Poslovna i Finansijska Matematika

Smjer „Informacione tehnologije”

Predmet

POSLOVNA I FINANSIJSKA MATEMATIKA MATEMATIKA (seminarski rad)

Prof. dr Esad Jakupović Student

Slavica Štrbac Index br. 125-09/VIT

Slavica Štrbac

Seminarski rad Poslovna I finansijska matematika

Banja Luka, april 2011.

16

Slavica Štrbac


SADRŽAJ Contents Predmet........................................................................................................1 POSLOVNA I FINANSIJSKA MATEMATIKA........................................................ 1

16

Slavica Štrbac


1.PROCENTNI I PROMILNI RAČUN

Srazmjeran račun pomoću kojeg direktan odnos dvije veličine (tekuće i bazne, dijela i cjeline) izražavamo tako što jednu od veličina (baznu, odnosno cjelinu) uzimamo kao 100, odnosno 1000 jedinica nazivamo procentni odnosno promilni račun. Pođimo od sledećih dogovora : 1%=1/100=0,01; 6%=6*1/100=6/100=0,06; 1‰=1/1000=0,001; 6‰=6*1/1000=6/1000=0,006.

Prema ovim dogovorima odnos broja 180 i 9000 možemo prikazati na sledeći način: 180:9000=2:100=

Uopštimo ovaj primjer i napišimo sledeću proporciju:

(1)

P:G=p:1-G:P=1:p-P=pG G-oznaka za baznu veličinu, cjelinu ili tzv. čistu glavnicu; P-oznakaza tekuću veličinu, dio ili tzv. procentni (promilni) prinos; p-oznaka za procentnu (promilnu) stopu i predstavlja tekuću veličinu na 1 jedinicu bazne veličine (glavnice), p se po želji i potrebi može prikazati u obliku s/100 ili s/1000 jedinica glavnice (bazne veličine). Iz ove činjenice i dolazi naziv za “procentni” odnosno “promilni” račun. Proporcija (1) služi za tzv. procentni (promilni) račun od sto (hiljadu) jer predpostavlja rad sa tzv. čistom glavnicom. Međutim u praksi se javljaju i slučajevi kada je data ili se predpostavlja glavnica zajedno sa prinosom ili glavnica po odbitku prinosa. Za takve

16

Slavica Štrbac


slučajeve jednostavno formiramo izvedene proporcije polazeći od (1) poznate pod nazivom proporcije za procentni (promilni) račun više i niže sto (hiljadu). (G P):(1±p)=

(2)

Iz (2) se po potrebi mogu dobiti: P=

(3)

G=

(4) je oznaka za uvećanu, odnosno umanjenu glavnicu.

Dakle, radi se o relativno jednostavnim obrascima, čija upotreba ne predstavlja veće probleme. Ono što se u praktičnoj primjeni javlja kao problem je: kojim računom u konkretnom slučaju treba raditi, tj. koju od proporcija koristiti. U tu svrhu dajemo sledeća dva uputstva: 

Ona vrijednost na koju se odnosi procentni prinos, odnosno ona vrijednost koja služi kao baza upoređivanja (bazna veličina) uzima se kao čista glavnica.



Ako je u nekom problemu poznata ili se smatra poznatom (datom), čista glavnica, radi se računom od sto (hiljadu); ako je poznata umanjena glavnica, radi se računom niže sto (hiljadu); ako je poznata uvećana glavnica radi se računom više sto (hiljadu).

Napomena:

Ako je npr. 100KM čista glavnica, onda je 80KM 20% manja glavnica od 100KM, a 120KM je 20% veća glavnica od 100KM. 100KM je glavnica (veća vrijednost) od 80KM, ali 100KM nije uvećana glavnica u odnosu na 80KM, već je 80KM umanjena glavnica u odnosu na čistu od 100KM. 100KM je manja glavnica (manja vrijednost) od 120KM, ali 100KM nije umanjena glavnica u odnosu na 120KM, već je 120KM uvećana glavnica u odnosu na čistu od 100KM. Na kraju imamo dva karakteristična i za ekonomiste značajna slučaja upotrebe i razlikovanja procentnog računa od sto, niže sto i više sto. To su slučajevi izračunavanja marže i rabata. 1.1.Marža

16

Slavica Štrbac


je pozitivna razlika u cijeni koja se računa na nabavnu cijenu kao čistu glavnicu. Marža se dodaje nabavnoj cijeni pa se dobije prodajna cijena kao uvećana glavnica NC+M=PC NC- oznaka za nabavnu cijenu M- oznaka za maržu PC- oznaka za prodajnu cijenu 1.2.Rabat

je pozitivna razlika u cijeni koja se računa na prodajnu vrijednost kao čistu glavnicu. Rabat se oduzima od prodajne cijene pa se dobije nabavna cijena kao umanjena glavnica PC-R=NC R- oznaka za rabat. Primjer:

Nabavljene su 4 količine robe i prodate: prva sa 2% zarade, druga sa 6% gubitka, treća sa 9% zarade, a četvrta po nabavnoj cijeni. Pojedinačne zarade i gubici se računaju od: a) Nabavnih b) Prodajnih vrijednosti. Prodajom robe ostvarena je ukupna zarada od 189.847,5KM. Izračunati sve nabavne i prodajne vrijednosti i ukupnu zaradu u %, ako se zna da je druga nabavna vrijednost za 15.000 manja od prve, da je treća za 15% veća od druge, a četvrta za 15.000KM manja od treće. Rješenje: a)

Neka je x oznaka za prvu nabavnu vrijednost. Tada možemo postaviti sledeću jednačinu: 0,02*x-0,06*(x-15.000)+0,09*1,15*(x-15.000)=189.847,5

Rješenje ove jednačine je x=3.000.000.

