Catatan Kuliah :
Fisika Matematika I Muhammad Fauzi Mustamin
๐
\๐๐๐๐๐ press 2015
Muhammad Fauzi Mustamin
Catatan Kuliah: Fisika Matematika 1 Edisi Pertama \๐๐๐๐ก๐ฆ press ยฉ2015
KATA PENGANTAR
Ilmu Fisika merupakan ilmu mendasar dengan tujuan mendeskripsikan bagaimana alam semesta bekerja. Berbagai fenomena alam kemudian diformulasikan ke dalam Matematika untuk mencari tahu deskripsi tersebut secara terperinci. Hasil perincian ini kemudian dikembangkan menjadi berbagai bidang keteknikan yang memfokuskan pada salah satu cabang ilmu Fisika. Bahkan penjabaran ilmu Fisika tidak jarang diterapkan dalam pemecahan masalah-masalah sosial-politik. Buku ini merupakan kumpulan catatan kuliah saat mengikuti mata kuliah Fisika Matematika I di program studi Fisika, Universitas Hasanuddin. Terinspirasi dari hadits Rasulullah, โIkatlah ilmu dengan menuliskannyaโ, saya memulai sedikit demi sedikit menuliskan bahan perkuliahan. Setelah satu tahun berlalu, buku ini akhirnya bisa saya rampungkan meskipun masih jauh dari kata sempurna untuk menjelaskan luasnya samudera Fisika Matematika. Kepada dosen-dosen pengajar; Prof. Wira Bahari Nurdin dan Dr. Tasrief Surungan, serta temanteman sekelas pada mata kuliah Fisika Matematika semester ganjil 2014, saya mengucapkan banyak terimakasih atas berbagai inspirasi saat perkuliahan. Bagi teman-teman, para pembaca sekalian, saran dan feedback selalu dinanti di
[email protected].
Makassar, September 2015 Muhammad Fauzi Mustamin
DAFTAR ISI 1. Kalkulus Vektor .........................................................................................................................1 1.1 Diferensial Vektor ..................................................................................................................1 1.2 Integral Vektor .......................................................................................................................2 1.3 Kurva Ruang ..........................................................................................................................3 1.4 Operasi Vektor .......................................................................................................................5 1.5 Kordinat Silinder dan Kordinat Bola .....................................................................................8 1.6 Integral Kalkulus ..................................................................................................................11 2. Deret ..........................................................................................................................................15 2.1 Deret Konvergen dan Deret Divergen ..................................................................................15 2.2 Uji Konvergen Suatu Deret ..................................................................................................15 2.3 Deret Selang Seling ..............................................................................................................17 2.4 Deret Pangkat .......................................................................................................................18 2.5 Deret Taylor .........................................................................................................................18 3. Bilangan Kompleks ..................................................................................................................21 3.1 Dasar Bilangan Kompleks ....................................................................................................21 3.2 Manipulasi Bilangan Kompleks ...........................................................................................22 3.3 Representasi Polar ................................................................................................................25 3.4 Teorema de Moivre ..............................................................................................................26 3.5 Fungsi Hiperbolik .................................................................................................................28 4. Deret Fourier ............................................................................................................................30 4.1 Kondisi Dirichlet ..................................................................................................................30 4.2 Koefisien Fourier..................................................................................................................31 4.3 Fungsi Diskontinu ................................................................................................................32 4.4 Fungsi Non-Periodik ............................................................................................................32
4.5 Deret Fourier Kompleks .......................................................................................................33 4.6 Teorema Parseval .................................................................................................................34 5. Transformasi Fourier ..............................................................................................................35 5.1 Pengantar Transformasi Fourier ...........................................................................................35 5.2 Fungsi Delta Dirac (๐ฟ) .........................................................................................................36 5.3 Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap ..........................................................................................38 6. Persamaan Diferensial Biasa ..................................................................................................39 6.1 Persamaan Diferensial Orde I...............................................................................................39 6.2 Persamaan Diferensial Orde II .............................................................................................42 7. Transformasi Laplace ..............................................................................................................48 7.1 Definisi .................................................................................................................................48 7.2 Fungsi Elementer..................................................................................................................48 7.3 Hubungan Fungsi Tertentu dengan Transformasi Laplace ..................................................50 7.4 Penerapan Transformasi Laplace pada Diferensial ..............................................................51 Daftar Pustaka .............................................................................................................................54
1. KALKULUS VEKTOR
Sebagaimana diketahui bersama, kalkulus merupakan alat yang sangat penting dalam pendeskripsian berbagai kuantitas fisis. Pada tingkatan sekolah menengah tentu telah diperkenalkan dasar dari kalkulus; diferensial, integral, dan berbagai materi berkaitan dengan hal tersebut. Perbedaan mendasar dari kalkulus pada kuantitas skalar, kalkulus vektor, sesuai namanya, mengolah berbagai vektor dengan menggunakan prinsip kalkulus. Hal ini mengingat banyaknya kuantitas fisis berupa vektor, misalnya sebaran medan magnet pada sebuah muatan listrik, kecepatan alir fluida, dan masih banyak lagi fenomena alam lain yang dalam pendeskripsiannya menggunakan kalkulus vektor. 1.1 Diferensial Vektor Misalkan sebuah vektor ๐ yang terdiri dari fungsi skalar dengan variabel ๐ข. Kita dapat menuliskan vektor tersebut sebagai ๐(๐ข). Misalnya pada kordinat kartesian, ๐(๐ข) = ๐๐ฅ (๐ข)๐ข + ๐๐ฆ (๐ข)๐ฃ + ๐๐ง (๐ข)๐ค. Perubahan kecil pada vektor ๐(๐ข) menghasilkan perubahan โ๐ข sehingga โ๐ = ๐(๐ข + โ๐ข) โ ๐(๐ข). Diferensial dari ๐(๐ข) terhadap ๐ข didefinisikan : ๐๐ ๐(๐ข + โ๐ข) โ ๐(๐ข) = ๐๐๐ ๐๐ข โ๐ขโ0 โ๐ข
(๐. ๐)
Gambar 1.1 Skema diferensial vektor.
1
Pada kordinat kartesian, diferensial vektor (๐ข) = ๐๐ฅ (๐ข)๐ข + ๐๐ฆ (๐ข)๐ฃ + ๐๐ง (๐ข)๐ค : ๐๐ฆ ๐๐ ๐๐๐ฅ ๐๐ง ฬ = ๐ขฬ + ๐ฃฬ + ๐ค ๐๐ข ๐๐ข ๐๐ข ๐๐ข
(๐. ๐)
Pada vektor komposit, setiap vektor atau skalar dapat berupa fungsi dari variabel ๐ข. Dengan mengasumsikan ๐ dan ๐ adalah vektor terdiferensiasi terhadap skalar ๐ข dan bahwa ๐ adalah fungsi skalar terdiferensiasi terhadap ๐ข : ๐ ๐๐ ๐๐ (๐๐) = ๐ + ๐ ๐๐ข ๐๐ข ๐๐ข ๐ ๐๐ ๐๐ (๐ โ ๐) = ๐ โ + โ๐ ๐๐ข ๐๐ข ๐๐ข ๐ ๐๐ ๐๐ (๐ ร ๐) = ๐ ร + ร๐ ๐๐ข ๐๐ข ๐๐ข
(๐. ๐๐) (๐. ๐๐) (๐. ๐๐)
Dari persamaan (1.1), dapat dilihat saat โ๐ข โ 0, perubahannya terhadap ๐ akan sangat kecil. Sehingga diperoleh persamaan : ๐๐ =
๐๐ ๐๐ข ๐๐ข
(๐. ๐)
Sebagai pemisalan adalah perubahan yang sangat kecil dari vektor posisi sebuah partikel pada selang waktu : ๐๐ซ =
๐๐ซ ๐๐ก = ๐ฏ๐๐ก ๐๐ก
Dengan ๐ฏ adalah kecepatan partikel. 1.2 Integral Vektor Kita ketahui bahwa intgerasi merupakan invers dari diferensiasi. Beberapa poin penting dalam integrasi : (i)
Integral dari vektor atau skalar memiliki perlakuan yang sama dengan integral biasa.
(ii)
Tetapan dari integrasi haruslah sama dengan sifat alami integral.
2
Misalnya, jika ๐(๐ข) = ๐ [๐(๐ข)]โ๐๐ข menghasilkan integral (๐ข) : โซ ๐(๐ข)๐๐ข = ๐(๐ข) + ๐
(๐. ๐)
Dimana ๐ adalah konstanta vektor. Jika ditetapkan batas dari ๐ข = ๐ข1 sampai = ๐ข2 : ๐ข1
โซ ๐(๐ข)๐๐ข = ๐(๐ข2 ) + ๐(๐ข1 )
(๐. ๐)
๐ข2
1.3 Kurva Ruang Sebuah kurva ๐ถ pada ruang dapat dideskripsikan dengan vektor ๐ซ(๐ข) terhubung dengan titik awal ๐ dari sebuah sistem kordinat menuju sebuah titik pada kurva. Karena variasi ๐ข, vektor tersebut akan terus bergerak sepanjang kurva. Pada kordinat kartesian : ๐ซ(๐ข) = ๐ฅ(๐ข)๐ข + ๐ฆ(๐ข)๐ฃ + ๐ง(๐ข)๐ค
(๐. ๐)
Dengan ๐ฅ = ๐ฅ(๐ข), ๐ฆ = ๐ฆ(๐ข),dan ๐ง = ๐ง(๐ข) merupakan persamaan parameter dari kurva tersebut.
ฬ terhadap kurva ๐ถ pada titik ๐. ฬ dan binormal ๐ Gambar 1.2 Tangen satuan ๐ญฬ, normal ๐ง Kurva ruang juga dapat direpresentasikan dengan ๐ฆ = ๐(๐ฅ), ๐ง = ๐(๐ฅ), yang dapat dikonversei seperti persamaan parameter : ๐ซ(๐ข) = ๐ข๐ข + ๐(๐ข)๐ฃ + ๐(๐ข)๐ค
(๐. ๐)
3
Sebuah kurva terkadang dideskripsikan dengan formasi parametrik dengan vektor ๐ซ(๐ ), dimana parameter ๐ adalah panjang garis sepanjang kurva diukur dari titik tetap. Untuk kurva yang dideskripsikan dengan ๐ซ(๐ข), perubahan vektor yang sangat kecil : ๐๐ซ = ๐๐ฅ๐ข + ๐๐ฆ๐ฃ + ๐๐ง๐ค
(๐. ๐)
Hasil kuadratnya memberikan : (๐๐ )2 = ๐๐ซ. ๐๐ซ = (๐๐ฅ)2 + (๐๐ฆ)2 + (๐๐ง)2 Sehingga didapatkan : ๐๐ 2 ๐๐ซ ๐๐ซ ( ) = . ๐๐ข ๐๐ข ๐๐ข yang dapat diformasi ulang menjadi jarak antara dua titik pada kurva ๐ซ(๐ข), dengan ๐ข = ๐ข1 dan ๐ข = ๐ข2 : ๐ข1
๐ =โซ ๐ข2
๐๐ซ ๐๐ซ โ . ๐๐ข ๐๐ข ๐๐ข
(๐. ๐๐)
Jika kurva ๐ถ dideskrippsikan dengan ๐ซ(๐ข), pada setiap titik di kurva terebut, ๐ ๐ซโ๐๐ข merupakan seuah tangen vektor dari ๐ถ pada titik tersebut, dengan arah ๐ข meningkat. Pada kasus khusus dimana parameter ๐ข adalah panjang ๐ sepanjang kurva, ๐ ๐ซโ๐๐ adalah satuan vektor tangen dari ๐ถ dan dinotasikan ๐ญฬ. ฬ = ๐ญฬ ร ๐ง ฬ, tegak lurus terhadap permukaan datar ๐ญฬ dan ๐ง ฬ disebut sebagai binormal Vektor satuan ๐ ฬ , ๐ญฬ, dan ๐ง ฬ membentuk sistem kordinat kartesian tangan-kanan pada setiap terhadap ๐ถ. Vektor ๐ titik di ๐ถ. ฬ , tฬ, dan ๐ง ฬ serta diferensiasinya terhadap ๐ saling berhubungan, hubungan ini Secara ringkas, ๐ disebut juga dengan formula Frenet-Serret : ๐๐ญฬ ฬ, = ๐
๐ง ๐๐
ฬ ๐๐ง ฬ โ ๐
๐ญฬ, = ๐๐ ๐๐
ฬ ๐๐ ฬ = โ๐๐ง ๐๐
(๐. ๐๐)
4
1.4 Operator Vektor Proses diferensiasi dapat dilakukan pada medan skalar dan medan vektor yang memiliki aplikasi sangat luas dalam dunia fisika. Medan skalar secara sederhana dapat diperhatikan pada tekanan dalam fluida dan potensial elektrostatis akibat adanya sebuah muatan listrik. Adapun medan vektor berhubungan dengan hal tersebut adalah kecepatan vektor dalam fluida serta medan listrik. Dalam penjabaran tersebut diperlukan operator vektor. Operator terpenting penerapannya adalah mencari gradien dari medan skalar serta mencari divergen dan curl dari medan vektor. Operator ini menggunakan konsep diferensiasi. Operator vektor ๐ atau sering disebut del atau nabla memiliki peran sentral pada pembahasan ketiga operator vektor tersebut. Pada kordinat kartesian didefinisikan : ๐โก๐ข
๐ ๐ ๐ +๐ฃ +๐ค ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง
(๐. ๐๐)
Penjabaran selanjutnya memfokuskan pada sifat matematis dari operator vektor tersebut. 1.4.1 Gradien sebuah Medan Skalar Gradien dari medan skalar ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) didefinisikan : grad ๐ = ๐๐ = ๐ข
๐๐ ๐๐ ๐๐ +๐ฃ +๐ค ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง
(๐. ๐๐)
Secara matematis, grad ๐ merupakan medan vektor yang setiap komponennya diturunkan satu kali secara parsial terhadap ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง). Secara umum, perubahan ๐ terhadap jarak ๐ pada arah : ๐๐ = ๐๐. ๐ฬ ๐๐
(๐. ๐๐)
yang disebut sebagai turunan berarah. Dapat dilihat bahwa ๐๐ = |๐๐|๐๐๐ ๐ ๐๐
5
dengan ๐ merupakan sudut antara vektor ๐ฬ dan ๐๐ yang ditunjukkan pada gambar 1.3.
