a. kedua kelilingnya;
c . 35 m
b. seli selisih sih kel kelili ilingny ngnya; a;
3. Tent entuka ukan n luas luas daera daerah h arsir arsiran an pada pada bangun berikut.
m c 0 1
14 cm (a )
10 cm (b)
c. kedua luasnya; d. selisih luasnya. 5. Di pus pusat at seb sebuah uah kot kotaa renca rencanan nanya ya aka akan n dibuat sebuah taman berbentuk lingkaran dengan diameter 56 m. Di dalam taman itu akan dibuat kolam berbentuk lingkaran berdiameter 28 m. Jika di luar kolam akan ditanami rumput dengan biaya Rp6.000,00/m2, hitunglah seluruh biaya yang harus dikeluarkan untuk menanam rumput tersebut.
Sebuah satelit mempunyai mempunyai kecepatan edar 7 .500 km/jam dan dan mengorbit mengelilingi bumi selama 6 jam dalam satu putaran penuh. Jika jari-jari bumi 6.400 km, tentukan a. pan panjan jang g lintasa lintasan n satelit satelit ters tersebu ebut; t; b. jar jarak ak sat sateli elitt ke pu pusat sat bum bumi; i; c. tingg tinggii lintasan lintasan sate satelit lit dari dari permuk permukaan aan bumi.
4. Menghi Menghitun tung g Per Peruba ubaha ha n Lua Luass dan Kel Kelili ili ng Lin Lingka gkaran ran Jika Jari-Jari Berubah
Pada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari 2 mengenai luas dan keliling lingkaran, yaitu luas (L) = r
dan keliling (K) = 2 r
146
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
1 d 2 4
d . Apabila nilai r atau atau d kita kita ubah,
maka besarnya keliling maupun luasnya juga mengalami perubahan. Bagaimana besar perubahan itu? Perhatikan uraian berikut. Misalkan lingkaran berjari-jari r 1, diperbesar sehingga jari jarinya jarin ya menj menjadi adi r 2, dengan r 2 > r 1. Jika luas lingkaran semula adalah L1 dan luas lingkaran setelah mengalami perubahan jari-jari adalah L2 maka selisih luas kedua lingkaran adalah L2
L1 r2 2 r 12 r2 2 r 12 r2 r1 r2 r1
Jika keliling lingkaran semula adalah K 1 dan keliling setelah mengalami perubahan jari-jari adalah K 2 maka selisih keliling kedua lingkaran adalah K2
K1 2 r2 2 r 1 2 r2 r 1
Kalian juga dapat menghitung perbandingan luas dan keliling lingkaran jika jari-jari berubah.
(Menumbuhkan inovasi) Diskusikan d engan Diskusikan teman sebangkumu. Misalkan lingkaran berjari-jari r 1 diperkecil sehingga jari jarinya menjadi menjadi r 2 dengan r 2 < r 1. Hitunglah selisih serta perbandingan luas dan keliling kedua lingkaran tersebut. Buatlah kesimpulannya. Kemukakan hasilnya secara singkat di depan kelas.
Perbandingan luas kedua lingkaran sebagai berikut. L2 : L1
r22 : r 12 r22 : r 12
Adapun perbandingan kelilingnya adalah K 2 : K 1
2 r2 : 2 r 1 r2 : r 1
Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa lingkaran yang berjari jari r jari r 1, setelah mengalami perubahan jari-jari menjadi r 2 dengan r 2 > r 1, maka selisih serta perbandingan luas dan kelilingny kelilingnyaa sebagai berikut. berik ut. L2 – L 1 = r2
r1 r2 r1
K 2 – K 1 = 2 r2
r 1
L2 : L 1 = r 22 : r 12 K 2 : K 1 = r 2 : r 1
Lingkaran
147
Hitunglah selisih serta per bandin ban dingan gan lua luass dan kel kelili iling ng lingkaran yang berjari-jari 2 cm dan 4 cm.
Penyelesaian: Lingkaran berjari-jari 2 cm, maka r 1 = 2. Lingkaran berjari-jari 4 cm, maka r 2 = 4.
L 2 L1 r2 r1 r2 r1 4 2 4 2 2 6 12 cm2 ) Se Seli lisi sih h ke keli lili ling ng K 2 K 1 2 r2 r 1 2 4 2 4 cm Perb rban andi ding ngan an lu luas as L 2 : L1 ) Pe r2 2 : r 12 42 : 22 16:4 4 :1 Perban bandin dingan gan kel kelili iling ng K 2 : K 1 ) Per r2 : r 1 4:2 2 :1
)
Seli Se lisi sih h lua luass
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Diketa Diketahui hui sua suatu tu ling lingkar karan an berja berjariri-jar jarii r cm. Hitung selisih serta perbandingan luas dan keliling lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi
2. Diketah Diketahui ui jar jari-ja i-jari ri suat suatu u ling lingkara karan n semu semula la 7 cm. Hitunglah selisih dan perbandingan luas lingkaran setelah jari-jarinya a. di dipe perb rbes esar ar ti tiga ga ka kali liny nya; a;
a. dua kalinya; b. (r + + 2) cm.
