Matematika i Matlab(2003)

5/13/2018

Ma te ma tika i Ma tla b(2003) - slide pdf.c om

- ori´ Dragan S. D c

MATEMATIKA I MATLAB Laboratorijske veˇ zbe

Viˇsa elektrotehniˇcka ˇskola Beograd, 2003.

http://slide pdf.c om/re a de r/full/ma te ma tika -i-ma tla b2003

1/78

5/13/2018


- orić Dr Dragan D M A T EM A T IK A i

M A T LA B

Laboratorijske veˇ zbe

Recenzenti - urica Jovanov Dr D Ana Savić

Izdavaˇ c

Viˇsa elektrotehniˇcka ˇskola Beograd, Vojvode Stepe 283

Nastavniˇcko veće Viˇse elektrotehniˇ cke ˇskole u Beogradu odobrilo je izdavanje i koriˇs´ cenje ovog priruˇ cnika u nastavi.

CIP - Katalogizacija u publikaciji Narodna biblioteka Srbije, Beograd 004.42MATLAB(075.8)(076) - orić, Dragan S. D Matematika i MATLAB: Laboratorijske veˇ zbe / - orić.- Beograd: Viˇsa elektrotehniˇcka ˇskola, Dragan S. D 2003 (Beograd: Akademska ˇstampa).- 79 srt.; 26 cm Tiraˇz 700. ISBN 86 - 82589 - 80 - X a) Aplikativni program "MATLAB" - Veˇzbe COBISS - ID 104397068


2/78

5/13/2018


Student Broj indeksa ˇ Skolska godina

Imena fajlova sa veˇ zbama

Broj indeksa je ime svakog od 16 fajlova (za svaki termin po jedan), a njihove ekstenzije su 1, 2, . . . , 16. Fajlovi se otvaraju na poˇcetku svakog termina naredbom >> diary imefajla

a zatvaraju na kraju rada naredbom >> diary off

Parametri za izradu zadataka

a= b= c= p = q=

(broj Vaˇseg indeksa) (mesec Vaˇseg rodenja, na primer b = 2, ako ste rodeni u februaru) (dan Vaˇseg rodenja, na primer c = 15, ako ste rodeni 15. u mesecu) (broj slova Vaˇseg prezimena) (broj slova Vaˇseg imena)

Evidencija izrade veˇ zbi

Veˇzba br. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17.


Datum

Overa

Napomena

3/78

5/13/2018



4/78

5/13/2018


PREDGOVOR Laboratorijske veˇ zbe iz matematike sastavni su deo predmeta Numeriˇcka matematika koji se sluˇsa na prvoj godini smera Nove raˇ cunarske tehnologije, na Viˇsoj elektrotehniˇckoj ˇskoli u Beogradu. Kao ˇsto i sam naziv govori, one se odrˇzavaju u raˇcunarskoj laboratoriji, a obuhvataju neke teme diferencijalnog i integralnog raˇcuna i osnovne probleme numeriˇcke matematike - reˇsavanje algebarskih i transcendentnih jednaˇcina i sistema, aproksimaciju i interpolaciju funkcija, kao i numeriˇcko reˇsavanje diferencijalnih jednaˇcina i sistema. Efikasno reˇsavanje ovih problema danas je nezamislivo bez moćnih programskih paketa kao ˇsto su MATHEMATICA, MATHCAD, MAPLE ili MATLAB. Ove veˇzbe pripremljene su za rad sa programom MATLAB. Zbog toga su u prvih nekoliko tema dati primeri za upoznavanje sa programskim naredbama, uglavnom onim koje su dovoljne za dalji rad. MATLAB, naravno, ima mnogo ve´ ce mogućnosti od onih koje su ovde prikazane. Vodeći univerziteti u svetu ga već odavno koriste, ne samo u kursevima numeriˇcke analize, nego i u kursevima svih ostalih matematiˇckih i tehniˇckih predmeta. Naravno, za uspeˇsan rad na veˇzbama potrebno je znanje iz linearne algebre i diferencijalnog raˇcuna funkcija jedne i viˇse promenljivih (u obimu koji se izlaˇ ze u prvom semestru), kao i teorijske osnove numeriˇckih metoda. Nadam se da će se studenti pre dolaska na veˇ zbe upoznati sa problemom koji se reˇsava, algoritmom, uslovima konvergencije i naˇcinima za procenu greˇski pri numeriˇckim izraˇcunavanjima.

Beograd, 2003.


Autor

5/78

5/13/2018



6/78

5/13/2018


ˇ SADRZAJ

Programski paket MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Laboratorijske veˇ zbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1. Brojevi i izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2. Matrice i vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3. Dvodimenziona grafika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4. Diferencijalni raˇcun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5. Integralni raˇcun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 6. Reˇsavanje jednaˇcina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 7. Metoda iteracije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 8. Jednaˇcine - obnavljanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 9. Linearni sistemi - I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 10. Linearni sistemi - II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 11. Nelinearni sistemi - I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 12. Nelinearni sistemi - II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 13. Interpolacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 14. Aproksimacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 15. Diferencijalne jednaˇcine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 16. Sistemi diferencijalnih jednaˇcina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 17. Razni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 M - fa jlovi koriˇ s´ ceni u veˇ zbama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Spisak naredbi koje su koriˇ s´ cene u veˇ zbama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Kratak opis nekih MATLAB naredbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Ispitna pitanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79


7/78

5/13/2018



8/78

5/13/2018


PROGRAMSKI PAKET MATLAB Programski paket MATLAB razvila je softverska kuća Math Works Inc., a sluˇzi za sloˇzena ka izraˇ cunavanja ii EISPACK grafiˇcko predstavljanje Osnovu inˇ programa ˇcinenumeriˇ raniji cpaketi LINPACK i prvenstvenorezultata. je bio namenjen zenjerima koji se bave analizom i sintezom sistema upravljanja. Medutim, vremenom je program dobio veliki broj novih matematiˇckih funkcija, a razvijeni su i posebni paketi, takozvani Toolboxovi, za razliˇ cite oblasti primene. Tako postoji SYMBOLIC MATH za simboliˇcka izraˇcunavanja u matematici, SIMULINK za modeliranje i simulaciju statiˇckih i dinamiˇckih sistema, ali isto tako i Toolboxovi za parcijalne diferencijalne jednaˇcine, obradu signala, identifikaciju, optimizaciju, statistiku, finansijske proraˇcune, neuronske mreˇze, komunikacije i mnoge druge probleme primenjene matematike. Aktuelna verzija (MATLAB 6) ima preko 30 takvih paketa, a i sami korisnici mogu razvijati sopstvene Toolboxove. Pored toga, program ima i API (Application - MATLAB-a i programa pisanih u Program Interface) koji ostvaruje vezu izmedu C-u ili Fortranu. Kao programski jezik, MATLAB je vrlo jednostavan za koriˇscénje. On ima mogućnost direktnog izvrˇsavanja jedne naredbe (interaktivno) ili bloka naredbi smeˇstenih u script fajl. Nakon startovanja programa pojavljuje se komandni prozor u kojem se ostvaruje komunikacija korisnika i programa. Dodatno se mogu otvoriti: grafiˇcki prozor, prozor za editovanje i help prozor. Na vrhu komandnog prozora su padaju´ ci meniji, a odmah ispod njih Toolbar. Glavni delovi padaju´ ceg menija su File, Edit, View, Web, Windows i Help. Standardni prompt je >>. Za razliku od drugih programskih jezika, osnovni objekat MATLAB-a je matrica ˇ i brojevi su matrice dimenzija 1 × 1. Izrazi se u MATLAB-u brojeva ili simbola. Cak unose na prirodan naˇcin, odnosno kao i prilikom pisanja na papiru, a osnovni elementi izraza su brojevi, promenljive, znaci operacija i imena funkcija. Najmanji MATLAB broj je 2 1022 , a najveći 21023 . Oznaka za imaginarnu jedinicu je i ili j, za π je oznaka pi, a za ∞ je inf. Format zapisa brojeva bira se naredbom format. Promenljive u MATLAB-u nije potrebno deklarisati, a ime promenljive moˇze da sadrˇzi 31 karakter, pri ˇcemu prvi mora biti slovo (malo ili veliko) a ostali su slova, brojevi ili znak −

. Znaci za operacije su standardni: + (sabiranje), − (oduzimanje), ∗ (mnoˇzenje), / (deljenje), (stepenovanje) i (transponovanje). Za razliku od ovih operacija postoje i takozvane element-by- element operacije koje se pozivaju sa taˇckom ispred znaka operacije. Na primer, za matrice A i B istih dimenzija A.*B je matrica koja se dobija tako ˇsto se svaki element matrice A mnoˇzi odgovarajućim elementom matrice B. Sliˇcno, A. 2 znaˇ ci da se svaki element matrice A kvadrira. Postoji veliki broj matematiˇckih funkcija koje su ugradene u MATLAB, kao ˇsto su apsolutna vrednost (abs), koren (sqrt), trigonometrijske (sin, cos, tan), inverznetrigonometrijske (asin, acos, atan) i druge.








9/78

5/13/2018


MATLAB kao kalkulator

Kada se u komandnom prozoru otkuca naredba i pritisne Enter, ona se odmah izvrˇsava. Ako ne ˇzelimo da se rezultat prikaˇ ze na ekranu, onda posle naredbe treba uneti znak ;. U jednoj liniji moˇze da se navede i viˇse naredbi, a i jedan izraz moˇze da se unosi u viˇse linija, pri ˇcemu se sa . . . oznaˇcava da je nastavak u sledećoj liniji. Ovakav naˇcin rada MATLAB-a podseća na kalkulator. Na primer, naredbom >> 1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9

dobijamo ans= 1.9290

Rezultat, naravno, moˇze da se dodeli nekoj promenljivoj. Na primer, >> x=sin(pi/4)+cos(pi/3);

Ako u komandnoj liniji otkucamo >> x dobićemo vrednost promenljive x. Unos matrica

Matrice u MATLAB mogu da se unesu na viˇse naˇcina: navodenjem svih elemenata (vrsta po vrsta), pozivanjem naredbi za manipulacije sa matricama i naredbi za generisanje specijalnih matrica, kreiranjem m-fajlova ili uˇcitavanjem iz drugih fajlova. Na primer, matricu 1 2 3 4 moˇzemo da unesemo i smestimo u A naredbom 5 6 7 8





>> A = [1 2 3 4; 5 6 7 8]

ili naredbom >> A = [ 1 2 3 4 5 6 7 8]

Medutim, istu matricu moˇzemo da unesemo i naredbom >> A=[1:4; 5:8]

Elementi matrice mogu da se pozovu navodenjem imena matrice i indeksa elemenata. Na primer, A(2,2) će dati element 6 matrice A. Dokumentacija

MATLAB ima sasvim dobar demo i tour iz kojih korisnik pri prvom susretu sa programom moˇze da stekne poˇcetni utisak o mogu´ cnostima programa, ali i da se upozna sa osnovnim naredbama i da dobije ideju ˇsta bi mogao i sam da proba. Za dalja objaˇsnjenja korisnik moˇze da koristi help ili dokumentaciju koja se u obliku pdf fajlova isporuˇcuje sa programom i koja moˇ ze i da se preuzme sa adrese www.mathworks.com .