Gambar 1.3 Sifat geometri ๐๐, ๐๐ merupakan nilai ๐๐/๐๐ pada arah ๐ฬ. Sifat menarik lain, ๐๐ merupakan vektor normal pada permukaan ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) = ๐ pada setiap ฬ normal satuan permukaan dengan arah titik, seperti ditunjukkan pada gambar 1.3. Jika ๐ง ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) meningkat, maka gradien juga sering dituliskan ๐๐ โก
๐๐ ฬ ๐ง ๐๐
(๐. ๐๐)
๐๐
ฬ dan disebut sebagai turunan normal. dimana ๐๐ โก |๐๐| adalah perubahan ๐ pada arah ๐ง 1.4.2 Divergen Secara sederhana, divergen dapat dianggap sebagai kuantitas pengukuran dari seberapa banyak medan vektor menyebar (divergen) atau menyusut (konvergen) pada sebuah titik. Divergen dari medan vektor ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) didefinisikan : div ๐ = ๐. ๐ =
๐๐๐ฅ ๐๐๐ฆ ๐๐๐ง + + ๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง
(๐. ๐๐)
dimana ๐๐ฅ , ๐๐ฆ dan ๐๐ง merupakan komponen dari vektor ๐. Jelas terlihat bahwa ๐. ๐ menghasilkan sebuah medan skalar.
6
Selanjutnya, jika suatu medan vektor ๐ merupakan diferensiasi dari medan skalar, ๐ = ๐๐, maka ๐. ๐ akan membentuk ๐. ๐๐ atau ๐ 2 ๐, dimana ๐2 โก
๐2 ๐2 ๐2 + + ๐๐ฅ 2 ๐๐ฆ 2 ๐๐ง 2
(๐. ๐๐)
yang disebut Laplacian dan muncul pada persamaan diferensial parsial. 1.4.3 Curl Curl dari sebuah medan vektor ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) didefinisikan : ๐๐๐ฆ ๐๐๐ฅ ๐๐๐ง ๐๐๐ฆ ๐๐๐ฅ ๐๐๐ง curl ๐ = ๐ ร ๐ = ( โ )๐ข + ( โ )๐ฃ + ( โ )๐ณ ๐๐ฆ ๐๐ง ๐๐ง ๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐๐ฆ
(๐. ๐๐)
dimana ๐๐ฅ , ๐๐ฆ dan ๐๐ง merupakan komponen dari vektor ๐. Hasil dari sisi sebelah kanan persamaan tersebut didapatkan dari proses determinan : ๐ข ๐ ๐ร๐= | ๐๐ฅ ๐๐ฅ
๐ฃ ๐ ๐๐ฆ ๐๐ฆ
๐ค ๐ | ๐๐ง ๐๐ง
(๐. ๐๐)
Untuk medan vektor ๐ฏ(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) yang mendeskripsikan kecepatan lokal pada setiap titik di dalam sebuah fluida, ๐ ร ๐ฏ adalah pengukuran kecepatan sudut dari fuida pada daerah sekitar titik tersebut. Jika sebuah kincir air kecil ditempatkan di dalam fluida tersebut, maka kincirnya akan berotasi pada daerah ๐ ร ๐ฏ โ ๐, sementara kincirnya tidak akan berotasi pada daerah ๐ ร ๐ฏ = ๐. Sebagai rangkuman hasil kombinasi dari ketiga operator vektor, tabel 1.1 menyajikan hal tersebut.
Tabel 1.1 Rangkuman kombinasi operator vektor
7
1.5 Kordinat Silinder dan Kordinat Bola Pendeskripsian fenomena fisis tidak hanya diekspresikan dalam kordinat kartesian. Dalam berbagai situasi, kordinat sistem lain lebih mendasar, seperti kordinat silinder dan kordinat bola. Seperti fluida dalam pipa pendeskripsiannya lebih alami menggunakan kordinat silinder, ataupun muatan listrik dalam ruang pendeskripsiannya lebih alami dengan kordinat bola. 1.5.1 Kordinat Silinder Posisi titik ๐ pada kordinat kartesian ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง dapat diekspresikan dalam kordinat silinder ๐, ๐, ๐ง seperti terlihat pada gambar 1.5, dimana : ๐ฅ = ๐ cos ๐ ,
๐ฆ = ๐ sin ๐ ,
๐ง=๐ง
(๐. ๐๐)
Gambar 1.4 Kordinat silinder ๐, ๐, ๐ง dan ๐ โฅ 0, 0 โค ๐ < 2๐ dan โ โ < ๐ง < โ. Posisi vektor dari titik ๐ kemudian dapat ditulis ๐ซ = ๐ cos ๐ ๐ข + ๐ sin ๐ ๐ฃ + ๐ง ๐ค
(๐. ๐๐)
dimana, dengan melakukan diferensial parsial ๐ซ terhadap ๐, ๐ dan ๐ง lalu membagi dengan setiap modulusnya didapatkan vektor pada kordinat silinder ๐ฬ๐ = ๐๐ = cos ๐ ๐ข + sin ๐ ๐ฃ ๐ฬ๐ =
1 ๐ = โ sin ๐ ๐ข + cos ๐ ๐ฃ ๐ ๐
๐ฬ๐ง = ๐๐ง = ๐ค
(๐. ๐๐๐) (๐. ๐๐๐) (๐. ๐๐๐)
8
Perpindahan sangat kecil ๐๐ซ dari titik ๐ memenuhi ๐๐ซ =
๐๐ซ ๐๐ซ ๐๐ซ ๐๐ + ๐๐ + ๐๐ง ๐๐ ๐๐ ๐๐ง
= ๐๐๐ฬ๐ + ๐๐๐๐ฬ๐ + ๐๐ง๐ฬ๐ง
(๐. ๐๐)
Elemen volume dari kodinat silinder diperoeh dengan mengkalkulasi bidang paralelipiped sangat kecil, didefinisikan oleh vektor ๐๐๐ฬ๐ , ๐๐๐๐ฬ๐ dan ๐๐ง๐ฬ๐ง : ๐๐ = |๐๐๐ฬ๐ โ (๐๐๐๐ฬ๐ ร ๐๐ง๐ฬ๐ง )| = ๐๐๐๐๐๐๐ง
(๐. ๐๐)
Gambar 1.5 Elemen volume kordinat silinder Perubahan kordinat ini juga memengaruhi operator vektor. Tabel 1.2 merangkum operator vektor dalam kordinat silinder.
Tabel 1.2 Opertor vektor dalam kordinat silinder
9
1.5.2 Kordinat Bola Posisi titik ๐ dalam kordinat bola ๐, ๐, ๐ dapat diamati pada gamba 1.6, dimana ๐ฅ = ๐ sin ๐ cos ๐ ,
๐ฆ = ๐ sin ๐ sin ๐ ,
๐ง = ๐ cos ๐
(๐. ๐๐)
Gambar 1.6 Kordinat bola ๐, ๐, ๐ dengan ๐ โฅ 0, 0 โค ๐ โค ๐ dan 0 โค ๐ < 2๐. Posisi vektor ๐ dapat dituliskan sebagai ๐ซ = ๐ sin ๐ ๐๐๐ ๐๐ข + ๐ sin ๐ sin ๐ ๐ฃ + ๐ cos ๐ ๐ค
(๐. ๐๐)
Vektor satuannya, kembali dapat ditelusuri dengan melakukan diferensial parsial terhadap ๐, ๐, dan ๐, lalu membaginya dengan modulus tiap vektor ๐ฬ๐ = sin ๐ cos ๐ ๐ข + sin ๐ sin ๐ ๐ฃ + cos ๐ ๐ค
(๐. ๐๐๐)
๐ฬ๐ = cos ๐ cos ๐ ๐ข + cos ๐ sin ๐ ๐ฃ โ sin ๐ ๐ค
(๐. ๐๐๐)
๐ฬ๐ = โ sin ๐ ๐ข + cos ๐ ๐ฃ
(๐. ๐๐๐)
Perpindahan sangat kecil vektor tersebut pada kordinat bola ๐๐ซ = ๐๐๐ฬ๐ + ๐๐๐๐ฬ๐ + ๐ sin ๐ ๐๐๐ฬ๐
(๐. ๐๐)
Elemen volume pada kordinat bola merupakan volume dari paralelipiped sangat kecil yang memenuhi ๐๐ = |๐๐๐ฬ๐ โ (๐๐๐๐ฬ๐ ร ๐ sin ๐ ๐๐๐ฬ๐ )| = ๐ 2 sin ๐ ๐๐๐๐๐๐
(๐. ๐๐)
10
Gambar 1.7 Elemen volume kordinat bola ๐, ๐, ๐ Perubahan kordinat ini tentu juga memengaruhi perubahan operator vektor. Tabel 1.3 merangkum perubahan operator vektor untuk kordinat bola.
Tabel 1.3 Operator vektor pada kordinat bola, dengan ฮฆ medan skalar dan ๐ medan vektor. 1.6 Integral Kalkulus 1.6.1 Integral Garis Integral garis secara umum memiliki persamaan ๐
โซ ๐ โ ๐๐ซ
(๐. ๐๐)
๐
11
Gambar 1.8 Visualisasi integral garis dimana ๐ merepresentasikan fungsi vektor dan ๐๐ซ adalah vektor perpindahan untuk elemen kecil, dengan integralnya dilakukan sepanjang titik ๐ sampai titik ๐. Saat integrasinya dilakukan untuk lintasan tertutup, ๐ = ๐, maka bentuk integrasinya dapat dituliskan sebagai integral tertutup โฎ ๐. ๐๐ซ
(๐. ๐๐)
Esensi dari integral garis ini, kita melakukan perkalian skalar vektor dari ๐ dengan vektor perpindahan elemen kecil ๐๐ซ sepanjang lintasan. Bagi fisikawan, bentuk paling sering dijumpai adalah integral garis persamaan kerja oleh sebuah gaya, ๐ = โซ ๐
. ๐๐ซ. Integral garis untuk beberapa kasus memiliki keunikan, dimana integral garis antara dua titik tidak bergantung pada lintasan yang dilalui. Medan vektor dengan karakteristik tersebut disebut konservatif. Sebuah vektor ๐ dengan diferensial parsial berhubungan pada daerah ๐
dikatakan konservatif jika dan hanya jika memenuhi beberapa syarat berikut. (i)
๐ต
Integral โซ๐ด ๐ โ ๐๐ซ, dengan ๐ด dan ๐ต berada pada daerah ๐
, tidak bergantung pada lintasan ๐ด ke ๐ต. Dapat dikatakan bahwa โฎ ๐ โ ๐๐ซ pada lintasan tertutup adalah nol.
(ii)
Terdapat fungsi nilai tunggal ๐ dari posisi, dimana ๐ = ๐๐.
(iii)
๐ ร ๐ = 0.
(iv)
๐ โ ๐๐ซ merupakan diferensial eksak.
