UNIVERZITET SINGIDUNUM
Prof. dr Jovan S. Rašeta
FINANSIJSK A I AKTUAR SK A M ATEM ATIK A Peto izdanje
Beograd, 2009.
FINANSIJSKA I AKTUARSKA MATEMATIKA Autor: Prof. dr Jovan S. Rašeta Recenzenti: Prof. dr Marko Ivaniš Prof. dr Ljubiša Stanojević Izdavač: UNIVERZITET SINGIDUNUM Beograd, Danijelova 32 www.singidunum.ac.rs
Za izdavača: Prof. dr Milovan Stanišić Tehnička obrada: Novak Njeguš Dizajn korica: Aleksandar Mihajlović Godina izdanja: 2009.
Tiraž: 500 primeraka Štampa: Mladost Grup Loznica
ISBN: 978-86-7912-224-7
SADRŽAJ
Prvi deo
Finansijska matematika ELEMENTARNI POJMOVI procenti, promili, glavnica, kamatna stopa, interes . . . . . . . . . . . . 3 I. Prost interesni raun 1. Budua vrednost sa prostim interesom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2. Sadašnja vrednost u prostom interesnom raunu . . . . . . . . . . 14 3. Delimina plaanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4. Prost interesni raun u kreditnim poslovima . . . . . . . . . . . . . . 18 5. Izjednaene vrednosti - ekvivalenti (srednji rok plaanja) . . . 19 II. Diskontni raun 1. Osnovne relacije eskonta i diskonta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2. Relacije izmeu prostog interesa i prostog diskonta . . . . . . . . 26 III. Podruja primene teorije prostog interesa 1. Lombardni raun (založni zajam) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Tekui (poslovni) raun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Potrošaki krediti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Eskontovanje i prolongacija menica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III
33 35 38 41
IV. Složeni interes 1. Faktor akumulacije (izraunavanje krajnje vrednosti kapitala) . . 2. Faktor akumulacije pri neprekidnom ukamaivanju . . . . . . . . 3. Relativna i konformna kamatna stopa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Diskontni i eskontni faktor u složenom interesu . . . . . . . . . . . 5. Hipotekarni krediti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Sukcesivna plaanja (uplate i isplate) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1. Faktor dodajnih uloga (III - nansijske tablice) . . . . . . . . 6.1.1. Ulaganje eše od obraunavanja interesa . . . . . . . . . 6.1.2. Ulaganje ree od obraunavanja interesa . . . . . . . . . 6.1.3. Promenljivi ulozi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Faktor aktuelizacije (IV tablice) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vežbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Otplata zajmova i kredita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Izrada plana otplate zajma sa jednakim anuitetima . . . . . 7.2. Izrada plana otplate zajma sa jednakim otplatama (sa nejednakim anuitetima) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Konverzija dugova. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51 56 57 60 61 63 63 66 67 68 69 72 76 77 80 83
V. Pojedinosti 1. Donošenje investicionih odluka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 1.1. Rizik izbora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 1.2. Metode ocene ekasnosti investicionih ulaganja . . . . . . . 98 1.3. Kompjuterizovane nansijske funkcije . . . . . . . . . . . . . 103 1.4. Kompleksno vrednovanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Drugi deo
Aktuarska matematika 1. Osiguranje života pojam i znaaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Osnovni principi osiguranja života . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Vrste osiguranja života . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Formiranje tarifa u osiguranju života . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV
113 121 131 135
5. Premija za osiguranje života jednog lica . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Premija za osiguranje dva lica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Matematika rezerva osiguranja života . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Knjigovodstvena metoda utvrivanja stanja premijske rezerve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Retrospektivna metoda utvrivanja stanja premijske rezerve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Prospektivna metoda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Obraun matematike rezerve sa bruto premijom osiguranja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5. Premijska rezerva kod osiguranja kapitala na utvreni rok, sa plaanjem premije u ratama: . . . . . . . . 7.6. Obraun premijske rezerve u osiguranju promenljive rente ili promenljivog kapitala, sa neto premijom osiguranja . . 7.7. Matematika rezerva kod osiguranja promenljivog kapitala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8. Metode grupnog obrauna matematike rezerve . . . . . . 8. Preinaenja zakljuenog osiguranja života (otkup, prolongacija i kapitalizacija) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Obaveza osiguravaa kod kapitalisanih (redukovanih) i otkupnih vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138 149 153 154 155 156 158 160 162 163 167 172 175
Trei deo
Aktuarske osnove osiguranja 1. Primena klasine statistike i teorije verovatnoe. . . . . . . . . . 1.1. Pojmovi: prosta, složena i uslovna verovatnoa . . . . . . . 1.2. Osnovni aksiomi i teoreme verovatnoe. . . . . . . . . . . . . 1.3. Zakon velikih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Domen teorije verovatnoe sa primerima . . . . . . . . . . . . . . . 3. Opšti aktuarski pristup. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1. Peterburški paradoks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Regresiona i korelaciona analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Sluajnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Procena broja šteta u portfelju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Model individualnog rizika. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V
179 182 185 186 199 204 204 209 216 220 225
6. Funkcija raspodele i zakon verovatnoe rizika . . . . . . . . . . . 6.1. Binomna raspodela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Poisonova raspodela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Eksponencijalna raspodela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Geometrijska, paskalova i negativna binomna raspodela . . 6.5. Ravnomerna raspodela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6. Normalna raspodela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7. Gamma raspodela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Model kolektivnog rizika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Simulacije osiguranih sluajeva u vremenu . . . . . . . . . . . . . 8.1. Analiza rizinosti portfelja - modeliranje uestalosti i iznosa šteta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Uloga i znaaj formiranja rezervi u osiguranju . . . . . . . 8.3. Simuliranje promena u rezervama . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4. Solventnost i samopridržaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5. Potrebna rezerva u relaciji sa strukturom portfelja . . . . . 8.6. Pojedinosti iz poslovanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Stohastiki aspekti rizika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1. Dinamika ravnoteža rizika u vremenu i prostoru . . . . . 9.2. Promene rizinosti portfelja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Održavanje stabilnosti portfelja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4. Procena nastalih neprijavljenih šteta . . . . . . . . . . . . . . . 9.5. Franšiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Reosiguranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
236 237 240 241 242 246 247 248 258 262 266 270 271 278 288 292 298 299 306 309 311 317 324
LITERATURA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 TABLICE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
VI
PREDGOVOR
Ovo je drugo izdanje udžbenika koji je pripremljen za studente UNIVERZITETA SINGIDUNUM - Fakultet za nansijski menadžment i osiguranje u Beogradu, za predmet Finansijska i aktuarska matematika, kao i za master – posle diplomske studije. Prvo izdanje ovog udžbenika je štampano 2005 godine i sada je u izvesnoj meri izmenjeno, uglavnom u prvom i treem delu. Autor je imao u vidu pre svega osnovne ciljeve: obrazovni i vaspitni, pa je gradivo u ovoj knjizi obradio prema programu Nastavno-naunog vea fakulteta. U toku jednog semestra, trebalo bi da studenti shvate kvantitativne nansijske odnose a sa druge strane da uvide mesto, ulogu i znaaj nansijskih i aktuarskih kvantikacija u rešavanju ekonomskih zadataka. Udžbenik je koncipiran tako da odgovori tim ciljevima i da može da se koristiti kao prirunik posle završenih studija. Osnovu gradiva u ovom udžbeniku ine dve grane primenjene matematike u kojima se operiše sa promenama vrednosti novca u vremenu: nansijska i aktuarska matematika. Zbog spajanja u jednu celinu izvršeno je znatnije reduciranje gradiva na najvažnije oblasti. Finansijska matematika tretira i obrauje zadatke u kojima se novane vrednosti, u nansijskim tokovima, menjaju u vremenu sa kvantikovanjem interesa za koji se razlikuje poetna od krajnje vrednosti nekog kapitala. Aktuarska matematika, u širem smislu, predstavlja primenu matematike statistike i teorije stohastikih procesa u osiguranju imovine i lica. U užem smislu ona se ograniava na primenu teorije verovatnoe i nansijske matematike u osiguranju života. Opšti i aktuarski aspekti neživotnog osiguranja izloženi su u treem delu, dok su aspekti matematike osiguranja života (aktuarska matematika) izloženi u VII
drugom delu ove knjige. Saglasno sa modernim zahtevima obrazovanja, u ovoj knjizi su iz osnovnog gradiva klasine nansijske matematike sa jedne strane izostavljena izvesna teorijska pitanja, a sa druge strane gradivo je prošireno osvrtom na nansijsko vrednovanje odluka u uslovima neizvesnosti tj. u poslovnim poduhvatima i ocenama ekasnosti investicionih ulaganja, kao bitnim aspektima tržišnog privreivanja. U treem delu se obrauju opšte i aktuarske osnove osiguranja koje su potrebne onim studentima koji e se opredeliti za aktuarske poslove u osiguranju. Gradivo je obraeno tako da se savlauje samostalnim uenjem, na predavanjima, prezentacijama, kompjuterskim simulacijama i diskusijom o kljunim aktuelnim pitanjima.U pedagoškom smislu, obim izlaganja gradiva daje studentu osnovne smernice za samostalni rad. Zbog toga je posebno u aktuarskoj matematici studentu ostavljen prostor za samostalno izvoenje potrebnih formula i prorauna prema izloženim aktuarskim principima, sa tablicama u prilogu. Autor ovog udžbenika ima punih 65 godina života i 40 godina profesionalnog iskustva u osiguranju, bankarstvu i obrazovanju. Stoga, po svoj prilici nee biti u mogunosti da prihvata predloge za poboljšanja ovog udžbenika, u novim izdanjima. Autor: Dr Jovan S. Rašeta
U Beogradu, septembar 2007. godine.
VIII
PRVI DEO
FINANSIJSKA MATEMATIKA
1
ELEMENTARNI POJMOVI
PROCENTI, PROMILI, GLAVNICA, KAMATNA STOPA, INTERES
Procenat (%) od neke veliine je stoti deo te veliine. Na primer ako je potrebno izraunati 5% od 1200, potrebno je 1200 podeliti sa 100 i taj kolinik pomnožiti sa 5. Promil (‰) od neke veliine je hiljaditi deo te veliine. Na primer ako je potrebno izraunati 5‰ od 1200, potrebno je 1200 podeliti sa 1.000 i taj kolinik pomnožiti sa 5. U osiguranju se premije osiguranja naješe obraunavaju na taj nain što se osigurana suma množi sa odgovarajuom premijskom stopom u promilima, a doplaci i popusti izraunavaju u procentnom raunu. Potrebno je obratiti pažnju, ako neku veliinu poveamo za izvesan procenat, a zatim tako uveanu veliinu umanjimo za isti procenat, neemo dobiti poetnu veliinu koju smo poveavali. Na primer cena nekog proizvoda 120 dinara, povea se za 5%. Nova cena e biti 126 dinara. Ako želimo da vratimo cenu na poetnu, tada je potrebno novu cenu da podelimo sa 105 i pomnožimo sa 100. Ako ne uradimo tako, ve npr. od nove cene 126 izraunamo 5% dobiemo 6,30 i ako za ovaj iznos umanjimo cenu od 126 dobiemo 119,70 a ne 120 dinara. Oigledno 120 > 119,70. U navedenim primerima, kada poveavamo cenu za izvesan procenat imamo obraun “od sto”, a ako je potrebno od krajnje vrednosti dobiti poetnu, procentni raun je “u sto”. Veliina od koje se izraunava neki procenat naziva se glavnica, a glavnica uveana za neki procenat, naziva se uveana glavnica. Kada se radi o novanim vrednostima, glavnicom se naziva poetna vrednost kapitala, dok je uveana glavnica krajnja vrednost kapitala. Kod procentnog rauna vreme nema nikakvu ulogu, dok je kod interesnog rauna vreme bitan inilac. 3
Kod procentnog rauna sve veliine su povezane proporcijom G : P = 100 : p Gde je:
G - glavnica P - uveanje glavnice (prinos ili prihod) p - procenat
Obraun uveane glavnice, odnosno krajnje vrednosti kapitala, naziva se kapitalizacija. Kod prostog interesnog rauna, proporcija koja povezuje veliine je drugaija od gore navedene proporcije procentnog rauna K : i = 100 : pg Gde je:
K - kapital (glavnica) i - interes (kamata) p - procenat g - vreme u broju godina
U privrednom poslovanju, kao i u svakodnevnoj praksi, vrši se promet novca i novanih vrednosti i uspostavljaju dužniko poverilaki i kreditni odnosi. U novanom prometu, dolazi do plaanja ili deponovanja (ulaganja) novca. Transakcije (plaanja) se vrše tokom vremena.Uložen novac u banku po protoku nekog vremenskog perioda donosi interes. Kod prostog obrauna interesa, interes izražen u procentu od jedinice uloga nazivamo kamatnom stopom. Novac i novane vrednosti nisu stalne ve se menjaju u vremenu. Promenu vrednosti novca u vremenu izražava interes, kao razlika izmeu poetne i krajnje vrednosti kapitala. Do pojave kompjutera, obraun interesa odnosno izraunavanja u vezi sa interesom, vršila su se korišenjem pomonih - nansijskih tablica.1 Izraunavanje interesa u kompjuterskoj eri vrši se automatski, preko odgovarajuih programskih aplikacija (softvera). Veliki broj prirunih kalkulatora ima nansijske funkcije sa kojim, ako znamo algoritam, možemo vršiti razna izraunavanja radi rešavanja i vrlo složenih zadataka. 1
Jugoslovensko bankarstvo - Kamatne i anuitetne tablice, Beograd, 1973.
4
Meutim, bez obzira na tehnika sredstva sa kojima vršimo izraunavanja, moramo znati smisao i svrhu izraunavanja. Interes je promenljiva veliina, koja zavisi: a) od iznosa glavnice i naina (dinamike) deponovanja, b) od trajanja perioda deponovanja c) od visine i vrste kamatne stope. d) d naina obrauna interesa Glavnica K (kapital) je poetna vrednost koju poverilac pozajmljuje odnosno na koju dužnik plaa poveriocu interes (kamatu). Interesna stopa (p) poveava glavnicu za godinu dana, odnosno za obraunski period, i stoga je vrednost novca promenljiva veliina. Ona pokazuje koliko novanih jedinica dužnik plaa na svakih 100 jedinica kapitala za godinu dana. Dodavanje interesa kapitalu (glavnici) naziva se kapitalisanje. Kapitalisanje se vrši istekom vremena upotrebe kapitala, koje može biti u godinama, mesecima ili danima. Kada je kapitalisanje godišnje, uz kamatnu stopu se navodi oznaka (pa) što je skraenica od per annum, za polugodišnje kapitalisanje oznaka je (ps) od per semestre, za tromeseno kapitalisanje (pq) od per quartale i za meseno (pm) od per mensem. Ukoliko se kapitalisanje i pripisivanje interesa vrši poetkom perioda re je o anticipativnom obraunu, a ukoliko se kapitalisanje i pripisivanje interesa vrši krajem perioda, re je o dekurzivnom obraunu. Uobiajeno je takoe da se, ulaganja poetkom perioda nazivaju anticipativnim a ulaganja krajem perioda dekurzivnim. Interesna stopa može biti prosta ili složena, tako da govorimo o prostom ili složenom kapitalisanju (ukamaivanju ili obraunavanju interesa). Složeni interesni raun imamo kada se posle svakog perioda ukamaivanja interes pripisuje glavnici tako da se u sledeem obraunu obraunava i interes na interes.
5
I. Prost interesni raun
7
1. BUDUA VREDNOST SA PROSTIM INTERESOM
Budua novana vrednost se razlikuje od poetne vrednosti za iznos interesa. Interes može biti obraunat u prostom ili složenom interesnom raunu. Najkrae, kod prostog interesnog rauna interes se uvek obraunava od glavnice, dok u složenom interesnom raunu, u svakom narednom obraunskom periodu glavnica se uveava za interes iz prethodnog perioda, tj. tako da se obraunava i interes na interes. Budua novana vrednost ima dve komponente: poetnu vrednost uloženog kapitala (P), koji je plasiran pod interes, sa prostom interesnom stopom (i) i iznos interesa (I) koji se ostvari tokom perioda ulaganja (t). Pojmovi iz nansijske matematike, kao i razliita izraunavanja, bila bi razumljivija i lakša za pamenje kada bi postojali standardi u oznakama pojedinih veliina. Nažalost, do sada u domaoj praksi to nije sluaj, premda se neki simboli eše koriste od drugih. Tako se budua vrednost oznaava razliitim simbolima: Kn (krajnja vrednost); FV (budua vrednost, sa korišenjem prvih slova u engleskom nazivu Future Value; S (zbir poetne vrednosti i iznosa interesa) itd. Sadašnja vrednost se naješe obeležava: K; K0; G; P; PV (present Value) Kamatna stopa p%, izražava se u procentima. Ako na primer kažemo da je kamatna stopa p%=4, imajui u vidu da procenat znai stoti deo, sledi da je ekvivalentna interesna stopa 4/100= 0,04. Interesna stopa (i) je iznos interesa na jedinicu uloga. Ona se javlja u obliku koecijenta koji je vei od nule i manji od jedinice. Interes je novani iznos koji se ostvaruje ulaganjem kapitala pod interes. Da bi se uopšte moglo da govori o interesu, potrebno je da postoji neki poetni kapital koji se ulaže (plasira). Taj poetni kapital u domaoj praksi razliito
9
obeležavamo, naješe sa G (poetno slovo od glavnice) u prostom interesnom raunu, i sa K0 u složenom interesnom raunu. U anglosaksonskoj praksi, poetni kapital se obeležava sa P (principal) ili PV (present value). Isto je i kod kamatne stope, koja može biti u obliku procenta (p%), ili u obliku interesne stope (i), pri emu je i = p/100. Na primer ako je data kamatna stopa 5% , pretvaranjem u interesnu stopu (koja je u obliku koecijenta), znai da 5 treba da podelimo sa 100, tako da je, u ovom primeru i= 5/100 = 0,05 Korišenjem interesne stope, kao oblika izražavanja kamatne stope, dobijamo jednostavnije obraune interesa, jer se smanjuje broj raunskih operacija. Interesna stopa i nije ništa drugo do interes koji se ostvaruje na jedinicu kapitala. Prema tome, ako je poetni kapital P=1 tada je I= i. Kada dužinu trajanja plasmana kapitala (uloga) iskazujemo u diskretnim jedinicama vremena, preglednije je da koristimo oblik razlomka t = broj diskretnih jedinica / vremenski period. Ako je vremenski period godina, onda imenilac u razlomku ima vrednost 1 kada brojilac izražava broj godina trajanja plasmana. Na primer, trajanje plasmana 3 godine t= (3/1) Ako je vremenski period semestar (šest meseci), onda imenilac ima vrednost 2. Na primer, trajanje plasmana 4 semestra (dve godine) t= (4/2) Ako je vremenski period kvartal (tri meseca), onda imenilac ima vrednost 4 Na primer dva kvartala t= (2/4) = ( ½ ), ( jedan semestar ili pola godine) Ako je vremenski period mesec, onda imenilac ima vrednost 12. Na primer 5 meseci t= (5/12) Ako je vremenski period dan, onda imenilac ima vrednost 365 ili 366 (egzaktno vreme) ili 360 (uprošena godina) Na primer 23 dana t=(23/365) Kada na napred navedeni nain izrazimo interesnu stopu i dužinu trajanja plasmana kapitala, izraunavanje interesa je znatno lakše i preglednije. Kada se ulaže poetni kapital na poznati rok sa poznatom interesnom stopom, iznos interesa (I) se izraunava po formuli I=Pit
10
Iz ove osnovne formule lako izraunavamo bilo koju veliinu kada su ostale tri poznate. Poetni kapital se izraunava kada se iznos interesa podeli sa interesnom stopom i trajanjem ulaganja. P = I/it Interesna stopa se izraunava kada iznos interesa podelimo sa poetnim kapitalom i trajanjem ulaganja i= I/ Pt Trajanje ulaganja se izraunava kada iznos interesa podelimo sa poetnim kapitalom i interesnom stopom t= I/Pi Vreme u anglosaksonskom prostom interesnom raunu može biti: 1) egzaktno zadato vreme (Exact Time) sa brojem dana trajanja perioda od ulaganja do obrauna, osim prvog dana kada je ulog stavljen pod interes. 2) Aproksimativno vreme ( Approximate Time) kada se svaki mesec rauna sa trajanjem 30 dana. Isto tako se razlikuje i nain odreivanja prostog interesa: 1) Obian interes kada se izraunavanje vrši sa trajanjem jedne godine 360 dana 2) Egzaktan interes kada se izraunavanje vrši za taan broj dana u godini 365 ili 366 dana kada je godina prestupna. Na ovaj nain dobijamo dva pravila obrauna u prostom interesnom raunu: 1) Bankarsko pravilo ( Banker´s Rule) koje se koristi kod kreditiranja, sa egzaktnim vremenom i egzaktnim interesom i 2) Tržišno pravilo (Market´s Rule) koje je sada retko u upotrebi
11
Razliku izmeu poetnog kapitala koji se stavlja pod interes i krajnje (budue) vrednosti kapitala ini iznos interesa FV-P= I Iznos interesa se izraunava po formuli I=Pit Na primer, ulaže se poetni kapital P = 20.000 sa interesnom stopom i = 0,06 na t= 9 meseci potrebno je da izraunamo koliki e biti interes na kraju perioda ulaganja I= Pit I= 20.000 (0,06)(9/12) = 900 Glavnica uveana za interes bie budua vrednost (FV = Future value) FV=P+I=P(1+(it)) 20.000 + 900 = 20.000 (1 + (0,06)(9/12)) = 20.900 Iz formule, FV=P(1+(i)(t)) možemo izraunavati buduu vrednost FV kada je poznata glavnica, interesna stopa i trajanje plasmana. Prema navedenom, buduu vrednost kapitala možemo da izraunamo iz razliitih formula: FV= P+I FV= P + Pit FV= P(1+it) Izraz (1+it) naziva se prostim interesnim faktorom. Radi preglednosti poželjno je sastaviti graki prikaz plaanja i prateih injenica na vremenskoj liniji
12
Vremenska linija se može segmentirati na periode jednakog trajanja, uzimajui za jedinicu, dan, mesec, godinu za jedinicu. Na primer poetkom nekog perioda koji traje 14 meseci izvrši se uplata K1 sa interesnom stopom i1, zatim posle isteka t1 vremenskih jedinica izvrši se uplata K2 sa interesnom stopom i2 . Ovaj primer na vremenskoj liniji izgleda ovako:
Potrebno je uvek tano uoiti momenat plaanja. Na ovom primeru vidimo da je plaanje K1 anticipativno za period t1 a plaanje K2 dekurzivno za isti period t1. Isto tako, za plaanje K2 možemo rei da je ono anticipativno u odnosu na period t2. Pošto je ukupno trajanje period izraženo u mesecima, periodi na vremenskoj liniji u obliku razlomka imaju u imeniocu 12 (godina ima 12 meseci)
13
2. SADAŠNJA VREDNOST U PROSTOM INTERESNOM RAUNU
Isto tako, kada su poznati: budua vrednost kapitala FV (poetni kapital uvean za ostvareni interes), interesna stopa i trajanje ulaganja, možemo izraunati poetnu vrednost kapitala P = FV/ (1+(i)(t)) Operaciju dobijanja poetne vrednosti kapitala u prostom obraunu interesa prikazujemo na vremenskoj liniji
FV = P(1+it) FV/ (1+(it) = P(1+it) / (1+it) FV/(1+it) = P Princip svoenja buduih vrednost na neto sadašnju vrednost kasnije emo upoznati kod ocene investicionog ulaganja prema kriterijumu NPV (neto sadašnje vrednosti)
14
U domaoj literaturi se uglavnom polazi od osnovne proporcije K : I = 100 : pg iz koje sledi formula za izraunavanja prostog interesa, kada je vreme dato u godinama I = Kpg/100 Ako prost interes izraunavamo samo za jednu godinu (g=1) formula za obraun interesa bie i= Kp/100 Kada želimo da izraunamo interes za mesec dana, godišnji interes emo podeliti sa 12, tako da je formula za jednomeseni interes I = (Kp/100)/12 = Kp/1200 odnosno za m meseci I = Kpm/1200 Kod izraunavanja interesa za 1 dan, godišnji interes delimo sa 360 ili sa 365 dana I = (Kp/100)/360 = Kp/36000 odnosno I = Kp/36500 za d dana, interes se izraunava po formuli
I = Kpd/ 36.000 odnosno I = Kpd/36.500
15
3. DELIMINA PLAANJA
Kod deliminih plaanja teorijski postoje dva pravila: Trgovako (Merchant´s Rule) i Ameriko (United States Rule). Kod odobravanja zajma sa prostim interesom, u ranom periodu kapitalizma, postojalo je trgovako pravilo za izraunavanje krajnje vrednosti kapitala. Dajemo primer: Zajam je odobren u iznosu 5.000 sa rokom dospea od 15 meseci, sa interesnom stopom 9% pa(d). Dužnik vraa posle 4 meseca 1200 i posle 9 meseci 950. Izraunati stanje duga po isteku 15 meseci, prema trgovakom pravilu obrauna.
S = P(1+it) X = - $5000 (1+ (0,09)(5/4) + $1200 (1 + (0,09)(11/12) + $950 (0,09)(1/2) X = - $ 5562,50 + $ 1299 + $ 992,75 = - $3270,75 Å Balance Due 16
Vidimo da se javlja razlika koja po US pravilu ne mora uvek da bude vea, jer zavisi od rasporeda plaanja u datom periodu. Pravilo US se primenjuje kada se kupovina neke robe vrši sa više menica (u primeru na strani 44, primenjen je klasian metod, koji daje isti rezultat kao US pravilo).
17
4. PROST INTERESNI RAUN U KREDITNIM POSLOVIMA
Neke nansijske obaveze ili ulaganja se esto kombinuju u vremenu, uplatama i isplatama u više navrata tokom perioda odreenog trajanja. U takvim sluajevima plaanja treba postavljati na vremensku liniju i izvršiti odgovarajue obraune. Na primer u periodu n meseci, vrši se k uplata, sa razliitim stopama interesa. U takvim sluajevima veoma je korisno predstavljati plaanja na vremenskoj liniji. Uzmimo na primer kreditiranje kupovine. Kupac može da kupi neku stvar na sledei nain: odmah plaa 20.000 dinara, posle 6 meseci 30.000 dinara i posle 9 meseci od kupovine plaa 40.000 dinara. U tom periodu je interesna stopa je konstantna i iznosi i=0,12 Da bi izraunali sadašnju vrednost svih plaanja, postavljamo vremensku liniju
P = FV / (1+ it) P = 20.000 + 30.000 / (1+(0,12)(1/2)) + 40.000 / (1+(0,12)(3/4)) P= 20.000 + (30.000/1,06) + (40.000/1,09)= 84.999 Ako je poznata cena stvari sa plaanjem u celosti prilikom kupovine, onda kupac na osnovu ovog rauna, oduzimanjem te cene, može videti koliko je prodavac naplatio interesa za odložena plaanja prema datim uslovima.
18
5. IZJEDNAENE VREDNOSTI - EKVIVALENTI (SREDNJI ROK PLAANJA)
Zlatno nansijsko pravilo glasi: Novane vrednosti se mogu uporediti samo ako su svedene na isti datum u vremenu. Na pitanje koje je povoljnije plaanje: a) jednokratno 3.000 dospeva za 45 dana ili b) dve rate od kojih prva 1.500 dospeva za 30 dana i druga 1.500 za 60 dana. iznosu 1.500, možemo dobiti razliite odgovore, u zavisnosti od toga kome smo postavili takvo pitanje. Samo neki e sa pravom primetiti da odgovor zavisi od veliine interesa koji se zaraunava, dok ostale odgovore možemo podeliti u dve grupe.Ima ljudi koji su skloni anticipiranoj potrošnji putem kredita ali i onih koji prema takvoj potrošnji imaju averziju. Bankarstvo posreduje izmeu onih koji štede i ti štedni ulozi su znaajan deo kreditnog potencijala koje banke odobravaju. Razume se da štediše na svoje depozite ostvaruju interes, dok oni koji uzimaju kredite plaaju interes. U bankarskom poslovanju štedišama se odobravaju pasivne a od zajmotražioca naplauju aktivne kamate.Interesna stopa štednje je uvek manja od interesne stope kredita, jer razlika mora da obezbedi rizik povrata kredita, kao i troškove i zaradu banke. Problem izjednaene vrednosti, u kome treba odrediti rok jednokratnog plaanja sa poznatom sumom koja zamenjuje nekoliko rata koje dospevaju tokom nekog odreenog perioda ilustrujemo kao jedan od primera izjednaenih vrednosti. Formulišimo sada napred navedeno pitanje prema sledeem: Dužnik poveriocu treba da plati, za 30 dana od sada,1500 dinara sa interesom u prostom interesnom raunu i=0,05 a potom posle 30 dana još 1500 dinara, sa istim interesom, tj. ukupan dug treba da bude izmiren posle 60 dana. Dužnik ovu obavezu može da izvrši jednokratnim plaanjem 3.000 dinara, ali da bi postigli ekvivalentno plaanje,postavlja se pitanje roka plaanja. 19
Za rešavanje ovog zadatka postavimo date podatke na vremensku liniju
Potrebno je da izraunamo buduu vrednost prve rate na dan dospea druge rate FV = P(1+(i)(t)) FV = 1.500 (1+ (0,05)(30/365)) = 1.506,16 Znai budua vrednost ukupne obaveze dužnika na dan plaanja poslednje rate iznosi 1.506,16 + 1.500= 3.006,16 dinara i taj iznos je vei od 3.000 sa kojim dužnim hoe da izmiri dug. Znai, iznos 3.000 dinara dužnik treba da plati u nekom roku pre isteka 60 dana. Da bi odredili rok jednokratnog plaanja postaviemo jednainu u kojoj uzimamo da je krajnja vrednost 3.006,16 a poetna jednokratni iznos plaanja 3.000 dinara. 3.006,16= 3.000(1+(0,05)((60-t)/365)) 3.006,16/3.000 =(1+(0,05)((60-t)/365)) t= 45 dana. Prema tome, objektivno se alternative plaanja izjednaavaju ako se jednokratno plaanje izvrši u roku od 45 dana. Kao drugi primer ekvivalencije, kao instruktivan razmotrimo sledei primer. Poznata nam je sadašnja vrednost P= 4.500 dinara, koja se dobija iz nepoznatih uloga u iznosu X od kojih prvi dospeva za 105 dana a drugi za 195 dana, ako je u ukupnom periodu interesna stopa konstantna i iznosi i=0,075.
20
Potrebno je da izraunamo koliko iznosi ulog X koji dospevaju: posle 105 dana i posle 195 dana Polazimo od formule P= FV/ (1+it) i formiramo ekvivalenciju 4.500 = x / (1+ (0,075)(105/365)) + x / (1+ (0,075)(195/365)) 4.500 = (x / 1,021875)+ (x / 1,040625) 4.500 = x ( 1/1,021875 + 1/1,040625) X = 2.320,12 Kod održavanja likvidnosti, ocene zaduženosti dužnika i razliitih nansijskih analiza, esto je potrebno da se više obaveza plaanja: u istim ili razliitim iznosima, odobrenim na iste ili razliite rokove, sa istom ili razliitom kamatnom stopom, svedu na srednji rok plaanja. Po deniciji, interes iz pojedinanih obaveza mora biti jednak interesu za period (vreme) do srednjeg roka plaanja svih obaveza, sa srednjom stopom. Na primer, jedan dužnik ima tri obaveze plaanja: K1=10.000, sa kamatnom stopom 4% i rokom 90 dana, K2=20.000, sa kamatnom stopom 4,5% i rokom 120 dana i K3=30.000 sa kamatnom stopom 5% i rokom 150 dana. Koristei formulu za izraunavanje interesa po jednom plaanju, za ukupan dug možemo izraunati ukupan interes iz zbira pojedinanih interesa (K1p1d1 / 36.500) + (K2p2d2 / 36.500) + (K3p3d3 / 36.500) (10.000 x 4 x 90 / 36.500) + (20.000 x 4,5 x 120/36.500) + (30.000 x 5 x 150/36.500) = 98,63 + 295,89 + 616,44 = 1.010,96 dinara Vreme do srednjeg roka otplate svih obaveza izraunavamo po formuli: ds = >(K1p1d1)+(K2p2d2)+...+(Knpndn)@ / >ps ( K1+K2+...+Kn)@ gde je ps srednja kamatna stopa koju izraunavamo po formuli ps = >(K1p1)+(K2p2)+...(Knpn)@ / (K1+K2+...+Kn)
21
U našem primeru, srednja stopa iznosi ps = (40.000+90.000+150.000)/60.000= 280.000/ 60.000 = 4,6666 tako da je srednji rok ds =(3.600.000+10.800.000+22.500.000)/ (4,6666 x 60.000) ds =36.900.000/ 279.996 = 131,787 dana Raun proveravamo prema deniciji jednakosti interesa: (60.000 x 4,6666 x 131,787) / 36.500 = (10.000 x 4 x 90 / 36.500) + (20.000 x 4,5 x 120/36.500)+(30.000 x 5 x 150/36.500)= 1.010,95 dinara.
22
II. Diskontni raun
23
1. OSNOVNE RELACIJE ESKONTA I DISKONTA
Uveanje kapitala sa obraunatim prostim interesom se naziva eskont. Obratna operacija, umanjenje budue vrednosti kapitala za interes koji je pripisan poetnom kapitalu naziva se diskont. Eskontnim obraunom dobijamo poetni kapital uvean za interes, a diskontnim raunom dobijamo iz budueg kapitala poetni kapital. Eskont i diskont mogu biti u prostom i složenom interesnom raunu. Eskontno diskontni obrauni sa prostim interesom, primenjuju se kod plaanja, odnosno prometa, u kojima se koriste hartije od vrednosti: blagajniki zapis (Promisory Note), menica, obveznica (Bond) itd. Razmotrimo jedan instruktivan primer. Poetni kapital P=100 uveavamo prostim interesom za godinu dana sa interesnom stopom i=0,10. Dobiemo buduu vrednost kapitala (poetni kapital uvean za interes 110 jer je I= P(i)(1)= 100(0,01)=10 FV=P+I= 100+10 Ako sada od budue vrednosti kapitala izraunamo interes sa interesnom stopom 0,10 dobiemo interes I = 110 x 0,10 = 11. Ako sada od budue vrednosti oduzmemo tako obraunati interes 110-11= 99 vidimo da dobijamo manji iznos od poetne vrednosti kapitala koji smo uveavali sa interesnom stopom 0,10. Ovaj primer nam pokazuje da iznos diskonta jednak iznosu eskonta ne možemo dobiti prostim množenjem krajnje (budue) vrednosti kapitala sa interesnom stopom kao u sluaju eskonta, odnosno izraunavanja prostog interesa. Ako diskontnu stopu obeležimo sa (d), tada je ona u relaciji sa interesnom stopom (eskontnom stopom). U anglosaksonskoj literaturi se relacije izmeu interesne stope prostog interesa sa kojom se vrši eskont i diskontne stope, naziva kupon ekvivalencije (Coupon Equivalent) d = i / (1+it) i = d/(1-(d)(t))
25
2. RELACIJE IZMEU PROSTOG INTERESA I PROSTOG DISKONTA
Uporednim razmatranjem eskonta i diskonta sledi raun eskonta (prostog interesa)
raun diskonta
P = FV/ (1+(i)(t))
P = FV(1-dt) FV(1-dt) = FV/ (1+(i)(t))
Posle skraivanja sa FV na obe strane 1-dt = 1/ (1+(i)(t) 1+it = 1/ (1-(d)(t)) it = dt/ (1-(d)(t)) i posle skraivanja sa t i = d/ (1-(d)(t) U primeru koji smo razmatrali buduu (krajnju) vrednost kapitala 110 treba pomnožiti sa diskontnom stopom (d) da bi dobili iznos diskonta koji treba oduzeti od krajnje vrednosti kapitala da bi dobili poetnu vrednost kapitala. Prema tome, diskontna stopa u ovom primeru iznosi d= 0,1/(1,1) tako da je 110(0,1/(1,1) = 10 i 110-10 = 100
26
Prema interpretacijama koje se nalaze u domaoj literaturi, interesni raun može biti: a) u sto b) na sto c) od sto Interesni raun u sto imamo kada je dat umanjeni kapital za interes, dok interesni raun na sto koristimo kada je uvean kapital za interes. Kada je poznat iznos glavnice (kapitala) za izraunavanje interesa vršimo obraun od sto. Tada koristimo sledee proporcije, prema tome kako je vreme dato K: I=100:pg (vreme u godinama g) K: I=1200: pm (vreme u mesecima) K: I= 36000: pm ili K:I=36500:pd (vreme dato u danima) Interesni raun u sto upotrebljavamo kada je poznata umanjena vrednost kapitala. Tada koristimo sledee proporcije, u zavisnosti od datog vremena (K-I): 100-pg)= K:100 (K-I: (100-pg)= I:pg (za vreme u godinama) (K-I): (1200-pm)=K:1200 (K-I): (1200-pm)= I: pm (za vreme u mesecima) (K-I): (36000-pd)=K:36000 (K-I): (36000-pd)=I: pd (za vreme dato u danima)
27
Interesni raun na sto (ili više sto) se koristi kada je poznata uveana vrednost kapitala za interes.Tada koristimo sledee proporcije, u zavisnosti od datog vremena (K+I): 100+pg)= K:100 (K+I): (100+pg)= I:pg (za vreme u godinama) (K+I): (1200+pm)=K:1200 (K+I): (1200+pm)= I: pm (za vreme u mesecima) (K+I): (36000+pd)=K:36000 (K+I): (36000+pd)=I: pd (za vreme dato u danima)
Primeri: 1. Koliko interesa e platiti dužnik za pozajmljenih 40.000 din. za 4 godine uz kamatnu stopu 5% prostog interesa godišnje. Ovde je: K= 40.000; g= 4; p=5%; I= ? Pošto je vreme u godinama koristimo formulu (1.3) I= 40.000 x 5 x 4/100= 8.000 din. 2. Koliko interesa e platiti dužnik za pozajmljenih 120.000 din. za 9 meseci uz kamatnu stopu 8% prostog interesa godišnje. Ovde je: K= 120.000; m=9; p=8%; I= ? Pošto je vreme u mesecima koristimo formulu (1.4) I = 120.000 x 8 x 9 /1200 = 7.200 din.
28
3. Koliki interes e dužnik platiti za pozajmljenih 500.000 dinara, za 45 dana uz kamatnu stopu 7% prostog interesa godišnje. Ovde je: K= 500.000; d=45; p=7%; I= ? Pošto je vreme u danima koristimo formulu (1.5) I= 500.000 x 45 x 7 /36.500 = 4.315,07 din. 4. Koliki interes e dužnik platiti za pozajmljenih 300.000 dinara, za period od 23.jula do 15 septembra, uz kamatnu stopu 7% prostog interesa godišnje. Ovde najpre moramo da izraunamo koliko dana ima u periodu od 23.jula do 15 septembra. - u julu 9 dana - u avgustu 31 dan - u septembru 15 dana ukupno 55 dana Ovde imamo K= 300.000; d=55; p=7%; I=? koristimo formulu (1.5) I = 300.000 x 55 x 7/36.500= 3.164,38 din.
Dakle, The Basic Simple Interest Formula
I = Pit
I = interest P = principal i = rate per year t = time in years *
U aktuelnom vremenu (2007 godina) u Srbiji uglavnom posluju strane banke kojima upravljaju stranci. Oni su naviknuti na anglosaksonsku notaciju u finansijskim iskazima i zbog toga neke pojedinosti prikazujemo u interpretaciji na engleskim jeziku.
29
Future Value Formula
S=P(1+it)
(1+it) = Siple Interest Faktor S = Maturity value S = FV FV = Future Value
Present Value Formula P= S / (1+it) P = PV Isto tako, umesto eskontnog rauna možemo primeniti diskontni raun, pri emu se moraju koristiti relacije ekvivalencije interesne stope i diskontne stope i=d/1-dt
d= i/ 1+it
P= S(1- dt)
P= S/ (1+it)
tako da je
30
III. Podruja primene teorije prostog interesa
31
1. LOMBARDNI RAUN (ZALOŽNI ZAJAM)
Založni zajmovi su poznati pod nazivom Lombardni poslovi (zajmovi). Za razliku od hipotekarnih kredita, kod kojih su zaloge nepokretnosti, podloga za lombardne zajmove su pokretne zaloge. Pokretne zaloge reprezentuje neka hartija od vrednosti koja se može odnositi na: a) efekte, b) plemenite metale, c) menice, d) robu koja je smeštena u javnom skladištu. Kod lombardovanja je potrebno odrediti: a) vrednost zaloge potrebne za odreivanje zajma b) visinu odobrenog zajma prema vrednosti zaloge c) lombardnu kamatu d) proviziju e) troškove skladištenja, procene robe i ostali troškovi Vrednost zaloge se odreuje na bazi berzanskog kursa ili na bazi procene i ona je uvek niža od aktuelne tržišne vrednosti. Uobiajeno je da se zajam daje, na zlato i druge plemenite metale na 95% istog sadržaja plemenitog metala; na efekte od 40 do 75%; na robu do 70% od procenjene vrednosti. Provizije se uglavnom kreu2 oko 1‰. 2
R.Ralevi, M.orevi, N.Savi: Matematika za ekonomiste, V izdanje, Savremena administracija, Beograd, 1975.
33
Obrauni kod lombardnih zajmova se vrše slino kao kod eskontovanja i diskontovanja menica. Lombardni zajam se može vratiti pre roka ili posle roka ili o roku. Lombardni zajmovi se odobravaju sa rokom od tri meseca. Za raunanje interesa, meseci se raunaju po kalendaru a godina sa 360 dana. U sluaju zakašnjenja dužnik od roka do dana regulisanja zajma plaa interes na zajam izraunat interesnom stopom za 1% veom nego što je normalna interesna stopa.Od dana regulisanja obaveze do narednog roka primenjuje se normalno odreena stopa.
34
2. TEKUI (POSLOVNI) RAUN
Preduzea ostvaruju nansijski promet u poslovanju sa bankom i esto radi nansiranja svojih poslovnih aktivnosti koriste kredite banke. Banka prilikom odobravanja kredita nekom preduzeu istovremeno otvara tekui (kontno-korentni) raun tog preduzea. Na raunu banka prati nansijske promene uplata i isplata, i na osnovu toga vrši obraun kamate. Obraun se po pravilu vrši dva puta godišnje (30.06. i 31.12.) i vanredno prilikom likvidacije rauna. Kamatni broj (Kbr) je iznos koji se izraunava množenjem iznosa uplate/ isplate sa brojem dana (d). Broj dana se izraunava na dva naina: Po pozitivnom metodu, raunanje broja dana vrši se od datuma transakcije do datuma obrauna, dok se po negativnom metodu, broj dana izraunava za protekli period od dana transakcije do poetka obraunskog perioda. Kamatni klju (D) je kolinik izmeu 36.000 i kamatne stope (ako se rauna da godina ima 360 dana), odnosno kolinik izmeu 36.500 i kamatne stope ako se rauna da godina ima 365 dana. Pomou salda kamatnog broja i kamatnog kljua, tj. iz njihovog kolinika izraunava se interes. Ako je saldo kamatnog broja dugovni, klijent plaa interes, a ako je potražni banka plaa interes klijentu. i = Kbr / D Prilikom zakljuka tekueg rauna, banka naplauje troškove, prema broju manipulativnih pozicija (stavki) i po svakom izvodu. Osim toga, u skladu sa poslovnom politikom, banke naplauju i proviziju za obavljanje platnog prometa, koja se može obraunavati od ukupnog prometa ili na neki drugi nain (npr od najveeg iznosa u periodu).
35
Kod prometa na tekuim raunima obraun interesa u bankarskoj praksi vrši se korišenjem tri postupka (tehnike): • Stepenasta metoda • Pozitivna metoda • Negativna metoda Sva tri naina daju isti rezultat obrauna interesa. Ove tehnike u kompjuterizovanim obraunima imaju samo teorijski znaaj. Bitno je znati princip tj. da se interes u krajnjoj liniji obraunava na saldo, dugovni ili potražni. Stepenasta metoda hronološki prati datume uplata i isplata, dok se druge dve metode zasnivaju na odvojenim prikazima dugovne i potražne strane, odnosno tokovima uplata i isplata na tekuem raunu. Metode ilustrujemo primerima polugodišnjih zakljuaka, u kojima se uzima (k, 360), kamatna stopa 6%; (novani iznosi i Kbr u 000 dinara); provizija 3% od ukupnog prometa. Stepenasta metoda: Duguje/ Potražuje
Iznos
broj dana
Rok
kamatni broj
od
do
31.12.
12.01
12
480
15.03
62
3.410
30.04.
46
920
20.05
20
600
30.05
10
80
30.06
31
93
D
40
D
15
D
55
12.01.
P
35
15.03.
D
20
15.03.
D
10
30.04
D
30
30.04
P
22
20.05
D
8
20.05
P
5
30.05
D
3
30.05
D
Saldo Kbr 5583 interes = Saldo Kbr / D = 5.583.000 / 6000 = 930,50 dinara
36
P
Pozitivna metoda: Datum
Opis
Rok
d
Iznos
Kbr
Datum
Opis
Rok
d
Iznos Kbr
01.01. po.stanje
31.12. 181
40
7.240 25.02. uplata 15.03
107
35
3.745
10.01. pla.dob.
12.01. 169
15
2.535 10.04. uplata 20.05
41
22
902
10
610
31
5
155
20.04. isplata eka 30.04.
61
15.05. uplata 30.05. 30.06. saldo za izr.
65
30.06
3 65
Saldo Kbr = (7.240+2.535+610) – (3.745+902+155) = 5.583 Kamatni klju D = 36.000 / 6 = 6.000 Interes = saldo Kbr / D Interes (dinara)=5.583.000/6000=930,50 dinara Ukupan promet: 40+15+10+35+22+5 = 127 127.000 x 1,5% = 1.905 dinara
Negativna metoda: Datum
Opis
Rok
d
Iznos
Opis
Rok
d
40
25.02. uplata
15.03
74
35
2.590
180 10.04. uplata
20.05 140
22
3.080
1.200 15.05. uplata 30.05. 150
5
750
3
543
01.01. po.stanje
31.12.
10.01. pla.dob.
12.01.
12
15
20.04. ispl.eka
30.04. 120
10
Kbr
Datum
30.06. saldo za izr.
65
Saldo Kbr= -180-1200+2.590+3.080+750+543=5.583 Kamatni klju D= 36.000/6= 6.000 Interes= saldo Kbr/ D Interes (dinara)=5.583.000/6000=930,50 dinara Ukupan promet: 40+15+10+35+22+5= 127 Provizija:127.000 x 1,5%= 1.905 dinara
37
30.06 181
Iznos Kbr
65
3. POTROŠAKI KREDITI
Kod potrošakih kredita, kreditori vrlo esto obraunavaju interes unapred interesnim raunom od sto. Interes se u prvom mesecu rauna na ceo dug, a potom u ostalim mesecima sukcesivno na ostatatak duga po odbitku otplate. Iznos otplate glavnice, za koji se umanjuje ostatak duga, izraunava se tako što iznos kredita podelimo sa brojem meseci perioda otplate. Otplata= K/m Interes u prvom mesecu I1= K p% / 100m = Kp/1200 ; m=12 Interes u drugom mesecu I2 = (K- K/m)(p/1200) = (Kp/1200)-(Kp/(1200m)) = (Kp/1200)(1-(1/m)) Interes u treem mesecu se obraunava na ostatak duga, kada su odbijene dve mesene otplate 2K/m , tako da je I3= (K-2K/m)(p/1200)= (Kp/1200)(1-(2/m)) Interes u poslednjem m-tom mesecu Im=(Kp/1200)(1-(m-1)/m)= (Kp/1200)(1/m) Prema tome, ukupan interes je jednak: U=(Kp/1200)>1+(1-(1/m))+ (1-(2/m))+ (1-(3/m))+...+ 1/m@ U= (Kp (m+1)/2)/ 1200 U=Kp(m+1)/ 2400 U=Kp(m+1)/2400 38
Iznos ukupne kamate koja e se obraunati kod potrošakog kredita koji se odobrava na m meseci sa jednakim mesenim otplatama za 100 novanih jedinica, dobija se preko kamatnog kljua k = p(m+1)/2400 U = K k Kreditor zatim sabira glavnicu i ukupan interes i taj rezultat podeli sa brojem meseci koliko traje rok otplate i dobija ratu otplate kredita. Meutim, na ovaj nain je kreditor zaraunao veu kamatu od one koju daje kalkulativna kamatna stopa preraunata na konformnu kamatnu stopu. Primer:3 Prema navedenom postupku kreditora , kredit 12.000, na 6 meseci, p=12% daje ukupan interes (12.000 x 12x 7):2.400= 420 Period
iznos duga 12.000 10.000 8.000 6.000 4.000 2.000
1 2 3 4 5 6 svega
12% kamate 120 100 80 60 40 20 420
otplata 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 12.000
mesena rata 2.120 2.100 2.080 2.060 2.040 2.020 12.420
Mesene rate su nejednake i kreditor izraunava prosenu mesenu ratu sa kojom zadužuje korisnika kredita 12.420 : 6= 2.070 Primer je tretirao kredit u iznosu od 12.000 , na 6 meseci, u kome je ukupni interes 420 a anuitet 2.070, sa jednakim mesenim anuitetima i sa preraunom (pa) d Bolji digitroni a naravno i kompjuterski ofce (Microsoft Excel) imaju nansijsku funkciju PMT (Calculates the payment for a loan based on constant payments and a constant interes rate). 3
R.Ralevi, M.orevi, N.Savi, L.Filipovi, R.Nenadovi: Matematika za ekonomiste, Savremena administracija, 1985., str.198.
39
Formula za kredit po navedenim uslovima je sledea: = PMT(12%/12,6,12000) Oznake u zagradi imaju sledea znaenja: 12% je kamatna stopa (pa)d, 12 je broj meseci u godini i pokazuje da se godišnja kamata obraunava relativnom mesenom stopom, 6 je broj mesenih rata i 12000 iznos duga. Formula daje rezultat = 2070,58. Ako bi godišnju kamatnu stopu 12% preraunali na mesenu konformnu imali bi sledeu situaciju Pc ={>1+ 0,12(1/12) @ - 1}x 100 = 0,9489%. Plan otplate za kredit 12.000, za m= 6, sa jednakim mesenim anuitetima (ratama kredita), sa konformnom kamatnom stopom, anuitet je a = Krn(r-1)/ (rn-1) a = (12000 x 1,0094896 x 0,009489) / (1,0094896-1) = 2.066.94 Period 1 2 3 4 5 6
Iznos duga 12.000,00 10.046,92 8.075,31 6.084,99 4.075,79 2.047,52
Kamata 113,87 95,33 76,62 57,74 38,67 19,43 401,66
otplata duga 1.953,08 1.971,61 1.950,32 2.009,21 2.028,27 2.047,52 12.000,01
anuitet 2.066,94 2.066,94 2.066,94 2.066,94 2.066,94 2.066,94 12.401,64
Vidimo da je u ovom sluaju mesena rata manja. Metod sa proporcionalnom kamatnom stopom (prvi sluaj), sa 12% (pa)d, i metod sa konformnom kamatnom stopom, sa 12,573 % (pa)d, daju isti iznos mesenog anuiteta. Potrošae kod kreditiranja svakako zanima iznos mesene rate koju e otplaivati i dužina perioda otplate pa se ne može smatrati prevarenim zbog pogrešnog iskaza kreditora o visini kamatne stope koju primenjuje.
40
4. ESKONTOVANJE I PROLONGACIJA MENICA
Ovi pojmovi su povezani sa odstupanjem od ugovorenog roka plaanja duga. Eskontovanje menice znai naplata menice pre roka na koji glasi. Prolongacija menice znai naplata menice posle roka njenog dospea. U prvom sluaju se primenjuje eskontni a u drugom diskontni raun. Odnos poverioca i dužnika je sledei: ako poverilac ima eskont dužnik e imati diskont (umanjenje interesa) i obratno ako poverilac ima diskont, dužnik e imati eskont (poveanje interesa). Eskontovanje ima znaenje kupovanja menice pre njenog dospea a diskontovanje ima znaenje prodaje menice pre njenog dospea na naplatu. Kod menica, odnosno prilikom njihovog eskontovanja, javljaju se sledee veliine: • Nominalna vrednost menice (menina suma) je vrednost na menici o roku dospea, prema datumu koji je u menici naveden. • Eskontovana vrednost menice je umanjena vrednost menice za obraunati eskont od dana eskontovanja do roka dospea navedenog u menici. • Eskont je obraunati interes koji plaa kupac podnosiocu menice na eskont. • Interes na nominalnoj vrednosti menice je iznos koji se izraunava iz množenja menine sume sa kolinikom broja dana od dana eskontovanja do dospea menice i divizora4 D. Interes na nominalnoj vrednosti menice izraunava se po obrascu I = Kn pd / 36000+pd (ako godinu raunamo sa 365 dana, u imeniocu e umesto 36000 biti 36500) Ili po obrascu I= S/ (1+ (p/100)(d/360) 4
Divizor je pojam koji se esto upotrebljava kao sinonim za kamatni klju.
41
Odnosno ako stavimo i=p/100 t=d/360
kao i sa korespondentnim simbolima
Kn= S
K0=P
I= S/ (1+ it) gde je: Kn - nominalna vrednost menice (menina suma) d - broj dana od dana eskontovanja do roka dospea menice D - divizor ( za k, 360 36.000 / p; za k, 365 36.500/p )
Ukoliko se traži eskont (interes) na eskontovanoj sumi menice, izraunavanje se vrši korišenjem proporcije K:I=36000:pd odakle je I= K(p)(d)/ 36000 gde je K eskontovana vrednost menice (umanjena za eskont) U sledeem primeru menica ima vrednost sa valutom 30.maja u iznosu 360.000 dinara a podnosi se na eskont 15.marta tj. 76 dana ranije.Eskontna stopa je 6%.(k,360) Obraun eskonta vrši prema sledeoj šemi din 360.000 - Va 30.V (Kn) (i) eskont 6% (K0= Kn- I) Va 15.III. _____________________________ Pošto eskont treba izraunati od nominalne vrednosti menice, koristimo proporciju (K+I): (36000+pd)=I:pd odakle je I= (K+I)(p)(d)/ (36000+pd)
42
Broj dana d, od 15.marta do 30 maja jednako je 16+30+30= 76 (za k,360 i p= 6% D= 6.000) I= 360.000 x 6x76/ (36.000+ 6x76) = 4.502,96 Tako da je eskonovana suma menice K0= 360.000 – 4.502,96 = 355.497 Premda se u zadacima uglavnom traži izraunavanje vrednost menice ili eskontovana vrednost menice, kao i eskontovani iznos, možemo izraunavati, ako su dati potrebni podaci, broj dana za koji se pre roka menica eskontuje (d) ili eskontnu stopu (p). Ako je data vrednost menice (Kn ), vrednost eskonta (i),ili eskontovana vrednost menice na dan eskonta (Kn -i) i eskontna stopa p%, sa izborom za vrednost G (G=360 ili 365 dana u godini), možemo izraunati broj dana za koji se pre roka menica eskontuje
ili
ili
Prolongacija menice Javljaju se sluajevi kada dužnik, umesto da plati iznos za menicu koja je dospela, ispostavlja novu menicu sa novim rokom, ili ispostavi novu menicu a takoe izvrši i delimino plaanje. U prvom sluaju, kada dužnik vrši samo zamenu stare menice sa novom sa produženim rokom, na nominalnu vrednost koja je upisana na staroj menici, obraunava se interes do datuma dospea novog roka i tako obraunati interes se 43
sabira sa nominalom stare menice i upisuje kao nova menina suma. Treba obratiti pažnju da u ovom sluaju dužnik povlai (zamenjuje) staru menicu. Meutim, ako se stara menica ne povlai, tada dužnik na novoj menici upisuje meninu sumu samo u visini interesa do novog roka. U kombinaciji sa deliminim plaanjem menine sume po staroj menici, vrši se zamena stare menice a kod obrauna nove menine sume se delimino plaanje uzima u raun kao odbitna stavka. Reeskont i prolongacija reeskonta menica U nansijskom prometu se obavljaju i meubankarska plaanja tj. tj. jedna banka može biti dužnik ili poverilac druge banke. U njihovom platnom prometu jedna banka može da eskontovane menice eskontuje kod druge banke i ta nansijska operacija se naziva reeskontom. Banka koja daje menice u reeskont mora te menice da iskupi o roku, gotovinskim plaanjem ili zamenom sa novim menicama, odnosno prolongacijom. Prolongacija reeskonta je u suštini novi reeskont iz ije se reeskontovane vrednosti isplauje jedan deo dospelih menica u reeskontu. Isplata duga sa menicama U nansijskom prometu se javljaju sluajevi kada se dug plaa sa eskontovanjem nekoliko menica, sa poznatim meninim sumama i pologom jedne menice koju treba popuniti5.
Ilustrujemo primer: Dužnik plaa dug u iznosu 600.000 dinara sa rokom 16.05.2004 godine. Dug izmiruje davanjem jedne menice od 200.000 sa rokom 15.07.2004 i drugu menicu od 100.000 sa rokom 14.08.2004 godine. Potrebno je izraunati na koju sumu treba da glasi trea menica sa rokom 3.09.2004 godine, da bi se isplatio ukupan dug, ako je eskontna stopa 6% Šema sa poznatim elementima Datum eskontovanja 16.05.2004 g 5
R.Ralevi, M.orevi, N.Savi: Matematika za ekonomiste, V izdanje, Savremena administracija, Beograd, 1975. str.192: Rest-netta-apoint
44
Din 200.000
Va 15.07
60
Kbr 12.000.000
Din 100.000
Va 14.08
90
Kbr 9.000.000
Din ................
Va 03.09
110
Kbr .................