10/78

5/13/2018


ˇ LABORATORIJSKE VEZBE U ovom praktikumu je dato 17 veˇ zbi kroz koje treba, koristeći programski paket MATLAB, reˇsavati razne probleme iz matematike koji su u okviru sadrˇ zaja predmeta Inκ zenjerska matematika i Numeriκ cka matematika. Neke od tih problema studenti su ve´ c upoznali u prvom semestru, a neke upoznaju paralelno s veˇzbama u toku drugog semestra. Pored ponavljanja i produbljivanja delova diferencijalnog i integralnog raˇcuna i upoznavanja sa numeriˇckim metodama u linearnoj algebri, teoriji aproksimacija i teoriji diferencijalnih jednaˇcina, studenti imaju priliku i da savladaju osnovne naredbe programa MATLAB, kao i neke naredbe za simboliˇ cko izraˇcunavanje iz Toolboxa SYMBOLIC MATH. U 1. veˇzbi kroz operacije sa brojevima i izrazima uvode se MATLAB naredbe za te operacije, naredbe za formate zapisa brojeva (format, format long, format short, format rat, vpa), kao i naredbe za transformacije izraza (factor, collect, expand, simple).

U 2. veˇ zbi daju se naredbe za unos i manipulacije sa matricama i vektorima, kao i naredbe za operacije sa matricama. U 3. veˇ zbi koriste se naredbe za crtanje taˇcaka, linija i grafika funkcija. Osnovne naredbe za to su plot, fplot i polar. Pored toga uvode se i naredbe kojima se realizuju petlje u programu (for, while i if), kao script fajlovi. U 4. i 5. veˇzbi koriste se naredbe diff, int i solve za analitiˇcko nalaˇzenje izvoda, integrala i reˇsenja jednaˇcina. Pored ranije upoznatih naredbi koristi se i naredba ezplot. U veˇ zbama 6-8. numeriˇckim metodama se reˇsavaju algebarske i transcendentne jednaˇcine, pri ˇcemu se koriste uglavnom već upoznate naredbe. Linearni sistemi u veˇ zbama 9 i 10 reˇsavaju se i analitiˇcki i numeriˇcki. Dati su ˇ programi za Kramerovo pravilo, Gaus-Zordanovu metodu i za metodu iteracije. Nelinearni sistemi reˇsavaju se u veˇzbama 11 i 12, pri ˇcemu se uvode i naredbe za 3D grafiku ( mesh, surf, surfl, contour). U 13. veˇ zbi koriste se naredbe poly i polival za interpolaciju. Dat je i program za Lagranˇzov interpolacioni polinom. U 14. veˇzbi reˇ sava se problem aproksimacije razliˇ citim funkcijama. Dati su programi za linearnu i polinomialnu regresiju. U veˇ zbama 15 i 16 numeriˇcki se reˇsavaju diferencijalne jednaˇcine i sistemi diferencijalnih jednaˇcina, pri ˇcemu se koristi naredba ode23. Poslednja veˇ zba sadrˇzi razne, sloˇzenije, primere za obnavljanje svih prethodnih tema. Za realizaciju svih ovih veˇ zbi korˇ sćeno je svega stotinak MATLAB naredbi. Većina od njih (preko 80) data je kroz primere prvih pet veˇ zbi, a u ostalim veˇ zbama uvode se samo po jedna ili dve nove naredbe.


11/78

5/13/2018



12/78

5/13/2018


1. BROJEVI I IZRAZI Naredbe demo, help, exit, ... Za prvo upoznavanje sa MATLAB - om postoje naredbe demo i tour, a naredbom help naredba

dobijamo kratak opis pojedinih naredbi. Iz programa se izlazi naredbom exit ili quit. Isprobajte, na primer, (1) help demo (2) help * (3) help sqrt (4) help pi (5) help eps (6) help NaN (7) help inf (8) help i (9) help ans

Brojevi i brojevni izrazi Za razliˇcite formate zapisa realnog broja sluˇ ze naredbe

format, format long, format long e, format short e, format rat, vpa.

√

Upoznajte ih na primeru brojeva π i 2. U jednoj liniji mogu da se unesu i viˇse naredbi odvojene znakom , ili ;. U poslednjem sluˇcaju naredba se ispred znaka ; izvrˇsi, ali se rezultat ne prikazuje na ekranu. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)

pi, a=sqrt(2) format long, pi, a format long e, pi, a format short e, pi, a, format, pi, a format rat, pi, a vpa pi 50, vpa(a,100)

Kompleksni brojevi z = x + iy i w = reiϕ unose se naredbama

z=x+y*i, w=r*exp(i*fi),


13

13/78

5/13/2018


pri ˇcemu se moduo, argument, realni i imaginarni deo i konjugovano kompleksni broj dobijaju naredbama abs, angle, real, imag, conj.

Na primer: (1) z=1+i, abs(z), angle(z), conj(z) (2) w=2*exp(i*pi/6), real(w), imag(w), conj(w), Brojevni izrazi dobijaju se pomo´ cu bro jeva, znakova za operacije i funkcijskih imena kao

ˇsto su: sqrt, exp, log, log10, sin, cos, tan, asin, atan,... (1) 2/2*3 (2) 6-8/2+32-2 (3) 322 (4) sin(log(sqrt(3))) (5) a=1/2+2/3+3/4+5/6+7/8+8/9; a, rat(a) (6) cos(2*pi/5)+cos(4*pi/5) (7) i12345 (8) sqrt(1+i*sqrt(3))+sqrt(1-i*sqrt(3)) (9) (1+i)6-(1-i)6 (10) log(i), ii

Simboliˇ cki izrazi Ako u izrazu uˇ cestvuju i promenljive, onda one moraju da se deklariˇsu kao simboliˇ cke promenljive, ˇsto moˇze da se uradi naredbom syms. Za rad sa izrazima mogu da se koriste

i naredbe collect, expand, factor, simple. (1) syms x y, factor(x3+y3) (2) f=expand((x+1)*(x+2)+(x+3)*(x+4)); f (3) simple((x3-1)/(x-1)) (4) simple(cos(3*acos(x)) (5) simple(tan(2*atan(x)) (6) Izraz

√

√

x x−y y √ √x − √y + xy

 √

√

x− y x−y

2



moˇze da se uprosti naredbama

syms x y; a=sqrt(x); b=sqrt(y); A=(x*a-y*b)/(a-b)+sqrt(x*y); B=(a-b)/(x-y); C=A*B2; simple(C)


14

14/78

5/13/2018


Zadaci 1. Utvrditi ˇsta je veće eπ ili πe .

- po veliˇcini. 2. Brojeve 2222 , 22 , 222 , 22 , 2222 , 222 , 2222 poredati 22

3. Uprostiti izraz sin4

2

π

8

2 2

+ sin4

4. Izraˇcunati |z | ako je z =

2

3π 5π 7π + sin4 + sin4 . 8 8 8

(1 + i)100 . (1 − i)96 − i(1 + i)98

5. Izraziti sinnx za n = 2, 3, 4, 5 u funkciji sinx i cosx.


15

15/78

5/13/2018


2. MATRICE I VEKTORI Unos matrica Elementi matrice unose se po vrstama, pri ˇcemu se vrste razdvajaju znakom ; ili pomoću tastera enter. Na primer:

(1) A=[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]; A (2) syms a b; B=[a b; -b a]; B Vektori su matrice kolone ili matrice vrste, pa se unose na isti naˇ cin. Na primer:

(3) a=[1 2 3 4 5]; a (4) b=[1; 2; 3; 4; 5]; b (5) c=[1+i 1 -i 1-i]; c

Medutim, moˇze i (6) x=1:10, x (7) y=3:2:15;, y (8) z=linspace(0,1,10); z (9) u=logspace(0,2,11); u (10) v=0:pi/10:2*pi; v Informacije o dimenzijama vektora i matrica daju naredbe length, size i numel.

Specijalne matrice Za specijalne matrice, kao ˇsto su nula matrica, jediniˇ cna matrica i matrica ˇciji su svi elementi jedinice, postoje naredbe zeros, eye i ones.

(1) a=zeros(2,3); a (2) b=zeros(5); b (3) c=eye(4); c (4) d=ones(2,5); d (5) e=ones(3); e Jedna od funkcija naredbe diag je formiranje dijagonalne matrice.

(6) D=diag([1 2 2]); D (7) a=1:5; A=diag(a); A


16

16/78

5/13/2018


Za generisanje matrice ˇciji su elementi sluˇ cajni brojevi, sa uniformnom raspodelom na intervalu (0, 1) ili normalnom raspodelom sa nultom srednjom vrednoˇscú i jediniˇ cnom varijansom, postoje naredbe rand i randn. Postoji i naredba magic za generisanje magiˇcne

matrice. (8) A=rand(5); A (9) B=randn(5); B (10) C=magic(10); C

Manipulacije elementima matrica Elemenat matrice koja je uneta moˇze da se izdvoji ili promeni navodenjem odgovarajućih indeksa. Na isti naˇcin moˇ ze da se izdvoji i blok elemenata ili podmatrica i da se dodeli nekoj drugoj matrici. Neka su matrica A i vektor x generisani naredbama A=[1:5; 6:10; 11:15; 16:20]; x=10:-1:1;

Uoˇcite koji su efekti sledećih naredbi: (1) x(3); x(2:5); x(5:end); x(2:2:8); x(6:-1:3); (2) x([ 2 8 3 5]); (3) A(3,2); B=A; B(3,2)=1; B(:,2)=5; B(;,2)=[]; (4) A(1:3,4); A(3,:); A(2:4,1:3); (5) B=A([2 3],[1 4]); C=A(:,2:4); (6) B=zeros(4,5); B(:,[1 3 5])=A(:,2:4); (7) B=A; B(1,[1 3])=pi; B([1 3],:)=pi/2; (8) a=[1 3]; B=A(a,a); (9) B=A; B=A(:,3:-1:1); Naredbom a=A(:) od kolona matrice A formira se vektor a. Elementi date matrice mogu i da se prepakuju u matricu drugih dimenzija naredbom reshape.

(10) B=reshape(A,5,4); C=reshape(A,2,10); Najmanji i najve´ ci element vektora dobijaju se naredbama min i max, a iste naredbe za

matricu daju vektore najmanjih i najvećih vrednosti po kolonama. (11) x=randperm(10); min(x), max(x) (12) A=[x; x; x; x]; min(A), max(A) (13) [minA,i]=min(A); [maxA,j]=max(A); minA, i, maxA, j (14) min(min(A)), max(max(A)), min(max(A)), max(min(A))


17

17/78

5/13/2018


Naredbom sort elementi vektora mogu se urediti po rastućem ili opadaju´ cem redu.