Kasus lain terjadi untuk menghubungkan integral garis dan integral bidang. Integral garisnya dapat dihubungkan dengan luas daerah cakupan dengan menggunakan teorema Green untuk bidang memenuhi
12
๐๐ ๐๐ โฎ (๐๐๐ฅ + ๐๐๐ฆ) = โฌ ( โ ) ๐๐ฅ๐๐ฆ ๐๐ฆ ๐ถ ๐
๐๐ฅ
(๐. ๐๐)
terlihat hubungan integral garis sepanjang lintasan ๐ถ terhadap integral lipat dua dengan luas ๐
. 1.6.2 Integral Permukaan Integral permukaan secara umum memiliki persamaan โซ ๐. ๐๐
(๐. ๐๐)
๐
Gambar 1.9 Visualisasi integral permukaan dimana ๐ merupakan fungsi vektor dan ๐๐ merupakan elemen kecil luas, dengan arah tegak lurus dengan permukaan. Saat permukaannya tertutup, maka persamaannya dapat dituliskan sebagai integral tertutup โฎ ๐. ๐๐
(๐. ๐๐)
Jika ๐ mendeskripsikan aliran fluida (massa persatuan luas persatuan waktu), maka โซ ๐ โ ๐๐ merepresentasikan massa total persatuan waktu yang melewati permukaan atau lebih sering disebut sebagai flux. Lebih detail, elemen luas dapat dituliskan ฬ ๐๐ ๐๐ = ๐
(๐. ๐๐)
ฬ merupakan normal satuan permukaan. dimana ๐
13
1.6.3 Integral Volume Integral volume memiliki persamaan umum โซ ๐ ๐๐
(๐. ๐๐)
๐
dengan ๐ fungsi skalar dan ๐๐ elemen volume kecil, dimana untuk kordinat kartesian ๐๐ = ๐๐ฅ๐๐ฆ๐๐ง. Misalnya ๐ adalah densitas suatu bahan, maka โซ ๐๐๐ merepresentasikan massa total. 1.6.4 Teorema Divergence Teorema divergence menghubungkan flux total dari medan vektor yang menyebar dari permukaan tertutup ๐ menuju integrasi divergence dari medan vektor volume tertutup ๐. Ungkapan matematis dari teorema divergence memenuhi โซ ๐ โ ๐ ๐๐ = โฎ ๐. ๐๐บ ๐
(๐. ๐๐)
๐
1.6.5 Teorema Stokes Teorema Stokes menghubungkan integral dari curl dari medan vektor sepanjang sebuah permukaan terbuka ๐ dengan integral garis dari medan vektor sekitar lintasan ๐ถ yang menghubungkan permukaan. Ungkapan matematis teorema Stokes memenuhi โซ (๐ ร ๐) โ ๐๐ = โฎ ๐ โ ๐๐ซ ๐
(๐. ๐๐)
๐ช
14
2. DERET
Banyak situasi fisika yang kita sajikan dalam bentuk deret. Sebuah deret dapat berupa penjumlahan berhingga ataupun penjumlahan tak hingga dari sekumpulan angka. Secara umum, penjumlahan dari ๐ bagian dari sebuah deret dapat ditulis : ๐
๐๐ = โ ๐ข๐ = ๐ข1 + ๐ข2 + ๐ข3 + โฏ + ๐ข๐
(๐. ๐)
๐=1
Jenis deret berhingga, berarti nilai ๐ mencapai angka tertentu. Sedangkan untuk deret tak hingga nilai ๐ = โ. Dalam dunia fisika, banyak kejadian alam yang memenuhi konsep deret tak berhingga. Atas dasar ini, pembahasan selanjutnya akan fokus pada deret tak hingga. 2.1 Deret Konvergen dan Deret Divergen Dalam pembahasan deret untuk menganalisa keadaan fisis, perlu diperhatikan bahwa kita akan menjumlahkan sekian banyak angka yang jumlahnya tak berhingga. Sesuai dengan persamaan (2.1), karena deretnya tidak berhingga : โ
๐โ = โ ๐ข๐ = ๐ข1 + ๐ข2 + ๐ข3 + โฏ + ๐ขโ
(๐. ๐)
๐=1
Atau juga dapat dicari engan menggunakan konsep limit : ๐ = ๐๐๐ ๐๐ ๐โโ
(๐. ๐)
Jika nilai ๐ menuju sebuah angka tertentu deretnya dikatakan deret konvergen. Sementara jika ๐ menuju ยฑโ, deretnya dikatakan sebagai deret divergen. 2.2 Uji Konvergen Suatu Deret 2.2.1 Nilai Mutlan dan Konvergensi Deret Secara umum, deret tak hingga โ ๐ข๐ dapat memiliki bagian kompleks dan pada kasus khusus terdiri dari nilai positif dan negatif. Untuk sebuah deret, kita dapat mengasumsikan deret lain
15
โ|๐ข๐ | yang setiap bagiannya merupakan nilai absolut dari deret awal โ ๐ข๐ yang hendak dicari. Setiap bagian dari deret mutak tersebut akan menghasilkan nilai positif. Jika deret โ|๐ข๐ | konvergen, maka deret โ ๐ข๐ juga konvergen, dan โ ๐ข๐ dapat dikatakan sebagai deret konvergen mutlak. Untuk deret konvergen mutlak, setiap bagiannya dapat disusun ulang tanpa mempengaruhi konvergensi dari deret tersebut. Jika deret โ|๐ข๐ | divergen namun deret โ ๐ข๐ konvergen, deretnya dikatakan konvergen kondisional. Untuk deret konvergen kondisional, jika urutan bagiannya diubah, maka akan berpengaruh pada deret semula, sehingga tidak jelas, apakah deretnya konvergen atau divergen. 2.2.2 Konvergensi Deret Positif Deret positif merupakan deret yang semua bagiannya terdiri dari bilangan konstan positif. Untuk meguji konvergensitas suatu deret positif, ada beberapa cara yang dapat dilakukan : 1. Uji Awal Uji awal digunakan untuk mendeteksi apakah deret tersebut sudah pasti divergen. Untuk deret โ ๐ข๐ dikatakan konvergen jika hasilnya menuju nol saat ๐ menuju tak hingga. ๐๐๐ ๐ข๐ = 0
๐โโ
Jika kondisi tersebut tidak terpenuhi, maka deretnya sudah pasti divergen. Namun, meski telah terpenuhi, deretnya juga bisa berupa deret divergen, sehingga membutuhkan pengujian yang lain untuk membuktikan. 2. Uji Banding Uji banding merupakan pengujian paling mendasar dalam menguji konvergensi suatu deret. Misalkan kita memiliki dua deret, โ ๐ข๐ dan โ ๐ฃ๐ dan kita mengetahui bahwa salah satunya deret konvergen. Sehingga jika setiap bagian ๐ข๐ pada deret awal kurang dari atau sama dengan bagian dari deret ๐ฃ๐ , untuk setiap ๐ yang lebih besar dari nilai tetap ๐ yang bisa bervariasi setiap deret, deret awal โ ๐ข๐ juga merupakan deret konvergen. Dengan kata lain, jika โ ๐ฃ๐ konvergen dan ๐ข๐ โค ๐ฃ๐ , untuk ๐ > ๐
16
Maka deret โ ๐ข๐ juga konvergen. Namun jika โ ๐ฃ๐ divergen dan ๐ข๐ โฅ ๐ฃ๐ untuk setiap ๐ yang lebih besar untuk nilai tetap, maka โ ๐ข๐ merupakan deret divergen. 3. Uji Perbandingan dโAlembert Jika sebuah deret โ ๐ข๐ dan didefinisikan : ๐ข๐+1 ๐ = ๐๐๐ ( ) ๐โโ ๐ข๐
(๐. ๐)
Berlaku hubungan, jika ๐ < 1 deretnya konvergen; jika ๐ > 1 deretnya divergen; jika ๐ = 1 maka deretnya bisa konvergen mapun divergen. 4. Uji Integral Misalkan terdapat sebuah fungsi ๐(๐ฅ) yang secara monoton menurun sepanjang ๐ฅ lebih besar dari niali tetap ๐ฅ0 dan untuk ๐(๐) = ๐ข๐ . Deret โ ๐ข๐ konvergen jika integral pembandingnya berhingga : โ
โซ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ
(๐. ๐)
1
Namun jika integralnya tak hingga, maka deretnya dikatakan deret divergen. 2.3 Deret Selang Seling Deret selang seling dapat ditulis sebagai : โ
โ(โ1)๐+1 ๐ข๐ = ๐ข1 โ ๐ข2 + ๐ข3 โ ๐ข4 + ๐ข5 โ โฏ
(๐. ๐)
๐=1
Syarat deret selang-seling konvergen adalah 1. Limit dari harga mutlak suku ๐ข๐ adalah 0. ๐๐๐ |๐ข๐ | = 0
๐โโ
2. Deret selang-seling haruslah deret yang monoton turun untuk setiap suku mutlaknya.
17
|๐๐+1 | < |๐๐ | Jika setiap suku dalam deret diambil harga mutlaknya, kita peroleh deret baru yang sema bagiannya positif. Deret ini disebut deret mutlak, yang bisa bersifat konvergen ataupun divergen. 2.4 Deret Pangkat Formasi umum dari deret pngkat adalah : ๐(๐ฅ) = ๐0 + ๐1 ๐ฅ + ๐2 ๐ฅ 2 + ๐3 ๐ฅ 3 + โฏ
(๐. ๐)
Dimana ๐0 , ๐1 , ๐2 , ๐3 , โฆ. Meruakan konstanta. Deret tersebut secara umum sering muncul dalam fisika dan sangat berguna, untuk |๐ฅ| < 1, bagian seanjutnya deret tersebt dapat menjadi sangat kecil dan diabaikan. Dengan menggunakan uji perbandingan dโAlembert, kita dapat melihat bahwa ๐(๐ฅ) konvergen mutlak jika : ๐๐+1 ๐๐+1 ๐0 = ๐๐๐ | ๐ฅ| = |๐ฅ| ๐๐๐ | |<1 ๐โโ ๐๐ ๐โโ ๐๐ Atau dapat ditulis : |๐ฅ| <
1 ๐
(๐. ๐)
Konvergensi dari ๐(๐ฅ) bergantung pada nilai ๐ฅ, dimana daerah ๐ฅ bergantung pada nilai ๐. 1. Jika ๐ = 0, deretya konvergen untuk semua nilai ๐ฅ. 2. Jika ๐ = โ, deretnya konvergen hanya untuk nilai ๐ฅ = 0. 3. Jika โ1โ๐ < ๐ฅ < +1โ๐, deretnya konvergen untuk daerah ๐ฅ antara โ1โ๐ sampai +1โ๐. 2.5 Deret Taylor Ekspansi Taylor merupakan alat yang sangat berguna untuk menjabarkan deret pangkat dari sebuah fungsi. Dengan mengasumsikan fungsi ๐(๐ฅ) memiliki sebuah turunan ke-๐ yang kontinu pada selang ๐ โค ๐ฅ โค ๐, kemudan mengintegralkanya sebanyak ๐ :
18
๐ฅ ๐ฅ โซ ๐ (๐) (๐ฅ1 ) ๐๐ฅ1 = ๐ (๐โ1) (๐ฅ1 )| = ๐ (๐โ1) (๐ฅ) โ ๐ (๐โ1) (๐) ๐ ๐ ๐ฅ
๐ฅ2
โซ ๐๐ฅ2 โซ ๐ ๐
๐ฅ (๐)
(๐ฅ1 ) ๐๐ฅ1 = โซ ๐๐ฅ2 [๐ (๐โ1) (๐ฅ2 ) โ ๐ (๐โ1) (๐)]
๐
๐
= ๐ (๐โ2) (๐ฅ) โ ๐ (๐โ2) (๐) โ (๐ฅ โ ๐)๐ (๐โ1) (๐) ๐ฅ
๐ฅ3
๐ฅ2
๐ฅ
โซ ๐๐ฅ3 โซ ๐๐ฅ2 โซ ๐ (๐) (๐ฅ1 ) ๐๐ฅ1 = โซ ๐๐ฅ3 [๐ (๐โ2) (๐ฅ3 ) โ ๐ (๐โ2) (๐) โ (๐ฅ โ ๐)๐ (๐โ1) (๐)] ๐
๐
๐
๐
= ๐ (๐โ3) (๐ฅ) โ ๐ (๐โ3) (๐) โ (๐ฅ โ ๐)๐ (๐โ2) (๐) โ
(๐ฅ โ ๐)2 (๐โ1) (๐) ๐ 2!
Dengan mengintegralkan sebanyak ๐ kali, didapatkan formasi : ๐ฅ
๐ฅ2
โซ ๐๐ฅ๐ โฆ โซ ๐ (๐) (๐ฅ1 ) ๐๐ฅ1 ๐
๐
= ๐(๐ฅ) โ ๐(๐) โ (๐ฅ โ ๐)๐
โฒ (๐)
(๐ฅ โ ๐)2 โฒโฒ (๐ฅ โ ๐)๐โ1 ๐โ1 (๐) โ ๐ (๐) โ โฏ โ ๐ (๐ โ 1)! 2!
Dengan melakukan pengurutan ulang, didapatkan nilai (๐ฅ) : ๐(๐ฅ) = ๐(๐) + (๐ฅ โ ๐)๐ โฒ (๐) +
(๐ฅ โ ๐)2 โฒโฒ (๐ฅ โ ๐)๐โ1 ๐โ1 ๐ (๐) + โฏ + ๐ (๐) + ๐
๐ (๐ โ 1)! 2!
(๐. ๐)
Dimana ๐
๐ merupakan pengintegralan ๐ kali : ๐ฅ
๐ฅ2
๐
๐ = โซ ๐๐ฅ๐ โฆ โซ ๐ (๐) (๐ฅ1 ) ๐๐ฅ1 ๐
(๐. ๐๐)
๐
๐
๐ dapat ditulis dengan menggunakan konsep integral kalkulus : ๐ฅ
โซ ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ = (๐ฅ โ ๐)๐(๐)
(๐. ๐๐)
๐
Dengan ๐ โค ๐ โค ๐ฅ. Dengan mengintegralkan ๐ kali, didapatkan suku sisa : (๐ฅ โ ๐)๐ (๐) ๐
๐ = ๐ (๐) ๐!
(๐. ๐๐)
Saat fungsi ๐๐๐ ๐
๐ = 0, nilai ๐(๐ฅ) kemudian menjadi deret Taylor : ๐โโ
19
๐(๐ฅ) = ๐(๐) + (๐ฅ โ ๐)๐ โฒ (๐) +
(๐ฅ โ ๐)2 โฒโฒ (๐ฅ โ ๐)๐โ1 ๐โ1 (๐) (๐) ๐ + โฏ+ ๐ (๐ โ ๐)! (๐ โ 1)!
(๐. ๐๐)
Atau disederhanakan menjadi : โ
๐(๐ฅ) = โ ๐=0
(๐ฅ โ ๐)๐ (๐) ๐ (๐) ๐!