148
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
b. diperkec diperkecil il
1 kalinya. 2
3. Perban Perbandin dingan gan lua luass dua dua buah buah lin lingka gkaran ran adalah 36 : 64. Hitunglah a . perb perband anding ingan an kelili keliling ng kedua kedua lingka lingkaran; ran; b. seli selisih sih keli keliling ling kedu keduaa ling lingkaran karan;;
4. Jari-j Jari-jari ari dua bua buah h ling lingkar karan an masi masingngmasing adalah a cm dan 3a 3a cm. Jika jumlah panjang jari-jari kedua lingkaran itu 28 cm, tentukan a. nilai a;
c . perb perband andinga ingan n jari-jar jari-jarii kedua kedua lingka lingkaran; ran;
b. perband perbandingan ingan luas dan kelil kelilingnya ingnya;;
d. sel selisi isih h jari-ja jari-jari ri kedua kedua lingkara lingkaran. n.
C.
c. sel selisi isih h luas luas dan dan kelil keliling ingnya nya..
HUBUNGAN ANT ARA SUDUT PUSA PANJ ANJANG ANG B USUR USUR,, D AN L UAS JURING
T,
1. Hubun Hubunga gan n Sudu Sudutt Pusa Pusat, t, Pan Panja jang ng Bus Busur ur , dan dan Luas Luas JuJuring
Sudut pusat adalah pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari yang berpotongan pada pusat lingkaran. Pada Gambar 6.9 di
A
samping, AOB = adalah sudut pusat lingkaran. Garis lengkung AB disebut busur AB dan daerah arsiran OAB disebut juring OAB.
O B
Pada pembahasan kali ini, kita akan mempelajari hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring pada sebuah lingkaran.
Gambar 6.9
Untuk menentukan hubungan antara sudut pusat, panjang busur,, dan luas juring lakukan kegiatan berikut. busur KEGIATAN
1. Buatlah lingkaran dengan pusat di O berjari-jar berjari-jarii 5 cm.
A B
2. Pada lingka lingkaran ran tersebu tersebutt buatlah buatlah sudut sudut pusat pusat
30 o
= 30o dan O
C
60 o
COD = 60o (Gambar 6.10 (i)).
3. Untuk menye menyelidik lidikii hubungan hubungan antara antara sudut sudut pusat pusat dan p a n j a n g b u su r, u k u r l a h AB dan CD dengan pa menggunakan benang. Bagaimana hubungan panjang
D (i)
B
C
D
30 o 60 o
O
O
(ii)
(iii) Gambar 6.10
AB dan CD ?
A
AOB
4. Untuk menye menyelidik lidikii hubungan hubungan antara antara sudut sudut pusat pusat dan luas juring, jiplaklah juring OAB dan potong sekeliling juring OAB. Kemudian ukurlah juring juring OCD dengan menggunakan juring OAB (Gambar 6.10 (ii) dan (iii)). Apakah besar juring OCD dua kali besar juring OAB? 5. Tentu entukan kan besar besar perb perbandi andingan ngan anta antara ra kedua kedua sudu sudutt pusat, panjang kedua busur, dan luas kedua juring. Apakah menghasilkan perbandingan yang sama?
Lingkaran
149
A O
Jika kegiatan ini kalian lakukan dengan teliti maka akan diperoleh bahwa besarAOB besarCOD
B
(i)
panjang CD
luas juring OAB 1 . luas juring juring OCD
2
Panjang busur dan luas juring pada suatu lingkaran berbanding lurus dengan besar sudut pusatnya.
C
D
panjang AB
Sekarang perhatikan Gambar 6.11 (i). Dari gambar tersebut diperoleh A
O
besarAOB besarCOD
r
B C/D
panjang AB
panjang CD
luas juring OAB . luas juring juring OCD
Sekarang, misalkan COD = satu putaran penuh = 360 o maka keliling lingkaran = 2 r jari-jari, r, dan luas lingkaran = r r2 dengan r jari-jari, akan tampak seperti Gambar 6.11 (ii), sehingga diperoleh
(ii)
AOB
Gambar 6.11
360o
panjang AB 2 r
luas juring2 OAB r
Dengan demikian, diperoleh rumus panjang busur AB, luas juring AB, dan luas tembereng AB pada Gambar 6.11 adalah panjang busur busur AB luas juring OAB
2 r 360
r 2 360
luas tembereng AB = luas juring OAB – luas
Perhatikan Gambar 6.12. Diketahui panjang jari-jari OA = 10 cm. Jika besar AOB = 60o, hitunglah
Penyelesaian:
a. panjang AB ; b. luas juring OAB; c. lu luas as te temb mber eren eng g AB AB..
A
6 10,47cm
AOB r 2 360 60 3,14 102 360
b. luas juring OAB
O B Gambar 6.12
150
AOB 2 r 360 60 2 3,14 10 360 1 62,8
a . Panjang AB
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
AOB.