(15) x=randperm(20); y=sort(x); y (16) z=y(end:-1:1); z

U sluˇcaju matrice , naredbom sort(A,2) ureduju se elementi po vrstama.ureduju se elementi po kolonama, a naredbom A

sort(A,1)

Rang matrice dobija se naredbom rank.

(17) A=[2 -4 3 1 0; 1 -2 1 -4 2; 0 1 -1 3 1; 4 -7 3 -4 5]; rank(A)

Operacije sa matricama Za standardne operacije sabiranja, oduzimanja, transponovanja, mnoˇ zenja i stepenovanja

matrica se znaci minantakoriste naredbom det. +, -, ’,*,, inverzna matrica se dobija naredbom inv, a deter(1) A=[1 4 -1; 2 0 1]; B=[-2 1 -1; 0 3 1]; C=A+B; C (2) D=2*A-3*B; D (3) E=A*B’; E (4) A=[2 2 3; 1 -1 0; -1 2 1]; a=det(A); B=inv(A); a, B Pored uobiˇ cajenog mnoˇzenja matrica, postoji i mnoˇzenje matrica i vektora po principu

’element po element’, kao ˇsto je to sluˇcaj kod sabiranja i oduzimanja. U tom sluˇcaju ispred znaka * stavlja se taˇcka. (5) x=[1:5]; y=[2:6]; z=x.*y; z (6) A=2*ones(3,4); B=3*ones(3,4); C=A.*B; C

Sliˇcno vaˇzi i za operacije deljenja i stepenovanja ’element po element’. (7) y=1:10; [y y.2 y.3 y.4] (8) A=[1 2; 3 4]; B=[2 3; 4 5]; C=A./B; C (9) A.2, 2.A, A.A, A.(A-1)

Ako je f neka od ugradenih funkcija, onda se f(A) takode - raˇcuna za svaki element. (10) x=0:1/10:1; y=sin(x); z=exp(x); y, z Karakteristiˇ cni polinom i sopstvene vrednosti matrice dobijaju se naredbama poly i eig.

(11) A=[1 1 2; 3 2 3; 1 -1 0]; eig(A) (12) syms a; A=[1 2 -1; 1 2 1; 1 2 a]; eig(A)


18

18/78

5/13/2018


Zadaci 1. Formirati matricu dimenzija 50 × 100 ˇciji su svi elementi jednaki π .

2. Izraˇ cunati zbir kvadrata prvih hiljadu prirodnih brojeva.

3. Generisati sluˇcajnu matricu reda 10, a zatim odrediti najve´ ce elemente u svakoj koloni i najmanji od njih, kao i najmanje elemente u svakoj koloni i najve´ ci od njih. Uporediti, zatim, tako dobijena dva broja.

4. Generisati sluˇcajnu matricu reda 10 i odrediti njoj inverznu matricu (zapisati samo naredbe kojima ste to dobili).

5. Za matricu A = [ a 1 0 ; 0 a 1 ; 0 0 a ] odrediti njen deseti stepen.

 a

b+c

1



ca + + ab

11 .

6. Izraˇcunati vrednost determinante  bc


19

 

19/78

5/13/2018


3. DVODIMENZIONA GRAFIKA Naredba plot Naredba plot sluˇ zi za crtanje linija u ravni. Upoznajte je, najpre, naredbom plotdemo. Sa grafiˇckog displeja prelazi se na komandni pritiskom bilo koje tipke, a naredbom shg

vraća se tekući grafiˇcki displej. Naredbom plot(y) dobija se izlomljena linija koja spaja susedne taˇcke sa koordinatama

(i, y(i)) za i = 1, 2, . . . , n gde je n dimenzija vektora y. (1) y=[1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1]; plot(y) (2) i=1:1:8, y(i)=i2; plot(y) plot(x,y) N aredbom se izlomljena linija koja spajax susedne taˇcnaredba ke sa koordinatama (x(i), y(i)) za i = 1, 2, .dobija . . , n, gde je n dimenzija vektora i y. Ova moˇ ze da se

koristi za crtanje grafika funkcija jedne promenljive. Izbor i boju linija i markiranje taˇcaka videti sa help plot. (3) plot([2 3],[3 5]), plot([2 3],[3 5],’ro’), plot([2 3], [3 5],’r-’) (4) x=0:pi/100:2*pi; y=sin(xpppppnnnn); plot(x,y) (5) hold on, plot(y,x) (6) t=0:pi/100:pi/2; x=sin(t); plot(t,x), y=sin(x); hold on, plot(t,y), z=sin(y); plot(t,z), u=sin(z); plot(t,u), v=sin(u); plot(t,v) (7) hold off, plot(t,x,t,y,t,z,t,u,t,v) (8) a=sin(t+.25); b=sin(t+.5); plot(x,a,’r-’,x,b,’g--’) Argumenti naredbe plot mogu da budu i matrice, pri ˇcemu se crtaju odgovaraju´ ce kolone

matrica. (9) w=[x;y;z;u;v]’; plot(t,w) (10) a=rand(10); plot(a), plot(a(:,1)), plot(a(1,:)) (11) b=rand(10); plot(a,b) (12) plot(eig(rand(10)),’o’) (13) t=1:.02:1; A=(1:10)’*pi*t; plot(t,sin(A)) Ako je z vektor kompleksnih brojeva, onda je plot(z) isto ˇsto i plot(real(z),imag(z)) .

(14) t=0:pi/8:2*pi; z=exp(i*t); plot(z), axis(’square’) (15) t=0:pi/50:2*pi; z=exp(i*t); plot(z), axis(’square’)


20

20/78

5/13/2018


- se lako crtaju naredbom plot. Grafici parametarski datih funkcija takode (16) t=-1:0.01:1; x=t.2; y=t.3; plot(x,y) (17) t=0:0.001:2*pi; x=cos(2*t); y=sin(t); plot(x,y)

Naredba subplot Naredbom subplot moˇ zemo ekran podeliti na m × n delova i u svakom od njih prikazati

neki grafik. (1) subplot(2,1,1), plot(u), subplot(2,1,1), plot(v) (2) subplot(1,2,1), plot(u), subplot(1,2,1), plot(v) (3) t=0:.01:2*pi; y=[sin(t)’; sin(2*t)’; sin(3*t)’; sin(4*t)’] subplot(2,2,1), plot(y(:,1), subplot(2,2,2), plot(:,2), subplot(2,2,3), plot(y(:,3), subplot(2,2,4), plot(:,4)

Naredba fplot Naredbom fplot crta se grafik simboliˇcki date funkcije.

(1) f=’sin(x)’; fplot(f,[0 2*pi]) (2) fplot(’sin(cos(t))’,[0 2*pi]), grid (3) [u,v]=fplot(’cos(sin(x))’,[0 2*pi]); plot(u,v), plot(v,u)

Naredba polar Naredbom polar(phi, r) crta se funkcija zadata u polarnom koordinatnom sistemu sa

r = r(φ). (1) phi=0:.01:2*pi; r=1+cos(phi); polar(phi,r) (2) phi=0:.01:2*pi; r=sin(4*phi); polar(phi,r) (3) phi=0:.01:6*pi; r=phi; polar(phi,r)

Naredbe for, while i if Naredba for realizuje petlju, odnosno ponavljanje dela programa.

(1) for i=1:10, x(i)=i3; end; x (2) x=[]; for i=1:10, x=[x,i3]; end; x


21

21/78

5/13/2018


(3) for i=10:-2:0, x(i)=i; end; x (4) for i=1:6 for j=1:4, x(i,j)=(-1)(i+j); end end x Naredba while ˇ ciji je opˇsti oblik

while relacija naredbe end

realizuje petlju koja se izvrˇsava sve dok je taˇcna navedena relacija. Znaˇcenja relacijskih simbola <, >, <=, >=, ==, ∼= i logiˇckih operacija &, | i ∼ videti pomoću help naredbe. 1 1 1 (5) Neka je an = + + · · · + . Reˇsenje nejednaˇcine an < 0.8 (po n) moˇze da se 2 3 n dobije naredbama: s=0; n=1; while s<0.8 n=n+1; s=s+1/n; end; n Naredba if ˇ ciji je oblik

if relacija naredbe end

realizuje deo programa naredbe ako je taˇcna navedena relacija. Zadavanje viˇse uslova postiˇze se naredbama if i elseif, odnosno else.

M - fajlovi Niz MATLAB naredbi moˇ ze da se ˇcuva u fajlu sa datim imenom i estenzijom .m - to su script fajlovi. Sam fa jl sa naredbama moˇ ze da se kreira u bilo kom editoru, a izvrˇsava se u MATLAB-u navodenjem imena fajla.

(1) Kreirati fajl fibbr.m koji sadrˇ zi naredbe za odredivanje i crtanje Fibonaˇcijevih brojeva manjih od 1000. Na primer: fb=[1 1]; i=1; while fb(i)+fb(i+1)<1000


22

22/78

5/13/2018


fb(i+2)=fb(i)+fb(i+1); i=i+1; end size(fb), fb(size(fb)), plot(fb)

Ovaj program izvrˇsava se naredbom fibbr. Posebna vrsta m - fajlova su funkcijski fajlovi u kojima se definiˇsu nove funkcije sa ulaznim i izlaznim parametrima. Prva naredba je obavezno function. (1) Kreirati fajl f1.m u kojem se definiˇse funkcija f : x → e−x + sinx. Na primer: %---- f1.m ----% function y=f1(x) y=exp(-x)+sin(x);

pa naredbom >> f1(pi/2) izraˇcunati vrednost funkcije za x = π/2. (2) Ako u fajlu slucmat.m imamo naredbe % ----- slucmat.m -----% function x=slucmat(m,n) x=floor(10*rand(m,n));

onda naredbom >> A=slucmat(5,10) dobijamo matricu A dimenzija 5 × 10 ˇciji su elementi sluˇ cajni brojevi od 0 do 9. (3) Crtanje fraktala (o fraktalima moˇzete pogledati na www.fractals.com .) % ------ fraktali.m -----% % --- Crtanje fraktala --% function fraktali(n) % x=[1 3 2 1]; y=[1 1 1+sqrt(3) 1]; xp=1; yp=1; hold on; axis(’equal’); axis(’off’); plot(x,y) for i=1:n d=round(rand*6+1); if (d == 1| d==2) xp=(xp+x(1))/2; yp=(yp+y(1))/2; elseif (d ==3 | d ==4) xp=(xp+x(2))/2; yp=(yp+y(2))/2; elseif (d==5 | d==6) xp=(xp+x(3))/2; yp=(yp+y(3))/2; end; plot(xp,yp,’r.’); end


23

23/78

5/13/2018


Probajte >> fraktali(3), fraktali(10), fraktali(100) Zadaci.