(๐. ๐๐)
Deret Taylor yang didapatkan mendefinisikan nilai fungsi pada titik ๐ฅ, yang merupakan bagian dari nilai fungsi dan turunannya pada titik ๐. Ini merupaan ekspansi pangkat dari perubahan variable, atau ๐ฅ โ ๐. Definisi ini dapat memperjelas deret Taylor dengan menggunakan formasi alternative, menggantikan ๐ฅ dengan ๐ฅ + โ dan ๐ dengan : โ
โ๐ (๐) ๐(๐ฅ + โ) = โ ๐ (๐ฅ) ๐!
(๐. ๐๐)
๐=0
Jika dipilih ๐ = 0, ekspansi Taylor di atas berubah menjadi ekspansi Mclaurin : โ
๐(๐ฅ) = โ ๐=0
(๐ฅ)๐ (๐) ๐ (0) ๐!
(๐. ๐๐)
20
3. BILANGAN KOMPLEKS
3.1 Dasar Bilangan Kompleks Perhatikan persamaan kuadrat berikut : ๐ง 2 โ 4๐ง + 5 = 0
(3.1)
Solusinya dapat dicari dengan menggunakan persamaan akar persamaan kuadrat : ๐ง1,2 = 2 ยฑ
โโ4 2
(3.2)
Setiap persamaan kuadrat selalu memiliki dua solusi dan tentunya juga berlaku untuk persamaan (3.2). Bagian kedua dari persamaan sebelah kanan disebut bagian ๐๐๐๐๐๐๐๐ karena memilii akar dari sebuah bilangan negative, sementara bagian pertamanya disebut bagian ๐๐๐. Solusi totalnya merupakan jumlah antara bagian ril dan bagian imajiner yang disebut dengan bilangan kompleks. Fungsinya dapat dilihat dari gambar di bawah.
Gambar 3.1 Grafik persamaan kuadrat ๐ง 2 โ 4๐ง + 5 = 0 Persamaan umum dari bilangan kompleks disimbolkan sebagai ๐ง, yang merupakan gabungan dari bagian ril ๐ฅ dan ๐ dikalikan bagian imajiner ๐ฆ : ๐ง = ๐ฅ + ๐๐
(3.3)
21
Dengan ๐ digunakan sebagai symbol dari akar -1. Bagian ril ๐ฅ dinotasikan dengan โ๐ง sementara bagian imajiner ๐ฆ dinotasikan sebagai โ๐ง. Pada contoh di atas, โโ4 = 2โโ1 = 2๐, sehingga solusi yang kita dapatka adalah : ๐ง1,2 = 2 ยฑ
2๐ =2ยฑ๐ 2
Dengan ๐ฅ = 2 dan ๐ฆ = ยฑ1. Persamaan bilangan kompleks biasa ditulis dengan bentuk : ๐ง = (๐ฅ, ๐ฆ) Dimana komponen dari ๐ง bisa umpamakan berada pada koordinat kartesian. Plot fungsi tersebut disebut diagram Argand.
Gambar 3.2 Diagram Argand 3.2 Manipulasi Bilangan Kompleks 3.2.1 Modulus, Argumen dan Konjugat Kompleks Modulus dari bilangan kompleks ๐ง dinotasikan sebagai |๐ง| dan didefinisikan : |๐ง| = โ๐ฅ 2 + ๐ฆ 2
(3.4)
Sehingga modulus dapat diartikan sebagai jarak sebuah titik dar titik pada diagram Argand. Argumen dari bilangan kompleks ๐ง dinotasikan dengan arg ๐ง dan didefinisikan :
22
๐ฆ
arg ๐ง = ๐ก๐๐โ1 (๐ฅ )
(3.5)
Dapat pula dilihat bahwa arg ๐ง adalah sudut yang menghubungan titik asal sampai ๐ง pada diagram Argand dengan sumbu-๐ฅ positif. Menurut hasil konvensi, arah berlawanan jarum jam adalah positif.
Gambar 3.3 Representasi modulus dan arg bilangan kompleks ๐ง Sementara konjugat kompleks, didenotasikan sebagai ๐ง โ , dimana jika ๐ง = ๐ฅ + ๐๐ฆ, maka ๐ง โ = ๐ฅ โ ๐๐ฆ. Secara umum, konjugat kompleks ๐ง adalah nilai yang sama dengan besar ๐ง yang jika dikalikan dengan ๐ง menghasilkan hasil ril.
Gambar 3.4 Hubungan geometri konjugat bilangan kompleks Hal ini dapat diuktikan, misalkan ๐ง = ๐ฅ + ๐๐ฆ, maka jika dikalikan dengan konjugat kompleksnya akan menghasilkan : ๐ง๐ง โ = (๐ฅ + ๐๐ฆ)(๐ฅ โ ๐๐ฆ) = ๐ฅ 2 โ ๐๐ฅ๐ฆ + ๐๐ฅ๐ฆ โ ๐ 2 ๐ฆ 2 = ๐ฅ 2 + ๐ฆ 2 = |๐ง|2 Kompleks konjugat juga dapat dipandang sebagai refleksi dari ๐ง.
23
3.2.2 Operasi Matematika Penjumlahan dalam bilangan kompleks pada kordinat kartesian sama persis dengan penjumlahan biasa : ๐ง1 + ๐ง2 = (๐ฅ1 + ๐๐ฆ1 ) + (๐ฅ2 + ๐๐ฆ2 ) = (๐ฅ1 + ๐ฅ2 ) + ๐(๐ฆ1 + ๐ฆ2 )
(3.6)
Untuk perkalian : ๐ง1 ๐ง2 = (๐ฅ1 + ๐๐ฆ1 )(๐ฅ2 + ๐๐ฆ2 ) = (๐ฅ1 ๐ฅ2 โ ๐ฆ1 ๐ฆ2 ) + ๐(๐ฅ1 ๐ฆ2 + ๐ฆ1 ๐ฅ2 )
(3.7)
Perkalian dari suatu bilangan kompleks memenuhi aturan komutatif dan asosiatif : ๐ง1 ๐ง2 = ๐ง2 ๐ง1
(3.8)
(๐ง1 ๐ง2 )๐ง3 = ๐ง1 (๐ง2 ๐ง3 )
(3.9)
Produk dari perkalian bilangan kompleks juga menghasilkan hubungan : |๐ง1 ๐ง2 | = |๐ง1 ||๐ง2 |
(3.10)
๐๐๐(๐ง1 ๐ง2 ) = ๐๐๐๐ง1 + ๐๐๐๐ง2
(3.11)
Untuk bilangan kompleks ๐ง yang dikalikan dengan ยฑ1 dan ยฑ๐, menghasilkan suatu pola yang menarik. Ketika mengalikan ๐ง dengan kesatuan (yang memiliki argument nol) memberikan ๐ง yang tetap dikedua modulus dan argument. Adapun dengan mengalikan โ1 (argumennya ๐) mengakibatkan rotasi, sepanjang sudut ๐, dari garis yang menghubungkan titik asal dengan ๐ง pada diagram Argand. Sama halnya dengan mengalikan ๐ atau โ๐ yang menghasilkan putaran ๐โ2 atau โ๐โ2.
Gambar 3.5 Pola menarik saat menglikan bilangan kompleks dengan ยฑ1 dan ยฑ๐
24
Sementara untuk operasi pembagian, misalkan diketahui bilangan kompleks ๐ง1 dan ๐ง2 , jika keduanya dibagi akan membentuk formasi : ๐ง1 ๐ฅ1 + ๐๐ฆ1 = ๐ง2 ๐ฅ2 + ๐๐ฆ2
(๐. ๐๐)
Untuk mendapatkan hasil yang terpisah antara bagian ril dan kompleksnya, kita kalikan dengan rasio kompleks konjugat dari pembagi atau dalam persamaan (3.12) adalah ๐ง2 : ๐ง1 (๐ฅ1 + ๐๐ฆ1 )(๐ฅ2 โ ๐๐ฆ2 ) ๐ฅ1 ๐ฅ2 + ๐ฆ1 ๐ฆ2 ๐ฅ2 ๐ฆ1 โ ๐ฅ1 ๐ฆ2 = = + ๐ ๐ง2 (๐ฅ2 + ๐๐ฆ2 )(๐ฅ2 โ ๐๐ฆ2 ) ๐ฅ2 2 + ๐ฆ2 2 ๐ฅ2 2 + ๐ฆ2 2
(๐. ๐๐)
Sama halnya dengan perkalian, pembagian bilangan kompleks juga menghasilkan beberapa persamaan yang sesuai dengan persamaan (3.10) dan (3.11) : |๐ง1 | ๐ง1 | |= |๐ง2 | ๐ง2
(๐. ๐๐)
๐ง1 arg ( ) = arg ๐ง1 โ arg ๐ง2 ๐ง2
(๐. ๐๐)
3.3 Representasi Polar Sebuah alternative untuk memetakan bilangan kompleks adalah dengan menggunakan kordinat polar (๐, ๐), yang memenuhi persamaan : ๐ฅ = ๐ cos ๐ ,
๐ฆ = ๐ sin ๐ ,
atau ๐ = โ๐ฅ 2 + ๐ฆ 2 ,
๐ฆ ๐ = tan ( ) ๐ฅ
(๐. ๐๐)
Dengan melakukan subtitusi pada persamaan umum bilangan kompleks pada kordinat kartesian, ๐ง = ๐ฅ + ๐๐ฆ, diperoleh persamaan : ๐ง = ๐ cos ๐ + ๐ ๐ sin ๐ = ๐๐ ๐๐
(๐. ๐๐)
Dimana ๐ ๐๐ merupakan persamaan euler yang sesuai definisi : ๐ ๐๐๐ = cos ๐๐ + ๐ sin ๐๐
(๐. ๐๐)
25
Gambar 3.6 Representasi polar bilangan kompleks ๐ง Penyederhanaan representasi dari modulus dan argument merupakan salah satu alas an menggunakan kordinat polar. Sudut ๐ secara konvensional terletak pada โ๐ < 0 โค ๐, namun karena rotasi ๐ adalah sama dengan rotasi 2๐๐ + ๐, dengan ๐ adalah bilangan bulat, didapatkan persamaan umum bilangan kompleks : ๐ง = ๐๐ ๐๐ โก ๐๐ ๐(๐+2๐๐)
(๐. ๐๐)
Jika kita memiliki dua buah bilangan kompleks dengan formasi polar, ๐ง1 = ๐1 ๐ ๐๐1 dan ๐ง2 = ๐2 ๐ ๐๐2 , jika dikalikan : ๐ง1 ๐ง2 = ๐1 ๐2 ๐ ๐(๐1 +๐2 )
(๐. ๐๐)
Sementara untuk pembagian : ๐ง1 ๐1 == ๐ ๐(๐1 โ๐2 ) ๐ง2 ๐2
(๐. ๐๐)
3.4 Teorema de Moivre ๐
Kita tahu bahwa (๐ ๐๐ ) = ๐ ๐๐๐ , sehingga sesuai dengan persamaan euler didapatkan : (๐๐๐ ๐ + ๐๐ ๐๐๐)๐ = cos ๐๐ + sin ๐๐
(๐. ๐๐)
Hasil ini disebut teorema de Moivre dan sering digunakan dalam maniulasi bilangan kompleks. Manipulasinya anatara lain; mencari identitas trigonometri, mencari akar ke-๐ suatu besaran.
26
3.4.1 Mencari Identitas Trigonometri Misalkan kita ingin mencari bentuk pangkat dari cos ๐ dan sin ๐, cos 3๐ + ๐ sin 3๐ = (cos ๐ + ๐ sin ๐)3 = (cos 3 ๐ โ 3 cos ๐ sin2 ๐) + ๐(3 sin ๐ cos 2 ๐ โ sin3 ๐) Metode ini juga dapat digunakan untuk mencari ekspansi pangkat dari cos ๐๐ dan sin ๐๐ untuk setiap ๐ bilangan bulat. ๐ง๐ + ๐ง๐ +
1 = (cos ๐ + ๐ sin ๐)๐ + (cos ๐ + ๐ sin ๐)โ๐ ๐ ๐ง
1 = cos ๐๐ + ๐ sin ๐๐ + cos(โ๐๐) + ๐ sin(โ๐๐) = 2 cos ๐๐ ๐ง๐
(๐. ๐๐)
Dan ๐ง๐ โ ๐ง๐ +
1 = (cos ๐ + ๐ sin ๐)๐ โ (cos ๐ + ๐ sin ๐)โ๐ ๐ง๐
1 = cos ๐๐ + ๐ sin ๐๐ โ cos(โ๐๐) + ๐ sin(โ๐๐) = 2๐ sin ๐๐ ๐ง๐
(๐. ๐๐)
3.4.2 Mencari Akar ke-๐ Persamaan ๐ง 2 = 1 memiliki solusi ๐ง = ยฑ1. Dengan menggunakan konsep bilangan kompleks, kita dapat menyelesaikan persamaa umum dari ๐ง ๐ = 1. Ingat bahwa persamaan tersebut memiliki ๐ buah solusi. Persamaan ๐ง ๐ dapat ditulis ulang : ๐ง ๐ = ๐ง 2๐๐๐ Dengan ๐ adalah bilangan bulat sembarang dan dengan melakukan penyederhanaan kita dapatkan : ๐ง = ๐ง 2๐๐๐โ๐
(๐. ๐๐)
Sehingga, solusi untuk ๐ง ๐ = 1 adalah : ๐ง1,2,โฆ.,๐ = 1, ๐ 2๐๐โ๐ , โฆ , ๐ 2๐(๐โ1)๐โ๐ Dengan ๐ nilainya mulai dari 0,1,2, โฆ , ๐ โ 1.Nilai ๐ yang semakin besar tidak memberi solusi baru karena akarnya telah berulang untuk ๐ = ๐, ๐ + 1, ๐ + 2, dan seterusnya.