1 314 6
c.
52,33cm2 Kare Ka rena na bes besar ar AOB = 60o, maka AOB sama sisi dengan panjang sisi 10 cm, sehingga s
1 keliling segitiga 2 1 a b c 2 1 10 10 10 2 1 30 15 2
luas AOB s s a s b s c
15 15 1 5 10 15 10 15 10
15 555
1.875 43,30cm 2 luas tembereng AB = luas juring OAB – luas = (52,33 – 43,30) cm 2 = 9,03 cm2.
AOB
2. Menyelesa Menyelesaikan ikan Masa Masalah lah yang Berka Berkaitan itan denga dengan n Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, dan Luas Juring
Hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan materi tersebut. Pelajari contoh berikut.
Perhatikan gambar berikut. R
Q o
O
45
P
Penyelesaian: a. Di depan depan telah telah dipelajar dipelajarii hubungan hubungan antara antara sudut sudut pusat pusat dan panjang busur berikut.
besar POQ
panjang PQ
, sehingga diperoleh diperoleh besar QOR panjang QR
Gambar 6.13
Lingkaran
151
Pada gambar di atas, diketahui panjang busur PQ = 16,5 cm, panjang busurr QR = 22 cm, dan busu besar POQ = 45o. a. Hi Hitu tung ngla lah h besa besar r QOR. b. Hitun Hitunglah glah panjang jari jari OP. OP. c. Tent entuka ukan n luas luas jur juring ing OPQ dan OQR.
45o besar QOR
16, 5 22 33
o
45 x
45o x
x
2 22
33
44 44 45o
60o
33 Jadi, besar QOR = 60o. b. Panjang Panjang QR =
2 r
360o 60o
22
r 360 7 1 22 22 2 r 6 7 22 6 7 r 21 2 22 Jadi, panjang jari-jari OP = 21 cm. 22
besar QOR
2 o
c . Luas juring OPQ =
POQ 360
o
r 2
45o
22
360
7
o
21 21
173, 25 cm 2 173, Luas juring OQR =
QOR 2 r o 360
60o
22
360
7
o
21 21
231 cm 2
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
1. Pada Pada suat suatu u ling lingkar karan an deng dengan an pusa pusatt O diketahui titik A, B, C, dan D pada keliling lingkaran, sehingga AOB = 35o
152
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
dan COD = 140o. Jika panjang AB =
14 cm, hitunglah panjang CD .
A
2.
Pada gambar di sam ping, pin g, lua luass jur juring ing OAB = 50 cm2. Hitunglah
O
O
75
60
6. Hitung Hitunglah lah lua luass temb temberen ereng g pada pada gam gambar bar berikut jika jari-jari lingkara lingkaran n 14 cm.
P
Q
A
a.
B a. luas juring POQ;
O
b. jari-j jari-jari ari lingk lingkaran; aran;
O
c. luas lingkaran.
a. panjang panjang busur di hadap hadapan an sudut sudut 30o; b. luas juring di di hadapan sudut 45 45o. Q
O
7.
O
(a)
D.
o
m c 5 45
45
PQ = 17,6 cm.
m c 6
O
Pada gambar di samQ ping, panjang busur PQ = 50 cm, panjang P busur QR = 75 cm, dan besar POQ = 45o. Hitunglah besar
QOR.
Q
8.
Pada gambar di sam ping, besar POQ O P = 72 o dan panjang 20 cm jari-jari OP = 20 cm. Hitunglah o
72
A
O
R
O
5. Hitung Hitunglah lah kel kelili iling ng dan lua luass ban bangun gun yang diarsir pada gambar berikut. B
B
O
Pada gambar di sam ping diketa diketahui hui panP jang OP = 28 cm dan
Hitung luas juring POQ.
D
60
3. Panjang Panjang jari jari-jar -jarii sebu sebuah ah lin lingkar gkaran an diketahui 20 cm. Hitunglah
4.
C
b.
a. panjang busur besar PQ; O 2 0 A
60
C
O
b. luas juring besar POQ.
c m
B
(b)
S UD UD UT UT PU P U SA SA T DA D A N S UD UD UT UT KE K E LI LI LI LI NG NG LINGKARAN
1. Hubu Hubunga ngan n Sudut Sudut Pus Pusat at dan dan Sudu Sudutt Kelil Keliling ing
Pada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari bahwa sudut pusat pusat dibentuk dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran yang berpotongan di titik pusatnya. Adapun sudut Adapun sudut kelil keliling ing adalah adalah sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan di satu titik pada keliling lingkaran. Pada Gambar 6.14 di samping, OA dan OB berpotongan di
AOB. Adapun tali busur AC dan CB berpotongan di titik C membentuk sudut keliling ACB.
A
C O
O membentuk sudut pusat, yaitu
B Gambar 6.14
Lingkaran
153
Sudut pusat
AOB dan sudut keliling ACB menghadap busur
yang sama, yaitu AB . Sekarang, kita akan mempelajari hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama.
Perhatikan Gambar 6.15.