1. Upoznati naredbe title, xlabel, ylabel, text, gtext i upotrebiti ih na graq

fiku funkcije f : x → p · sin (bx + c) za x ∈ [0, 5 + a/10].

2. Formirati funkcijski fajl za generisanje matrice reda m × n ˇciji su elementi sluˇcajni brojevi iz intervala [min{b,c,p,q}, max{b,c,p,q}].

3. Koristeći naredbe for n=[3 4 5 6 8 10 12 18 30] k=k+1; subplot(3,3,k)

nacrtati pravilne mnogouglove sa 3,4,5,6,8,10,12,18 i 30 stranica.


24

24/78

5/13/2018


ˇ 4. DIFERENCIJALNI RACUN Izvodi Izvod reda n funkcije f : R R dobija se naredbom diff(f,n). Za bolji zapis mogu da se koriste i naredbe pretty i simple. ˇ →

(1) f=’sin(x2)’; g=diff(f), h=diff(f,2), v=diff(g), h-v (2) f=’x5’; f1=diff(f), f2=diff(f,2), f3=diff(f,3), f4=diff(f,4), f5=diff(f,5), f6=diff(f,6) (3) f=’atan((1-x)/(1+x))’; g=diff(f), h=diff(g), f2=simple(h), pretty(f2) (4) f=’ax’; g=diff(f,100), (5) f=’log(x)’; g=diff(f,10) Parcijalni izvodi funkcije f : R2 R dobijaju se naredbom jacobian(f,[x y]) ili naredbama fx=diff(f,’x’) i fy=diff(f,’y’), gde su x i y nezavisne promenljive. →

(6) f=’x2*y3’; fx=diff(f,’x’), fy=diff(f,’y’) (7) syms x y; jacobian(f,[x y]) (8) f=atan((x+y)/(1+x*y)); g=log(sqrt(x2+y2)); a=jacobian(f), b=jacobian(g)

Tejlorova formula Tejlorov polinom petog reda koji aproksimira funkciju f u okolini taˇcke x = a dobija se naredbom taylor(f,a), a polinom reda n dobija se naredbom taylor(f,n,a) .

(1) f=sin(x); taylor(f), p9=taylor(f,9), p=taylor(f,pi/2), simple(p), taylor(f,7,pi/2) (2) f=sin(x2); taylor(f), taylor(f,11), p=taylor(f,21), pretty(p) (3) f=sin(sin(x)); p=taylor(f,20), pretty(p)

Ispitivanje funkcija Naredbama diff, solve, fmin, ezplot mogu da se odrede izvodi date funkcije, nule

funkcije i njenih izvoda, minimum funkcije, i da se nacrtaju grafici funkcije i njenih izvoda. http://slide pdf.c om/re a de r/full/ma te ma tika -i-ma tla b2003

25

25/78

5/13/2018


Za funkciju f : x

→

x2 log(x) imamo:

f=’x2*log(x)’; ezplot(f), hold on, g=diff(f), ezplot(g), a=solve(g), a=numeric(a), plot(a,0,’ro’), b=fmin(f,0,10), h=diff(g), ezplot(h), c=solve(h), c=numeric(c), plot(c,0,’r*’), hold off, ezplot(f,[0,1]), hold on, fa=a2*log(a); fc=c2*log(c); plot(a,fa,’y*’,c,fc,’g*’)

Lagranˇ zova teorema K oriˇsćenjem naredbipo koje smozadodiferencijabilnu sada upoznali moˇ zemo da damo geometrijsku ilustraciju Lagranˇ zove teoreme kojoj funkciju f na intervalu [a, b] posto ji taˇcka

c0 takva da je f (c0 ) = 

f (b) b

− −

f (a) . a

% ----- LagranzovaTeorema.m ---% %------ Data funkcija i interval [0.1,2.1] f=’sin(x)’; %------ Nalazenje tacke c0 k=(sin(2.1)-sin(0.1))/(2.1-0.1); df=diff(f); solve(’cos(x)=0.382’,’x’); c0=1.179; x=c0; y0=eval(f); %------ Priprema za crtanje x1=0.1; x=x1; y1=eval(f); x2=2.1; x=x2; y2=eval(f); a=0; b=2.2; c=0; d=1.4; F=’sin(X)’; h=(b-a)/100; X=a:h:b; Y=eval(F); %------ Crtanje plot([a b], [0 0], ’b’,[0 0], [c d],’b’); axis([a b c d]); axis(axis); hold on; title(’f‘(c)=k’); plot(X,Y,’-b’); plot([x1 x2],[y1 y2],’or’); plot([x1 x2],[y1 y2],’-r’); plot(c0,y0,’or’);


26

26/78

5/13/2018


plot([x1 x2],[y0-(c0-x1)*k y0+(x2-c0)*k],’-r’); plot(c0,0,’or’); plot([c0 c0],[0 y0],’--r’); xlabel(’x’); ylabel(’y’); grid;

Zadaci 1. Odrediti prvi izvod funkcije f ako je (1) f (x) = ln

 (x

1)3 , x+1 −

(2) f (x) = xtan x ,

(3) f (x) = xx . x

2. Odrediti deseti izvod funkcije f ako je (1) f (x) = xne

−x

,

(2) f (x) = sin( px + q),

(3) f (x) = sin2 x.

3. Odrediti parcijalne izvode funkcije f ako je (1) f (x, y) =


 x x+ y , 2

2

(2) f (x, y) = arctan

27

 1 +xyx + y . 2

2

27/78

5/13/2018


4. Odrediti Tejlorov polinom reda 6 koji aproksimira funkciju (1) f : x

→

e2x

2

−x

,

(2) f : x

→

esinx ,

(3) f : x

→

ln(cosx)

u okolini taˇcke x = 0.

5. Nacrtati grafike funkcije f : x (cosx)sin x i Tejlorovih polinoma T 3 (x), T 6 (x) i T 7 (x) koji aproksimiraju funkciju f u okolini taˇcke x = 0. →

6. Odrediti Tejlorov polinom reda 10 koji aproksimira funkciju f : x taˇcke x = 1.


28

→

x2 ln x u okolini

28/78

5/13/2018


7. Odrediti taˇcke ekstremuma, taˇ cke prevoja i nacrtati grafike date funkcije i njena prva dva izvoda. (1) f (x) = p x + x3 ·

−

arcsinx,

(2) f (x) = psinbx + qcoscx.

8. Geometrijski ilustrovati Lagranˇ zovu teoremu za funkciju f : x [0, p].


29

→

x3 /q na intevalu

29/78

5/13/2018


ˇ 5. INTEGRALNI RACUN Neodredeni integrali Neodredeni integral funkcije f : R

dobija se naredbom int(f) ili int(f,’x’). Za bolji zapis mogu da se koriste i naredbe pretty i simple. Na primer, integrale √ x2 − x + 2 x+1 ax + b dx, x ln dx, arctan xdx, sin10 xdx, dx 4 2 x x − 5x + 4 cx + d dobijamo sledećim naredbama:



(1) (2) (3) (4) (5)

→R









syms x; f=(x2-x+2)/(x4-5*x2+4); int(f), pretty(ans) g=x*log((x+1)/x); h=atan(sqrt(x)); f=[g;h]; a=int(f), pretty(a(1)) syms x y; f=xy; A=int(f), B=int(f,’x’), C=int(f,’y’) f=sin(x)10; g=int(f), pretty(g), ezplot(g), ezplot(f) syms a b c d; f=(a*x+b)/(c*x+d); g=int(f), pretty(g)

Odredeni integrali b a

 f (x)dx. Na primer, integrale    x 

Naredbom int(f,a,b) dobija se 1



x2 + 3x dx, (x +1)(x2 + 1) 0 0 dobijamo sledećim naredbama: (1) (2) (3) (4)

π/ 4

π/2

3

3

cos xdx,

arcsin

0

1+x

dx,

tet sintdt

0

syms x; f=(x2+3*x)/((x+1)*(x2+1)); int(f,0,1) f=cos(x)3; I=int(f,0,pi/4), numeric(I) h=sqrt(x/(1+x)); g=asin(h); a=0; b=1; A=int(g,a,b), numeric(A) syms t; a=int(t*exp(t)*sin(t),0,pi/2), b=numeric(a)

Nesvojstveni integrali Naredba za nesvojstvene integrale ista je kao i za odredene, a oznaka za

∞ je inf.

(1) syms x; f=1/(1+x2); int(f,-inf,inf) (2) f=1/sqrt(x); g=1/(sqrt(x)*log(x)); a=int(f,0,1), b=int(g,0,1/2), nu meric(b)

Duˇ zina luka date krive b

Ako je y = f (x) za x

∈ [a, b], onda je

l=

 

1 + y (x)dx, ako je x = x(t) i y = y(t) 2

a

t2

  za t ∈ [t , t ], onda je l = x (t) + y (t)dt, a ako je r = r(ϕ) za ϕ ∈ [α, β ] , onda je 2

1



2

2



t1


30

30/78

5/13/2018


β

l=

 

r2 (ϕ) + r (ϕ)dϕ. Na primer, ako je 2

α

(1) y = ln(x2 −1), x ∈ [2, 5],

(2) y = x2 , x ∈ [0, a],

(3) x = et sin t, y = et cost, t ∈ [0, π/2],

onda se duˇzina odgovarajućeg luka dobija sledećim naredbama: (1) syms x; f=log(x2-1); g=sqrt(1+diff(f)2); l=int(g,2,5) (2) syms a; f=x2; l=int(sqrt(1+diff(f)2),0,a), pretty(l), ezplot(l,[0,5]) (3) syms t; x=exp(t)*sin(t); y=exp(t)*cos(t); f=sqrt(diff(x)2+diff(y)2; pretty(f), l=int(f,0,pi/2), numeric(l)

Zadaci 1. Izraˇcunati



 x + 4x + 11x + 12x + 8  4

dx , 3 x +1

3

2

(x + 2x + 3) (x + 1) 2

2

2. Za realne parametre a, b i c izraˇcunati ax + b sin(ax) cos(bx) sin(cx)dx, dx, 2 x +x+1





3. Izraˇcunati

1+x

2

0




dx,



x e dx,

2π

sinxsin2xsin 3xdx,

0

 0

31



dx . (1 + x2 )10

eax sin(bx) cos(cx)dx.

π/ 2

1

 ln(1 + x)

dx,

x

50

dx . sin x + cos4 x 4

31/78

5/13/2018


4. Izraˇcunati prvih deset ˇclanova nizova (an ) i (bn ) ako je π/2

1

an =



xn arcsinxdx,

bn =

0



xn cosxdx.

0

5. Izraˇcunati ∞

 0

arctanx dx, (1 + x)2

∞





3 ∞ x4 ln x 3 dx, (x + 1) 0

1

√dx , x x−1

∞



−∞

dx . 2x − 5x + 7 2

6. Izraˇcunati duˇzinu luka datog sa

 x

(1) y = x

1−x

, x ∈ [0, 5/6],

(2) r = sin3 (ϕ/3), ϕ ∈ [0, 3π],

(3) x = t − sint, y = 1 − cost, t ∈ [0, 2π].