27
Misalna mencari solusi dari ๐ง 3 = 1, sesuai persamaan (4.25) kita dapatkan : ๐ง = ๐ 2๐๐๐โ3 Selanjutnya, solusinya didapatkan dengan memasukkan nilai ๐, ๐ง1 = ๐ 0๐ , ๐ง2 = ๐ 2๐๐โ3 , ๐ง3 = ๐ 4๐๐โ3 . Ketika memasukkan nilai ๐ yang lebih besar, misalya 3, ๐ง4 = ๐ 6๐๐โ3 = 1 = ๐ง1. Sehingga terbukti hanya terdapat tiga buah solusi untuk ๐ = 3.
Gambar 3.7 Representase geometri solusi ๐ง ๐ = 1 3.5 Fungsi Hiperbolik Fungsi hiperbolik merupakan analogi kompleks dari fungsi trigonometri. Memiliki hubungan yang mirip dengan fungsi trgonometri, baik dari identitas maupun kalkulusnya. Terdapat dua fungsi fundamental, cosh ๐ฅ dan sinh ๐ฅ, yang masing-masing merupakan mirip dengan ๐๐๐ ๐ฅ dan ๐ ๐๐๐ฅ. Fungsi tersebut didefinisikan dengan relasi : 1 cosh ๐ฅ = (๐ ๐ฅ + ๐ โ๐ฅ ) 2
(๐. ๐๐)
1 ๐ฅ (๐ โ ๐ โ๐ฅ ) 2
(๐. ๐๐)
sinh ๐ฅ =
Dengan fungsi tersebut, leih jauh dapat dicari hubungan dari fungsi hiperbolik lain untuk tanh ๐ฅ, sech ๐ฅ, csch ๐ฅ, dan coth ๐ฅ.
28
Sesuai dengan persamaan euler, kita mendapatkan : cos ๐๐ฅ =
1 ๐ฅ (๐ + ๐ โ๐ฅ ) 2
sin ๐๐ฅ =
1 ๐ฅ (๐ โ ๐ โ๐ฅ ) 2
Sehingga didapat hubungan yang sangat jelas antara fungsi hiperbolik dengan fungsi trigonometri : cosh ๐ฅ = cos ๐๐ฅ
(๐. ๐๐)
๐ sinh ๐ฅ = sin ๐๐ฅ
(๐. ๐๐)
cos ๐ฅ = cosh ๐๐ฅ
(๐. ๐๐)
๐ sin ๐ฅ = sinh ๐๐ฅ
(๐. ๐๐)
29
4. DERET FOURIER
Fenomena periodik seperti gelombang, gerak harmonis, atau gaya-gaya berulang lain dideskripsikan dengan fungsi berulang. Deret dan transformasi Fourier merupakan media yang menjadi dasar untuk memecahkan berbagai fenomena berulang tersebut. 4.1 Kondisi Dirichlet Deret Fourier dapat digunakan untuk merepresentasikan suatu fungsi yang tidak dapat dilakukan dengan ekspansi Taylor. Agar fungsi ๐(๐ฅ) memenuhi kriteria deret Fourier, maka deret tersebut harus memenuhi kondisi Dirichlet : (i)
Fungsinya harus periodic
(ii)
Bernilai tunggal dan kontinu, kecuali mungkin pada nilai berhingga tertentu.
(iii)
Memiliki hanya satu titik maksimum dan minimum pada satu periode.
(iv)
Integral sepanjang periode |๐(๐ฅ)| harus konvergen.
Gambar 4.1 Sebuah contoh fungsi yang dapat direpresentasikan dengan deret Fourier Deret Fourier terdiri dari fungsi sinus dan kosinus. Esensi dari hal ini adalah sinus merupakan fungsi ganjil sementara kosinus merupakan fungsi genap, dimana keduanya merupakan fungsi periodik.
30
Setiap bagian pada deret Fourier saling ortogonal, setiap satu periode. Setiap bagiannya memenuhi sifat matematis berikut : ๐ฅ0 +๐ฟ
โซ ๐ฅ0 ๐ฅ0 +๐ฟ
โซ ๐ฅ0
๐ฅ0 +๐ฟ
โซ ๐ฅ0
2๐๐๐ฅ 2๐๐๐ฅ sin ( ) cos ( ) ๐๐ฅ = 0 ๐ฟ ๐ฟ ๐ฟ 2๐๐๐ฅ 2๐๐๐ฅ 1 cos ( ) cos ( ) ๐๐ฅ = { ๐ฟ ๐ฟ ๐ฟ 2 0 0 2๐๐๐ฅ 2๐๐๐ฅ 1 sin ( ) sin ( ) ๐๐ฅ = { ๐ฟ ๐ฟ ๐ฟ 2 0
untuk semua ๐ dan ๐
(๐. ๐)
untuk ๐ = ๐ = 0 untuk ๐ = ๐ > 0
(๐. ๐)
untuk ๐ โ ๐ untuk ๐ = ๐ = 0 untuk ๐ = ๐ > 0
(๐. ๐)
untuk ๐ โ ๐
dengan ๐ dan ๐ merupakan bilangan bulat lebih besar atau sama dengan nol. Ekspansi Fourier dari fungsi ๐(๐ฅ) memiliki bentuk umum : โ
๐0 2๐๐๐ฅ 2๐๐๐ฅ ๐(๐ฅ) = + โ [๐๐ cos ( ) + ๐๐ sin ( )] 2 ๐ฟ ๐ฟ
(๐. ๐)
๐=1
dimana ๐0 , ๐๐ , dan ๐๐ merupakan koefisien Fourier. 4.2 Koefisien Fourier Untuk fungsi periodik ๐(๐ฅ) dengan periode ๐ฟ, koefisien Fourier memenuhi persamaan : 2 ๐ฅ0 +๐ฟ 2๐๐๐ฅ ๐๐ = โซ ๐(๐ฅ) cos ( ) ๐๐ฅ ๐ฟ ๐ฅ0 ๐ฟ
(๐. ๐)
2 ๐ฅ0 +๐ฟ 2๐๐๐ฅ ๐๐ = โซ ๐(๐ฅ) sin ( ) ๐๐ฅ ๐ฟ ๐ฅ0 ๐ฟ
(๐. ๐)
dimana ๐ฅ0 adalah nilai sembarang namun sering diambil sebagai 0 atau โ๐ฟ/2. Penjabaran formula ini dapat dilakukan dengan mengalikan ๐(๐ฅ) pada persamaan (๐. ๐), dengan cos(2๐๐๐ฅ/ ๐ฟ), lalu mengintegralkan sepanjang satu periode penuh terhadap ๐ฅ. Hasil dari tahap tersebut, kemudian diselesaikan dengan menggunakan persamaan (๐. ๐), (๐. ๐), dan (๐. ๐). Fungsi yang simetri atau asimetri pada titik awal dapat mempermudah perhitungan dari koefisien Fourier. Fungsi dengan ๐ฅ ganjil tidak memiliki bagian kosinus dan semua koefisien ๐ bernilai
31
nol. Sebaliknya, fungsi dengan ๐ฅ genap tidak memiliki bagian sinus dan semua koefisien ๐ bernilai nol. Karena deret Fourier dengan fungsi ganjil atau genap hanya menyisakan setengah koefisien untuk menjabarkan perilaku keseluruhan periode, perhitungan deret Fourier akan menjadi lebih mudah. 4.3 Fungsi Diskontinu Ekspansi deret Fourier juga dapat diimplementasikan untunk fungsi diskontinu pada selang tertentu. Hasil ekspansinya sendiri tidak lah diskontinu dan nilain dari fungsi ๐(๐ฅ) hasil ekspansi akan bernilai setengah antara nilai batas atas dan nilai batas bawahnya. Pada titik diskontinu, representasi deret Fourier akan meampaui nilainya. Lebih banyak bagian digabungkan, posisi nilai lampauannya menyebabkan fungsi ekspansi bergerak mendekati diskontinu, tidak akan pernah hilang meskipun terdapat takberhingga bagian. Hal ini dikenal sebagai fenomena Gibbs.
Gambar 4.2 Konvergensi deret Fourier fungsi setengah gelombang, dengan (a) satu bagian, (b) dua bagian (c) tiga bagian, dan (d) 20 bagian dengan ๐ฟ menunjukkan lampauan fungsi. 4.4 Fungsi Non-Periodik Deret Fourier dapat pula digunakan untuk mengekspansi suatu fungsi non-periodik pada selang tertentu. Hasil dari selang tersebut kemudan diterapkan kepada selang lain sehingga membentuk suatu fungsi ekspansi periodik.
32
Misalnya mencari deret Fourier ๐(๐ฅ) = ๐ฅ 2 pada selang โ2 โค ๐ฅ โค 2. Dari gambar 4.3 terlihat periodenya 4. Catat juga bahwa fungsinya merupakan fungsi genap, mengakibatkan bagian ๐๐ bernilai nol dan menyisakan bagian kosinus.
Gaambar 4.3 Fungsi ๐ฅ 2 dengan selang โ2 โค ๐ฅ โค 2. Dengan persamaan (๐. ๐), dimana ๐ฟ = 4 didapatkan ๐๐ =
2 2 2 2 2๐๐๐ฅ ๐๐๐ฅ โซ ๐ฅ cos ( ) ๐๐ฅ = โซ ๐ฅ 2 cos ( ) ๐๐ฅ 4 โ2 4 2 0
= [ =
2 2 ๐๐๐ฅ 2 4 2 ๐๐๐ฅ ๐ฅ sin ( )] โ โซ ๐ฅ sin ( ) ๐๐ฅ ๐๐ 2 0 ๐๐ 0 2
16 (โ1)๐ ๐2๐2
adapun untuk ๐0 , 2 2 2 2 1 2 8 ๐0 = โซ ๐ฅ ๐๐ฅ = โซ ๐ฅ 2 ๐๐ฅ = [ ๐ฅ 3 ] = 4 โ2 3 0 3 0
Hasil akhir untuk ๐(๐ฅ), sesuai persamaan (๐. ๐), didapatkan โ
(โ1)๐ 4 16 ๐๐๐ฅ ๐(๐ฅ) = + 2 โ 2 cos ( ) 3 ๐ ๐ 2
untuk โ 2 โค ๐ฅ โค 2
๐=1
4.5 Deret Fourier Kompleks Dari pelajaran bilangan kompleks, bentuk ๐ ๐๐๐ฅ = cos ๐๐ฅ + ๐ sin ๐๐ฅ. Secara sepintas, terlihat bagian kosinus dan sinus muncul sekaligus. Hal ini membuat penyederhanaan deret Fourier. Deret Fourier dalam bentuk kompleks memiliki persamaan:
33
โ
๐(๐ฅ) = โ ๐๐ exp ( ๐=0
2๐๐๐๐ฅ ) ๐ฟ
(๐. ๐)
dengan koefisien Fourier: 1 ๐ฅ0 +๐ฟ 2๐๐๐๐ฅ ๐๐ = โซ ๐(๐ฅ) exp (โ ) ๐๐ฅ ๐ฟ ๐ฅ0 ๐ฟ
(๐. ๐)
yang dapat diturunkan dengan mengalikan ๐(๐ฅ) pada (๐. ๐) dengan exp (โ
2๐๐๐๐ฅ ๐ฟ
) dan
mengintegralkannya, serta dengan memperhatikan relasi ortogonal: ๐ฅ0 +๐ฟ
โซ
exp (
๐ฅ0
2๐๐๐๐ฅ 2๐๐๐๐ฅ ๐ฟ ) exp (โ ) ๐๐ฅ = { 0 ๐ฟ ๐ฟ
,๐ = ๐ ,๐ โ ๐
(๐. ๐)
Koefisien kompleks dari deret Fourier memiliki hubungan: 1 ๐๐ = (๐๐ โ ๐๐๐ ) 2 1 ๐โ๐ = (๐๐ + ๐๐๐ ) 2 Untuk ๐(๐ฅ) real, maka ๐โ๐ = ๐๐โ , atau biasa disebut sebagai kompleks konjugat dari ๐๐ . 4.6 Teorema Parseval Teoream Parseval beguna dalam menghubungkan koefisien Fourier dengan fungsi yang dideskripsikannya. Bentuk umumnya: โ
1 ๐ฅ0 +๐ฟ |๐(๐ฅ)|2 ๐๐ฅ = โ |๐๐ |2 โซ ๐ฟ ๐ฅ0 ๐=โโ
โ
2 1 1 = ( ๐0 ) + โ(๐๐2 + ๐๐2 ) 2 2
(๐. ๐๐)
๐=1
Persamaan tersebut menyatakan penjumlahan dari modulus kuadrat dari koefisien deref Fourier kompleks memiliki nilai yang sama dengan |๐(๐ฅ)|2 dalam satu periode. Teorema Parseval biasa digunakan dalam penjumlahan deret.