16

Slavica Štrbac


Tražene rezultate možemo tabelarno prikazati (Tab.10-1): NV(G)

Z(±P)

PV(G±P)

3.000.000 2.986.000 3.432.750 3.417.750

60.000,0 -179.100,0 308.947,5 -

3.060.000,0 2.805.900,0 3.741.697,5 3.417.750,0

12.835.500

189.847,5

13.025.347,5

Ukupna zarada (Z) u odnosu na ukupnu nabavnu vrijednost (NV) iznosi:

A u odnosu na ukupnu prodajnu vrijednost (PV) iznosi:

Napomena: 0,014575 je decimalni zapis procentne stope p=1,4575%, odnosno promilne stope p= 14,575 . b)

Neka je x oznaka za prvu nabavnu vrijednost. Sada možemo postaviti sledeću jednačinu: *(x-1500)+

*1,15*(x-15000)=189.847,5

Rješenje ove jednačine je: x=2.459.413.

16

Slavica Štrbac


Tražene rezultate prikazujemo sledećom tabelom (Tab. 10-2): NV(G±P)

Z(±P)

PV(G)

2.459.413,0 2.444.413,0 2.811.071,9 2.796.074,9

50.192,1 -138.363,0 278.018,4 -

2.509.605,1 2.306.050,0 3.089.093,3 2.796.074,9

10.510.975,8

189.847,5

Ukupna zarada u odnosu na ukupnu nabavnu vrijednost iznosi:

A u odnosu na ukupnu prodajnu vrijednost iznosi:

16

10.700.823,3

Slavica Štrbac


2. RAZMJERE

Upoređivanje veličina je često osnovna i nužna pretpostavka uspješne primjene metoda kvantitativne analize. Upoređivati se mogu: neimenovani brojevi, istoimene veličine, raznoimene veličine i uopšte osobine koje se mogu izraziti brojem. Imenovane veličine se upoređuju tako što se stave u odnos neimenovani brojevi (brojni izrazi) koji predstavljaju količine upoređivanih veličina.

2.1. Odnos neimenovanih veličina

Primjer: 1. 100-20=80 => 20-100= -80 Ovaj odnos pokazuje da je broj 100 za 80 veći od broja 20, a da je 20 za 80 manji od broja 100. 2. 100:20=5=> 20:100=1/5 Ovaj odnos pokazuje da je broj 100 pet puta veći od broja 20, odnosno da je broj 20 petina broja 100.

2.2. Odnosi istoimenih veličina

1. 100km-20km=80km Ovaj odnos pokazuje da je razdaljina od 100 km za 80 km veća od razdaljine koja iznosi 20 km.

2. 100km:20km=5 Ovaj odnos pokazuje da je razdaljina od 100 km 5 puta veća od razdaljine koja iznosi 20 km.

16

Slavica Štrbac


U geometrijskoj razmjeri a:b=q, a i b su članovi razmjere, q je oznaka za količnik ili vrijednost razmjera.

Ako je |q| > 1 onda je |a| |q| puta veća od |b|;  Ako je |q| < 1 i q ≠ 0 onda je |a| 1/|q|-ti dio od |b|;  Ako je q =1 onda je a=b. Primjer: 

6:2=3 2:6=1/3 Ovi odnosi pokazuju da je broj 6 tri puta veći od broja dva, a broj 2 je trećina broja 6 (2 puta 1/(1/3) = 3-ći dio broja 6 ). Pošto su ekonomske veličine uglavnom pozitivne, može se zaključiti da geometrijski odnos (razmjera) dva pozitivna broja, izražen njihovim količnikom q, pokazuje koliko puta je prvi veći od drugog (q>l), odnosno koji dio drugog je prvi (q
Ako su članovi geometrijske razmjere brojevi

,

,

,...,

, onda se ona naziva produžna

razmjera. Pošto u produžnim razmjerama nije (zagradama) definisan redoslijed dijeljenja, to one nemaju jednoznačno određenu vrijednost, već se vrijednost određuje po parovima, za bilo koja dva člana. Tako se može pisati: :

=

Ako je

,

:

=

=

=...=

...,

:

=

=q, onda brojevi

,

,

Osobine geometrijske razmjere a:b=q: 1) (m*a):b=m*q; 2) a:(n*b)=1/n*q, n≠0; 3) (m*a):(n*b)=m/n*q, n≠0;

16

...,

, čine geometrijski niz..