A
O
D
C
r
B Gambar 6.15
Lingkaran di samping berpusat di titik O dan mempunyai jari-jari OA = OB = OC = OD = r .
AOC = dan COB = , maka AOB = + . Perhatikan BOD. BOD pelurus bagi BOC, sehingga BOD = 180o – . Misalkan
= r , sehingga BOD segitiga sama kaki, karena OB = OD = r 180 o BOD . ODB = OBD =
2 Karena BOD = 180o – , maka diperoleh
ODB OBD
180o
(180o ) 1 .
2 Sekarang perhatikan AOD.
2
AOD pelurus bagi AOC, sehingga AOD = 180o – . kare na OA = OD = r , sehingga AOD adalah segitiga sama kaki, karena 180 AOD ODA OAD
2 180 180 2
1
2 Dengan demikian, besar ADB
ODA ODB 1 1
2 2 1 2 1 AOB atau 2 besar AOB = 2 besar ADB.
Karena
AOB
adalah sudut pusat dan
ADB
adalah sudut
keliling, di mana keduanya menghadap AB , maka dapat disimpulkan sebagai berikut.
Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama maka besar sudut pusat = 2 besar sudut keliling.
154
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
C
A
Penyelesaian: ACB merupakan sudut keliling dan AOB merupakan sudut pusat, sehingga diperoleh
B
sudut keliling ACB
O
Gambar 6.16
Pada lingkaran di atas, jika
sudut pusat AOB
ACO = 15o dan BCO = 12o, hitung besar AOB.
= = = = = =
ACO + BCO 15o + 12o 27o 2 sudut keliling ACB 2 27o 54o
2. Besar Besar Sudut Sudut Keli Kelilin ling g yan yang g Menghad Menghadap ap Diame Diameter ter Lingkaran
Kalian telah mempelajari bahwa besar sudut pusat lingkaran adalah dua kali besar sudut kelilingnya, jika menghadap busur yang sama. Bagaimana besar sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran?
A D
Perhatikan Gambar 6.17. Sudut pusat AOB menghadap busur AB. Perhatikan bahwa sudut keliling ACB dan sudut keliling ADB menghadap busur AB, sehingga diperoleh
O C B
AOB 2 ACB 180 2 ACB ACB 180 90
Gambar 6.17
2
atau
AOB 2 ADB 180 2 ADB ADB 180 90
2 Dari Gambar 6.16 tampak bahwa sehingga besar AOB = 180o.
AOB
adalah sudut lurus,
Besar sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya 90o (sudut siku-siku).
Lingkaran
155
Diketahui ABC = 65o dengan AB diameter lingkaran. Hitunglah besar
Penyelesaian: Ruas garis AB adalah diameter lingkaran.
Karena ACB adalah sudut keliling yang menghadap dia-
CAB.
meter AB, maka besar ACB = 90o. Perhatikan bahwa BCO adalah segitiga sama kaki, karena OB = OC = r , sehingga BCO = CBO = 65o. Dengan demikian diperoleh
C 65
A
O
B
O
ACO ACB BCO 90 65 25 Karena AOC sama kaki (OA = OC = r ), ), maka CAO = ACO = 25o.
Gambar 6.18
3. Sudut-S Sudut-Sudut udut Kelili Keliling ng yang yang Menghad Menghadap ap Busur Busur yang yang Sama Sama A C
O
Untuk menentukan besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama, perhatikan Gambar 6.19 di samping. Pada gambar tersebut
AOB adalah sudut pusat yang menghadap
AB = , sedangkan
ACB, ADB, dan AEB adalah sudut
D B E Gambar 6.19
keliling yang menghadap AB .
ACB 1 AOB 1 2
2
ADB 1 AOB 1 2
2
AEB 1 AOB 1 2
Jadi, besar
2
ACB = ADB = AEB.
Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. Besar sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama besar atau
156
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
1 sudut pusatnya. 2
B
Penyelesaian: Dari Gambar 6.20 tampak bahwa A
O
50
O
E C
sudut keliling menghadap busur yang sama yaitu BC , sehingga besar BDC = BAC = 50 o. Perhatikan CED. ACD = 180o – ( CED + CDE) = 180o – ( CED + CDB) = 180o – (60o + 50o) = 70o Sudut ACD dan ABD adalah sudut keliling yang
O
6 0
D Gambar 6.20
Perhatikan Gambar 6.20. Diketahui besar
BAC dan BDC
BAC =
CED = 60 o. Hitunglah besar BDC, ACD, dan ABD. 50 o dan
menghadap busur yang sama yaitu AD , sehingga besar ABD = ACD = 70o.
Kerjakan soal-soal berikut di buku buku tugasmu.
1. Pada Pada gamb gambar ar beri berikut kut,, hitu hitungl nglah ah nila nilaii x dan y.. y C
2. B O
F x
C
o
y
O O
80
o O
x
o
D
A
(a ( a) o
o
35
y
o
Pada gambar di atas diketahui besar E
(b)
x
A
25
O
B
D
ACD = 20o. Hitunglah besar a. BOC; b. AOC; c. BOD.