34
5. TRANSFORMASI FOURIER
5.1 Pengantar Transformasi Fourier Transformasi Fourier merepresentasikan fungsi terdefinisi pada interval takberhingga dan tidak periodik. Dengan kata lain, transformasi Fourier merupakan generalisasi dari deret Fourier yang merepresentasikan fungsi periodik. Misalkan untuk sebuah fungsi dengan periode ๐ dapat direpresentasikan sebagai deret Fourier kompleks โ
โ
๐(๐ก) = โ ๐๐ ๐ 2๐๐๐๐ก/๐ = โ ๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐ก ๐=โโ
(๐. ๐)
๐=โโ
Saat periode ๐ menuju tak terhingga, frekuensi quantum, โ๐ = 2๐/๐ menjadi sangat kecil dan spektrum frekuensi yang diizinkan ๐๐ menjadi kontinu. Penjumlahan tak terhingga berbentuk deret Fourier menjadi sebuah integral, dan koefisien ๐๐ menjadi fungsi kontinu dengan variabel ๐, dimana persamaannya 1 ๐/2 โ๐ ๐/2 โ2๐๐๐ก๐ข/๐ ๐๐ = โซ ๐(๐ก)๐ ๐๐ก = โซ ๐(๐ก)๐ โ๐๐๐ ๐ก ๐๐ก ๐ โ๐/2 2๐ โ๐/2
(๐. ๐)
Substitusi ke persamaan (๐. ๐), didapatkan bentuk โ
๐(๐ก) = โ ๐=โโ
โ๐ ๐/2 โซ ๐(๐ก)๐ โ๐๐๐ ๐ก ๐๐ก ๐ ๐๐๐ ๐ก 2๐ โ๐/2
(๐. ๐)
sampai disini, ๐๐ masih merupakan fungsi diskrit ๐ yang nilainya 2๐๐/๐. Untuk memudahkan imajinasi, perhatikan gambar 5.1. Setiap titik pada kurva merupakan alur dari ๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐ก sebagai fungsi dari ๐ dan jelas bahwa (2๐/๐)๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐ก memberikan luas dari persegi panjang (garis putus-putus) ke-๐. Saat ๐ menuju โ, maka โ๐ (= 2๐/๐) menjadi sangat kecil, lebar dari persegi panjang akan menuju nol dan, dari definisi matematis dari integral, โ
โ ๐=โโ
โ๐ ๐(๐๐ )๐ ๐๐๐ ๐ก โ 2๐
1 โซ ๐(๐๐ ) ๐ ๐๐๐ก ๐๐ 2๐
35
Gambar 5.1 Hubungan bagian Fourier untuk fungsi periode ๐ dan integral Fourier dari suatu fungsi dimana ๐/2
๐(๐๐ ) = โซ
๐(๐ก)๐ โ๐๐๐ ๐ก ๐๐ก
โ๐/2
Sehingga persamaan (๐. ๐) menjadi ๐(๐ก) =
โ 1 โ โซ ๐๐ ๐ ๐๐๐ก โซ ๐๐ก ๐(๐ก) ๐ โ๐๐๐ก 2๐ โโ โโ
(๐. ๐)
Hasil ini dikenal dengan teorema inversi Fourier. Transformasi Fourier dari ๐(๐ก) kemudian didefinisikan ๐ฬ(๐) =
1 โ2๐
โ
โซ ๐(๐ก) ๐ โ๐๐๐ก ๐๐ก
(๐. ๐)
โโ
dengan inversnya ๐(๐ก) =
1 โ2๐
โ
โซ ๐ฬ(๐) ๐ ๐๐๐ก ๐๐
(๐. ๐)
โโ
5.2 Fungsi Delta Dirac (๐น) Fungi delta Dirac dapat divisualisasikan sebagai pulsa sangat tajam (waktu, ruang, densitas, dsb) yang memproduksi sebuah efek dengan magnitude tertentu. Fungsi ๐ฟ-Dirac memiliki sifat ๐ฟ(๐ก) = 0
untuk ๐ก โ 0
(๐. ๐)
36
namun secara fundamental sifatnya memenuhi โซ ๐(๐ก)๐ฟ(๐ก โ ๐) ๐๐ก = ๐(๐)
(๐. ๐)
menghasilkan selang integasi pada titik ๐ก = ๐; selain itu integralnya sama dengan nol. Hal ini mengarahkan pada dua hasil lebih lanjut ๐
โซ ๐ฟ(๐ก) ๐๐ก = 1
untuk setiap ๐, ๐ > 0
(๐. ๐)
โ๐
dan โซ ๐ฟ(๐ก โ ๐)๐๐ก = 1
(๐. ๐๐)
memberikan selang integasi ๐ก = ๐. Sifat lain dari fungsi delta Dirac antara lain ๐ฟ(๐ก) = ๐ฟ(โ๐ก),
๐ฟ(๐๐ก) =
1 ๐ฟ(๐ก), |๐|
๐ก๐ฟ(๐ก) = 0
(๐. ๐๐)
Fungsi yang mirip dengan delta Dirac adalah fungsi Heaviside ๐ป(๐ก) = {
1 0
untuk ๐ก > 0 untuk ๐ก < 0
(๐. ๐๐)
namun fungsi ini diskontinu pada ๐ก = 0. Hubungannya dengan fungsi delta Dirac ๐ป โฒ (๐ก) = ๐ฟ(๐ก)
(๐. ๐๐)
Dari teorema inversi Fourier, persamaan (๐. ๐), dapat dilihat hubungannya dengan fungsi delta Dirac 1 โ ๐๐(๐กโ๐ข) ๐ฟ(๐ก โ ๐ข) = โซ ๐ ๐๐ 2๐ โโ
(๐. ๐๐)
Adapun transformasi Fourier dari fungsi ๐ฟ secara sederhana ๐ฟฬ(๐) =
1 โ2๐
โ
โซ ๐ฟ(๐ก) ๐ โ๐๐๐ก ๐๐ก = โโ
1 โ2๐
(๐. ๐๐)
37
5.3 Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap Jika ๐(๐ก) ganjil atau genap, teorema inversi Fourier dapat disajikan dalam bentuk berbeda. Untuk fungsi ganjil, didapatkan teorema inversi Fourier ๐(๐ก) =
โ 2 โ โซ ๐๐ sin ๐๐ก {โซ ๐(๐ข) sin ๐๐ข ๐๐ข} ๐ 0 0
menghasilkan transformasi Fourier sinus untuk fungsi ganjil 2 โ ๐ฬ๐ (๐) = โ โซ ๐(๐ก) sin ๐๐ก ๐๐ก ๐ 0
(๐. ๐๐)
2 โ ๐(๐ก) = โ โซ ๐ฬ๐ (๐) sin ๐๐ก ๐๐ ๐ 0
(๐. ๐๐)
Untuk fungsi genap, didapatkan teorema inversi Fourier ๐(๐ก) =
โ 2 โ โซ ๐๐ cos ๐๐ก {โซ ๐(๐ข) cos ๐๐ข ๐๐ข} ๐ 0 0
menghasilkan transformasi Fourier sinus untuk fungsi ganjil 2 โ ๐ฬ๐ (๐) = โ โซ ๐(๐ก) cos ๐๐ก ๐๐ก ๐ 0
(๐. ๐๐)
2 โ ๐(๐ก) = โ โซ ๐ฬ๐ (๐) cos ๐๐ก ๐๐ ๐ 0
(๐. ๐๐)
38
6. PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
6.1 Persamaan Diferensial Orde I Persamaan diferensial merupakan kelompok dari persamaan yang mengandung derivatives. Sesuai dengan namanya, persamaan diferensial biasa (PDB) hanya mengandung turunan biasa (tidak mengandung turunan parsial) dan mendeskripsikan hubungan antara variable tidak bebasnya, dengan variable bebasnya. Orde dari PDB secara sederhana mengacu pada orde tertinggi dari turunannya (derivatives). Persamaan yang hanya mengandung ๐๐ฆโ๐๐ฅ disebut PDB orde satu. Untuk persamaan yang mengandung ๐ 2 ๐ฆโ๐๐ฅ 2 disebut PDB orde 2, dan seterusnya. 6.1.1 Bentuk Umum Persamaan diferensial biasa dengan derajat satu hanya mengandung komponen ๐๐ฆโ๐๐ฅ untuk suatu fungsi x dan y. dan dapat ditulis dalam dua bentuk umum : ๐๐ฆ ๐๐ฅ
= ๐น(๐ฅ, ๐ฆ),
๐ด(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ + ๐ต(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฆ = 0
(๐. ๐)
dimana ๐น(๐ฅ, ๐ฆ) = โ๐ด (๐ฅ, ๐ฆ)โ๐ต (๐ฅ, ๐ฆ), dan ๐น(๐ฅ, ๐ฆ), ๐ด(๐ฅ, ๐ฆ), ๐ต(๐ฅ, ๐ฆ), secara umum dapat berupa fungsi x dan y. 6.1.2 Persamaan Variabel Pisah Persamaan variable pisah merupakan persamaan yang dapat dengan sederhana dituliskan dalam bentuk : ๐๐ฆ = ๐(๐ฅ)๐(๐ฆ) ๐๐ฅ
(๐. ๐)
Dimana ๐(๐ฅ) dan ๐(๐ฆ) adalah fungsi dari x dan y, termasuk juga dalam kasus ๐(๐ฅ) atau ๐(๐ฆ) adalah sebuah konstanta. Dengan melakukan pengaturan ulang, persamaan tersebut dapat ditulis kedalam bentuk integral โซ
๐๐ฆ = โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ ๐(๐ฆ)
(๐. ๐)
yang solusinya didapat dengan menyelesaikan persamaan tersebut.
39
6.1.3 Persamaan Eksak Persamaan diferensial eksak memenuhi bentuk umum ๐ด(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ + ๐ต(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฆ = 0,
dimana
๐๐ด ๐๐ต = ๐๐ฆ ๐๐ฅ
(๐. ๐)
Persamaan ๐ด(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ + ๐ต(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฆ dapat dituliskan dalam variable ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ), atau dengan kata lain ๐๐ =
๐๐ ๐๐ ๐๐ฅ + ๐๐ฆ = ๐ด๐๐ฅ + ๐ต๐๐ฆ ๐๐ฅ ๐๐ฆ
sehingga terlihat hubungan ๐ด(๐ฅ, ๐ฆ) =
๐๐ ๐๐ฅ
(๐. ๐)
๐ต(๐ฅ, ๐ฆ) =
๐๐ ๐๐ฆ
(๐. ๐)
Dengan merujuk pada persamaan diferensial eksak, ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 0, sehingga memiliki solusi ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐. Dimana ๐ disini dapat dicari dengan menyelesaikan salah satu dari dua persmaan diatas, dimana hasilnya adalah solusi dari persamaan diferensial eksak. ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = โซ ๐ด(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ + ๐น(๐ฆ)
(๐. ๐)
Dimana untuk ๐น(๐ฆ) dapat ditemukan dengan menurnkan persamaan ๐(๐ฅ, ๐ฆ) diatas terhadap ๐ฆ, kemudian melakukan penyamaan dengan persamaan ๐ต =
๐๐ ๐๐ฆ
.
6.1.4 Persamaan Linear Persamaan diferensial linear dapat ditulis dalam bentuk sederhana : ๐๐ฆ + ๐(๐ฅ)๐ฆ = ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ
(๐. ๐)
Persamaan tersebut dapat dirubah menjadi persamaan eksak dengan mengalikan factor pengintegralan. Faktor pengintegralan disini hanya berupa fungsi x semata.