32

32/78

5/13/2018


ˇ ˇ 6. RESAVANJE JEDNACINA

Veˇ zba 1

Primenom programskog paketa MATLAB izolovati korene jednaˇcine ln x = cosx grafiˇckom metodom. (1) Najpre nacrtati funkcije f : x

→

ln x i g : x

→

cosx.

[x1,y1]=fplot(’log(x)’,[0.1,10]); [x2,y2]=fplot(’cos(x)’,[0.1,10]); plot(x1,y1,’r’,x2,y2,’b’),grid

(2) Nacrtati funkciju h : x jednaˇcine

→

ln x

−

cosx i suˇ zavati interval u kome se nalazi koren date

fplot(’log(x)-cos(x)’,[1,3]),grid fplot(’log(x)-cos(x)’,[1.2,1.4]),grid ................. Veˇ zba 2

Koristeći naredbu fzero reˇsiti jednaˇcinu iz prethodne veˇzbe. (1) Koristiti dobijene intervale [a, b] iz veˇzbe 1. fzero(’log(x)-cos(x)’,[a,b])

(2) Zaˇsto program ne moˇze da reˇsi jednaˇcinu ako je [a, b] = [3, 4] ? (3) Reˇsiti jednaˇcinu koristeći samo poˇcetnu vrednost x0 fzero(’log(x)-cos(x)’,x 0 )

pri ˇcemu za x0 uzeti vrednosti: 0.6, 0.7, 1, 5, 13, 14,... (4) Pratiti iteracije naredbom fzero(’log(x)-cos(x)’,[a,b],[],1) Veˇ zba 3

Neka je funkcija h (iz veˇ zbe 1) definisana u function fajlu h.m % ------ h.m -----function y=h(x) y=log x-cos x;

Kreirati function fajl metpolin.m za reˇsavanje jednaˇcine h(x) = 0 metodom polovljenja intervala sa taˇcnoˇsću 1000eps. Ulazni parametri neka budu funkcija h i poˇcetna vrednost x0, a izlazni parametar reˇsenje date jednaˇcine. Na primer: http://slide pdf.c om/re a de r/full/ma te ma tika -i-ma tla b2003

33

33/78

5/13/2018


% ---- mrtpolin.m ------% function x=metpolint(fun,x0) % if x0˜=0, dx=x0/20; else, dx=1/20; end a=x0-dx; b=x0+dx; fa=feval(fun,a); fb=feval(fun,b); % ------- Promena znaka while (fa>0) == (fb>0) dx=2*dx; a=x0-dx; fa=feval(fun,a); if(fa>0) ˜= (fb>0), break, end b=x0+dx; fb=feval(fun,b); end %-------- Glavna petlja while abs(b-a) > 1000*eps c=a+0.5*(b-a); fc=feval(fun,c); if (fb>0) == (fc>0) b=c; fb=fc; else a=c; fa=fc; end end x=b

Naredbom >> metpolin(’h’,x0), za razliˇcite poˇcetne vrednosti x0 , dobijamo reˇsenje date jednaˇcine.

Zadaci

1. Grafiˇckom metodom locirati korene, a zatim reˇsiti datu jednaˇcinu. 1) x3

−

ax + 1 = 0,


2) ln x

34

−

x + a = 0.

34/78

5/13/2018


2. Isprobati naredbu solve za reˇsavanje jednaˇcina iz prethodnog zadatka.

3.cinu. Isprobati naredbu roots za nalaˇzenje nula polinoma i pomoću nje reˇsiti prvu jednaˇ

4. Naredbom line oznaˇciti na grafiku taˇ cku u kojoj je nula funkcije (videti primer u zerodemo).

5. Metodom polovljenja intervala reˇsiti jednaˇcinu (1) x = b + c,

(2) x

x

x

x

= p + q.

6. Modifikovati metodu polovljenja intervala u metodu suˇzavanja intervala, pri ˇcemu se za novu taˇcku (umesto srediˇsta datog intervala) uzima sluˇcajna taˇcka tog intervala.


35

35/78

5/13/2018


7. METODA ITERACIJE

Veˇ zba

Kreirati m - fajl, na primer mit.m, sa MATLAB naredbama za reˇsavanje date jednaˇcine iterativnom metodom. Ako je data jednaˇcina oblika x = g(x) i ako je funkcija g definisana u m - fajlu fung.m, sadrˇzaj fajla mit.m moˇze da izgleda ovako: % ---- mit.m -------% x0=input(’Uneti x0: ’); e=input(’uneti tacnost e: n=0; [x1,gp]=fung(x0); if abs(gp)>1

’);

error(’Nije dobra pocetna vrednost’) end while abs(x1-x0)>e n=n+1; x0=x1; [x1,gp]=fung(x0); end disp([’Resenje je x=’,num2str(x1)]) disp([’Broj iteracija: ’,int2str(n)])

Na primer, jednaˇcina 4x

−

5 = 5 ln x

ima jedno reˇsenje na intervalu (0.5, 2], a drugo na intervalu [2, + ). napiˇsemo u obliku x = 1.25(1 + ln x), ∞

Ako jednaˇcinu

onda je g(x) = 1.25(1 + ln(x),

g = 1.25/x, 

pa su uslovi konvergencije ispunjeni za x > 1.25, ˇsto znaˇci da metodom iteracije moˇzemo dobiti drugo reˇsenje. U fajl fung.m treba uneti % ----- fung.m -------% function [g,izvodg]=fung(x) g=1.25*(1+log(x)); izvodg=1.25/x;

Za prvo reˇsenje treba jednaˇcinu napisati u obliku x = e0 8 .

x−1

,

a u fajl fung.m treba uneti


36

36/78

5/13/2018


% ----- fung.m -------% function [g,izvodg]=fung(x) g=exp(0.8*x-1); izvodg=0.8*g;

 U komandnu liniju treba uneti >> mit i otkucati Enter. Za razliˇcite poˇcetne vrednosti x0 i razliˇcitu taˇcnost e pratiti broj potrebnih iteracija. Zadaci

1. Grafiˇckom metodom izolovati reˇsenja, a zatim metodom iteracije reˇsiti jednaˇcinu 1) 2 arctanx = x + a

2) e = x2 + a. x


37

37/78

5/13/2018


2. Metodom iteracije reˇsiti datu jednaˇcinu sa taˇcnoˇsću (1) 10 5 , (2) 10 grafik vrednosti dobijenih iteracijama. −

1) cosx = 3x

−

a

2) ln x + (x

3) tg x = (2a + 1)x

4) (x

−

−

8

−

i nacrtati

a)3 = 0

a)2 = e

−x

.

3. Umesto mit.m kreirati function fajl sa naredbom function [x,xn,gr]= miter(g,x0,e,n),

gde je x0 poˇcetna vrednost, e zadata taˇcnost, n maksimalni broj iteracija, x pribliˇzno reˇsenje, x vektor vrednosti dobijenih iteracijama, a gr procenjena greˇska pribliˇznog reˇsenja. n


38

38/78

5/13/2018


ˇ 8. JEDNACINE - OBNAVLJANJE

Veˇ zba 1

Kreirati m - fajl, kvkoren.m, sa MATLAB naredbama za izraˇcunavanje kvadratnog korena realnog broja x Njutnovom metodom. Na primer, sadrˇzaj fajla kvkoren.m moˇze da izgleda ovako: % ----- kvkoren.m -------% Kvadratni koren broja x (Njutnova metoda) % function y=kvkoren(x) if x<0 error(’x je negativan broj!’); end x0=x/2; for i=1:100 y=(x0+x/x0)/2; if abs(y-x0)
Koristeći kvkoren i naredbu for izraˇcunati kvadratne korene prirodnih brojeva manjih od 100. Veˇ zba 2

Za grafiˇcki prikaz iteracija xn = g(xn−1) na intervalu [a, b] (i u sluˇ caju konvergencije i u sluˇcaju divergencije) moˇze da se koristi function fajl miter.m ˇciji je sadrˇzaj sledeći: % ---- miter.m -------% function [x1,gr]=miter(g,x0,epsilon,nmax,a,b) % h=(b-a)/100; X=a:h:b; Y=feval(g,X); x(1)=x0; gr=1; x1=x0; for i=1:nmax x1=feval(g,x0); gr=abs(x1-x0); if(gr

39

39/78

5/13/2018


ay(k1)=x(i); ay(k2)=x(i+1); end ay(1)=0; y0=zeros(1,nmax); plot([a b],[0 0],’b’,[0 0],[a b],’b’); axis([a b a b]); axis(axis); hold on; plot([a b],[a b],’-g’,X,Y,’-g’,ax,ay,’-r’,x,y0,’or’); title(’Metoda iteracije za jednaˇ cinu x=g(x)’); grid; hold off;

x2 , izraˇcunati kvadratni koren broja y i za razliˇcite y poˇcetne vrednosti x0 nacrtati tok iterativnog procesa. Koristeći miter i funkciju g(x) = 1+x

−

Zadaci

1. Kreirati function fajl u kojem se raˇ cuna n - ti koren broja x, gde je n prirodan broj ve´ ci od 1 (ulazni parametri neka budu n i x), a zatim izraˇcunati b + c - ti koren broja a + p + q.

2. Iterativnom metodom reˇsiti jednaˇcine: (1) x = (b + c)e−x


(2) x3

40

−

x2

−

x

−

b=0

40/78

5/13/2018


(3) (x + p)2 + qsinx = 0

3. Njutnovom metodom reˇsiti jednaˇcine: (1) x3

−

x

−

b=0

(2) x4 + 2x3 + 7x2

−

c=0

4. Numeriˇcki i analitiˇcki reˇsiti jednaˇcinu x4


41

−

x p = 0. −

41/78

5/13/2018


5. Odrediti dva reˇsenja jednaˇcine e−bx = sincx.

6. Reˇsiti jednaˇcinu e−x/b + sin(x/c) = 0 na intervalu [0, 20].

7. Odrediti sva reˇsenja jednaˇcine 288x5

−

720x4 +694x3

−

321x2 + 71x

8. Odrediti lokalne ekstremume funkcije f : x


42

→

−

6 = 0.

qx + plnx

−

x3 .

42/78

5/13/2018


9. LINEARNI SISTEMI - I

Veˇ zba 1

Kreirati fajl CramerovoPravilo.m ˇciji je sadrˇza j: % ---- CramerovoPravilo.m -----------% Resavanje sistema AX=B Cramerovim pravilom % function X=CramerovoPravilo(A,B) [m,n]=size(A); if m ˜= n, error(’Matrica nije kvadratna’), end if det(A) == 0, error(’Matrica je singularna’), end for j = 1:n, C=A; C(:,j) = B; X(j)=det(C)/det(A); end X=X’;

i testirati sistemom reda 100 ˇcije su matrice sluˇcajne.