(Kn) Din .................. (i) Din................... eskont 6% (Kn-i) Din 600.000 Va
16.05.2004 g
Kbr poznatih menica 21.000.000 eskont poznatih menica = 21.000.000 / 6.000 = 3.500 din Oduzimanjem eskonta poznatih menica od zbira meninih suma poznatih menica, dobiemo eskontnu vrednost poznatih menica Menini zbir poznatih menica
300.000,00 din
Eskont poznatih menica
– 3.500,00 din
Eskontovana vrednost poznatih menica
296.500,00 din
Oduzimanjem eskontovane vrednosti poznatih menica od eskontovane vrednosti svih menica dobijamo vrednost tree nepoznate menice Eskontovana vrednost svih menica Eskontovana vrednost poznatih menica Eskontovana vrednost nepoznate menice
600.000,00 din – 296.500,00 din 303.500,00 din
Sada izraunavamo eskont ove menice (interesnim raunom u sto), za 110 dana i = (303.500 x 110)/ (6.000 – 110)= 5.668,08 din Sabiranjem eskontovane vrednosti tree menice i izraunatog eskonta dobijamo meninu sumu tree menice
45
Eskontna vrednost tree menice
303.500,00
Eskont tree menice
5.668,08
Menina suma tree menice
309.168,08
Potpuna šema: Zbir meninih vrednosti poznatih menica
300.000
- eskont poznatih menica
3.500
eskontovana vrednost poznatih menica
296.500
eskontovana vrednost svih menica
600.000
eskontovana vrednost nepoznate menice
303.500
eskont tree menice
5.668,08
menina suma tree menice
309.168,08
obraunao:__________________ Kontrola: eskont svih menica (3.500 + 5.668,08) = 9.168,08 K = (200.000 + 100.000 + 309.168,08) = 609.168,08 i=
9.168,08 – eskont 6%
(K-i) =
600.000,00
Kontrolisao:________________ Sluaj diskontovanja menice imamo kada menicu koja dospeva za naplatu ranije upotrebimo za plaanje koje dospeva kasnije. U odnosu na eskontovanje ovde diskontovanu vrednost sabiramo sa iznosom na menici, tj. pripisujemo glavnici diskontovanu vrednost. Kao i kod eskontovanja i kod diskontovanja možemo imati obraun sa jednom ili sa više menica istog donosioca (korisnika).
46
Napomene: Kada se eskont obraunava od nominalne vrednosti menice sa raunom od sto, za vreme od dana eskontovanja do dana dospea menice, takav obraun eskonta se naziva komercijalni eskont. Kod komercijalnog eskonta je interes (eskont) E= Kn d / D Meutim, ako izraunamo interes na sadašnju vrednost menice (vrednost menice umanjene za eskont) Er= (K0 d) / D dobijamo tzv. racionalni eskont. Iz relacija: Kn = K0 +(K0 d) / D i K0 = (D Kn)/ (D+d) racionalni eskont Er možemo izraunati iz kolinika Er=(d Kn)/D+d Menina suma se može izraziti zbirom eskontovane sume i racionalnog eskonta Kn= K0+Er Ako uporedimo racionalni eskont Er sa komercijalnim eskontom Ek Vidimo da je komercijalni eskont vei Ek>Er Razlika izmeu komercijalnog i racionalnog eskonta
47
Ovaj rezultat možemo napisati u obliku Ek – Er = >(Knd)/(D+d) @ d/D gde se vidi da je prvi inilac proizvoda (izraz u srednjoj zagradi) komercijalni eskont, tako da razliku izmeu komercijalnog i racionalnog eskonta možemo izraziti množenjem komercijalnog eskonta sa (d/D)
Ek – E= Ek(d/D)
Napomena: Ek=Er / (1- (d/D)) Er= Ek(1- (d/D)) gde je divizor D= 36500/p
48
IV. Složeni interes
49
1. FAKTOR AKUMULACIJE (IZRAUNAVANJE KRAJNJE VREDNOSTI KAPITALA)
Kod složenog interesnog rauna se u sukcesivnom ponavljanju perioda kapitalizacije, obraunava interes na interes, za razliku od prostog interesnog rauna u kome se interes uvek obraunava od poetne glavnice.Zbog toga obraun složenog interesa možemo shvatiti kao iteracije (ponavljanja) obrauna prostog interesa sa uveanjem poetne vrednosti kapitala za interes iz prethodnog obraunskog perioda. Jedan poetni kapital i njegova uveana vrednost za interes tj. krajnji kapital, meusobno su povezani u relaciju u kojoj moraju biti poznati: krajnja vrednost kapitala(Kn), poetna vrednost kapitala (K), kamatna stopa (p%), broj kapitalisanja u jednoj godini (m), trajanje perioda u kome se kapitalizacija vrši (n). Kn= K (1+p/100 m)nm Kada su: n=1 i m=1 Navedena relacija se svodi na relaciju prostog interesnog rauna, sa t=1. Prvo emo razmatrati relacije složenog interesnog rauna sa kamatnom stopom na godišnjem nivou p%(ad) i obraunskim periodima m=1 sa periodom kapitalizacije n>0. (n vremenska jedinica u trajanju jedne godine), koje neposredno dobijamo iz napred navedene Kn= K (1+p/100)n
51
Ako uvedemo poznatu smenu i = p/100 dobijamo relaciju Kn= K(1+i)n Ponder (1+i)n sa kojim se poetni kapital K množi na desnoj strani jednakosti, naziva se faktorom akumulacije. Ako stavimo r=1+i ; ( r se naziva dekurzivnim interesnim faktorom) krajnju vrednost kapitala možemo razviti u geometrijski niz Kn = K, Kr, Kr2, ... Krn-1, Krn Interesna stopa u obliku im/m je interesna stopa (i) kada je m=1. Pošto je m obraunski period kapitalisanja m=1 kada je kapitalisanje godišnje. Prema tome, ako je kapitalisanje meseno m=12; ako je kapitalisanje kvartalno m=4; ako je kapitalisanje dnevno m=365 itd. Napred navedena interesna stopa je proporcionalna (relativna) Korišenjem relacije Kn= K (1+i)n u razliitim zadacima iz tri poznate veliine izraunavamo etvrtu koja se traži. Na primer faktor akumulacije (1+i)n neposredno dobijamo iz kolinika Kn/K. Interesnu stopu možemo izraunati po formuli i = (Kn/K)1/n – 1 Period ulaganja (n) se izraunava raunom logaritma6, postavljanjem jednaine log Kn-log K= n log(1+i) n = (log Kn-logK)/ log(1+i) 6
logKn - log K = log (Kn/K)
52
Primer: Poetna vrednost uloga K=10.000 ; Krajnja vrednost uloga Kn=12.762,82 Interesna stopa i=0,05 Koliko godina traje ulaganje u složenom interesu. n= (4,105946496 – 4)/ 0,021189299 = 5 Vrednosti dekurzivnih interesnih faktora, za odreeno vreme (n) i odreene procente (p), nalaze se u Prvim nansijskim tablicama, gde je 1
r1 = 1 + p/100 = I p 2
r2 = (1 + p/100)2 = I p n
rn = (1 + p/100)n = I p n
Kn = K I p Ako se kapitalisanje vrši m puta godišnje, posle n godina uz p% (pa)d krajnju vrednost kapitala dobijamo kada poetnu vrednost kapitala pomnožimo sa dekurzivnim interesnim faktorom u kome je kamatna stopa odreena za trajanje perioda. Godišnja kamatna stopa se deli sa brojem perioda ukamaivanja i na taj nain dobijamo relativne (proporcionalne) kamatne stope. Na primer, godišnjoj kamatnoj stopi od 10% odgovara dnevna kamatna stopa 10/365= 0,0274% , ili kamatna stopa za 75 dana Ps = 75 0,0274 = 2,0548% mn
Kmn = K I p/m odnosno Kmn= K(1+p/100m)mn b) Kod anticipativnog obrauna interesa krajnju vrednost kapitala dobijamo kada glavnicu pomnožimo sa anticipativnim interesnim faktorom
53
Kn= K( 100/100-q)n gde je q anticipativna interesna stopa Ako nam je poznata krajnja vrednost kapitala a potrebno je da izraunamo poetnu vrednost kapitala K= Kn / ( 100/100-q)n Stavljajui da je p = (100/100-q) Vrednosti ovog faktora se takoe nalaze u nansijskim tablicama za odreeni broj godina (n) i kamatne stope (q), tako da imamo n
Pn = Iq = (100/100m-q)n K = Kn / pn Ako se kapitalisanje vrši m puta godišnje sa anticipativnim obraunom interesa, tada se krajnja vrednost kapitala izraunava po sledeoj formuli Kmn= K(100m /100m - q)mn Da bi krajnju vrednost kapitala koja se dobija prostim ukamaivanjem razlikovali od krajnje vrednosti kapitala sa složenim interesom, u ovom drugom sluaju krajnju vrednost kapitala nazivamo akumulacijom, jer u proteklom vremenu akumulira interes sa kapitalisanjem interesa na interes.
Primeri: 1) Koji iznos emo imati posle 5 godina ako kapital od 10.000 sada uložimo da se kapitališe uz 6% (pa) d Ovde je: K = 10.000; p = 6%; m = 1; n = 5; r = 1+6/100 = 1,06 r5 = 1,065 = 1,33822 K5 = 10.000 x 1,33822 = 13.382,25
54
2) Koliko danas vredi kapital koji dospeva za 15 godina u iznosu 10.000, ako je kapitalisanje uz 6% (pa) d. Ovde je: K15 = 10.000; p = 6%; m = 1; n = 15 r = 1+6/100 = 1,06 r15 = 1,065 = 2,396558 K = 10.000 / 2,396558 = 4.172,65
55
2. FAKTOR AKUMULACIJE PRI NEPREKIDNOM UKAMAIVANJU
Pragmatini razlozi i primena tehnikih sredstava kod izraunavanja, nalagali su da se ukamaivanje kapitala vrši u diskretnim vremenskim trenucima, (dani, meseci, kvartali, semestri i godine), premda je vreme kontinuelno. Uvoenje kompjuterske obrade u poslovanje omoguava da broj perioda ukamaenja može da teži u beskonanost, tj. vremenska jedinica može da bude proizvoljno mala. Ranije smo videli kako se izraunava krajnja vrednost kapitala kada se ukamaivanje vrši m puta u toku godine, odnosno kada se vreme tretira kao diskretna veliina. Posmatranje vremena u kontinuitetu nalaže da se odredi granina krajnja vrednost kapitala Kmn, kada nof. Kmn = K lim >(1+(p/100m)@mn mof
Na osnovu injenice, ako mof tada i Kof i uvoenjem smene p/100m= 1/K sledi formula za neprekidno ukamaivanje u svakom vremenskom trenutku. Kn = Kenp/100 Prema tome, faktor akumulacije pri neprekidnom ukamaivanju je izraz enp/100
ili
e t
Naime, stavljajui da je = ln(1+i) Kn= Ke t K=Kn e- t i=e -1
56
3. RELATIVNA I KONFORMNA KAMATNA STOPA
Kod primene proporcionalne, tj. relativne kamatne stope, možemo uoiti da se iz eših kapitalisanja za isti period dobija vei interes nego kada se za isti period kapitalisanje vrši samo jedan put npr. godišnje. Pokazaemo ovo na primeru: Ako danas uložimo 10.000 uz 10% (pa)d , izraunati stanje uloga posle 10 godina ako se kapitalisanje vrši: a) godišnje b) polugodišnje 10
a) K10 = 10.000 I10% = 10.000 (1,01)10 = 25.937,42 102
b) K20 = 10.000 I 10% / 2 = 10.000 (1,05)20 = 26.532,98 Efekat ove razlike se javlja zato što u sluaju veeg broja kapitalisanja ukamaujemo i interese. Da bi ovaj efekat neutralisali koristi se konformna kamatna stopa. Denicija: Interesna stopa sa kojom ulog od K novanih jedinica pri m-puta godišnjem kapitalisanju daje isti efekat na kraju n-te godine kao i isti taj ulog od K- novanih jedinica pri godišnjem kapitalisanju, zove se konformna kamatna stopa (pc ). Iz navedene denicije sledi K(1+i)n =K(1+im)mn Kada izvršimo skraivanje sa K, a zatim korenujemo i levu i desnu stranu, dobiemo 57
(1+i)n = (1+im)mn 1+i = (1+im)m odakle je im=
-1
Pošto je im = i= pc / 100 sledi pc / 100 =
-1 pc= [1+(p%(pa)d)]1/m – 1
Ako imamo godišnju proporcionalnu interesnu stopu (i) a tražimo: • dnevnu konformnu stopu, odnosno kada je m= 365 konformna kamatna stopa za jedan dan
a za d dana
• mesenu konformnu stopu, m=12
Napomena: U ovoj relaciji mesene konformne stope uzeto je da godina ima 360 dana, a jedan mesec 30 dana. Zbog toga imamo Egzaktna dnevna proporcionalna interesna stopa je u prostoj godini 365 deo godišnje proporcionalne stope. Ako mesec ima 30 dana onda je egzaktna mesena konformna stopa
U navedenom primeru polugodišnja konformna kamatna stopa je
58
tako da po deniciji ulog koji se dva puta godišnje kapitališe daje isti efekat kao pri godišnjem kapitalisanju 10.000 ( 1+0,048808848)20 = 10.000(1+0,10)10= 25.937,42 Primeri: 1. Izraunati polugodišnju konformnu kamatnu stopu ako je godišnja kamatna stopa 6%(pa)d. pc=[1,06)]1/2 – 1 = 0,029563 2. Izraunati mesenu konformnu kamatnu stopu ako je godišnja kamatna stopa 10% pc=[1,10)]1/12 – 1 = 0,007974 3. Ako danas uložimo 10.000 uz 10% (pa)d , izraunati stanje uloga posle 10 godina ako se kapitalisanje vrši polugodišnje sa konformnom kamatnom stopom. Prvo moramo izraunati polugodišnju konformnu kamatnu stopu
Ako uporedimo dobijeni rezultat sa rezultatom iz primera primene relativne kamatne stope, videemo da je Kmn=Kn. Zbog ovoga se konformna kamatna stopa esto naziva ekvivalentna stopa. Konformnu stopu pc možemo izraziti i preko prvih nansijskih tablica. Ako uzmemo da je p relativna (proporcionalna) stopa
59
4. DISKONTNI I ESKONTNI FAKTOR U SLOŽENOM INTERESU
Pojmovi diskontovanje i eskontovanje su povezani sa poetnom i krajnjom vrednosti kapitala. Kada je data krajnja vrednost kapitala uveana za interes, sa složenim interesom iz obraunatih kapitalisanja, a traži se umanjena vrednost kapitala za obraunati interes na interes, ta tražena vrednost se naziva sadašnja vrednost K0 i ona se izraunava diskontovanjem krajnje vrednosti kapitala, odnosno množenjem krajnje vrednosti sa diskontnom stopom u prostom interesnom raunu, dok se u složenom interesnom raunu krajnja vrednost množi sa diskontnim faktorom. Diskontni faktor sa kojim se množi krajnja vrednost kapitala Kn da bi izraunali sadašnju vrednost kapitala denisan je kao reciprona vrednost eskontnog faktora rn = (1+p/100)n r - n = 1/ (1+p/100)n
eskontni faktor diskontni faktor
Kn= K0 rn K0= Kn r –n
diskontovanje kapitala eskontovanje kapitala
koristi se kod izraunavanja U nansijskim tablicama eskontni faktor krajnje vrednosti kapitala, kad je dat poetni kapital. Diskontni faktor koristi se kod izraunavanja poetnog kapitala, kada je dat krajnji kapital. Eskontni i diskontni faktor su povezani relacijom tako da je
60
5. HIPOTEKARNI KREDITI
Krediti koji se odobravaju na bazi zaloge nepokretnosti nazivaju se hipotekarnim kreditima. Ovi krediti su po pravilu dugoroni krediti i sa velikim iznosima. Ovi krediti su uglavnom namenski, npr. u nansiranju stambene izgradnje, a korisnici mogu biti i pravna i zika lica. Poznati su stambeni krediti koji se mogu odobravati i bez hipoteke, ali se naješe hipoteka odnosi na predmetni stan koji se kupuje, tj. izgrauje na kredit. Izgradnja stana može biti tek zapoeta a može biti i neposredno useljiv. Kod namenskih kredita, banka vrši isplate do visine odobrenog kredita prema dospelim situacijama koje su predviene u ugovoru o kreditu i te isplate se vrše isporuiocu (dobavljau), odnosno graditelju. Banke kod planiranja hipotekarnih kredita imaju nansijske aranžmane sa graditeljima koji su korisnici novanih sredstava, jer moraju da vode rauna kod usklaivanju obima korišenja kredita sa rokovima otplata, tj. o likvidnosti hipotekarnih kredita. Dužnik može zapoeti sa otplatom hipotekarnog kredita neposredno po njegovom odobravanju, tako da se anuiteti zadrže u banci izvesno vreme pre isplate dobavljau. Osim pravnih osobenosti koje su važne zbog obezbeivanja garancija da e kredit biti otplaivan u saglasnosti sa odredbama ugovora, u nansijskom smislu su bitne dve pratee pojave: a) obaveza ueša korisnika kredita b) obaveza depozita korisnika kredita Od momenta kada korisnik kredita uplati svoje ueše u banku, do momenta kada se ta sredstva prebace na raun dobavljaa, može proi izvesno vreme, tako da se sa tim uplatama poveava ukupni kreditni potencijal banke. 61
Kod depozita korisnika, banka na taj depozit obraunava interes, ali sa pasivnim kamatnim stopama, koje su niže od onih sa kojima se obraunava interes u odobrenim kreditima (aktivne kamatne stope). Ilustrujemo plan otplate hipotekarnog kredita.U Excelu – u osenenim elijama upisujemo iznos glavnice i kamatnu stopu i automatski dobijamo plan amortizacije. Prikazane su samo prve dve godine otplate. Kamata 10.00% 0.007974
Period 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28
10 godina ostatak 50,000 49,750 49,498 49,243 48,987 48,729 48,469 48,206 47,942 47,675 47,407 47,136 46,863 46,588 46,310 46,031 45,749 45,465 45,178 44,890 44,599 44,306 44,010 43,712 43,412 43,109 42,804 42,496
Glavnica 50,000 Dužina otplate 120 meseci kamata m otplata 399 250 397 252 395 254 393 256 391 258 389 260 386 262 384 264 382 267 380 269 378 271 376 273 374 275 371 277 369 280 367 282 365 284 363 286 360 289 358 291 356 293 353 296 351 298 349 300 346 303 344 305 341 308 339 310
62
648.88 anuitet 648.88 648.88 648.88 648.88 648.88 648.88 648.88 648.88 648.88 648.88 648.88 648.88 648.88 648.88 648.88 648.88 648.88 648.88 648.88 648.88 648.88 648.88 648.88 648.88 648.88 648.88 648.88 648.88
6. SUKCESIVNA PLAANJA (UPLATE I ISPLATE)
Do sada smo razmatrali sluajeve stanja jednog depozita u složenom interesnom raunu, odnosno njegovu poetnu ili krajnju vrednost. Meutim, stanje na raunu se stalno menja sa novim uplatama i isplatama. Plaanja (uplate ili isplate) mogu biti višekratna, u stalnim iznosima i stalnim vremenskim razmacima, a mogu biti u promenljivim iznosima a u stalnim ili promenljivim vremenskim razmacima. Sukcesivna plaanja sa jednakim iznosima koja se vrše u jednakim vremenskim intervalima, nazivaju se rente. Rente se mogu zameniti sa jednim plaanjem, na poetku perioda plaanja ili na kraju perioda plaanja. Budui jednokratni iznos rente se izraunava pomou faktora dodajnih uloga.
6.1. FAKTOR DODAJNIH ULOGA (III - FINANSIJSKE TABLICE) Radi izraunavanja zbira krajnjih vrednosti periodinih plaanja (uplata ili isplata) uinjenih poetkom ili krajem obraunskog perioda, pri dekurzivnom ili anticipativnom obraunu kamate, koristimo faktor dodajnih uloga. Zbir krajnjih vrednosti n uloga 1 novane jedinice, koja se ulaže poetkom svakog obraunskog perioda uz interesnu stopu p% i dekurzivnom raunanju interesa iznosi Sn= r ( rn –1)/ (r-1)
63
Izraunate vrednosti za jedinicu uloga, razliite periode i kamatne stope, predstavljene su u nansijskim tablicama III, u formi : n
Sn= III p Za iznos uloga u, zbir krajnjih vrednosti e biti Sn = u III
n p
Ukoliko je ulaganje vršeno krajem svakog obraunskog perioda (dekurzivno) uz interesnu stopu p% i dekurzivnom raunanju interesa, tada zbir krajnjih vrednosti n uloga iznosi Sn* = ( rn –1)/ (r-1)
A kod korišenja III nansijskih tablica odnosno za uloge koji iznose (u) novanih jedinica, na dan poslednjeg uloga e biti n-1
Sn*= u (1 + III p ) Ako uporedimo ove formule vidimo da plaanja krajem obraunskog perioda poinju za jedan obraunski period kasnije od plaanja poetkom obraunskog perioda. Zbog toga se kod plaanja krajem obraunskog perioda poslednje plaanje ne ukamauje. Kod ulaganja poetkom perioda imamo sledeu šemu urn urn-1 urn-2 urn-3 Ur U
U
U
0
1
2
U
Slika 1. Sn = >ur(rn–1)/(r–1)@ 64
u
Sn
n-1
N
Primer: Poetkom svake godine ulažemo u banku po 1.000 dinara. Koju sumu emo imati u banci na kraju pete godine ako se vrši godišnje kapitalisanje sa složenim interesom 4% (pa) d. Ovde imamo da je u = 1.000 p = 4%
n=5 m=1
S5 = (1.000 x 1,04 (1,045 –1) / ( 1,04 – 1) = 5.632,98 FV(4%,5+1,1000,0) = 6.632,98 S5= 6.632,98 – 1000 = 5.632,98
Napomena: Kada koristimo nansijsku funkciju FV za izraunavanje stanja sume anticipativnih uloga, na kraju godine n, parametar n se uveava za 1 a od rezultata se oduzima vrednost jednog uloga.
Kod ulaganja krajem perioda imamo sledeu šemu
urn-1 urn-2 ur
0
U
U
u
u Sn
1
2
n-1
n
Slika 2. Snc = (100/p) u[(1+ p/100)n -1] FV = (p%(pa)d,n,u,0)
65
Primeri: Krajem svake godine se ulaže po 10.000 dinara u toku 10 godina sa 4% (pa) d i sa godišnjim kapitalisanjem. Izraunati stanje ovih uloga na dan poslednjeg kapitalisanja. U= 10.000 ; p= 4% ;n=10; m=1 ; Snmc=10.000 (1+ III94)= 10.000 x 12,006107= 120.061,07 FV(4%,10,10000,0) = 120.061,07
6.1.1. ULAGANJE EŠE OD OBRAUNAVANJA INTERESA Kod ulaganja koje je eše od perioda obraunavanja interesa, zbir krajnje vrednosti bi trebalo izraunavati upotrebom konformne kamatne stope. Tada se za izraunavanja koriste formule koje smo razmatrali s tim što umesto relativnih (proporcionalnih) kamatnih stopa koristimo konformne stope. Na primer, ukoliko se radi o ulozima poetkom perioda, tj. za anticipativna ulaganja, koristimo formulu S mn= u rc (rcvmn –1)/(rc-1) u kojoj je rc= 1+ (pc/100) ili vmn
Svmn= u III pc gde su:
- broj uloga u obraunskom periodu, n - broj godina, m - broj kapitalisanja u godini, pc - konformna kamatna stopa
Primer: Ako se poetkom svakog meseca, tokom 10 godina ulaže u banku po 1000 dinara, koliko iznosi krajnja vrednost kapitala, ako se vrši obraun složenog interesa sa 10% (pa)d . 66
Najpre moramo izraunati mesenu konformnu kamatnu stopu pc= 1,10(1/12) – 1= 0,007974 0,7974% zatim izraunavamo rc rc= 1,007974 i na kraju dobijene vrednosti unosimo u formulu za zbir anticipativnih uloga 120
S120 =1000 III 0,7974% 1000 · 1,007974 (1,007974120–1)/(1,007974–1) S120 = 1007,974 (1,59369) / 0,007974 S120 = 201.455,64 6.1.2. ULAGANJE REE OD OBRAUNAVANJA INTERESA Ovakvi sluajevi uglavnom imaju teorijski znaaj, jer je praktinije izraunavanje krajnje vrednosti do odreene skadence pojedinanih uloga, sa nansijskim tablicama I, a zatim te vrednosti sabrati. Poimo od jednostavnog sluaja sa godišnjim kapitalisanjem i ulaganjem svake druge godine. Tada prvi ulog diskontujemo za 2 godine, tj. stanje uloga posle drugog kapitalisanja bie S1= u1 (1+p/100)2 Svaki sledei ulog takoe diskontujemo sa diskontnim faktorom (1+p/100)2 . Na taj nain dobijamo niz iznosa u vremenskim trenucima kada se vrši uplata novog uloga i na osnovu toga možemo izraunavati krajnju vrednost svih uloga. Kod ulaganja koje je ree od kapitalisanja, stanje sukcesivnih uloga možemo tražiti na dan poslednjeg uloga ili u nekom momentu posle poslednjeg uloga. Kao i u sluajevima kada je ulaganje sinhronizovano sa kapitalisanjem, odnosno kada su ulaganja eša od kapitalisanja, isto tako i u sluaju kada su 67
ulaganja rea od kapitalisanja, moramo voditi rauna o tome da li su ulaganja anticipativna ili dekurzivna. Stanje uloga se može tražiti upotrebom relativne ili konformne stope. Stanje uloga se izraunava posle svakog kapitalisanja, a prvo se traži na dan prvog kapitalisanja. Prvi ulog sa pripisanim interesom ukamauje se u sledeem kapitalisanju, tako da umesto uloga bez interesa,za svako naredno kapitalisanje uzimamo ulog uvean za interes iz prethodnog obraunskog perioda. 6.1.3. PROMENLJIVI ULOZI Izraunavanje krajnje vrednosti za promenljive uloge, ukoliko promenljivost uloga nije po aritmetikoj ili geometrijskoj progresiji, praktino se obavlja simultanim izraunavanjima za svaki ulog posebno, a onda se pojedinani rezultati diskontuju ili eskontuju na isti vremenski trenutak. Kod uloga koji se poveavaju u aritmetikoj progresiji za p% zbir svih anticipativnih uloga, na kraju n-te godine e biti: S+n= u(rn+rn-1+rn-2 +...+ r2 + r)+ d[rn-1 +2 rn-2 + ... +(n-1)r2+(n-1)r] n
Kako je prvi deo ovog zbira u(rn+rn-1+rn-2 +...+ r2 + r) = III p ako stavimo Q= rn-1 + 2rn-2 +...+ r2 (n-2) + r(n-1) (*) možemo napisati n
S+n= u III p + dQ Kada u relaciji (*) pomnožimo levu i desnu stranu (r) tj. interesnim dekurzivnim faktorom, dobiemo Qr= rn + 2rn-1 +...+ r3 (n-2) + r2 (n-1) Sada oduzimanjem Qr –Q = rn + rn-1 +...+ r2 – r( n-1) što možemo napisati u obliku 68
Q(r-1)= rn + rn-1 +...+ r2 – r – r n tako da je uoljivo n
1
Q(r–1) = III p– n I p
6.2. FAKTOR AKTUELIZACIJE (IV TABLICE) Faktor aktuelizacije predstavlja zbir sadašnjih (diskontovanih) vrednosti n uloga od 1 novane jedinice, koji su ulagani u obraunskim periodima u toku n godina uz interesnu stopu p%. Ulozi mogu biti ulagani krajem ili poetkom obraunskih perioda. Ako su ui (i=1,2,...n) iznosi koje sukcesivno izdajemo ili primamo, anticipativno ili dekurzivno,u toku perioda ni (i=1,2,...k), sa p% godišnje dekurzivne kamate i godišnjeg kapitalisanja, niz plaanja se može zameniti jednim ulogom (c0) na poetku perioda. Razmotrimo sluaj sa dekurzivnim ulozima. Po principu ekvivalencije tada imamo C0= u1/r + u2/r2+... un/rn , gde je r= 1+p/100 Sadašnju vrednost zbira više peiodinih uloga možemo izraunati i preko II nansijskih tablica, ako imamo u vidu da je za jedan ulog tj. n=1 1
1
II p= IV p
1
2
3
n
C0= u (IIp +IIp + IIp + ...+IIp ) Ako su ulozi meusobno jednaki i stopa p konstantna, kod dekurzivnih uloga imamo C0= u(rn-1)/rn(r-1) ; kako je r –n = 1/rn) 69
sledi (rn-1)/rn(r-1) = >(rn-1)/(r-1)@ r-n gde su izrazi u faktoru aktualizacije za jednu novanu jedinicu pojedinog uloga uz p% za n perioda: (rn-1)/rn(r-1) budua vrednost a r-n diskontni faktor
Primer: Neka je n = 8; u = 50; p% = 5; C0 =PV= 50>(1,058-1)/(1,05-1)@ 1,05-8 = 50(0,477455/ 0,05) 0,676839 = 323,16 Ako je u ovom primeru kapitalisanje neprekidno, u tom sluaju je
Kod korišenja nansijskih tablica, faktor aktuelizacije je predstavljen IV nansijskim tablicama 70
n
(rn–1)/rn(r–1) = IV p odnosno, ako imamo m puta ulaganje i kapitalisanje mn
(r mn–1)/r mn(r–1) = IV p/m Obrazac za faktor aktuelizacije se može dobiti i na sledei nain: Imajui u vidu da je budua suma svih dekurzivnih uloga na kraju n-tog perioda Sn= U(100/p) [(1+P/100)n-1] a onda tu vrednost diskontujemo sa faktorom r-n Iz ovakve interpretacije faktora aktuelizacije, vidimo da ga karakterišu etiri veliine: (C0) - sadašnja vrednost niza uloga, (u) - visina uloga, (i) - interes, (n) - period ulaganja. Kada su ulaganja anticipativna (poetkom perioda), sadašnja vrednost je C´0= u[(1-(1+i)-n] (1+i) / i Kod korišenja IV nansijskih tablica, kod anticipativnih uloga imamo n-1
C´0 = u(1 + IV p ) odnosno za m puta kapitalisanja i m puta ulaganja u toku godine mn-1
C´0 = u(1 + IV p/m ) Kada su plaanja poetkom obraunskih perioda sa dekurzivnim obraunom interesa, faktor aktuelizacije izraunavamo po formuli C0*= 1+>(rn-1)/rn(r-1)@ Odnosno sa korišenjem nansijskih tablica n-1
C0* = IV p
U ovoj formuli se vidi da se broj obraunskih perioda umanjuje za 1, tj. plaanje na poetku prvog obraunskog perioda ne diskontujemo jer je izvršeno na dan kada se traži sadašnja vrednost C0. 71
Kod izraunavanja sadašnje vrednosti odloženih jednakih plaanja (uplata ili isplata) krajem obraunskih perioda, upotrebljava se formula: n
d
C0 = a IVp II p Za odreivanje sadašnje vrednosti odloženih jednakih plaanja (uplata ili isplata) poetkom obraunskih perioda, upotrebljava se formula: n
d
C0 = a ( 1 + IV p) II p
VEŽBE Vremenski period u kome se dešavaju novane uplate i isplate ili obraun stanja kapitala, možemo predstaviti sa pravom linijom na koju nanosimo jedinine periode vremenske skale tj. jedinine duži.Vremensku skalu determinišemo odreivanjem trajanja jedinice (dan, mesec, godina i sl.). Na vremenskoj skali možemo odrediti neki vremenski trenutak focal date, kao npr. trenutak od koga razlikujemo protekli period od budueg perioda). Isto tako, po potrebi, vremenski period možemo da povežemo i sa kalendarom. Svaka jedinina duž ima poetak i kraj, tako da na vremenskoj liniji bilo koji poetak jedinine duži možemo uzeti kao poetak perioda i bilo koji kraj jedinine duži možemo uzeti za kraj vremenskog perioda.
72
Na sledeoj liniji prvi period ima poetak u taki 0 a kraj u taki 1, drugi period poinje u taki 1 a završava u taki 2 itd. Tako možemo rei da je od take 0 do take 8 proteklo 8 jedininih perioda.
Posmatrajmo sada trenutak (*) nekog plaanja koji prikazujemo na ovoj vremenskoj skali
Neka je jedinini period mesec, (na skali imamo oznaeno 8 meseci). Prvi mesec na skali poinje od 0. Možemo da kažemo da je prva uplata (*) na kraju drugog meseca (perioda) ali je isto tako tano da je prva uplata na poetku treeg meseca (perioda). Isto tako možemo da kažemo da je poslednja uplata (*) na kraju petog ili na poetku šestog meseca. Kada neku transakciju ili obraun vezujemo za poetak nekog perioda kažemo da je transakcija ili obraun anticipativno tj. izvršeno unapred.Ako transakciju (plaanje, obraun itd.) vezujemo za kraj nekog perioda, onda kažemo da je transakcija dekurzivna. Plaanja u nizu sukcesivnih perioda (uplate, isplate) nazivamo anuitetima. Uoimo razliku i uporedimo sledee anuitete a) anticipativni anuiteti
b) dekurzivni anuiteti
U ovom primeru, kod anticipativnih anuiteta imamo isti broj anuitetalata (4 zvezdice) kao i kod dekurzivnih. Meutim, kod anticipativnih imamo n=3 protekla perioda a kod dekurzivnih imamo n=4 perioda. Dakle, kod anticipativnih uplata je (n-1) broj perioda je za 1 manji od broja anuiteta, a kod dekurzivnih (n) je broj perioda jednak sa brojem anuiteta. 73
Zbir anuiteta možemo izraunavati u bilo kom momentu. Znaajna su dva momenta, koja se nazivaju: 1) Sadašnja vrednost (Present Value7) i 2) Budua vrednost (Future Value). Kod obinih anuiteta, (ordinary annuity or annuity immediate), sadašnja vrednost PV (Present Value) je vezana sa jednim periodom pre prvog plaanja, dok je budua vrednost (Future Value) vezana za momenat poslednjeg plaanja.
Lociranje sadašnje vrednosti (PV) i budue vrednosti (FV), na vremenskoj skali, kod obinih anuiteta
Sadašnju vrednost obinih anuiteta8 ( Present Value for an Ordinary annuity) izraunavamo pomou formule An(ord) = R[1-(1+i)-n] / i Saglasno konvenciji o standardu SOA An= Ran i Ako su ulozi anticipativni sadašnju vrednost niza uloga izraunavamo po formuli u(1-r-n)r/(r-1) Buduu vrednost na kraju perioda poslednjeg uloga daje formula u(rn-1)r/(r-1) 7 8
The notation of the Society of Actuaries (SOA) Takoe je sa drugim oznakama: za r=1+i ; u=R u (rn-1)/(rn r-1)
74
75
7. OTPLATA ZAJMOVA I KREDITA
Nain otplaivanja zajma može biti razliit.Razmotriemo sluaj sa jednakim anuitetima. Anuitet je suma sa kojom se otplauje zajam u utvrenim rokovima, koja u sebi sadrži interes i otplatu glavnice. Plaanje interesa se može poklapati sa plaanjem anuiteta i sada razmatramo taj sluaj. Kada se zajam otplauje (amortizuje) sa jednakim anuitetima, dužnik plaa krajem svakog perioda amortizacije stalnu veliinu. Pošto zajam mora biti jednak zbiru svih diskontovanih anuiteta na dan isplate zajma, to e diskontovana vrednost na dan isplate anuiteta koji se plaa biti: Krajem prve godine a/r Krajem duge godine a/r2 … krajem n-te godine a/rn r=(1+p/100) Zbir svih sadašnjih vrednosti anuiteta jednak je zajmu K= a/r + a/r2 +…+ a/rn Ako ovaj izraz pomnožimo sa r, imamo Kr= a + a/r + a/r2 + …+ a/ rn-1 Kr- K = a – a/rn Kr-K=(a+a/r+a/r2 +...+ a/rn-1)- (a/r +a/r2+...+ a/rn)= a- a/rn K(r-1) = a (1- 1/rn) ; a-a/rn = a (1- 1/rn)
76
Tako da imamo K= a ( 1- (1/r)) / (r-1) K= a ( rn-1) / rn (r-1)
ili
Tako smo dobili formulu za izraunavanje anuiteta a= K rn (r-1) / ( rn-1) Ako je plaanje anuiteta i kapitalisanje m puta godišnje, imamo K= a ( rn m-1) / rn m(r-1) a= K rn m(r-1) / ( rnm-1)
Napomena: Interesni inilac r =(1 + p/100m) Kako je u formuli K= a ( rn-1) / rn (r-1) n
(rn–1) / rn (r–1) = IV p odnosno u formuli K= a ( rn m-1) / rn m(r-1) nm
(rn m–1) / rn m(r–1) = IV p n
nm
sledi a = K/ IV p n
a = K/ IVp n
Pošto je V p = 1/ IV p n
to je anuitet a = K V p
i
nm
a= K V p
7.1. IZRADA PLANA OTPLATE ZAJMA SA JEDNAKIM ANUITETIMA Kada izraunamo iznos anuiteta, pristupamo sainjavanju plana otplate zajma. Plan otplate zajma vrši se prema sledeoj šemi
77
Period tplaivanja
Iznos duga
Interes
Otplata
1
K=K1
i1= K1p/100
b1= a – i1
2
K2=K1-b1
i2= K2p/100
b2= a – i2
3 .. .
K3=K2-b2
i3= K3p/100
b3= a – i3
n-1
Kn-1=Kn-2-bn-2
in-1= Kn-1p/100
bn-1= a- In-1
n
Kn=Kn-1-bn-1
in = Knp/100
bn = a- In = Kn
Proveru možemo izvršiti prema sledeem: 1) ( Ki) p = Ii 2) Poslednja otplata bn mora biti jednaka sa poslednjim ostatkom duga Kn 3) bi = K 4) Ii + bi = an Primer: Zajam od 100.000 dinara amortizuje se sa jednakim godišnjim anuitetima tokom 5 godina uz interes 4% (pa)d i godišnje kapitalisanje. Izraditi plan otplate kredita. Ovde je K = 100.000; n = 5: p = 4%; m = 1 r = (1+p/100) r = 1,04 anuitet a = 100.000 [1,045 (1,04 – 1)] / (1,045 – 1) a = 100.000 [1,21665 (0,04)] / (0,21665) a = 22.463 U prvom anuitetu se sadrži interes 4% na 100.000 u iznosu 4.000 dinara. Kada ovaj interes oduzmemo od anuiteta, dobijamo otplatu sa kojom se umanjuje glavnica (22.463 – 4.000 = 18.463) Znai posle prvog plaenog anuiteta dug se smanjio, tako da iznosi
78
100.000 – 18.463= 81.537 U drugom anuitetu se sadrži 4% interesa (81.537 x 4%= 3.261,48) tako da kada ovaj interes oduzmemo od anuiteta dobijamo otplatu glavnice 22.463- 3.261,48= 19.201,52 Ostatak duga posle drugog anuiteta iznosi 81.537 - 19.201,52= 62.335,48 U treem anuitetu kamata iznosi 62.335,48 x 4% = 2.493,42 a otplata glavnice anuitet – interes 22.463 – 2.493,42 = 19.969,58 Posle treeg anuiteta ostatak duga je 62.335,48-19.969,58= 42.365,90 Kada na ostatak duga obraunamo kamatu 4% 42.365,90 x 4%= 1.694,63 i za ovaj interes umanjimo anuitet dobiemo otplatu glavnice (22.463 – 1.694,63=20.768,36 Tako glavnica posle otplate etvrtog anuiteta iznosi 42.365,90-20.768,36=21.597,54 Na ovaj ostatak duga zaraunavamo 4% interesa, tako da je interes 863,90 Otplata ostatka duga 21.597,54 i interesa 863,90 daje u zbiru iznos poslednjeg anuiteta.
79
Radi preglednosti podatke možemo prikazati tabelom N
Ostatak duga
Interes
Otplata
Anuitet
1
100.000
4.000
18.463
22.463
2
81.537
3.261
19.201
22.463
3
62.336
2.493
19.970
22.463
4
42.366
1.695
20.768
22.463
5
21.598
864
21.598
22.463
307.837
12.313
100.000
112.315
7.2. IZRADA PLANA OTPLATE ZAJMA SA JEDNAKIM OTPLATAMA (SA NEJEDNAKIM ANUITETIMA) Kod ovog plana polaznu osnovu ini otplata b= K/n U ovom sluaju anuiteti opadaju po aritmetikoj progresiji, tj. Svaki sledei anuitet je manji za godišnji interes na otplatu (bp/100) Prvi anuitet a1 = b( 1+ np/100) Drugi anuitet a2= a1 – (bp/100) Trei anuitet a3= a1 – 2 (bp/100) … an= a1 – n (bp/100) Šema za ovaj amortizacioni plan je Period otplaivanja
Iznos
Interes
Otplata
Anuitet duga
1
K
Kp/100
K/n
a1 = (K/n)(1+ np/100)
2
K – K/n
(K – K/n)p/100
K/n
a2 = a1 – (bp/100)
3
K – 2(K/n) (K – 2(K/n)/100
K/n
a3 = a1 – 2 (bp/100)
80
Primer Zajam od 100.000 treba amortizovati za 2,5 godina sa jednakim polugodišnjim otplatama (nejednakim anuitetima), sa 4% interesa (pa)s. ( sa polugodišnjim Kapitalisanjem). Izraditi plan amortizacije zajma. Ovde je K= 100.000 ; n=2,5 godina; mn=5; m=2; (pa)s =4%; Iznos otplate dobijamo kada iznos duga podelimo sa brojem otplata (anuiteta) b = 100.000 / 5 = 20.000 Kako je polugodišnji interes 4% on u prvom anuitetu iznosi 100.000 x 4% = 4.000 a kako anuitet predstavlja zbir otplate i interesa to je prvi anuitet 20.000 + 4000 = 24.000. Kada znamo iznos prvog anuiteta , sledei anuitet izraunavamo po formuli a2 = a1-( bp/100) tako da je a2= 24.000 – ( 20.000 x 4/100)= 23.200 Interes sadržan u ovom anuitetu izraunavamo tako što ostatak duga pomnožimo sa interesnom stopom 80.000 x 4% = 3.200 Sledee anuitete izraunavamo po formuli an = a1- (n-1) ( bp/100), gde je n broj dospelog anuiteta a3= a1- 2 ( 20.000 x 0,04) = 24.000 – 1.600= 22.400 u ovom anuitetu interes je 60.000 x 4%= 3.200 a4= a1- 3 ( 20.000 x 0,04) = 24.000 – 2.400= 21.600 u ovom anuitetu interes je 40.000 x 4%= 1.600 a5= a1- 4 ( 20.000 x 0,04) = 24.000 – 3.200= 20.800 u ovom anuitetu interes je 20.000 x 4%= 800 81
Kada izraunate vrednosti unesemo u tabelu dobijamo N
Ostatak duga
Interes
Otplata
Anuitet
1
100.000
4.000
20.000
24.000
2
80.000
3.200
20.000
23.200
3
60.000
2.400
20.000
22.400
4
40.000
1.600
20.000
21.600
5
20.000
800
20.000
20.800
12.000
100.000
112.000
82
8. KONVERZIJA DUGOVA
Konverzija duga se vrši sporazumno, na predlog dužnika a uz pristanak poverioca. Naješe dužnik traži da plaa manji anuitet, sa produžavanjem perioda otplate. Sa matematikog stanovišta za konverziju zajma su karakteristina dva sluaja: 1) dan promene uslova se poklapa sa danom plaanja anuiteta 2) dan promene uslova se ne poklapa sa danom plaanja anuiteta U prvom sluaju, kada se dan promene uslova poklapa sa danom plaanja anuiteta, potrebno je najpre izraunati ostatak duga a potom se pravi plan kao da je ostatak duga dat na zajam prema novim uslovima. Ako se dan promene uslova ne poklapa sa danom plaanja anuiteta, ostatak duga se izraunava sa korekcijom ostatka duga na dan plaanja zadnjeg anuiteta. Korekcija se vrši sa prostim interesom. Meusobna zamena dva niza uloga Ako su sadašnje vrednosti dva niza uloga jednake, tada se ti nizovi mogu meusobno zameniti. Ako imamo niz od n dekurzivnih godišnjih uloga po u novanih jedinica, taj niz možemo zameniti sa nizom od n* godišnjih dekurzivnih uloga. Interesna stopa je p%(pa)d sa godišnjim kapitalisanjem. Treba odrediti visinu novog uloga a*. Postavljamo relaciju u[ 1-(1+i)-n] / i = a* [ 1-(1+i)-n*] / i a odavde sledi a*= u[ 1-(1+i)-n]/ [ 1-(1+i)-n*] 83
Primer: Dužnik je prema poveriocu bio u obavezi da svake godine u toku 10 godina uplauje po 10.000. Oni su se meutim, naknadno sporazumeli da dužnik izvrši 20 uplata. Odrediti visinu novog anuiteta, ako je interes 4%. a*= 10.000 x (1-1,04-10)/ (1-1,04-20)= 5.968,14
84
V. Pojedinosti
85
1. DONOŠENJE INVESTICIONIH ODLUKA
Pojam investicija se razliito deniše, ali u svakom sluaju podrazumevaju se ulaganja nansijskih sredstava radi ostvarivanja ekonomskih, neekonomskih ili i jednih i drugih ciljeva i efekata u budunosti. Efekti investicije mogu biti direktni i indirektni, ali sa stanovišta ocene ekasnosti, iskazuju se u novanom obliku buduih prihoda. Periodi, investicionog ulaganja i korišenja investicije, mogu biti jednaki ili razliite dužine. Sa ekonomskog stanovišta je poželjno da period investicionog ulaganja bude kratak a ekonomski vek efekata investicije što duži. Za neku investiciju kažemo da je isplativa ili rentabilna ako je sadašnja vrednost investicionog ulaganja manja od sadašnje vrednosti prihoda od investicije. Investicione odluke se donose na osnovu vrednovanja efekata investicionih ulaganja i plana realizacije investicija. Planovi realizacije investicija su veoma složeni planovi. Ti planovi sadrže veoma razliite analize ( analiza lokacije, analiza tržišta nabavke investicione opreme, analiza nansijske konstrukcije, analiza tržišta inputa, analiza tržišta outputa, analiza neto deviznih efekata, analiza uticaja investicije na društveni razvoj,analiza uticaja investicije na životnu sredinu itd.)
1.1. RIZIK IZBORA U odnosu na ovo pitanje postoje dva pristupa: pristup teorije odluivanja i pristup testiranja statistikih hipoteza.9 9
Testiranje statsitikih hipoteza vrši se korišenjem parametarskih i neparametarskih testova, vidi B.Ivanovi: Teorijska statistika.
87
Pristup odluivanja je znaajan kod plasmana slobodnih sredstava osiguranja. Naroito posle objavljivanja radova H. Markoviza ukupna problematika nansijskih derivata i upravljanje rizicima aktive izlazi iz okvira osiguranja, premda prirodno ima puno dodirnih taaka. Mi ovde razmatramo opšti pristup riziku izbora, koji je tretiran u teoriji odluivanja. U pristupu teorije odluivanja, oluke o prihvatanju ili ne prihvatanju rizika razmotriemo posle uvoda u temu, u narednom izlaganju . Odluka se može doneti: 1. na osnovu obaveštenja a priori 2. na osnovu oekivanog gubitka 3. na osnovu obaveštenja a priori i istraživanja na osnovu uzorka Polaznu osnovu u teoriji odluivanja ine kriterijumi- akcije i efekti moguih odluka, tj. baza kriterijuma sa matricom efekata: Ishodi akcije
S1
S2
...
Sj
...
Sn
a1
e11
e12
...
e1j
...
e1n
a2 .
e21
e22
...
e2j
...
e2n
ai .
ai1
ai2
...
aij
...
ain
am
em1
em2
...
emj
...
emn
gde su:
ai - mogue akcije Sj - mogui ishodi eij - efekti akcije ai za ishod Sj
Rezultat svakog eksperimenta u statistici mogue je tumaiti kao donošenje jedne od moguih odluka. Na primer A={a} oznaava skup svih moguih odluka (a) vezanih za jedan statistiki eksperiment, tako da rezultat statistikog eksperimenta ini ureena ntorka realnih brojeva x=(x1,x2,...,xn) koju interpretiramo kao vrednost koju je uzeo uzorak X=(X1,X2,...,Xn), iz prostora uzorka ={X}, tj. iz skupa svih ureenih ntorki realnih brojeva x=(x1,x2,...,xn). 88
Prostor uzorka uzimamo kao skup svih moguih ishoda statistikog eksperimenta , ili je skup u kome n-dimenzionalna sluajna promenljiva X=(X1,X2,...,Xn), uzima vrednosti sluajnog uzorka. U teoriji odluivanja, deniše se funkcija odluivanja d(.) iz preslikavanja prostora uzorka u skup odluka A. Na taj nain svakom moguem ishodu x statistikog eksperimenta pridružujemo tom funkcijom jednu odluku a:d(x)=a. Kada nam je poznata raspodela verovatnoa u prostoru uzorka, odnosno kada imamo raspodelu verovatnoa n-dimenzionalne sluajne promenljive x=(x1,x2,...,xn), u principu (bar teorijski) svaki problem je rešen. Uzimajui da raspodele verovatnoa nad skupom A zavise od parametra i da su sa vrednošu tog parametra potpuno odreene. Pri tome skup svih vrednosti parametra oznaavamo sa ={}. U principu, poznavanjem vrednosti parametra , znai poznavanje raspodele nad skupom A, tj. znamo kolike su verovatnoe pojedinih odluka (a). Meutim, ta raspodela naješe nije poznata i jedino znamo da pripada nekom skupu raspodela, a takoe nam nije poznata vrednost . Postavlja se pitanje kako izabrati funkciju odluivanja i opšti pristup tom problemu je sledei: 1. Denišemo funkciju gubitka L(a;) kao numeriku funkciju nad proizvod prostorom A, tj. funkciju koja svakoj odluci a A i svakoj vrednosti parametra , pridružuje broj L(a;) koji reprezentuje gubitak pri toj odluci i pri tom parametru. Oigledno, može se denisati i funkcija dobitka U(a;). Na primer U(a;) = - L(a;) 2. Denišemo funkciju rizika, na taj nain što svakom ishodu statistikog eksperimenta x A, odgovara preko funkcije odluivanja d, jedna odluka a=d(x) i funkcija gubitka L(d(x);). Na taj nain, pre pristupanja statistikom eksperimentu (“uzimanju” uzorka), ishod je n-dimenzionalna sluajna promenljiva X, tako da funkcija gubitka postaje sluajna promenljiva L(d(x);). 89
Raspodela verovatnoa ove funkcije zavisi od nepoznatog parametra i funkcije odluivanja d. Funkcija rizika je po deniciji matematiko oekivanje r(d; )= E[L(d(x); ] To je numerika funkcija koja zavisi od nepoznatog parametra i funkcije odluivanja d. 3. Potrebno je usvojiti princip izbora funkcije odluivanja (kriterijum).Na primer princip “min-max” (preuzet iz teorije igara10). Dakle, po ovom principu treba izabrati onu funkciju odluivanja d=d0 koja ini da je max r(d; ) = minimum Na ovaj nain, ako pretpostavimo da je stvarna vrednost parametra ona koja ini oekivani gubitak najveim r(d; )= max r(d; ), funkcija rizika r(d; ) e zavisiti od funkcije odluivanja d, koju sada biramo tako (d=d0) da je rizik gubitka najmanji r(d0; ) = min r(d; 0) = min [max r (d; )] d
d
Zbog toga što je ovaj izbor pesimistiki, u razradi teorije odluivanja se esto uzima kao prihvatljivija pretpostavka da je sam parametar jedna sluajna promenljiva sa izvesnom apriori raspodelom (koja može biti diskretna p(i) ili neprekidna (). Tada se funkcija rizika, koja se u prethodnom sluaju odreivala kao matematiko oekivanje, sada uzima kao sluajna promenljiva r(d; ). Može se takoe uzeti Bajesov princip izbora funkcije odluivanja, prema kome se bira ona funkcija odluivanja (d=d0) koja ini oekivanu vrednost E[r(d; )] najmanjom. Meutim, zamera se Bajesovom principu izbora što je izbor apriori raspodele za parametar uglavnom subjektivna stvar, odnosno zavisi od stepena informisanosti i procene subjekta koji izbor vrši. 10
Ovaj princip podrazumeva da vrednost parametra bira inteligentno bie koje uz to ima antagonistiki interes, što u teoriji odluivanja nije sluaj.
90
U principu se razlikuju dve grupe kriterijuma (akcija) u zavisnosti da li polaze ili ne polaze od verovatnoe. Ukratko emo navesti poznate kriterijume, kao i njihove osnovne karakteristike. Min-max kriterijum minimizira gubitak koji može nastati izborom pogrešne odluke. Iz matrice gubitaka bira se opcija koja donosi najmanji gubitak. Max-min je kriterijum kojim se odreuje najnepovoljniji (pesimistiki) ishod svih akcija, sa izborom opcije sa najmanjim gubitkom. Kriterijum izražava krajnji oprez pri odluivanju. Max-max je tzv. kriterijum optimizma jer sugeriše izbor one akcije koja daje najvei dobitak. Hurvicz-ov kriterijum je kompromis izmeu kriterijuma optimizma i kriterijuma pesimizma.Kriterijum se formuliše tako što se prvo opredeljuje odreeni koecijent optimizma, a potom na bazi njega odrediti oekivani efekat svoje odluke. Opredeljenje odreenog koecijenta optimizma je subjektivno ili zasnovano na prethodnim eksperimentima.Na bazi oekivanih efekata svake akcije bira se ona akcija za koju su oekivani efekti maksimalni. Laplasov kriterijum se zasniva na dodeljivanju jednake verovatnoe svakom ishodu, sa izborom akcije sa maksimalnim oekivanim efektom. Bajesov kriterijum se zasniva na verovatnoama aposteriori ili na subjektivnim verovatnoama, koje se koriste kao prave (apriorne). Za svaku akciju se odreuje oekivani efekat a izbor se vrši na osnovu maksimalnog efekta, ukoliko su efekti pozitivni, odnosno minimalnog efekta ukoliko su efekti gubici. Prema Bajesovom kriterijumu, za optimalnu akciju je oekivani rizik minimalan. Kriterijum maksimalne verodostojnosti se zasniva na pridruživanju verovatnoe svakom ishodu i izborom akcije u okviru ishoda sa maksimalnom verovatnoom za koju je efekat maksimalan. Kriterijum oekivane novane vrednosti, zasniva se na matrici efekata i vrednostima verovatnoa koje je mogue pridružiti ishodima. Pridruživanje verovatnoe svakom ishodu je subjektivno i stvar procene donosioca odluke.Iz matrice efekata utvruju se oekivane novane vrednosti i na osnovu njih se bira akcija sa optimalnom oekivanom novanom vrednosti. Kriterijum oekivanih žaljenja, zasniva se na utvrenim vrednostima žaljenja iz matrice efekata i verovatnoa ishoda.Izbor akcije se vrši prema minimumu vrednosti oekivanih žaljenja. Ovaj kriterijum omoguava donosiocu odluke da pronae oekivanu vrednost perfektne informacije. 91
Perfektna informacija odgovara oekivanom žaljenju najbolje akcije prema kriterijumu oekivanih žaljenja, tj. ona predstavlja maksimalnu vrednost koju donosilac odluke sme da plati radi prikupljanja dodatnih informacija u cilju smanjivanja neizvesnosti u razmatranom problemu. Kriterijum oekivane vrednosti iz centralne tendencije.Optimalna akcija je ona kod koje je najvea oekivana sadašnja vrednost, sa najmanjom standardnom devijacijom. Kriterijum koecijenta varijacije. Odreuje se iz kolinika standardne devijacije i oekivane vrednosti, pri emu se polazi od toga da manja standardna devijacija odražava manji rizik (uži interval varijacija moguih ishoda).Bira se ona akcija sa najmanjim pozitivnim koecijentom varijacije. Kriterijum funkcije korisnosti, zasniva se na izražavanju subjektivnog stava donosioca odluke prema riziku.Bira se akcija sa najveom oekivanom korisnošu. Kriterijum ekvivalentne sigurnosti.Ovaj kriterijum se takoe zasniva na izražavanju subjektivnog stava donosioca odluke prema nošenju rizika. Ako je donosilac odluke kod alternativnog odluivanja indiferentan izmeu jedne od alternativa i sigurne sume novca koja mu je na raspolaganju, onda ova suma novca predstavlja ekvivalent sigurnosti. Prema ovom kriterijumu sugeriše se izbor alternativne odluke koja ima najvei ekvivalent sigurnosti. Sada emo pokazati primenu prethodno obrazloženih teorijskih postavki. Rizik prihvatamo ili ga odbacujemo. Neprihvatanje rizika (odluka a1) i prihvatanje rizika (odluka a2), vrši se inspekcijom dva sluaja koja sadrži prostor uzorka. Jedan sluaj je prihvatljiv (1) a drugi sluaj nije prihvatljiv (0), tako da prostor uzorka sadrži tri elementa A={(1,1),(0,0),(1,0). Možemo denisati najviše 8 funkcija odluivanja (23) i to: d1
d2
d3
d4
d5
d6
d7
d8
(0,0)
a1
a2
a1
a1
a2
a1
a2
a2
(1,0)
a1
a1
a2
a1
a2
a2
a1
a2
(1,1)
a1
a1
a1
a2
a1
a2
a2
a2
Oigledno je da su funkcije odluivanja d1 i d8 trivijalne, dok je npr. d6 sasvim razumna. 92
Neka prostor uzorka sadrži 200 jedinica sa prihodom od 1,5 NJ po jedinici, a neka gubimo 3 NJ ako se na jedinici ostvari rizik, i ako je odluka o neprihvatanju prostora uzorka praena gubitkom od 10 NJ. Oznaimo sa p (nepoznatu verovatnou) da je ispitivani sluaj neprihvatljiv (0), odnosno =p, =[0,1] Funkcija gubitka je L(a1; )= 10 , 0 p 1; L(a2; )=-1,5 x 200+ 3 x 200 p = 300 (1-2p), 0 p 1; r(d1;p)=10 (jer je d1 konstanta a1) Za odluku d6 dobijamo r(d6; p) = 10 Pp(0,0) + 300(1-2p)Pp[(1,0)+(1,1)] = = 10p2 + 300(1-2p)[2p(1-p)(1-p)2] pošto je Pp=(1,1)=p2 , odnosno Pp[(0,1)+(1,1)]= 2p(1-p+(1-p)2 Naravno, na slian nain možemo izraunati i za preostale funkcije odluivanja. U vezi napomene koju smo uinili kod izbora principa min-max (da je pesimistiki), u ovom primeru možemo uoiti da za p=1 funkcija rizika r(di;1) nije vea od 10 za svako di (i= 1,2,...,8), tj. max r(di1)=10 i kako je za d=d1 r(d1;1)=10 to bi izborom funkcije odluivanja d1 došli do zakljuka da prostor uzorka (poslove sa rizikom) treba uvek odbaciti. Bajesov princip izbora esto dovodi do komplikacija u izraunavanju, koje se mogu izbei ako pretpostavimo da je ={ 1,2,3} i da imamo tri funkcije odluivanja (d1,d2,d3). Tada bi odgovarajue vrednosti funkcije rizika r(di; j) ; i,j=1,2,1. mogli da prikažemo kao npr. u sledeoj tabeli d1
d2
d3
1
0
2
5
2
4
2
-4
3
2
-2
0
93
Lako uoavamo da princip min-max daje minimum maksimuma funkcije rizika za funkciju odluivanja d2
1. Primer odluka na osnovu obaveštenja a priori: Kriterijum je maksimalna oekivana dobit kod izbora odluke ija se realizacija oekuje u toku odreenog vremenskog perioda. Osigurava razvija novi portfelj i ima dilemu: da li da proizvod neposredno prodaje u toku pet godina ili da prodaju ustupi brokerskoj organizaciji11. Kako je budua prodaja neizvesna, nju možemo klasikovati u tri nivoa: jaka, srednja i slaba. Ako se odlui da sam prodaje (odluka d1), ostvarie istu dobit pri jakoj prodaji 120 NJ, po srednjoj 40 NJ, a pri slaboj prodaji e ostvariti gubitak 10 NJ. Ako prodaju ustupi brokerskoj organizaciji (odluka d2), ostvarie pri jakoj prodaji ist dobitak 60 NJ, pri srednjoj prodaji ist dobitak 20 NJ i pri slaboj prodaji ist dobitak 5 NJ. Šema dve odluke i tri dogaaja je sledea d1
d2
P1
120
60
P2
40
20
P3
- 10
5
Slaba prodaja je najnepovoljniji dogaaj i zato od njega polazimo. Kod odluke d1 preduzee je na gubitku za 10 NJ, a kod odluke d2 ist dobitak je 5 NJ. Oigledno, izbor e pasti na drugu odluku . U ovakvim primerima možemo uoiti da nije racionalno osloniti se na princip min-max, kada je mogunost najgoreg dogaaja u razliitim situacijama minimalna. Prihvatljiviji je pristup da se kod izbora odluke uzme u obzir verovatnoa nastupanja pojedinih dogaaja i pomou nje izraunata oekivana dobit za svaku odluku. Tada izbor pada na odluku sa najveom oekivanom dobiti. 11
Ovakva dilema se redovno pojavljuje u osiguranju života, gde prodaju u sopstvenoj režiji prate relativno visoki ksni troškovi u prvim godinama lansiranja programa, koje osigurava uvek želi da minimizira.