40
Dengan memisalkan faktor pengintegralan ๐(๐ฅ, ๐ฆ), persamaan umum PDB linear menjadi ๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐๐ฆ ๐ [๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐ฆ] = ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐(๐ฅ) + ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐(๐ฅ)๐ฆ = ๐๐ฅ ๐๐ฅ
yang dengan melakukan pengintegralan, ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐ฆ = โซ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐(๐ฅ) faktor pengintegralan ๐(๐ฅ, ๐ฆ) dapat ditemukan dengan melihat bahwa : ๐ ๐๐ฆ ๐๐ ๐๐ฆ (๐๐ฆ) = ๐ +๐ฆ =๐ + ๐๐๐ฆ, ๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐๐ฅ yang memberikan hubungan sederhana : ๐๐ = ๐(๐ฅ)๐(๐ฅ) ๐๐ฅ ๐(๐ฅ) = ๐ โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ Sehingga penyelesaian umumnya memenuhi persamaan ๐ฆ = ๐ โโซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ โซ ๐(๐ฅ)๐ โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ ๐๐ฅ
(๐. ๐)
6.1.5 Persamaan Bernoulli Bentuk umum persamaan Bernouli adalah : ๐๐ฆ + ๐(๐ฅ)๐ฆ = ๐(๐ฅ)๐ฆ ๐ , ๐๐ฅ
dengan ๐ โ 0 atau 1
(๐. ๐๐)
PDB Bernoulli merupakan kasus khusus dari PDB linear, tapi PDB Bernoulli ini tidaklah linear. Hal ini disebabkan karena adanya ๐ฆ ๐ . Namun, PDB Bernoulli dapat diubah menjadi PDB linear dengan melakukan pemisalan sebuah variable baru ๐ฃ = ๐ฆ 1โ๐ yang mengakibatkan ๐๐ฃ = (1 โ ๐)๐ฆ โ๐ ๐๐ฆ. ๐๐ฆ =
๐ฆ๐ ๐๐ฃ (1 โ ๐)
41
dimana dengan menggantikan dy pada persamaan sebelumnya didapatkan : ๐๐ฃ + (1 โ ๐)๐(๐ฅ)๐ฃ = (1 โ ๐)๐(๐ฅ) ๐๐ฅ
(๐. ๐๐)
yang merupakan bentuk PDB linear. Tentu saja, solusinya dicari dengan metoda PDB linear. 6.1.6 Persamaan Homogen Persamaan diferensial homogen merupakan PDB yang dapat ditulis : ๐๐ฆ ๐ด(๐ฅ, ๐ฆ) ๐ฆ = = ๐น( ) ๐๐ฅ ๐ต(๐ฅ, ๐ฆ) ๐ฅ
(๐. ๐๐)
dimana ๐ด(๐ฅ, ๐ฆ) dan ๐ต(๐ฅ, ๐ฆ) merupakan fungsi homogen dengan derajat yang sama. Sebuah fungsi ๐(๐ฅ, ๐ฆ) homogen dengan derajat n jika, untuk setiap ๐, memenuhi ๐(๐๐ฅ, ๐๐ฆ) = ๐๐ ๐(๐ฅ, ๐ฆ) Misalnya, jika ๐ด = ๐ฅ 2 ๐ฆ โ ๐ฅ๐ฆ 2 dan ๐ต = ๐ฅ 3 โ ๐ฆ 3 , kita lihat bahwa A dan B merupakan fungsi homogen dengan derajat 3. Secara umum, untuk fungsi dengan bentuk A dan B, keduanya merupakan fungsi homogen, dan dengan derajat yang sama. Kita menjumlahkan setiap pangkat dari x dan y pada bagian A dan B untuk menjadi sama. Sisi kanan dari PDB homogen dapat ditulis sebagai fungsi y/x. Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan melakukan substitusi ๐ฆ = ๐ฃ๐ฅ, sehingga ๐๐ฆ ๐๐ฃ =๐ฃ+๐ฅ = ๐น(๐ฃ) ๐๐ฅ ๐๐ฅ Ini kemudian merupakan PDB variabel pisah dan dapat langsung diintegralkan โซ
๐๐ฃ ๐๐ฅ =โซ ๐น(๐ฃ) โ ๐ฃ ๐ฅ
(๐. ๐๐)
6.2 Persamaan Diferensial Orde II 6.2.1 Persamaan Diferensial Linear Secara Umum Bentuk umumnya : ๐๐ ๐ฆ ๐ (๐โ1) ๐ฆ ๐๐ฆ ๐๐ (๐ฅ) ๐ + ๐(๐โ1) (๐ฅ) (๐โ1) + โฏ + ๐1 (๐ฅ) + ๐0 (๐ฅ)๐ฆ = ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐๐ฅ
42
Saat ๐(๐ฅ) = 0, persamaannya disebut homogen, sebaliknya, persamaannya disebut tidak homogen. Solusi umum untuk persamaan diferensial linear, mengacu pada persamaan diatas, akan mengandung n buah konstan. Kasus paling umum yang sering dijumpai dalam masalah fisika adalah persamaan diferensial linear orde dua. Karena itu, buku ini memfokuskan untuk kasus PD Linear orde dua : ๐2๐ฆ ๐๐ฆ ๐ด(๐ฅ) 2 + ๐ต(๐ฅ) + ๐ถ(๐ฅ)๐ฆ = ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ ๐๐ฅ Dimana ๐ด(๐ฅ), ๐ต(๐ฅ) dan ๐ถ(๐ฅ) adalah sebuah fungsi yang kontinu. Persamaan ini biasa digunakan untuk mempelajari gerak dari sebuah pegas. 6.2.2 PD Linear Homogen Orde Dua dengan Koefisien Konstan Seperti di awal pembahasan, saat ๐(๐ฅ) = 0, persamaannya menjadi homogen. Bentuk umunya : ๐ด(๐ฅ)
๐2๐ฆ ๐๐ฆ + ๐ต(๐ฅ) + ๐ถ(๐ฅ)๐ฆ = 0 ๐๐ฅ 2 ๐๐ฅ
Dua fakta dasar membantu kita untuk dapat memecahkan solusi untuk persamaan di atas. Pertama adalah jika kita mengatahui dua solusi ๐ฆ1 (๐ฅ) dan ๐ฆ2 (๐ฅ) untuk persamaan tersebut, kombinasi linearnya juga merupakan solusi : ๐ฆ(๐ฅ) = ๐1 ๐ฆ1 (๐ฅ) + ๐2 ๐ฆ2 (๐ฅ) Dengan ๐1 dan ๐2 adalah suatu konstanta tertentu. Hal ini dapat dibuktikan dengan melakukan subtitusi ๐ฆ1 (๐ฅ) dan ๐ฆ2 (๐ฅ) pada persamaan yang menghasilkan nilai 0 dan menurunkan ๐ฆ(๐ฅ) dua kali lalu melakukan subtitusi pada persamaan awal. Fakta lain yang membuat kita mampu memecahkan solusi persamaan ini adalah, solusi umumnya berupa kombinasi linear dari dua solusi linear yang independen ๐ฆ1 (๐ฅ) dan ๐ฆ2 (๐ฅ). Ini berarti antara ๐ฆ1 (๐ฅ) dan ๐ฆ2 (๐ฅ) bukanlah merupakan kelipatan antara satu sama lain. Lebih jelasnya, fungsi ๐(๐ฅ) = ๐ฅ 2 dan ๐(๐ฅ) = 2๐ฅ 2 merupakan fungsi tidak bebas secara linear, tapi ๐(๐ฅ) = ๐ ๐ฅ dan ๐(๐ฅ) = ๐ฅ๐ ๐ฅ merupakan fungsi bebas secara linear. Secara umum tidak mudah mencari solusi khusus untuk PD linear orde dua. Namun saat koefisiennya, ๐ด(๐ฅ), ๐ต(๐ฅ) dan ๐ถ(๐ฅ) adalah sebuah konstanta, hal tersebut dapat dengan mudah
43
dilakukan. PD linear homogen orde dua dengan koefisien konstan akan memiliki formula sebagai berikut : ๐ด๐ฆ โฒโฒ + ๐ต๐ฆ โฒ + ๐ถ๐ฆ = 0
(๐. ๐๐)
Dengan ๐ด, ๐ต dan ๐ถ adalah konstanta dan ๐ด โ 0. Solusi persamaan di atas adalah sebuah fungsi y, teerdiri dari sebuah konstanta dikalikan dengan turnuan keduanaya (๐ฆโโ) ditambah dengan kontastanta lain yang dikalikan dengan turunan pertamanya (๐ฆโ) yang ditambah lagi dengan konstanta kemudian dikalikan dengan (๐ฆ) menghasilkan 0. Kita mengatahui bahwa fungsi eksponensial ๐ฆ = ๐ ๐๐ฅ (dengan ๐ adalah konstanta) memiliki turunan sebuah konstanta yang dikalikan dengan dirinya sendiri ๐ฆโฒ = ๐๐ ๐๐ฅ . Adapun turunan keduanya ๐ฆโฒโฒ = ๐ 2 ๐ ๐๐ฅ . Dengan melakukan substitusi dengan persamaan diatas : ๐ด(๐ 2 ๐ ๐๐ฅ ) + ๐ต(๐๐ ๐๐ฅ ) + ๐ถ(๐ ๐๐ฅ ) = 0 atau : (๐ด๐ 2 + ๐ต๐ + ๐ถ)๐ ๐๐ฅ = 0 Tapi ๐ ๐๐ฅ tidak pernah 0, sehingga ๐ฆ = ๐ ๐๐ฅ adalah solusi untuk PD linear homogen orde dua dengan koefisien konstan, dengan r adalah akar-akar dari persamaan : ๐ด๐ 2 + ๐ต๐ + ๐ถ = 0
(๐. ๐๐)
Persamaan di atas disebut persamaan karakteristik dari persamaan ๐ด๐ฆ โฒโฒ + ๐ต๐ฆ โฒ + ๐ถ๐ฆ = 0. Nilai ๐ bisa didapatkan dengan cara pemfaktoran, namun tidak jarang juga menggunakan rumus akar persamaan kuadrat : ๐1,2 =
โ๐ต ยฑ โ๐ต 2 โ 4๐ด๐ถ 2๐ด
Dimana kita dapatkan tiga kasus yang bergantung pada diskriminan ๐ต 2 โ 4๐ด๐ถ. Kasus pertama, saat ๐ต 2 โ 4๐ด๐ถ > 0. Kasus ini, akar-akar ๐1 dan ๐2 merupakan persamaan yang berbeda. Sehingga ๐ฆ1 = ๐ ๐1 ๐ฅ dan ๐ฆ2 = ๐ ๐2 ๐ฅ adalah dua solusi linear yang bebas dari persamaan ๐ด๐ฆ โฒโฒ + ๐ต๐ฆ โฒ + ๐ถ๐ฆ = 0. Sehingga solusi umumnya dapat ditulis :
44
๐ฆ = ๐1 ๐ ๐1๐ฅ + ๐2 ๐ ๐2 ๐ฅ
(๐. ๐๐)
Kasus kedua, saat ๐ต 2 โ 4๐ด๐ถ = 0. Pada kasus ini r1 = r2. Sehingga akar-akarnya real dan sama. Kita misalkan akar-akar sama ini dengan ๐. Sehingga, rumus akar persamaan kuadrat : ๐=
โ๐ต 2๐ด
sehingga 2๐ด๐ + ๐ต = 0
Dari syarat-syarat tersebut, didapatkan solusi untuk PD linear homogen orde dua dengan koefisien konstan dan akar-akar yang sama memberikan : ๐ฆ = ๐1 ๐ ๐๐ฅ + ๐2 ๐ฅ๐ ๐๐ฅ
(๐. ๐๐)
Kasus ketiga, saat ๐ต 2 โ 4๐ด๐ถ < 0. Pada kasus ini, r1 dan r2 terdiri dari bilangan kompleks. Kita dapat menuliskan : ๐1 = ๐ผ + ๐๐ฝ dan ๐2 = ๐ผ โ ๐๐ฝ Dimana ๐ผ dan ๐ฝ adalah bilangan real (๐ผ = โ๐ตโ(2๐ด) dan ๐ฝ = โ๐ต 2 โ 4๐ด๐ถ โ(2๐ด)), sehingga dengan menggunakan persamaan Euler : ๐ ๐๐ = ๐๐๐ ๐ + ๐๐ ๐๐๐ Solusi yang kita dapatkan menjadi : ๐ฆ = ๐ถ1 ๐ (๐ผ+๐๐ฝ)๐ฅ + ๐ถ2 ๐ (๐ผโ๐๐ฝ)๐ฅ = ๐ถ1 (๐ ๐ผ๐ฅ ๐ ๐๐ฝ๐ฅ ) + ๐ถ2 (๐ ๐ผ๐ฅ ๐ โ๐๐ฝ๐ฅ ) = ๐ถ1 ๐ ๐ผ๐ฅ (cos ๐ฝ๐ฅ + ๐ sin ๐ฝ๐ฅ) + ๐ถ2 ๐ ๐ผ๐ฅ (cos ๐ฝ๐ฅ โ ๐ sin ๐ฝ๐ฅ) = ๐ ๐ผ๐ฅ (๐ถ1 cos ๐ฝ๐ฅ + ๐๐ถ1 sin ๐ฝ๐ฅ + ๐ถ2 cos ๐ฝ๐ฅ โ ๐๐ถ2 sin ๐ฝ๐ฅ) = ๐ ๐ผ๐ฅ ((๐ถ1 + ๐ถ2 ) cos ๐ฝ๐ฅ + ๐(๐ถ1 โ ๐ถ2 ) sin ๐ฝ๐ฅ) atau disederhanakan ๐ฆ = ๐ ๐ผ๐ฅ (๐1 cos ๐ฝ๐ฅ + ๐2 sin ๐ฝ๐ฅ)
(๐. ๐๐)
Dengan ๐1 = ๐ถ1 + ๐ถ2 dan ๐2 = ๐(๐ถ1 โ ๐ถ2 ). Formula ini memberikan semua solusi yang dibutuhkan untuk persamaan diferensial. Rangkuman solsui untuk persamaan diferensial ๐ด๐ฆ โฒโฒ + ๐ต๐ฆ โฒ + ๐ถ๐ฆ = 0
45
6.2.2 PD Linear Tidak Homogen Orde Dua dengan Koefisien Konstan Formasi umum dari persamaannya adalah : ๐ด๐ฆ โฒโฒ + ๐ต๐ฆ โฒ + ๐ถ๐ฆ = ๐(๐ฅ) Dimana A, B, dan C adala suatu konstanta dan G adalah fungsi kontinu. Kita tahu bentuk homogennya adalah : ๐ด๐ฆ โฒโฒ + ๐ต๐ฆ โฒ + ๐ถ๐ฆ = 0 Solusi umum dari persamaan linear tidak homogen adalah : ๐ฆ(๐ฅ) = ๐ฆ๐ (๐ฅ) + ๐ฆ๐ (๐ฅ)
(๐. ๐๐)
Dengan ๐ฆ๐ (๐ฅ) adalah solusi khusus dari persamaan linear orde dua tidak homogen dengan koefisien konstan. Salah satu metode menyelesaikan persamaan jenis ini, pertama-tama, kita ilustrasikan sebuah persamaan : ๐ด๐ฆ โฒโฒ + ๐ต๐ฆ โฒ + ๐ถ๐ฆ = ๐(๐ฅ) Dimana ๐(๐ฅ) adalah sebuah polynominal. Masuk akal ketika kita menebak bahwa terdapat solusi partikular ๐ฆ๐ yang merupakan polynominal dengan derajat yang sama dengan ๐ karena jika ๐ฆ adalah polynominal, maka ๐ด๐ฆ โฒโฒ + ๐ต๐ฆ โฒ + ๐ถ๐ฆ juga merupakan polynominal. Kemudian dilakukan subtitusi ๐ฆ๐ (๐ฅ) sebuah polynominal kedalam persamaan tersebut dan menentukan koefisiennya. Misalkan ๐(๐ฅ) adalah sebuah polynominal ๐ฅ 2 , kita dapat mencari solusi khususnya dengan formasi : ๐ฆ๐ (๐ฅ) = ๐ด๐ฅ 2 + ๐ต๐ฅ + ๐ถ
(๐. ๐๐)
Kemudian melakukan diferensiasi sebanyak dua kali, lalu subtitusikan hasilnya pada persamaan awal untuk mencari koefisien.