(c)
Lingkaran
157
C
3.
C
5. D
O
O
55 O
A B
A
Diketahui besar besar besa r
Diketahui besar BCA = 25 o da n CBO = 15o. Hitunglah besar a. A AO OB; c. ABC; b. OAB;
d.
4. O
x
O 2 x
AOC;
b. sudut refleks AOC;
BAC.
Pa da gambar di samping PR adalah diameter lingkaran. Hitunglah
P
a.
c. OAC dan
b. besar
Q
R
ACD.
6. S O
Q
a. nilai x nilai x;;
O
ADC = 55o. Hitunglah
R
PRQ.
P
T
Diketahui besar PQR = 48 o da dan n QRS = 101o. Hitunglah besar a. P PS ST; c. QTS. b. QPR;
E.
SEGI SE GI EMPA EMPAT T TALI TALI BUSU BUSUR R (PEN (PENGA GA YAA AAN) N)
1. Pe Peng nger erti tian an Seg Segii Emp Empat at T al alii Busu Busurr D C O A B Gambar 6.21
Agar kalian memahami mengenai segi empat tali busur, perhatikan Gambar 6.21. Pada gambar tersebut titik O adalah titik pusat lingkaran dan titik A, B, C, serta D terletak pada keliling lingkaran tersebut. Ruas garis AB, BC, CD, dan AD adalah talitali busur lingkaran. Tali-tali busur tersebut membentuk segi empat ABCD, dan selanjutnya disebut segi empat tali t ali busur. busur. Segi empat tali busur adalah segi empat yang titik-titik titik-t itik sudutnya terletak pada lingkaran. 2. Si Sifa fatt-Si Sifa fatt Segi Segi Empa Empatt Tali Tali Busur Busur
Perhatikan Gambar 6.22. Pada gambar tersebut tampak bahwa sudut-sudut yang berhadapan pada segi empat tali busur ABCD ABCD adalah ABC dengan ADC dan BAD dengan BCD.
158
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Perhatikan sudut keliling
ABC dan ADC.
C
B
ABC 1 AOD DOC 2 ADC 1 AOB BOC 2
O D
A
Dengan demikian diperoleh
Gambar 6.22
ABC ADC 1 AOD DOC 1 2 2 AOB BOC 1 AOD DOC AOB BOC
2 1 360 2 180
Sekarang, perhatikan sudut keliling
BAD dan BCD.
BAD 1 BOC COD
2 BCD 1 BOA AOD 2 Dengan demikian, diperoleh
BAD BCD 1 BOC COD 1 2
2
BOA AOD
1 BOC COD BOA AOD
2 1 360 2 180 Jadi, ABC + ADC = 180o dan BAD + BCD = 180o.
Jumlah dua sudut yang saling berhadapan pada segi empat tali busur adalah 180o. Selanjutnya, perhatikan Gambar 6.23.
R
Q
Pada gambar di samping, QS adalah diameter lingkaran
sekaligus diagonal segi empat PQRS. Karena QPS dan QRS adalah sudut keliling, maka besar QPS = QRS = 90o. Segi empat PQRS selanjutnya disebut segi disebut segi empat tali busur siku-siku siku-siku..
O S
P Gambar 6.23
Lingkaran
159
Segi empat tali busur yang salah satu diagonalnya merupakan diameter lingkaran disebut segi empat tali busur siku-siku. Perhatikan Gambar 6.24. K
L O
Pada gambar tersebut, KM dan LN adalah diameter lingkaran, KLM dan KNM adalah sudut keliling yang menghadap diameter KM , sedangkan LKN dan LMN adalah
N
M
sudut keliling yang menghadap diameter LN . Dengan demikian, KLM = KNM = LKN = LMN = 9 0 o . Karena keempat sudutnya siku-siku, akibatnya
Gambar 6.24
KL// NM, KN // LM, KL = NM , dan KN = LM , dengan KM dan LN adalah diagonal-diagonal segi empat KLMN. Dengan kata lain, segi empat KLMN adalah suatu persegi panjang. Segi empat tali busur yang kedua diagonalnya merupakan diameter lingkaran akan membentuk bangun persegi panjang. A
D O
B
Selanjutnya, bagaimanakah jika kedua diagonal segi empat tali busur merupakan diameter lingkaran dan saling berpotongan tegak lurus? Bangun apakah yang terbentuk? Apakah terbentuk bangu ba ngun n pe pers rseg egii pa panja njang ng?? Aga Agarr ka kali lian an da dapa patt me menja njawa wabny bnya, a, perhatikan Gambar Gambar 6.25.
C
Pada Gambar 6.25, AC dan BD adalah diameter lingkaran Gambar 6.25
dengan AC BD . Karena ABC, BCD, CDA, dan DAB adalah sudut-sudut keliling yang menghadap diameter, ABC = BCD = CDA = DAB = 90o. besar Sekarang, perhatikan BOC. Jika BOC kita putar sejauh 90 o berlawanan arah putaran jarum jam dengan titik O sebagai titik putar maka diperoleh OB OC, OC OD, dan BOC COD . Dengan demikian, BC CD atau BC CD . Analog dengan cara di atas, dapat ditunjukkan bahwa CD DA AB , sehingga BC CD DA AB . Dengan kata lain, segi empat ABCD adalah bangun persegi.