94
Ako prethodni primer dopunimo sa informacijom o verovatnoi za pojedine vrste prodaje: Prodaja
Verovatnoa
P1
0,30
P2
0,50
P3
0,20
Formiramo sledeu šemu: Prodaja
odluka (d1)
odluka (d2)
verovatnoa (p)
dobit D
pD
verovatnoa (p)
dobit D
pD
P1
0,30
120
36
0,30
60
18
P2
0,50
40
20
0,50
20
10
P3
0,20
-10
-2
0,20
5
1 29
Vidimo da je oekivana dobit vea kod odluke d1. Ovakvi zadaci se rešavaju i putem oportunog gubitka (do koga dolazi ako se propusti izbor najbolje odluke). Kod jake prodaje najbolja je odluka d1 jer obezbeuje 120 NJ iste dobiti. Oportuni gubitak kod odluke d1 je 120-120=0, kod odluke d2 je 120-60=60. Prodaja
odluka (d1)
odluka (d2)
verovatnoa (p)
OG
pOG
verovatnoa (p)
OG
pOG
P1
0,30
0
0
0,30
60
18
P2
0,50
0
0
0,50
20
10
P3
0,20
15
3
0,20
0
0
3
28
Vidimo da je u datom primeru najmanji oportuni gubitak kod odluke d1, (sopstvena prodaja), koju emo izabrati. Ovaj metod se naziva minimax oportuni gubitak. 95
2. Primer odluka na osnovu oekivane korisnosti U sluajevima kada se odluke realizuju samo u jednoj akciji, novana korist ne može da se uzme kao jedini kriterijum izbora zbog toga što odluka zavisi i od stava subjekta odluivanja prema riziku. Iz kombinacije ova dva inioca razvila se posebna teorija korisnosti. Sklonost prihvatanja rizika ili suprotno averzija prema riziku je u osnovi subjektivno vrednovanje korisnosti novca, odnosno stava prema posledicama. Osigurava se nalazi pred izborom jedne od dve odluke: da prihvati investiciju ili da je ne prihvati. Ukoliko donese odluku o prihvatanju investicije sa verovatnoom 0,5 može da dobije 6.000 i sa istom verovatnoom da izgubi investirani ulog 4.000. Pretpostavimo da to lice ne želi da prihvati mogunost dobitka od 6.000 uz mogunost i da izgubi 4.000. Kako doi do verovatnoe koja investitora ini ravnodušnim da ne primi nikakvu naknadu ili da primi 6.000. Prvo utvrujemo proizvoljnu novanu korisnost, npr. neka je ona k(6.000) = 1 i k(-4.000) = 0 Oekivana korisnost od E(k) = (0,5)(6.000) + (0,5)(-4.000) = 1.000 postaje E(k) = (0,5)(1)+(0,5)(0) = 0,5 S obzirom da naš investitor radije želi da ne dobije nikakvu novanu naknadu nego da investira sa oekivanom korisnosti od 1.000, odnosno 0,5 tada je za njega korisnost koju pridaje odluci da ne investira vea od 0,5. Pretpostavimo da verovatnoa od 0,8 za dobijanje 6.000 investitora ini ravnodušnim da investira i ne dobije ništa ili da investira i dobije pod navedenim uslovima. Tada je E(k)=(0,8)(1)+(0,2)(0)=0,8 U ovom primeru imamo tri para vrednosti:(-4.000; 0), (6.000; 1) i (0; 0,8). Prvi broj kod ovih parova je novani iznos a drugi verovatnoa koja izražava korisnost i po istoj logici se mogu utvrditi verovatnoe i za druge novane iznose. 96
Iz takvih parova vrednosti, uzetih kao promenljive X i Y može se doi do razliitih oblika funkcije korisnosti. Funkcije korisnosti tipa a) utvruju se polazei od toga da ljudi normalno pridaju vei znaaj veim sumama novca nego manjim. Takve funkcije su karakteristine za subjekte koji nisu skloni riziku, koji preferiraju manje novane iznose uz veu sigurnost nego velike iznose sa rizikom. Funkcije korisnosti tipa b) su linearne i karakteristine za lica koja su indiferentna na rizik. Funkcije korisnosti tipa c) utvruju se za lica kod kojih je karakteristina sklonost prihvatanja rizika. 3. Primer odluivanja na osnovu obaveštenja a priori i istraživanja na osnovu uzorka. U ovaj primer uvodimo i obaveštenja dobijena na osnovu uzorka i na taj nain se dobija revidirana verovatnoa a priori, odnosno dobija se verovatnoa aposteriori pomou koje se izraunava oekivana dobit. Korekcija verovatnoe apriori vrši se korišenjem Bijesove teoreme. Dilema izmeu sopstvene prodaje ili ustupanja prodaje iz primera 1, uz raspolaganje sa verovatnoom apriori koja se pridružuje jakoj, srednjoj i slaboj prodaji, može da se odloži da bi se ocenila prodaja. Neka rezultat uzorka pokazuje da e prodaja biti srednja (S). Verodostojnost rezultata formuliše se prema sledeem.Verovatnoa srednje prodaje je 90%. Meutim, kada je prodaja jaka, oko 20% uzorka pokazuje prodaju kao srednju, a kada je ona slaba, 30% uzorka je pokazuje kao srednju. Ovo su uslovne verovatnoe nastajanja S za dogaaje 1, 2 , 3. Verovatnoe a posteriori primenom Bajesove teoreme dobijamo prema sledeem:
Dogaaji
Verovatnoa a priori p0(i)
Uslovna verovatnoa p0(i)p0 (S/ i) p0(S/ i)
1
0,30
0,20
0,06
0,11
2
0,50
0,90
0,45
0,78
3
0,20
0,30
0,06
0,11
Zbir
1,00
0,57
1,00
97
Verovatnoa a posteriori p1(i/S)
Sada izraunavamo oekivane dobiti na osnovu verovatnoe a posteriori
Prodaja
odluka (d1)
odluka (d2)
verovatnoa (p) dobit (D1) a posteriori
verovatnoa (p) dobit (D2) a posteriori
pD1
pD2
P1
0,11
120
13,20
0,11
60
6,60
P2
0,78
40
31,20
0,78
20
15,60
P3
0,11
-10
-1,10
0,11
5
0,55
43,30
1,00
1,00
22,75
Uoavamo da je oekivana dobit sa a posteriori verovatnoama manja od oekivane dobiti sa a priori verovatnoama i za jednu i za drugu odluku, ali i u ovom sluaju je bolje donošenje odluke o sopstvenoj prodaji (odluka d1).
1.2. METODE OCENE EFIKASNOSTI INVESTICIONIH ULAGANJA Razvoj nansijskog tržišta, sa pojavom novanih derivata koji imaju svojstvo prinosa, potpuno se izmenilo klasino shvatanje pojma investicionih ulaganja. Promena oblika angažovanja kapitala, koje se registruje u aktivi bilansa ne mora biti u smeru osnovnih sredstava za koja je vezan klasian pojam investicija, ve uopšte u hartije od vrednosti (obveznice, akcije drugih preduzea i druge prinosne hartije), sa kojima se može trgovati na primarnom i sekundarnom nansijskom tržištu. U savremenoj teoriji12 , akcenat u vrednovanju nije samo prinos koji se od investiranja oekuje ve i rizik koji taj prinos može dovesti u pitanje, odnosno zbog koga je prinos varijabilan pa ak i potpuno neizvesan. Portfolio teorija, koju je utemeljio Markovitz H.M, razvija se u dva pravca : normativni i pozitivni. Pozitivna portfolio teorija je razvila dva osnovna modela: model vrednovanja kapitala CAPM (Capital Asset Pricing Model) i 13
12
13
Prof. Dr Milovan Staniši; Doc. Dr Ljubiša V. Stanojevi : Analiza rizika investicionih projekata sa posebnim osvrtom na vremenski reverzibilni model markovljevih lanaca.Fakultet za nansijski menadžment i osiguranje, asopis “Finansije, bankarstvo, revizija, osiguranje”, broj 4; oktobar-decembar 2004. godine. Dr Dejan B. Šoški: Hartije od vrednosti upravljanje portfoliom i investicioni fondovi; Drugo izdanje str.127. Ekonomski fakultet Beograd 2001.
98
model arbitražnog vrednovanja APT. Post moderna teorija PMPT polazi od varijabiliteta prinosa u kome razlikuje dobar i loš rizik i pojam pravog rizika koji opisuje sa MAR parametrom (minimalno prihvatljivog rizika). CAPM model se zasniva na kombinovanju trtžišnog portfolia sa nerizinim portfoliom (pretpostavlja se da je takvo kombinovanje dostupno). Investitor nastoji da ostvaruje prinos tržišnog portfolia u veem iznosu nego što je prinos nerizinog nansijskog instrumenta. Kriterijum14 je izjednaavanje tržišne cene rizika i razlike izmeu oekivanog prinosa tržišnog porrtfolia i prinosa nerizinog portfolia. Cena rizika akcije je odreena njenim prinosom, pa je oekivani prinos akcije E(ri)= rj + [E(rm) - rf ] i gde je drugi sabirak premija za rizik ( ekstra prinos akcije u odnosu na nerizini portfolio). Oekivani prinos za svaku vrstu akcija u portfoliunalazi se na liniji koja spaja prinos nerizinog investiranja sa prinosom tržišnog portfolia, sa mestom koje na toj liniji odreuje koecijent.Ta linija se naziva Security Market Line, svakog nansijskog instrumenta. Mi emo u narednom izlaganju razmatrati klasine aspekte rentabiliteta investicionog ulaganja koji se ocenjuju razliitim metodama, od kojih su najvažnije: – metod sadašnje vrednosti investicionog ulaganja – metod interne stope rentabiliteta Metod sadašnje vrednosti (kapitalna vrednost investicije) Neto sadašnja vrednost investicionog projekta je po deniciji diskontovana razlika, na poetak investicionog perioda, svih primitaka i izdataka u toku veka investicionog projekta. Ako kod jedne investicije investiciona ulaganja vršimo u momentima t at , at+1, at+2, … at+n, a prihode od investicije ostvarujemo u momentima t bt , bt+1, bt+2, … bt+n, 14
H.Bierman Jr,Seymour Schmidt: The Capital Budgeting Decision, str. 216
99
tada je kapitalna vrednost u odnosu na trenutak t ct= (bt/ r + bt+1 /r2+ … + bt+n/rn ) – (at/ r + at+1/r2 + at+n / rn ) ovde r= 1+ p/100 imamo dekurzivni interesni inilac. Ako je interesna stopa promenljiva, tada je ct= [(bt/ (1+p1/100) + bt+1 / (1+p1/100)2+ … + bt+n/(1+p1/100) n ] – - [(at/(1+p1/100) + at+1/(1+p1/100) 2 + at+n / (1+p1/100) n ] Ako je kamatna stopa konstantna r=(1+p/100), tada je diskontna stopa 1/r, tj. zbir diskontovanih razlika primitaka i izdataka C0= NP0 + (NP1/r) + (NP2/r2)+...(NPn/rn) C0 =
Primer: Vek projekta
Neto primici
Diskontni faktor sa p= 11,5%
(2 x 3)
1
2
3
4
0
- 166.436
1,0000
- 166.436
1
- 252.370
0,8967
- 226.300
2
- 378.595
0,8043
- 304.504
3
483.462
0,7214
348.769
4
483.050
0,6470
312.533
5
482.623
0,5803
280.066
6
482.178
0,5204
250.925
7
481.782
0,4667
224.848
8
477.159
0,4186
199.740
9
869.062
0,3754
326.246
Neto sadašnja vrednost projekta
1.212.583
Neto sadašnja vrednost projekta 1.212.583
100
Za izraunavanje neto sadašnje vrednosti investicionog ulaganja možemo koristiti nansijsku funkciju NPV(rate,value1,value2,...) U konkurenciji više investicionih varijanti (projekata) bolja je ona opcija koja ima veu neto sadašnju vrednost. Interna stopa rentabiliteta Interna stopa rentabiliteta je diskontna stopa koja svodi neto sadašnju vrednost projekta investicije na nulu. Tu diskontnu stopu lako izraunavamo kada znamo algoritam. Denicija interne stope rentabiliteta ukazuje da je kod nerentabilnog investicionog ulaganja stopa negativna.
0=
0= Ako kod jedne investicije investiciona ulaganja: a1 , a2, a3, … ah vršimo u momentima: t1,t2,t3...th a prihode od investicije: b1 , b2, b3, … bk, ostvarujemo u momentima: t1,t2,t3...tk tada iz relacije
101
odnosno ako je kod investicionog ulaganja jednokratno ulaganje a0 u trenutku t0 imaemo a0 = b/r + b/r2 + b/r3 + b/rn a0 = b Rešenje po r daje internu stopu rentabiliteta, pr = 100(r-1). Kada su investicioni ulozi jednaki, tada je interna stopa rentabiliteta jednaka faktoru aktuelizacije. U praktinom izraunavanju, problem se svodi na iznalaženju diskontne stope koja daje malu pozitivnu neto sadašnju vrednost projekta (S0+) . To je stopa Pp i druge diskontne stope Pn koja daje malu negativnu neto sadašnju vrednost projekta (S0-). Tada je interna stopa rentabiliteta Pr= Pp + >S0+ (Pn – Pp)@ / (S0+ – S0-) 42,0 + >7.248.000 (42,5 – 42,0)@ / (7.248.000 – (- 39.000)= 42,49% Za izraunavanje interne stope rentabiliteta može se koristiti nansijska funkcija IRR(values,guess).
Primer: IRR(-166.436,-252.370,-378.595, 483.462, 483.050, 482.623, 482.178, 481.782,477.159,869.062; 10)
IRR= 42,38% Kod poreenja investicionih alternativa, bolja je ona koja ima veu vrednost interne stope rentabiliteta. Ako uporedimo navedena dva merila za ocenu efektivnosti investicionih ulaganja, ( neto sadašnju vrednost i internu stopu rentabiliteta) vidimo da je interna stopa rentabiliteta kompleksnija jer ukazuje na prinos po jedinici angažovanog kapitala u toku odreene jedinice vremena. Interna stopa rentabiliteta praktino meri prinos dimenzijama vremena i koliine, ime se meri rizik, tj. daje odgovor : da li je oekivani prinos adekvatan oekivanom riziku. 102
Premda je metod interne stope rentabiliteta široko rasprostranjen kod ocene ekasnosti investicionog ulaganja, ovaj metod nije preporuljiv ako se u periodu eksploatacije investicije povremeno javljaju neto gubici, tj. javljaju se dopunska investiciona ulaganja.Tada e neto sadašnja vrednost menjati predznak više od jedan put, pa praktino dobijamo više od jedne interne stope rentabiliteta. Meutim, kombinovanje ocene sa navedena dva metoda, veoma su korisne.
1.3. KOMPJUTERIZOVANE FINANSIJSKE FUNKCIJE U nansijskom menadžmentu je razvijen niz nansijskih operacija, koje su pojmovno odreene sa algoritmom kompjuterskih izraunavanja. Toga e u budunosti biti sve više, pre svega zbog uštede vremena i opšeg poveanja efektivnosti. Ve sada je Excel neizostavan alat za razliita izraunavanja. U prethodnom izlaganju upoznali smo i koristili smo neke od nansijskih funkcija, kao na primer: PMT, PV i FV. Ovde emo sa numerikim podacima iz primera koje smo ve pokazali, ukazati na povezanost ovih funkcija. U primeru kredita 12000 na 6 meseci sa 12% (pa)d, videli smo da mesena rata iznosi 2,070.58 dinara PMT(12%/12,6,12000)= 2,070.58 Ako bi poetkom šestomesenog perioda ulagali po 2,070.58 dinara, sadašnja vrednost tih uloga sa 12% (pa)d bila bi PV(12%/12,6,2070.58, ,0) = 12000 dinara Ako bi postavili pitanje, koliki meseni iznos treba da štedimo sa 12% (pa) d, da bi posle 6 meseci imali 12.000 dinara, odgovor je PMT(12%/12,6, ,12000)= 1,950.58 dinara
Primer: 1) Ako bi u narednih 10 godina, krajem svake godine ulagali po 10.000 sa 4% (pa)d, kolika bi bila sadašnja vrednost tih uloga ( poetkom 10-godišnjeg perioda).
103
C0 = 10.000 (1,0410-1) / 1,0410(1,04-1) = 81.108,96 Za izraunavanje se može koristi nansijska funkcija PV (Present value) PV(4%,10,10000,0)=81.108,96 2) Ako bi u narednih 5 godina, krajem svake godine ulagali po 1.000 sa 4% (pa)d, kolika bi bila sadašnja vrednost tih uloga ( poetkom 5-godišnjeg perioda). C0= 1.000 (1,045 -1) / 1,045(1,04-1) = 4.451,82 PV(4%,5,1000,0)=4.451,82
1.4. KOMPLEKSNO VREDNOVANJE Možemo formulisati niz ocena, po razliitim kriterijuma za vrednovanje bilo kog sistema (projekat, portfelj osiguranja i sl.), pri emu svaki kriterijum ima relativan uticaj koji nije unapred poznat. U kompleksnom vrednovanju ni jednom kriterijumu unapred ne dajemo vei ili manji znaaj u odnosu na druge, tj. unapred ne istiemo njihovu hijerarhiju. Svaki kriterijum izražavamo skalarnom veliinom-ocenom. Metodološki, u opštem sluaju, ne ulazei u opis kriterijuma, postavlja se problem njihovog sintetizovanja. Ovakvi problemi se rešavaju komplikovanim modelima u kojima polaznu osnovu ine korelacione matrice. Prikazaemo originalan metod, inae razvijen radi ocene relativne stabilnosti portfelja osiguranja u njihovom razvoju, a koji se kao što smo napomenuli može koristiti i za kompleksnu ocenu investicionih ulaganja. Ovaj metod ima nekoliko dobrih osobina. Na primer, model omoguava poreenja dobijenih rezultata u prostoru i vremenu jer sadrži etalon (kontrolni portfelj) koji ima ulogu repera. Broj kriterijuma poveava dimenzije korelacione matrice ali nije ogranien tj. u principu možemo imati bilo koji konanan broj (s obzirom na mogunosti kompjuterske obrade). Osnovni zadatak je da ocenimo koji investicioni projekat daje najbolje erfekte, tj. rang boniteta, ako sve projekte vrednujemo istim kriterijumima.
104
Kada imamo samo jedan kriterijum onda neposredno, bez ikakvih prorauna, možemo sainiti rang stanja. Meutim, problem se javlja kada rangiranje treba izvršiti po više kriterijuma, jer je po pravilu rang stanja investicije u odnosu na jedan kriterijum drugaiji u odnosu na druge kriterijume. Pitanje ocene investicionih ulaganja, može se postaviti i periodino radi ocenjivanja razvojne politike. Za te svrhe možemo preko etalona sve investicije koje su ranije ocenjivane da uporedimo sa novim projektima koje sada ocenjujemo tj. možemo da ih uporeujemo. Investicioni projekti: A, B, C, D, E, F, G. numeriki su opisani sa kriterijumima : a, b, c, d. tako da imamo jednu matrinu formu, na primer: Stanja projekata kriterijum
A
B
C
D
E
F
G
a
18
20
23
20
19
21
16
b
0,142
0,2
0,142
0,166
0,2
0,25
0,166
c
15
18
20
17
17
18
22
d
18
17
15
16
17
16
17
Vidimo da po kriterijumu (a) u vektor redu najbolje stanje ima projekat C, ali taj isti projekat ima najslabiju ocenu po kriterijumu d ( poslednji elemenat u vektor koloni C = 15). Pitanje je da li e zbog ovih okolnosti projekat C biti najbolji ili e možda drugi u konkurenciji sa njim imati bolju kompleksnu ocenu. Formiramo hipotetika stanja portfelja: H- max
H- min
a
23
16
b
0,25
0,142
c
22
15
d
18
15
H1
H2
H3
H4
16
23
23
23
0,25
0,142
0,25
0,25
22
22
15
22
18
18
18
15
105
Realna i uvedena hipotetika stanja projekata denišu matricu stanja >Q@ Matrinim množenjem > Q@ > Q@T N-1 ili posredno preko koecijenata proste korelacije, dobija se korelaciona matrica >R@oblika 1
0,263
0,189
- 0,041
0,263
1
0,228
0,193
0,189
0,228
1
0,081
- 0,041
0,193
0,081
1
det _ R_ = 0,823 Sada je potrebno rešiti matrinu jednainu da bi matricu izrazili polinomom i odredili nule polinoma. Prvo odreujemo matricu > B1 @ ,iz relacije >B1 @ = >R@- 4E (zbir elemenata po glavnoj dijagonali-trag matrice R je 4) ; P1=4
B1 =
–3
0,263
0,189
–0,041
0,263
–3
0,228
0,189
0,189
0,228
–3
0,081
–0,041
0,193
0,081
–3
iz matrinog množenja A2 = >R@ >B1@
A2 =
-2,893
-0,49
-0,321
0,148
-0,49
-2,841
-0,39
-0,378
-0,321
-0,39
-2,905
-0,135
0,148
-0,378
-0,125
-2,954
P2 = 1/2 tr >A2@ = –5,796 sada odreujemo matricu >B2@ po istom postupku kao i >B1@
106
B2 =
2,903
-0,49
-0,321
0,148
-0,49
2,955
-0,39
-0,378
-0,321
-0,39
2,891
-0,125
0,148
-0,378
-0,125
-2,842
matrinim množenjem >R@>B2@ = >A3@dobijamo
A3 =
2,707
0,228
0,127
-0,091
0,228
2,664
0,16
0,18
0,127
0,16
2,731
0,046
-0,091
0,18
0,047
2,752
P3 = 1/3 tr >A3@= 3,618
B3 =
-0,911
0,228
0,127
-0,091
0,228
-0,954
0,16
0,18
0,127
0,16
- 0,887
0,046
-0,091
0,18
0,047
-0,866
-0,823
0,000
0,000
0,000
0,000
-0,823
0,000
0,000
0,000
0,000
-0,823
0,000
0,000
0,000
0,000
-0,823
>R@>B3@ = A4
A4 =
Elementi traga ove matrice jednaki su vrednosti determinante R (-1) P4 = 1/4 tr A4 = –0,823 Dobijeni skalari Pi : P1; P2; P3; P4 su koecijenti karakteristinog polinoma korelacione matrice R. 107
Na taj nain smo redukovali korelacionu matricu na polinom O4 - P1 O3 +P2 O2 - P3 O + P4 O4 -4O3 +5,796O2 - 3,618O + 0,822 Sada je potrebno odrediti nule polinoma, npr. metodom kvadriranja - Enkeovi koreni.12 Posle pete iteracije, kada polinomu P(x)=¦ ar xn-r pridružujemo polinom m
P (k) = ¦ br + xn-r , tako da je br = a2r + 2¦ (–1)Qar
- v ar+v
gde je (m) takav prirodni broj da proizvod ar–m ar+m sadrži bilo a0 , bilo an , po shemi: a0
a1
a2
a3
a4
a02
a12
a22
a32
a42
b3
b4
–2a0 a1 b0
–2a1a2 b1
–2a2a3 b2
Na taj nain smo odredili korene polinoma: O1=1,505 O2 =1,0 O3=0,858 O4=0,635 Sada najvei koren (O1=1,505) ukljuujemo u korelacionu matricu R, tako što ga oduzimamo od elemenata glavne dijagonale, tako da formulišemo sistem jednaina 1-1,505
0,263
0,189
-0,041
Y1
0,263
1-1,505
0,228
0,123
Y2
0,189
0,228
1-1,505
0,081
Y3
-0,041
0,193
0,081
1-1,505
Y4
=0
Sistem je homogen i jedno rešenje je y4=1. Zatim preko kofaktora _A3_ = -0,0382 _ B3_ =-0,0484 _ C3_ = -0,0484 _ D3_ = -0,0268
108
dobijamo Y1= A3/D3 = 1,42 Y2= B3/D3 = 1,799 Y3=C3/D3=1,501 Normirajui vektor je b=1/ ¦ y2 i = 0,342 Iz proizvoda vektora b i skalarnih veliina Yi, dobijamo vektor X =bYi X=^0,486; 0,616; 0,514; 0,342` odnosno vektor Rzs= 1,505 Xi = ^0,596; 0,755; 0,63; 0,419` Ostaje da polaznu matricu stanja pomnožimo transponovanim vektorom >Rzs@T Na taj nain dobijamo agregatnu ocenu projekata: Stanja portfelja agregatni kriterijumi S
S
A
B
C
D
E
27,82 30,534 32,7 29,46 29,3 H1
H2
H3
H4
31,1
35,2
30,8
34,0
F
G
max
min
30,7
30,6
35,298
25,37
Kontrolu vršimo tako što se sve ocene moraju nai u granicama (min max). Zakljuujemo da projekti imaju sledei rang: Rang: 1
2
3
4
5
6
7
Stanje: C
F
G
B
D
E
A
(sve ocene stanja se nalaze izmeu H-max i H-min). Najbolje je stanje portfelja C, prema agregiranim kriterijumimama (a,b,c,d) a najslabije je stanje projekta A. U odnosu na primenjenu metodologiju potrebno je uoiti sledee: 109
Ako utvrdimo razlike najvee i najmanje vrednosti kriterijuma a
b
c
d
Max
23
0,25
22
18
Min
16
0,142
15
15
Max-Min
7
0,108
7
3
Hmax
35,298
35,298
35,298
35,298
Hi
31,126
35,217
30,88
34,041
Hmax-Hi
4,172
0,081
4,418
1,257
Sa druge strane razlike
vidimo da kolinik (Hmax-Hi)/(Max-Min) daje elemente vektora Rzs k1 = 4,172/7 =
0,596
k2 = 0,081/0,108 = 0,755 k3 = 4,418/7 =
0,631
k4 = 1,257/3 =
0,419
Na taj nain ostvarujemo konanu kontrolu ovog složenog postupka. Relativni uticaj kriterijuma (u ovoj jednokratnoj oceni stanja) je sledei kriterijum
element Rzs
uticaj %
a
0,596
24,823
b
0,755
31,445
c
0,631
26,281
d
0,419
17,451
Diskusija rezultata: Stanje projekta C je najbolje po agregiranoj oceni, uprkos tome što najslabije zadovoljava kriterijum d. Zatim slede stanja F, G, B..., dok je stanje projekta A najslabije. Sva stanja se nalaze izmeu hipotetikog stanja H max i H min. H-max je najbolje hipotetiko stanje projekta, a H-min najslabije, kod jednokratne ocene stanja. Kod ocena u narednom periodu, novi vektor H-max se može uporediti sa prethodnim.
110
DRUGI DEO
AKTUARSKA MATEMATIKA
111
Primenjene matematike metode koje se koriste u osiguranju života nazivaju se aktuarskom matematikom. Osiguranje života, na naunoj osnovi zasniva se na teoriji verovatnoe. Premda je osiguranje života bilo poznato u najranije doba, po principima uzajamnosti, ono je tek sa primenom rauna verovatnoe (Izveštaj o vrednostima životnih renti-holananin John de Wit 1671 god. i prvih tablica smrtnosti - engleski astronom E.Halley 1693 god.), odnosno sa primenom zakona velikih brojeva i sa demografskim statistikim podacima, postavljeno na naunu osnovu.
1. OSIGURANJE ŽIVOTA POJAM I ZNAAJ
Neke vrste osiguranja života su specini oblici štednje u kojoj, osim kamatne stope i dužine perioda ulaganja, esencijalnu ulogu ima verovatnoa smrti osiguranog lica. Osiguranje života, na naunoj osnovi, sprovodi se ve preko dvestapedeset godina. Ono, pored znaaja za pojedince, kao delatnost ima veliki društveni i privredni znaaj. Pored klasinih vrsta osiguranja života (osiguranje kapitala i osiguranje rente) koje su imale izuzetno važnu ulogu dok se nije razvio sistem socijalnog osiguranja ( socijalno-obavezno penzijsko i zdravstveno osiguranje), do sada se razvio veliki broj marketinški oblikovanih vrsta. Na primer: osiguranje miraza, ili kapitala za poetni biznis, osiguranje stipendije za školovanje itd.
113
Nažalost socijalistike države o osiguranju života nisu vodile rauna. Sa inacijom, koja je primenjivana i kao metod preraspodele dohotka, osiguranje života i štednja su gubili smisao. Sa druge strane, kapitalistike države poreskom politikom stimulišu osiguranja života. Svuda u svetu, poslovanje osiguravajuih kompanija je, u svim nansijskim aspektima, pod nadzorom ovlašenih aktuara i državnim nadzorom, tako da je štednja osiguranika zaštiena od zloupotreba. Kapitalistike države sprovode veoma ozbiljan nadzor nad poslovanjem osiguravajuih organizacija, u cilju zaštite interesa osiguranika od špekulativnih rizika. U razvijenom kapitalistikom svetu, fondovi osiguranja su glavni izvori kreditnog potencijala za investicije. Premija osiguranja je cena za odreeno osiguravajue pokrie. Ona predstavlja bitan elemenat odnosa osiguravaa i osiguranika koji se uspostavlja zakljuivanjem ugovora o osiguranju. Cene, u relaciji sa vrstom osiguranja u kojoj utvruju jedinicu osiguranog interesa (jedinicu osigurane sume) prema merodavnim obeležjima, nazivamo tarifom. Iz praktinih razloga osiguravajue kompanije utvruju i tarife osiguranja života za jedinicu premije, tj. kao recipronih tarifnih pozicija za jedinice osiguranog interesa. U prvom sluaju tarifa daje informaciju o iznosu premije za 1 osigurane sume, dok se u drugom sluaju daje informacije o iznosu osigurane sume za 1 premije. U svakom sluaju, bitan je princip direktne proporcionalnosti premije i osigurane sume. Tako npr. ako tražimo odgovor koliko iznosi jednokratna premija za doživotno osiguranje na sluaj smrti muške osobe koja sada ima 40 godina za 1 osigurane sume, izraunavamo A40= M40 / D40= 0,2433666 Ako tražimo koliko iznosi osigurana suma ovog osiguranja za 1 neto premije, izraunavamo S= 1/A40= D40 / M40 = 4,109027 Svaka osiguravajua kompanija mora da ima tarife za sve vrste osiguranja koje sprovodi. Tarife moraju biti zasnovane na aktuarskim principima koji garantuju kontrolu dinamike ravnoteže novanih tokova, odnosno solventnost poslovanja
114
osiguravaa, bez obzira što osigurani rizici, odnosno interesi koji su sa njima povezani, imaju stohastiki karakter. Bankarske organizacije prikupljaju slobodna novana sredstva graana uglavnom na dva naina15: ulozima na štednju i preko tekuih rauna graana. Štediša (deponent) na novane uloge (depozite) u bankama ostvaruje interes, a banke obezbeuju kreditne potencijale iz kojih odobravanjem kredita ostvaruju kreditnu kamatu. Iz razlike ostvarene kamate i interesa koji se pripisuje depozitima štediša, banke pokrivaju troškove poslovanja i ostvaruju prot. U nansijskoj matematici upoznali smo izraunavanja krajnjih vrednosti kapitala ukamaivanjem jednog poetnog ili više sukcesivnih uloga . Kod jednokratnog poetnog uloga krajnju vrednost kapitala izraunavali smo po formuli Kn = K (1+ p/100)n Kod niza sukcesivnih uloga po 1 u godišnjim razmacima tokom n godina, koji se godišnje kapitališu sa složenim interesom, formira se niz prema sledeem: Na kraju prve godine 1 uloženo poetkom godine naraste na 1+i. Na ovaj iznos poetkom sledee godine sa uloženim 1 imamo (1+i)+1. Na kraju druge godine pripisivanjem interesa imamo [(1+i)+1](1+i) = (1+i)2 +(1+i). Na kraju tree godine imamo (1+i)3+(1+i)2+(1+i). Ako napišemo z=(1+i) dobijamo niz: z+z2+z3+... zn-1 + zn To je geometrijska progresija, kod koje suma predstavlja krajnju vrednost svih depozita, na kraju perioda ulaganja. (u nansijskoj matematici: faktor dodajnih uloga) Kn = z(zn-1)/(z-1) Sadašnja vrednost svih buduih anticipativnih uloga po 1, tokom n godina 1 K = 1+[(zn-1- 1)/(zn-1)(z-1)] 15
Slavko Cari: Bankarski poslovi i hartije od vrednosti, str 52, Savremena administracija Beograd 1981
115
Na primer, ako poetkom svake godine, u periodu 20 godina ulažemo po 10.000, a naš štedni ulog se svake godine kapitališe sa složenim interesom 4% godišnje, na kraju perioda emo imati Kn = 309.692. Ako želimo da na poetku svake godine , u periodu 20 godina, podižemo iznos 10.000 godišnje, a naš štedni depozit se svake godine kapitališe sa složenim interesom 4% godišnje, potrebno je sada uložiti K = 10.000 x [1+(1.0419 -1) / (1,0419 x0,04)]= 141.339,39 Proverimo ovu raunicu 309.692= 141.339,39 x 1,0420 Vidimo da godine starosti deponenta, odnosno verovatnoa smrti i doživljenja, nemaju nikakav uticaj na visinu interesa koji se pripisuje štednom ulogu. U osiguranju života, ove verovatnoe imaju esencijalni znaaj. Krajnjoj vrednosti depozita, u osiguranju života je korespondentna osigurana suma, a poetnoj vrednosti depozita premija osiguranja. Verovatnoa da e osoba koja sada ima x godina doživeti x+t godina, izraunava se iz biometrijske funkcije lx qx= lx+t / lx Pošto je funkcija lx pozitivna i difercijabilna u intervalu (x, x+dx), verovatnou da e lice staro x godina umreti u tom intervalu jednaka je (lx – lx+dx) / lx Ako bi neka osoba koja sada ima x godina osigurala za sluaj doživljenja da joj se isplati posle isteka n godina, 1 osigurane sume, sada treba da plati iznos (n Ex), što se aktuarski izraunava prema sledeem: (n Ex) = (1+i)-n npx = Vn npx , gde je V= 1/ (1+i) diskontni faktor dalje, kada diskontujemo broj živih lica starosti x+n godina i broj živih lica starosti x godina dobijamo da je (Vx+n lx+n ) =Dx+n i ( Vx lx) =Dx
116
odnosno (n Ex) = (Vx+n lx+n ) / ( Vx lx) = Dx+n / Dx (n Ex)= Dx+n / Dx Na isti nain, ako period ulaganja podelimo na dva podperioda n i p, imamo n+pEx=
Dx+n+p / Dx = >Dx+n+p / Dx+n @>Dx+n / Dx@
odnosno n+pEx= (n Ex)( pEx+n)
Kod ovog aktuarskog izraunavanja, potrebno je da znamo od koliko živih osoba starih x godina (lx) doživi do kraja x+1 godine (lx+1). Taj podatak dobijamo iz tablica smrtnosti. Interesni inilac je V=(1+p/100), tako da možemo izraunati Dx= lx I Ipx i Dx+n = lx+n I Ipx+n Tako da je rezultat (n Ex)= ( I Ipx+n lx+n / (I Ip x lx ) Kod štednje u banci, krajnja vrednost depozita, ako deponent umre,bie isplaena zakonskim naslednicima. Štednja dva lica u banci je ista za sluaj da štede na istoj knjižici ili da imaju odvojene štedne knjižice. Meutim, u osiguranju života, sobzirom da verovatnoa smrti igra važnu ulogu, a kako je ta verovatnoa povezana sa pristupnom starošu, imaemo za osiguranje kapitala na sluaj doživljenja dva lica nExy =
Vn npxy i dalje, po de Morganovom metodu16
nExy =
V(x+y)/2 lx ly
nExy
= Dx+n: y+n / Dx:y
ili po Makehamovom metodu izjednaene pristupne starosti [ 16 Pierre Petauton: Theorie et pratique de lcassurance vie, str.89
117
nExy
= Vn np[[ = nE[[
U osiguranju, kod osiguranja za sluaj doživljenja, uslov za isplatu je da osiguranik bude u životu po isteku n godina, odnosno kod zajednikog osiguranja dva lica, uslov za isplatu je da oba lica budu živa na dan ugovorene isplate. Dve osobe, A i B, koje imaju pristupnu starost x i y , imaju složenu verovatnou da zajedno prežive sledeih n godina. To je verovatnoa npxy=(lx+n/lx)( ly+n/ly)
= npx npy
Verovatnoa da ni osoba A ni osoba B nee doživeti x+n godina je nqxy=
1+ npxy –( npx+ npy)
Verovatnoa da e posle n godina samo osoba A biti živa npxy =(1- npx) npy
Verovatnoa da e posle n godina samo osoba B biti živa npyx =(1- npy) npx
Isplata osigurane sume kod osiguranja života može biti povezana sa sluajem smrti osiguranika, ili sa nekim buduim dogaajem, odnosno rokom. Uslovi osiguranja, u okviru kojih se naroito reguliše obaveza isplate osigurane sume, utvruju se unapred i oni ine sastavni deo ugovora o osiguranju. Osiguranje je postojalo u razliitim društvenim zajednicama17, na principima uzajamnosti i solidarnosti, bilo da je propisivano zakonom (Hamurabijev zakon oko 2.250 godine p.n.e.) ili je primenjivano kao obiaj. Meutim, osiguranje života sa novanim naknadama u sluaju ostvarivanja osiguranog sluaja za koje su uplate premije morale da se vrše unapred, bilo je mogue tek sa pojavom rauna verovatnoe18, primenom zakona velikih brojeva i demografskih statistikih podataka. Da bi uoili razliku izmeu štednje u banci i osiguranja života, uporeujemo efekte oroene štednje u banci na period n= 20 godina, koja se kapitališe jedan put godišnje dekurzivno 5%(pa)d, sa osiguranjem života. 17 18
Dobrosav Ogrizovi: Ekonomika osiguranja, ZOIL Sarajevo 1985 g. C.D.Daykin,T.Pentikainen, and M.Pesonen: Practical Risk Theory for Actuaries, Claim reserving rules str. 240 Chapman Hill, London 1993
118
Za primer uzimamo mušku osobu sada staru x=20 godina i drugu mušku osobu sada staru x=50 godina. Ako u banci posle 20 godina dobijamo Kn= 10.000 tražimo odgovor koliko sada treba jednokratno uložiti. Odgovor dobijamo tako što Kn podelimo sa (1,05)20, odnosno dobijamo da je K= 3.768,90 Sumu od 3.768,90 može sada uložiti lice staro 20 godina ili lice staro 50 godina i ugovoriti da posle 20 godina iznos od 10.000 može podii lice sa ovlašenjem. Vidimo da ni pristupna starost ni pol lica ne igra nikakvu ulogu u izraunavanju budue vrednosti. Kod osiguranja života, lice koje je sada staro X godina može zakljuiti ugovor o osiguranju života, sa trajanjem n godina: a) na sluaj smrti b) na sluaj doživljenja c) mešovito i na sluaj smrti i na sluaj doživljenja U primeru muške osobe X=20, n=20 u osiguranju a) na sluaj smrti, osigurava neposredno posle smrti osigurane osobe isplauje 10.000 a jednokratna premija za to osiguranje iznosi 206,49. Meutim ako osigurana osoba ostane živa posle 20 godina, osiguranje prestaje i osiguravajua kompanija nee ništa isplatiti jer se nije ostvario osigurani sluaj. Kod osiguranja b) na sluaj doživljenja, osigurava po isteku 20 godina plaa ako je osiguranik živ 10.000 a ako je osiguranik ranije umro ne plaa ništa. Za ovakvo osiguranje jednokratna premija iznosi 3.634,52 Kod osiguranja c) na sluaj smrti i na sluaj doživljenja, osiguravajue društvo e svakako isplatiti 10.000 i to u sluaju smrti neposredno posle ostvarivanja tog dogaaja ili za sluaj doživljenja na kraju perioda osiguranja. Za ovo osiguranje jednokratna premija je (206,49 +3.634,52)= 3.841,01 Vidimo da je sadašnja uplata kod osiguranja 3.841,01 dok je u banci 3.768,90. Razlika se pojavljuje zbog toga što kod osiguranja za sluaj smrti osiguranika isplata sledi neposredno, dok bi taj efekat u banci mogli dobiti tek sa razoroavanjem, naravno sa eskontom. Uoimo razliku (3.841,01 – 3.768,90)= 72,11. U primeru muške osobe X=50, n=20 u osiguranju a) na sluaj smrti, osigurava neposredno posle smrti osigurane osobe isplauje 10.000 a jednokratna premija za to osigiguranje iznosi 1.973,84. Meutim ako osigurana osoba ostane živa posle 20 godina, osiguranje prestaje i osiguravajua kompanija nee ništa isplatiti jer se nije ostvario osigurani sluaj. 119
Kod osiguranja b) na sluaj doživljenja, osigurava po isteku 20 godina plaa ako je osiguranik živ 10.000 a ako je osiguranik ranije umro ne plaa ništa. Za ovakvo osiguranje jednokratna premija iznosi 2.451,21 Kod osiguranja c) na sluaj smrti i na sluaj doživljenja, osiguravajue društvo e svakako isplatiti 10.000 i to u sluaju smrti neposredno posle ostvarivanja tog dogaaja ili za sluaj doživljenja na kraju perioda osiguranja. Za ovo osiguranje jednokratna premija je (1.973,84 +2.451,21)= 4.425,05 Vidimo da je sadašnja uplata kod osiguranja 4.425,05 dok je u banci 3.768,90. Razlika se pojavljuje zbog toga što kod osiguranja za sluaj smrti osiguranika isplata sledi neposredno, dok bi taj efekat u banci mogli dobiti tek sa razoroavanjem, naravno sa eskontom. Uoimo razliku (4.425,05 – 3.768,90)= 656,15 Vidimo da je kod mešovitog osiguranja na sluaj smrti i doživljenja, na istu osiguranu sumu, premija za stariju osobu vea nego za mlau osobu.
120
2. OSNOVNI PRINCIPI OSIGURANJA ŽIVOTA
Osiguranje života se sprovodi zakljuivanjem ugovora, po kome osiguranik (ugovara osiguranja) pod ugovorenim uslovima plaa osiguravau premiju osiguranja a osigurava isplauje za predvieni sluaj ugovorenu osiguranu sumu. Premija osiguranja može biti jednokratna ili u ratama. Kada je premija jednokratna naziva se miza, a kada je ugovoreno plaanje premije u ratama, rata može biti mesena, tromesena, polugodišnja ili godišnja. Postoje vrste osiguranja života kod kojih može biti ugovoreno da se premija plaa doživotno, ali se naješe plaa odreeni broj godina, odnosno unapred odreeni broj rata. Rate premije osiguranja mogu biti jednake ili promenljive. Osigurana suma takoe može biti konstantna ili promenljiva. Dospee isplate osigurane sume, koju vrši osigurava, zavisi od toga šta je ugovoreno kao osigurani sluaj. Osigurani sluaj, u osiguranju života, može biti doživljenje do utvrenog roka ili smrt osiguranog lica pre isteka nekog unapred odreenog roka. Osiguranje života se zasniva na dva osnovna principa: princip velikih brojeva, prisutan u pretpostavci da portfelj osiguranja bitno ne odstupa od tablica smrtnosti, tj. da se postiže slian rezultat kao da su se osigurala sva lica iz tablica smrtnosti. Prema iskustvenim normama, portfelj sa više od 500 osiguranih lica, na približno jednake osigurane sume zadovoljava ovaj princip. Drugi princip, je princip ekvivalencije ili jednakosti zbira sadašnjih vrednosti svih premija, koje osiguranici imaju da uplate, sa sadašnjom vrednosti svih isplata koje e Osigurava imati da isplati svim osiguranicima, odnosno korisnicima osiguranja za vreme trajanja osiguranja19. 19
Sadašnja vrednost u osiguranju života se izraunava pomou diskontne stope Dx/Dx+t, a ne kao u nansijskoj matematici.
121
Interesna stopa kod izraunavanja komutativnih brojeva je 3%; 4%;4,5%, što oigledno u uslovima devalvacije nije dovoljno,tako da se osigurane sume obezvreuju. Posledica toga je gubtak poverenja i interesa osiguranika, mada devalvacija nastupa mimo volje osiguravaa i osiguranika, kao svojevrsna preraspodela novanog kapitala koju vrši monetarna vlast. Budui da je tako, ima primera u svetu da je država nadoknaivala osiguravaima gubitak u premijskoj rezervi, odnosno revalorizaciju osiguranih suma. (Finska i Izralel)20. Osiguranje života se razvilo iz potrebe ljudi da, sa nastupanjem odreenog roka ili nastupanjem osiguranog sluaja-smrti, obezbeuju planiranu sumu novca (osiguranu sumu). Osiguranje života je specijalan vid štednje, o kojoj svako lice u aktivnom dobu mora da vodi rauna, bilo zbog obezbeenja sredstava za starost- sa osiguranjem na sluaj doživljenja, ili zbog obezbeivanja sredstava za vanredne izdatke, osiguranjem na sluaj smrti. Osiguranje života pretstavlja kombinaciju osiguranja od rizika i štednje. Mešovito osiguranje, na sluaj smrti i na sluaj doživljenja je jedno od osnovnih i verovatno najrasprostranjenijih osiguranja života. Premda je osiguranje života poelo masovno da se razvija pre 250 godina, u uslovima u kojima nije bila institucionalizovana kolektivna socijalna zaštita (penzijsko, invalidsko i zdravstveno osiguranje),do danas nije izgubilo u aktuelnosti, što je evidentno u svetu. Osiguranje života zasnovano na demografskoj statistici, odnosno na principima koji su slini sadašnjim, poelo je masovno da se razvija u XVII veku. Danas poznata kao najstarija tablica smrtnosti datira iz 1746 godine.To je tzv. Deparcieux-ova tablica. Takoe su poznate tablice publikovane 1806 godine Duvillardove tablice, zatim tablice 17 engleskih društava iz 1843 godine, “amerikanske tablice” iz 1868 godine, tablice 23 nemaka društva iz 1883 godine, zatim francuske tablice iz 1900 godine i austrijsko- maarske tablice iz 1900 godine itd. Da bi se sprovodilo osiguranje života, odnosno izraunala potrebna premija za ovo osiguranje, potrebni su statistiki podaci iz kojih se vidi tok života i izumiranja jedne grupe lica sa jednom unapred odreenom starošu. Takvi statistiki podaci su prikupljani na dva naina: iz podataka za jednu grupu lica iste starosti ili iz podataka za više grupa lica razliite starosti. U prvom sluaju je za izradu tablica smrtnosti potrebno statistiko praenje u dugom 20
Antonije Tasi: Osiguranje u teoriji i praksi br.2 1990 godine.
122
periodu ( 90 godina ako se izuzimaju lica do 10 godina starosti, odnosno 100 godina ako se polazi od novoroenadi). U drugom sluaju je za izradu tablica smrtnosti potreban krai statistiki period (10 do 25 godina). Domae tablice smrtnosti su prvi put uraene na osnovu popisa iz 1953 a poslednji put, na osnovu popisa iz 1982 godine. U obradi statistikog materijala, koji je prikupljen na prvi ili na drugi nain, javljaju se nepravilnosti koje se aktuarski ispravljaju. Pri tome se koriste razliite analitike funkcije1 ( Moivre, Dormy,Sang, Lambert, Mozer...). Kod izrade domaih tablica smrtnosti,za izravnavanje je korišen King-Hardijev metod. Inae, izravnavanje tablica zapoeo je Gompertz 1825 godine, polazei od hipoteze21 Px= E cx , c!1 i E!0 lx = lx0 e– Kasnije je Makeham dao poboljšanje tako da se sadai koristi GompertzMekhemova formula: lx= ksxgh ; h=cx gde su:
lx - broj živih lica starih x godina dok su konstante:
d
k=e ; s=e-a ; g=e-(b/y); c=ey a>0; b>0; c>1; 0
0. Ova formula služi za odreivanje približnog toka smrtnosti i na osnovu statistike za lx lica mogu se izraunati: a) verovatnoa života i smrti jednog lica b) verovatno trajanje života c) srednje trajanje života d) intenzitet smrtnosti e) Komutativni brojevi koji ine aktuarske osnove osiguranja života. 21
Pierre Petauton: Theorie et pratique de lcassurance vie, str.39
123
Verovatnoa života jednog lica u relaciji px=1- {[ (lx- lx+n)]/ lx} pokazuje statistikim putem dobijen brojni odnos živih lica tokom vremena. Verovatnoa, da od lx lica starih x godina izvesan broj ne doživi x+1-vu godinu, iznosi qx . Dakle, qx je verovatnoa smrti jednog lica. Ove dve verovatnoe ine potpuni skup moguih ishoda i budui da je px +qx =1, kada izraunamo jednu od verovatnoa (smrti ili života), uvek možemo izraunati i suprotnu verovatnou. qx=1- px = dx/lx = (lx - lx+n)/ lx Intenzitet smrtnosti je verovatnoa jednog lica x godina da e umreti za beskrajno kratko vreme-trenutno- svedena na jednu godinu2 Od lx lica starih x godina, posle n godina bie živih lx+n lica. Zato je verovatnoa da e lice staro x godina, posle n godina biti živo, data jednainom /nPx = lx+n/lx Suprotna verovatnoa, da e od lx lica starih x godina, u toku n godina umreti lx - lx+n lice, data je jednainom /nqx=(lx-lx+n)/lx = 1- /nPx (zbir /nPx+/nqx =1.) Verovatno trajanje života dobijamo iz jednaine lx+n/lx=1/2 tj. dobijamo da je lx+n=lx/2 Na primer ako tražimo verovatno trajanje života za mušku osobu staru 30 godina, u tablicama nalazimo l30= 94147 i kada ovaj broj podelimo sa 2 (l30/2)=47073,5 što odgovara starosti 73
Od ovih, lx+1 lica doživelo je x+2-gu godinu starosti lx+2 lica itd. Sva lica iz grupe lx lica proživela su ukupno lx+1+lx+2+... godina Jedno lice proživi ex=(lx+1+lx+2+...)/lx Ova jednaina ne obuhvata vreme koje su preživela lica umrla u toku (x+1ve),(X+2-ge)... godine starosti.Pošto ova lica nisu uzeta u raun izlazi kao da je odmah u poetku x+1-ve godine bilo živih lx+1, a ne lx lica, u poetku x+2-ge godine lx+2 živih a ne lx+1 itd. Ta greška se popravlja na sledei nain: A) Uzima se kao da su lica umrla u toku (x+1)-ve godine umrla na kraju (x+1)-ve godine tj. da su sve do kraja (x+1)-ve godine bila u životu lx lica, do kraja (x+2)-ge godine da su bila u životi lx+1 lice itd. B) Uzima se kao da su lica umrla u toku godine, umrla u sredini te godine. Kada ove dve pretpostavke izrazimo formulama, dobijamo 1) ex=(lx+lx+1+...)/lx =1+ex 2) ex=1/2+lx+1+lx+2+... / lx = 1/2 + ex i njihova aritmetika sredina daje srednje trajanje života. Na primer, za lice staro 40 godina izraunavamo: 1) ex=26,78 ; 2) ex=27,78 ex=27,28 godina. U teoriji osiguranja života se u odnosu na ugovorene uslove isplate osigurane sume, koju vrši osigurava, razlikuju dve osnovne grupe osiguranja života: osiguranje kapitala i osiguranje rente. Kod osiguranja kapitala isplata osigurane sume se vrši po pravilu jednokratno, dok se kod osiguranja rente isplate osigurane sume vrše višekratno u unapred odreenim rokovima. 125
Obraun tarifa u osiguranju života, vrši se primenom aktuarske matematike sa osnovama koju daju: • Parametri demografske statistike (tablice smrtnosti) • Finansijska matematika (promene vrednosti novca u vremenu) • Ekonomika sprovoenja osiguranja Parametri demografske statsistike koji se koriste u osiguranju života nazivaju se osnovni komutativni brojevi. Na osnovu njih se vrši proraun pomonih komutativnih bvrojeva, na kojima se zasnivaju tarife. Izraunavanje pomonih komutativnih brojeva za godišnje plaanje
kamatna stopa 3% (4%,5%) a
126
Izraunavanje komutativnih brojeva za ispodgodišnje plaanje
Napomena: najpre treba obraunati komutativne brojeve Nx. r oznaava broj uplata premije za jednu godinu. Ukoliko je plaanje mesecno r =12, za kvartalno r = 4, za polugodišnje r = 2.
(za r=12 Nx(12) = Nx - Dx 0,4664 k je kamatna stopa (3%; 3,5%;4%; 4,5 %)
gde je
, k je kamatna stopa (3%; 3,5%;4%; 4,5 %)
(za r=12 Cx(12) = dx Vx 0,974009
______________________________________________22 22
Napomena: 1) Komutativni brojevi za osiguranje dva lica se izraunavaju isto kao i za jedno lice stim što se prethodno mora izraunati qxy i osnovni komutativni brojevi lxy i dxy. 2) Autor je za svoje potrebe napravio softversku aplikaciju sa kojom generiše komutativne brojeve. U prilogu su dati izvodi tablica.
127
Specijalni komutativni brojevi koji se koriste u aktuarstvu penzijskog osiguranja
u relaciji sa komutativnim brojevima osiguranja života = ½ (Dx + Dx+1) = lx+1/2 vx+1/2 sDx =
Sx Dx = Sx lx vx
= Sx
s Za aktuarstvo penzijskog osiguranja potrebno je pratiti tok izmena u statusu aktivnih (zaposlenih) lanova penzijskog fonda po starosnim grupama. Kod promene broja lanova penzijskog fonda važni su podaci o broju lica: – koja napuštaju posao NPx – koja su umrla dx – koja su postala invalidi IPx – koja su ostvarila pravo na starosnu penziju Spx
128
Tako se deše tabela koecijenata napuštanja penzijskog fonda. lx+1 - broj lanova fonda koji su iz prethodne godine ušli u tekuu godinu
lx+1 = lx – ( NPx + dx +IPx +SPx) kdx - koecijent smrtnosti
kdx = dx / ( lx – ½ NPx – ½ IPx ) kNPx - koecijent napuštanja posla
kNPx = NPx / (lx – ½ dx ) kIPx - koecijent izlaska iz fonda zbog invalidnosti
kIPx = Ipx / ( lx – ½ dx – ½ NPx ) kSPx - koecijent izlaska iz fonda zbog odlaska u starosnu penziju npr za x = 65
kSP 65 = SP 65 / ( l65 – ½ d65 ) Na osnovu tablica promene broja lanova penzijskog fonda mogu se izraunati verovatnoe: nPx - verovatnoa statusa aktivnog lana penzijskog fonda (verovatnoa da lice pristupne starosti x posle n godina bude u statusu aktivnog lana penzijskog fonda).
nPx = lx+n / lx nqx - verovatnoa da lice pristupne starosti x napusti penzijski fond za vreme od n godina
nqx = Specijalne komutativne funkcije koje se koriste kod izraunavanja napuštanja penzijskog fonda: Zbog smrtnosti:
129
Zbog invalidnosti: Zbog odlaska u starosnu penziju:
130
3. VRSTE OSIGURANJA ŽIVOTA
Postoje veoma razliite klasikacije osiguranja života i razliiti komercijalni (marketinški) nazivi pojedinih vrsta i tipova ugovora osiguranja života. Za ugovarae osiguranja, odnosno osiguranike, važno je da dobro proue prava, obaveze i ogranienja po konkretnoj polisi, zbog mogue zablude. Dobrovoljno penzijsko osiguranje se bitno razlikuje od klasinog osiguranja line rente, premda u našoj praksi, neki osiguravai svoje ponude osiguranja line rente nazivaju penzijskim osiguranjem! Isto tako, kod domaeg najviše rasprostranjenog klasinog mešovitog osiguranja na sluaj smrti i na sluaj doživljenja, ugovorena osigurana suma za sluaj smrti je konstantna i ne zavisi od toga u kojoj godini perioda osiguranja osiguranik umre. Meutim, kod nekih inostranih kompanija, slino osiguranje za sluaj smrti i doživljenja, bitno se razlikuje. Ugovorena osigurana suma za sluaj smrti se eskontuje (umanjuje) prema tzv. otkupnoj vrednosti za sluaj smrti. Brokeri osiguravaa na ovu razliku ne ukazuju. Meutim, ugovarau osiguranja, koji na ovu razliku ne obrati pažnju može se uiniti da za istu premiju kod ovog drugog osiguranja dobija veu osiguranu sumu. Slian sluaj imamo kod osiguranja iste rente i osiguranja rente sa garantovanim periodom isplate. U prvom sluaju renta koju osigurava isplauje vea je od rente sa garantovanim periodom isplate. Kod doživotnog osiguranja za dve osobe može biti ugovoreno “secondto-die” (samo u sluaju smrti druge osobe). Zajedniku rentu na dva života ne treba mešati sa zajednikom životnom rentom. Kod osiguranja zajednike rente na dva života, isplata rente se vrši sve do smrti oba osiguranika, a kod zajednike životne rente isplate se gase nakon prve smrti.