46
Adapun ketika Q(x) adalah sebuah fungsi dengan formasi ๐ถ๐ ๐๐ฅ dengan C dan k adalah konstanta, kita menggunakannya solusi percobaan dengan formasi sama ๐ฆ๐ (๐ฅ) = ๐ด๐ ๐๐ฅ
(๐. ๐๐)
karena turunan dari ๐ ๐๐ฅ adalah suatu konstanta yang dikalikan dengan ๐ ๐๐ฅ . Jika ๐(๐ฅ) adalah fungsi yang terdiri dari ๐ถ cos ๐๐ฅ dan ๐ถ sin ๐๐ฅ, dengan memperhatikan aturan penurunan terhadap sinus dan kosinus, kita ambil sebagai solusi percobaan partikular adalah fungsi dengan formasi : ๐ฆ๐ (๐ฅ) = ๐ด cos ๐๐ฅ + ๐ต sin ๐๐ฅ
(๐. ๐๐)
Kasus lain, ketika ๐(๐ฅ) merupakan hasil dari suatu fungsi yang didahuli oleh sebuah variabel, kita mengambil solusi percobaan partikular yang sesuai dengan fungsi tersebut. Misalkan : ๐ฆ โฒโฒ + 2๐ฆ โฒ + 4๐ฆ = ๐ฅ๐๐๐ 3๐ฅ Kita mencoba solusi khususnya : ๐ฆ๐ (๐ฅ) = (๐ด๐ฅ + ๐ต) cos 3๐ฅ + (๐ถ๐ฅ + ๐ท) sin 3๐ฅ
47
7. TRANSFORMASI LAPLACE
7.1 Definisi Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial. Meski berbeda dan menjadi alternatif untuk variasi parameter dan koefisien yang tidak ditentukan, metode Laplace bermanfaat secara terpisah untuk masukan bagian yang hanya terdefinisi sebagian, periodic, ataupun impulsive. Transformasi Laplace ๐(๐ ) dari fungsi ๐น(๐ก) didefinisikan : โ
๐(๐ ) = ๐ฟ{๐น(๐ก)} = โซ ๐น(๐ก)๐ โ๐ ๐ก ๐๐ก
(๐. ๐)
0
yang merupakan bentuk umum integral biasa. Karena bentuk integral, sifat-sifat dari integral juga berlaku untuk transformasi Laplace ini. Misalnya : ๐ฟ{๐๐น(๐ก) + ๐๐บ(๐ก)} = ๐๐ฟ{๐น(๐ก)} + ๐๐ฟ{๐บ(๐ก)}
(๐. ๐)
7.2 Fungsi Elementer Sebagai pengantar transformasi Laplace, mari kita mengaplikasikannya untuk beberapa fungsi elementer. Untuk setiap kasus, kita asumsikan ๐น(๐ก) = 0 untuk ๐ก < 0. Jika ๐น(๐ก) = 1, ๐ก > 0 transformasi Laplacenya menjadi : โ 1 ๐ฟ{1} = โซ ๐ โ๐ ๐ก ๐๐ก = , ๐ข๐๐ก๐ข๐๐ > 0 ๐ 0
Contoh lain, ๐น(๐ก) = ๐ ๐๐ก , ๐ก > 0
48
transformasi Laplacenya menjadi : โ
๐ฟ{๐
๐๐ก }
= โซ ๐ ๐๐ก ๐ โ๐ ๐ก ๐๐ก = 0
1 , ๐ข๐๐ก๐ข๐๐ > ๐ ๐ โ๐
Dari dua bentuk diatas, transformasi Laplace untuk fungsi hiperbolikus ๐๐๐ โ dan ๐ ๐๐โ dapat diketahui. Kita tahu, 1
1
cosh ๐๐ก = 2 (๐ ๐๐ก + ๐ โ๐๐ก ),
sinh ๐๐ก = 2 (๐ ๐๐ก โ ๐ โ๐๐ก ) ,
transformasi Laplacenya menjadi : 1
1
1
๐
1
1
1
๐
๐ฟ{cosh ๐๐ก} = 2 (๐ โ๐ + ๐ +๐) = ๐ 2 +๐ 2 , ๐ฟ{sinh ๐๐ก} = 2 (๐ โ๐ โ ๐ +๐) = ๐ 2 +๐ 2 , Dimana keduanya terpenuhi untuk ๐ > ๐. Hal tersebut juga dapat dibuktikan untuk mencari transofmasi dari cos ๐๐ก dan sin ๐๐ก, dimana : ๐
๐ฟ{cos ๐๐ก} = ๐ 2 +๐ 2 , ๐
๐ฟ{sin ๐๐ก} = ๐ 2 +๐ 2, Keduanya berlaku untuk ๐ > 0. Fungsi elementer lain yang juga sering digunakan, adalah ๐น(๐ก) = ๐ก ๐ , yang transformasi Laplacenya : โ
๐ฟ{๐ก ๐ } = โซ0 ๐ก ๐ ๐ โ๐ ๐ก ๐๐ก, dengan menyelesaikan bentuk integral tersebut, didapatkan : ๐!
๐(๐ ) = ๐ ๐+1
untuk ๐ > 0
dan
๐ > โ1.
Dari beberapa persamaan di atas, setiap transformasi memiliki variabel ๐ pada pembagi, sehingga muncul sebagai pangkat negative. Dari definisi awal transformasi Laplace dan syarat keadaannya, dapat kita lihat bahwa jika ๐(๐ ) adalah sebuah transformasi Laplace, ๐๐๐ ๐(๐ ) = 0. ๐ โโ
49
Suatu hal penting dari fakta ini adalah jika ๐(๐ ) bersifat asymptotis untuk nilai ๐ yang besar sebagai pangkat positif dari ๐ , tidak ada transformasi invers yang memenuhi persamaan tersebut. 7.3 Hubungan Fungsi Tertentu dengan Transformasi Laplace Secara umum, fungsi Heaviside merupakan fungsi diskontinu yang nilainya nol untuk bagian negative dan nilainya satu untuk bagian positif. Misalkan fungsi Heaviside kita definisikan sebagai ๐ข(๐ก โ ๐), ๐ข(๐ก โ ๐) = {
0, 1,
๐ก < ๐, ๐ก > ๐,
(๐. ๐)
Gambar 7.1 Contoh grafik fungsi Heaviside dimana transformasi Laplace dari fungsi tersebut adalah : โ 1 ๐ฟ{๐ข(๐ก โ ๐)} = โซ ๐ โ๐ ๐ก ๐๐ก = ๐ โ๐๐ ๐ ๐
Misalnya sebuah grafik signal ๐น(๐ก) dengan tinggi ๐ด saat ๐ก = 0 sampai ๐ก = ๐ก0 , dengan menggunakan fungsi Heaviside, signal tersebut dapat direpresentasikan sebagai : ๐น(๐ก) = ๐ด[๐ข(๐ก) โ ๐ข(๐ก โ ๐ก0 )]. Transformasi Laplacenya menjadi : 1
๐ฟ{๐น(๐ก)} = ๐ (1 โ ๐ โ๐ก0 ๐ ). Penggunaan lebih lanjut pada persamaan diferensial akan berguna dengan menggunakan konsep fungsi Delta Dirac. Transformasi dari fungsi Delta Dirac : โ
๐ฟ{๐ฟ(๐ก โ ๐ก0 )} = โซ ๐ โ๐ ๐ก ๐ฟ(๐ก โ ๐ก0 ) ๐๐ก = ๐ โ๐ก0 ๐ ,
untuk
๐ก0 > 0
(๐. ๐)
0
50
Gambar 7.2 Grafik fungsi Delta Dirac Untuk ๐ก0 = 0 perlu diperhatikan, karena fungsi Delta Dirac berpengaruh pada distribusi kesimetrian dan definisi integral dari transformasi Laplace teerdestriksi untuk ๐ก โฅ 0. Hasil yang konsisten dari transformasi Laplace, didapatkan ketika urutan delta pada jangkauan ๐ก โฅ ๐ก0 , yang hasilnya : ๐ฟ{๐ฟ(๐ก)} = 1 Fungsi delta ini sering disebut fungsi impulse karena sangat berguna dalam mendeskripsikan gaya impulsive, yakni gaya yang terjadi pada waktu yang singkat. 7.4 Penerapan Transformasi Laplace pada Diferensial Salah satu fungsi dari transformasi Laplace adalah untuk menyelesaikan solusi dari persamaan difrensial.
Transformasi
Laplace
menjadikan
persamaan
diferensial
yang
dianalisis
ditransformasi ke ruang Laplace menjadi fungsi ๐(๐ ). Fungsi terebut dapat dirubah bentuknya menjadi aljabar sederhana, lalu melakkukan transformasi balik fungsi tersebut sehingga didapatkan solusi dengan variabel asal fungsi.
Gambar 7.3 Diagram alir penggunaan transformasi Laplace untuk diferensial
51
Misalkan transformasi Laplace untuk fungsi (๐ก) : โ
๐ฟ{๐น
โฒ (๐ก)}
=โซ 0
๐๐น(๐ก) โ๐ ๐ก ๐ ๐๐ก ๐๐ก
(๐. ๐)
Dengan melakukan integral parsial : โ
โ ๐ฟ{๐น โฒ (๐ก)} = ๐ โ๐ ๐ก ๐น(๐ก) | + ๐ โซ ๐น(๐ก)๐ โ๐ ๐ก ๐๐ก = ๐ ๐ฟ{๐น(๐ก)} โ ๐น(0) 0 0 Untuk turunan dengan orde dua, didapatkan : ๐ฟ{๐น โฒโฒ (๐ก)} = ๐ 2 ๐ฟ{๐น(๐ก)} โ ๐ ๐น(0) โ ๐น โฒ (0)
(๐. ๐)
Dari pemaparan tersebut, transformasi laplace untuk turunan dengan orde lebih tinggi akan mengikuti pola : ๐ฟ{๐น ๐ (๐ก)} = ๐ ๐ ๐ฟ{๐น(๐ก)} โ ๐ ๐โ1 ๐น(0) โ โฏ โ ๐น (๐โ1) (0)
(๐. ๐)
Setelah mendapatkan fungsi dari ๐(๐ ), persamaan tersebut diolah dengan operasi aljabar sederhana kemudian melakukan transformasi balik untuk mendapatkan nilai ๐(๐ก) yang kembali pada variabel awal : ๐ฟโ1 {๐(๐ )} = ๐(๐ก) Transformasi balik Lapace ini dikaji lebih dalam dengan teorema konvolusi. Misalkan ๐ฟ{๐(๐ก)} = ๐(๐ ) dan ๐ฟ{๐(๐ก)} = ๐(๐ ), transformasi balik dari hasil kalinya : ๐ฟโ1 {๐(๐ )๐(๐ )} = ๐ โ ๐
(๐. ๐)
Dimana ๐ โ ๐ adalah konvolusi dari fungsi ๐ dan ๐ yang memenuhi persamaan : ๐ก
๐ โ ๐ = โซ ๐(๐ )๐(๐ก โ ๐ )๐๐
(๐. ๐)
๐
Adapun penerapan transformasi laplace pada integral : ๐ก
โ
๐ฟ [โซ ๐(๐ข)๐๐ข] = โซ ๐๐ก ๐ ๐
๐
๐ก
โ๐ ๐ก
โ โ1 โ๐ ๐ก ๐ก 1 โ๐ ๐ก โซ ๐(๐ข)๐๐ข = [ ๐ โซ ๐(๐ข)๐๐ข] 0 + โซ ๐ ๐(๐ก)๐๐ก ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
Bagian pertama pada ruas kanan diabaikan, sehingga :
52
๐ก
๐ฟ [โซ ๐(๐ข)๐๐ข] = ๐
1 ๐ฟ[๐(๐ก)] ๐
(๐. ๐๐)
Bentuk lain, ketika kita memiliki fungsi konvergen bervariabel : โ
๐(๐ฅ) = โซ ๐ โ๐ฅ๐ก ๐(๐ก)๐๐ก 0
Dengan mengubah urutan integrasinya dapat dilihat bahwa : โ
โ
โ
โ
โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ = โซ ๐๐ฅ โซ ๐๐ก๐ โ๐ฅ๐ก ๐(๐ก) = โซ ๐ โ๐ฅ๐ก ๐
๐
0
0
๐(๐ก) ๐(๐ก) ๐๐ก = ๐ฟ [ ] ๐ก ๐ก
(๐. ๐๐)
Dari berbagai penjabaran tentang transformasi Laplace di atas, berikut adalah table transformasi Laplace untuk fungsi-fungsi standard.
Tabel 7.1 Daftar Transformasi Laplace beberapa fungsi
53
DAFTAR PUSTAKA [1]. K. F. Riley, M. P. Hobson, S.J. Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering, 3rd Ed., Cambridge University Press, London, (2006) [2]. G. B. Arfken, H. J. Weber, F. E. Harris, Mathematical Methods for Physicists, 7th Ed., Elsevier, Walthman, (2013) [3]. T.Surungan, Fisika Matematika, Vol. 1, Lembaga Kajian dan Pengembangan Pendidikan Universitas Hasanuddin, Makassar, (2012)
54