Segi empat tali busur yang kedua diagonalnya merupakan diameter lingkaran yang saling berpotongan tegak lurus akan membentuk bangun persegi bangun persegi..
160
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Kerjakan soal-soal berikut di buku buku tugasmu.
1. Pe Perh rhat atik ikan an ga gamb mbar ar di ba bawa wah. h. A
ABCD adalah segi empat tali busur dengan ABC = 80o dan ADC = 100o. Tentukan
D
O B
4.
C
M
O
N
BCD; b. besar BAD.
L
a. be besa sarr
2.
H
K
Dari gambar di atas, KLMN adalah segi
G
empat tali busur dengan diagonal KM
O
dan LN merupakan diameter lingkaran yang saling berpotongan tegak lurus.
o
75
E
a. Tent entuka ukan n besa besarr semu semuaa sudu sudutt pada pada segi empat KLMN.
F
Perhatikan gambar di atas.
b. Bangun apakah KLMN?
a . Jika EOF = 75o, tentukan besar sudut yang lain.
c . Jika Jika panj panjang ang jar jari-j i-jari ari lin lingka gkaran ran ada adalah lah r , tentukan luas segi empat KLMN.
b. Apakah jenis FOG?
5.
E
A
c. Ba Bang ngun un ap apak akah ah EF EFGH GH?? 3.
D
Q
O
R O
P
H
35
B F
o
S
Perhatikan gambar di atas.
C
G
Perhatikan gambar di atas.
Diketahui PR dan PR dan QS adalah diameter lingkaran.
Diketahui ABCD adalah segi empat tali busur dengan DCG, ADH, BAE, dan CBF adalah sudut luar segi empat ABCD.
a . Jika OPS = 35o, tentukan besar sudut yang lain.
a. Bukt Buktik ikan an ba bahw hwaa besa besarr BAD.
b. Bangun apakah PQRS?
b. Jika ABC = 80o, tentukan besar sudut yang lain.
c. Sebu Sebutk tkan an dua dua pas pasan ang g segi segiti tiga ga pad padaa segi empat PQRS yang sama dan sebangun.
Lingkaran
DCG
161
=
F.
SUDUT AN ANTA TAR RA DU DUA TALI TALI BU BUSUR (PENGAYAAN)
Dua tali busur dari sebuah lingkaran dapat berpotongan di dalam lingkaran atau berpotongan di luar lingkaran pada perpanja perp anjangan ngan kedu keduaa tali bus busur ur itu. Agar kali kalian an lebi lebih h mema memahami haminya, nya, perhatikan Gambar 6.26 berikut. A
D G D
O
H
O
E F
C
B
E
(a)
(b) Gambar 6.26
Pada Gambar 6.26 (a), tali busur AC dan BD berpotongan di dalam lingkaran, sedangkan Gambar 6.26 (b) menunjukkan tali busur DG dan EF berpotongan pada perpanjangan kedua tali busur itu di luar lingkaran. Pada bagian ini kita akan menentukan besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam atau di luar lingkaran. 1. Sudut Sudut Antara Antara Dua Dua Tali Tali Busu Busurr Jika Jika Berpoto Berpotongan ngan Di Dalam Lingkaran
Perhatikan Gambar 6.27. Lingkaran dengan pusat di titik O dengan titik E adalah titik potong antara tali busur AC dan BD . Dari gambar tersebut tampak bahwa AEB, BEC, CED, dan AED adalah sudut di dalam lingkaran yang dibentuk oleh perpotongan antara tali busur busur AC dan BD . Dari gambar tersebut diperoleh a.
A
BDC
adalah sudut keliling yang menghadap busur BC,
D
sehingga
O
b.
E B
C
Gambar 6.27
162
BDC= 1 BOC; 2
ACD adalah sudut keliling yang menghadap busur AD, ACD= 1 AOD. 2 Perhatikan bahwa BEC adalah sudut luar CDE, sehingga BEC = 180o CED 180o (180o CDE ECD) CDE ECD sehingga
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
BDC+ ACD 1 BOC 1 AOD 2 2 1 BOC AOD
2 Analog dengan cara di atas, maka diperoleh
AEB 1 AOB COD
2 CED 1 COD AOB 2 AED 1 AOD BOC 2 Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran sama dengan setengah dari jumlah sudut-sudut pusat yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut itu.
Penyelesaian:
P Q
PTQ 1 POQ ROS
T O R
S
2 1 60 130 2 95
Gambar 6.28
Pada gambar di atas, diketahui besar POQ = 60o dan besar ROS = 230o. Tentukan besar PTQ.