131
Naravno, navedene i sline razlike po vrstama i tipovima ugovora o osiguranju života nisu posledica neasnih namera osiguravaa da dovode u zabludu osiguranike. Veoma razliiti modeli osiguranja života u kapitalistikim zemljama, u vezi su sa mogunostima korišenja veoma razliitih poreskih pogodnosti, sa kojima država stimuliše osiguranje. Sa aktuarskog stanovišta, u formiranju tarifa, merodavna je ravnoteža (izjednaenost) sadašnje vrednosti tokova uplata premije i ugovorenih isplata. U odnosu na formiranje premija u osiguranju života možemo razlikovati sledee sisteme osiguranja: – Kolektivno osiguranje života – Sistem osiguranja na život jednog lica (individualno, lino osiguranje) – Sistem osiguranja na život dva lica U sistemu kolektivnog osiguranja života (na primer tontine), premija osiguranja je ista za svakog osiguranika dok isplata rente zavisi od dužine perioda odloženosti, odnosno godina života u momentu kada poinju isplate rente. Iz kolektivnih osiguranja života su razvijene razne vrste penzijskih planova (sistemi penzijskog osiguranja ). Pomenuemo neke principe formiranja penzijskih planova23 • penzijski plan sa ksnim penzijama • penzijski plan sa ksnim doprinosima • penzijski plan sa uešem u dobiti • penzijski gotovinski ili odgoeni plan Inae u 2000 godini, samo u SAD je bilo preko 220 hiljada “prot sharing” planova u kojima zaposleni osiguravaju budue penzijske anuitetne rente, motivisani poreskim olakšicama, po veoma razliitim penzijskim šemama. Na primer, veoma su popularne HR-10 shema (Keogh-ov penzijski plan) i TSA plan (Tax Sheltered annuity). U sistemu individualnog osiguranja i osiguranju na život dva lica, premija osiguranja zavisi od pristupne starosti osiguranih lica. U tim sistemima osiguranja, osiguranici razliite pristupne starosti plaaju razliitu visinu premije za istu visinu osigurane sume. 23
Black Kenneth, Jr. I Harold D.Skipper, Jr. Life Insurance, Englewood Cliffs,N.J.: Prentice-Hall 1994.
132
Prema nainu na koji se prodaju, u SAD postoje etiri osnovne vrste osiguranja života: – Obino životno osiguranje (cca 59% ukupnog osiguranja života u SAD) – Industrijsko životno osiguranje – Grupno životno osiguranje (cca 40%) – Kreditno životno osiguranje U praksi se svi ugovori osiguranja života mogu podeliti na dve vrste24: • ugovori koji pružaju samo osiguranje života (osiguranje na odreeni rok) i • ugovori koji ukljuuju element štednje ili investicija, (nazivaju se esto gotovinske polise). Prema ovom sistemu podele imamo: – Osiguranje na odreeni rok – Doživotno osiguranje – Darovno osiguranje – Univerzalno osiguranje života – Prilagodljivo osiguranje života – Promenljivo osiguranje života U klasikaciji osiguranja života, podela se može izvršiti prema sledeim kriterijumima25: • Prema nainu zakljuivanja ugovora: – sa lekarskim pregledom – bez lekarskog pregleda • Prema broju osiguranih lica: – individualno – grupno • Prema osiguranom sluaju: – na sluaj smrti – na sluaj doživljenja – mešovito (sluaj smrti ili doživljenja) 24 25
Z.Petrovi, T.Petrovi: Osiguranje života, Glosarijum Beograd 2003 J.Koovi P.Šuleji: Osiguranje; Ekonomski fakultet Beograd 2002 g
133
– sa utvrenim rokom (term x) • Prema nainu isplate osigurane sume: – osiguranje kapitala – osiguranje rente • Prema korisniku osiguranja: – lino – u korist treeg Sa stanovišta formiranja tarifa, možemo razlikovati sledee vrste osiguranja života: – Osiguranje kapitala – Osiguranje stalnog kapitala – Osiguranje promenljivog kapitala 1.1. Doživotno osiguranje kapitala, može biti: 1.1.1. neposredno doživotno osiguranje kapitala 1.1.2. odloženo doživotno osiguranje kapitala 1.2. Privremeno osiguranje kapitala može biti: 1.2.1.neposredno privremeno osiguranje kapitala 1.2.2.odloženo privremeno osiguranje kapitala Osiguranje rente može biti u sledeim oblicima: – Osiguranje stalne rente – Osiguranje promenljive rente – Osiguranje iste rente – Osiguranje rente sa garantovanim periodom isplate 2.1. Osiguranje doživotne rente može biti: 2.1.1. Osiguranje neposredne doživotne rente 2.1.2. Osiguranje odložene doživotne rente 2.2. Osiguranje privremene rente može biti: 2.2.1. Osiguranje neposredne privremene rente 2.2.2. Osiguranje odložene privremene rente
134
4. FORMIRANJE TARIFA U OSIGURANJU ŽIVOTA
Tarife premija se formiraju za svaku vrstu osiguranja, u preglednim formama prema: pristupnoj starosti (prema polu, profesiji, zdravstvenom stanju itd.) i dinamici plaanja premije osiguranja. U svim sluajevima, važnu ulogu ima izraunavanje jednokratne premije, bez obzira na ugovaranje dinamike plaanja premije. Tarife mogu biti sa bruto premijama ili sa neto premijama. Tarife u obliku neto premija ne ukljuuju aspekte troškova sprovoenja osiguranja. Troškovi sprovoenja osiguranja obuhvataju: • Troškove akvizicije (obuhvat osiguranja) • Upravno-administrativni troškovi • Inkaso troškove ( troškovi naplate premije) Kao što je poznato, demografska statistika vrši popis stanovništva, prikuplja i obrauje statistike podatke o stanovništvu na odreenom administrativno-geografskom podruju i statistiki zavodi periodino publikuju rezultate demografskih podataka i analiza. Na osnovu podataka demografske statistike, u postupku koji prethodi formiranju tarifa osiguranja života, utvruju se izravnate verovatnoe smrti populacije koja živi na odreenom administrativno-geografskom podruju, za mešovito stanovništvo i prema polu (žene i muškarci). Na osnovu izravnatih verovatnoa smrtnosti obraunavaju se tzv. komutativne funkcije, na kojima se dalje zasniva aktuarska matematika. 135
U novoj amerikoj i kanadskoj literaturi26 esto sreemo aktuarske formule koje nisu zasnovane na klasinim komutativnim funkcijama. Suštinska aktuarska razlika je u tome što evropski aktuari (škola klasinog aktuarstva osiguranja života) verovatnoe života tretiraju sa diskretnim funkcijama raspodele, a ameriko-kanadska škola sa neprekidnim raspodelama verovatnoa. Zbog toga na primer, umesto klasine interpretacije intenziteta smrtnosti x =
(lx+1 – lx)/ 2lx (3.1)
U interpretaciji neprekidne raspodele verovatnoa smrtnosti, intenzitet smrtnosti je x =
- (lx’ / lx) gde je lx’ prvi izvod funkcije (dlx/dx)= lx’ (3.2)
dalje sledi x =
- 1/lx (dlx/dx) = - d log lx / dx (3.3)
Integraljenjem ove jednaine u granicama od x do x+1 dobijamo log (lx+1 / lx) = x dx (3.4) i odavde lx+1 / lx = px (3.5) Na kraju imamo px = e – u (3.6) gde je u odreeni integral funkcije intenziteta smrtnosti sa granicama od x do x+1.
Na ovaj nain je postavljen temelj za sve aktuarske formule u interpretaciji bez komutativnih brojeva. 26
Life Insurance Products and Finance Charting clear cours: D.B. Atkinson (FSA) and J.W.Dallas (FSA) Published by the Society of Actuaries 2000; Schanmburg Illinois.
136
Klasina teorija sa komutativnim brojevima, u periodu pre pojave kompjutera, imala je ogroman znaaj u praksi. Sa druge strane savremeno aktuarstvo se ne može zamisliti bez kompjuterske tehnologije u kojoj se svi prorauni (naravno i integrali) vrše sa numerikim algoritmima. U takvom savremenom pristupu, bez obzira na matematiku eleganciju, nismo dobili novu teoriju osiguranja života. Ipak, kolege naši aktuari, ukoliko imaju nameru da se okušaju na ameriko-kanadskom tržištu, moraju detaljno da proue aspekte nove teorije, a posebno mnogobrojne tržišne modalitete i tipove ugovora koji su zasnovani na razliitim poreskim rešenjima od jedne do druge države u SAD. Isto tako, nailazimo na pojavu da se tarife osiguranja života zasnivaju na tzv. ultimativnim tablicama (umesto na tablicama smrtnosti) ili da se kod osiguranja na sluaj smrti koriste jedne tablice, a kod osiguranja na doživljenje druge27. Nažalost naše klasine aktuarske osnove28 u osiguranju života još nisu osavremenjene. Kod nekih vrsta osiguranja u našoj praksi, uvažavane su razlike u polu, tj. primenjivale su se posebne tablice smrtnosti za žene i za muškarce. Meutim, i dalje se iste tablice primenjuju npr. kod osiguranja kapitala na sluaj smrti i osiguranja rente, gde je bitna verovatnoa doživljenja. Isto tako, kod osiguranja dva života pomone tablice za izjednaenu starost, za sluaj x=y , ne predviaju poveanje pristupne starosti za tariranje (ista premija za dva osigurana lica kao za jedno)!
27
28
Tables de mortalite TD 73-77 et TV 73-77: Pierre Petauton: Theorie et pratique de lcassurance vie, str.206,207. Program obuke aktuara : ZOR JUGOSLAVIJA; Beograd 1968-1969 g. Predavanja: Anton Potonjak; Branko Manojlovi; Radovan-Raka Sreji; Stevan Rusinjak. Literatura: M.Radojkovi: Osnovi matematike osiguranja Beograd 1930 g Sretenovi-Veselinovi: Osiguranja na život sa osnovama kombinatorike i rauna verovatnoe Beograd 1929 g. I.Lah: Najlepše poglavlje zavarovalne matematike; Glasnik udruženja aktuara br.1 1937 god. V.Vrani: Osnovi nansijske i aktuarske matematike; Školska knjiga, Zagreb 1947 g
137
5. PREMIJA ZA OSIGURANJE ŽIVOTA JEDNOG LICA
Aktuarski utvrena jednokratna premija osiguranja života odreene vrste, na poetku perioda osiguranja, naziva se miza osiguranja29. Miza osiguranja je sadašnja vrednost (Present Value) ukupne premije za jedinicu svih buduih obaveza osiguravaa po jednom ugovoru o osiguranju života U recipronom izrazu ( 1/ miza) dobijamo iskaz sadašnje vrednosti osigurane sume za jedinicu premije. Miza osiguranja je osnovna obraunska veliina u formiranju tarifa osiguranja života. Miza može biti u bruto ili neto izrazu, u zavisnosti od toga da li služi za formiranje bruto tarifa (sa ukljuivanjem troškova sprovoenja osiguranja) ili za formiranje neto tarifa. Prema kodeksu, koji je ustanovljen na I svetskom kongresu aktuara, jednokratna premija u osiguranju kapitala obeležava se sledeim simbolima: 1.1. kod osiguranja stalnog kapitala na sluaj smrti Ax za individualno neposredno doživotno osiguranje kapitala, na sluaj smrti Ax = Mx / Dx 29
Vidoje Ž.Veselinovi: Osnovi osiguranja na život kombinatorike i rauna verovatnoe Prosveta, Beograd 1946 g.
138
za individualno odloženo doživotno osiguranje kapitala, na sluaj smrti
k/Ax
k/Ax =
Mx+k / Dx
ili Ax,n za individualno neposredno privremeno osiguranje kapitala, na sluaj smrti /nAx
/nAx
= (Mx – Mx+n) / Dx
k/Axn ili k/n Ax za individualno odloženo privremeno osiguranje kapitala, na sluaj smrti k/Axn =
(Mx+k – Mx+k+n) / Dx
Osiguranja kapitala koji u periodu osiguranja sukcesivno raste <
/nAx
ili Ax,n < za individualno neposredno osiguranje kapitala, na sluaj
smrti /nAx
<
=
<
ili k/n Ax< za individualno odloženo privremeno osiguranje kapitala, na sluaj smrti k/Axn
k/Axn
<
=
Napomena: U sluaju kada kapital opada znak + ispred
menja se u minus.
1.2. Mešovito osiguranje kapitala za sluaj smrti i doživljenja Ovo je kombinovano osiguranje, koje može biti neposredno privremeno /nAx Ex =
(Mx – Mx+n + Dx+n) / Dx
ili odloženo privremeno k/nAx Ex =
(Mx+k – Mx+k+n + Dx+k+n) / Dx 139
1.3. kod osiguranja kapitala koji u periodu osiguranja sukcesivno opada /nAx
>
k/Axn
ili Ax,n > za individualno neposredno privremeno osiguranje kapitala >
ili
> k/n Ax
za individualno odloženo privremeno osiguranje kapitala
2.1. Osiguranje stalne line rente Oznaka za jednokratnu premiju doživotne neposredne line rente je ax sa godišnjim plaanjima ax = Nx / Dx a sa m plaanjima godišnje ax (m)= Nx(m) / Dx(m) ili manje precizno sa godišnjim tablicama komutativnih brojeva
esto se umesto mize traži iznos osigurane sume za jedinicu premije. Ranije smo rekli da se ona dobija iz reciprone vrednosti premije S = Dx / Nx odnosno za jedinicu bruto premije npr. ako je (++= 0,10) S = Dx(1- 0,10) / Nx Ako se ova renta isplauje m puta u toku godine, tada je osigurana suma za jedinicu jednokratne bruto premije S = Dx(m) (1- 0,10) / Nx(m) Oznaka za jednokratnu premiju odložene doživotne rente je k/ax i sa godišnjim ratama rente, jednokratna premija iznosi
140
k/ax
= Nx+k/ Dx
Ako se za ovu rentu plaa godišnja bruto premija n godina, osigurana suma rente je S = (Nx- Nx+n) (1-0,10)/ Nx+k Ako se kod odložene doživotne godišnje line rente premija plaa godišnje, a u sluaju smrti vraa uplaena bruto premija, npr. ako je (++= 0,10) , tada osigurana suma iznosi S = [(Nx- Nx+k) (1-0,10)- (Rx- Rx+k – nMx+n)] / Nx+n /nax
ili ax,n
za neposrednu privremenu linu rentu /nax=
(Nx – Nx+n) / Dx
k/axn
ili k/n ax
za odloženu privremenu linu rentu k/axn
= (Nx+k – Nx+k+n) / Dx
Osiguranje odložene privremene godišnje line rente za jedinicu jednokratne bruto premije, bez povratka premije u sluaju smrti S = Dx(1-0,10) / (Nx+k – Nx+k+n ) Osiguranje odložene privremene godišnje line rente za jedinicu jednokratne premije sa povratkom premije u sluaju smrti S = [Dx(1- 0,10) – (Mx – Mx+k )] / (Nx+k - Nx+k+n) kod osiguranja line rente koja sukcesivno raste /nax
<
ili ax,n < za neposrednu privremenu linu rentu
/nax
<
= /nax +
{[(Sx+1 – Sx+n)/Dx] / Dx }-[(n-1) n/ax] 141
kod osiguranja line rente koja sukcesivno opada /nax
>
ili ax,n > za neposrednu privremenu linu rentu
/nax
<
= /nax -
{[(Sx+1 – Sx+n)/Dx] / Dx }-[(n-1) n/ax]
Navedeni i drugi aktuarski simboli olakšavaju meusobne komunikacije aktuara širom sveta, jer e iste pojmove na primer sa izrazom ax , imati i aktuari iz Francuske i aktuari iz Japana. Kao što smo napred naveli, plaanje premije, osim jednokratno prilikom zakljuivanja osiguranja, može biti u ratama, koje dospevaju u odreenim ugovorenim rokovima (meseno, kvartalno, polugodišnje, godišnje tj m puta u godini), tokom itavog perioda osiguranja ili u periodu n godina. Iznos rate premije izraunavamo tako što jednokratnu premiju dotinog osiguranja podelimo sa mizom za neposrednu linu rentu (jer je isti sluaj kao da rentu plaa ugovara osiguranja). U zavisnosti od toga da li se premija plaa privremeno ili doživotno i miza ove rente e biti za privremenu ili doživotnu neposrednu linu rentu. Kada se premija plaa u ratama, imamo sledee sluajeve: a) doživotno plaanje premije b) privremeno plaanje premije Plaanje premije u ratama ima sve karakteristike rente, sa tom razlikom što plaanje vrši ugovara osiguranja. Tarifu za bilo koje osiguranje života, sa plaanjem godišnjih premija formiramo na taj nain što jednokratnu premiju ugovorenog osiguranja podelimo sa jednokratnom premijom za osiguranje rente koja se isplauje jedanput godišnje. Na taj nain dobijamo ratu premije, odnosno u njenom recipronom iskazu dobijamo osiguranu sumu. Kod doživotnog plaanja premije u jednakim godišnjim ratama, prema napred navedenom imamo Godišnja rata premije = (Miza ugovorenog osiguranja) / ax Kod privremenog plaanja premije n godina, u godišnjim jednakim ratama, imamo Godišnja rata premije = (Miza ugovorenog osiguranja) / (/nax)
142
Kod formiranja tarifa postoje dva aktuarska pristupa u vezi sa plaanjem premije osiguranja života u ratama, koje dospevaju u periodu kraem od jedne godine. U jednom pristupu ispodgodišnje plaanje se tretira kao kreditiranje osiguranika, sa tarifom premija koje su obraunate za godišnje rate. U ovom sluaju na primer kod mesenog plaanja premije osnovna rata je jedna dvanaestina godišnje premije uveana za kamatu, kod kvartalnog plaanja osnovna rata je jedna etvrtina godišnje premije uveana za kamatu itd. U drugom aktuarskom pristupu, kod izrade tehnikih aktuarskih osnova, obraunavaju se pomoni komutativni brojevi za ispodgodišnje periode. Ovi komutativni brojevi nose u eksponentu simbol (m). Na primer, m=12 pokazuje da se radi o mesenim periodima, m=2 da se radi o polugodišnjim periodima itd. U skladu sa navedenim, imenilac bi kod mesene rate premije koja se plaa n godina, bio izražen u obliku mize za neposrednu privremenu rentu koja se isplauje svakog meseca tokom n godina. /nax
(12)
U saglasnosti sa navedenim: Mizu za neposrednu doživotnu rentu koja e se isplaivati m puta godišnje doživotno, može se napisati u oblicima ax (m) = Nx(m)/ Dx ili ax (m) = m [(Nx/ Dx ) – (m-1)/2m] Miza za neposrednu privremenu rentu koja e se isplaivati m puta godišnje, može se napisati u sledeim oblicima /nax
(m)
= (Nx(m)-Nx+n(m))/Dx .
/nax
(m)
= m{[(Nx-Nx+n)/Dx] - [(m-1)/2m][1-(Dx+n/Dx)]}
ili
143
Miza za neposrednu privremenu linu rentu koja se isplauje jedanput godišnje, tokom n godina, za lice pristupne starosti x godina izraunava se po formuli /nax
(1)
= (Nx- Nx+n) / Dx
Miza za neposrednu privremenu linu rentu koja se isplauje svakog meseca, tokom n godina, za lice pristupne starosti x godina izraunava se po formuli /nax
(12)
= (Nx(12) - Nx+n (12) ) / Dx
U teoriji poznato, a možemo vidideti iz izloženog razmatranja, da je osiguranje kapitala i osiguranje rente povezano ako se plaanje premije vrši u ratama, jer plaanje u ratama ima karakteristike rente, samo je promenjen smer plaanja (premiju u obliku rente plaa osiguranik). U aktuarskim aspektima vezu izmeu mize za riziko osiguranje (doživotno osiguranje kapitala na sluaj smrti) i mize za neposrednu doživotnu rentu, možemo prikazati u sledeoj relaciji Ax = Mx / Dx ax = Nx/Dx Ax = (Dx- dNx )/ Dx = 1- d ax Uzimajui da je d = 1-(1/V) , gde je V interesni inilac iz obrauna komutativnih brojeva V = 1+p/100 Interesantna je konstrukcija premije osiguranja za privremeno osiguranje kapitala na sluaj smrti i na sluaj doživljenja, takvo da se prilikom svake uplate premije (ugovoreno m puta godišnje) poveava i premija i osigurana suma za % . Kod takvog osiguranja rata premije se izraunava prema sledeoj formuli P= {(Mx(m) – Mx+n (m) + Dx+n + % [Rx+1(m) - Rx+n (m) – (n-1)Mx+n(m) + (n-1)Dx+n]}/ {Nx(m) - Nx+n (m)+ %[Sx+1(m) – Sx+n(m) – (n-1) Nx+n (m)] / m } 144
Razmotrimo sledei primer Muška osoba stara x=40 godina osiguralo je kapital K=100.000 dinara da se isplati naslednicima posle njegove smriti. Režijski troškovi su 40‰ od osigurane sume. (Koriste se tablice 1982 za muškarce sa 5%.) a) Koliko iznosi jednokratna bruto premija? b) Koliko iznosi godišnja doživotna premija? c) Koliko iznosi godišnja premija ako se ugovori plaanje godišnjih premija za 20 godina? d) Koliko iznosi mesena premija ako se ugovori da se plaa tokom 20 godina? M40 = 3182,6808 ; N40 = 207796 ; N60 = 44630 ; D40 = 13077,7198 A40=M40/D40= 0,2433666 A40=Nx/Dx =207796/13077,7198=15,8893 a) Jednokratna neto premija iznos (100.000 · 0,2433666) = 24336,66 Neto premiju treba poveati za režijski dodatak. Pošto je poveanje osigurane sume za 40‰ proporcionalno sa poveanjem premije, sledi Bruto premija (24336,66 · 1,04) = 25310,13 b) Doživotna godišnja bruto premija za K=1 P(A40)=M40 / N40=A40 / a40 (24336,66 / 15,8893) ·1,04= 1531,64 c) Privremena godišnja premija prvi nain: A40= M40/D40= 0,2433666
/20a40=
(N40 – N60)/D40 =12,4766
Bruto premija (0,2433666 / 12,4766) · 100000 · 1,04 = 2028,60 Drugi nain: [M40 /(N40-N60)]=0,0195 Bruto premija (0,0195 · 100000 · 1,04) = 2028,60
145
d) Miza za neposrednu privremenu rentu koja se plaa meseno iznosi 12 /na x=
12{[/nax- (11/24)]·[1 – (Dx+n / Dx)]}
U ovom zadatku x = 40; n = 20 12 /20a 40=
12{[ /20a40 - (11/24)]·[1- (D60 / D40)]}
12 /20a 40=
12{[ (N40-N60)/D40] – 0,45833·[1- (4099,5898 / 13077,7198)]}
12 /20a 40=12[
12,47663 – (0,45833·0,6865)]
12 /20a 40=12(
12,47663 – 0,31465)= 145,9437
Bruto premija (0,2433666 / 145,9437) · 100000 · 1,04 = 173,42 U zavisnosti od toga kako je ugovorena isplata rente i plaanje premije, kao i da li se kod osiguranja rente vrši povratak uplaene premije imamo varijante osiguranja rente. Dajemo pregled izraunavanja osigurane sume za varijante osiguranja rente, sa napomenom da je kod primera sa bruto premijom režijski dodatak 10%. Kod osiguranja odložene doživotne line rente koja se prima m puta u toku godine a premija plaa godišnje i u sluaju smrti vraa uplaena bruto premija, npr. ako je (++= 0,10) , tada osigurana suma iznosi S=[(Nx- Nx+k) (1-0,10)- (Rx- Rx+k – nMx+n)] / m Nx+n(m) Ako je odložena doživotna renta sa godišnjim isplatama i m godišnjih rata bruto premije, bez povrata u sluaju smrti, osigurana suma iznosi S= m(Nx(m) – Nx+k(m) ) (1- 0,10)/ Nx+k Kod ovog osiguranja, sa ugovorenim povratom premije u sluaju smrti, osigurana suma iznosi S=[ m(Nx(m)- Nx+k)(1-0,10) – (Rx(m)- Rx+k(m) – n Mx+k(m) ] / Nx+k Osiguranje odložene doživotne line rente koja se prima m puta godišnje, za jedinicu premije koja se plaa m puta godišnje, bez povrata premije u sluaju smrti, osigurana suma iznosi
146
S= (Nx(m) – Nx+k(m) )(1-0,10)/ Nx+k(m) Isto osiguranje sa povratom premije u sluaju smrti S=[ m(Nx(m) – Nx+k(m) )(1-0,10)- (Rx(m) - Rx+k(m) - kMx+k(m) )] / mNx+k(m) Osiguranje odložene privremene line rente koja se prima m puta u godini, za jedinicu jednokratne premije bez povratka premije u sluaju smrti S= Dx(1- 0,10)/ m(Nx+k(m) – Nx+k+n(m) ) Osiguranje odložene privremene line rente koja se prima m puta u godini, za jedinicu jednokratne premije sa povratkom premije u sluaju smrti S= [Dx(1- 0,10) – (Mx- Mx+n)] / m(Nx+n(m)- Nx+k+n(m) ) Osiguranje odložene privremene godišnje line rente za jedinicu godišnje premije bez povratka premije u sluaju smrti S= (Nx- Nx+n)(1-0,10)/ (Nx+n- Nx+k+n) Osiguranje privremene godišnje line rente za jedinicu godišnje premije sa povratkom premije u sluaju smrti S=[ (Nx- Nx+n)(1-0,10) – (Rx- Rx+n – n Mx+n)]/ (Nx+n – Nx+n+k) Osiguranje odložene privremene line rente koja se isplauje m puta u toku godine, za jedinicu godišnje bruto premije bez povratka u sluaju smrti S=[ (Nx- Nx+n)(1-0,10) )]/ m(Nx+n (m) – Nx+n+k(m) ) Osiguranje odložene privremene line rente koja se isplauje m puta u toku godine, za jedinicu godišnje bruto premije sa povratkom u sluaju smrti S=[ (Nx- Nx+n)(1-0,10) – (Rx- Rx+n – n Mx+n)]/ m (Nx+n (m) – Nx+n+k(m)) Osiguranje odložene privremene godišnje line rente za jedinicu bruto premije koja se plaa m puta u godini, bez povratka u sluaju smrti 147
S= [m(Nx(m) - Nx+n(m) )(1-0,10)]/ (Nx+n – Nx+n+k ) Osiguranje odložene privremene godišnje line rente za jedinicu bruto premije koja se plaa m puta u godini, sa povratkom u sluaju smrti S= [m(Nx(m) - Nx+n(m) )(1-0,10)] - [ Rx(m) – Rx+n(m) – n Mx+n(m) / (Nx+n – Nx+n+k ) Osiguranje odložene privremene line rente koja se prima m puta u toku godine, za jedinicu bruto premije koja se plaa m puta u godini, bez povratka u sluaju smrti S= [(Nx(m) - Nx+k(m) )(1-0,10)]/ (Nx+k(m) – Nx+n+k (m)) Osiguranje odložene privremene line rente koja se prima m puta u toku godine, za jedinicu bruto premije koja se plaa m puta u godini, sa povratkom u sluaju smrti S= [(Nx(m) - Nx+n(m) )(1-0,10)] - [ Rx(m) – Rx+n(m) – n Mx+n(m) / m(Nx+n (m)– Nx+n+k (m))
148
6. PREMIJA ZA OSIGURANJE DVA LICA
U okviru teme koju u ovoj prilici izlažemo, dajemo krai osvrt na osiguranje dva lica, obuhvaena jednim ugovorom o osiguranju. Osnove ovog osiguranja su kod nas manje poznate od individualnog osiguranja. U teoriji i praksi se mogu povezati osiguranja dva osigurana lica, tako da isplata osigurane sume zavisi od dužine života dve osobe. Na primer, kod osiguranja rente može biti ugovoreno da se renta isplauje samo dok su oba lica (naješe brani par) u životu, ili dok je i drugo lice u životu, samo posle smrti jednog od osiguranih lica itd. Aktuarske osnove za formiranje tarifa osiguranja dva lica, možemo pripremiti prema sledeem 30: Ukoliko je kod izravnavanja tablice smrtnosti korišena Gompercova jednaina, po Simpsonovom metodu (metod prosene starosti) koriste se sledee relacije axy = a w gde je w= [(log cy + log (1+ cx-y) ]/ log c Ukoliko je kod izravnavanja tablice smrtnosti korišena Mekhemova jednaina, po De Morganovom metodu (metod izjednaene starosti) koriste se sledee relacije x>y ; z = y+t; x-y =h; gde su x i y pristupne starosti.
t =log [( 1+ch)/2] / log c 30
Vidoje Ž.Veselinovi, str.193-226.
149
Broj diskontovanih živih parova lx i ly , obeležen je sa Dxy (kod izjednaene starosti se takoe koriste indeksi zz, pa se obeležava sa Dzz).
Dxy= Dx ly = lx Dy Preporuuje se (Grit-Davis) za x>y Dxy= Dx ly sa otklanjanjem asimetrije De Morgan-ovim metodom31 Dxy= lx ly (1/Vz ) gde je z = (x+y) / 2 ; V= (1+p/100) Tako se redom izraunavaju parovi Dxy, sa poetkom od poslednje starosti u tablici, a na kraju dobijamo: Dx+1,y+1 = lx+1 ly+1 (1/Vz+1) Dx+2,y+2 = lx+2 ly+2 (1/Vz+2) Dx+3,y+3 = lx+3 ly+3 (1/Vz+3) .... Dx+n,y+n = lx+n ly+n (1/Vz+n) Sabiranjem ovih brojeva dobijamo Nxy= Dxy+Dx+1 y+1 +... Zatim izraunavamo zbir zbirova Sxy = Nxy +Nx+1 y+1 +... Broj diskontovanih umrlih po metodu Grit-Davis-a Cxy= (lxly – lx+1 ly+1)( 1/ Vx+1) Broj diskontovanih umrlih po metodu De Morgana Cxy= (lxly – lx+1 ly+1)( 1/ Vz +1) ; z = (x+y) / 2 ; 31
Uoi razliku kod izraunavanja Cxy
150
Zbir zbirova Mxy= Cxy+Cx+1 y+1 +... U klasinim osnovama osiguranja života dva lica dve pristupne starosti se svode na jednu. Za pristupnu starost mlae osobe uveanu za t (izraunato po formuli 1. ili 2.), na osnovu tablica komutativnih funkcija za dva lica, možemo odrediti sve potrebne parametre za formiranje tarifa, na isti nain kao i kod individualnog osiguranja. Kompjuterska tehnologija nam olakšava izraunavanja, tako da sada jednostavno odreujemo qxy , iz relacije 1-(1-qx)(1-qy), na osnovu ega, za dati par pristupnih starosti x i y, formiramo tabelu komutativnih brojeva i izradu svih tarifa za osiguranje života tog para osoba. Ilustrujemo jednokratne premije (mize) kod pojedinih vrsta osiguranja života dva lica. Doživotna neposredna godišnja zajednika životna renta, a xy = Nxy / Dxy Privremena neposredna godišnja zajednika životna renta, najviše n godina. /naxy =
(Nxy – Nx+n y+n )/ Dxy
Odložena doživotna godišnja zajednika životna renta k/ axy =
Nx+k y+k / Dxy
Jednostrana renta za sluaj nadživljenja. Kod ovog osiguranja lice A osigurava rentu koja se isplauje licu B posle njegove smrti, doživotno. U domaoj praksi kod nas je ova renta izmeu dva svetska rata bila vrlo popularna sa komercijalnim nazivom “udovika renta”. Uslov za isplatu rente, jeste da lice B nadživi lice A. Miza osiguranja je ax/y = ay – axy
151
Uzajamna renta na sluaj nadživljavanja. Kod ovog osiguranja renta se isplauje posle prve smrti (umrlo lice A ili B), doživotno Miza osiguranja je a [1]/ xy = ax/y + ay/x = ax + ay – 2axy Uzajamna renta do smrti oba osiguranika (zajednika renta na dva života) Miza osiguranja je a xy (2) = axy + a[1]/ xy = ax + ay – axy Odložena renta na sluaj nadživljavanja Miza osiguranja je k/ ax/y = k/ ay – k/axy
Privremena renta za sluaj nadživljenja /nax/y = /nay - /naxy
Odloženo osiguranje kapitala na sluaj smrti, takvo da se osigurana suma isplauje onom licu koje preživi, na kraju godine u kojoj je jedno osigurano lice umrlo. Ako u periodu odloženosti budu živa oba osiguranika, osigurana suma se isplauje na kraju godine isteka odloženosti. Miza za ovo osiguranje k/Axy= /k Exy (1-
d ax+k y+k)
Kod osiguranja kapitala za dva lica, osim ranije pomenutog mešovitog, razmotriemo samo privremeno osiguranje kapitala na sluaj smrti Miza za ovo osiguranje je /nAxy =Axy - n/ Axy
152
7. MATEMATIKA REZERVA OSIGURANJA ŽIVOTA
Osim izraunavanja matematike rezerve za svaki ugovor o osiguranju života posebno, postoje metode i za obraun grupne matematike rezerve. Matematika rezerva se može obraunavati sa tehnikom premijom-neto metoda ili sa bruto premijom-bruto metoda. Matematika rezerva se u osiguranju života esto naziva premijskom rezervom. Neto premije iz zakljuenih osiguranja služe za pokrie osiguranjem preuzetih obaveza osiguravaa. S obzirom na princip ekvivalencije po kome su izraunavane neto premije i sa pretpostavkom da tok smrtnosti osiguranih lica tee tano onako kako je u tablicama smrtnosti, imali bi potpunu ravnotežu uplata premija i isplata obaveza. Neto premije dakle ine fond premijske rezerve za sva osiguranja koja su tog momenta na snazi. Premijska rezerva koja se odnosi na sva osiguranja koja su na snazi naziva se totalna premijska rezerva, za razliku od pojedinane premijske rezerve koja se odnosi na pojedinano osiguranje. Stanje fonda premijske rezerve može se utvrditi razliitim metodima.32 Radi daljeg izlaganja, potrebno je ustanoviti nain obeležavanja pojedinane premijske rezerve za jedan dinar osiguranje sume ( iz osiguranja rente ili kapitala). Uobiajeno je obeležavanje premijske rezerve sa tV( ). U zagradu se unosi obeležje naina pla}anja cene osiguranja: sa uplatom mize ili premije. Na primer tV(Ax) obeležava premijsku rezervu posle t godina od dana osiguranja za osiguranje kapitala doživotno na sluaj smrti lica starog x godina u momentu osiguranja, sa uplatom mize. Ako se za isto osiguranje plaa doživotna premija, premijska rezerva e biti obeležena sa 32
C.D.Daykin,T.Pentikainen, and M.Pesonen: Practical Risk Theory for Actuaries, Claim reserving rules str. 240 Chapman Hill, London 1993
153
tV[P(Ax)].
Ako se za isto osiguranje premija plaa doživotno ali najviše n godina, premijska rezerva e biti obeležena sa tV[nP(Ax)]. U sluaju mešovitog osiguranja kapitala, kada se premija plaa za vreme trajanja osiguranja tV[nP(Ax,n])].
7.1. KNJIGOVODSTVENA METODA UTVRIVANJA STANJA PREMIJSKE REZERVE Stanje fonda premijske rezerve utvruje se krajem svake poslovne godine, na taj nain što se saldu prethodne godine dodaju neto premije iz tekue godine, uz kapitalisanje sa istom stopom koja je primenjena kod izraunavanja komutativnih brojeva. Grupa od lx lica osigurala se i odmah uplatila lxP(Ax) dinara. U tom momentu totalna premijska rezerva iznosi lx 0V[P(Ax)] =lx P(Ax) Iz ove jednaine se vidi da je pojedinana premijska rezerva u momentu osiguranja jednaka premiji. Posle godinu dana, odnosno u momentu kada osigurana lica budu stara x+1 godinu, ove uplate e porasti na: lxP(Ax) v U istom tom momentu osigurava e za svako umrlo lice isplatiti po 1 dinar, a kako je u (x+1) godini umrlo dx lica, to e stanje fonda premijske rezerve na kraju prve godine biti: lxP(Ax)v - dx U tom momentu ima lx+1 živih lica a premijska rezerva svakog pojedinca iznosi 1V[P(Ax)].
Prema tome, imamo sledeu jednainu: lx+1 1V[P(Ax)] =lx P(Ax)v- dx Na poetku druge godine fond premijske rezerve e biti uvean za lx+1P(Ax) dinara, pa e na kraju druge godine, posle isplate za svako umrlo lice od dx+1 lica, po 1 dinar, fond premijske rezerve imati sledee stanje:
154
lx+1 2V[P(A)] =lx+1 1V[P(Ax)] + lx+1 P(Ax)[ v- dx+1= =P(Ax)(lxv2+lx+1 v)- (dx v + dx+1) Na ovaj nain možemo izraunati vrednost fonda premijske rezerve posle t godina preko jednaine: lx+1 tV[P(Ax)] ={lx+t -1 t -1V[P(Ax)] +lx+t - 1 P(Ax)}v -dx+t-1 = =P(Ax)(dxvt +lx+1vt-1 +...+lx+t-1v)- (dx vt-1 +dx+1 vt-2 +... +dx+t –1)
7.2. RETROSPEKTIVNA METODA UTVRIVANJA STANJA PREMIJSKE REZERVE Kada se stanje premijske rezerve utvruje iz podataka za protekli period, od datuma poetka osiguranja do datuma utvrivanja stanja premijske rezerve, radi se o retrospektivnoj metodi utvrivanja stanja premijske rezerve. Po ovoj metodi premijska rezerva pretstavlja razliku zbira ukapitalisanih svih uplata i ukapitalisanih svih isplata. Ako jednainu po kojoj izraunavamo premijsku rezervu knjigovodstvenom metodom podelimo sa vx+t ,dobiemo: Dx+t tV[P(Ax)] =P(Ax)(Dx +Dx+1 +...+Dx+t-1 - (Cx +Cx+1 +...+Cx+t-1) Iz ove jednaine sledi: tV[P(Ax)]
=[P(Ax) (Nx-Nx+t)/ Dx+t] - (Mx- Mx+t)/Dx+t
Ovu jednainu možemo napisati u obliku tV[P(Ax)]
=(Dx/ Dx+t)[P(Ax)/tax - /tAx ]
Jasno vidimo da je Dx/Dx+t koecijent kojim se množi razlika zbira diskontovanih uplata i isplata i na taj nain dobija sadašnja vrednost, tj. u momentu kada se traži premijska rezerva. Ako je osiguranje izvršeno uplatom mize, tada umesto P(Ax)/tax treba staviti mizu, a ako se radi o takvoj vrsti osiguranja da u toku t godina nije bilo nikakvih isplata, tada je umanjitelj nula. 155
Ako se premija plaa n godina, tada t u umanjeniku ne može imati veu vrednost od n. Kod odloženih osiguranja sa uplatom mize, potrebno je uoiti da za t=k ili t>k, znai da je odloženost ve prošla, i umesto k-t/ ax+t ,
odnosno k-t/Ax+t ,
javlja samo ax+t, odnosno Ax+t . Za ona osiguranja kod kojih nije bilo nikakvih isplata umanjitelj e biti jednak nuli.Kod osiguranja kapitala na sluaj doživljenja, kao i za odložena osiguranja dok je t
7.3. PROSPEKTIVNA METODA Kada se stanje premijske rezerve utvruje iz podataka za budui period, tj. kao razlika zbira diskontovanih svih buduih isplata i diskontovanih svih buduih uplata, svedeno na datum utvrivanja stanja premijske rezerve, radi se o prospektivnoj metodi utvrivanja premijske rezerve. Tada je matematika rezerva jednaka današnjoj vrednosti svih buduih isplata umanjenoj za današnju vrednost svih buduih uplata. Primetimo da današnju vrednost svih buduih isplata daje miza dotinog osiguranja ali za lice staro x+1 godinu. Umanjenik, sa druge strane zavisi od toga da li se godišnja premija plaa doživotno ili privremeno. Kod doživotnog plaanja godišnja premija se izraunava tako što mizu delimo sa ax = Nx/Dx a kod privremenog plaanja sa /nax = (Nx - Nx+n)/ Dx . Isto tako, u prvom sluaju premiju množimo sa ax+t = Nx+t / Dx+t , dok u drugom sluaju premiju množimo sa /n-t ax+t = (Nx+t - Nx+n)/ Dx+t . 156
Na osnovu principa jednakosti uplata i isplata možemo postaviti sledeu jednainu: P(Ax)[lx+(lx+1)/v +(lx+2)/v2 +...+(lx+t-1)/vt-1 +(lx+t)/vt +...)]= =dx/v + (dx+1)/v2+...+(dx+t-1)/vt + (dx+t)/vt+1 +... Množenjem sa vt i prebacivanjem izvršenih uplata i isplata do momenta t godina na levu stranu jednaine, a isplata i uplata koje e se izvršiti posle t godina, na desnu stranu jednaine, dobijamo: P(Ax)(lxvt + lx+1 vt-1 +...+ lx+t-1 v) - (dxvt-1 + dx+1 vt-2 +...+dx+t-1 )= =(dx+t/v + dx+t+1/v2+...) - P(Ax)(lx+t + (lx+t+1)/v +(lx+t+2)/v2+...) Pošto je leva strana, kao i kod retrospektivne metode, lx+1 tV[P(Ax)], to možemo napisati: lx+t tV[P(Ax)] =[ (dx+t/v)+(dx+t+1)/v2+...] - P(Ax)[ (lx+t +(lx+t+1)/v + +(lx+t+2 /v2+...] Kada ovu jednainu podelimo sa vx+t dobijamo: Dx+t tV[P(Ax)] =(Cx+t +Cx+t+1 +...) - P(Ax)(Dx+t +Dx+t+1 +...)= =Mx+t - P(Ax)Nx+t odnosno tV[P(Ax)]
=[(Mx+t /Dx+t)] - P(Ax)[(Nx+t /Dx+t)] = Ax+t - P(Ax)ax+t
Kada se premija plaa najviše n godina, tada e biti tV[nP(Ax)]
=Ax+t - nP(Ax) /n-t ax+t
Vidimo da je premijska rezerva ( po prospektivnoj metodi) razlika izmeu zbira diskontovanih vrednosti buduih isplata i buduih uplata, diskontovanih na momenat kada se traži premijska rezerva. Kada premijsku rezervu izraunavamo prema poslednjoj jednaini, potrebno je obratiti pažnju na sledee: 157
1) Kod odloženih osiguranja (bilo da se radi o osiguranju rente ili o osiguranju kapitala), kada je t=k ili t>k, odloženost je prošla, pa zato kod osiguranja rente u umanjeniku treba da bude ax+t umesto k-t/ax+t . Kod osiguranja kapitala, umesto k-t/ Ax+t treba u tom sluaju uzeti Ax+t. 2) Kada je n=t ili n
i izraunavanje premijske rezerve se svodi na izraunavanje mize za isto osiguranje, ali lica starog x+t godina. 3) proizvod premije i ax+t , sve dotle dok x+t ne postane vee za 1 od najdublje starosti u tablicama smrtnosti, vei je od nule, pa je zato umanjitelj u jednaini uvek vei od nule dok x+t ne postane vee od najdublje tabline starosti.
7.4. OBRAUN MATEMATIKE REZERVE SA BRUTO PREMIJOM OSIGURANJA Kod neto metoda obrauna premijske rezerve uzima se neto premija, odnosno kod obrauna premijske rezerve ukupna neto premija se deli na pokrie rizika u tekuoj godini i na premijsku rezervu. U obraunu premijske rezerve sa bruto premijama, pored pokria rizika u tekuoj godini i formiranja premijske rezerve za naredni period, javljaju se i akvizicioni troškovi koji se rasporeuju na itav period opsiguranja. Razlikujemo tri naina obrauna premijske rezerve sa bruto premijama: 1) metod rezervne premije 2) metod dovoljne premije 3) metodi sa raznim raunskim osnovama Razmatraemo samo prvi nain. Neto premija koja se plaa n godina nPx uveava se za s/ax tako da dobijamo nP(ax)+s/ax
158
Kako je opšti uslov da premijska rezerva ne bude negativna, proizilazi da je s limitirano tj. s=[P(Ax+1)- P(Ax)] ax predstavlja tzv. Cilmerov maksimum prvih troškova. Kod osiguranja kapitala na sluaj smrti, za premijsku rezervu koja je jednaka nuli, za pokrie svih akvizicionih troškova treba uzeti razliku izmeu rezervne premije i sume za pokrie rizika u prvoj godini osiguranja. Kod osiguranja kapitala na sluaj doživljenja, pošto nema nikakvih isplata zbog smrti osiguranih lica u prvoj godini, cela rezervna premija se može upotrebiti za pokrie akvizicionih troškova u prvoj godini. Ako u jednaini: tV[nP(Ax)]=Ax+t
– [nP(Ax)+s//nax] /n-tax+t
stavimo s=[n-1P(An+1)- nP(Ax)] /nax dobijamo tCV[nP(Ax)]
=Ax+t – [nP(Ax )+n-1 P(Ax+1)- nP(Ax)] /n-tax+t =
=Ax+t- n-1P(Ax+1)/n-t ax+t Razlika izmeu ove jednaine i jednaine po kojoj se rauna premijska rezerva sa neto premijom (po neto metodi) je u tome što umesto neto premije nP(Ax) dolazi neto premija n-1P(Ax+1). Umesto neto premije lica starog x godina koja bi se plaala n godina uzima se neto premija lica starog x+1 godinu koja se plaa n-1 godinu. Na ovaj nain od bruto premije ponovo prelazimo na neto premiju, ali sa plaanjem premije za jednu godinu manje, a sa poveanjem starosti osiguranog lica za jedan. Zbog toga se ovaj nain izraunavanja premijske rezerve sa bruto premijom naziva metodom “en plus jedan”.
159
7.5. PREMIJSKA REZERVA KOD OSIGURANJA KAPITALA NA UTVRENI ROK, SA PLAANJEM PREMIJE U RATAMA: Osnovne relacije za obraun matematike rezerve za term - x osiguranje su: t,m/12 Vcx,n = t,m/12 Vx,n - [ (ax+t, m/12 , n-t m/12) / (ax,n )] t,m/12 Vzx,n = Vn-tm/12 – Px,n ax+t m/12 , n-t m/12 - [ (ax+t, m/12 , n-t m/12) / (ax,n )] Zamenom izraza na desnoj strani relacije u funkciji komutativnih brojeva i odgovarajuim sreivanjem, dobija se formula za obraun matematike rezerve za Term-x osiguranje.
Formula je osnovna formula za Term- x po metodi Zillmera. Ako se isplata osiguranog kapitala vrši na utvreni rok,(bez obzira da li je osigurano lice u momentu dospea isplate u životu ili je umrlo), kada se navrši n godina od dana osiguranja, a premija se plaa m godina,ali najviše do smrti osiguranog lica, obraun premijske rezerve vrši se za: a) sluaj kada je m < n b) m = n.
Sluaj m
tV[mP(Anº)]=IIp
- mP(Anº) [ (Nx+t- Nx+m)/Dx+t]Vt
160
Primer:33 x=40 n=20 m=15 t=5 5V[15P(A20º)]=
II415 - 15P(A20º) [ (N45- N55)/D45]V5
5V[15P(A20º)]=
0,55526- [0,0015965 · 7,878765 · 1,21665]
5V[15P(A20º)]=
0,53995
Sluaj t=m Primer: x=40 n=20 m=15 t=15 5
15V[15P(A20º)]=II4
=0,8219
Sluaj m
18V[15P(A20º)]=II4
=0,9246
Sluaj t=n Premijska rezerva je jednaka 1.
Sluaj m=n Primer: x=40 n=20 m=20 t=5 5V[20P(A20)]
=II415 – [20P20 (N45-N60)/D45]v5=0,5553-0,45368=0,1016
Sluaj t=m Premijska rezerva je jednaka 1. 33
Numeriki primeri koji slede preuzeti iz knjige Prof. Vidoje Veselinovi: Osiguranje na život.
161
7.6. OBRAUN PREMIJSKE REZERVE U OSIGURANJU PROMENLJIVE RENTE ILI PROMENLJIVOG KAPITALA, SA NETO PREMIJOM OSIGURANJA - Premijska rezerva kod osiguranja promenljive rente a) Privremena (temporerna) renta, sluaj kada renta opada Sluaj m
)]=(Dx/Dx+t)[ mP(/nax>)/tax- /tax>]
tV[mP(/nax
Primer: x=40 n=20 m=15 e=0,02 t=10 > > > 10V[15P(/20a40 )]=(D40/D50)[ 15P(/20a40 )/10a40- /10a40 ]=1,1273
Sluaj t=m >
)]=(Dx/Dx+t)[ mP(/nax>)/max- /max>]
mV[mP(/nax
Primer: x=40 n=20 m=15 e=0,02 t=15 > > > 15V[15P(/20a40 )]=(D40/D55)[ 15P(/20a40 )/15a40- /15a40 ]=2,9338
Sluaj m
tV[mP(/nax
)]=(Dx/Dx+t)[ mP(/nax>)/max- /tax>]
Primer: x=40 n=20 m=15 t=18 > > > 15V[15P(/20a40 )]=(D40/D58)[ 15P(/20a40 )/15a40- /18a40 ]=1,2201
162
Sluaj t=n Premijska rezerva je nula. Sluaj m=n i t > > 10V[20P(/20a40 )]=(D40/D50)[ 20P(/20a40 )/10a40- /10a40 ]=0,9817
Sluaj t=n Premijska rezerva je nula. b) Privremena renta sluaj kada renta raste Koristimo formule kao i za sluaj kada renta opada s tim da se umeso -e uzima +e a umesto /nax> stavljamo /nax<
7.7. MATEMATIKA REZERVA KOD OSIGURANJA PROMENLJIVOG KAPITALA a) Kapital raste sukcesivno iz godine u godinu za kapital koji se isplauje u prvoj godini osiguranja <
tV[mP(/nAx
)]=(Dx/Dx+t)[ mP(/nAx<)/tax- /tAx<]
gde je <
/tAx
=(Rx -Rx+t)/Dx - t (Mx+t/Dx)
a mP(/nAx<)=[ (Rx -Rx+n) - t (Mx+t )] /(Nx - Nx+m) Primer: x=40 n=20 m=15 t=10 < < < 10V[15P(/20 A40 )]=(D40/D50)[ 15P(/20A40 )/10a40 - /10A40 )]
163
=1,6098
Sluaj t=m <
)]=(Dx/Dx+m)[ mP(/nAx<)/max- /mAx<]
mV[mP(/nAx
Primer: x=40 n=20 m=15 t=15 < < < 15V[15P(/20A40 )]=(D40/D55)[ 15P(/20A40 )/15a40- /15A40 ]
Sluaj m
)]=(Dx/Dx+t)[ mP(/nAx<)/max- /tAx<]
tV[mP(/nAx
Primer: x=40 n=20 m=15 t=18 < < < 18V[15P(/20A40 )]=(D40/D58)[ 15P(/20A40 )/15a40- /18A40 ]=0,993
Sluaj t=n Premijska rezerva je nula. Sluaj m=n i t
Sluaj t=n Premijska rezerva je nula. b) Kapital raste sukcesivno iz godine u godinu za n% od kapitala koji se isplauje u prvoj godini osiguranja Sluaj m
tV[mP(/nAx
)]=(Dx/Dx+t)[ mP(/nAx<)/tax- /tAx<]
164
gde je <
/tAx
=/tAx +e {[(Rx+1 - Rx+t)/Dx] - (t-1)t/Ax }
a mP(/nAx<)=(/nAx<)/(/max) Primer: x=40 n=20 m=15 e=0,02 t=10 < < < 10V[10P(/20A40 )]=(D40/D50)[ 15P(/20A40 )/10a40- /10A40 ]=0,109
Sluaj t=m <
)]=(Dx/Dx+t)[ mP(/nAx<)/tax- /tAx<]
tV[mP(/nAx
Primer: x=40 n=20 m=15 e=0,02 t=15 < < < 15V[15P(/20A40 )]=(D40/D55)[ 15P(/20A40 )/15a40- /15A40 ]=0,1413
Sluaj m
)]=(Dx/Dx+t)[ mP(/nAx<)/max- /tAx<]
tV[mP(/nAx
Primer: x=40 n=20 m=15 t=18 e=0,02 < < < 18V[15P(/20A40 )]=(D40/D58)[ 15P(/20A40 )/18a40- /18A40 ]=0.0705
Sluaj t=n Premijska rezerva je nula. c) Kapital opada sukcesivno iz godine u godinu za n% od kapitala koji se isplauje u prvoj godini osiguranja Sluaj m
tV[mP(/nAx
)]=(Dx/Dx+t)[mP(/nAx>)/tax- /tAx>] 165
Primer: x=40 n=20 m=15 e=0,02 t=10 > > > 10V[15P(/20A40 )]=(D40/D50)[ 15P(/20A40 )/10a40- /10A40 ]=0,0475
Sluaj t=m >
)]=(Dx/Dx+t)[ mP(/nAx>)/max- /mAx>]
mV[mP(/nAx
Primer: x=40 n=20 m=15 e=0,02 t=15 > > > 15V[15P(/20A40 )]=(D40/D55)[ 15P(/20A40 )/15a40- /15A40 ]=0,0693
Sluaj m
tV[mP(/nAx
)]=(Dx/Dx+t)[ mP(/nAx>)/max- /tAx>]
Primer: x=40 n=20 m=15 e=0,02 t=18 > > > 18V[15P(/20A40 )]=(D40/D58)[ 15P(/20A40 )/15a40- /15A40 ]=0,0326
Sluaj t=n Premijska rezerva je nula. Sluaj m=n i t > > 15V[20P(/20A40 )]=(D40/D55)[20P(/20A40 )/20a40- /20A40 ]=0,0167
Sluaj t=n Premijska rezerva je nula.
166
7.8. METODE GRUPNOG OBRAUNA MATEMATIKE REZERVE Osim metoda obrauna matematike rezerve za individualno osiguranje, u teoriji osiguranja života34 su razvijene i metode grupnog obrauna za više osiguranih lica, iz potrebe osiguravaa da periodino utvruje ukupnu visinu matematike rezerve portfelja. Ove metode su imale izvanredan znaaj u uslovima kada nisu postojali kompjuteri, dok je njihova primena u savremenim uslovima izgubile znaaj. Kod metoda grupnog obrauna matematike rezerve se razlikuju metode koje daju rezultate jednake sa individualnim obraunima, od metoda sa konanim rezultatom koji je razliit od individualnih obrauna. U prvu od ove dve grupe svrstavaju se: – Karupova metoda – Altenburgerova metoda – Whitingova metoda – Fouretova metoda U drugoj grupu su najpoznatije metode: – Lidstonova metoda (z-metoda) – “T” metoda Sve metode grupnog obrauna matematike rezerve su aproksimativne tj. daju približne rezultate. Karupova metoda: Polazei od denicije da je matematika rezerva razlika izmeu sadašnje vrednosti buduih osiguranih suma (oekivanih plaanja osiguravaa za ugovorene sluajeve) i sadašnje vrednosti neto premija (oekivanih uplata osiguranika za ugovorena osiguranja), opšti obrazac koji kod individualnog obrauna glasi S Vt = SAt – tSP gde je S osigurana suma, SP neto premija za osiguranu sumu.
Kod obrauna matematike rezerve, kod istovrsnog osiguranja za grupu osiguranih lica, imamo (SVt) =At S- at SP 34
E.Zwingi: Verziherung mathematik, Bazel 1945. god.
167
Dakle, umesto jednog osiguranja uzima se grupa osiguranja sa istovrsnim elementima koji su potrebni za obraun.Umesto jedne individualne osigurane sume, uzima se zbir svih osiguranih suma i zbir neto premija. Ove veliine su konstante, a promenljive su vrednosti za At i at, koje se izraunavaju na osnovu sledeih faktora: – forme osiguranja (tarife) – pristupne sarosti osiguranika (x) – ugovorenog trajanja osiguranja (n) – trajanja plaanja premije (m) – proteklog perioda osiguranja (t) Preko sistema pomonih tabela u kojima se obrauju homogene grupe osiguranika, dobijaju se parametri koji omoguavaju obraun matematike rezerve. Karupovu metodu ilustrujemo sa jednom pomonom i jednom konanom tabelom35: Pomona tabela br. _______ Broj polise
Stanje aktivnih osiguranja na dan _________________
poetak istek osigu ranja
1
datum roenja
pristupna starost
ugovoreno trajanje
osigurana suma
god. neto premija
2
3
4
5
6
7
8
-
-
-
-
-
( )
( )
...