Slavica Štrbac


4) (k*a):(k*b)=q, ova osobina poznata je pod nazivom proširivanje razmjere (│k│>1) odnosno skraćivanje razmjere

(│k│<1, k≠0). Ova osobina se može prenijeti i na produžne razmjere, na sledeći način: Neka je data razmjera : = ,

:

:

= ,...,

:...:

:

za koju važi

:

=

.

Tvrdimo da je datoj razmjeri ekvivalentna razmjera: (

):(

): ... :(

):(

), tj.

tvrdimo da je odnos članova ove razmjere isti kao odnos odgovarajućih članova date razmjere. Dokaz:

:

= , jer je

:

= ,

:

=

/

= : = ;

….

.

Prema tome, ako u datoj razmjeri svaki član pomnožimo ili podijelimo istim brojem, odnos bilo koja dva člana novodobijene razmjere će biti isti kao odnos odgovarajućih članova date razmjere. 5) a : b = q <=> b : a = 1/q, pri čemu su q i 1/q međusobno recipročni brojevi. Složena razmjera je rezultat umnoška odgovarajućih članova više prostih ili više produžnih razmjera. Neka su date proste razmjere:

: = ,

: = ,…,

:

=

Tada se od ovih razmjera dobije sledeća "složena" razmjera :

16

Slavica Štrbac ( *


*…*

= ( * *…*

, odnosno:

Istinitost ove tvrdnje možemo prikazati na sledeći način: Date razmjere prikažimo ovako:

Ako ove jednačine pomnožimo međusobo tako što se posebno pomnože lijeve, a posebno desne strane, dobićemo:

odnosno:

Odnosno: (

,

što je trebalo i pokazati. Neka su sada date produžne razmjere

tada se od ovih razmjera dobije sledeća "složena" razmjera : (

,

odnosno

16

Slavica Štrbac


Za dokaz ove tvrdnje odredimo redoslijed dijeljenja, a time i vrijednost svake razmjere. Dakle, neka je:

Ove razmjere se mogu pisati i ovako :

Međusobnim množenjem ovih jednačina dobija se :

odnosno:

Razmjera na lijevoj strani ove jednakosti bez određivanja redoslijeda dijeljenja glasi :

što se željelo pokazati.

16

Slavica Štrbac


Slično se od produžnih razmjera: :…:

;

:…:

;

…

:…:

;

može dobiti složena razmjera:

Treba primjetiti da složene razmjere nisu nova vrsta razmjera, jer su krajnji rezultati proste odnosno produžne razmjere, a “složenost” leži u činjenici da su rezultati više razmjera.

16

Slavica Štrbac


3. ANUITETI HETEROGENO RAZLIČITI ILI PROIZVOLJNO ODREĐENI

Pošto u ovom slučaju ne postoji jedinstvena matematička veza između anuiteta, plan amortizacije se radi prema opšte važećim pravilima. ;

;

;

Primjer: Zajam od 50.000 KM treba otplatiti za najviše 5 mjeseci, mesečnim anuitetima koji su najmanje 10% od ostatka duga, uz 8% kamate mjesečno. Izraditi plan otplaćivanja. Riješenje: (Tab. 10-17)

Pretpostavimo da dužnik, u okviru datih ograničenja, može birati veličinu anuiteta. Ovo međutim nije moguće u slučaju poslednjeg anuiteta koji mora obuhvatiti kamatu na ostatak duga i ostatak duga. Tabela 10-17 j

1 2 3 4 5 Σ

Dj -1 50.000,00 45.000,00 34.000,00 24.000,00 11.000,00 -

Ij=pc∙Dj-1 4.000,00 3.600,00 2.720,00 1.920,00 880,00 13.120,00

16

Aj 9.000,00 14.600,00 12.720,00 14.920,00 11.880.00 63.120,00

Bj=Aj-Ij 5.000,00 11.000,00 10.000,00 13.000,00 11.000,00 50.000,00

Slavica Štrbac


U problemima ove vrste treba voditi računa da po pravilu mora biti Aj>Ij, jer će se u protivnom dug povećati. Povjerilac kao izuzetak može dozvoliti i ovaj slučaj ali to kasnije mora biti nadoknađeno. Pretpostavimo da je u obrađenom primjeru dozvoljeno da dužnik ne plati anuitet u drugom mesecu, a da u trećem plati samo kamatu, onda bi plan amortizacije izgledao ovako (Tab. 1018). Tabela 10-18 j

1 2 3 4 5 Σ

Dj -1 50.000,00 45.000,00 38.600,00 48.000,00 33.600,00 -

Ij=pc∙Dj-1 4.000,00 3.600,00 3.888,00 3.888,00 20.688,00 18.064,00

16

Aj 9.000,00 0,00 3.888,00 18.888,00 36.288.00 68.064,00

Bj=Aj-Ij 5.000,00 -3.600,00 0,00 15.000,00 33.600,00 50.000,00

Slavica Štrbac


4. LITERATURA



Prof.dr Esad Jakupović, Poslovna i finansijska matematika, Panevropski univerzitet “APEIRON”, Banja Luka, 2008.godina

16

Poslovna i Finansijska Matematika

Recommend Documents