2 . Sudut Antara Antara Dua Tali Busur yang Berpoto Berpotongan ngan Di Luar Luar Lingkaran
Perhatikan Gambar 6.29 berikut. Titik O adalah titik pusat lingkaran, sedangkan LK dan MN adalah dua tali yang jika diperpanjang akan berpotongan di titik P, P, di mana titik P di luar lingkaran, sehingga terbentuk KPN.
Lingkaran
163
Perhatikan bahwa KMN adalah sudut keliling yang menghadap busur KN, sehingga
L
K
KMN= 1 KON
O
2
P N
Sudut MKL adalah sudut keliling yang menghadap mengha dap busur LM, sehingga
M Gambar 6.29
MKL= 1 MOL 2
Sudut MKL adalah sudut luar KPM, sehingga berlaku
MKL = KMN + KPN atau
KPN MKL KMN 1 MOL 1 KON 2 2 1 MOL KON 2
Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di luar lingkaran sama dengan setengah dari selisih sudut-sudut pusat yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut itu.
A
B O
E
C D Gambar 6.30
Perhatikan Gambar 6.30 di atas. Diketahui besar AED = 25o dan besar BOC = 35 o . Tentukan besar AOD.
164
Penyelesaian:
AED 1 AOD BOC 2 1 25 AOD 35 2 50 AOD 35
AOD 85
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Kerjakan soal-soal berikut di buku buku tugasmu.
1.
Perhatika n gamba r 3. di samping.
A
C
O
Jika besar AOC = D 65 o dan BOD = 140o, tentukan
di samping.
O
P
Jika besar POQ = R 3 5 o dan besar ROS = 50o, tentukan besar PT PTQ Q dan QTR.
Q
a . besar AEC;
B
b. besar 2.
S P e r h a t i ka n g a mb a r
BEC.
D
4. K
E
N
H
O F
G
Pada gambar di atas tali busur DE dan GF berpotongan di titik H di luar lingkaran. Diketahui besar DOG = 150o dan EOF = 40o. Tentukan besar DHG.
O
Q
L
P
M
Pada gambar di atas diketahui besar NOM = 30 o dan KQL = 60 o. Tentukan
KOL; besar KPL.
a . besar b.
1. Pe Perh rhat atik ikan an gam gamba barr di sam sampi ping ng.. a. Ti Titik tik O dis disebu ebutt pusa pusatt ling lingkar karan. an. b.
OA , OB , OC , OD , dan OE disebut jari-jari lingkaran.
c.
BD disebut garis tengah atau diameter, yaitu garis yang menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran dan melalui pusat lingkaran.
d.
AE disebut tali busur, yaitu garis yang menghubungkan dua titik pada keliling lingkaran.
F E D
G O
A B C
e. Garis Garis lengkun lengkung g AFE AFE disebu disebutt busur busur kecil kecil (pen (pendek) dek),, yaitu yaitu bubusur yang panjangnya kurang dari setengah keliling lingkaran. f.
Garis lengk Garis lengkung ung ACE ACE diseb disebut ut busur busur besa besarr (panja (panjang) ng),, yaitu yaitu busur bus ur yan yang g pan panjan jangn gnya ya leb lebih ih dar darii set seteng engah ah ke kelil lilin ing g li ling ngkar karan an..
Lingkaran
165
g. Daerah Daerah yan yang g dibat dibatasi asi ole oleh h jarijari-jar jarii OC dan OB serta busur BC disebut sektor atau juring lingkaran. h. Daerah Daerah yan yang g diba dibatas tasii oleh oleh tali tali bus busur ur AE dan busur AFE disebut tembereng. i.
tali busur
AE disebut apotema, yaitu jarak ter pendek antara tali busur dan pusat lingkaran. OG
2. Nilai
merupakan
3,14 atau
suatu pendekatan. Besar nilai
adalah
22 . 7
3. Rumus Rumus keli keliling ling ling lingkara karan n (K) (K) dengan dengan diam diameter eter (d ) dan jari-jari (r ) sebagai berikut. K d atau
K 2 r
4. Rumus Rumus luas luas lin lingka gkaran ran (L) (L) deng dengan an diam diamete eterr (d (d ) dan jari-jari (r (r ) sebagai berikut. 1 d 2 4 5. Dar Darii gambar gambar di samp samping ing berl berlaku aku seba sebagai gai berik berikut. ut. L r 2 atau
A
L
Besar sudut pusat AOB Besar sudut satu putaran penuh O
Panjan ang g bus busur ur AB Luas juring ng OAB OAB Panj Luas juri Kel Kelilin iling g lin lingk gkaaran ran
B
6.
Panjang busur
Luas uas ling lingka karran
besar sudut pusat 2 r . 360
besar sudut pusat pu sat r 2 . 360 Luas tembereng = luas juring – luas segitiga. Luas juring
Setelah mempelajari bab ini, apakah kalian sudah paham mengenai Lingkaran mengenai Lingkaran?? Jika kalian sudah paham, coba rangkum kembali materi ini dengan kata-katamu sendiri. Jika ada materi yang belum kamu pahami, tanyakan pada temanmu yang lebih tahu atau kepada gurumu. Berikan contoh masalah dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan lingkaran, kemudian selesaikanlah. Buatlah laporan dan kemukakan hal ini secara singkat di depan kelas.