Grupni obraun na dan _____________________ x+t
n-t
S
S P n-t
Ax+t n-t
ax+t
(3x5)
(4x6)
tVx,n (7-8)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-
( )
( )
-
-
-
-
( )
... 35
R.Ralevi: Finansijska i aktuarska matematika, str. 275, Savremena administracija, Beograd 1975
168
U praksi se uzimlo da su datumi roenja osiguranika, kao i pristup u osiguranje, ravnomerno rasporeeni u toku godine, tj. uzima se 1.VII kao sredina godine. Isto tako, proteklo trajanje osiguranja se iskazuje sa t+ ½ , umesto t. Altenburgerova metoda: Ova metoda se naziva i “metoda pomonih brojeva”, odnosno “metoda Cilmerovih pomonih brojeva”.36 Bitna karakteristika ove metode je da se transformacija opšteg obrasca izražava funkcijom parametara (bilo godina starsosti doživljenih u trenutku obrauna, ili godina roenja osiguranika, nezavisno od vremena koje preostaje do roka plaanja poslednjih premija). Pomoni brojevi se, za razliku od metoda Karupa, utvruju i za konstante i za promenljive. Na primer kod mešovitog osiguranja (na sluaj smrti i doživljenja), obrazac za obraun matematike rezerve individualnog osiguranja, po prospektivnoj neto metodi glasi tVx,n = Ax+t,n-t -
ax+t, n-t P
ili u razvijenom obliku tVx,n
= [(Mx+t – Mx+n + Dx+n) /Dx+t ] – P(Nx+t – Nx+n)/Dx+t
= (Mx+t/Dx+t)- P(Nx+t/Dx+t)+P(Nx+n /Dx+t)- (Mx+n+Dx+n)/Dx+t odnosno za osiguranu sumu S jedinica S tVx,n = S(Mx+t/Dx+t)- SP(Nx+t/Dx+t)+ (1/Dx+t)(SPNx+n –SMx+n-SDx+n) s obzirom da je Mx+n= v Nx+n-Nx+n+1 Dx+n= Nx+n- Nx+n+1 sledi Dx+n- Mx+n = Nx+n – v Nx+n = d Nx+n ; d= 1- (1/r) ; v= 1/[1+(p/100)] 36
Ibid str.277
169
Kada se zameni Dx+n- Mx+n sa dNx+n dobijamo tVx,n =SAx+t-
SPax+t+ K/Dx+t ; K=SPNx+m+SdNx+n
K je Altenburgerov koecijent, konstanta nezavisna od proteklog trajanja t, PS neto premija za osiguranu sumu S.
Prema tome, za grupu istih osiguranika u momentu obrauna x+t godina, matematika rezerva se obraunava po obrascu S tVx,n = Ax+t S – ax+t SP + (1/Dx+t) K Završna tabela obrauna matematike rezerve po metodu Altenburgera je sledea: x+t
S
SP
K
Ax-t(‰)
ax+t
1
2
3
4
5
6
7
( )
( )
-
-
-
-
(3x6)
(4x7)
tVx,n (8-9+10)
8
9
10
11
-
-
-
( )
(1/Dx+t)‰ (2x5)
... ...
Whitingova metoda Kao kod Altenburgerove metode i u primeni ove metode sesva osiguranja grušpišu iskljuivo po starosti osiguranika u momentu obrauna rezerve. Razlika je u nainu obrauna koecijenta K.U Altenburgerovom metodu se komutativni brojevi svode na starost osiguranika u momentu isteka osiguranja, dok se u Wihitingovom metodu komutativni brojevi uzimaju u momentu poetku osiguranja tj. prema pristupnoj starosti osiguranika.
170
Furetova metoda: Ova metoda grupnog obrauna matematike rezerve je poznata i pod nazivom “rekurentne metode” jer je baza za obraun izraunata matematika rezerva prethodnog perioda. Matematika rezerva iz prethodne godine ( t-1V), uveava se za neto premiju u tekuoj godini (P), i za kamatu iz tekue godine (i), a zatim se od tog zbira oduzimaju isplate za osigurane sluajeve (dx+t-1). Kod ovakvog obrauna se pretpostavlja da je datum roenja i poetak osiguranja svih osiguranika 1.januar. Druga pretpostavka je da se premija plaa godišnje a da se isplate vrše na kraju godine (godišnje ukamaenje). Ova metoda je jednostavnija od prethodnih.
171
8. PREINAENJA ZAKLJUENOG OSIGURANJA ŽIVOTA (OTKUP, PROLONGACIJA I KAPITALIZACIJA)
Ugovorene nansijske obaveze u ugovoru o osiguranju, izmeu ugovaraa i društva za osiguranje, svedene na sadašnju vrednost, moraju biti u ravnoteži. Zbog toga matematika rezerva u osiguranju života ima veoma važnu ulogu. Ona omoguava da se jedno zakljueno osiguranje u toku trajanja preinai. Na primer, može se skratiti ili produžiti period kod temporernih (privremenih) osiguranja, menjati dužina prvobitno ugovorenog perioda odloženosti, pa ak i prelaziti iz jedne u drugu vrstu osiguranja života. Raznovrsna preinaenja osigurava treba uvek da ponudi bilo da se od osiguranika traži doplatna premija ili mu se vraa deo matematike rezerve kao otkup. Matematika rezerva omoguava i odobravanje kratkoronih pozajmica, naravno sa kamatom i ta mogunost je za osiguranike posebno interesantna. Ugovori o osiguranju moraju biti u saglasnosti sa Zakonom o obligacionim odnosima, posebno sa odredbama iz glave XXVII. Ovim zakonom je u lanu 945 regulisano da osigurava nema pravo da isplatu neplaene premije o dospelosti traži sudskim putem, ve mora preporuenim pismom da pozove ugovaraa da plati dospelu premiju u roku koji mu daje, ne kraem od mesec dana. U ovoj opomeni, osigurava može samo, ako su dotle plaene bar tri godišnje premije, izjaviti ugovarau osiguranja da smanjuje osiguranu svotu na iznos otkupne vrednosti osiguranja, a u suprotnom sluaju da raskida ugovor. Prema lanu 954 Zakona o obligacionim odnosima: (1) na zahtev ugovaraa osiguranja života zakljuenog za ceo život osiguranika, osigurava je dužan isplatiti mu otkupnu vrednost polise, ako su dotle plaene bar tri godišnje premije.
172
(2) u polisi moraju biti navedeni uslovi pod kojima ugovara može zahtevati isplatu njene otkupne vrednosti, kao i nain kako se ta vrednost izraunava, saglasno uslovima osiguranja. U praksi je est sluaj da se u uslovima osiguranja daju izvesne pogodnosti. Na primer, mogunost kapitalizacije osiguranja posle dve plaene godišnje premije.Tada se, umesto raskida ugovora osiguranja koji sledi po odredbama lana 945 ZOO, vrši redukcija osigurane sume (kapitalizacija) i osiguranje ostaje na snazi sa smanjenom osiguranom sumom bez daljeg plaanja premije osiguranja. Naravno, kapitalizacija osiguranja može da se izvrši na zahtev ugovaraa osiguranja i posle tri, etiri itd. plaene godišnje premije. Zahtev za kapitalizacijom se može izvršiti kada je ugovara prestao sa daljim plaanjem premije, (ali su plaene najmanje dve godišnje premije) a može biti povezan i sa zakljuivanjem novog ugovora o osiguranju života. Kod preinaenja zakljuenih osiguranja potrebno je utvrditi visinu obaveza osiguravaa po zakljuenom osiguranju, na dan preinaenja. Kod obrauna za osiguranja kod kojih je prestala obaveza plaanja premije, obaveza osiguravaa iznosi t,m/12 Vwx,n = Ax+t m/12 , n-t m/12 W gde su:
x prisutna starost osiguranika na dan poetka osiguranja n ugovoreno trajanje osiguranja t, m/12 proteklo vreme osiguranja od poetka osiguranja do dana obrauna x+t m/12 starost osiguranika u momentu obrauna matematike rezerve n-t m/12 preostalo vreme ugovorenog trajanja osiguranja od momenta obrauna mat. rezerve t,m/12 Vwx,n matematika rezerva u momentu obrauna Ax+t m/12, n-t m/12 vrednost budue obaveze (osigurana suma odnosno kapitalisana vrednost) na dan obrauna matematike rezerve za jedan dinar osigurane sume, odnosno kapitalisane vrednosti W iznos ugovorene osigurane sume sa jednokratnom uplatom premije, dodatne osigurane sume odnosno kapitalisane (redukovane) vrednosti.
Kod term x osiguranja, u funkciji komutativnih brojeva, primenjuje se formula
173
Opšti oblik za obraun matematike rezerve po Zillmerovoj metodi, kod aktivnih osiguranja kod kojih se plaaju premije u mesenim ratama: t,m/12 Vzx,n = t,m/12 Vx,n - [ (ax+t, m/12 , n-t m/12) / (ax,n )] t,m/12 Vzx,n = (Ax+t m/12 , n-t m/12 - Pax+t, m/12 , n-t m/12) S gde je:
x - pristupna starost osiguranika na dan poetka osiguranja n - ugovoreno trajanje osiguranja tm/12 - proteklo vreme osiguranja od poetka osiguranja do dana obrauna matematike rezerve ( t oznaava protekle cele godine a m protekle mesece preko godine dana) x+t m/12 - starost osiguranika u momentu obrauna mat.rezerve n-t m/12 - preostalo vreme ugovorenog trajanja osiguranja raunajui od dana obrauna mat.rezerve do isteka osiguranja S - važea osigurana suma u trenutku obrauna matematike rezerve tm/12 Vx,n - matematika rezerva u trenutku obrauna Ax+t m/12, n-t m/12 - jednokratna premija za lice staro x+t m/12 godina (diskontovana vrednost svih buduih isplata) Pax+t m/12, n-t m/12 - diskontovana vrednost svih buduih uplata za preostalo trajanje osiguranja
174
9. OBAVEZA OSIGURAVAA KOD KAPITALISANIH (REDUKOVANIH) I OTKUPNIH VREDNOSTI
Kada se izvrši kapitalizacija osiguranja života, osigurava ostaje i dalje u obavezi prema osiguraniku, ali sa smanjenom osiguranom sumom ili ako je na zahtev osiguranika došlo do skraivanja perioda osiguranja, može ostati prvobitno ugovorena osigurana suma ali sa kraim periodom osiguranja. Ako osiguranik izvrši otkup osiguranja, tada osigurava posle isplate otkupa nema druge obaveze prema dotinom osiguraniku. Postoji više metoda za obraun kapitalisanih (redukovanih) osiguranja života. Najpoznatija i u praksi naješe korišena je metoda po kojoj se Zillmerova matematika rezerva upotrebljava kao jednokratna bruto premija za osiguranje sa smanjenom osiguranom sumom sa trajanjem osiguranja koje odgovara preostalom trajanju od momenta prestanka plaanja premije do ugovorenog isteka osiguranja i starosti osiguranika u momentu prestanka plaanja premije. Prema tome ova metoda polazi od sledeeg: – osnovica za obraun je Zillmerova matematika rezerva kao jednokratna uplata za preostalo trajanje osiguranja. – pribavni troškovi = 35 ‰ od osigurane sume, dok režijski troškovi () naješe uzimaju 1 ili 2‰ za preostalo trajanje osiguranja. – diskontna kamatna stopa iznosi 3% (stopa kod obrauna komutativnih brojeva) – stope kapitalizacije i otkupa mogu se raditi za svaku pristupnu starost, ali naješe se uzima izjednaena pristupna starost 37 godina.
175
Za izraunavanje redukovanih (kapitalisanih) i otkupnih vrednosti koriste se sledei opšti obrasci:
Napomena: Kapitalizacija osiguranja koja se vrši zbog prestanka plaanja rata premija, naravno pod uslovom da je tako ugovoreno prilikom zakljuivanja osiguranja, esto se vrši sa primenom jednostavne formule: broj plaenih godišnjih rata Nova osigurana Osigurana suma = x suma iz polise broj ugovorenih godišnjih rata
176
TREI DEO
AKTUARSKE OSNOVE OSIGURANJA
177
Aktuarstvo je primenjena matematika i matematika statistika u osiguranju. Aktuarstvo se bavi procenama i kvantikacijama rizika, opisuje i sistematizuje numerike karakteristike rizika, u sluajnim procesima u kojima se rizici ostvaruju sa ekonomski štetnim posledicama. Aktuarski zadaci se rešavaju primenom opštih matematiko-statistikih metoda, kao i specijalnih metoda koje se primenjuju iskljuivo u osiguranju.
1. PRIMENA KLASINE STATISTIKE I TEORIJE VEROVATNOE
Izraz statistika ima znaenje metoda kvantitativnog istraživanja masovnih pojava kao i prikazivanje rezultata takvog istraživanja. U XVII veku, kada datiramo poetak naunog aktuarstva, u Evropi su postojale37 : nemaka sUniverzitetska statistikas i engleska sPolitika aritmetikas . U Nemakoj je statistika imala zadatak da sistematizuje i izloži podatke o teritoriji, stanovništvu, privredi, javnim nansijama i vojsci, bez pretenzije koja je ispoljena u Engleskoj, gde je statistika orijentisana i na iskorišavanje statistikih podataka u cilju istraživanja prirodnih zakonomernosti. U izveštaju koji su podneli u Britanskom Naunom društvu, Lordmer Londona Džordž Graunt i njegov saradnik Vilijem Peti, 1662 godine, konstatovano je da ispitivanje podataka o broju umrlih lica dovodi do saznanja o opštim odnosima i postojanju szakona smrtnostis. To je bio prvi korak korišenja statistike 37
Dr Sava Obradovi; Dr Milica Senti: Osnovi statistike analize, str. 27; Nauna Knjiga, Beograd, 1967. g.
179
za predvianja u budunosti ime je stvorena mogunost postavlajnja osiguranja života na naune osnove. Metod analize je proširen i na druge pojave u vezi sa stanovništvom i privredom. Inae klasina statistika je ispitivala društvene pojave u njihovim varijacijama i veoma dugo se verovalo da je statistika disciplina nauke o društvu. Tek zahvaljujui belgijskom astronomu i statistiaru Adolfu Ketlu, koji je 1834 dao statistikim istraživanjima širi znaaj i perspektivu u svom radu sSocijalna zikas, uvedena je u statistiku teorija verovatnoe, koja se uporedo i od poetka naunog razvoja statistike, razvijala kao matematika nauna disciplina. Od tada, statistika prelazi iz društvenih u egzaktne nauke. Razvoj klasine statistike, kao opšte naune discipline u prouavanju masovnih pojava dala je impuls razvoju aktuarstva kao posebnoj naunoj disciplini, koja je jednim delom primenjena statistika u osiguranju. Ako se u naunim istraživanjima polazi od izvesnih rezultata posmatranja i na osnovu empirijski uoenih pojava postavlja hipoteza o prirodi uzrono posledinih veza koje su imanentne tim rezultatima, odnosno pojavi, radi se o induktivnom istraživanju. To je put od pojedinanih do opštih zakonitosti. Induktivni nauni metod je karakteristian za period klasinog razvoja statistike, što naravno ne iskljuuje sluaj da se u klasinoj statistici primenjuje i deduktivni nauni metod, koji ide smerom od postavljanja hipoteze do njenog potvrivanja konkretnim rezultatima, tj. od opšteg ka pojedinanom. Poznato je da su sva nauna otkria išla jednim od ovih puteva. Zabeležena zapažanja o injenicama u vezi sa sluajnim dogaajima u kojima stradaju život i imovina ljudi, obezbeuju statistike podatke, koji se prema cilju istraživanja diferenciraju prostorno i vremenski. Prostorno diferenciranje (zone rizika, klase zaštitnih mera, registracionih podruja i sl.) pokazuju razlike od jednog do drugog podruja. Vremensko diferenciranje statistike mase omoguava uoavanje razvojnih tendencija ispitivane pojave. Kao i u statistici za aktuarstvo imaju poseban znaaj rezultati istraživanja varijacija veoma razliitih pojava koje nazivamo osiguranim sluajevima, odnosno pojava u vezi sa njima, jer su one presudne za uspostavljanje veze izmeu cene osiguranja i budue isplate za nastali osigurani sluaj. Aktuarstvo istražuje i pronalazi naine i metode da podatke koji su od znaaja za odnose osiguranja poveže u matematike relacije. Na taj nain su neki metodi koji se u aktuarstvu primenjuju, inae poznati kao opšti metodi statistike analize (korelaciona ili regresiona analiza, analiza varijanse itd. kao i analiza razvojnih tendencija-trend), dok su izvesni metodi sasvim specini za aktuarstvo, tj. nepoznati izvan aktuarstva i osiguranja. 180
Naravno, nema potrebe da se pravi neka distinkcija, odnosno granica izmeu statistike i aktuarstva. Naprotiv, za aktuarstvo su veoma korisna pravila grupisanja statistikih podataka u preglednim tabelama. Stoga se u aktuarstvu niz statistikih podataka, ureenih po jednom obeležju ili po prostornoj, odnosno po vremenskoj podeli, naziva serijom koja se svrstava u jednu od tri grupe: serija strukture, vremenska serija ili prostorna (geografska) serija. Potrebno je imati u vidu da, kod sluajeva ukazivanja na dinamiku u statistikoj masi, u kojoj su bitne promene obima ili delova tokom vremena a ne ispitivanje strukture mase, tada moramo napustiti metod izlaganja podataka po obeležjima. Ukratko, za ispitivanja promena rizinosti tokom vremena koristimo vremenske serije a ne serije strukture. Kada želimo da utvrdimo postojanje razlika u posmatranim pojavama u distribuciji po prostoru (geografskim podrujima), tada podatke prikazujemo u odgovarajuim geografskim serijama. Pomenuto diferenciranje strukture i dinamike statistike mase naravno ne iscrpljuje sve aspekte opšte statistike i posebne aktuarske analize. Predmet analize ne mora biti samo struktura pojave ili njene promene u datom vremenu, ve to može biti i meuzavisnost karakteristika te strukture, kao i njihove uslovljenosti od razliitih faktora. Isto tako, kod promena (dinamike) pojava, možemo pored ispitivanja razvojne tendencije tokom vremena, obuhvatiti i naporedne promene samih faktora koji utiu na te promene. Kao što je poznato, teorija verovatnoe se razvijala nezavisno i paralelno sa klasinom statistikom i jedina veza ove dve discipline je bila u tome, što osnovni zakon verovatnoe: zakon velikih brojeva poiva na velikoj statistikoj masi. U suštini, poetak razvoja teorije verovatnoe oznaava momenat kada je relativna frekvencija, dobijena iz distribucije frekvencija statistike mase, uzeta kao srednja vrednost dogaaja koji se ponavljaju i nazvana verovatnoa apriori. U tom metodološki deduktivnom pristupu, eksperimentalno naješe bacanjem metalnog novia ili kocke sa oznaenim stranama, potvruje se zakon verovatnoe iz koga se može izraunati matematiko oekivanje ili matematika nada, po vrednosti jednakoj aritmetikoj sredini koja se na drugaiji nain izraunava iz statistike serije. Ovo emo ilustrovati sledeim primerom: ako stranice jedne kocke obeležimo brojevima: 1, 2, 3, 4, 5 i 6. iz zbira tih brojeva možemo izraunati aritmetiku sredinu Xi / n = (1+2+3+4+5+6) = 21/6 = 3,50 181
Prema teoriji verovatnoe, polazi se od hipoteze da veliki broj ponavljanje bacanja kocke daje jednake šanse svim ishodima tj. da važi zakon verovatnoe: X: P:
1 1/6
2 1/6
3 1/6
4 1/6
5 1/6
6 1/6
Matematiko oekivanje po deniciji jednako je zbiru unutrašnjeg proizvoda vrednosti koju na sluaj uzima promenljiva X i verovatnoe p sa kojom sluajna promenljiva uzima tu vrednost. Ovo u matematikom izrazu pišemo Xi pi = (1 x 1/6)+(2x 1/6)+(3x 1/6)+(4x 1/6)+(5x 1/6)+(6x1/6) = (1+2+3+4+5+6) x 1/6 = 3,50 Ovde smo ilustrovali odnos aritmetike sredine koja je elementarni pojam statistike i matematikog oekivanja reda 1. tj E(X), koje je elementarni pojam matematike statistike. Meutim to nije jedina veza zbog koje je tokom vremena došlo do spajanja klasine statistike i teorije verovatnoe u matematiku statistiku. Na primer, iste numerike vrednosti dobijamo izraunavanjem varijanse po statistikom metodu i centralnog momenta drugog reda koji se naziva disperzija E(X2).
1.1. POJMOVI: PROSTA, SLOŽENA I USLOVNA VEROVATNOA Neki sluajni dogaaj se može ostvariti na više naina.Na primer sluajan dogaaj da od etiri žetona obeleženih sa 1, 2, 3 i 4 izvuemo žeton sa parnim brojem. Taj dogaaj e se ostvariti ako izvuemo žeton broj 2 ili žeton broj 4. P(A+B)=P(A)+P(B) U ovom primeru neka je dogaaj A izvlaenja žetona broj 2 a dogaaj B izvlaenje žetona 4. P(A)= ¼ P(B)=1/4 P(A+B)=1/4 +1/4=2/4=1/2 Postoje sluajni dogaaji koji su uslovljeni drugim sluajnim dogaajem.
182
Na primer posmatramo sluajni dogaaj A koji ima verovatnou P(A) i sluajni dogaaj B koji ima verovatnou P(B), kako se ponavljaju. 1. A nastupi B ne nastupi n1 ponavljanja 2. B nastupi A ne nastupi n2 ponavljanja 3. Nastupe i A i B n3 ponavljanja 4. Ne nastupe ni A ni B n4 ponavljanja N1+n2+n3+n4=n ukupno ponavljanja Relativna frekvencija nastupanja je sledea f(A)=(n1+n3)/n f(B)=(n2+n3)/n Relativna frekvencija da se dogodi ili A ili B ili oba (A+B)=n1+n2+n3)/n Relativna frekvencija da se dogodi i A i B f(AB)=n3/n Relatvna frekvencija za dogaaj B pod uslovom da se ostvario dogaaj A f(BIA)=n3/(n1+n3) Relativna frekvencija za dogaaj A pod uslovom da se ostvario dogaaj B f(AIB)=n3/(n2+n3) Na osnovu navedenog lako se pokazuje da važi P(A+B)=f(A)+f(B)-f(AB) (n1+n2+n3)/n = (n1+n2)/n + (n2+n3)/n - n3/n Na isti nain f(AB)=f(A)f(AIB)=f(B)f(AIB) n3/n=(n1+n3)/n * n3/n1+n3 = (n2+n3)/n3 * n3/(n2+n3) Dakle P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(AB)=P(A)P(BIA)= P(B)P(AIB) Ako se dva sluajna dogaaja meusobno iskluuju onda je P(AB)=0 P(A+B)=P(A)+P(B) 183
P(AB) je složena verovatnoa P(AB)=P(A)P(BIA)= P(B)P(AIB) dok su uslovne verovatnoe P(AIB)=P(AB)/P(B) i P(BIA)= P(AB)/P(A) Numeriki primer primene Na osnovu statistike šteta dobili smo raspodelu verovatnoa šteta u portfelju
Verovatnoa da šteta nastane P(I=1I q) =0,9 a da šteta ne nastane P(I=0 I 1-q) = 0,1 Uslovne verovatnoe iznosa štete ako ona nastane su sledee P(I=1 I B=200)= 0,1/0,9 = 0,111111 P(I=1 I B=400)= 0,3/0,9 = 0,333333 P(I=1 I B=800)= 0,4/0,9 = 0,444444 P(I=1 I B=1500)= 0,1/0,9 = 0,111111 Iz ovih uslovnih verovatnoa izraunavamo E(B) i Var (B)
184
Riziko premija po polisi (pure premium) je matematiko oekivanje E(X) a rizinost ocenjujemo koecijentom varijacije V= V / E(X) Ovo možemo da izraunamo na dva naina Prvi nain E(X)= 0(0,1)+200(0,1)+400(0,3)+800(0,4)+1500(0,1)= 610 E(X2)= 02(0,1)+2002(0,1)+4002(0,3)+8002(0,4)+15002(0,1)=533.000 Var(X)= E(X2)-(E(X))2= 533.000-6102=160.900 Drugi nain E(X)= qE(B)= 0,9(677,78)=610 E(X2)= qE(B2)= 0,9((Var( B) +((B))2)=0,9(132.839,51+677,782)=533.003 Var(X)=E(X2)-(E(X))2=533.003-6102=160.900
1.2. OSNOVNI AKSIOMI I TEOREME VEROVATNOE 0 P(A) 1 za svaki dogaaj A. P(A)=1 siguran dogaaj ima verovatnou 1. P()=0 nemogu dogaaj ima verovatnou 0. Ako su A i podskupovi (dogaaji) u S, koji se meusobno iskljuuju, A=Ø, tada je P(AU)=P(A)+P(), znai verovatnoa unije A i je zbir njihovih verovatnoa. Ako ima n sluajnih dogaaja koji se meusobno iskljuuju A1,A2,...,An P(A1UA2UA3U...UAn)=P(A1)+P(A2)+...+P(An) Naješe se javlja potreba kombinovanja verovatnoa na principima sabiranja i množenja. Na primer, za dva dogaaja A1 i A2, verovatnoa da e nastupiti ili A1 ili A2 jednaka je zbiru verovatnoa svakog pojedinog dogaaja umanjenog za verovatnou da e oba dogaaja nastupiti istovremeno. P(A1UA2)=P(A1)+P(A2) – P(A1A2)
185
Aditivna teorema verovatnoe
Verovatnoa da e dva dogaaja A1 i A2 zajedno nastupiti, jednaka je proizvodu proste verovatnoe jednog i uslovne verovatnoe drugog. P(A1A2)= P(A1)P(A2/A1)=P(A2)P(A1/A2) Multiplikativna teorema verovatnoe
Kod uslovne verovatnoe se na primer traži verovatnoa za sluajan dogaaj kome prethodi drugi sluajni dogaaj P(A1/B)= [P(A1P(B/A1)]/ P(Ai)P(B/Ai)
Bajesova teorema
1.3. ZAKON VELIKIH BROJEVA Ako sve sluajne dogaaje iz nekog konanog skupa {N}, po nekom kriterijumu razvrstamo na podskupove istovrsnih sluajnih dogaaja: {n1}, {n2},{n3},... {nj}, tada kolinik izmeu broja sluajnih dogaaja u podskupu i ukupnog broja sluajnih dogaaja u skupu nazivamo statistikom ili elementarnom verovatnoom nastupanja sluajnog dogaaja iz podskupa. Ovo zapisujemo u obliku {ni}/{N}= p. Kada N teži “beskonano” tada p (verovatnoa) teži nekoj skalarnoj konstanti iz intervala (0 p 1). Interval u kome se nalazi ta skalarna konstanta, kojoj verovatnoa p teži bie sve manji sa poveanjem broja N. Re beskonano smo stavili pod navodnike zato što je N ma koliko veliki uvek neki konani broj. Apsolutna razlika izmeu frekvencije sluajnog dogaaja i njegove verovatnoe teži nuli kada se broj ponavljanja beskonano poveava. Navedeni iskaz je poznat kao zakon velikih brojeva, koji je formulisao Jacob Bernulli.38 Ovaj zakon nam omoguava da postavimo sledeu nejednainu: _(X/N) - p_ d H na osnovu koje npr. možemo izraunati koliko šteta možemo oekivati u jednom periodu osiguranja ako je zakljueno N osiguranja, ako tolerišemo da Hd a (proizvoljno mala veliina), kada nam je iz višegodišnjeg perioda osiguranja poznata verovatnoa pojave štete p. 38
Jakub Bernuli 1713 g. Inae postoje razliiti oblici zakona velikih brojeva (Laplas; ebišev;: Poisson, Gauss; Markov; Ljapunov, Kolmogorov; ) – vidi prilog 1. U svim interpretacijama se podrazumeva beskonano ponavljanje sliajnih dogaaja, odnosno _(X/N) - p_0, ako n
186
Isto tako, ak i u sluaju da nam je potpuno nepoznata verovatnoa pojave štete možemo npr. izraunati koliko je potrebno zakljuenih osiguranja N da sa verovatnoom ne manjom od E, apsolutna vrednost razlike frekvencije šteta X/N i verovatnoe pojave štete p bude manja od D. U ovom sluaju je potrebno rešiti po N nejednainu39 P( _ (X/N) - p_ < D) t E Nauno objašnjenje Zakona velikih brojeva prvi put je dao 1713. godine Jakub Bernuli (zakon velikih brojeva u Bernulijevoj formi - teorema)40. Spomenuta teorema Jakuba Bernulija utvruje da se frekvencija dogaaja u velikom broju eksperimenata približava (konvergira) verovatnoi tog dogaaja. Zakon velikih brojeva ima najveu ulogu u praktinim primenama teorije verovatnoe, zato što njegova osobina da, pri odreenim uslovima, sluajne promenljive postaju nesluajne, omoguava da se sa velikom pouzdanoš u predskažu rezultati masovnih sluajnih tj. pojava koje se ponavljaju. Mogunosti ovakvih predskazivanja rezultata masovnih sluajnih pojava još su više proširene drugom grupom graninih teorema, poznatih pod nazivom “centralne granine teoreme”. Ove teoreme se ne odnose na granine vrednosti sluajnih promenljivih, ve na granine zakone raspodele. Tako, jedna od najznaajnijih teorema utvruje da zakon raspodele verovatnoa sume dovoljno velikog broja sluajnih promenljivih teži normalnom zakonu raspodele pri dovoljno opštim uslovima, koji se svode na to da uticaj pojedinih sabiraka na sumu bude ravnomerno mali. Razliiti oblici centralne granine teoreme razlikuju se i meu sobom po uslovima kojima se ustanovljava spomenuta granina osobina raspodele sluajnih promenljivih. Razliiti oblici zakona velikih brojeva zajedno sa razliitim oblicima centralne granine teoreme ine skup takozvanih graninih teorema teorije verovatnoe. Pomou njih se dobijaju ne samo naune prognoze rezultata masovnih sluajnih pojava ve se ocenjuje i tanost tih prognoza. Izložiemo najprostije oblike graninih teorema. Najpre emo razmotriti teoreme koje se odnose na grupu “zakona velikih brojeva”, a zatim teoreme koje se odnose na grupu “centralne granine teoreme”. Poimo od važnog pojma u teoriji verovatnoe: konvergenciju u verovatnoi. 39 40
Detaljnije kod odreivanja nivoa izravnavanja rizika. Svetozar V. Vukadinovi Elementi teorije verovatnoe i matematike statistike (Tree izmenjeno izdanje), Privredni pregled, Beograd, 1981, str. 216
187
Dat je niz sluajnih promenljivih: X1, X2,…,Xn… Denicija 1. Ako postoji takva sluajna promenljiva X da je za svaki proizvoljan pozitivan broj F ispunjena relacija:
onda kažemo da niz sluajnih promenljivih (Xn) konvergira u verovatnoi sluajnoj promenljivoj X. Denicija 2. Ako postoji takav niz konstanti C1, C2,…, Cn,…, da je za svaki proizvoljan pozitivan broj F ispunjena relacija:
onda za niz X1, X2,…,Xn… kažemo da zadovoljava zakon velikih brojeva. Za niz X1, X2,…,Xn… se, takoe kaže da zadovoljava zakon velikih brojeva ako konvergira u verovatnoi ka jednoj konstanti C. Teorema koju je ebišev objavio 1867. godine41, a koja sada nosi njegovo ime, predstavlja jedan od najpoznatijih oblika zakona velikih brojeva. Ona uspostavlja vezu izmeu aritmetike sredine vrednosti posmatrane sluajne promenljive i njenog matematikog oekivanja. Za sluajnu promenljivu X sa matematikim oekivanjem M(X) = N i disperzijom D(X) = T2, izvodimo n eksperimenata povezanih sa sluajnom promenljivom X i izraunajmo aritmetiku sredinu uoenih vrednosti sluajne promenljive X. Oznaimo vrednost sluajne promenljive X u prvoj realizaciji sa X1, u drugoj sa X2 itd. Oigledno, skup promenljivih X1, X2,…,Xn predstavlja n nezavisnih sluajnih promenljivih od kojih svaka ima istu raspodelu verovatnoa kao i X. Aritmetika sredina X tih promenljivih:
jeste linearna funkcija sluajnih promenljivih X1, X2,…,Xn. Prema osobinama matematikog oekivanja i disperzije imamo: 41
Svetozar V. Vukadinovi Elementi teorije verovatnoe i matematike statistike (Tree izmenjeno izdanje), Privredni pregled, Beograd, 1981, str. 218
188
to jest, matematiko oekivanje sluajne promenljivene zavisi od broja eksperimenata n i jednako je matematikom oekivanju posmatrane sluajne promenljive, dok disperzija sluajne promenljive neogranieno opada s poveanjem broja eksperimenata i za dovoljno veliko n postaje proizvoljno mala. Znai, aritmetika sredina je sluajna promenljiva s proizvoljno malom disperzijom, to jest, za veliki broj eksperimenata aritmetika sredina postaje skoro nesluajna. Teorema ebiševa formuliše i dokazuje ovu osobinu stabilnosti aritmetike sredine. Teorema ebiševa42 (specijalan sluaj). Kada broj eksperimenata teži beskonanosti, aritmetika sredina uoenih vrednosti sluajne promenljive X konvergira u verovatnoi ka njenom matematikom oekivanju M(X), to jest:
Dokaz. Iz nejednakosti ebiševa sledi:
ili
Kako je M(
42
) = M(X) i
, imamo:
Svetozar V. Vukadinovi Elementi teorije verovatnoe i matematike statistike (Tree izmenjeno izdanje), Privredni pregled, Beograd, 1981, str. 218
189
Kada
, onda
teži nuli, pa sledi:
što je i trebalo dokazati. Ovo je najprostiji sluaj jedne od osnovnih tvrdnji u teoriji verovatnoe - zakona velikih brojeva. Znaenje ovog osnovnog zakona predstavljeno je sledeim: s obzirom da svaka pojedina sluajna promenljiva može esto da uzme vrednosti koje se dosta razlikuju od svoje srednje vrednosti (ima veliku disperziju), to se aritmetika sredina veeg broja sluajnih promenljivih ponaša potpuno drugaije. Ona ima uvek vrlo malu disperziju i s velikom verovatnoom uzima vrednosti vrlo bliske svojoj srednjoj vrednosti. Objašnjenje ove injenice je jednostavno: pri izraunavanju aritmetike sredine sluajna odstupanja, pozitivna i negativna, pojedinih sluajnih promenljivih kompenziraju se uzajamno. Teorema ebiševa se lako može uopštiti na složeniji sluaj, kada sluajne promenljive X1, X2,…,Xn imaju razliita matematika oekivanja Pi i razliite disperzije 2(i=1,2,...,n). U tom sluaju se pokazuje da, uz izvesna ogranienja, aritmetika sredina teži u verovatnoi ka odreenoj nesluajnoj veliini. Formulacija opšteg oblika teoreme ebiševa je sledea: Teorema ebiševa. (ebiševljev Zakon velikih brojeva)43. Ako su X1, X2, …, Xn nezavisne sluajne promenljive s matematikim oekivanjima P1, P2,…,Pn i disperzijama 12, 22, ..., n2, i ako su sve disperzije manje od istog konstantnog broja C: 12 < C (i = 1,2,...,n), onda, pri rašenju n, aritmetika sredina uoenih vrednosti sluajnih promenljivih X1, X2,…,Xn konvergira u verovatnoi ka aritmetikoj sredini njihovih matematikih oekivanja. Dokaz. Iz nejednakosti ebiševa u obliku:
dobija se uopštena teorema ebiševa:
43
Svetozar V. Vukadinovi Elementi teorije verovatnoe i matematike statistike (Tree izmenjeno izdanje), Privredni pregled, Beograd, 1981, str. 220
190
Zakon velikih brojeva u formi ebiševa može se uopštiti i na zavisne sluajne promenljive. Uopštenje je dao A. A. Markov. Teorema Markova44. Ako je dat niz zavisnih sluajnih promenljivih X1, X2, …,Xn i ako
onda aritmetika sredina
teži u verovatnoi ka aritmetikoj
sredini matematikih oekivanja tih promenljivih, to jest ka
Razmotrimo i teoremu A. M. Ljapunova. Kao što smo videli, teoremom ebiševa utvrujemo da vrednost verovatnoe odstupanja aritmetike sredine sluajnih promenljivih od aritmetike sredine njihovih matematikih oekivanja ne premaša po apsolutnoj vrednosti pozitivan broj H u obliku nejednaine s donjom granicom te vrednosti, što daje izvesnu neodreenost rezultata. Teorema Ljapunova daje tanu vrednost verovatnoe tog dogaaja. Teorema Ljapunova.45 Ako nezavisne sluajne promenljive X1, X2,…,Xn zadovoljavaju sledee uslove: 1. sve sluajne promenljive imaju odreeno matematiko oekivanje; 2. sve sluajne promenljive imaju konanu disperziju; 3. nijedna od promenljivih se ne izdvaja znatno po vrednosti izmeu ostalih promenljivih; onda je:
gde je Vsrednja disperzija. Teorema Bernulija, koja ustanovljava vezu izmeu frekvencije pojavljivanja dogaaja A i njegove verovatnoe, može se dokazati kao posledica teoreme ebiševa. 44 Svetozar V. Vukadinovi Elementi teorije verovatnoe i matematike statistike (Tree izmenjeno izdanje), Privredni pregled, Beograd, 1981, str. 220 45 Svetozar V. Vukadinovi Elementi teorije verovatnoe i matematike statistike (Tree izmenjeno izdanje), Privredni pregled, Beograd, 1981, str. 221
191
Teorema Bernulija (Bernulijev zakon velikih brojeva).46 Ako izvedemo n nezavisnih eksperimenata, a u svakom od njih može se pojaviti dogaaj A s verovatnoom p, tada, pri neogranienom uveanju broja eksperimenata n, frekvencija dogaaja A konvergira u verovatnoi ka njegovoj verovatnoi p, to jest:
gde X oznaava broj realizacija dogaaja A u n eksperimenata. Dokaz. Matematiko oekivanje i disperzija frekvencije
jednaki su:
Prema nejednakosti ebiševa imamo:
ili
odakle sledi:
što je i trebalo dokazati. Teorema Bernulija utvruje stabilnost frekvencije pri konstantnim uslovima eksperimenta. Teorema Poissona (uopštenje teoreme Bernulija)47. Ako izvedemo n nezavisnih eksperimenata i ako je verovatnoa dogaaja A u i-tom eksperimentu jednaka pi, onda, pri uveanju broja n, frekvencija dogaaja A konvergira u verovatnoi ka aritmetikoj sredini verovatnoa pi, (i = 1,2,...,n), to jest: 46
47
Svetozar V. Vukadinovi Elementi teorije verovatnoe i matematike statistike (Tree izmenjeno izdanje), Privredni pregled, Beograd, 1981, str. 221 Svetozar V. Vukadinovi Elementi teorije verovatnoe i matematike statistike (Tree izmenjeno izdanje), Privredni pregled, Beograd, 1981, str. 222
192
gde je X - broj pojavljivanja dogaaja A u n eksperimenata a,
aritmetika
sredina verovatnoa realizacije dogaaja A u tim eksperimentima. Ova teorema ima veliki praktian znaaj, jer je teško ostvariti iste uslove eksperimenta dovoljno mnogo puta. Zato treba uporeivati frekvenciju dogaaja ne sa verovatnoom tog dogaaja za ksirane uslove, ve sa aritmetikom sredinom verovatnoa izraunatih za razliite uslove. Još jednom naglašavamo da osnovna postavka zakona velikih brojeva, jasno izražena u njegovom nazivu, sadrži u sebi suštinu statistikih metoda. Za pojedini ishod eksperimenta, za pojedini rezultat posmatranja - zakon velikih brojeva ništa ne utvruje. Ali, pri dovoljno velikom broju eksperimenata frekvencije pojave ovog ili onog dogaaja približno su jednake njihovim verovatnoama (teorema Bernulija). Drugim reima, zakon velikih brojeva pokazuje da su naši zakljuci potpuno zasnovani u odnosu na dogaaj koji je povezan sa svakim od dovoljno velikog broja jednorodnih eksperimenata izvedenih u nepromenjenim uslovima. Otuda sledi da je za obezbeenje mogunosti primene statistikih metoda na izuavanju ovih ili onih pojava neophodno da odgovarajui dogaaji imaju ne jedinini, ve masovni karakter. Posle spomenutih teorema principijelno nove rezultate dobio je A. N. Kolmogorov. On je dobio uslove, potrebne i dovoljne, pod kojima je niz uzajamno nezavisnih sluajnih promenljivih X1, X2,…,Xn,. .. potinjen zakonu velikih brojeva. Teorema Kolmogorova48 glasi: Ako su sluajne promenljive X1, X2,…,Xn,… , onda se niz X1, X2,…,Xn, …
nezavisne i zadovoljavaju uslov potinjava strogom zakonu velikih brojeva:
Hinin je pokazao da ako su sluajne promenljive Xi (i = 1, 2,…, n) ne samo nezavisne nego i s jednakom raspodelom, onda je postojanje matematikog oekivanja M(Xi) dovoljan uslov primene zakona velikih brojeva. Ako je M(Xi) = a, onda teorema Hinina glasi: 48
Svetozar V. Vukadinovi Elementi teorije verovatnoe i matematike statistike (Tree izmenjeno izdanje), Privredni pregled, Beograd, 1981, str. 223
193
Lokalna i integralna teorema Muavr-Laplasa polazi od toga da je izraunavanje verovatnoa binomne raspodele po formuli
veoma teško za velike vrednosti, ali da se za ove vrednosti binomna raspodela može da aproksimira normalnom49. Lokalna teorema Muavr-Laplasa50 kaže da Binomna raspodela teži normalnoj sa srednjom vrednošu = np i disperzijom V2 = npq, to jest:
gde je
i 0 < p < 1.
Integralna teorema Muavr-Laplasa kaže da. verovatnoe binomne raspodele mogu da se aproksimiraju integralom Gausooblika ve normalne raspodele na sledei nain:
gde je:
a ' (t1) i ' (t2) su vrednosti Laplasove funkcije za t = t1 i t = t2. Praktino, aproksimacija binomne raspodele normalnom raspodelom je dovoljno tana kada je np > 5 za p 0,5 i kada je nq > 5 za p > 0,5. 49
50
Svetozar V. Vukadinovi Elementi teorije verovatnoe i matematike statistike (Tree izmenjeno izdanje), Privredni pregled, Beograd, 1981, str. 226 Svetozar V. Vukadinovi Elementi teorije verovatnoe i matematike statistike (Tree izmenjeno izdanje), Privredni pregled, Beograd, 1981, str. 227
194
Ovo je jedno od pravila, a koriste se i sledea: – Binomna raspodela se zamenjuje normalnom za npq > 9; – Binomna raspodela se zamenjuje normalnom za n 50 , ako je 0,1 p 0,9 (ako je p vrlo blizu 0,5, onda se tanost na dve decimale dobija za n 10). U ostalim sluajevima binomna raspodela se zamenjuje Puasonovom. Centralnu graninu teoremu ini grupa teorema koje su posveene ustanovljenju uslova pod kojima je granini zakon raspodele normalni (Gausov) zakon. Normalni zakon raspodele je i najrasprostranjeniji zato što su ti uslovi u praksi veoma esto ispunjeni. Normalni zakon raspodele se naješe sree u sluajnim pojavama prirode. Normalna raspodela je najrasprostranjenija zato što vrednosti statistikih prikaza zavise od mnogo, po veliini neznatnih, uticaja. Ti uticaji su impulsi, koji prouzrokuju da vrednosti statistikih opservacija odstupaju od aritmetike sredine. Kada impulsi prouzrokuju odstupanja u razliitim smerovima, onda e sumarno odstupanje vrednosti posmatranog obeležja od svoje aritmetike sredine biti malo. Vea odstupanja u jednom smeru su malo verovatna. Uvek kada na posmatranu pojavu utie veliki broj nezavisnih sluajnih faktora i svaki od njih samo neznatno menja tok pojave, tada ukupno dejstvo tih faktora dovodi do toga da posmatrano obeležje pojave poseduje normalnu raspodelu verovatnoa. Formulisano je i dokazano nekoliko važnih teorema, koje daju uslove pod kojima sluajna promenljiva ima normalnu raspodelu ili raspodelu koja teži normalnoj. Sva ta rešenja, poznata su u teoriji verovatnoe pod zajednikim nazivom centralne granine teoreme. Naziv podvlai znaaj koji ta teorema ima u teoriji verovatnoe i matematikoj statistici. Razliiti oblici centralne granine teoreme razlikuju se meu sobom uslovima koje zadovoljavaju raspodele sluajnih promenljivih u sumi. Teorema 151. Zbir proizvoljnog broja nezavisnih sluajnih promenljivih, od kojih svaka ima normalnu raspodelu, takoe ima normalnu raspodelu. Dokaz. Uoimo sluajnu promenljivu: X = X1 + X2 + ... + Xn gde sluajne promenljive Xk (k = 1,2,...,n) imaju normalnu raspodelu s parametrima k, k (k = 1, 2, …, n). Na osnovu osobina srednje vrednosti i disperzije imamo: 51
Svetozar V. Vukadinovi Elementi teorije verovatnoe i matematike statistike (Tree izmenjeno izdanje), Privredni pregled, Beograd, 1981, str. 233
195
Prema osobinama karakteristine funkcije, karakteristina funkcija sluajne promenljive X jednaka je:
što znai da i X ima normalnu raspodelu N(N,T). Neka je sada sluajna promenljiva X, gde nezavisne sluajne promenljive Xi (i = 1, 2, . . . , n) imaju istu raspodelu verovatnoa, to jest za koje je: N1 = N2 = … = Nn = N i u tom sluaju je:
Standardizovana sluajna promenljiva T, prema tome, ima oblik:
Za sluajnu promenljivu X, ovako denisanu, važi sledea teorema. Teorema (Lindberg-Levija)52. Kad n teži beskonanosti, raspodela verovatnoa sluajne promenljive X teži normalnoj raspodeli na sledei nain:
gde su a i b proizvoljni realni brojevi. Na ovaj nain dobili smo karakteristinu funkciju normalne raspodele N (0,1) to jest, sluajna promenljiva T ~ N (0, 1), a X ~ N(Nx, Tx). Iz tvrenja Lindberg-Levija neposredno proizlazi posledica koja ima poseban praktian znaaj: Posledica 1. Ako su sluajne promenljive X1, X2,…,Xn nezavisne i imaju istu raspodelu verovatnoa, pri emu je: 52
Svetozar V. Vukadinovi Elementi teorije verovatnoe i matematike statistike (Tree izmenjeno izdanje), Privredni pregled, Beograd, 1981, str. 234
196
M(Xi) = N, D(Xi) = T2 (i = 1,2,...,n) onda raspodela verovatnoa sluajne promenljive:
teži normalnoj raspodeli s parametrima N i
, to jest:
Dokazali smo centralnu graninu teoremu za specijalan, ali važan sluaj sabiraka s jednakom raspodelom. Štaviše, i u dovoljno širokoj klasi uslova ona je zadovoljena i za sabirke s nejednakim raspodelama verovatnoa. Teorema Ljapunova se upravo odnosi na ovaj sluaj. Teorema - (Ljapunova)53. Ako se za niz uzajamno nezavisnih sluajnih promenljivih X1, X2,… može da odabere takav pozitivan broj > 0 da je ispunjen uslov:
onda je:
gde je:
Za primenu teoreme Ljapunova u sluaju sabiraka s jednakim raspodelama verovatnoa, dovoljno je da disperzije sabiraka budu konane i razliite od nule. Teorema Muavr-Laplasa, predstavlja specijalan sluaj centralne granine teoreme. U stvari, ako sa Xi oznaimo broj realizacija dogaaja A u i-tom ponavljanju 53
Svetozar V. Vukadinovi Elementi teorije verovatnoe i matematike statistike (Tree izmenjeno izdanje), Privredni pregled, Beograd, 1981, str. 235
197
eksperimenta, onda je broj realizacija dogaaja A u n ponavljanja eksperimenta . Kako je:
jednak
teorema Muavr-Laplasa može da ima oblik:
Praktino se možemo koristiti centralnom graninom teoremom i onda kada je u pitanju zbir relativno nevelikog broja sluajnih promenljivih. Pri sabiranju nezavisnih sluajnih promenljivih, koje se mogu uporediti po svom rasturanju, s poveanjem broja sabiraka raspodela sume je približno normalna. U praksi se uopšte široko primenjuje približna zamena jednih zakona drugim. Iskustvo pokazuje da kada je broj sabiraka poretka deset, zakon raspodele zbira može se zameniti normalnim. Centralna granina teorema na taj nain ima veliki teoretski i praktian znaaj, pa se s pravom može smatrati “centralnom teoremom” u teoriji verovatnoe. Generalno kada je zadovoljen kriterijum za normalnu raspodelu granice proporcije odreujemo iz relacije54 p - a" (pq/n) p p + a" (pq/n) gde je:
a=1 za pouzdanost zakljuka sa verovatnoom 68% a= 2 za pouzdanost zakljuka sa verovatnoom 95% a= 3 za pouzdanost zakljuka sa verovatnoom 99%
Teorija verovatnoe se esto ne shvata na pravilan nain. Na primer, postoji zabeležen žestok sukob 1921 godine, izmeu poznatog engleskog ekonomsiste Džona Kejnza i Karla Pirsona. Uskim posmatranjem dinaminih ekonomskih pojava, premda se isticao i sa matematikim radovima, Kejnz je smatrao da raun verovatnoe ne može davati pouzdanu meru buduih oekivanja. Zaista, iz perspektive samo jednog konkretnog sluaja ishodi velikog broja ponavljanja sa centralnom tendencijom ne iskljuuju neizvesnost. Poznato, da je i A.Anštajn bio rezervisan u odnosu na teoriju verovatnoe. uvena njegova misao: „Bog se ne kocka!“.
54
Prihvatajui rizik greške do 0,02 mi koristimo a=2,55.
198
2. DOMEN TEORIJE VEROVATNOE SA PRIMERIMA
Zamislite situaciju da se nalazimo u dubokoj mranoj jami koja se rava na 10 tunela. Jedan od tih tunela vodi u smrt a devet ka slobodi. Pre nego što bismo se odluili kojim tunelom krenuti, jer povratka nema, grozniavo bi tražili bar neki znak prepoznavanja tunela koji vodi u smrt, da ga izbegnemo. Nee nas ni malo utešiti što je verovatnoa izbora pogrešnog tunela p=0,1. Šta ova verovatnoa zapravo znai? Ona nam daje informaciju o prosenom izboru ali ne i o izboru u jednom ponavljanju. Ova verovatnoa se naziva apriornom verovatnoom. Ona nam govori da e u ponovljenim takvim situacijama, od 10.000 ljudi približno njih 9.000 nai put u slobodu, dok e rizik smrti pogoditi približno 1.000 ljudi. Meutim, ne znai da e od prvih 100 ljudi njih 10 otii u smrt., jer se može desiti da od prvih 100 ni jedan ne ode u smrt, kao što se može desiti da u smrt ode znatno više od 10. Ako prvih 100 od 10.000 ljudi obeležimo sa n1=100; broj ljudi koji su otišli u smrt obeležimo sa k1, dobiemo verovatnou aposteriori p1 = k1 / (n1=100). Ta verovatnoa može biti razliita od verovatnoe apriori. Razlika izmeu verovatnoe apriori i verovatnoe aposteriori e biti sve manja kada se poveava broj N55. Organizovanje zaštite ekonomskog interesa (putem osiguranja) ne znai da se gubitak nee javiti. Gubitak pojedinaca se osiguranjem unapred distribuira (transferiše) sa pojedinca na sve subjekte iji su ekonomski interesi u nezavisnim rizicima, ali sa istom verovatnoom ostvarivanja rizika. 55
Jedna od interpretacija zakona velikih brojeva.
199
Razmotrimo sledei primer. Neka je apriori verovatnoa brodoloma na jednoj pomorskoj maršuti P=0,1. Neka ima 10 brodova i 10 trgovaca ija se roba prevozi i neka svaki od njih ima jednaku vrednost robe. Svaki trgovac može svu svoju rorbu ukrcati na jedan brod ili robu rasporediti na svih 10 brodova. U prvom sluaju, ako potone brod na koji je trgovac ukrcao svu svoju robu, on e pretrpeti veliki gubitak, ali ako taj brod ne potone, trgovac e imati 1/10 robe više nego da je robu rasporedio po 1/10 na svaki brod. U ovom primeru 1/10 vrednosti robe je riziko premija osiguranja koju treba da plati svaki trgovac da bi sauvao ukupnu vrednost svoje robe u riziku gubitka – osigurani interes (osiguranu sumu). Da bi ovo bilo sasvim jasno pretpostavimo da je vrednost robe svakog trgovca 1.000.000 dinara, tako da je ukupna vrednost (suma osiguranja) na svih 10 brodova 10.000.000 dinara, a na svakom brodu po 1.000.000 dinara. Kako svaki trgovac unapred plaa 1.000.000 x 0,1 = 100.000 dinara, to e njih 10 ukupno obezbediti 1.000.000 dinara riziko premije, što je u visini vrednosti na jednom brodu koji e potonuti. Naravno i za ovaj primer važi da e se verovatnoa aposteriori razlikovati od verovatnoe apriori, tj. da je potrebno ponavljanje situacije rizika N puta, kao bi sa poveanjem broja N, ova razlika izmeu apriori i aposteriori verovatnoe, bila sve manja. Statistika ostvarivanja rizika nam omoguava da za svaki rizik ponovljenih situacija možemo izraunati verovatnou i matematiko oekivanje gubitka, odnosno štetnih posledica izraženih u novcu. Te izraunate veliine su karakteristike rizika kojim opisujemo rizinost56, u sluajnom procesu. Kasnije emo videti da su takoe veoma važni i meusobni odnosi rizika, raspodela gustine verovatnoa itd. Nauna disciplina koja izuava, opisuje i sistematizuje numerike karakteristike rizika i sluajnih procesa u kojima se rizici ostvaruju, naziva se teorijom rizika. Teorija rizika je veoma važna za delatnost osiguranja imovine i lica. Odreeni pojmovi koji se u teoriji rizika javljaju esto se bitno razlikuju od njihovog opšte poznatog znaenja. Na primer, verovatnoa, rizik i rizinost su u svakodnevnom životu opšti pojmovi. Kada kažemo “verovatno je to tako...” mi ustvari izbegavamo odreenje da nešto zaista jeste, jer može biti i da nije. 56
Rizinost je pojam koji se odnosi na veliinu rizika a koja je uslovljena stepenom i trajanjem neizvesnosti, kao i visinom kapitala u riziku.
200
U teoriji rizika verovatnoa nije stvar ubeenja ve numerika karakteristika sluajnog dogaaja u sluajnom procesu njegovog ponavljanja. Najprostiji primer za objašnjenje elementarnih pojmova verovatnoe je bacanje novia, ili kocke, kojim se simuliraju sluajni dogaaji. Kod bacanja jednog novia sluajni dogaaji su: A) da e pasti grb B) da e pasti pismo. Ako je novi koji se baca pravilnog oblika i jednako rasporeenom gustinom (težinom) u njegovoj zapremini, verovatnoa da e pasti grb jednaka je verovatnoi da e pasti pismo. Ova dva sluajna dogaaja ine potpuni skup moguih dogaaja, dakle totalna verovatnoa je 1. Ako verovatnou da padne pismo oznaimo sa p a verovatnou da padne grb sa q tada je p+q=1 ; p= ½ ; q= ½ ; odnosno ½ + ½= 1 Slino kod bacanja kocke, ishodi: da padne strana oznaena sa 1 ima verovatnou 1/6; da padne strana oznaena sa 2 ima verovatnou 1/6; da padne... , strana oznaena sa 6 ima verovatnou 1/6. Neka su navedene verovatnoe respektivno oznaene sa: p1; p2; p3; p4; p5; p6. Kako sluajni dogaaji povezani sa ovim verovatnoama predstavljaju potpuni skup sluajnih dogaaja, to zbir tih verovatnoa ini totalnu verovatnou, tako da je p1+p2+p3+p4+p5+p6 =1. odnosno 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1. Verovatnoe koje se odnose na potpuni skup sluajnih dogaaja ne moraju biti meusobno jednake, kao u navedenim primerima. Uzmimo na primer bacanje dve kocke, od kojih je prva koju bacamo bela – kocka A, a druga crna – kocka B. Potražimo verovatnoe zbira ishoda.
201
Mogui rezultati zbira su:
Ukupno imamo nr = 36 varijacija sa ponavljanjem57, a u njima se zbir:
Vidimo npr. da je verovatnoe zbira za zbir 6 vea od verovatnoe za zbir 3. Zbir svih verovatnoa je 1. Posmatrajmo sledee primere: 1) U bacanju novia pojava grba donosi igrau dobitak 20 dinara a pojava pisma gubitak od 10 dinara. Koja cena jednog bacanja novia, pri velikom broju ponavljanja bacanja garantuje da organizator igre izjednai uplate i isplate? Odgovor: Cena jednog bacanja novia je 5 dinara jer je matematiko oekivanje E(X)= 20 x 0,5 – 10x 0,5 = 5. Naravno nas ne zanima kocka i primer je uzet zbog uoavanja zakona verovatnoe. 2) Tri nezavisna poslovna poduhvata angažuju kapital sa rizikom gubitka, prema sledeem: 57
B.Ivanovi: Matematika za ekonomiste, str. 53, Nauna knjiga, Beograd, 1966.
202
Verovatnoa gubitka Gubitak (u jedinicama kapitala)
0,3
0,4
0,3
0
20
15
Koliki je proseni poslovni gubitak? Odgovor: Prosean poslovni gubitak je 12,50 jedinica kapitala. E(X) = 0 x0,3 + 20 x 0,4 + 15 x 0,3 = 12,50 Prosean poslovni gubitak izjednaavamo sa matematikim oekivanjem gubitka kapitala. Prema tome, u navedenim poslovnim poduhvatima, koji se više puta ponavljaju, ostvarili bi gubitak ako iz dobiti ne pokrivamo prosean poslovni gubitak. Matematiko oekivanje gubitka kapitala jednako je zbiru proizvoda gubitka kapitala i pripadajue verovatnoe gubitka. 3) U nekom poslu dobit od 20 jedinica kapitala ostvaruje sa verovatnoom p1=0,5 , ali je mogu i gubitak koji se ostvaruje verovatnoom p2=0,5 u visini od 10 jedinica kapitala. Možemo postaviti dva pitanja: – Da li svaki pojedinani sluaj u ponavljanju takvog posla donosi dobitak? – Koliko iznosi prosean dobitak? Odgovor na prvo pitanje je oigledno ne, dok je za odgovor na drugo pitanje potrebno izraunati matematiko oekivanje dobitka. Formula za izraunavanje matematikog oekivanja dobitka je sledea: E(x) = Xi Pi tako da imamo (0,5) x (20) + (0,5) x (-10) = 5 i odgovor da prosean dobitak iznosi 5 jedinica kapitala.