Veˇ zba 2

Kreirati fajl GaussJordanovaMetoda.m ˇciji je sadrˇza j: % ---- GaussJordanovaMetoda.m -----------% Resavanje linearnog sistema Gauss Jordan - ovom metodom % function X=GaussJordanovaMetoda(A,B) [n n]=size(A); A=[A’;B’]’; X=zeros(n,1); for i=1:n, for j=[1:i-1,i+1:n], if A(i,i) == 0, break, end m = A(j,i)/A(i,i); A(j,:)=A(j,:)- m*A(i,:); end end X=A(:,n+1)./diag(A)

i testirati nekim sistemom reda 500. http://slide pdf.c om/re a de r/full/ma te ma tika -i-ma tla b2003

43

43/78

5/13/2018


Veˇ zba 3

Naredbama syms A B m; A=[m X=A\B 1 1; 1 m 1; 1 1 m]; B=[1; m; m*m];

reˇsiti sistem (za m  ∈ {− 2, 1}) mx + y + z = 1,

x + my + z = m,

x + y + mz = m2

Zadaci

1. Matrica B i kolone matrice A sistema AX = B su sluˇ cajne permutacije brojeva 1, 2, . . . , 10 (videti naredbu randperm). Reˇsiti ovaj sistem

(1) matriˇcnom metodom,

(2) Cramerovim pravilom,

(3) Gauss Jordanovom metodom,


44

44/78

5/13/2018


2. Reˇsiti sistem mx + ny + z = 1,

x + ny + mz = 1,

x + mny + z = n

za m  ∈ {−2, 1} i n  = 0.

3. Reˇsiti sistem (najpre odrediti rang matrice sistema i odabrati slobodne promenljive) (1) 3x − 2y + 5z + 4u = 2,

(2) 3x − y + 4z + 4u − v = 0,


6x − 4y + 4z + 3u = 3,

9x − 6y + 3z + 2u = 4,

6x − 2y + 2z + 5u + 7v = 0,

45

9x − 3y + 4z + 8u + 9v = 0.

45/78

5/13/2018


10. LINEARNI SISTEMI - II

Veˇ zba 1

Dat je sistem 1.02x − 0.05y − 0.10z =0.795 −0.11x + 1.03y − 0.05z =0.849 −0.11x − 0.12y + 1.04z =1.398 Napisati sistem u matriˇcnoj formi AX = B , a zatim MATLAB naredbom A=[1.02 -0.05 -0.1; -0.11 1.03 -0.05; -0.11 -0.12 1.04]

uneti matricu A i naredbama norm(A),

norm(A,1),

norm(A,inf) ,

norm(A,’fro’)

odrediti norme matrice A. Uneti, zatim, matricu B i reˇsiti sistem naredbom X=A\B, a zatim naredbom A*X-B proveriti dobijeno reˇsenje. Veˇ zba 2

Napisati sistem u obliku X = CX + D,

gde je C = I − A i D = B . Matrice C i D mogu da se dobiju naredbama C=eye(size(A))-A , D=B.

Izraˇcunati norme matrice C , a zatim kreirati m - fajl, na primer linsis.m za reˇsavanje sistema iterativnom metodom. Ako su matrice C i D unete, sadrˇzaj tog fajla moˇze da izgleda ovako: % ------- linsis.m -----% Sistem linearnih jednacina X=CX+D - prosta iteracija % disp(’Matrice sistema ’), C, D if(norm(C)>=1) error(’Norma matrice C nije manja od 1’), end X0=input(’Uneti X0: ’); e=input(’Uneti tacnost e: ’); n=0; X=C*X0+D; while norm(X-X0)>e n=n+1; X0=X; X=C*X0+D; end disp(’Resenje je:’) ,X disp(’Broj iteracija: ’),n


46

46/78

5/13/2018


Naredbom linsis, za razliˇcite vrednosti X0 i e, pratiti broj potrebnih iteracija. Veˇ zba 3

Napisati sistem u Jakobijevom obliku

 1  x =− a a i−1

i

ii

n

i,j xj

+

j =1



j =i+1

ai,j xj

 −b . i

Ako je X = CX + D,

onda Jakobijeva matrica C i matrica D mogu da se dobiju naredbama: E=zeros(size(A)); for i=1:size(A); E(i,i)=1/A(i,i); end A1=E*A; C=eye(size(A))-A1, D=E*B Zadaci

1. Matriˇcnom metodom reˇsiti dati sistem: qx − 1.8y + 3.6z = −1.7

(1) 3.1x + 2.3y − 1.2z = 3.6 1.8x + 2.5y + 4.6z = 2.2

2 px + 1.2y + 2.1z + 0.9u = − 7 1.2x + 11.2y + 1.5z + 2.5u =5.3 (2) 2.1x + 1.5y + 9.8z + 1.3u =10.3 0.9x + 2.5y + 1.3z + 12.1u =24.6 http://slide pdf.c om/re a de r/full/ma te ma tika -i-ma tla b2003

47

47/78

5/13/2018


2. Ispitati da li prethodni sistemi mogu da se reˇ se Jakobijevom metodom.

3. Ispitati da li prethodni sistemi mogu da se reˇse izborom matrica C i D kao u linsis.m.

4. Generisati linearni sistem reda 50 sa sluˇ cajnim koeficijentima i ispitati da li moˇze da se reˇsi (1) matriˇcnom, (2) iterativnom metodom.


48

48/78

5/13/2018


11. NELINEARNI SISTEMI - I

Veˇ zba 1

Dat je sistem x3 + y 3 − 6x + 3 =0 x3 − y 3 − 6y + 2 =0

MATLAB naredbama x=0:0.1:1; y=0:0.1:1; [x,y]=meshgrid(x,y); z=x. 3+y. 3-6*x+3; u=x. 3-y. 3-6*y+2; mesh(x,y,z),hold mesh(x,y,u)

nacrtati 3D grafike funkcija f : (x, y ) → x3 + y 3 − 6x + 3,

g : (x, y ) → x3 − y 3 − 6y + 2,

a zatim naredbama contour(x,y,z,[0. contour(x,y,u,[0.

0.]), hold, 0.])

odrediti njihov presek u ravni Oxy i na osnovu toga lokalizovati reˇsenje datog sistema. Umesto naredbe mesh probati i naredbe surf i surfl. Veˇ zba 2

Napisati dati sistem u obliku x = ϕ(x, y ), y = ψ(x, y ), gde je ϕ : (x, y ) →

x3 + y 3

6

+

1 2

ψ : (x, y ) →

x3 − y 3

6

1 + , 3

a zatim odrediti parcijalne izvode funkcija ϕ i ψ . Kreirati m -fajl, na primer fipsi.m, koji će za date vrednosti x i y da raˇcuna vrednosti funkcija ϕ i ψ i njihovih parcijalnih izvoda. % ------- fipsi.m -------% Vrednosti funkcija ϕ, ψ % i njihovih parcijalnih izvoda % function [fi,psi,fix,fiy,psix,psiy]=fipsi(x,y) fi=(x. 3+y. 3)/6+1/2; psi=(x. 3-y. 3)/6+1/3; fix=x. 2/2; fiy=y. 2/2; psix=x. 2/2; psiy=-y. 2/2;


49

49/78

5/13/2018


Veˇ zba 3

Kreirati m - fajl, na primer nelsis.m, sa MATLAB naredbama za reˇsavanje nelinearnog sistema od dve jednaˇcine sa dve nepoznate iterativnom metodom xn+1 = ϕ(xn , yn ),

yn+1 = ψ (xn , yn ),

gde su x0 i y0 poˇcetne vrednosti i gde se proverava uslov |ϕx | + |ϕy | < 1, 

|ψx | + |ψy | < 1.





% --------- nelsis.m ----------% x0=input(’Uneti pocetnu vrednost za x: y0=input(’Uneti pocetnu vrednost za y:



’); ’);

e=input(’Uneti tacnost e: ’); n=input(’Uneti maksimalni broj iteracija: ’); i=0; [x,y,fix,fiy,psix,psiy]=fipsi(x0,y0); if max(abs(fix)+abs(fiy),abs(psix)+abs(psiy))>1 error(’Nije dobar izbor funkcija fi i psi’), end while abs(x-x0)>e if i>n error(’Nije postignuta tacnost’), end i=i+1; x0=x; y0=y; [x,y,fix,fiy,psix,psiy]=fipsi(x0,y0); end disp(x),disp(y)

Naredbom nelsis, za razliˇcite vrednosti x0,y0 i e pratiti broj potrebnih iteracija. Zadaci

1. Modifikovati nelsis za iterativni algoritam tipa Zajdela xn+1 = ϕ(xn , yn ),

yn+1 = ψ (xn+1, yn )

i na primeru iz prethodnih veˇ zbi uporediti sa rezultatima dobijenim sa nelsis.


50

50/78

5/13/2018


2. Iterativnom metodom reˇsiti dati sistem (1)

(2)

sin(x − 0.6) − y + b =1.6

3x − cosy =0.9

2x2 − xy − (5 + c)x = −1 x + 3 ln x − y 2 = 0.


51

51/78

5/13/2018


12. NELINEARNI SISTEMI II

Veˇ zba

Sistem

x3 + y3 − 6x + 3 =0 x3 − y3 − 6y + 2 =0

reˇsiti metodom Njutn Kantoroviˇ ca u 5 iteracija i dobijene vrednosti za x i y u svakoj iteraciji nacrtati na istom dijagramu. Potrebno je formirati m - fajlove, na primer f.m, g.m i jacfg.m %--- function fajl f.m koji definise funkciju f % function z=f(x,y) z=x 3+y 3-6*x+3; %--- function fajl g.m koji definise funkciju g % function z=g(x,y) z=x 3-y 3-6*y+2; %--- function fajl jacfg.m koji definise jacobijan % function z=jacfg(x,y) z=[3*x 2-6 3*y 2; 3*x 2 -3*y 2-6];

u kojima se izraˇcunavaju vrednosti funkcija f i g , gde je g (x, y) = x3 − y 3 − 6y + 2,

f (x, y) = x3 + y3 − 6x + 3,

kao i matrica jacfg parcijalnih izvoda funkcija f i g . Zatim se kreira m - fajl, na primer njutnkantmetoda.m ,

gde se MATLAB naredbama realizuje algoritam metode Njutn Kantoroviˇ ca. % --------- njutnkantmetoda.m ----------% Metoda Njutn Kantoroviˇ c a za nelinearne sisteme % p0 = input(’Uneti pocetnu vrednost [x0;y0]= ’); x = p0(1); y = p0(2); disp(’br. it. x y f(x,y) g(x,y) ’) disp(’ ’) ff = f(x,y); gg = g(x,y); fprintf(’ %d %0.5f %0.5f %0.5f %0.5f’,0,x,y,ff,gg) plot([x], [y], ’*’) hold on


52

52/78

5/13/2018


pause for n = 1:5 p1 = jacfg(x,y)\(jacfg(x,y)*p0 - [f(x,y); g(x,y)]); x = p1(1); y = p1(2); ff = f(x,y); gg = g(x,y); fprintf(’ d %0.5f plot([x], % [y], ’*’) %0.5f %0.5f %0.5f’,n,x,y,ff,gg) p0=p1; if n < 5, pause, end end hold off Zadaci

1. Odrediti sva reˇsenja prethodnog sistema koriˇsćenjem naredbe solve.

2. Metodom Njutn Kantoroviˇca reˇsiti date sisteme (odrediti sva reˇsenja): (1)

x2 + y 2 − x =0 x2 − y 2 − y =0


53

53/78

5/13/2018


3x2 − y 2 =0 (2) 3xy2 − x3 − 1 =0

(3)

x + y3 − 5y2 − 2y =10 x + y3 + y2 − 14y =29

3. Napisati program za reˇ savanje sistema od tri jednaˇcine sa tri nepoznate metodom Njutn Kantoroviˇca, a zatim reˇsiti sistem x2 − x + y 2 + z 2 = 5,


x2 + y2 − y + z 2 = 4,

54

x2 + y 2 + z 2 = 6.