166
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Kerjakan di buku tugasmu. A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat. tepat.
1.
Apotema ditunjukkan oleh garis .... C a. OA D b. AC c. OE d. BO
E
A B
O
Jika jari-jari lingkaran di atas 5 cm dan panjang tali busur AB = 6 cm maka panjang apotema OC adalah .... a. 3 cm c. 4 cm b. 3,5 cm d. 4,5 cm 6.
2. Suatu Suatu rod rodaa berd berdiam iamete eterr 63 cm berber putar menempuh jarak 198 m. Roda tersebut berputar sebanyak .... a. 60 kali c. 100 kali b. 75 kali d. 110 kali 3.
D
C
Jika AB = 14 cm maka luas daerah arsiran pada gam bar di samp samping ing adalah ....
45
o
O S
a . 90o b. 120o 7.
c. 112 cm2 d. 176 cm2
Pada gambar di samping besar D C AOB = 120o dan 30 COD = 30o. Jika panjang busur AB 120 B = 44 cm maka panA jang busur CD adalah .... a . 5,5 cm c . 9 cm b. 7 cm d. 11 cm
Perhatikan gambar di samping. Jika
B
A
a. 56 cm2 b. 88 cm2 4.
P
B
A
Pada gambar di samping, luas juring Q OPQ = 19,25 cm2 dan luas juring ORS = 51,33 cm2. Jika R b bee sa r POQ = 45o maka besar ROS adalah .... c . 135o d. 150o
D
C 45
o
m c 4 1
O
o
a. 55 55,5 ,57 7 cm cm2 b. 55,77 cm2
o
5.
8.
S 20
P
70
o
O
b e s a r AOB = be 45o, panjang OB = 14 cm, dan OC = CB, luas daerah yang diarsir adalah .... c. 57,57 cm cm2 d. 57,75 cm cm2
o
R
Q
Perhatikan gambar di atas. O 5 c m
A
C
B
PR adalah garis tengah lingkaran dengan titik pusat O. Jika RPQ = 70o dan PRS = 20o, besar PRQ dan RPS berturut-turut adalah .... a . 90o dan 20o c . 20o dan 70o b. 20o dan 90o d. 10o dan 80o
Lingkaran
167
9.
a . 17o b. 34o
D A
p
E
x
2 p o 51
C
B
Jika ACD = 2 po, BDC = p = po, dan BEC = 51o, besar ABD = ....
c . 51o d. 68o
10. Suatu Suatu tama taman n bunga bunga ber berben bentuk tuk lin lingka gkarran dengan luas 1.386 m2. Di sekeliling taman itu setiap 4 meter ditanami pohon cemara. Banyak pohon cemara yang dapat ditanam adalah .... a . 22 2 2 buah c . 44 buah b. 33 buah d. 55 buah
B. Jawablah pertanya pertanyaan-perta an-pertanyaan nyaan berikut b erikut dengan d engan singkat si ngkat dan tepat.
1.
Tentukan keliling dan luas daerah yang diarsir pada gambar di samping.
14 cm 28 cm
a . perbandingan perbandingan luas lingkar lingkaran an kecil kecil dan lingkaran besar; b. selisi sel isih h lua luass lin lingka gkara ran n kec kecil il dan lingkaran besar; c. perbandinga perbandingan n keliling keliling lingkaran lingkaran kecil dan lingkaran besar;
D
2.
d. selisih selisih keliling keliling lingkaran lingkaran kecil kecil dan lingkaran besar.
O
4.
P S
A B
C
O
Pada lingkaran di atas panjang AB = 10 cm dan BC = 25 cm.
Jika BDC = 27,5 , tentukan a. be besa sarr AOB; b. luas juring OAB; c. lua luass jurin juring g OBC; OBC; d. luas juring besar OAC. 3.
C
D E
B
Tiga buah lingkaran saling bersinggungan seperti tampak pada gambar di atas. Jika AC = CD = DE = EB = 3 cm, tentukan
168
o
Q
R
o
A
30
Matematika Konsep dan Aplikasinya 2
Perhatikan gambar di atas. Jika besar PQR = PRQ maka tentukan besar a. b. c.
Q OR ; Q P R; ROS;
d. e.
RSO; QRS.
5. Sebuah Sebuah pes pesawa awatt supe superso rsonik nik mem mempupunyai kecepatan 7.850 km/jam dan beredar mengelil mengelilingi ingi bumi dalam satu putaran penuh penuh selama 8 jam. Jika linlintasannya berbentuk lingkaran dan jari jari bumi adalah 6.400 km, tentukan a. panja panjang ng lintasan lintasan pesawa pesawatt tersebut; tersebut; b. jarak pesawat ke pusat bumi; c. ting tinggi gi lintasan lintasan pesawa pesawatt dari perpermukaan bumi.