203
3. OPŠTI AKTUARSKI PRISTUP
Elementarni uslov u matematikoj statistici i teoriji stohastikih procesa jeste veliki broj ponavljanja sluajnog dogaaja. Ako se taj uslov zaboravi, osnovna postavka teorije o delovanju zakona verovatnoe, može biti paradoksalna. Ovo emo ilustrovati primerom koji je i danas aktuelan u vezi sa pojmom martingela, a smatramo da je instruktivan i za razumevanje aktuarske suštine osiguranja.
3.1. PETERBURŠKI PARADOKS58 U teoriji rizika je poznat Petersburški paradoks, obelodanjen 1738 god. u Petersburgu. Petar i Pavle denišu pravila za kockanje u bacanju jednog metalnog novia. Petar baca novi tako dugo dok ne padne grb. Jedna igra se dakle završava sa pojavom grba. Ako se to dogodi kod prvog bacanja Pavle plaa Petru 1 dinar, ako se to ne dogodi u prvom ve u drugom bacanju, Pavle plaa 2 dinara, ako grb padne tek u treem bacanju Pavle e platiti 4 dinara, itd. kod svakog sledeeg bacanja Pavle plaa dvostruko. Kod ovakve igre možemo postaviti sledea pitanja: – koliko unapred Petar treba da plati Pavlu kao cenu za igru – koliko novca Pavle stavlja u rizik (koliko iznosi poetni fond sigurnosti) 58
Dr Vladimir Vrani: Vjerojatnost i statistika, str. 51, Tehnika knjiga, Zagreb, 1958, Paradoks je u tome što se razmatra samo igra jednog igraa sa organizatorom igre.Bez ograniavanja trajanja igre igra nije mogua!
204
U pristupu ovim pitanjima najpre je potrebno unapred ograniiti maksimalni broj ponavljanja bacanja novia u jednoj igri. Pretpostavimo da je ugovoreno najviše 20 ponavljanja bacanja novia u jednoj igri. U tom sluaju polazei od formule matematikog oekivanja E(x)= Xi Pi (i =1,2...n) , n=20 Petar treba unapred da plati ulog od n/2= 10 dinara, jer je E= 1(1/2)+2(1/4)+4(1/8) + ... + 220 (1/220) = 10 Meutim, ma koliko bila mala, postoji verovatnoa da grb padne tek u 20om bacanju novia. Još je manja verovatnoa da grb ne padne ni u 20-om bacanju, ali su takvi dogaaji mogui. Ako bi grb pao tek u 20-om bacanju novia, tada bi Pavle morao da plati Petru 219= 524.288 dinara! Znai, Pavle za dobitak uloga od 10 dinara u jednoj igri rizikuje gubitak 524.288 dinara. Takav rezultat je paradoksalan, ako za igru nije zainteresovan “beskonaan broj” igraa. Broj N, kao što emo kasnije videti, i verovatnoa odstupanja od matematikog oekivanja su povezani (Teorema ebiševa). U osiguranju je npr. sasvim uobiajeno, upravo zbog mogunosti izravnavanja rizika gubitka, da se garantuje isplata štete npr.od 1.000.000 $, od rizika požara uz naplatu premije od 500 $ za godinu dana osiguravajueg pokria. Nain ostvarivanja izravnanja rizika u osiguranju nije jednostavan za interpretaciju bez teorije rizika koju izlažemo. Pretpostavimo da je kod navedene igre ugovoreno da se novi baca najviše 20 puta u jednoj igri, a igra se ponavlja sa 1.048.576 igraa ( Petar i drugi igraju protiv Pavla) . Imamo ovakvu šemu: Cena za igru koja se završava sa pojavom grba ili posle 20 ponavljanja, izraunata prema matematikom oekivanju iznosi 10 dinara. Suma uloga 1.048.576 x 10 din = 10.485.760 dinara Šema isplata: ukupna isplata
205
Šema isplata:
ukupna isplata
1 dinar
dobija n/2 igraa
524.288 x 1
524.288 dinara
2 dinara
dobija n/4 igraa
262.144 x 2
524.288 dinara
4 dinara
dobija n/8 igraa
131.072 x 4
524.288 dinara
8 dinara
dobija n/16“
65.536 x 8
524.288 dinara
16 dinara
dobija n/32“
32.768 x 16
524.288 dinara
32 dinara
dobija n/64“
16.384 x 32
524.288 dinara
64 dinara
dobija n/128 “
8.192 x 64
524.288 dinara
128 dinara
dobija n/256 “
4.096 x 128
524.288 dinara
256 dinara
dobija n/512 “
2.048 x 256
524.288 dinara
512 dinara
dobija n/1024 “
1.024 x 512
524.288 dinara
1024 dinara
dobija n/2048 “
512 x 1024
524.288 dinara
2048 dinara
dobija n/4096 “
256 x 2048
524.288 dinara
4096 dinara
dobija n/8192 “
128 x 4096
524.288 dinara
8192 dinara
dobija n/16384 “
64 x 8192
524.288 dinara
16384 dinara
dobija n/32768 “
32 x 16384
524.288 dinara
32768 dinara
dobija n/65536 “
16 x 32768
524.288 dinara
65536 dinara
dobija n/131072 “
8 x 65536
524.288 dinara
131072 dinara
dobija n/262144 “
4 x 131072
524.288 dinara
262144 dinara
dobija n/524288 “
2 x 262144
524.288 dinara
524288 dinara
dobija n/1048576 “
1 x 524288
524.288 dinara
UKUPNO
10.485.760 dinara
Ukupne isplate su izjednaene sa ukupnim uplatama (Ako bi organizator igre umesto cene po jednoj igri od 10 dinara naplatio 11 dinara, bio bi na dobitku od 1.048.576 dinara!). Ima oko 350 godina od kako je J.Bernuli objasnio ulogu matematike šeme u sluajnim dogaajima. Posle toga su pronaene i druge,(Laplas, Poisson, Muavr, Gaus, Ojler itd.) Danas su ti radovi potpuno i sistematski proueni i primenjeni pod nazivom raspodela sluajno promenljivih, koje nalazimo u grupi diskretnih i grupi kontinualnih raspodela. Isto tako postoje i složene raspodele, u kojima se sluajna promenljiva u jednom domenu rasporeuje kao neprekidna a u drugom domenu diskretno. Posmatranja na kojima se osniva teorijsko istaživanje raspodela, najpre su vršili: Laplace, Moivre, Poisson, Cauchy i Gauss.
206
Škotski aktuar, koji se krajem XIX veka bavio osiguranjem života, G.J.Lidstone, pored sopstvenih radova, imao je i znaajnu kolekciju aktuarskih, matematikih i statistikih radova drugih aktuara i matematiara (npr. radova James Gregory-a: Rigaudove Corespodence 1670 g. I.Newton-a, Maclaurina i dr.; kao i aktuara iz tzv.„Edinburgške škole“), pa se esto javlja kao konsultant piscima numerike matematike u to vreme. Na primer G.J. Lidstone se pominje u predgovoru znaajnog aktuarskog dela: The calculus of observations A treatise on Numerical Mathematics by Sir Edmund Whittaker, Forth edition 1918 godine.
Naroito u poslednjih 120 godina posle klasine statistike, u kojoj je predmet pažnje bilo stanje neke strukture (latinska re status= stanje), razvijala se matematika statistika, odnosno teorija sluajnih procesa, gde je predmet pažnje verovatnoa kao mera sluajnog dogaaja. Na rezultatima dobijenim iz razvoja matematike i matematike statistike razvijalo se aktuarstvo kao primenjena nauka u osiguranju, u kojoj se koriste pored opšte poznatih modela i specijalni modeli zasnovani na matematikim iskazima. Aktuarstvo je primenjena matematika i matematika statistika, ali ima znaaja i u teorijskom smislu zbog specinih metoda koje se primenjuju samo u osiguranju. Potrebno je ukazati na fundimentalnu razliku izmeu Bayezovske metode, koja se koristi u aktuarstvu i klasine statistike metode. U klasinoj statistici je npr. veliina # ksna, ali nepoznata. Pored toga daje se iskaz, kao npr. P(22,3<#<30,2)=0,95. Meutim, im su opaženi podaci i izraunat numeriki interval, više nema verovatnoe! U Bayezovskoj statistici parametar # je sluajna promenljiva i taj problem je otklonjen. Ovo emo detaljnije objasniti u daljem izlaganju. Za razumevanja izlaganja o modelima i drugim temama iz aktuarstva, itaocu je potrebno elementarno znanje iz teorije verovatnoe, matematike statistike i matematike analize. Neke pojedinosti iz ovih elementarnih teorija, kada smatramo da je to celishodno, obraujemo samo u najneophodnijem obimu. Na primer u matematikoj statistici, odnosno kod razmatranja i korišenja modela raspodela sreemo jednu važnu konstantu, broj e. 207
Premda je ova Ojlerova konstanta opšte poznata ovde podeamo
a kako je 2,718282= 7,389 o log(e)= 2
Kod razvijanja funkcija u red imamo
Kod primene metoda, poznatih iz statistike, koji u teoriji rizika imaju široku primenu, esto moraju biti ispunjeni izvesni uslovi.O tim uslovima se mora voditi rauna, kao i o zakljuku koji se izvodi u interpretaciji dobijenog rezultata. Izvesni metodi i prorauni mogu biti veoma složeni, ali bez smisla u odnosu na dobijeni rezultat i izvedene zakljuke. Na primer, ako možemo doi do dva rezultata iz dva razliita metoda potrebno je sprovesti logiku i kritiku kontrolu - tražiti odgovor o uzrocima razlike.
208
4. REGRESIONA I KORELACIONA ANALIZA
Regresiona i korelaciona analiza pronalazi i analizira oblik i stepen zavisnosti razliitih pojava, koje se dešavaju pod uticajem slinih uzroka. Matematika tj. funkcionalna zavisnost y=f(x) , razliita je od statistike zavisnosti koja se izražava korelacijom, kovarijansom i regresijom. Pod regresionom linijom, u statistikom smislu, podrazumeva se ona linija koja najbolje odreuje približne vrednosti koje odgovaraju empirijskim (originalno izmerenim vrednostima). Takvu regresionu liniju pronalazimo primenom metoda najmanjih kvadrata, tj. da zbir kvadrata odstupanja u pravcu ordinate, empirijskih vrednosti (Y) od vrednosti regresione linije (Yc) bude minimalno. Znaaj regresione analize je davno uoen. Meutim problem aproksimacije, koji mi danas lako rešavamo metodom najmanjih kvadrata imao je dugu predistoriju. Poznata su rešenja Tobias Mayer (1748-760). Laplas se 1799 g. Takoe bavio ovim problemom. Metod najmanjih kvadrata postavio je Legendre u dodatku svog dela: Nouvelles Methodes pour la determination des orbites des comets 1805 god. Metodu je 1911 godine poboljšao C.J. de la Vallee Poussin (Annales de la Soc.Sc.de Bruxelles 35 (1911). Metodu Legandra primenjivao je Gaus, koju je prvi povezao tu metodu sa matematikom teorijom verovatnoe (Theoria motus coelestitium Hamburg 1809 g koja je dokaz normalnog zakona, Gauss navodi da primenjuje metod najmanjih kvadrata od 1795 godine.) Zahtev metoda najmanjih kvadrata izražavamo sledeim izrazom
209
U regresionoj analizi iz poznatih promena jedne varijable i denisane regresione funkcije prognoziramo rezultat u drugoj varijabli. Recimo, odgovara nam linearna regresija oblika Y =a+bX, jer pretpostavljamo postojanje linearne veze izmeu varijabli X i Y. Za pouzdane rezultate analize, potrebno je da su varijable X i Y normalno rasporeene, kao i da postoji homoscedascitet (varijabilitet promenljive X treba da bude ravnomerno rasporeen duž celog pravca regresije, a ne koncentrisan na jednom segmentu.59 Samo ako su ti uslovi ispunjeni, možemo u teoriji rizika npr. koristiti formulu: Y = rxy(Sy/Sx ) (X -CX) +CY gde su:
Y - prognozirana vrednost varijable Y rxy - koecijent proste korelacije Sy i Sx - standardne devijacije promenljivih Y i X respektivno CX i CY - aritmetike sredine promenljivih X i Y respektivno
U tom sluaju jednostavno se odreuje i standardna greška prognoze SY = (1-r2)>(N-1)/(N-2)@ koja ima smisao standardne devijacije tj. ne treba je mešati sa standardnom pogreškom kod aritmetikih sredina. Ovo je jasnije ako se standardna greška prognoze napiše u razvijenom obliku:
U modelima šteta, kada broj šteta X raste sporije od iznosa Y, za model regresije se koristi eksponencijalna funkcija u obliku Yc= a bx
, 0 b & 1
Parametri a i b se izraunavaju iz empirijskih podataka iz sistema jednaina N log a + log b 6x = 6log y Log a 6x + log b 6x2 = 6x log y 59
Ovaj uslov važi i kod analize razvojne tendencije-trenda.
210
Takoe se koristi regresija u obliku Yc= a + bex Sa odreivanjem parametara a i b iz sistema Na + b 6ex= 6y a6ex + b 6e2x = 6ex y Naješe broj šteta opada sa poveanjem iznosa štete, u kom sluaju se koristi Paretova kriva y= T/ xD , odnosno kao funkcija rasporeda60 F(x)= 1 - (T / T + x)D Kada logaritmujemo y= T/ xD dobijamo log y= log T - D log x Ako stavimo da je a= - D i b = log T dobijamo linearnu regresiju, odnosno parametre D i T izraunavamo neposredno61 D= ( n 6logx logy - 6log x 6log y ) / ((6logx)2 – n 6(logx)2 ) Log T = (6logx 6logx log y - 6(logx)2 6logy ) / ((6logx)2 – n 6(logx)2) Pored regresije, u aktuarskim analizama se koristi i analiza kovarijanse. Kovarijansa je prosena vrednost proizvoda odstupanja pojava od svojih aritmetikih sredina Cxy= ¦_Xi - CX_ _Yi - CY_ / N odnosno
Postoji veza izmeu linije regresije i kovarijanse. Liniju regresije na osnovu kovarijanse možemo dobiti iz sistema jednaina 60 61
Funkcija rasporeda sa E(X)= T/(D) i E (Xk )= Tk / (D-1)...(D-k) Lj.Marti: Matematike metode, Narodne Novine, Zagreb, 1963 g, str. 142.
211
CXY =>( ¦XiYi)/N@ - CXCY ¦Yi=Na+b¦Xi ¦YiXi=a¦Xi + b¦Xi2 Kada prvu jednainu podelimo sa N (Nz0), dobijamo ¦Yi/N =a+b(¦Xi/N) odnosno Cy=a+bCx tako da je a=Cy- bCx Drugu jednainu takoe podelimo sa N, tako da dobijamo ¦YiXi/N = a(¦Xi/N)+b(¦Xi2)/N i kada parametar a zamenimo ekvivalentom, dobijamo ¦XiYi/N = (Cy - bCx +b (¦Xi2/N) Ovaj izraz sreujemo tako da dobijemo ¦XiYi/N =CxCy- bCx2+b(¦Xi2/N) ¦XiYi/N - CxCy = b >(¦Xi2/N) - Cx2@ CXY= b Vx2 ; b=CXY/Vx2 Kada parametre a i b uvrstimo u empirijsku funkciju, dobijamo Yi=Cy- bCx +(CXY/Vx2)Xi ili Yi -Cy=(CXY/Vx2)Xi - (CXY/Vx2)CX odnosno Yi - Cy=(CXY/Vx2)(Xi -Cx)
212
Regresija prolazi kroz taku (xy) koja je presek srednjih vrednosti varijabli. Koecijent pravca regresije je prosena godišnja zavisnost posmatrane pojave Y od X. Standardnu grešku u funkciji kovarijanse možemo izraunati ako poemo od izraza Yi-Cyi =a - bXi kada levu i desnu stranu pomnožimo sa (Yi-CYi), dobijamo (Yi - CYi)2=(Yi - a - bXi)(Yi - CYi) =Yi(Yi-CY) - a(Yi-CY)- bXi(Yi -CY) =(¦Yi )(Yi -CY)- a¦(Yi-CY)- b(¦Xi)(Yi-CY) i kako je ¦(Yi-CY)=0 sledi: ¦Xi(Yi-CY)=0 odnosno ¦XiYi-C¦Xi (a+bXi)=¦XiYi- a¦Xi - b¦Xi2 =0 tako imamo ¦(Yi-CY)2=¦Yi (Yi-CY) odnosno ¦(Yi-CY)2=¦Yi (Yi- a - bXi)= (¦Yi2- a ¦Yi -b¦YiXi)/N kako je S2y =(¦Yi2/N)- aCy - b(¦XiYi)/N =(¦Yi2/N)-(CY- bCX)CY- b (¦XiYi)/N =>(¦Yi2)/N@ - CY2 +bCXCY - b(¦XiYi)/N =>(¦Yi2)/N - CY2 @ - b >(¦XiYi)/N@ -CXCY =Vy2 - bCXY tako da je b=CXY/VX2 Sy2=(VY2 - CXY2)/ Vx2 Koecijent regresije b se ocenjuje testom znaajnosti62, jer totalna varijacija promenljive Y, odnosno suma kvadrata odstupanja od aritmetike sredine, rastavlja se na dve aditivne komponente. Jedna komponenta proizilazi iz regresije a druga iz varijacija oko regresije. 62
Testiranje se vrši zbog toga što rezidualna varijansa ( varijansa raznih uzroka) može, pored ispitivane veze promenljivih, biti vrlo velika.
213
Model analize je sledei: Izvor variranja
Stepeni slobode
sume kvadrata
sredina kvadrata
F odnos
1
¦(Yo -CY)2 = Qr
Qr = Sr2
Sr2/S2 Y,X
oko regresije
n-2
¦(Yi – Yo)2 = QY,X
(1/n - 2)QY,X = S2Y,X
Ukupno
n-1
¦(Yi -CY)2 = Q
Regresija
Na osnovu standardne greške regresije i standardne devijacije, možemo izraunati koecijent determinacije, odnosno koecijent korelacije: r2 = 1 - (SY2/Vx2) r2 = 1 - Vy2 - CXY2/Vx2 r2 = 1 - 1 + CXY2/(Vx2Vy2) r2 = CXY2/Vx2Vy2 r = CXY/Vx Vy Na osnovu standardne greške regresije i standardne devijacije, možemo izraunati koecijent determinacije, odnosno koecijent korelacije: r2= 1- (SY2/Vx2) r2= 1- Vy2 - CXY2/Vx2 r2 = 1 - 1 + CXY2/(Vx2Vy2) r2= CXY2/ Vx2Vy2 r= CXY/Vx Vy Potrebno je meutim istai da se kod analize korelacije vremenskih serija esto zanemaruje uticaj trenda i kada se trend ne eliminiše takva korelacija može biti sasvim drugaija.63 Potrebno je dakle izvršiti i kvalitativnu analizu. Na primer, metodom izraunavanja procenta vrednosti individualnih podataka u odnosu na njihov trend. Ukoliko neregularna kolebanja nisu znaajna, onda izraunata kolebanja oko trenda odražavaju ciklian uticaj koji je rekurentan i tada, posle iskljuenja uticaja trenda korelacija odražava stvarnu meusobnu povezanost dve vremenske serije. U aktuarstvu se primenjuje metod izraunavanja serijskog koecijenta korelacije, koji može biti prvog, drugog ili višeg reda. 63
M. Kendal & A.Stuart: The Advanced Theory of Statistics, str. 539.
214
Na primer, radi ocene nezavisnosti sukcesivnih osiguranih sluaja odreenog intenziteta (broj totalnih šteta), primenjujemo metod izraunavanja serijskog koecijenta korelacije prvog reda, prema sledeem:
Ovaj metod, kada se izraunati parametar ne uzima kao uzorak, esto se naziva metodom autokorelacije. S obzirom na injenicu da rizinost u nekoj klasi rizika ima po pravilu više kvantitativnih karakteristika (obeležja) koje je potrebno analizirati, uobiajeno je da se ta obeležja izražavaju kao vektorske veliine X sluajne pojave P. Kada se neko od izabranih obeležja posmatra u intervalu t=t2-t1 , tada e vektor x(t) biti skup podataka dobijenih u vremenskom intervalu t. Za statistike analize šteta, poseban znaaj ima regresiona linija u obliku Yc = a bx za
0 b&1
Ova regresija u obliku eksponencijalne krive, veoma dobro prilagoava originalne vrednosti ako vrenosti obeležja X imaju približno aritmetiku progresiju a obeležja Y približno geometrijsku progresiju. Parametre a i b ove regresione linije odreujemo, metodom najmanjih kvadrata iz sledeih normalnih jednaina
U nekim sluajevima, manju standardnu grešku u aproksimacijama, u odnosu na prethodnu liniju regresije daje regresija u obliku Yc= a + b ex Parametre a i b odreujemo iz sistema jednaina
215
5. SLUAJNOSTI
Osnovni pojam u teoriji verovatnoe, matematike statistike i aktuarstva je sluaj koji opisuje sluajna promenljiva. Realizacija svakog sluajnog dogaaja, može da se okarakterše brojem, odnosno ishodom ili takom u prostoru sluajnih dogaaja. Prostor sluajnih dogaaja su sluajnosti. Dakle, sluajna promenljiva X koja na sluajan nain uzima brojne vrednosti sa odreenim verovatnoama, naziva se sluajna promenljiva. Sluajna promenljiva se esto deniše kao funkcija koja svakom elementarnom dogaaju pridružuje neki broj, ali pri tome treba voditi rauna da takva funkcija nikada nije jednoznana, tj. ne daje isti rezultat zavisno promenljive, kao što je sluaj sa funkcijama koje zavise od vrednosti argumenta. Sluajna promenljiva X može da uzima vrednosti x1, x2, x3,... ,xn sa verovatnoama P1,p2,p3,...pn. Pri tome je p1+p2+p3+...+pn= 1. Skup parova Xi pi=p (X=xi) , i =1,2,3,...,n. Šematski se prikazuje u obliku
koja pretstavlja raspodelu sluajne promenljive X. Sluajna promenljiva X je potpuno denisana kada je data njena raspodela verovatnoa. Zakon raspodele verovatnoa sluajno promenljive X je pravilo po kome svakoj vrednosti sluajne promenljive pridružujemo odgovarajuu verovatnou. Zakonom verovatnoe jedinina masa vereovatnoe raspodeljena je na pojedinane vrednosti sluajno promenljive. Funkcija raspodele verovatnoa ili kumulativni zakon raspodele oznaava se sa F(X), odnosno F(X) = P( X
216
Sluajne promenljive mogu uzimati diskretne vrednosti i neprekidne vrednosti iz datog intervala, tako da razlikujemo diskretne i kontinualne raspodele. U aktuarstvu sreemo i mešovite raspodele, npr. kod naknada u osiguranju nezgode (za sluaj invaliditeta i troškova leenja prema oceni lekara cenzora, a za sluaj smrti ksne sume).64 U mešovitim raspodelama sluajna promenljiva uzima kontinualne vrednosti u jednom domenu, a u drugom domenu diskretne vrednosti.
Kada sluajna promenljiva X uzima diskretne vrednosti: x1,x2,x3,...,xn tada funkcija raspodele F(X) potpuno karakteriše sluajnu promenljivu jer je
ili u razvijenom obluku
Sluajna promenljiva X je diskretna ako je za svaki realan broj Xi odreena neopadajua funkcija raspodele F(X)= P(X< x), koja ispunjava uslove F(-f)=0 i F(+f)=1 i koja u takama Xi ima skokove jednake verovatnoi Pi F(Xi+0)- F(Xi) = Pi i=1,2,3,...n. gde je Pi= P(X=xi) Sluajna promenljiva X je neprekidna ako je za svaki realan broj Xi odreena neopadajua neprekidna funkcija raspodele F(X)= P(X< x), koja ispunjava uslove 64
C.D.Daykin at all.Practical Risk Theory for Actuaries pg.20.
217
F(-f)=0 i F(+f)=1 Neprekidna sluajna promenljiva ima i funkciju gustine raspodele verovatnoa f(X)=F’(X) tako da je
Osnovne osobine funkcije gustine raspodele verovatnoa su: 1) kao izvod neopadajue funkcije raspodele, funkcija gustine raspodele verovatnoa nije negativna tj. f(x) 0 2) Integral funkcije gustine raspodele verovatnoa u beskonanim granicama je jednak jedinici Raspodele sluajno promenljive imaju obine i centralne momente, sa kojim se opisuju. Obini momenti se izraunavaju po shemi
Centralni momenti se izraunavaju po shemi
Obini i centralni momenti su povezani relacijama
218
P1 = 0 P2= V2 = m2 – m12 P3= m3- 3m2m1+2m1 P4= m4-4m3m1+6m2m12- 3m14 Trei i etvrti centralni momenti opisuju oblik graka funkcije raspodele E1= P3 / V3 - Pirsonov koecijent asimetrije ( E1!0 pokazuje da je asimetrija u levo, duži krak sa desne strane modusa) E2= P4 / V4 - Pirsonov koecijent spljoštenosti (E2 0 pokazuje veu spljoštenost ; E2= 3 kod normalne raspodele ) Primer izraunavanja momenata kod diskretne raspodele
m1= E(X)= (1)(0,6)+(2)(0,4)= 1,4 P1= 0 m2= E(X2) = 12(0,6)+22(0,4)= 2,2 P2= V2 = m2 – (E(X))2 = 2,2-1,42= 0,24 m3= E(X3) = 13(0,6)+23(0,4)= 3,8 P3= 3,8- (3)(2,2)(1,4) + 2(1,4)= - 8,24 E1= P3 / V3 = - 8,24/ 0,1176 = -70,08 m4 = E(X4)= 14(0,6)+24(0,4)=7,00 P4= 7,00 - (4)(3,8)(1,4)+(6)(2,2)(1,42) – (3)(1,44)= 0,0672 E2= P4 / V4 = 0,0672 / 0,0576 = 1,17
219
5.1. PROCENA BROJA ŠTETA U PORTFELJU U aktuarstvu je esencijalno ponavljanje sluajnih dogaaja. Posmatrajmo ponavljanje bacanja novia kao model dihotomije sa dva mogua ishoda: da padne kruna ili da padne pismo. Sa poveanjem broja ponavljanja broj ishoda pojave krune teži izjednaenju sa brojem ishoda pojave pisma. Prema zakonu velikih brojeva verovatnoa pojave krune P teži 1/2 sa poveanjem broja ponavljanja. Poveanje izvesnosti denišemo verovatnoom P= pn , gde je p verovatnoa da padne kruna a n broj ishoda u ponavljanju bacanja. Suprotan sluajni dogaaj je da padne pismo tj. da ne padne kruna, sa suprotnom verovatnoom 1-qn . Potrebno je obratiti pažnju da se verovatnoa na stepen n ( pn ) odnosi na dogaaj bilo kog broja pojave krune u n bacanja (barem jedanput, ali i više puta). Primer: Sa verovatnoom P=0,5 potrebno je odrediti broj ponovljenih bacanja novia da grb padne barem jedanput. Pojava grba ima verovatnou p=0,5 a pojava pisma ima verovatnou q=0,5. Kako je P = 1 – qn = 1 – (1 – p)n (1 – p)n = 1 – P n log (1-p) = log (1 - P) dobijamo da je
Dakle ako je zadato P=0,95 a p=0,5 n= log 0,05/ log 0,5 = 4,32 Budui da se novi ne može baciti 4,32 puta to je bacanje 4 puta nedovoljno a 5 puta dovoljno, da sa verovatnoom od 0,95 oekujemo da grb padne barem jedanput. 220
Kao što emo iz narednih izlaganja videti, ovakav pristup je korektan samo ako sluajna promenljiva ima binomnu raspodelu. Na navedeni nain je B.Paskal došao do rešenja i dao ga izvesnom Chevalieu de Mereu 1.654 godine, pa zbog toga se ta godina uzima kao godina raanja teorije verovatnoe.65 Od tada su matematiari poeli da se bave sluajnim dogaajima i pojam verovatnoe je poeo da se razvija u odnosu na prvobitni koji je identikovan sa relativnom frekvencijom u strukturi statistikog skupa. Kod sluajnog dogaaja koji se ponavlja n puta možemo tražiti verovatnou da navedeni sluajni dogaaj, koji ima verovatnou p, nastupi tano r puta, odnosno da ne nastupi n-r puta. Ta verovatnoa se odreuje po formuli
Kvantikacijom Bernulijevog zakona velikih brojeva, po šemi (p+q)=1, sa korišenjem integralne teoreme Muavr-Laplasa P(-D_(X/N) - p _ D ) = P(-D (X/N) - p D ) = = P^-D(N/pq) >(X-Np)/(Npq)@ D (N/pq)`= 2)>N(N/pq)@ možemo izraunati potreban broj jedinica rizika (N zakljuenih osiguranja na nivou izravnavanja rizika) , da bi sa verovatnoom preko P ocenili najvei broj šteta koji treba oekivati, ako nam je poznata verovatnoa pojave šteta p (dobijena iz višegodišnje statistike šteta), uz prihvatanja izvesne tolerancije H. Na primer, ako je verovatnoa pojave šteta p=0,01 a prihvatamo toleranciju H=0,001 (uveanje 10%) , postupiemo prema sledeem: Iz statistikih tablica za Laplasovu funkciju možemo oitati da je za vrednost )(c) = 0,475 c=1,96 ()(c) je za polovinu intervala 0,95/2 =0,475) 65
Nešto kasnije 1666 katastrofalni požar u Londonu i epidemija kuge uticali su na znaajno omasovljenje osiguranja koje je, kao što vidimo moglo da se razvija na osnovama teorije verovatnoe.
221
Zatim postavljamo nejednainu 0,001 N/pq t 1,96 koju rešavamo po N. N = (1,96/ 0,001)2 pq kako je p=0,01 i q=1-0,01=0,99 jer je p+q=1 , dobijamo da je pq=0,0099 N= 38.032 Dakle, kod 38.032 zakljuena osiguranja, možemo sa verovatnoom preko 0,95 oekivati da broj osiguranih sluajeva nee biti vei od 38.032 x 0,011= 419. Ovaj rezultat možemo uporediti sa sledeim: X = 38.032 x 0,01 = 382 standardna devijacija je V= Npq = 19,40 X+2V = 382 + 38,80 = 420,80 Ako bi prosena šteta iznosila npr. 100.000 dinara, to bi za isplatu 419 šteta bilo potrebno 41.900.000 dinara. U tom sluaju riziko premija po jednom osiguranju iznosi 41.900.000/38032 = 1.101,70 dinara. Sada možemo postaviti i deniciju nivoa izravnavanja rizika u portfelju osiguranja: Nivo izravnavanja rizika je broj zakljuenih osiguranja u jednoj klasi rizika, odreen tako da uestalost osiguranih sluajeva (k/N) , odstupa od svog matematikog oekivanja najviše za e , ( 0 < e < pq ; q=1-p ; p= k/N) Nivo izravnavanja rizika, kada su osigurane sume u binomnoj, odnosno normalnoj raspodeli, odreujemo na osnovu injenice da se u 95% sluajeva, odnosno u 99% sluajeva, broj osiguranih sluajeva nalazi u intervalu r 2 V , odnosno r 3 V od matematikog oekivanja broja osiguranih sluajeva. Ako relaciju r= np ± napišemo u obliku r = np + h , veliina h nam pokazuje za koliko r odstupa od np. Ako r=np + h podelimo sa n dobijamo r/n = p + h/n gde je r/n relativna frekvencija dogaaja i ako nof možemo denisati verovatnou aposteriori 222
p = lim (r/n), ( nof ) Sada možemo postaviti pitanje kolika je verovatnoa za odstupanje h. Polazimo od pretpostavke da je h=0 tj. da je r=np. Ako u formuli
umesto r stavimo np, dobijamo
jer je n-np = n(1-p)= nq Ako za veliko n! koristimo Stirlingovu formulu, dobijamo
Ako ovu relaciju uredimo tako što izvršimo sva skraivanja, imajui u vidu da je np+nq=1 , dobijamo P= 1/ 2Snpq Dobijeni rezultat je verovatnoa da e sluajni dogaaj koji ima verovatnou p, nastupiti np puta, odnosno da nee nastupiti nq puta. Na osnovu ove formule možemo zakljuiti da, ako je n veliko, P e biti vrlo malo, ali ma koliko ta verovatnoa bila mala, ona e za ostale vrednosti r biti još manja. Umesto relacije
223
za izraunavanje verovatnoe Ph , za h=1,2,3... možemo koristiti približnu formulu66 gde je v = h2 Ukoliko nam kod odreivanja nivoa izravnavanja rizika uopšte nije poznata verovatnoa nastupanja osiguranih sluajeva (npr. kod uvoenja u osiguranje nove vrste rizika), uzimamo da je pq=1/4. Ovo iz razloga što je to maksimum, za funkciju p(1-p) denisanu na intervalu 0 p 1 , za p=1/2. Ako raspodela nije poznata nivo izravnavanja se može odrediti preko teoreme ebiševa, odnosno Bernštajnove nejednakosti67. Sada emo razmotriti mogunosti odreivanja nivoa rizika za klasu rizika kod koje imamo samo matematiko oekivanje, a nije nam još uvek poznata raspodela verovatnoa sluajno promenljive. Na primer nivo izravnanja rizika možemo izraunati, za odreenu verovatnou pouzdanosti P, (s=1-P) i odstupanje H, za portfelj koji ima riziko premijsku stopu p prema sledeoj formuli:
U praksi je dokazano da broj pojedinanih šteta u periodu t najbolje aproksimira Poissonov ili negativni binomni raspored. Kod Poissonovog rasporeda, verovatnoa da e broj šteta u periodu biti N=n Pr(N=n)= On e-O / n! n=0,1,2,… gde je O!0 Matematiko oekivanje E(N)=Var(N)= O Napomena: U skupu više klasa rizika možemo imati O kao sluajnu varijablu, koja ima svoju funkciju gustine p.d.f u(O) , O! 0. Tada imamo 66 67
V.Vrani: Vjerojatnost i statistika, str.117, Tehnika knjiga Zagreb 1958 g Željko Pauše: Vjerojatnost, Informacije , Stohastiki procesi ; str.145, Školska knjiga Zagreb 1985.
224
Kod uslovnih matematikih oekivanja, u opštem sluaju imamo E(W)=E>E>W_V@@ i Var(W)= Var>E>W_V@@+E>Var>W_V@@ Tako da imamo E>N@=E>E>N_ @@@= E>@@ Var>N@=E>Var>N_ @@@ + Var>E>N_ @@@ = E>@@+Var>@@ Kada varijansa broja šteta nije jednaka matematikom oekivanju za aproksimaciju broja šteta se uzima negativna binomna raspodela. Kod negativne binomne raspodele, verovatnoa da e broj šteta u periodu biti N=n
Ova raspodela ima dva parametra r !0, 0 p 1 , q =1-p. Momenti su Matematiko oekivanje E(N)= rq/p Var(N)= rq/p2
5.2. MODEL INDIVIDUALNOG RIZIKA Kvantitativnu vezu izmeu osiguranog rizika, riziko premije i naknade štete objasniemo osnovnim konceptom funkcionisanja osiguranja. Iznos štete, u stohastikom procesu nastajanja razmatra se kao složena uslovna sluajna promenljiva, denisana sa X= IB gde je I sluajno promenljiva, tzv. Bernulijev indikator. 225
Ako nastupi osigurani sluaj I=1 a ako osigurani sluaj ne nastupi I=0. Polazei od opšte postavke uslovnih oekivanja sluajno promenljive68 E(W)= E(E(W~V)) i Var(W)= Var(E(W~V)+E(Var(W~V)) (*) Stavljajui W=X i V=I dobijamo E(X)=E(E(X~I)) i Var(X)= Var(E(X~I))+E(Var(X~I)) Koristei uobiajene simbole za matematiko oekivanje i varijansu, možemo napisati P=E(B~I=1) V2= Var(B~I=1) Imajui u vidu da je E(X~I=0)= 0 u simbolima verovatnoe Pr(I=0)=1-q i Pr(I=1)=q pošto je E(Var(X~I))=V2E(I)= V2q i E(X~I=1)= E(B~I=1)= P kao i da je Var(E(X~I))= P2Var(I)= P2q(1-q) uvoenjem ovih smena u (*) dobijamo E(X)= P q i Var (X)= P2q(1-q) + V2q ili E(X)= qE(B) E(B2)= Var(B) + (E(B))2 i Var(X)= qE(B2)- (qE(B))2 68
Bowers at all. Actuarial Mathemathics SOA 1997, pg.31.
226
Napred navedeno ilustrujemo primerima Primer 1. U osiguranju rizika krae vozila, premijska stopa q=0,01 pokriva štete u uniformnoj raspodeli izmeu 10.000 i 50.000. Potrebno je da ocenimo matematiko oekivanje i varijansu. Kako je kod uniformne raspodele E(B)= (a+b)/2 = (10.000 + 50.000)/2= 30.000 sledi E(X) = qE(B)= 0,01(30.000)= 300 2 E(B ) = Var(B) + (E(B))2 Var(B) = (b-a)2/12 = (400.000.000/3) =(400.000.000/3) + (30.000)2 = 1.033.333.333 Var(X) = qE(B2)- (qE(B))2 = 10.243.333,33 Na ovaj nain izraunavamo riziko premiju, koju osigurava treba da naplati po jednoj polisi. Najvei broj polisa, (u ovom sluaju 99% ) nee imati štete, a preostalih 1% polisa e biti sa štetama u rasponu od 10.000 do 50.000. Koren iz varijanse podeljen sa riziko premijom predstavlja meru rizinosti klase osiguranja, a to je iz statistike poznata veliina - koecijent varijacije. Klasa rizika sa veom riziko premijom po jedinici sume osiguranja (veom riziko premijskom stopom) ima veu rizinost. Ako su u dve klase rizika riziko premijske stope jednake, veu rizinost ima klasa rizika sa veim koecijentom varijacije. esto su portfelji složeni, u smislu da se u njemu diferenciraju stepeni rizika. Tada se oekivana vrednost i varijansa izraunavaju, kao što pokazuje sledei primer. Stepen opasnosti 1. Poveana opasnost
Sredina
Varijansa
Zastupljenost
10
16
10%
2. Srednja opasnost
4
4
30%
3. Umanjena opasnost
1
1
60%
227
Matematiko oekivanje = suma (zastupljenost x sredina) E(X) = (0,1)(10)+(0,3)(4)+(0,6)(1)= 2,8 Meutim kod varijanse ne možemo ponderisati parcijalne varijanse, ve postupamo prema sledeem 1. Za segment poveane opasnosti Var X1)=E(X12)-(E(X1))2 16= E(X12)-(10)2 o E(X12)=116 2. Za segment srednje opasnosti Var X2)=E(X22)-(E(X2))2 4= E(X12)-(4)2 o E(X22)=20 3. Za segment umanjene opasnosti Var X3)=E(X32)-(E(X3))2 1= E(X32)-(10)2 o E(X32)=2 E(X2 i)= (0,1)(116)+(0,3)(20)+(0,6)(2) = 18,8 Var (X)= 18,8 – 2,82= 10,96 Pretpostavimo da je osigurava osigurao od požara 50.000 vozila i 15.000 vozila od rizika krae. k
qk
bk
sredina bkqk
varijansa b k qk (1- qk)
nk
1
0,0004
60.000
24
1.439.424
50.000
2
0,02
40.000
800
31.360.000
15.000
Matematiko oekivanje štete
228
2
Pod pretpostavkom da iznosi šteta imaju normalnu raspodelu, a matematiko oekivanje sume šteta sa 95%, pored premije u visini oekivane sume šteta mora se obezbediti i doplatak za sigurnost. Polazei od verovatnoe
gde je Std standardna devijacija. Za sigurnost oekivanja u portfelju, sa verovatnoom 0,95 osigurava mora izraunati i relativni doplatak za sigurnost (relatuive security loading) T. Prema tom kriterijumu, za T je Pr(Sd (1- T)E(S) = 0,95 gde je S=X1+X2+...+X65000 Ovu verovatnou postavljamo izrazom
Std= standardna devijacija Sa pretpostavkom da >(S-E(S)@ / Std , ima standardizovanu normalnu distribuciju, imamo vrednost iz tablica
U ovom primeru doplatak za sigurnost je T= 1,645 (736.458,55) / 13.200.000 = 0,0918 U teoriji savremenog aktuarstva susreemo pojam konvolucije kao metoda odreivanja raspodele verovatnoa P(x+y + ... d s), koja je važna za izraunavanje premijskih stopa (premija) za više nezavisnih rizika, odnosno u sumiranju nezavisnih rizika sa složenim zakonima raspodele69. Pojam konvolucije je poznat iz teorijske statistike. Meutim, tehnike obrauna budui da se ne prikazuju kod interpretacije rezultata, nisu opšte poznate. 69
Savremena teorija rizika, agregira štete njihovim sumiranjem tako da metod konvolucije ima veliki znaaj;
229
Za par funkcija70 raspodele Fx(x) i Fy(y) operaciju Fx(x) * Fy(y) nazivamo konvolucijom. Na primer, kod sume S= x1+x2+...+xn Potrebno je da naemo funkciju raspodele sume F(k) Ako su x i y meusobno nezavisne sluajno promenljive, uslov da verovatnoa njihovog zbira bude P(x+yd s), odnosno verovatnou P(Sd s) treba da predstavimo sa raspodelom sluajno promenljive S. U primeni metoda konvolucije, u opštem sluaju polazimo od denicije raspodele71 Fs(s) = P(Sd s) = P(x+y d s) Prema zakonu totalne verovatnoe (za dve sluajne promenljive koje su nenegativne i meusobno nezavisne)72 sledi: a) sluaj diskretne raspodele
sa odgovarajuom funkcijom
b) sluaj neprekidne raspodele
sa odgovarajuom funkcijom
70 71 72
Ako uzimamo više od dve raspodele, konvolucija se vrši iterativno; Ovde za dve sluajne promenljive; Ako jedna ili više sluajno promenljivih ima tip mix- raspodele, formule su kompleksnije;
230
Primer izraunavanja, radi ilustracije tehnike obrauna, za dve sluajne promenljive: x1 i x2. Ako dve meusobno nezavisne sluajne promenljive imaju zakone verovatnoe kako sledi:
potrebno je odrediti zakon verovatnoe i funkciju raspodele zbira s = x1+ x2 Zakone verovatnoa, za ove dve sluajne promenljive, možemo šematski prikazati prema sledeem
Za f1(x) i f2(x) iz elemenata dvodimenzionalnog rasporeda verovatnoa, sledi:
za date vrednosti primera dobijamo funkciju gustina verovatnoa
231
odnosno, lako dobijamo funkciju raspodele zbira x1+ x2
Na primeru koji sledi pokazaemo nekoliko naina dobijanja matematikog oekivanja i varijanse za portfelj, odnosno dva naina za dobijanje složene raspodele gustina verovatnoa. Portfelj koji analiziramo sa numerikim primerom veoma uprošen jer ga ini samo individualnih rizika smrti u jednoj godini osiguranja .
Prema individualnom riziku imamo: Osoba A Pr( X1=0)= 0,99 + Pr(X1=10.000)= 0,01 oekivana šteta = (q)(s)= 100 varijansa = (s)2(q)(1-q)= 10.0002(0,01)(0,99)= 990.000 Osoba B Pr( X2=0)= 0,99 + Pr(X2=20.000)= 0,01 oekivana šteta = (q)(s)= 200 varijansa = (s)2(q)(1-q)= 20.0002(0,01)(0,99)= 3.960.000 Osoba C Pr( X3=0)= 0,98 + Pr(X3=30.000)= 0,02 oekivana šteta = (q)(s)= 600 varijansa = (s)2(q)(1-q)= 10.0002(0,02)(0,98)= 17.640.000 Osoba D Pr( X4=0)= 0,98 + Pr(X4=30.000)= 0,02 oekivana šteta = (q)(s)= 600 varijansa = (s)2(q)(1-q)= 10.0002(0,02)(0,98)= 17.640.000 Osoba E Pr( X5=0)= 0,98 + Pr(X5=10.000)= 0,02 oekivana šteta = (q)(s)= 200 varijansa = (s)2(q)(1-q)= 10.0002(0,02)(0,98)= 1.960.000 Osoba F Pr( X6=0)= 0,97 + Pr(X6=20.000)= 0,03 oekivana šteta = (q)(s)= 600 varijansa = (s)2(q)(1-q)= 20.0002(0,03)(0,97)= 11.640.000
232
Pošto su rizici nezavisni to za grupu imamo riziko premiju koja ini zbir pojedinanih oekivanih šteta ( 100+200+600+600+200+600)= 2.300 Varijansa za grupu je takoe zbir pojedinanih varijansi (990.000+3.960.000+17.640.000+17.640.000+1.960.000+11.640.000)= 53.830.000 Sstandardna devijacija 7.337 1. Metoda konvolucije
233
Iz raspodele koju smo dobili u poslednjem izraunavanju konvolucije, izraunavamo: Matematiko oekivanje
i varijansu
odnosno standardnu devijaciju V= 7.337 Riziko stope sabiramo u jedinstvenu stopu O= 0,01+0,01+0,02+0,02+0,02+0,03 =0,11 Potom nalazimo verovatnoe Pr(X = 10.000)= (0,01+0,02)/ 0,11 = 3/11 Pr(X = 20.000)= (0,01+0,03)/ 0,11 = 4/11 Pr(X = 30.000)= (0,02+0,02)/ 0,11 = 4/11 E(S) = 0,11>(3)(10.000)+(4)(20.000)+(4)(30.000)@/11=2.300 Var(S) = OE(X2)= 0,11>(3)(10.0002)+(4)(20.0002)+(4)(30.0002)@/11 = 55.000.000 V= 7.416,20 2. Metod rekurzije Premda je u eri kompjuterskog raunanja brzina raunanja krajnje relativiziran pojam, ipak treba rei da primenom ovog metoda dolazimo znatno brže do složene funkcije raspodele gustina verovatnoa, nego po metodu konvolucije. Složena raspodela koju dobijamo konvolucijom može se prikazati u obliku x 0
234
Složena Poissonova raspodela se može napisati u obliku
Sada u našem numerikom primeru neposredno dobijamo Fs(0)= e-0,11 = 0,89583414 Zatim po algoritmu
slede fs (1)= (0,11/1)(3/11)(1)(0,8958) =(0,01)>(3)(0,8958)@= 0,026875 fs (2)=(0,01/2)>(3)(0,026875)+8(0,8958)@ = 0,0362365 fs (3)=(0,01/3)>(3)(0,0362365)+8(0,0269)+12(0,8958)@= 0,0369124 fs (4)=(0,01/4)>(3)(0,369124)+8(0,0362)+12(0,0269)@= 0,001807 fs (5)=(0,01/5)>(3)(0,0018)+8(0.0369)+12(0,0362)@= 0,001471 fs (6)=(0,01/6)>(3)(0,0015)+8(0,0018)+12(0,0369)@= 0,00076971
235
6. FUNKCIJA RASPODELE I ZAKON VEROVATNOE RIZIKA
U formalnom smislu, ako izmeu vrednosti sluajne promenljive Xi i verovatnoe Pi postoji funkcionalna veza Pi=f(Xi) tada tu vezu opisanu egzaktnim matematikim jezikom, nazivamo modelom rasporeda. Modeli rasporeda sluajne promenljive objašnjavaju ponašanje sluajnog procesa, odnosno sluajne pojave i doprinose njihovom razumevanju i predvianju.Naravno, te modele rasporeda treba razlikovati od deterministikih modela u kojima su uzroci i posledice povezani bez posredstva verovatnoe. Model simulacije nekog sluajnog dogaaja ili procesa, može generalizacijom biti tako pripremljen da se pomou njega rešavaju veoma složeni sluajni procesi. Elementi rizinosti imaju sluajne promene u vremenu, sa odgovarajuom raspodelom verovatnoa, sa matematikim oekivanjem E(x) i disperzijom D(x). U literaturi sa matematikom statistikom nalazimo opšte opise velikog broja modela teorijskih rasporeda, kao i više manje sline interpretacije njihovih karakteristika. Savremeni aktuarski aspekti zahtevaju znatno više matematike obrade sa konstrukcijom specijalnih raspodela koje se dobijaju diskretizacijom, neprekidnih raspodela73. Meutim, klasine aspekte ne možemo da preskoimo. 73
Stuart A. Klugman at all: Loss Models From Data to Desision 2 end ed. Wiley Intercience New Jersy 2004.
236
6.1. BINOMNA RASPODELA U klasinoj statistici, kod korišenja binomne raspodele je potrebno znati kako se izraunavaju mere srednje vrednosti ( aritmetika sredina, modus i medijana), kao i mere disperzije (varijansa, odnosno standardna devijacija i koefcijent varijacije). U matematikoj statistici je važno oceniti koliko pouzdano model opisuje neki konkretan sluajni dogaaj, kao i izraunavanje obinih i centralnih momenata. Na primer, u nekoj vrsti osiguranja (po pravilu kada je p|0,5) bolje odgovara binomna raspodela, dok za male vrednosti p, bolje odgovara Poissonova raspodela). Kriterijum kod izbora raspodele je veliina standardne greške empirijskih i ocenjenih vrednosti po modelu. Što je manja standardna greška to je model pouzdaniji. Dalje, u matematikoj statistici je važan razvoj binoma, (naziv “binomna raspodela" izveden je iz injenice da su verovatnoe Pn;x;p lanovi binomnog razvoja
kako je
Funkciju raspodele sluajne promenljive sa binomnom raspodelom, u opštem sluaju pišemo
Korisno je, zbog boljeg razumevanja drugih složenijih raspodela, da razmotrimo verovatnou Pn;x;p kao funkciju celobrojnog argumenta x. Pokazaemo uslove kada funkcija Pn;x;p najpre raste sa porastom argumenta x, a kada posle dostizanja maksimuma opada.
237
Uoimo odnos
verovatnoa Pn,x+1,p je vea od verovatnoe Pn,x,p, ako je
tj. sve dok je x
odnosno za x=np-q (np-q mora biti ceo nenegativan broj) sledi da je Pn;x;p= Pn;x+1;p dalje Pn;x+1;p< Pn;x;p ako je
Aritmetika sredina je
, a varijansa je 2 = npq
Trei i etvrti obini momenti su respektivno74 m3=n(n-1)(n-2)p+3n(n-1)p2+p m4= n(n-1)(n-2)(n-3)p4+6n(n-1)(n-2)p3+7n(n-1)p2+np a trei i etvrti centralni momenti su respektivno 74
B.Ivanovi: Teorijska statistika Nauna knjiga 1973 str.80
238
^3=npq(q-p) ^4=3n2p2q2+npq(1-6pq)
Primeri praktinog korišenja binomne raspodele: 1) Posle isteka godine osiguranja u jednoj vrsti osiguranja se ostvaruje 1% osiguranih sluajeva.Koliko osiguranih jedinica treba da bude u uzorku iz portfelja da verovatnoa najmanje za pojavu jedne štete u uzorku ne bude manja od 0,95. Pn;xt1;p = 1 - Pn;0;p=1- qn Pošto se zahteva Pn;xt1;p t 0,95 1-qnt 0,95 o qnd 0,05 veliina uzorka treba da bude
2) Kod osiguranja autoodgovornosti je u nekoj zoni rizika verovatnoa osiguranog sluaja 0,03. Ako u toj zoni rizika imamo 5 automobila, kolika je verovatnoa da se osigurani sluaj ostvari na tri od tih pet vozila.
Prvo izraunavamo P5;0;0,03; P5;0;0,03= (1-0,03)5=0,975= 0,8587 Za x=0
239
Za x=1
Za x=2
6.2. POISONOVA RASPODELA Ako diskretna sluajna promenljiva X na sluajan nain uzima vrednosti 0 ili neku drugu vrednost iz skupa prirodnih brojeva, X: 0, 1, 2... ... a izmeu tih vrednosti i vrednosti odgovarajuih verovatnoa postoji veza
tada ta sluajna promenljiva ima Poissonovu raspodelu, koja je denisana sa samo jednim parametrom m, koji predstavlja njenu aritmetiku sredinu, odnosno varijansu, (jer su aritmetika sredina i varijansa meusobno jednake).
a takoe je 2=m. Verovatnoa ponavljanja sluajnih dogaaja r puta, u Poissonovoj raspodeli, se najbrže izraunava pomou rekurentnog obrasca 75 Pr+1= (m /( r+1)) Pr r=0,1,2... 75
B.Ivanovi: Teorijska statistika , Nauna knjiga Beograd 1973 g. Str.86
240
Trei i etvrti obini momenti, kod Poissonove raspodele su respektivno m3=m3+3m2+m m4=m4+6m3+7m2+m a trei i etvrti centralni momenti, respektivno ^3=m ^4=3m2+m Koecijent asimetrije 1= 1/m Koecijent spljoštenosti =3+1/m Poissonova raspodela se može izvesti iz binomne, ako za ksirano x stavimo nof ali tako da je np==const. tako da sledi:
Upotreba Poissonove raspodele, u sluajevima kada je aritmetika sredina približno jednaka sa varijansom, daje manju standardnu grešku, tj. ekasnije ocenjuje empirijske rezultate od binomne raspodele.
6.3. EKSPONENCIJALNA RASPODELA Sluajna promenljiva X ima eksponencijalnu raspodelu sa pozitivnim parametrom , ako je njena gustina raspodele verovatnoa f(x) jednaka
241
Kako je P(X>x>0)= 1-P(0
znai, uslovna verovatnoa P(Xx1) zavisi samo od razlike x2-x1, pa prema tome, ako znamo da je Xt x 0 , raspodela X- x 0 bie takoe eksponencijalna f(x= e-(x-x0) , za xt x0 >0 Matematiko oekivanje i disperzija su respektivno
6.4. GEOMETRIJSKA, PASKALOVA I NEGATIVNA BINOMNA RASPODELA U Bernulijevoj šemi binomne verovatnoe traži se verovatnoa da se u ksiranom broju ponavljanja n, dogaaj A pojavi X puta, dok se kod geometrijske raspodele verovatnoa P(x)= P(X=x)=qx-1p predstavlja verovatnou dogaaja da se u prvih x-1 ponavljanju sluajni dogaaj A ne ostvari, a d se realizuje u x-tom ponavljanju. 242
Verovatnoe ove raspodele u zbiru daju geometrijsku progresiju, pa je zbog toga ova raspodela i dobila naziv Geometrijska raspodela
Matematiko oekivanje
a disperzija D(x)= q/p2. Kod ove raspodele, kao i kod drugih raspodela koje tretira matematika statistika, momenti se izvode sa funkcijom
Primena geometrijske raspodele se zasniva na sledeem rezonovanju: Ako se u n ponavljanja sluajni dogaaj A nije ostvario, onda je verovatnoa da se ostvari sa n+k ponavljanja ista kao i verovatnoa ostvarivanja sluajnog dogaaja A u prvih k ponavljanja. Ovo zbog injenice što verovatnoa ostvarivanja sluajnog dogaaja u svakom ponavljanju ne zavisi od rezultata prethodnih ponavljanja. U Paskalovoj raspodeli je sluajan dogaaj broj ponavljanja, odnosno sluajni ldogaaj koji se s astoji u tome da k-to ostvarivanje dogaaja A nastupa u x-tom ponavljanju, što je ekvivalentno složenom dogaaju da se u x-1 ponavljanju dogaaj A pojavi k-1 puta i da se u x-tom ponavljanju sl.dogaaj A pojavi još jedanput. Kako su ti dogaaji nezavisni, to se množenjem verovatnoa
dobija zakon raspodele verovatnoa sluajne promenljive X:
243
kod Paskalove raspodele, aritmetika sredina je
Može se utvrditi da za k=1 dobijamo geometrijsku raspodelu. Ako uvedemo novu sluajnu promenljivu Y=X-k, koja oznaava dopunski broj ponavljanja preko k potrebnih da se sluajni dogaaj A ostvari k puta (Y je broj neuspeha do k-tog uspeha, kod poželjnog sluajnog dogaaja), sledi:
ili, zato što je
sledi
dalje, imamo
gde je
tako da dobijamo
244
i ova raspodela se naziva negativna binomna raspodela, jer se na desnoj strani formule nalazi opšti lan razvoja izraza pq(1-q)-k po stepenima q. U literaturi se može nai i drugaija interpretacija, kao na primer76 Pv= qvp, gde je 0
preko prvog izvoda
za t=0 dobijamo matematiko oekivanje odnosno za k=1 aritmetika sredina
= q/p, a preko drugog izvoda, za t=0
tako da je disperzija
odnosno za k=1, varijansa je 2= q / p2. 76
Branislav Ivanovi: Teorijska statistika; Nauna knjiga, Beograd 1973 str.96.
245
Sluajna promenljiva Y(ili X) može da oznaava vreme dok k-te pojave osiguranog sluaja u jedinici perioda osiguranja. Verovatnoe geometrijske raspodele opadaju, kad x raste, jer iz nejednakosti P(x+1) < p(x) sledi
6.5. RAVNOMERNA RASPODELA Neprekidna sluajna promenljiva X ima Ravnomernu raspodelu na intervalu (a,b) ako je denisana gustinom raspodele verovatnoa > <
Matematiko oekivanje i disperzija su respektivno
Koecijent asimetrije i koecijent spljoštenosti su respektivno KA= 0 i KE= -1,2
246
6.6. NORMALNA RASPODELA Normalnu raspodelu je prvi opisao normalnu raspodelu, u vezi sa ocenom sluajnih grešaka, pa se esto ona naziva i Gausovom raspodelom. Ako sluajna promenljiva X uzima neprekidno sve vrednosti od -f do + f i ako je njen zakon verovatnoe
takva raspodela se naziva Normalna raspodela N~(^, ). Funkcija f(x) je parna eksponencijalna i pozitivna za sve vrednosti x. Zato se grak njene krive nalazi iznad x-ose i simetrina je u odnosu na y-osu. X-osa je asimptota i sa leve i sa desne strane krive. Stepen
ne može biti vei od 1, a vrednost jedinice dostiže u taki x=0.
Stoga funkcija dostiže maksimum u taki x=0 za y= e-1/2 =0,242 vojne take za vrednosti x=± 1 i y=f(±x)= 1/
1/=0,3989 a pre-
Površina koju kriva zatvara sa x-osom tj.