54/78

5/13/2018


13. INTERPOLACIJA

Veˇ zba 1

Polinom P (x), gde je n

n−1

P (x) = a0 x + a1 x n

+···+a

n−1

n

x+a , n

u MATLAB - u je predstavljen vektorom p koeficijenata a0 , a1 , . . . , a

n−1

,a , n

p=[a0 a1 . . . a ], n

a vrednost polinoma za x = a dobija se naredbom polyval(p,a) .

Koeficijenti interpolacionog polinoma mogu da se izraˇ cunaju iz sistema A · p = y , 

gde je A Vandermondova matrica, a y vektor (vrsta) datih podataka. U fajlu interppol.m definisan je function koji ima kao ulazne parametre vektore (vrste) x i y, a izlazni parametar je vektor p. % ------- interpol.m -------% function p=interppol(x,y) [m n]=size(x); A=zeros(n); x=x’; for j=1:n A(:,j)=x.(n-j); end p=A\y’; xx=x(1)-1:0.01:x(n)+1; px=polyval(p,xx); plot(x,y,’*’,xx,px), pause(1)

Ako funkcijom x → sinx generiˇsemo 10 taˇcaka, na primer, x=1:10; y=sin(x),

onda pozivom

p=intrppol(x,y)

dobijamo koeficijente interpolacionog polinoma, a na grafiku vidimo da polinom sadrˇzi date taˇ cke. Nacrtati na istom grafiku i funkciju x → sinx, a zatim na drugom grafiku razliku polinoma i funkcije x → sin. Postupak ponoviti sa manjim i većim brojem datih taˇcaka.


55

55/78

5/13/2018


Veˇ zba 2

U fajlu lagintpol.m programiran je Lagranˇ zov oblik interpolacionog polinoma. Ulazne veliˇcine su vektori podataka xz i yz i argument xt za koji se traˇ zi vrednost polinoma. Izlazne veliˇcine su: vrednost polinoma u xt, koeficijenti polinoma, kao i simboliˇ cki zapis samog polinoma. %------- lagintpol.m -------% function [px,polinom,pkoef]=lagintpol(xz,yz,xt) % % Lagranzov interpolacioni polinom i njegova vrednost za xt % px=0; syms x; n=length(xz); polinom=0; pkoef=0; for j=1:n p=1; q=1; ps=1; kor=[]; for i=1:n if i˜=j, p=p*(xt-xz(i)); q=q*(xz(j)-xz(i)); ps=ps*(x-xz(i)); kor=[kor xz(i)]; end end px=px+yz(j)*p/q; ps=expand(ps); polinom=polinom+yz(j)*ps/q; pkoef=pkoef+poly(kor)*yz(j)/q; end polinom=vpa(polinom,4); % xx=xz(1)-2:0.01:xz(n)+2; yy=polyval(pkoef,xx); plot(xz,yz,’*’,xx,yy), pause(1)

Primer iz prethodne veˇ zbe ponoviti sa lagintpol.

Zadaci

1. Generisati podatke (najmanje 10) datom funkcijom f , a zatim odrediti odgovarajući Lagranˇzov interpolacioni polinom. (1) f (x) = blnx


56

56/78

5/13/2018


(2) f (x) = c/(1 + x2 )

−x

(3) f (x) = pxe

− qe

x

2. Modifikovati lagintpol.m tako da se u Lagranˇzovom obliku polinoma ˇstampaju i polinomi L0 (x), L1 (x), . . . L (x). Rezultat prikazati na jednom od prethodnih primera. n


57

57/78

5/13/2018


14. APROKSIMACIJA

Veˇ zba 1

Ako je aproksimaciona funkcija f linearna, f (x) = ax + b,

onda metodom najmanjih kvadrata dobijamo sistem za nepoznate parametre a i b n

a



n

xi + (n + 1)b =

i=0

pa je

n

a=

i=0

n



yi ,

,

x=

a

i=0

(xi − x)(yi − y ) n



n

x2i + b

i=0

1

n

= i=0

i=0

n

y=

xi ,

xi yi ,

1

n

yi .

n n (x − x) x=0 i=0 Ovakva aproksimaciona funkcija naziva se linearnom regresijom. U fajlu linreg.m su naredbe za izraˇcunavanje parametara a i b za date vektore x i y .



i=0

i

 +1

2

 +1

% ----- linreg.m -----% function [a,b]=linreg(x,y) % % Linearna regresija % xmean=mean(x); ymean=mean(y); A=(y-ymean)*(x-xmean)’; B=(x-xmean)*(x-xmean)’; a=A/B; b=ymean-a*xmean; xt=min(x)-0.5:0.01:max(x)+0.5; yt=a*xt+b; plot(xt,yt,x,y,’*’)

Na primer, neka je x=1:10 i y=x+0.5*randn(size(x)) . Odrediti parametre linearne regresije. Veˇ zba 2

Sistem iz prethodne veˇzbe moˇze da se napiˇse i u obliku AT A[a b ]T = AT y,

gde je AT =



x0

x1

1

1

··· ···

xn

1



.

Ako je aproksimaciona funkcija f polinom stepena m, odnosno f (x) = a0 xm + a1 xm

1

−


58

+ · · · + am 1x + am , −

58/78

5/13/2018


onda metodom najmanjih kvadrata dobijamo sistem oblika AT Aa = AT y,

gde je

A

  =

xm 0 xm 1 ···

xm n

−

xm 0 xm 1

1 1

−

···

xm n

1

−

··· ··· ··· ···

x0 x1

1 1

···

· ··

xn

1

 

,

a = [a0 a1 . . . an ] , 

y = [y0 y1 . . . yn ] . 

Iz ovog sistema sledi da je a = (AT A)

1

−

AT y.

U fajlu polreg.m date su naredbe kojima se raˇ cuna a za date vektore x i y . % ------ polreg.m ------% function p=polreg(x,y,m) % % Polinomialna regresija % n=length(x); b=zeros(1:m+1); f=zeros(n,m+1); for k=1:m+1, f(:,k)=x’.(m+1-k); end, a=f’*f; b=f’*y’; p=a\b; xt=min(x)-0.5:0.01:max(x)+0.5; yt=polyval(p,xt); plot(xt,yt,x,y,’*’) Zadaci

1. Primer iz prve veˇzbe aproksimirati polinomima reda 1,2,3,...,10.


59

59/78

5/13/2018


2. Prouˇciti MATLAB maredbu polyfit i pomoću nje uraditi prethodne primere.

3. Prouˇciti MATLAB naredbu \ i uporediti rezultat dobijen sa polreg i sa n=length(x); A=zeros(n,m+1); for k=1:m+1, A(:,k)=x’.(m+1-k); end, p=A\y’

4. Ako je f (x) = a0 f 0 (x) + a1 f 1 (x) + · · · + an f n (x),

onda je A=[f0 (x) f0 (x) ...

fn (x)] i p=A\ y’.

Na primer, uzeti f (x) = a0 + a1x + a2 sin(x), i A=[ones(size(x’)) x’ sin(x’)].


60

60/78

5/13/2018


5. Prouˇciti MATLAB naredbu nlinfit za aproksimaciju nelinearnim funkcijama (po nepoznatim parametrima) i isprobati za: (1) f (x) = a1 ea x + a3 ea 2

(2) f (x) =

4

x

a1 + a2x + a3x2 . a4 + a5x + a6 x2


61

61/78

5/13/2018


ˇ 15. DIFERENCIJALNE JEDNACINE

Veˇ zba

Data je diferencijalna jednaˇcina prvog reda y = 1 + xsin(xy). 

Kreirati m - fajl, na primer difjed.m (tipa function fajla), gde će za date vrednosti x i y da se izraˇcunava vrednost y . 

% ------ difjed.m ----% function yp=difjed(x,y) yp=1+x*sin(x*y);

MATLAB naredbama [x,y]=ode23(’difjed’,[x0 x1], y0); plot(x,y)

za razliˇcite poˇcetne vrednosti y0 grafiˇcki prikazati reˇsenje date jednaˇcine na intervalu [x0,x1]. Zadaci

1. Numeriˇcki odrediti partikularno reˇsenje jednaˇcine y x = 2y + x3 ex , 

y(1) = 0

na intervalu [1, p] i grafiˇcki uporediti sa taˇcim reˇsenjem koje je dato funkcijom y : x


→

x2(ex

62

−

e).

62/78

5/13/2018


2. Reˇsiti numeriˇcki i analitiˇcki jednaˇcinu y = cosx sinx y, 

−

−

y(0) = q

i grafiˇcki uporediti dobijena reˇsenja na intervalu [0, 10].

3. Na istom grafiku prikazati bar 10 razliˇcitih partikularnih reˇsenja date jednaˇcine na intervalu [0,b/c + c/b]. (1) y = x3 

−

y 3,


63

63/78

5/13/2018


(2) y = xy + e y , 

(3) y = 

−

1 + y2

.

1 + x2

(4) y = 

y2 y + . x2 x


64

64/78

5/13/2018


4. Napisati MATLAB program za reˇsavanje diferencijalne jednaˇcine Ojlerovom metodom i testirati na prethodnim primerima, a zatim uporediti sa rezultatima dobijenim naredbom ode23.

5. Napisati MATLAB program za reˇsavanje diferencijalne jednaˇcine modifikovanom Ojlerovom metodom i metodom Runge Kuta i testirati na prethodnim primerima, a zatim uporediti sa rezultatima dobijenim naredbom ode45.


65

65/78

5/13/2018


ˇ 16. SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNACINA

Veˇ zba 1

Dat je sistem diferencijalnih jednaˇcina y = ycosx − zsinx 

z = ysinx + zcosx 

y (0) = 1, z (0) = 0.