Normalna raspodela N~(^, ) se može izraziti Laplasovom funkcijom
tako da imamo Verovatnou P(a < X< b) možemo izraziti pomou Laplasove funkcije, sa nizom mogunosti praktine primene u osiguranju. Na primer, u analizi strukture osiguranih suma. Ako osigurane sume u portfelju jedne vrste osiguranja sa 800 polisa imaju aritmetiku sredinu 66.000 N.J. i 247
standardnim odstupanjem =5.000 N.J. nai broj polisa sa osiguranim sumama: a) izmeu 65.000 I 75.000 b) broj polisa sa veim osiguranim sumama od 72.000. Ovde je X~N(66.000) i T~(0,1) i korišenjem tablica IV (za normalni zakon verovatnoe) sledi: a) P(65.00072.000)=P(T > 1,2)=0,5000-0,3849=0,1151 sledi n=800 x 0,1151= 92 polise. Napomena: Ako naprimer želimo da nam u portfelju jedne vrste osiguranja osigurane sume budu u normalnoj raspodeli, samopridržaj možemo odrediti tako da osigurane sume preko odreenog iznosa ne budu zastupljene. Dobiemo približno da tada najvea osigurana suma u samopridržaju ne treba da bude vea od dvostruke aritmetike sredine. Ovo je jedna od iskustvenih normi u osiguranju. Normalna raspodela može biti standardizovana tako da je aritmetika sredina = 0, a varijansa 2= 1. tj. X: N(0,1). Kod standardizovane normalne raspodele i svi ostali neparni momenti su jednaki nuli pa je centralni momenat ^3=0 i koecijent asimetrije 1=0. etvrti centralni momenat ^4=3, pa je koecijent spljoštenosti 2=3.
6.7. GAMMA RASPODELA a) Matematiki aspekti Ojlerovi integrali imaju znaajnu primenu u matematikoj statistici, odnosno u aktuarstvu, pa zato razmatramo matematike aspekte ovih integrala kako sledi. Ojlerov integral prvog reda (1) Za a,b>0 integral je konvergentan 248
Beta je funkcija dva parametra a i b. Kada je gornja granica 1 kao što je napisano u (1), beta funkcija je potpuna. (Nepotpuna beta funkcija se obeležava sa gornjom granicom x). Promenama varijabli možemo dobiti razliite odnose, od kojih je interesantan sledei E(a,b)= E(b,a) 1) Smenom x= 1-t , dx= -dt, postižemo da je E(a,b)= E(b,a) funkcija je simetrina prema a i b.
dakle, Ex(a,b)= E(a,b)- E1-x(b,a) i Ex(b,a)= E(a,b)- E1-x(a,b) Prema tome, ako meusobno zamenimo oba argumenta kod nepotpune beta funkcije, vrednost se menja na E(a,b)- E1-x(a,b). Dokaz da meusobna zamena argumenata nema uticaja na potpunu E funkciju imamo kada za gornju granicu stavimo x=1, jer je E0(a,b) = E0(b,a)=0 2) Parcijalnom integracijom (1), pri b>1 je:
249
(2) Ova formula može se koristiti u cilju smanjivanja b, dok je b vee od 1; na taj nain uvek se može postii da drugi argument funkcije bude d 1. Isto se može postii i za prvi argument, jer zbog simetrinosti E(a,b)= E(b,a) Za a>1 važi (2) c Ako je b prirodan broj (n), onda uzastopnom primenom formule (2) dobijamo:
kako je
dobija se (3) Ako je i a prirodan broj (m), onda je
Ova formula važi i za m=1 ili n=1, ako 0!=1 Uzmimo da je x=z2/1+z2, 1- x = 1/(1+z2), dx=2z dz/(1+z2)2 Dobiemo
250
Ako m zamenimo sa ½ a n=1/2(n-1), ovaj odnos daje
3) esto je korisna druga analitika predstava za funkciju E. Ako se u (1) stavi x= y /1+y , gde je y >Rf@ xoR yoR i xo1, yof dobija se
(4)
4) Stavljajui u (4) b=1-a , smatrajui 0< a < 1
zamenom vrednosti za integral (*), dobija se (5) za a= 1-a =1/2 je E(1/2,1/2)=S
Ovo možemo dobiti i na sledei nain: Stavimo x = sin2M dx = 2sinMcosMdM, dobiemo
251
(6)
i u specijalnom sluaju
koristei ovo i kako je
i kako je *(1)=1, sledi
Ojlerov integral drugog reda77
(7)
*(a) je konvergentna za svako a>0, stavljajui x=ln 1/z dobija se
kako je
opravdano je
stavljajui z=yn
77
U originalu: Institutiones calculi integralis, Petrograd 1770 :
252
sada, koristei (3)
(8)
Iz (7) parcijalnom integracijom
odnosno, *(a+1)=a*(a)
(9)
i *(a+n)=(a+n-1)(a+n-2)...(a+1)a*(a)
(10)
Najvažnije svojstvo gama funkcije je obrazac rekurzije (9). Do njega možemo doi ako izvršimo integraljenje (7), prema sledeem: Uslov a>0
253
Obrazac (7) se može posmatrati kao diferencijalna jednaina sa gama funkcijom kao njenim rešenjem. Ako upotrebimo obrazac rekurzije više puta *(a+1)= a*(a)= a*(a-1+1)=a(a-1) *(a-1)=a(a-1)(a-2)...(a-k) *(a-k) Ako izradimo tabelarni pregled gama funkcije u jedininom intervalu argumenta, možemo nai funkciju i za argument izvan tog intervala. Na primer *(3.37)= *(2.37+1)= 2.37 *(2.37)=2.37 *(1.37+1)=3.2469 *(1.37)= = 3.2469 *(0.37+1)= 1.201353 *(1.201353). Iz ovoga proizilazi da se *(3.37) može izraunati prostim množenjem ako je poznato *(1.201353). Ako se u (10) stavi a=1, pošto je
(11)
to je *(a+1)=a!
(12)
Ova veza, sa proširenjem obrasca rekurzije (7), dovodi do sledeeg prostog i važnog odnosa gama funkcija i faktorijela. *(a+1)=a(a-1)(a-2)...5.4.3.2.1. *(1)= a! Napomene: Ako je n prirodan broj : a) *(n)=(n-1)! ; b)
;
254
c) d) za n>1 *(n)=(n-1) *(n-1) Za cele vrednosti (n) lako izraunavamo *(n), na primer *(3)=6. Za proizvoljno veliki argument izraunavanje *(n) svodi se na izraunavanje * za argument <1. Za vrednosti (a) koje nisu celi brojevi *(a+1) možemo smatrati kao sgeneralizovanos a! Praktino, npr. za ¾ uzimamo da je *(3/4 + 4/4), *( 7/4), Za negativne vredniosti (a) upotrebljavaju se Gausov ili Vajerštrasov integral. Gaus je beskonani proizvod S(n) denisao jednainom
ako je n realno i pozitivno Gausov beskonani proizvod S(n) ima istu vrednost kao *(n+1) Poissonov integral
Za n>0 , imamo
Za
>0 imamo
255
Za integral sa gornjom granicom +f kažemo da je potpuna gama funkcija *(n), dok se nepotpuna gama funkcija esto obeležava sa *x(n) ili (n,x)!. (Indeks x treba identikovati sa gornjom granicom integrala i zato se u integrandu esto umesto simbola x koristi simbol t ).
Na primer, umesto b) Gama i beta raspodele Za pozitivne vrednosti od n gama funkcija se može denisati kao integral koji se ita gama funkcija od n.
Integral konvergira za sve pozitivne vrednosti od n. Ako je gornja granica beskonana kao što je ovde napisno za gama funkciju se kaže da je potpuna. Nepotpuna gama funkcija je integral sa promenljivom gornjom granicom x.
Na taj nain gama funkcija je ne samo funkcija od n ve i od x. U aktuarstvu se esto koriste relacije:
i osobine gama funkcije
256
257
7. MODEL KOLEKTIVNOG RIZIKA
Posmatrajmo odnos ukupnog gubitka osiguranih suma i sume osiguranja po periodima osiguranja, neke klase rizika. To su sluajne realizacije u konstantnim vremenskim intervalima. Takvu vremensku seriju možemo smatrati uzorkom iz perioda T, a sluajna promenljiva ne mora ispoljavati razvojnu tendenciju Xt1< X t2 < … ali uzorak možemo urediti tako da bude X1< X2 < X3 < … < Xn U ovako ureenom uzorku imamo da je X1 = min (i) Xi Xn= max (i) Xi Sluajna promenljiva X može biti X1 X ; X1 > X; Xn X Xn> X i za svaku od ovih relacija može se postaviti odgovarajui zadatak po verovatnoi. Ako sluajna promenljiva X ima zakon verovatnoe f(x) i funkciju rasporeda F(x) tada: 1) Verovatnoa P(Xn X) , gde je Xn max i (Xi) znai da ako je Xn najvea od svih vrednosti iz uzorka i sve ostale vrednosti iz uzorka su manje od X, odnosno Xi X i= 1,2,…,n-1 tako da možemo napisati P(Xn n) =
P(Xi X)
Pošto P(Xi X) odgovara rasporedu sluajno promenljive tj P(Xi X)=F(x)
258
sledi da je P(Xi X)= [F(x)]n Ova relacija pretstavlja verovatnou da e najvea vrednost uzorka biti manja ili jednaka sluajnoj realizaciji X u vremenu T. Ova relacija je istovremeno i funkcija rasporeda sluajno promenljive Xn. Pretpostavimo sada da je X normalno rasporeena i standardizovana. Iz uzorka od n elemenata, osnovnog skupa N(0,1) potrebno je da dredimo verovatnou da e max (Xi) biti npr. manje od 2. (kod standardizovane sl.promenljive m±2 predstavlja interval koji obuhvata više od 95% jedinine mase). Dakle imamo P(Xn 2) = [# (2)]2 , gde je
sa tablinom vrednosti #(2)=0,9772 To znai da je P(Xn 2)= 0,9772n i za razliite veliine uzorka dobijamo odgovarajue verovatnoe n
(Xn 2)
5
0,8911
10
0,7941
100
0,09954
2) Odredimo sada verovatnou P(Xn>X) gde je Xn max (i) (Xi). Kako je P(Xn>1)= 1 – P (Xi X) odnosno P(Xn>1)= 1 – [F(x)]n
259
Za razliite veliine uzorka ova verovatnoa e biti utoliko vea ukoliko je uzorak vei n
P(Xn>2)
5
0,1089
10
0,2059
100
0,90046
3) Sada odredimo verovatnou P(Xn>X) gde je X1 = min (Xi) Iz uslova Xi>X sledi
P(X1> X) = [1- F(x)] Kako je P(Xi)=F(X) za svako i, to je
Ako u razmatranju 1. verovatnou P(Xi X) oznaimo sa G(X) tj. P(Xn X)= [F(x)]n G(X) funkcija rasporeda sl.promenljive Xn. Sa druge strane oznaimo sa (X) funkciju rasporeda sl.promenljive X1, tada je (X) =P(X1 X)=1- [1-F(x)]n Ovo znai da iz poznate veze koja postoji izmeu funkcije rasporeda i zakona verovatnoe jedne aleatorne funkcije X, možemo odrediti zakone verovatnoa sluajno promenljivih. Na primer g(x)=G(x)= {[F(x)]n } odnosno
260
g(x)= n[F(x)]n-1 f(x) Dobijeni izraz pretstavlja zakon verovatnoe aleatorne promenljive Xn. Prvi izvod izraza (X) =1- [1-F(x)]n daje (X) =n [1-F(x)]n-1 f(x) odnosno (x) = n [1-F(x)]n-1 f(x) To je zakon verovatnoe za aleatornu promenljivu X1 na osnovu ega je odreen raspored minimalne vrednosti uzorka. U sluaju kada odreujemo verovatnou P(X1 X) , gde je X1=min(Xi) imamo P(X1 X)+ P(X1>X)=1 P(X1 X)=1- P(X1>X) P(X1 X)=1- [1-F(x)]n 4) Ako tražimo verovatnou P(X10) imamo P(X1 0)=1- [1- 1/2]n jer je P(0)= ½ odnosno P(X1 0)=1- [1/2]n i za razliite vrednosti n imamo n
P(X1 0)
5
0,9689
10
0,999
100
0,99999
dakle, ve za n>10 verovatnoa je bliska 1,00
261
8. SIMULACIJE OSIGURANIH SLUAJEVA U VREMENU
Model simulacije nekog sluajnog dogaaja ili procesa, može generalizacijom biti tako pripremljen da se pomou njega rešavaju veoma složeni sluajni procesi. Elementi rizinosti imaju sluajne promene u vremenu, sa odgovarajuom raspodelom verovatnoa, sa matematikim oekivanjem E(x) i disperzijom D(x). U analizi i kontroli promena rizinosti na nivou klasa rizika, koje reprezentuju odgovarajue riziko premijske stope, u osnovi se mogu postaviti dva pitanja78: 1. Koliko osiguranih sluajeva možemo oekivati u odreenom intervalu vremena t (t
Slino, kao u teoriji masovnog opsluživanja. Vidi T.Zeevi:
262
p1=p1(dt)=a dt gde je a konstanta za date veliine N i T. Da bi se za vreme t pojavila dva osigurana sluaja potrebno je da se ostvari prvi a zatim i drugi osigurani sluaj do kraja intervala vremena dt. Nastupanje jednog osiguranog sluaja nema uticaja na nastupanje drugih jer su to nezavisni dogaaji . Zato verovatnou pojave dva osigurana sluaja možemo izraziti sa p2=p2(dt) Prema uslovu nezavisnosti dva dogaaja, verovatnou pojave dva osigurana sluaja u intervalu dt možemo izraziti u obliku proizvoda verovatnoe pojave jednog osiguranog sluaja i verovatnoe pojave drugog osiguranog sluaja u tom intervalu vremena. Na taj nain,ako uzmemo da je interval vremena dt beskonano mala veliina, sledi da je p2=p2(dt) veliina drugog reda, p3=p3(dt) ... itd beskonano male veliine treeg, etvrtog ... reda u odnosu na dt. Prema tome, na osnovu teoreme totalne verovatnoe, u jednakosti po(dt)+p1(dt)+... = 1 možemo zanemariti beskonano mali zbir p2(dt+p3(dt)+... tako da sledi p0(dt)=1-p1(dt) odnosno verovatnoa da se ne dogodi ni jedan osigurani sluaj p0(dt)=1- a (dt) Verovatnou p0(dt) , da se u toku perioda t ne pojavi ni jedan osigurani sluaj, odnosno verovatnou da vremenski period bez osiguranih sluajeva bude t , na navedeni nain možemo izraunati. Uoimo nešto vei interval vremena (t+dt) i verovatnou p0(t+dt). To je verovatnoa da se u intervalu t+dt ne pojavi ni jedan osigurani sluaj. Oigledno, ni jedan osigurani sluaj se nee pojaviti u intervalu t+dt ako se ni jedan osigurani sluaj ne pojavi u intervalu t i u intervalu dt. Sada prema teoremi verovatnoe proizvoda nezavisnih dogaaja sledi
263
p0(t+dt)=p
Iz ove relacije dobijamo diferencijalnu jednainu
Iz poetnog uslova, da je po(0) = 1 (kada zanemarimo beskonano mali zbir veliina drugog,treeg... reda), rešenje diferencijalne jednaine je p0(t) = e-at Na slian nain možemo izraunati verovatnou px(t), x>1, tj. verovatnou da za interval vremena t nastane x osiguranih sluajeva. Prvo emo uzeti interval (t+dt) i izraunati verovatnou px(t+dt). Formalno logiki zakljuujemo da su mogui sledei sluajevi koji se meusobno iskljuuju: 1. U intervalu vremena t pojavie se x osiguranih sluajeva a u intervalu vremena dt ni jedan osigurani sluaj; 2. U intervalu vremena t pojaviæe se x-1 osigurani sluaj a u intervalu dt jedan osigurani sluaj; ... n) U intervalu vremena t se nee pojaviti ni jedan osigurani sluaj a u intervalu dt e se pojaviti x osiguranih sluajeva. Sa obzirom na nezavisnost i uzajamnu iskljuivost ovih dogaaja, prema osnovnim teoremama za verovatnou zbira i proizvoda sluajnih dogaaja sledi: px(t+dt)=px(t)p0(dt)+px-1(t)p1(dt)+...+p0(t)px(dt) Zanemarujui zbir beskonano malih verovatnoa, dalje sledi px(t+dt)=px(t)p0(dt)+px-1(t)p1(dt) a kada je dt beskonano mali možemo zanemariti i beskonano malu verovatnou p1(dt), tako da ostaje 264
Sa druge strane, po teoremi Lagranža
Iz ovih relacija dobijamo diferencijalnu jednainu koja u rekurentnom obliku, za x=1,2,3...k glasi:
Rešavanjem ove diferencijalne jednaine za vrednosti x=1,2,3...k dobijamo rešenja oblika
Na ovaj nain smo odredili zakon raspodele verovatnoa osiguranih sluajeva (Poissonova raspodela). Veliina a ima znaenje srednje uestalosti osiguranih sluajeva za vreme T, odnosno a= k T Verovatnou px(t) možemo izraziti i formulom
ili u obliku radne formule, po kojoj odreujemo verovatnou da se za vreme t ne javi ni jedan osigurani sluaj p0= e – (kT)/T
265
8.1. ANALIZA RIZINOSTI PORTFELJA - MODELIRANJE UESTALOSTI I IZNOSA ŠTETA Modeliranjem uestalosti šteta tražimo verovatnou broja šteta u portfelju u jednom periodu osiguranja Model u opštem obliku glasi Pn= Pr(N=n) , n=1,2,... Modeliranjem iznosa šteta tražimo odgovor o verovatnoi obima šteta Ovaj model u opštem obliku glasi Fx(X)= Pr (Xd x) , x! 0 Sumiranjem svih šteta u portfelju u jednoj godini osiguranja S = X1+X2+X3+...+Xn Modeliramo ukupne gubitke Fs(x)= Pr(Sd x) , S 0 Kada su N sluajne promenljive sa nezavisnim i identinim rasporedima model nazivamo kolektivnim riziko modelom. Prema navedenom model ima dve komponente: – za uestalost (koristimo diskretne raspodele: Poissona, Binomnu, Negativnu binomnu) – za iznose šteta (koristimo neprekidnu raspodelu: Exponencialnu, Gamma, Normalnu). U portfelju obaveznog osiguranja oekujemo u godini osiguranja da e se za naknade osiguranih sluajeva isplatiti ukupno 20.000.000. Iz uzorka šteta sa kojim raspolažemo izraunali smo verovatnou da po jednom sluajnom dogaaju šteta nee biti vea od 100.000. Ta verovatnoa je 0,8. Koliko šteta možemo oekivati na kraju godine. Oznaimo sa X sluajnu promenljivu visine naknade za jedan osigurani sluaj, a sa N broj osiguranih sluajeva, M prosena visina naknade.
266
Tada je M= 20.000.000/ N Prema nejednakosti Markova imamo
N = 1.000 Dakle oekujemo na kraju godine osiguranja 1.000 osiguranih sluajeva. U osiguranju sa osiguranim sumama pojedinano posmatrane štete mogu biti totalne (kada sa nastupanjem štete dolazi do potpunog gubitka osigurane sume koja izražava vrednost osiguranog objekta) ili delimine. Kod totalnih šteta sa potpunim gubitkom vrednosti osiguranog objekta razornost rizika je jednaka 1. r= 1 Kod šteta kod kojih dolazi do deliminog gubitka vrednosti osiguranog objekta, razornost je manja od 1. r < 1. Razornost je denisana kao stepen gubitka vrednosti osiguranog objekta pri ostvarivanju jednog osiguranog sluaja. Kod osiguranja u kojima je p verovatnoa nastupanja štete, a svi osigurani objekti imaju meusobno jednake vrednosti, ukoliko sa nastupanjem osiguranog sluaja dolazi do potpunog gubitka osigurane sume (totalna šteta), rizinost je potpuno odreena parametrima p i s, gde je s pojedinana vrednost osiguranog objekta. 267
Riziko premija, kao izraz cene osiguranja za period osiguranja, kada je rizinost potpuno odreena parametrima p i s dobija se iz proizvoda sp. Pr= sp, gde smo sa p oznaili premijsku stopu a sa s osiguranu sumu. Ovaj tip rizinosti možemo denisati samo kod izrazito homogenih skupovova osiguranih objekata. Ve u sluaju da se osigurani objekti razlikuju po vrednosti odnosno po osiguranim sumama, riziko premija kao kvantikacija rizinosti dobija drugaiju formu Pr= spI gde je (I) intenzitet štete. Iz prethodnog razmatranja možemo zakljuiti da rizinost karakterišu sledee okolnosti: – uestalost šteta koja se tretira kao verovatnoa pojave štete; – vrednosti osiguranih objekata ; – intenzitet rizinosti (razornost rizika). Možemo se ograniiti na analizu onog dela portfelja koji sadrži najvee osigurane sume, koje nisu sve meusobno jednake, a sa nastupanjem osiguranog sluaja može doi do potpunog gubitka osigurane sume, prema sledeem: Rizinost analiziramo u analitikom obliku q= Zi/ Si = Z1/ S1 + Z2/ S2 + Z3/ S3 gde su: S1 - posdkup osiguranih suma koje su manje od aritmetike sredine skupa svih osiguranih suma, Z1 podskup šteta koje se javljaju na tim osiguranim sumama; S2 - podskup osiguranih suma koje su jednake aritmetikoj sredini skupa svih osiguranih suma, Z2 - podskup šteta koje se javljaju na tim osiguranim sumama; S3 - podskup osiguranih suma koje su vee od aritmetike sredine skupa svih osiguranih suma, Z3 podskup šteta koje se javljaju na tim osiguranim sumama. Sledi Z1/ S1= k1 z* 1/ n1s*1 )= q1 Z2/ S2= k2 z* 2/ n2s*2 )= q2 Z3/ S3= k3 z* 3/ n3s*3 )= q 3 268
Za analizu rizinosti je znaajno da li postoje razlike izmeu stvarnog i oekivanog broja gubitaka prtosenih osiguranih suma ( koju ocenjujemo iz kolinika sume šteta i prosene osigurane sume). p1 = k1/n1 ; p2=k2/n2 i p3=k3/n3. Analizom relacije koja opisuje komponentu intenziteta, uoavamo da su mogua tri sluaja: 1) I<1 2) I=1 3) I ! 1 Prvi sluaj I<1 imamo kada je z* < s*, drugi sluaj imamo kada je z* = s* i trei sluaj kada je z* > s * . Kod osiguranja objekata koji pojedinano imaju jednake osigurane sume, ako su pored totalnih mogui i delimini gubici osiguranih suma, uvek imamo sluaj 1. Kod osiguranja objekata koji pojedinano imaju nejednake osigurane sume, bez obzira da li su pored totalnih mogui i delimini gubici osiguranih suma, možemo imati sva tri sluaja. Neka tokom niza godina imamo podatke o godišnjim sumama šteta, tako da možemo da izvedemo zakon verovatnoe Xi Z1 Z2 Z3 Z4 . . . pi p1 p2 p3 p4 . . . za i konani broj imamo da je matematiko oekivanje
riziko premija.
Neka su sume šteta Z1, Z2 manje a Z3 , Z4 vee od riziko premije.U svakoj pojedinanoj godini imaemo promene u rezervama jer e one rasti ako je suma šteta manja od riziko premije i smanjivae se ako je suma šteta vea od riziko premije. Možemo zamisliti ponavljanje tog procesa tokom višegodišnjeg perioda u kome se rezerve smanjuju i rastu. U tom procesu, matematiko oekivanje potrebne rezerve je jednako nuli! Meutim odstupanje od matematikog oekivanja, tj. maksimalna visina U (rezerve) u tom procesu zavisi od raspodele verovatnoa u procesu nastajanja šteta, tako da je za aktuarske kvantikacije potrebno da prouavamo i zakone verovatnoa, njihove funkcije i momente koji se iz njih izvode. Ako izvršimo analizu promena u portfelju u jednom periodu osiguranja, dobijamo sledee rezultate: 269
Kod obrauna neto premija osiguranja vršili smo množenje pojedinanih suma osiguranja sa riziko premijskim stopama (riziko premijom za jedinicu sume osiguranja).
Na taj nain mi smo izraunali pretpostavljenu suma šteta u iznosu P. Kada ovu pretpostavljenu sumu šteta (riziko premiju) podelimo sa brojem n (broj pojedinanih suma osiguranja) dobijamo oekivanu cenu gubitka (Loss Cost). U periodu osiguranja oekujemo ravnotežu: n prosenih premija i k prosenih šteta. Uoimo da broj k pretstavlja broj oekivanih osiguranih sluajeva. Riziko premijske stope, koje koristimo u obraunu premija, dobijamo iz statistike kolinika sume šteta i sume osiguranja p= z / s U jednom periodu osiguranja ove sume se mogu razložiti tako da je p = ( kCz ) / (nCs ) odnosno
gde na desnoj strani jednakosti imamo proizvod uestalosti (verovatnoe nastupanja osiguranih sluajeva) i intenziteta štete. Odmah vidimo da u sluaju kada su sve sume osiguranja meusobno jednake i kada se sa osiguranim sluajem gubi cela suma osiguranja da je (Cz =Cs) , odnosno da je intenzitet jednak 1, tako da je p= k/n .
8.2. ULOGA I ZNAAJ FORMIRANJA REZERVI U OSIGURANJU Bitna karakteristika osiguranja jeste da su sredstva rezervi neophodna u poslovanju osiguravaa. Ve ogromna disproporcija izmeu premije (uplate) koju osiguranik plaa kao cenu zakljuenog osiguranja i osigurane sume koja pretstavlja najveu moguu 270
obavezu osiguravaa prema osiguraniku ako nastupi osigurani sluaj u ugovorenom periodu osiguranja, ukazuje da osigurava od samog poetka poslovanja, tj. pre prvog zakljuenog ugovora o osiguranju mora da ima kapital koji ne može biti manji od osigurane sume koju prihvata u osiguranje. Uslov za dobijanje dozvole za rad da osiguravajua kompanija mora imati kapital u visini poetnog fonda sigurnosti. Poetni fond sigurnosti propisuje se zakonom o osiguranju imovine i lica. Osiguravajua kompanija naravno nee riziku izložiti ukupan iznos poetnog fonda sigurnosti za osiguranje jednog rizika, ma koliko mala bila verovatnoa da se rizik ostvari, jer bi u tom sluaju imao istu poziciju kao i osiguranik. Osiguravajua kompanija kod osiguranja velikih vrednosti (velikih osiguranih suma) zadržava jedan deo u svom pokriu i taj deo se naziva samopridržaj, dok drugi deo kao višak rizika reosigurava. U poslovanju osiguravaa, proces priliva sredstava od uplata premija osiguranja i proces isplata naknada za osigurane sluajeve, u nekom obraunskom periodu nee biti u ravnoteži, tj. ukupne uplate nee biti jednake ukupnim isplatama. U sluaju kada su ukupne uplate vee od ukupnih isplata, razlika puni fond rezervi. Obratno, kada su ukupne uplate manje od ukupnih isplata fond rezervi se smanjuje. Osigurava, prema nameni formira raztliite vrste rezervi, ali sve vrste rezervi osim poetnog fonda sigurnosti potiu iz uplata premija osiguranja. Sve ove vrste rezervi zajedno sa kapitalom poetnog fonda sigurnosti pretstavljaju garantne rezerve osiguravaa koje su u funkciji solventnosti poslova sprovoenja osiguravaa. Osiguravajua organizacija ne može imati vee obaveze od raspoloživih sredstava i zato viškove rizika reosigurava. Obim reosiguranja zavisi od visine garantne rezerve društva i strukture osiguranih rizika u portfelju. Svaka osiguravajua organizacija mora imati odgovarajuu marginu solventnosti, kao garanciju da raspolaže dovoljnim sredstvima za pokrivanje obaveza iz osiguranja. Regulatorni organ (Narodna banka Srbije), donosi posebne propise o nainu obrauna margine solventnosati.
8.3. SIMULIRANJE PROMENA U REZERVAMA Ovaj model je zamišljena igra sa etri žetona 1, 2, 3, 4. Jedan igra pristupa žetonima i bira jedan od njih, pri emu pre izbora nezna njegovu vrednost. Zatim pristupa drugi igra i bira jedan od preostala tri žetona, trei igra bira od preostala 271
dva žetona i etvrti igra uzima preostali žeton. Svi igrai jednovremeno saznaju vrednost žetona. Igra koji ima žeton 1 dobija jedan dinar, igra koji ima žeton 2 dobija dva dinara, igra koji ima žeton 3 dobija tri dinara i igra koji ima žeton 4 dobija etiri dinara. Igra se ponavlja a pristup igraa je sluajan. Koju cenu za igru treba da plati svaki igra" Potpuni skup sluajnih dogaaja u ovom modelu ine sledei sluajni dogaaji: A Izbor žetona 1 B Izbor žetona 2 C Izbor žetona 3 D Izbor žetona 4 Svaki od navedenih sluajnih dogaaja ima odgovarajuu verovatnou. Kako ima ukupno 4 žetona a samo jedan žeton ima vrednost 1, verovatnoa sluajnog dogaaja A ima vrednost P(A)=1/4 =0,25 Samo jedan žeton ima vrednost 2 pa je verovatnoa sluajnog dogaaja B, P(B)=1/4 Samo jedan žeton ima vrednost 3 pa je verovatnoa sluajnog dogaaja C, P(C)=1/4 Samo jedan žeton ima vrednost 4 pa je verovatnoa sluajnog dogaaja D, P(D)=1/4 Kod potpunog skupa sluajnih dogaaja zbir verovatnoa sluajnih dogaaja jednaka je 1. P(A)+P(B)+P(C)+P(D)= 0,25+0,25+0,25+0,25=1 Zakon raspodele u ovom modelu je sledei X P
1 2 3 4 0,25 0,25 0,25 0,25
Matematiko oekivanje E(X) = ¦ Xi Pi = (1x0,25)+(2x0,25)+(3x0,25)+(4x0,25) = (1+2+3+4)x0,25 = 10 x 0,25 = 2,50
272
E(X2)=(12x0,25)+(22x0,25)+(32x0,25)+(42x0,25)=8 Disperzija: D(X)=E(X2)-E2(X)= 8-2,52= 1,75 Cena igre jednaka je matematikom oekivanju, pa svaki igra treba za igru da plati 2,5 dinara, a ima mogunost da dobije 1 ili 2 ili 3 ili 4 dinara.. Ukupna uplata iznosi 4 x 2,50=10 dinara Ukupna isplata igre iznosi 1+2+3+4= 10 dinara U svakoj igri su izjednaene ukupne uplate i ukupne isplate i igra može da se ponavlja neogranieni broj puta. Jasno je da organizator u ovakvoj igri nema nikakvu zaradu. On e npr. u cenu igre uraunati svoje troškove i zaradu dodatkom od 10%. Dakle bruto cena igre bie 2,50 x 1,1= 2,75 Ukupna uplata u jednoj igri 2,75x4= 11 Ukupna isplata u jednoj igri 1+2+3+4=10 Ukupna uplata – Ukupna isplata= 11- 10 = 1 Ako u prethodnom modelu napravimo izmenu, tako da svaki igra pristupa svim žetonima, tj. igra se završava kada jedan igra izabere jedan od etiri žetona, tada bi se moglo dogoditi da svaki od 4 igraa izabere žeton broj 1 ili... žeton broj 4. Opet imamo iste sluajne dogaaje i iste verovatnoe izbora žetona. Zakon raspodele je isti kao u prvom sluaju X
1
2
3
4
P 0,25 0,25 0,25 0,25 Matematiko oekivanje E(X) = ¦ Xi Pi = (1x0,25)+(2x0,25)+(3x0,25)+(4x0,25) = 2,50 Cena igre jednaka je matematikom oekivanju, pa svaki igra treba za igru da plati 2,5 dinara i ima mogunost da dobije 1 ili 2 ili 3 ili 4 dinara. Meutim u ovom modelu, ako igra izvue žeton 4, organizator igre e isplatiti 4 dinara a naplatio je 2,75 odnosno neto cenu 2,5. Organizator mora nadoknaditi razliku 1,5 dinara. Dakle, organizator igre mora imati rezervu. 273
Posmatrajui proces ponavljanja igre možemo uoiti da se rezerva poveava, u ovoj igri sa svakim ponavljanjem za 1,50 dinara. Posle druge igre, može se dogoditi da organizator ponovo mora nadoknaditi razliku 1,5 dinara, tj. visina rezerve je 3,0. Uporedo sa sluajnim procesom izvlaenja žetona, odvija se i sluajni proces promena u rezrvi kapitala organizatora, sa zakonom raspodele Y 0,50 1,50 -0,50 -1,50 P
0,25 0,25 0,25
0,25
sa matematikim oekivanjem E(Y)=0 Ovo matematiko oekivanje nam govori da e se u velikom broju ponavljanja igre izvršiti potiranje ukupnog smanjenja i ukupnog poveanja rezerve. Meutim, nema odgovora na pitanje kolika je maksimalna rezerva potrebna. Za odgovor na to pitanje potrebno je postaviti nivo sigurnosti (verovatnou), da se rezerva nee smanjiti više od nekog iznosa. Verovatnoa da e se rezerva smanjiti za 1,50 posle prve igre je 0,25. Pošto su igre nezavisne, verovatnoa da e organizator i u drugoj igri smanjiti rezervu za 1,50 takoe iznosi 0,25. Verovatnoa da e organizator u prvom i drugom ponavljanju igre smanjiti rezervu za 1,50+1,50=3 iznosi 0,25 x 0,25=0,0625 Verovatnoa da e posle n ponavljanja maksimalno smanjenje rezerve biti 1,50 n, iznosi 0,25 na n-ti stepen. Broj ponavljanja
Maksimalno smanjenje rezerve
Verovatnoa
1
1,50
0,250000
2
3,00
0,062500
3
4,50
0,015625
4
6,00
0,003906
5
7,50
0,000976
Dakle sa verovatnoom 1- 0,000976 možemo zakljuiti da e rezerva u ovoj igri, sa ponavljanjem varirati u granicama r 7,50 dinara. Rekli smo da igra ima sledei zakon raspodele
274
X 1 2 3 4 P 0,25 0,25 0,25 0,25 Igra sa neto cenom za igru 2,50 dinara bira jedan žeton i iz igre izlazi: sa gubitkom 1,50 ako izvue žeton 1, sa gubitkom 0,50 ako izvue žeton 2, sa dobitkom 0,50 ako izvue žeton 3, sa dobitkom 1,50 ako izvue žeton 4. Organizator zamenjuje tri igraa, ali sam sebi ne mora da uplati 3x2,50=7,50 dinara! Naravno organizator sigurno dobija dodatak koji je uraunao u cenu i izložio je promeni rezervu od 7,50 dinara. Organizator, dakle može ponoviti igru pet puta, sa maksimalnim smanjenjem rezerve u svih 5 ponavljanja igre. Rizik maksimalnog gubitka rezerve posle 5 ponovljenih igara izražava verovatnoa takvog ishoda 0,25 na 5 stepen tj. 0,000976. Ovu verovatnou možemo izraziti kolinikom k=1/0,000976 , odakle sledi da je K| 1.024 Ako rezervu izloženu riziku gubitka podelimo sa k, dobijamo 7,50/1.024=0,007 dinara. Ovaj iznos možemo zaokružiti na 0,01 tako da kada sa istim poveamo cenu igre, imamo malu promenu bruto cene za igru 2,75+0,01= 2,76. Nazvaemo ovaj doplatak, doplatkom za sigurnost, ija je uloga da obnavlja rezervu. Ovako modelirana igra može beskonano da se ponavlja. Neka je npr. ponovljena 102.400 puta. Rezultat, skoro izvesno, bie: Uplate 102.400 x 2,76 = 282.624 dinara – izdvojeno za rezervu 102.400 x 0,01 = 1.024 dinara __________________________ 281.600 dinara Isplate 25.600 x 1 = 25.600 dinara 25.600 x 2 = 51.200 dinara 25.600 x 3 = 76.800 dinara 25.600 x 4 = 102.400 dinara ________________________ 102.400 x 2,50 = 256.000 dinara 281.600 – 256.000 = 25.600 dinara 275
Vidimo da je zarada organizatora 102.400 x 0,25= 25.600 dinara Razmotrimo sada detaljnije mogue promene rezerve organizatora igre, koja ima zakon raspodele Y 0,50 1,50 -0,50 -1,50 P 0,25
0,25
0,25
0,25
sa matematikim oekivanjem E(Y)=0 Mogue promene rezerve, posle prve igre (r=1), su sledee
1 2 3 4
Izbor žetona 4 3 2 1
Promena rezerve - 1,50 - 0,50 0,50 1,50 0,00
Broj naina verovatnoa 1 1 1 1 4
0,25 0,25 0,25 0,25 1,00
Bez detalja, posle etvrte igre (r = 4), imamo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Promena rezerve -6,00 -5,00 -4,00 -3,00 -2,00 -1,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00
Broj naina 1 4 10 20 31 40 44 40 31 20 10 4 1 256
276
Verovatnoa 1/256 4/256 10/256 20/256 31/256 40/256 44/256 40/256 31/256 20/256 10/256 4/256 1/256 1,00
Razmotriemo ovu istu igru sa proširenjem broja moguih vrednosti sluajno promenljive npr. uvoenjem dva matematika oekivanja, tako da dobijamo sledeu raspodelu X P
1 1/6
2 1/6
2,5 1/6
2,5 1/6
3 1/6
4 1/6
Matematiko oekivanje (cena igre) ostaje ista E(X)=2,50 , maksimalni dobitak igraa ostaje isti, ali se znaajno poveava broj naina promene rezerve. Posle drugog ponavljanja igre imaemo: Promena rezerve
Broj naina
Verovatnoa
-3
1
1/36
-2
2
2/36
-1,5
4
4/36
-1
3
3/36
-0,5
4
4/36
0
8
8/36
0,5
4
4/36
1
3
3/36
1,5
4
4/36
2
2
2/36
3
1
1/36
36
1,00
Bitno sa stanovišta organizatora, ovakva modifikacija pokazuje da je kod maksimalne promene rezerve 4,5 posle tree igre verovatnoa 0,000767 tj. manja od verovatnoe maksimalne promene rezerve posle pete igre bez modifikacije. To znai da sa ovakvom modikacijom organizator umesto 7,5 rezerve, treba da obezbedi 4,5 .
277
Na graku su prikazane raspodele verovatnoa moguih gubitaka rezerve za dva, tri i etiri ponavljanja igre. Želimo posebno da naglasimo injenicu da organizator igre u odnosu na igrae nema nikakvu stratešku prednost, ako bi za igru naplaivao samo 2,50 dinara (matematiko oekivanje). U velikom broju ponavljanja igre, pokazali smo,da je matematiko oekivanje promene rezerve E(Y)=0. Meutim, organizator stavlja u igru potrebnu rezervu, koja deluje kao amortizer, da bi igra mogla da se ponavlja.Zbog toga je opravdano da cenu igre povea doplatkom za sigurnost. Igra ima troškove organizacije i naglašavamo da zaradu organizatora obezbeuje samo doplatak režijskog dodatka.
8.4. SOLVENTNOST I SAMOPRIDRŽAJ Stabilnost u unutrašnjoj nivelaciji rizika u prostoru zasniva se na poveanju broja osiguranja u odvojenim rizicima. Riziko premija se za svaki rizik koriguje za oekivano odstupanje riziko premijske stope od oekivane vrednosti , doplatkom za sigurnost i doplatkom za razvojnu tendenciju. Meutim, kod nekih klasa rizika nije mogue dostii takvu veliinu i homogenost portfelja koja omoguava unutrašnju nivelaciju rizika na prihvatljivom nivou sigurnosti. Zbog toga se pristupa spoljašnjoj nivelaciji rizika. Ukoliko je riziko premijska stopa niža, utoliko je potreban vei broj zakljuenih osiguranja da bi postigli izravnavanje rizika. Najveu verovatnou nastupanja štete denišemo sa q+2 Vqp/N Maksimalna suma šteta= Ns(q+2Vqp/N)
278
Potrebna rezerva sigurnosti N 1 0 1000 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000 55000 60000 65000 70000 75000 80000 85000 90000 95000 100000
Suma osiguranja
Riziko premija
2
3
1000 5000 10000 15000 20000 25000 30000 35000 40000 45000 50000 55000 60000 65000 70000 75000 80000 85000 90000 95000 100000
5 25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300 325 350 375 400 425 450 475 500
Dopl. sigurn.
max suma Šteta
Neto premija
Potrebna rezerva
4
5
/3+4/ 6
/5-6/
0.5 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 22.5 25 27.5 30 32.5 35 37.5 40 42.5 45 47.5 50
9.46 34.97 64.11 92.28 119.95 147.30 174.43 201.39 228.21 254.92 281.54 308.08 334.55 360.97 387.32 413.63 439.90 466.13 492.32 518.48 544.61
5.5 27.5 55 82.5 110 137.5 165 192.5 220 247.5 275 302.5 330 357.5 385 412.5 440 467.5 495 522.5 550
Promene rezerve
279
7
Rezerva 8 0 3.96 7.47 9.11 9.78 9.95 9.80 9.43 8.89 8.21 7.42 6.54 5.58 4.55 3.47 2.32 1.13 -0.10 -1.37 -2.68 -4.02 -5.39
Nesolventnost nastupa kada osiguravajua organizacija nije u stanju da plati svoje poslovne obaveze ukupno raspoloživim kapitalom i ovaj pojam treba razlikovati od pojma nelikvidnosti koji oznaava pojavu da osiguravajua organizacija privremeno nije u stanju da plati dospele obaveze zbog nemogunosti naplate svojih potraživanja, premda nelikvidnost esto dovodi do nesolventnosti. Sa druge strane nesolventnost ne mora dovesti do bankrotstva osiguravajue organizacije, ako je ona u stanju da izvrši dokapitalizaciju ili postigne sporazum o odlaganju obaveza koje su dovele do nesolventnosti. U analizi rizika nesolventnosti i odreivanju samopridržaja osiguravajue organizacije polazi se od planirane brzine razvoja portfelja i njegove strukture. Pretpostavimo da se razvija novi portfelj sa stopom tehnike premije 1‰, odreenom iz statistike rizika. Neka je u stopi tehnike premije sadržana riziko premija 0,9‰ i stopa doplatka za sigurnost 0,1‰ . Pretpostavimo takoe da se osiguranje sprovodi sa jednakim osiguranim sumama a osigurani rizik takav da se sa nastupanjem osiguranog sluaja potpuno gubi osigurana suma. Uvedimo sledee oznake: Pqr - riziko premija za jedno osiguranje PO - doplatak za sigurnost za jedno osiguranje N - broj zakljuenih osiguranja k - oekivani broj osiguranih sluajeva kod N zakljuenih osiguranja s - osigurana suma jednog osiguranja ¦s - suma osiguranja N zakljuenih osiguranja U procesu sprovoenja osiguranja osiguravajua organizacija preuzima osigurane sume u osiguravajue pokrie istovremeno sa akumulacijom fondova riziko premije i doplatka za sigurnost. Pretpostavimo da su: osigurana suma, riziko premija i doplatak za sigurnost 10.000; 90 i 10 respektivno i da se portfelj razvija brzinom koju merimo brojem zakljuenih osiguranja za 1 mesec: 1) N=1.000 zakljuenih osiguranja za jedan mesec; 2) N= 10.000 zakljuenih osiguranja za jedan mesec; 3) N= 30.000 zakljuenih osiguranja za jedan mesec;
280
Tada je: N 1.000 10.000 30.000
¦s 10.000.000 100.000.000 300.000.000
¦ Pqr 9.000 90.000 270.000
¦ PO 1.000 10.000 30.000
k(12) 1 9 27
Oekivani broj osiguranih sluajeva (k) za period osiguranja od jedne godine, dobijamo iz relacije E(k) = N q gde je q verovatnoa nastipanja osiguranog sluaja, na godišnjem nivou p=0,0009 Verovatnoa q(m) na mesenom nivou je q/12 = 0,000075 Ako je N=1.000, bez obzira što je verovatnoa nastupanja osiguranog sluaja mala, osigurava mora biti spreman na isplatu jedne osigurane sume 10.000. Sa pretpostavljenom brzinom razvoja portfelja on e na kraju prvog meseca imati akumuliranu riziko premiju 9.000 i akumuliran doplatak za sigurnost 1.000 što je dovoljno za isplatu jedne osigurane sume za jedan osigurani sluaj. Ako je N=10.000, osigurava je spreman da isplati 9 osiguranih suma iz riziko premije, bez angažovanja akumuliranog doplatka za sigurnost. Ako je N= 30.000, osigurava je spreman da isplati 27 osiguranih suma iz riziko premije, bez angažovanja akumuliranog doplatka za sigurnost, koji iznosi 30.000 . Najvei broj osiguranih sluajeva za mesec dana ( kmax) sa verovatno}om 0,95 za N zakljuenih osiguranja je sledei: N = 1.000 k max = N q + 2( Npq = = 1.000 x 0,000075 + 2 x 1.000 x 0,000075x 0,999925= 0,62 N=10.000 k max = N q + 2( Npq = = 10.000 x 0,000075 + 2 x 10.000 x 0,000075x 0,999925=2,48 N=30.000 k max = N q + 2( Npq = = 30.000 x 0,000075 + 2 x 30.000 x 0,000075x 0,999925=3,75 281
Kod ostalih klasa rizika u kojima se osim meusobno jednakih osiguranih suma javljaju i nejednake osigurane sume, a osim totalnih i delimine štete, ukoliko je intenzitet šteta I d 1, tj. kada je ( Cz d Cs), Sledi da osigurava sa takvim razvojem portfelja nema rizik nesolventnosti, osim u sluaju da obavezu mora izvršiti istog momenta (dana) kada nastupi osigurani sluaj, odnosno dovoljno je da ima poetnu rezervu sigurnosti U0. Sposobnost osiguravajue organizacije da sa raspoloživim kapitalom izvršava ugovorene obaveze pretstavlja važan aspekt prudencione kontrole. Ova karakteristika tj. solventnost osiguravajue kompanije bitna je i za potencijalne ugovarae osiguranja, osiguranike, a svakako i za menadžment osiguravajue kompanije. U teoiji rizika se neprestano traga za metodima koji bi u razvoju portfelja mogli biti indikativni da može doi do insolventnosti. Potpunije upoznavanje prirode rizika koji osiguravajua kompanija prihvata u osiguranje sa osiguranom sumom koja predstavlja najveu moguu obavezu, ukoliko nastupi osigurani sluaj i politike reosiguranja, osiguravajua organizacija može u znaajnoj meri smanjiti rizik nesolventnosti. U tom smislu se analiziraju pojedinani rizici, ali i rizik ukupnog poslovnog sistema (Risk and Ruin Theoretic Approaches, Probabilistic Approaches, Dynamic Solvency Analysis itd.) U prudencionoj kontroli, u skladu sa raunovodstvenim standardima i posebnim pravilima koje propisuje državni nadzor (regulatorni organ), osiguravajue kompanije moraju uvek imati veu likvidnu imovinu od obaveza, najmanje u visini propisane margine solventnosti. U praksi prudencione kontrole zastupljene su dve vrste modela: modeli ksnog koecijenta, (Fixed Ratio Models) i modeli adekvatnosti kapitala (Risk Based Capital ) ili skraeno RBC modeli. Modeli ksnog koecijenta su prisutni u EU a RBC modeli npr. u SAD, Kanadi i Japanu Uvoenju prudencione kontrole nad poslovanjem osiguravajuih kompanija u SAD naroito su doprineli veliki gubici osiguravajuih kompanija zbog uragana Andrew u 1992 godini79. RBC model je u SAD u primeni od 1994 a u Japanu od 1997. U našoj zemlji sveobuhvatna kontrola poslovanja osiguravajuih kompanija sa metodologijom koja se primenjuje u EU uspostavlja se novim zakonom o osiguranju 2004 godine. 79
Swiss Re Sigma N01/2000
282
Organi nadzora neposredno i preko ovlašenih aktuara, na osnovu periodinih bilansa osiguravajuih kompanija, permanentno kontrolišu da li je margina solventnosti u granicama propisanih iznosa.80 Modeli ksnog koecijenta se zasnivaju na ksnim odnosima odreenih kategorija sredstava koje se iskazuju u bilansu. Modelima se utvruje raspoloživi kapital osiguravaa koji je slobodan u odnosu na postojee ugovore o osiguranju, tj. kapitala koji se može izložiti riziku gubitka zakljuivanjem novih osiguranja. Ovo utvrivanje se vrši u dva aspekta: u odnosu na ostvarivane premijske prihode u proteklom periodu i u odnosu na štete u proteklom periodu. Modeli ksnog koecijenta su jednostavniji od RBC modela. RBC modeli se smatraju poboljšanim metodima ksnog koecijenta jer su složeniji i obuhvataju više kategorija rizika kojima je izložena osiguravajua kompanija na tržištu (aktuarski rizik, rizik investiranja, poslovni rizik, operativni rizik). Naroito se uzimaju procene: 1) rizika aktive ( rizik da tržišna vrednost investicionih ulaganja osiguravaa opadne). Ovaj rizik je kompleksan jer ukljuuje kreditni rizik, rizik promena kamatnih stopa i rizik promene deviznog kursa. 2) rizik neadekvatne primene tarifa, odnosno neadekvatnosti primenjenih premijskih stopa od zakljuenih osiguranja, neadekvatne procene troškova i sl. 3) rizik razliitih uticaja na aktivu i pasivu bilansa koji mogu poremetiti ovu ravnotežu.(npr. uticaj inacije). 4) rizik u vezi sa promenom zakonske regulative.Ova vrsta rizika je npr. u Japanu 2000-2001 godine prouzrokovala ogromnu pometnju u radu osiguravajuih kompanija. Razlika izmeu prinosa na aktivu i garantovanih kamatnih stopa tzv “negativna širina” donela je Nipon Lifu preko 2,4 milijarde $ gubitka. Stabilnost u unutrašnjoj nivelaciji rizika u prostoru zasniva se na poveanju broja osiguranja u odvojenim rizicima. Riziko premija se za svaki rizik koriguje za oekivano odstupanje riziko premijske stope od oekivane vrednosti, doplatkom za sigurnost i doplatkom za razvojnu tendenciju. Meutim, kod nekih klasa rizika nije mogue dostii takvu veliinu i homogenost portfelja koja omoguava unutrašnju nivelaciju rizika na prihvatljivom nivou sigurnosti. Zbog toga se pristupa spoljašnjoj nivelaciji rizika. 80
Prvi meunarodni simpozijum iz aktuarstva, Zlatibor 6-9.novembar 2003: Aktuarske osnove utvrivanja margine solventnosti.
283
Ukoliko je riziko premijska stopa niža, utoliko je potreban vei broj zakljuenih osiguranja da bi postigli izravnavanje rizika. Nesolventnost nastupa kada osiguravajua organizacija nije u stanju da plati svoje poslovne obaveze ukupno raspoloživim kapitalom i ovaj Pojam nesolventnosti treba razlikovati od pojma nelikvidnosti koji oznaava pojavu da osiguravajua organizacija privremeno nije u stanju da plati dospele obaveze zbog nemogunosti naplate svojih potraživanja, premda nelikvidnost esto dovodi do nesolventnosti. Sa druge strane nesolventnost ne mora dovesti do bankrotstva osiguravajue organizacije, ako je ona u stanju da izvrši dokapitalizaciju ili postigne sporazum o odlaganju obaveza koje su dovele do nesolventnosti. U savremenim pristupima problemu nesolventnosti varijansa (disperzija), odnosno standardna devijacija, koristi se kao znaajni parametar u izvoenju relacije za determinaciju koecijenta sigurnosti.81 Pojam bankrotstva denišemo sluajem kada ukupne obaveze prevazilaze ukupnu vrednost sredstava sa kojim osigurava raspolaže. ¦ Zi - ¦ Pi ! U0 gde su: ¦ Zi - suma šteta u obraunskom periodu ¦ Pi - suma premija u obraunskom periodu U0 - kapital osiguravaa (garantna rezerva) Obraunski period je kalendarska godina. Ako rezultat poslovanja osiguravajue organizacije u proizvoljnoj godini (j) izrazimo sa Yj = Zj - Pj a rezultat za n godina Sn= ¦ Yj u grakoj interpretaciji bankrotstvo osiguravaa nastupa kada izlomljena linija Sn pree iznad linije U0, tj. kada je Sn!U0.
81
Vidi Determinacija doplatka za sigurnost
284
Izlomljena linija u graku se naziva “linija sudbine”. Na liniji sudbine se mogu odrediti rekordne take. To su take kod kojih je Si ! Sj. Svi metodi analitikog pristupa samopridržaju mogu se svrstati u etiri osnovne grupe82: 1) Modeling 2) Ratio method 3) Rosenthals approximation 4) Pentikäinens approach Samopridržaj kod kvotnog ugovora o reosiguranju (D) odreen je sledeim: 1) Finansijskim ogranienjem osiguravaa denisanim odnosom matematikog oekivanja sume šteta i rezervi sigurnosti E(Z)/U 2) Dinamikom ravnotežom reosiguranih rizika u portfelju, denisanu odnosom varijanse šteta prenetih na reosiguravaa i matematikog oekivanja varijanse sume šteta V(Z)= Var(Z* )/ Var E2(Z) 3) Spremnosti osiguravaa na rizik denisane iz odnosa dopuštene insolventnosti i rezervi (-2/ lnH) 4) Protabilnosti koja stoji nasuprot spremnosti osiguravaa na rizik gubitka kapitala, izraženog koecijentom režijskog dodatka G (optereenje neto premije).
Na navedenim principima sa parametrima koje denišemo za ovu vrstu samopridržaja, a koji se odnosi na samopridržaj delova portfelja, J. Rašeta predlaže sledee korake: 82
John E.Tiller, JR.,FSA & Denis Fagerberg Tiller,FSA: Life, Healt & Annuity Reinsurance, Third ed. 2005 USA; str.250
285
1) Opredeljenje koecijenta R ( risk aversion ) Tolerantna verovatnoa gubitka R Naješe: R= 1,96
0,1% 3,45
0,5% 2,65
1% 2,30
2% 1,96
5% 1,15
2) Iz n-tog perioda (vremenske serije) merodavnih premija izraunavamo sumu A, dok iz merodavnih šteta izraunavamo sumu B. Prosena riziko premija E(B)= Bi / n 3) Koecijent merodavnog riziko rezultata C= ( Ai - Bi ) / Bi 4) Neto kapacitet osiguranja D= B / K (max D= 5,0) 5) Koecijent uktuacije merodavnog rezultata F= [Bi – E(B)]2 / (n-1)[ E(B)]2 6) D= C / ( D x F x R)
Primer: 1) R= 1,96 N 1 2 3 4
Ai 10.000 12.000 12.500 13.000 47.500
Bi 8.400 9.000 13.000 11.000 41.400
286
2) Prosena riziko premija E(B)= Bi / n = 41.400/ 4= 10.350 3) Koecijent merodavnog riziko rezultata C= ( Ai - Bi ) / Bi =(47.500 - 41.400) / 41.400= 0,147343 4) Neto kapacitet osiguranja D= 5,00 5) Koecijent uktuacije merodavnog rezultata F= [Bi – E(B)]2 / (n-1) [E(B)]2 =[ (8.400 - 10.350)2+(9.000 - 10.350)2+(13.000 - 10.350)2+(11.000 - 10.350)2] / (3x 10.350 2 ) = (3.802.500+1.822.500+7.022.500+422.500) / 321.367.500= 0,04066 D= C / ( D x F x R) = 0,147343 / ( 5,00 x 1,96 x 0,04066) = 0,3697 D=36,97% Kada se portfelj tek razvija i nemamo statistike podatke, prema iskustvenoj normi maksimalni samopridržaj dela ili celog portfelja ne treba da prelazi 20 30% od planirane tehnike premije za tu vrstu osiguranja. U vezi sa najveim samopridržajem osigurane sume, takoe se koristi iskustvena norma, po kojoj najvea osigurana suma koja se zadržava u portfelju ne treba da bude vea od dvostruke prosene osigurane sume u portfelju. U socijalistikim zemljama se koristio kriterijum Konjšina83, po kome se višak rizika prenosio na centralnu službu SSSR-a “GOSTRAHOVANIE”, prema formuli: D= 2 K2 Pt gde je K koecijent nansijske stabilnosti a Pt tehnika premija Prema ovom kriterijumu, za K=0,317 dobijamo visinu samopridržaja proporcionalnu 20% od tehnike premije. Oigledan nedostatak ove iskustvene norme je što nema veze sa rezervom, odnosno kapitalom koji osiguravajua kompanija izlaže gubitku zbog preuzetog rizika. 83
Dobrosav Ogrizovi: Centar za obrazovanje i struno usavršavanje radnika Zavoda za osiguranje JUGOSLAVIJA (Seminar -1970 g).
287
Taj nedostatak se može otkloniti uvoenjem dopunskog kriterijuma - da najvea osigurana suma koju osigurava zadržava u samopridržaju treba da bude manja od izvesnog dela ukupne garantne rezerve (npr. 1/5).
8.5. POTREBNA REZERVA U RELACIJI SA STRUKTUROM PORTFELJA Postavimo polazne pretpostavke prema sledeem84: Osigurava razvija portfelj kao u prethodnim sluajevima ali tako da su osigurane sume nejednake i da obrazuju aritmetiku progresiju.Razmatramo sluaj da je intenzitet šteta I > 1, tj. kada je ( Cz >Cs), pri emu je nevažno da li se pored totalnih javljaju i delimine štete, tj. posmatramo granini sluaj sa totalnim štetama. Uvedimo novanu jedinicu za osiguranu sumu NJ=1. Neka je karakteristika aritmetike progresije d=1 tj. da osigurane sume ine niz 1; 2; 3; 4; ... N Tada je: suma osiguranja ¦s = (d/2) N2 + (smin - d/2)N a najvea osigurana suma koja se može prihvatiti u samopridržaj smax = 2(¦s / N ) - smin odnosno, ako nam je poznato d (karakteristika aritmetike progresije), s max = s min + (N - 1) d U najnepovoljnijem sluaju, kada bi osigurani sluajevi pogodili najvee osigurane sume potrebna rezerva sigurnosti85 je U= k/N >( N - k)/N-1@>¦s - N smin @ 84 85
J.Rašeta- Originalni modeli Ovde je rezerva sigurnosti bez umanjenja za eventualne doplatke premije ¦ Pqi i ¦ PO
288
ili kada nam je poznata diferencija aritmetike progresije U=>( N - k)/2@ kd Ako osigurane sume obrazuju geometrijsku progresiju: Tada je suma osiguranja ¦s = >smin (qN- 1)/ q-1@ gde je q karakteristika geometrijske progresije a smin najmanja osigurana suma u portfelju. Najvea osigurana suma koja se može prihvatiti u samopridržaj smax = smin qN-1 U najnepovoljnijem sluaju, kada bi osigurani sluajevi pogodili najvee osigurane sume Rezerva sigurnosti je U= s1 ^ >(qN - 1) / q-1@ - k/N>(qN -1) / q-1 @ ->(qN-k - 1) / q-1@` Dakle, ako osigurava za ovakvu strukturu portfelja obezbedi rezervu sigurnosti za najnepovoljniji sluaj, tada njegov rizik nesolventnosti praktino ne postoji. Osigurava u praksi uvek sprovodi osiguranje uz izvesan rizik nesolventnosti (rizik bankrotstva), izražen verovatnoom. Relacije koje slede važe bez obzira na raspored osiguranih suma. 1+(U/ ¦Pq) = (1/k)
/ (1/N) ¦s
ili 1+(U/ ¦Pq) = Czmax / C s iz koje dobijamo relaciju koju smo ranije upoznali, izmenjenu samo u izražavanju riziko premije U= >( Cz max/ Cs) -1@ x ¦Pq
289
Oigledno, kada je (Cz =Cs ) tj. qi =1, nije potrebna rezerva sigurnosti, naravno pod uslovom da je q = E(q) . Dakle sa parametrima koje možemo držati u kontroli ( prosena osigurana suma i rezerva sigurnosti) kontrolišemo najnepovoljniji rezultat kod neizvesne visine isplata šteta, pod uslovom da je uestalost osiguranih sluajeva (k/N) izražena potpunim gubicima prosene osigurane sume. Potrebno je imati u vidu da kod neproporcionalnih tipova ugovora o reosiguranju raspored šteta, odnosno raspored intenziteta šteta imaju bitnu ulogu. Primer kod geometrijske raspodele sa kojom smo se upoznali u razmatranju Peterburškog problema i izraunavanje nivoa izravnavanja ( broj N smo izraunali iz odnosa N= 1/ p20, za p=0,5) vrlo je insruktivan. Dinamika ravnoteža izmeu isplata šteta ( k* Cz ) i riziko premije86 u periodu osiguranja obezbeuje se sa rezervom sigurnosti U: ( k*Cz ) -
,
=U
Oigledno U može biti pozitivno ( rezerve se smanjuju) ili negativno (rezerve se poveavaju). 1. Ako su sve osigurane sume meusobno jednake a sa ostvarivanjem osiguranog sluaja se gubi cela osigurana suma (totalna šteta) U= (k*- k) s 2. Ako sve osigurane sume nisu jednake, a ostvaruje se oekivani broj šteta U = >(Cz /Cs) - 1@ >( k/n) si@ 3. Ako se ostvaruje vei broj šteta od oekivanih , a sve osigurane sume nisu jednake U = >(Cz -Cs) k* + (k*- k)Cs Navedene formule su izvedene iz modikovanog Loss Cost parametra. Modikovani Loss Cost racio je odnos ukupne sume oekivanih šteta i prosene sume osiguranja, što nam daje mogunost da oekivanu sumu šteta izrazimo sa k gubitaka prosene sume osiguranja 86
Riziko premija je izražena oekivanom sumom šteta
290
Oznake u formulama imaju sledea znaenja: U = smanjenje rezerve (kapitala), kada je prosena šteta vea od prosene sume osiguranja ( i/ili kada se ostvaruje vei broj šteta od oekivanih) k - apriori broj prosenih šteta k* - aposteriori broj prosenih šteta n - broj osiguranja Cz - apriori prosena visina štete Cs - apriori prosena suma osiguranja Znaaj ove analize je u tome što pokazuje da iz stohastikih procesa ( The Ruin Theory) koja nam objašnjavaju kako i zašto dolazi do bankrotstva87, možemo da preemo na determinisani proces prihvatanja suma osiguranja, u kome kontrolišemo strukturu suma osiguranja u portfelju prema raspoloživim rezervama, odnosno da upravljamo procesom sa odlukama o najveim sumama koje zadržavamo u samopridržaju, uzimajui u obzir visinu kapitala sa kojim raspolažemo i koji izlažemo riziku gubitka. Numeriki primer: Neka su sume osiguranja: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 tako da lako izraunavamo ukupnu sumu osiguranja S= 55 i prosenu sumu osiguranja s=5,5 n=10. Neka je riziko premijska stopa p= 0,2 ( i neka ukazuje da emo imati k=2 prosene štete u visini prosene sume osiguranja). Tada je P= Sp )= 55 x 0,2 = 11. Ako su se ostvarile 3 štete i to na najveim sumama osiguranja ( k*=3 ; z = 8+9+10=27 Cz = z / k*= 9 U= >(Cz -Cs) k* + (k*- k)Cs = (9 – 5,5)3 + (3-2)5,5 = 10,5 + 5,5 = 16 Ako se ostvare 3 štete na najmanjim sumama osiguranja ( k*=3; z = 1+2+3=6 87
J. Rašeta: Da li je za naše osiguranje aktuelna teorija propasti, asopis Finansije Bankarstvo, Revizika i Osiguranje br 4/2006 i 1/2007 g.
291
Cz = z / k*= 2 U= >(Cz -Cs) k* + (k*- k)Cs = (2 – 5,5)3 + (3-2)5,5 = -10,5 + 5,5 = - 5 u prvom (nepovoljnom) sluaju potrebno je smanjenje rezerve za 16 a u drugom (povoljnom) sluaju rezerva se poveava za 5. Lako je videti da e promena u rezervi biti nula, ako se ostvare oekivanja u broju šteta i intenzitetu šteta. Naravno, sve navedene kvantikacije se vrše aposteriori. Meutim, uoavamo da u uzrono-posledinim vezama (relacijama) možemo razlikovati sluajno promenljive veliine i veliine koje to nisu, ali imaju uticaja ili su u korelaciji sa sluajno promenljivim. Takve relacije nam omoguavaju kontrolu i upravljanje u sluajnim procesima koji se javljaju u osiguranju imovine.
8.6. POJEDINOSTI IZ POSLOVANJA Tehniki rezultat: Za svaki godišnji period osiguranja ocenjujemo merodavni tehniki rezultat i kvotu šteta TR= Merodavne štete / merodavne premije Q= Suma naknada / suma osiguranja Kod formiranja premijskog prihoda za obraunski period primenjuje se sledei raun:
Tehnika premija u obraunskom godišnjem periodu naziva se merodavna tehnika premija
292
Isto tako, za obraunski godišnji period se obraunavaju i premijski rashodi
Na osnovu merodavne premije i merodavnih šteta, utvruje se ostvareni tehniki rezultat za svaku vrstu imovinskog osiguranja:
Rezerve za izravnavanje rizika Iz vremenskih serija godišnjih rezultata utvruju se prosene vrednosti, standardno odstupanje i koecijenti varijacije. Na toj osnovi se izraunavaju rezerve za izravnavanje rizika. Formiranje fonda rezervi za izravnavanje rizika regulisano je odredbama Zakona osiguranja. Rezerve za izravnavanje rizika obrazuju se na teret rashoda društva za osiguranje, posebno za svaku vrstu neživotnih osiguranja i koriste se za vremensko izravnavanje toka šteta u pojedinim vrstama osiguranja. Podzakonskim aktom, koji je donela Narodna banka Srbije (Odluka o bližim kriterijumima i nainu obraunavanja rezervi za izravnavanje rizika) propisani su bliži kriterijumi i nain obraunavanja rezervi za izravnavanje rizika, odnosno izraunavanje gornje granice obaveze za formiranje tih rezervi, obraun iznosa, kao i poveanje i smanjenje ovih rezervi, osnovni podaci za izraunavanje godišnjih merodavnih tehnikih rezultata i standardnih odstupanja tih rezultata od prosenog merodavnog tehnikog rezultata posmatranog perioda – za svaku vrstu neživotnog osiguranja.Rezerve za izravnavanje se analiziraju iz vremenskih serija: uestalosti šteta, visine šteta i merodavnih tehnikih rezultata, korišenjem metoda standardnog odstupanja.
293
N.J novana jedinica (000 eura);Matematiko oekivanje tehnikog rezultata 0,62; Drugi obini momenat 0.398 ; Varijansa 0,398 – 0.622 = 0,0136 Standardna devijacija 0,01361/2 = 0,116619 Analize promene uestalosti šteta se naroito vrše kod osiguranja autoodgovornosti, jer je taj parametar zajedno sa oekivanom prosenom štetom osnovni pokazatelj ukupno oekivanih šteta tj. potrebne riziko premije u periodu osiguranja.
y*= 39,60/9= 4,40 (53,6430 / 8)1/2 = 2,59 Prema tablicama t distribucije za p(0,01) i n=8 3,36 4,40+ (2,59 x 3,36)= 13,1024
294
Predvidivo poveanje uestalosti šteta u 2004 godini: Uestalost šteta u 2004 godini / ( 2,59 x 3,36)= 13,1024/ 8,7024 = 1,5056
Determinacija koecijenta sigurnosti U jednom obraunskom periodu, neto rezultat poslovanja osiguravaa izražava se relacijom88 R= (1+ ) P - S gde je: P - premija u obraunskom periodu S - iznos naknade za osigurane sluajeve u obraunskom periodu - doplatak na premiju (doplatak za sigurnost) Oigledno, neto rezultat je sluajna promenljiva jer zavisi od iznosa naknade za osigurane sluajeve S koja je sluajno promenljiva. Decit u neto zaradi obeležavamo sa -K, tako da verovatnou da neto rezultat poslovanja R bude manji od veliine K možemo izraziti na ovaj nain Prob (R -K) D gde je D unapred poznato (npr. 5%) Oekivani pozitivan neto rezultat osiguravaa je E(R)= (1+ )P – E(S) = (1+ )P – P = 1+ Ako je oekivana premija (riziko premija) jednaka oekivanim naknadama za osigurane sluajeve. Varijansa neto rezultata je jednaka varijansi naknade za osigurane sluajeve tj Var(R)= Var(S)=V2 88
J.M.Rousseau; T.Blayac; N.Oulmane: Introduction à la Théorie de lc assurance Dunod, Paris 2001.
295
Ako primenimo nejednaini ebiševa Prob(P - tV d R d P + tV) ! 1 – (1/ t2) Stavljajui da je t = (K+ P) / V = E Na ovaj nain smo determinisali koecijent sigurnosti E. Kada se vratimo na verovatnou Prob( «R - P «) d (1/ t2) Prob [(-K ! R) ili (R! 2 P- K) ] d (1 / E) odnosno Prob [(-K ! R)] + Prob [R!2 P - K)] d (1 / E2) dolazimo do konanog zakljuka da je decit neto rezultata poslovanja povezan sa koecijentom za sigurnost nejednainom Prob [(-K ! R)] d (1 / E2)
Surplus Surplus89 ima znaenje razlike izmeu iznosa šteta i zbira premija i poetnog fonda sigurnosti, u obraunskom periodu. U(t)= u + c(t) – S(t) gde je S(t) stohastika promenljiva sume šteta u periodu, zbog ega je i U(t) takoe stohastika promenljiva [U(t); t 0], dok su premije c(t) i poetna rezerva realne determinisane veliine. Zbog viška rizika koji se ne prijavi u reosiguranje dolazi do sluaja U(t) < 0 tj. nastupa insolventnost osiguravaa. 89
Newton L.Bowers at all: Actuarial Mathematics SOA 1997 str.399
296
Sumu šteta u stohastikom procesu možemo izraziti sa Sn= W1+W2+...+Wn sa pretpostavkom da su štete meusobno nezavisne sluajne promenljive sa istim rasporedom, tako da je njihovo matematiko oekivanje ^= E(Wi) < c Ako iznosi šteta imaju normalnu raspodelu N(^, 2) , koecijent izravnavanja rizika sa raspoloživim sredstvima (samopridržaj) odreen je relacijom R= 2(c – ^)/ 2 gde je ^< c Ako doplatak za sigurnost # dovedemo u vezu sa c i ^ c= (1+ #) ^ sledi R = 2# p1E(N) / (p2-p1)E(N)+p12 Var (N) gde su p1 i p2 obini momenti. pk=(Xr) Kada štete imaju Poisonovu raspodelu, tada je R= 2 # p1/ p2 a ako štete imaju negativnu binomnu raspodelu R= 2 # p1 / (p2+p12)[(1/p) -1] (za p=1 imamo Poissonov sluaj)
297
9. STOHASTIKI ASPEKTI RIZIKA
Analize vremenskih serija preko probabilistikih modela utrle su put teoriji stohastikih procesa. Pod stohastikim procesom podrazumevamo sluajnu (stohastiku) komponentu u vremenskoj seriji koja je sastavni deo njene zike vrednosti, ali istovremeno i matematiki model koji opisuje kretanje pojave. Ovakav pristup je do sada imao veoma malu primenu u aktuarstvu jer se aktuarske analize uglavnom postavljaju na probabilistike osnove. Na primer, u strukturalnoj analizi ispituje se uzorak na bazi veeg broja jedinica i donosi zakljuak o celom skupu. Kod vremenskih serija imamo samo jedno posmatranje sluajne promenljive u vremenu t tj. jedna vremenska serija se može smatrati kao jedan lan iz beskonanog skupa vremenskih serija.Pri tome je svaki ovaj lan mogua i posebna realizacija stohastikog procesa. Kada se analiziraju vremenske serije na probabilistikim osnovama, jedan od problema koji se javlja je izbor adekvatnog modela. Upravo zbog ovog problema u teoriji rizika je pored poznavanja matematiko-statistikih metoda potrebno poznavanje i prirode rizika, odnosno pojave koja se analizira.esto složena tehnika analize i matematiki modeli mogu biti zamenjeni prostijim analizama. U osnovi, važno je oceniti faktore stabilnosti vremenske serije i to emo objasniti posmatranjem dva sluaja stabilizacije vremenske serije: I. Vremensku seriju posmatramo u kontinuitetu, poevši od t0 do tf . II. Vremensku seriju posmatramo u nekoj jedinici vremena, xi (t) , uvek od t=0. U prvom sluaju, vremenska serija x(t) se stabilizuje sa vrednosti D(x), ako je zadovoljen uslov
298
lim _ X(t) - D(i) _ = 0
t of
gde D(t) nije aleatorna funkcija vremena t. Taj sluaj imamo kada apsolutna razlika vrednosti vremenske serije i funkcije D(t) postaje sve manja za veliko t. Kada je D(t)=const., tada je i X(t) konstanta , za to f što u grakoj interpretaciji može da se prestavi tako što e D(t)=cons. biti paralelna sa apscisom koja predstavlja vreme t. dok e promene x(t) opisivati linija sa sve manjim oscilacijama oko prave D(t). U drugom sluaju, vremenska serija X(t) izražena skupom x1(t),x2(t)...xn(t) stabilizuje se kada lim _ Xk(T) - Dk(T) _ =0 k of
gde je 0 d T d 1, k predstavlja k-ti vremenski period T sa istim vraanjem na vremensku jedinicu. To znai da je vremenska serija postigla stabilnost ako se delovi vremenske serije po uzastopnim vremenskim jedinicama malo razlikuju od odgovarajuih delova funkcije Dk(t).
9.1. DINAMIKA RAVNOTEŽA RIZIKA U VREMENU I PROSTORU U dinamikom pristupu analize rizika centralno mesto ima predvianje stanja u procesu. Iz relacija p0 (dt) + p1 (dt) | 1 p0(dt) +p1 (dt) + pk ! 1(dt) sledi pk ! 1(dt) = 0 (dt) gde je 0(dt) beskonano mala veliina višeg reda od dt. tako da je lim 0(dt)/dt = 0 , dto0
299
Sluajni proces u vremenu ima funkciju rasporeda koju je mogue opisati verovatnoom trajanja procesa F(t)= P(T t) , t!0 gde F(t) može imati razliite oblike. Na primer ako uzmemo da F(t) ima eksponencijalnu raspodelu F(t)= 1 -e-P t , funkcija gustina verovatnoa je f(t)= Fc(t)= P e-P t Parametar P u obliku reciprone vrednosti 1/P jednak je matematikom oekivanju trajanja procesa (“srednje vreme trajanja”).
Konkretno, razvoj novog portfelja osiguranja neke klase rizika zapoinje sa nultim stanjem (nema ni jednog zakljuenog osiguranja i nema ni jednog osiguranog sluaja). Zakljuivanjem osiguranja sistem se “izbacuje” iz ravnoteže i sa protokom vremena ponovo dolazi do ravnoteže uplata premija i isplata šteta. Eksponencijalna raspodela je pogodna zbog osobine da raspodela preostalog dela vremena ne zavisi od toga koliko je ono ve trajalo. P(T t) = F(t) = 1 - e-P t , P(Ttt) = 1 - F(t) = e-P t To znai da raspodela vremena trajanja izmeu dva ravnotežna stanja portfelja koji se razvija ne zavisi od dužine intervala (0, a) , proteklog vremena u razvijanju portfelja. Druga osobina eksponencijalne funkcije, da dobro opisuje sluajeve kada se osnovna masa javlja u manjim vremenskim intervalima, esto može biti ogranienje za njenu upotrebu. Eksponencijalna funkcija je specijalni sluaj Erlangove raspodele (za k=1). Funkcija raspodele verovatnoa Erlanga ima oblik f(t)= >(Pk)k /(k-1)!@ tk-1 e- Pkt , t !0. 300
Matematiko oekivanje ove raspodele je M(T) = 1/P a disperzija D(T) = 1/ kP2 koja teži nuli kada k teži beskonano. Prosean broj osiguranih sluajeva ili matematiko oekivanje procesa nastajanja osiguranih sluajeva u funkciji vremena, na intervalu vremena dt, ocenjuje se iz kolinika p1(t1t+'t)/'t. Granicu ovog kolinika, kad 't teži nuli, lim p1(t1 t+'t)/'t = O(t) nazivamo intenzitetom procesa nastajanja osiguranih sluajeva. Intenzitet je oigledno nenegativna funkcija vremena, a kod stacionarnih procesa je konstanta (izražava prosean broj osiguranih sluajeva u jedinici vremena). Za ksiran broj zakljuenih osiguranja N=const u vremenskim intervalima, proces se može smatrati stacionarnim, premda strogo uzevši u realnim uslovima proces nastupanja osiguranih sluajeva nije stacionarni proces. Ako osu protoka vremena Ot podelimo na odseke 't= ti+1 - ti , pa za svaki odseak izraunamo intenzitet O, taj intenzitet e se menjati, ali e priroda procesa ostati nepromenjena. U suštini možemo imati sledee etiri realne situacije: O = const. (stacionarni proces) O sa periodinim promenama (ukazuje da je proces sezonskog karaktera) O sa neperiodinim promenama (proces nije sezonskog karaktera) O se menja nepravilno, (na momente nepravilno periodino). Prema iznetom pristupu, posebno emo se zadržati na poznatom stohastikom procesu koji se naziva “proces raanja i umiranja”. Posmatrajmo portfelj osiguranja u kome su sve osigurane sume jednake a sa nastupanjem osiguranog sluaja dolazi do potpunog gubitka osigurane sume. Taj sluaj npr. imamo kod osiguranja rizika smrti usled nezgode.
301
Ako sa Xk oznaimo da portfelj ima k osiguranja, tada sistem iz stanja Xk prelazi u stanje Xk+1 kada se zakljui jedno novo osiguranje, a prelazi u stanje Xk-1 kada nastupi jedan osigurani sluaj. Neka je broj osiguranja u portfelju konaan kada dostigne nivo izravnavanja rizika N. Graf stanja kojim ilustrujemo proces je sledei O0
O1
...
o
o
o
x0
x1
x2
Ok-1 o
... xk-1
m
m
m
P1
P2
...
Ok o
xk m
o
o
xk+1 ... xn-1 m
Pk
Ok-1
...
m Pk+1
xn m
...
Pn
Svako stanje portfelja, osim poetnog i krajnjeg, ima dva susedna stanja. Iz proizvoljnog stanja Xk (k!0, k n), mogu je prelaz u susedna stanja: x k-1 (prethodno stanje) i xk+1 (naredno stanje). Verovatnoe stanja u procesu daju sistem diferencijalnih jednaina pc0 (t) = -O0 p0(t) + P1 p1 (t) ... pck (t) = -(OkPk) pk (t) + Ok-1 pk-1 (t) + Pk+1 pk+1 (t) ... pcn (t) = -Pn pn (t) + On-1 pn-1 (t) Ovaj sistem ima smisla i kada su intenziteta procesa konstantni i kada su u funkciji vremena Ok = Ok(t) , k = 0,1,2..., n-1 ; Pi = Pi(t) , i = 1,2...n Za integraciju navedenog sistema, potrebni su poetni uslovi
U proizvoljnom momentu vremena ispunjen je uslov
302
U sluaju kada su svi parametri pozitivne konstante, veliine Ok i Pi , ne zavise od vremena i tako determinisan proces ima osobinu ergodinosti. To znai: ni jedno stanje nije bez ulaza i bez izlaza, a svi doga|aji koji menjaju stanje sistema su prosti (jer su parametri konstante u vremenu). U ovom sluaju se radi o prostim procesima. Erlangov model procesa ima sledei sistem diferencijalnih jednaina za verovatnoe stanja sistema -O0 p0 + P1 p1 =0 ... -(Ok +Pk )pk + Ok-1 pk-1 + Pk+1 pk+1 =0 , k=1,2...n ... - Pn pn + On-1 pn-1 = 0 Ovaj sistem ima smisla i kada su intenziteta procesa konstantni i kada su u funkciji vremena Ok = Ok(t) , k = 0,1,2..., n-1 ; Pi = Pi(t) , i = 1,2...n Kada u sistem jednaina uvedemo smenu uk = -Opk + Pk+1 pk+1 , ( k = 0.1,2...,n-1) sistem transformišemo u u0= 0 ... uk - uk-1 = 0 ( k=1,2..., n-1) ... - un-1 = 0 ili uk = 0 ... -Ok pk + Pk+1 pk+1 = 0 ... 303
pk+1 = (Ok/ Pk+1 ) pk , k=0,1,..., n-1 tako da je pk+1 = (Ok/Pk+1 ) pk (Ok/Pk+1 ) (Ok-1/Ok)pk-1 = p0
Oi/ Pi+1, (k=0,1,...,n-1)
Vidimo da verovatnoe stanja zavise od verovatnoe p0 i parametara procesa. Verovatnou p0 odreujemo iz uslova
Na ovaj nain je mogue odrediti verovatnoe stanja za sluaj konanog broja stanja. Proces postaje proces “istog razmnožavanja” za Pi=0 (i=1,2...n) i proces “istog umiranja” za Ok =0, (k=0,1,...,n-1). Interval vremena T izmeu susednih dogaaja u Erlangovom procesu k-tog reda, pretstavlja zbir k nezavisnih sluajnih varijabli (rastojanja izmeu dogaaja u osnovnom prostom procesu). Svaka od ovih sluajnih veliina ima eksponencijalnu raspodelu, sa funkcijom gustine verovatnoa f(t) = t/mt f(t) = O2 t e-Ot , t !0. Raspodela verovatnoa intervala T izmeu susednih dogaaja u Erlangovom procesu reda k, nazivamo raspodelom Erlanga k-tog reda. Možemo tražiti funkciju verovatnoe da se veliina cama elementarnog odseka (t, t+dt),
nae u grani-
fk(t)dt.= >(Ot)k-1 / (k-1)!@ e-Ot Odt fk(t) = >O(Ot)k-t / (k-1)! @ e-Ot , t !0 ovde ponovo vidimo da je za k=1 raspodela eksponencijalna. Videli smo da se sluajna promenljiva T sa raspodelom Erlanga reda k dobija sabiranjem k nezavisnih sluajnih promenljivih
304
gde svaka veliina Ti ima eksponencijalnu raspodelu sa matematikim oekivanjem 1/O Primenjujui teoremu zbira matematikih oekivanja dobijamo Mk (T) = k/O i za disperziju Dk(T)= k/O2 Funkcija raspodele verovatnoa fk(t) i njeni parametri Mk(T) i Dk(T) kada nisu izraženi pomou intenziteta Erlangovog procesa, mogu da se izraze na taj nain. Ako sa Ok obeležimo intenzitet Erlangovog procesa reda k, tada je Ok = O/k i O= kOk Od polaznog prostog procesa, sa intenzitetom O uzima se samo k-ti deo. Na taj nain, funkciju raspodele verovatnoa možemo izraziti u obliku fk (t) = >(kOk)k /(k-1)! @ tk-1 e-kOkt , t ! 0. Tada su matematiko oekivanje i disperzija Mk(T) = 1/Ok Dk (T) = 1/ kO2 k U stvari, kada zadržimo konstantni intenzitet Ok=O i samo menjamo red raspodele Erlanga, matematiko oekivanje se nee promeniti, ali se disperzija menja. Mk(T) = 1/O Dk(T) = 1/kO2 Ako k teži beskonano, disperzija e težiti nuli, tj. proces Erlanga zadanog intenziteta O teži regularnom procesu sa konstantnim intervalom izmeu dogaaja T=const=1/O. Upravo ova osobina Erlangovog procesa je naroito pogodna u praktinoj primeni jer se za razliite vrednosti k dobija proces, koji se za k=1 naziva “proces potpune odsutnosti posledica”, a za k= imamo strogo funkcionalnu vezu izmeu momenata pojavljivanja dogaaja. Iz tih razloga se red procesa Erlanga naziva i “merom posledica”.
305
Osim Erlangovog procesa, u teoriji su takoe poznati: proces Palme, proces Poissona, proces Markova, kao i drugi teorijski obrazloženi u literaturi o stohastikim procesima.
9.2. PROMENE RIZINOSTI PORTFELJA Promene u portfelju osiguranja nastaju u procesu koji se odvija u realnom vremenu. Te promene kontrolišemo simulacijama na osnovu odgovarajuih matematikih modela. Matematikim modelima povezujemo najvažnije faktore procesa i pri tome je naroito važna kontrola odstupanja aproksimacija od stvarnih vrednosti. Portfelj je skup zakljuenih osiguranja i ako se sastoji samo od jedne klase rizika nazivamo ga prostim portfeljom. U praksi, osiguravajua društva imaju složene portfelje, dok delovi portfelja mogu biti prosti. Na osnovu koecijenta (Vq /Cq) možemo uporeivati klase rizika prema veliini rizinosti.Manji koecijent varijacije (kao relativni pokazatelj u % ) pokazuje manju rizinost. Koecijent (Vq / Cq) , ako ima vrednost veu od 1, ukazuje da qvota ima binomnu raspodelu, ako je vrednost manja od 1 ukazuje da qvota ima negativnu binomnu raspodelu. Ako je (V2q /Cq)| 1, ukazuje na Poisonovu raspodelu.90 Meutim, potrebno je imati u vidu da e kod klase rizika kod koje je riziko premijska stopa vea , apsolutni gubitak biti vei, a pri tome ta klasa rizika može imati manji koecijent varijacije od klase rizika kod koje je riziko premijska stopa manja. Prema tome, kvota štete je apsolutna mera rizinosti dok je koecijent varijacije kvota relativna mera rizinosti. Sa stanovišta nansijskih tokova u delatnosti osiguranja su relevantna dva komplementarna pristupa: bilansni i aktuarski. Bilansni pristup je propisan zakonom o raunovodstvu i drugim propisima. Aktuarski pristup se zasniva na matematiko-statistikim modelima i u odnosu na bilansni pristup uvažava razlike u vrednosti novca po vremenu (sadašnja vrednost buduih ili prošlih uplata, isplata i sl.). U aktuarskom pristupu je jedan od glavnih zadataka odreivanje rizinosti. Potrebno je praviti razliku izmeu rizinosti pojedinane klase rizika (qi) i rizinosti portfelja Qi^q1,q2...` 90
S.Vukadinovi: Teorija verovatnoe i matematike statistike
306
Zadatak risk managementa je da kontroliše rizinost portfelja diverzikacijom klasa rizika. Rizinost u smislu opšte kvantitativne karakteristike portfelja, koja ima promene u vremenu, potrebno je smatrati stohastikom funkcijom ^Qi(t):tT`. Kvantikovanje rizinosti omoguava da se iz mnoštva i ponavljanja, na bazi uzajamnosti sprovodi osiguravajua zaštita. Skup zakljuenih osiguranja koja ine homogenu celinu, klasu rizika za odreeni period (godinu dana), karakteriše rizinost (qi) koja ima kvantikaciju prema Cq koje nazivamo riziko premijskom stopom. Funkciju riziko premijske stope, u matematikom izrazu, možemo dekomponovati na više elemenata (faktora rizinosti), regresionim funkcijama ili matricama rizinosti. Ova injenica da q(T) ----> q ima za posledicu da se rizinost kao stohastika veliina koristi identino sa skalarnom veliinom koja predstavlja konkretni rezultat osiguranja q -----> q(T). U samoupravnom i socijalistikom osiguranju se na osnovu ovakve transformacije dolazilo do zakljuka o potrebi promene riziko premijske stope, zanemarivanjem bitnih obeležja rizinosti kao što su uestalost osiguranih sluajeva i intenziteta šteta. To je mogue samo ako je osiguranje monopolisano i sa “dogovornim utvrivanjem premija“. U tržišnim uslovima, osiguravajua društva koja imaju bolji uvid u promene rizinosti, obezbeuju veu sigurnost osiguranika i nansijski e bolje proi. Portfelj osiguravajueg društva sadrži razliite klase rizika i oekivana stopa gubitka ukupne sume osiguranja u portfelju se izraunava kao oekivana vrednost. E(Qp) = E(q1)+E(q2)+...+E(qn) Ako uvedemo oznake: S = Suma osiguranja u klasi rizika q = oekivana stopa gubitka sume osiguranja u klasi rizika Stopu gubitka, ako portfelj ima samo dve klase rizika, možemo odrediti prema
307
Qp= (SA qA) +( SB qB) Oekivani gubitak sume osiguranja portfelja možemo izraunati iz relacije E(Qp) = ¦ qi Si Rizinost portfelja možemo izraziti standardnom devijacijom portfelja, ako portfelj posmatramo kao jedan veliki rizik u funkciji vremena, po analogiji sa jednom klasom rizika i qvotom klase rizika. Složena kvota, odnosno njena standardna devijacija, “sakriva” korelacije qvota klasa rizika. Za analizu rizinosti portfelja je korelacija qvota, odnosno kovarijansa qvota vrlo bitna. Standardnu devijaciju qvota portfelja možemo jednostavno odrediti iz relacije: V (Q p) = ¦ Pi>qPi - E(qP)@2 Meutim, ako bi ovako izraunatu standardnu devijaciju uporedili sa zbirom standardnih devijacija pojedinanih qvota ¦Vqi = Vq1 +Vq2+... dobiemo da je ¦Vpi < V(Qp) ako su pojedinane qvote klasa rizika u meusobnoj korelaciji, jer je razlika V(Qp) - ¦Vpi = 2 Cov(q1,q2,...qn) Na primeru za portfelj koji ima dve klase rizika A i B, pokazujemo njeno dekomponovanje na quote i standardne devijacije qvota klasa rizika, prema sledeem: V2(Qp)= ¦ Pi ^(SA qAj + SB qBj)- >SAE(qA) + SBE(qB)@`2 = SA2 V2(qA) + SB2V2(qB) + 2 SASB Cov(qA,qB)
308
Dakle, imamo kombinaciju oekivane stope gubitka i standardne devijacije portfelja. Prema tome, procena gubitka portfelja, odnosno procena rizinosti vrši se npr. u portfelju sa dve klase rizika A i B sa ponderom SB(1-SA), na osnovu relacije za gubitak E(qP) i za rizinost V(Qp), prema sledeem: E(Qp )=SAE(qA) +(1-SA)E(qB) U razvijenom obliku, u primeru za portfelj koji se sastoji od samo dve klase rizika, rizinost portfelja je: V(qP)= >SA2V2 (qA) +(1- SA)2 V2(qB) + 2SA(1-SA) Cov (qA,qB)@1/2 =>SA2V2(qA) +(1- SA)2V2(qB) +2SA(1-SA) U AB V(qA) V(qB) @1/2 UAB = >Cov (qA,qB) @/ V(qA)V(qB) To znai da se rizinost portfelja (UAB) može izraunati kao rezultat kolinika kovarijanse (Cov qA,qB) gubitka klase rizika A i klase rizika B i proizvoda standardnih devijacija VqA i VqB. Rizinost portfelja je jedan od kriterijuma za vrednovanje stanja portfelja.
9.3. ODRŽAVANJE STABILNOSTI PORTFELJA Od dve klase rizika, odnosno pojedinanih delova portfelja, koji su rizini teorijski možemo komponovati potpuno nerizini portfelj. Nerizinost portfelja se teorijski može objasniti modelom, koji se može odnositi bilo na portfelj osiguranja ili na portfelj hartija od vrednosti. Razlika je u interpretaciji vrednosti A i B koje su u modelu portfelja osiguranja tehniki rezultati dve vrste osiguranja, a u modelu portfelja hartija obveznice i akcije ili dve vrste akcija. Gubitak na jednoj vrsti se kompenzuje dobitkom na drugoj vrsti. Od teorije Markowitz-a91, do sada su se pojavile brojne teorije koje objašnjavaju vrste rizika u trgovini hartijama od vrednosti, kao i metode kontrolisanja tih rizika. Tako je postavljen i koncept da od dve vrste hartija od vrednosti, npr. državnih obveznica i akcija preduzea, koje imaju razliite promene tržišne vrednosti 91
Markowitz : Polrtfolio selection Efcient diversication of investment, John Wiley and Sons New York 1959
309
tokom vremena, pa sa tim i promene u špekulativnom riziku gubitka i dobitka u trgovini sa njima, ostvarivanja nerizine strukture portfelja. Vrednosti portfelja i parametre iskazujemo u sledeem numerikom primeru:
Vrednosti standardne devijacije upuuju na zakljuak da su obe strukturne komponente rizine tj. da vrednost A i B mogu biti u odreenoj širini intervala koji odreujemo po kriterijumu pouzdanosti. Kombinovanjem strukture dve hartije dobijamo:
Solucija za postizanje minimalne varijanse min (VpA+(1-p)B) daje kompoziciju zajednike disperzije V(A,B)= p2V(A)+(1-p)2V(B)+2(1-p)V(b) rA,B dV(A,B) p=0,5714 i
310
(1-p)= 1-0,5714= 0,4286 Na ovaj nain izraunali smo potrebnu strukturu komponenti A i B tj. da portfelj treba da sadrži 57,14% komponente A i 42,86% komponente B pa e tada portfelj biti sa matematikim oekivanjem E(A+B)= 0,571428(10%) + 0,42857(10%) = 10% i potpuno nerizian jer je disperzija VA+B=0,000. Kod dve sluajne promenljive, odnosno njihovih disperzija, treba imati u vidu da se javlja efekat kovarijanse. Zbog toga disperzija ima sledeu strukturu, u sluaju nzm V2 = >(nVA2+mVB2)/(n+m)@ + ®>(nm)2/(n+m)2@(A*-B*)2¾ Kompoziciju zajednike disperzije smo mogli izraziti u obliku W min(A)= >V2B – Cov (rA,rB)@ / >VA2+VB2- 2 Cov (rA,rB)@ koji u numerikom primeru daje isti rezultat W min(A)= (0,02666+0,02)/(0,015+0,02666+0,04)=0,571428 W min (B)= 1 - Wmin (A) W min (B)= 0,42857
9.4. PROCENA NASTALIH NEPRIJAVLJENIH ŠTETA Jedna vrsta specinih aktuarskih zadataka je procenjivanje šteta koje su nastale a koje e biti prijavljene i isplaene u narednim obraunskim periodima, IBNR (incured but not reported claims ). Aktuarske metode koje se primenjuju za rešavanje ovih zadataka razvijale su se u toku poslednje tri decenije92.Te metode su poznate pod opštim nazivom run-off methods, triangle run-off itd.93 92
93
TEHNICAL RESERVES WORKING PARTY-IBNR RESERVES, Presentet-Giro seminar –Kendal, Novembar 1975 (T.G.Clarke at all.) DrErhard Kremer: Stohastic claims ination in IBNR; ASTIN COLLOQUIM Glasgov 1998.
311
U narednom izlaganju, upoznaemo osnovu koncepta, najranije i široko primenjenog metoda run-off 94 . Savremeni koncepti su složeniji (Benktander , G. Credible: Claim s Reserve-The Benktander Method; Bornheutter R.L. and Ferguson R.E.: The actuary and IBNR; Mack T. Credible Claims Reserves, ASTIN Billetin 2000 itd. Normalna je pojava da se neke prijavljene štete u tekuem obraunskom periodu ne mogu rešiti i isplatiti do isteka tog tekueg obraunskog perioda. Osim toga, neke štete nisu prijavljene u obraunskom periodu kome pripadaju po datumu nastanka, ve u nekom kasnijem tekuem obraunskom periodu. Stoga se za nastale prijavljene, i za nastale a do isteka tekueg obraunskog perioda neprijavljene štete, vrši rezervacija novanih iznosa tzv. rezervisanje šteta. Po propisima Zakona o osiguranju, sredstva rezervi šteta predstavljaju deo ukupnih tehnikih rezervi osiguravaa. Nadzorno-regulatorni organ (Narodna banka Srbije), u okviru svoje nadležnosti donosi Odluku95 o bližim kriterijumima i nainu obraunavanja rezervisanih šteta. Rezervisanim štetama, u smislu ove odluke, smatraju se: 1) Nastale prijavljene a nerešene štete do kraja tekueg obraunskog perioda. 2) Nastale neprijavljene štete do kraja obraunskog perioda. U savremenom osiguranju, za risk management i aktuarstvo su relevantni portfelji po vrstama osiguranja sa iskazima tehnikih rezultata, iskazima o dinamici isplata naknada za osigurane sluajeve, kao i drugim iskazima dobijenih primenom srun-offs aktuarskih metoda.96 Aktuarske procene rezervi šteta zasnivaju se na diferenciranju šteta po godinama nastanka i godinama kada je šteta plaena. Podaci za procenu rezervi šteta prikazuju se u obliku trougla šteta (engl. Run-off triangle)
94
95 96
John Ross, Chris Pountain: Estimating Outstending Reserves From the standardpoint of external observer; General Insurance Convention 1985. Metod ovde nije prikazan. Prikazani metod je na principima SOA (General Insurance Convention - Giro seminar York sept. 1976)
312
U trouglu šteta imamo informacije: o godini nastanka štete i o godini kada je izvršena isplata. Ovakav prikaz omoguava horizontalnu analizu isplata šteta po godinama razvoja jer cij pokazuje npr. broj šteta u godini (i+j) od poslova zakljuenih u godini i. Vrednosti X procenjuju se na osnovu podataka iz prošlosti, sa pretpostavkom da je raspodela šteta ista. Postoje dve grupe metoda procene: a) na osnovu kretanja svih šteta b) na osnovu pojedinanih uestalosti i prosene visine šteta. Prikazujemo podatke o štetama koje su nastale u periodu 2001-2005. Tako je niz za svaku godinu kumulatvni iznos svih isplaenih šteta u toj godini.Sa pretpostavkom da e se sve štete isplatiti za 5 godina prikazujemo kako možemo koristiti trougao šteta.
Podaci u prvom redu pokazuju da je od ukupnog iznosa šteta koje su nastale 2001 godine 39 u godini nastanka tj. u 2001 isplaeno (22 x 100/ 39)=56,41% u iznosu 22 313
Od svih nastalih šteta u 2001 godini, do kraja 2002 godine isplaeno je (30 x100/39)=76,92% u iznosu 30 Od svih nastalih šteta u 2001godini,do kraja 2003 godine isplaeno je (34 x100/39)=87,18% u iznosu 34 Od svih nastalih šteta u 2001 godini,do kraja 2004 godine (38x100/39)=97,44 i 100% do kraja 2005 godine Polazei od podataka za 2001 možemo izraunati odnose kumulativnih brojeva susednih razvojnih godina. M1= 1,364 M2= 1,133 M3= 1,118 M4= 1,026 Množenjem faktora razvoja sa podacima o podmirenim štetama procenjuju se budue isplate. Na ovaj nain sledi: A = 46,2 ; B=34,6; C= 35,6; D= 47,6 ; E= 53,2; F=54,6; G= 47,7; H= 54,1 I=60,5 J=62,0 Tako smo utvrdili drugi deo trougla šteta kao projekciju kretanja šteta u ranijem periodu
Sada se izraunavaju rezerve .
314
Ako predpostavimo da se sve štete podmiruju u roku od 5 godina onda je M5 = 1,000 Ukupne štete za svaku godinu nastnka mogu se utvrditi tako da se umnože kumulativi šteta sa faktorma razvoja za sve preostale godine razvoja. Ako želimo da u analizu ukljuimo i kretanje šteta u kasnijim godinama a ne samo u poetnoj 2001 onda treba analizirati kretanja na istom stupnju razvoja šteta, npr. Jednu godinu nakon štete. Tako se svako poveanje ili smanjenje odražava na plaene štete u jedinici vremena u procesu razvoja štete odreene godine nastanka. Ta metoda analize zove se lanana metoda (CHAIN LADDER) U tom sluaju razvojni faktori se izraunavaju na bazi svih godina nastanka štete a ne samo zakljune. Faktori za godinu razvoja (isplate) j (Mj) izraunavaju se tako da se uzmu omjeri zbrojeva kumula šteta Cij u j-toj koloni sa zbrojem odgovarajuih iznosa u prethodnoj razvojnoj godini (j-1) kolona. Budui da (j-1) godina razvoja ima uvek jednu stavku više od j kolone poslednji element u koloni (j-1) godine u ovom sluaju 2001. izostavlja se iz zbrajanja. Tako je: C2005,1= 46,6 C2005,2= 51,5
C2004,2= 46,42
C2005,3= 57,7
C2004,3= 52,07
C2003,3= 34,8
C2005,4= 59,2
C2004,4= 53,44
C2003,4= 35,7
C2002,4= 46,2
Trougao šteta kao projekcija kretanja šteta u ranijim razdobljima razvoja:
Potrebne rezerve na kraju 2005
315
Napomena: Procenjene ukupne štete daje kolona 2005 g. (iz gornje tabele), a plaene štete se dobijaju iz dijagonale gornje tabele. Razlika C-A= D Kada smo kompletirali trougao šteta kao projekciju kretanja šteta u ranijim godinama, iz zbirova kolona izraunavamo potpune razvojne koecijente B M1 = 1,330
B
M2 = 1,105
M4=1,026
M3 = 1,122
M3xM4=1,151
M4 = 1,026
M2xM3xM4= 1,272
M5 = 1,000
M1xM2xM3xM4= 1,692
Na kraju dobijamo
316
9.5. FRANŠIZA Franšiza je osiguranikov samopridržaj u šteti koji, na osnovu zakljuenog ugovora o osiguranju, osiguranik snosi sam. Taj deo se pojavljuje kao odreeni novani iznos ili postotak od štete. Franšiza poveava zainteresovanost osiguranika da preduzima mere preventive, sa jedne strane, a isto tako, sa druge strane, osigurava ne iscrpljuje svoje radne kapacitete na velikom broju šteta sa malim iznosima po šteti, odnosno kumuliranje malih šteta. U sluaju kada je franšiza odreena postotkom, osiguranik uestvuje u svakoj šteti bez obzira na iznos štete. Kada se odbitna franšiza ugovori kao ueše osiguranika u odreenom nominalnom iznosu, sve štete do tog iznosa (d), osiguranik snosi sam. Ako je šteta vea od d, osigurava plaa razliku x-d i zato se takva franšiza naziva odbitna franšiza. Primer 1. Odredi sline koliine za Pareto distribuciju sa D=3 i T=2000 za odbitnu franšizu od 500. Promenljiva reosiguranja viška šteta,
Za levu cenzurisanu i pomerenu promenljivu,
317
Postoji i uslovna franšiza, (u osiguranju transporta i osiguranju useva se naziva integralna).Ova franšiza se razlikuje od odbitne po tome što kada šteta premaši franšizu, šteta se isplauje u punom iznosu. Primer 2. Pareto distribucija sa D=3 i T=2000 za uslovnu franšizu od 500. Koristei formule za promenljivu po isplati date gore, za y>500,
Za promenljivu po šteti,
318
Primer 3. Odrediti etiri oekivanja za Pareto distribuciju iz primera 1 i 2 koristei franšizu od 500. Oekivanja se mogu izraunati direktno iz funkcija gustine dobijenih iz primera 1 i 2. Ako upotrebimo teoremu 1. i prepoznamo da postoji Pareto distribucija, takoe možemo potražiti zahtevane vrednosti. To znai,
Sa E(X)= 1000 dobijamo da , za odbitnu franšizu, oekivani troškovi po šteti iznose 1000-360=640, dok oekivani troškovi po isplati iznose 640/0.512=1250. Za uslovnu franšizu, oekivanja su 640+500(1-0.488)=896 i 1250+500=1750. U osiguranju rizika kod kojih štete mogu biti masovne i katastrofalne (npr. Rizik zemljotresa, uragana i sl. Zakljuuje se osiguranje sa ogranienjem. U praksi postoje i osiguranja sa limitom maksimalnog iznosa naknade po jednom riziku. Takve polise su sa ogranienjem. Ogranienje se postavlja tako 319
da štetu ispod u osiguranje plaa u celokupnom iznosu, ali za gubitke koji su vei od u, osiguranje plaa samo u. Ovakvim ogranienjem se dobija desno cenzurisana sluajna promenljiva. U tom sluaju imamo mešovitu distribuciju sa funkcijom distribucije i gustine, (gde je Y sluajna promenljiva nakon što je sastavljeno ogranienje)
Primer 4. Postavljeno je ogranienje od 3000 na Pareto distribuciju koja ima parametre D=3 i T=2000. Potrebno je odrediti oekivani trošak po gubitku sa ogranienjem kao i proporcionalno smanjenje u oekivanom trošku . Ovo treba izraunati ponovo nakon poveanja od 10%. Za ovu Pareto distribuciju, oekivani trošak iznosi
a proporcionalno umanjenje je (1000-840)/1000=0,16. Nakon poveanja, oekivani trošak je
za proporcionalno umanjenje od (1000-903,11)/1100=0,179. Posle poveanja, oekivani trošak je porastao za 7,51%, što je manje od opšte stope porasta. Ovaj uticaj suprotan je franšizi – jer je porast troška umanjen. Razmotrimo primer u osiguranju, gde osigurava plaa štetu od 250 do najviše 2000. (štete do 250 su u franšizi osiguranika). Verovatnoa nastupanja štete je P(I=1)=0,15 a verovatnoa da šteta nee nastupiti P(I=0)=0,85. Verovatnoa 0,15 ukljuuje i štete koje su manje od samopridržaja 250. 320
Sumu šteta izmeu 0 i 2.000 modeliramo proporcionalnom raspodelom za 1-x/2000 za 0 X 2000 Imamo dakle uslovnu raspodelu
Sredinu i varijansu možemo izraunati na dva naina. 1. Prvi nain: Fx(x) = P(Xd x)= P(IBd x) = P(IBd x _ I=0)P(I=0) + P(IBd x _ I=1)P(I=1) za x 0 Fx(x)= 0 (0,85) + 1 (0,15)=0 za 0 d x 2000 Fx(x)=1(0,85)+0,9 >1- (1- x/2000)2@ (0,15) (Odavde, za x=2000 sledi Fx(2000)=0,985 odnosno P(X=2000)=0,015) za x t 2000 Fx(x)=1(0,85)+1(0,15) Kombinovanje verovatnoa P(X=0)=0,85 i P(X=2000)=0,015 dobijamo funkciju gustine verovatnoa
321
Momente ove funkcije, od X izraunavamo prema sledeem
Kako je
Kako je
322
2. Drugi nain:
Uzimajui P(B=2000 _ I=1)=0,1 imamo
323
10. REOSIGURANJE
Prvi i najvažniji zadatak osiguravaa je da utvrdi svoj kapacitet. Najvei iznos koji osigurava može da prihvati za pojedini rizik,odnosno ukupno za sve rizike iz svog portfelja osiguranja, a da po njegovoj isplati iz sopstvenih sredstava ne postane neplatežan pretstavlja samopridržaj. Mehanizam upravljanja rizikom kojim osigurava teži da se zaštiti od rizika plaanja velikih šteta ili velikog broja malih šteta izazvanih jednim štetnim dogaajem, zbog ega bi mogao da postane nesolventan, je reosiguranje. Osigurava praktino sebe osigurava plasmanom delova rizika u reosiguranje. Matematikim metodama na temelju rauna verovatnoe i statistike, finansijske matamatike, stohastikih modela, teorije rizika vrše se prerauni vezani za reosiguravajue pokrie, visinu samopridržaja i druge elemente poslovne politike. Samopridržaj predstavlja procentualni ili novani udeo u riziku koji osigurava zadržava za svoj raun, odnosno udeo koji ne predaje u reosiguranje.To je onaj deo rizika koji osigurava u sluaju štete nadoknauje iz svojih sredstava, dok preostali deo nadoknauje od reosiguravaa. Samopridržaj je jedan od osnovnih inilaca prilikom opredeljivanja koji e rizik ii u reosiguranje . To se uvek odnosi na onaj deo rizika koji sam osigurava može da pokrije iz vlastitih sredstava u sluaju nastanka štetnog dogaaja, odnosno delimine ili totalne štete, a da pri tom ne ugrozi svoje poslovanje, odnosno da ne bi sluajno išao u bankrot. Deo rizika koji prihvata jedna osiguravajua kompanija naziva se bruto rizik, a deo koji zadržava za sebe naziva se neto rizik ili samopridržaj. Postoje dva uobiajena tipa reosiguravajuih ugovora su individualno reosiguranje viška šteta i kvotno reosiguranje. Kod reosiguranja viška štete , društvo e u celosti platiti štetu do iznosa M koji se zove samopridržaj , svaki iznos iznad M pokri e reosigurava. 324
Ugovor o reosiguranju viška štete može se zapisati na sledei nain : ako je iznos štete X , tada e društvo platiti Y gde je Y = X , ako je X d M Y = M , ako je X ! M . Reosigurava plaa iznos Z = X – Y . To na osiguravaevu obavezu utie na dva naina: 1. smanjuje se oekivani plaeni iznos 2. smanjuje se varijansa isplaenog iznosa . Oba zakljuka su jednostavne posledice injenice da reosiguranje viška štete ograniava odozgo velike štete. Sada se mogu dobiti i oekivanja i smanjenja iznosa koji isplauje osigurava pri reosiguranju viška štete.Oekivani iznos koji isplauje osigurava bez reosiguranja
gde je f(x) verovatnoa funkcije gustine iznosa štete X. Sa samopridržajem M oekivanje postaje
Potpuni integral može se dobiti Z=x-M .
što je jednostavna, ali važna formula. 325
Smanjenje oekivanog iznosa štete je
Problem in acije: Pretpostavimo da inacija poveava iznose štete za faktor k, ali da se samopridržaj M ne menja. Kakve e to posledice imati na ugovor? Iznos štete je kX , a iznos Y koji plaa osigurava je Y = kX, ako je kX d M. Y = M, ako je kX !M . Oekivani iznos koji plaa osigurava je
odnosno,
Novi oekivani iznos koji isplauje osigurava je . Važan zakljuak je da novi oekivani iznos šteta
326
nije k puta oekivani iznos šteta bez inacije
Kvotnim osiguranjem se reosigurava itav portfelj ili vrsta osiguranja. Kod kvotnog reosiguranja udeli osiguravaa i reosiguravaa su odreeni procentualno, pri emu zbir tih udela mora biti 100%. Ugovor o kvotnom reosiguranju može se zapisati : ako je iznos štete X, tada e društvo isplatiti Y, gde je . Parametar se zove samopridržaj. Pošto je iznos po šteti X koju isplauje osigurava X, a iznos koji isplauje reosigurava (1- )X, distribucije oba iznosa jednostavno se nalaze zamenom promenljivih. Kod ekscedentnog reosiguranja cedent odreuje samopridržaj M, tako da su njegove obaveze za štete . Samopridržaj možemo izraunati kao matematiko oekivanje E(M) na osnovu raspodele šteta f(x). Visine šteta imaju funkciju verovatnoe f(x) sa neprekidnom raspodelom
Za raspored G(x)=1-F(x) imamo
Sledi da je
Na osnovu G’(x) = -f(x), sledi
327
Kada je f(x) eksponencijalna raspodela tj.
Reosiguranje po obliku excess of loss vrši se ako osigurava odlui da su njegove mogunosti u plaanju naknade za osigurane sluajeve ograniene limi, dok e višak reotom M, tako da e svaku štetu Z plaati u celosti ako je sigurati. Neka je gustina verovatnoa šteta je eksponencijalna, u obliku
Štete u samopridržaju osiguravaa ZM, mogu se predstaviti kao
Za odreivanje E(ZM) , koristi se mešovita raspodela
gde je u opštem sluaju
328
gde je PM verovatnoa
329
LITERATURA
1.
Black Kenneth, Jr Harold, D.Skipper, Jr Life Insurance, Englewood Cliffs N.J.Prentice-Hall, 1994
2.
B.Marovi, D.Mrkši: Osiguranje i reosiguranje Novi Sad 1985
3.
B.Radojkovi: Osnovi matematike osiguranja, Prosveta, Beograd 1930
4.
V.Veselinovi: Osnovi osiguranja na život; Prosveta, Beograd 1948
5.
Vrani: Aktuarska matematika, Školska knjiga, Zagreb 1948
6.
V.Vrani: Vjerojatnost i statistika; Tehnika knjig, Zagreb 1958
7.
V.Tomaši: Transportno osiguranje, Savremena administracija, Beograd 1987
8.
Gary L.Guthrie, Larry D.Lemon: Mathematics of Interest Rates and Finance Pearson Prentice Hall 2004.
9.
D.S.Mitrinovi, D.Mihajlovi: Linearna algebra, Analitika geometrija, Polinomi Nauna knjiga, Beograd 1969
10.
David B. Atkinson, FSA and James W.Dallas, FSA: Life Insurance Products and Finance New York 1986 g.
11.
D.Ogrizovi: Ekonomika osiguranja ZOIL Sarajevo, Sarajevo 1985
12.
E.Straube:Actuarial remarks on planning and controlling in reinsurance, Zurich 1988
13.
Ž.Pauše: Vjerojatnost, Informacija, Stohastiki procesi; Školska knjiga, Zagreb 1985
14.
Z.Ivkovi: Uvod u teoriju verovatnoe sluajne procese i matematiku statistiku, Privredni pregled; Beograd 1970
331
15.
Z. Petrovi, T.Petrovi: Osiguranje života, Glosarijum Beograd 2003
16.
I.Jankovec: Ugovor o reosiguranju, Forum, Novi Sad 1968
17.
J.Rašeta: Opšte i aktuarske osnove osiguranja Beograd 2004
18.
J.Koovi: Finansijska matematika, Ekonomski fakultet, Beograd 1995
19.
J.Koovi: Aktuarska matematika,Ekonomski fakultet, Beograd 1996
20.
J.Koovi,P.Šuleji: Osiguranje, Ekonomski fakultet, Beograd 2002
21.
J.Slavni: Obavezno Osiguranje, osnovni sistem i koncept njegovog regulisanja, Savremena administracija, Beograd 1978
22.
K.V.Mardia: Statistics of Directional Data, London 1972
23.
M.Staniši, Lj. Stanojevi: Evaluacija i rizik Beograd 2005
24.
M.Kendall; A.Stuart: The Advanced Theory of Statistics, Volume 1, Distribution Theory, London 1960 M.Tourki: Markovljevi procesi, Ekonomski fakultet,Beograd 1984
25.
M.Žiži: Statistika, Ekonomski fakultet, Beograd 1995
26.
Newton L.Bowers,JR; Hans U.Gerber; James C.Hickman; Donald A.Jones; Cecil J.Nesbitt : Actuarial Mathematics The Society of Actuaries, New York 2000 g.
27.
Ralph Mcay: Risk mechanics, Sydney 1997
28.
R.Matjaši: Osiguranje u iznemoglosti, starosti i smrti Glasnik udruženja aktuara 1938/1939
29.
R.Njegi, M.Žiži: Osnovi statistike analize, Savremena administracija, Beograd 1980
30.
R.Ralevi: Finansijska i aktuarska matematika, Savremena administracija, Beograd 1975
31.
Sir Edmund Whittaker: The calculus of observations A Treatise on Numerical Mathematics, Edinbourgh 1948 g
32.
S.Cari: Bankarski poslovi i hartije od vrednosti, Savremena administracija, Beograd 1981
33.
S.Vukadinovi: Elementi teorije verovatnoe i matematike statistike Privredni Pregled, Beograd 1981
332
34.
S.Vukadinovi:Teorija masovnog opsluživanja, Nauna knjiga, Beograd 1975
35.
T.Zeevi: Statistika III, Ekonomski fakultet, Beograd 1973
36.
T.Pejovi: Matematika analiza, Nauna knjiga Beograd 1977
37.
F.B.Hilderbrand: Introduction to Numerical analysis, Masachusetts 1992
38.
H.Bulman: Methematical Methods in Risk Theory, New York 1970
39.
C.D.Daykin, T.Pentikenen, M.Pesonen: Practical Risk Theory for Aktuaries, London 1993
40.
Ch.W.Jordan: Life Contingencies, Chicago 1975
41.
William Edwards Deming: Some Theory of Sampling, Chapman & Hall, New York 1950
333
TABLICE
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
Odlukom Senata Univerziteta “Singidunum”, Beogrаd, broj 636/08 od 12.06.2008, ovaj udžbenik je odobren kao osnovno nastavno sredstvo na studijskim programima koji se realizuju na integrisanim studijama Univerziteta “Singidunum”.
CIP - Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд 51-71:33(075.8) 51-75:33(075.8) РАШЕТА, Јован С., 1943Finansijska i aktuarska matematika / Jovan S. Rašeta. - 5. izd. - Beograd : Univerzitet Singidunum, 2009 (Loznica : Mladost Grup). - VIII, 346 стр. : graf. prikazi, tabele ; 25 cm Тiraž 500. - Napomene i bibliografske reference uz tekst. - Bibliografija : str. 331-333. ISBN 978-86-7912-224-7 a) Привредна математика b) Актуарска математика COBISS.SR-ID 170828044 © 2009. Sva prava zadržana. Ni jedan deo ove publikacije ne može biti reprodukovan u bilo kom vidu i putem bilo kog medija, u delovima ili celini bez prethodne pismene saglasnosti izdavača.