,

Kreirati m - fajl, na primer sdj.m, sa function naredbom kojom će za date vrednosti x, y i z da se izraˇ cunavaju vrednosti izvoda y i z . 



% ----- sdj.m ---------% function yp=sdj(x,y) yp=zero(2,1); yp(1)=y(1)*cos(x)-y(2)*sin(x); yp(2)=y(1)*sin(x)+y(2)*cos(x);

a zatim naredbama [x,y]=ode23(’sdj’,[0 5], [1 0]); plot(x,y),pause plot(y(:,1),y(:,2))

grafiˇcki prikazati numeriˇcka reˇsenja datog sistema i zavisnost promenljivih y i z u faznoj ravni. Veˇ zba 2

Dat je sistem diferencijalnih jednaˇcina y = − 2y + 5u 

z = ysinx − y − z + 3u , 

y (0) = 2, z (0) = 1, u(0) = 1.

u = − y + 2u 

Kreirati m - fajl, na primer sdj3.m, sa function naredbom kojom će za date vrednosti x, 





y , z i u da se izraˇ cunavaju vrednosti izvoda y , z i u

% ------ sdj3.m ------% function yp=sdj3(x,y) yp=zeros(3,1); yp(1)=-2*y(1)+5*y(3); yp(2)=-(1-sin(x))*y(1)-y(2)+3*y(3); yp(3)=-y(1)+2*y(3);

a zatim naredbama http://slide pdf.c om/re a de r/full/ma te ma tika -i-ma tla b2003

66

66/78

5/13/2018


[x,y]=ode23(’sdj3’,[0 3],[2 1 1]); plot(x,y)

grafiˇcki prikazati numeriˇcka reˇsenja. Zadaci

1. Reˇsiti numeriˇcki dati sistem na intervalu [0, p] za razliˇcite poˇcetne vrednosti (1) y = xy + z,

z = y − z.

(2) y = x + z 2 ,

z = xy.









(3) y = u − xz + 1, 


z =x+ 

u , xy

u = 3( y 2 + z ). 

67

67/78

5/13/2018


2. Za nekoliko razliˇ citih poˇcetnih vrednosti prikazati u faznoj ravni zavisnost nepoznatih promenljivih datog sistema (1) y = 2y + z 2 − 1, 

2





z x



2

(2) y = 1 − y − z ,

(3) y = ,

z = 6y − z 2 + 1,



z = 2yz,

z = −xy. 


68

68/78

5/13/2018


17. RAZNI PROBLEMI

1.

Reˇsiti datu jednaˇcinu

(1) cx5 − bx3 + a = 0

(2) bx2 − a ln(x + 1) = c.

2.

Reˇsiti sistem AX = B ako je A = (ai,j ) i B = (bi ), pri ˇcemu je ai,j = sin(a ∗ i + p ∗ j),

3.

bi = cos(b ∗ q ∗ i),

i, j = 1, 2, 3, 4, 5.

Reˇsiti sistem x + y 2 + z3 = 3 p,


x2 + y3 + z = p,

69

x3 + y + z 2 = 3 p/2.

69/78

5/13/2018


Reˇsenja jednaˇcine me 2x − 3x = 0, za 100 vrednosti parametra m u intervalu [0, 10], nacrtati u zavisnosti od m. Isprobati sledeće naredbe: 4.

−

y=[]; x=[]; for m=0:0.1:10 f=fzero(’funkcija1’,[0 10],1e-10,[],m); y=[y f]; x=[x m]; end plot(x,y)

gde je % ------ funkcija1.m % function y=funkcija1(x,m) y=m*exp(-2*x)-3*x;

5.

Funkciju f : x → cx2 na [0, 1] aproksimirati funkcijom g : x → a1 + a2x + a3 sinx.

6.

Funkciju f : x → bsinx na [0, π] aproksimirati funkcijom g : x → a1 ea x + c3 ea x.


2

70

4

70/78

5/13/2018


7. Funkcijom x → a1 sin(a2 x) aproksimirati funkciju f ako je f (1) = 0.2, f (2) = 0.74, f (3) = 0.6), f (4) = 0.1, f (5) = −0.3, f (6) = −0.9, f (7) = −0.5, f (8) = −0.1

8.

Odrediti Lagranˇzov interpolacioni polinom koji sadrˇzi taˇcke (x,sinx), gde je x ∈ { 0, π/36, π/18, π/12, pi/9, 5π/36, π/6},

a zatim pomoću njega izraˇcunati vrednosti sinusa uglova od 1 do 30 sa korakom od 1 . ◦

◦

◦

Reˇsiti jednaˇcinu x3 − nx + p = 0 za n ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, a zatim odrediti Lagranˇ zov interpolacioni polinom koji sadrˇzi taˇcke (n, xn ), gde je xn najveće reˇsenje odgovarajuće jednaˇcine. 9.

10.

Objasniti rezultat sledećih naredbi: p=[1 -6 11 -6]; x=0:.25:4; y=polyval(p,x); z=y+rand(size(x)); q=polyfit(x,z,3); u=polyval(q,x); plot(x,u,x,y,x,z,’o’)


71

71/78

5/13/2018


Napisati MATLAB program koji odreduje Njutnov oblik interpolacionog polinoma i njegov rad prikazati na primerima koji su uradeni u temi 11. 11.

12.

Ojlerovom metodom reˇsiti jednaˇcinu y + (y2 − 1)y + y = 0 



na intervalu [0, p] za nekoliko razliˇcitih poˇcetnih uslova.


72

72/78

5/13/2018


ˇ CENI ´ ˇ M - FAJLOVI KORIS U VEZBAMA

CramerovoPravilo

reˇsavanje linearnog sistema

Fibbr

Fibonaˇcijevi brojevi

fractali

crtanje fraktala

GaussJordanovaMetoda

reˇsavanje linearnog sistema

interpol

interpolacija

kvkoren

kvadratni koren

LagranzovaTeorema

grafiˇ cki prikaz teoreme

Lagintpol

Lagranˇzov interpolacioni polinom

linsis linreg

reˇsavanje linearnog sistema linearna regresija

metpolint

metoda polovljenja intervala

mit

metoda iteracije

miter

metoda iteracije

nelsis

reˇ savanje nelinearnog sistema

NjutnKantmetoda

reˇ savanje nelinearnog sistema

polreg slucmat

polinomialna regresija sluˇcajna matrica

73 http://slide pdf.c om/re a de r/full/ma te ma tika -i-ma tla b2003

73/78

5/13/2018


ˇ CENIH ´ ˇ SPISAK NAREDBI KORIS U VEZBAMA

abs, 1. angle, 1. asin, 1. atan, 1. axis, 3. break, 6. collect, 1. conj, 1. contour, 11. cos, 1. demo, 1. det, 2. diff, 4. disp, 12. eig, 1. else, 3. elsif, 3. end, 3. eps, 6. eval, 4. exit, 1. exp, 1. expand, 1. eye, 1. ezplot, 4. factor, 1. floor, 3. fmin, 4. for, 3. format, 1. format long, 1. format long e, 1. format short, 1. format short e, 1. format rat, 1.


fplot, 3. fprintf, 12. function, 3. fzero, 6. grid, 3. gtext, 3. help, 1. hold off, 3. hold on, 3. if, 3. imag, 1. inf, 1. input, 7. inv, 1. jacobian, 4. length, 14. log, 1. log10, 1. magic, 1. max, 1. mean, 1. mesh, 11. meshgrid, 11. min, 1. nlinfit, 13. norm, 10. numeric, 4. ones, 1. pause, 12. pi, 1. plot, 3. plotdemo, 3.

74/78

5/13/2018


poly, 1. polyfit, 14. polyval, 13. pretty, 4. prod, 1. rand, 1. randn, 14. rank, 1. real, 1. round, 3. simple, 1. sin, 1. size, 1. solve, 4. sqrt, 1.


sqrtm, 1. subplot, 3. sum, 1. syms, 1. tan, 1. taylor, 4. text, 3. title, 3. vpa, 1. while, 3. xlabel, 1. ylabel, 3. zeros, 1.

75/78

5/13/2018


KRATAK OPIS NEKIH MATLAB NAREDBI

Naredbe opˇ ste namene help demo exit quit who what

pomoć demonstracija programa izlazak iz programa isto ˇsto i prethodna tekuće promenljive spisak m - fajlova

Matematiˇ cke funkcije abs sin

apsolutna vrednost sinus

cos tan asin acos atan exp log log10

cosinus tangens arcussinus arcuscosinus arcustangens eksponencijalna fukcija logaritamska funkcija sa osnovom e logaritamska funkcija sa osnovom 10

Polinomi poly roots polyval conv deconv polyfit

karakteristiˇcni polinom matrice nule polinoma vrednost polinoma proizvod dva polinoma koliˇcnik dva polinoma interpolacioni polinom

Matrice det inv

determinanta matrice inverzna matrica

rank norm diag eye magic zeros rand

rang matrice norma matrice dijagonalna matrica jediniˇcna matrica magiˇcna matrica nulta matrica sluˇcajna matrica


76/78

5/13/2018


Diferencijalne jednaˇ cine ode23 ode45 dsolve

metoda Runge Kuta drugog/trećeg reda metoda Runge Kuta ˇcetvrtog/petog reda analitiˇcko reˇsenje

2D grafika plot fplot subplot figure title text gtext axis

2D grafik 2D grafik podela grafiˇckog prozora prozor za crteˇz naslov crteˇza tekst na crteˇzu tekst pozicioniran miˇsem skaliranje osa

xlabel ylabel hold grid

x ose oznaˇ oznaˇccavanje avanje y ose zadrˇzavanje grafika na ekranu crtanje mreˇze

3D grafika meshgrid mesh surf surfl

domen za 3D crteˇz 3D crteˇz povrˇsi 3D crteˇz povrˇsi 3D crteˇz povrˇsi

surfc axis zlabel contour contour3 view

3D crteˇz povrˇ skaliranje osa si oznaˇcavanje z ose nivo linije 3D konture pogled iz izabrane taˇcke

Upravljanje tokom programa if elsif

uslovno izvrˇsavanje naredbi koristi se sa if

else end for while break return pause

koristi se sa if zavrˇsavanje if, for ili while ponavljanje bloka naredbi izvrˇsavanje dok je ispunjen uslov izlazak iz petlji izlazak iz funkcije pauza do pritiska na neki taster


77/78

5/13/2018


Specijalne vrednosti eps pi i j inf NaN clock date flops nargin nargout

preciznost sa pokretnim zarezom π

imaginarna jedinica imaginarna jedinica ∞

nije broj ˇcasovnik datum broj operacija broj ulaznih parametara funkcije broj izlaznih parametara funkcije

Izvodi

izvod funkcije parcijalni izvodi Tejlorova formula

diff jacobian taylor

Reˇ savanje jednaˇ cina fzero solve

nule funkcije reˇsavanje sistema jednaˇcina


78/78

Matematika i Matlab(2003)

Recommend Documents