Matematika
Strojni tehnik PTI
9.11.2008
Matematika
KAZALO KAZALO ................................................................................................................................... 1 ŠTEVILSKE MNOŢICE ........................................................................................................... 3 MNOŢICA NARAVNIH ŠTEVIL .................................................................................... 4 DELJIVOST V NARAVNIH IN CELIH ŠTEVILIH ................................................................ 5 CELA ŠTEVILA ........................................................................................................................ 8 POTENCE S CELIMI EKSPONENTAMI ................................................................................ 9 POTENCIRANJE..................................................................................................................... 10 RAZSTAVLJANJE (faktoriziranje)......................................................................................... 11 ULOMKI IN RACIONALNA ŠTEVILA ....................................................................... 13 RAČUNSKE OPERACIJE Z ULOMKI .................................................................................. 15 RAČUNANJE Z ALGEBERSKI ULOMKI ............................................................................ 17 DECIMALNA ŠTEVILA ........................................................................................................ 19 INTERVAL .............................................................................................................................. 23 ENAČBE .................................................................................................................................. 25 REŠLJIVOST ENAČB ............................................................................................................ 29 SISTEM DVEH ENAČB Z DVEMA NEZNANKAMA ........................................................ 31 SISTEM TREH LINEARNIH ENAČB Z TREMI NEZNANKAMI ...................................... 32 Linearna neenačba z eno neznanko .......................................................................................... 33 MNOŢICE TOČK V RAVNINI .............................................................................................. 34 PITAGOROV IZREK .............................................................................................................. 37 FUNKCIJA (odvisnost)............................................................................................................ 40 LINEARNA FUNKCIJA ......................................................................................................... 41 Enačbe premice ........................................................................................................................ 47 Oblike enačb premic................................................................................................................. 48 GEOMETRIJA V RAVNINI ................................................................................................... 49 Evklidska grometrija ................................................................................................................ 49 Dvojni koti................................................................................................................................ 51 TRIKOTNIK ............................................................................................................................ 52 IZREK O SKLADNOSTI TRIKOTNIKA .............................................................................. 53 ZNAMENITE TOČKE TRIKOTNIKA................................................................................... 53 PRAVOKOTEN TRIKOTNIK ................................................................................................ 54 PITAGOROV IZREK .............................................................................................................. 55 TALESOV IZREK ................................................................................................................... 55 ENAKOKRAKI TRIKOTNIK ................................................................................................ 56 ENAKOSTRANIČNI TRIKOTNIK ........................................................................................ 56 SIMETRALA DALJIC ............................................................................................................ 56 SIMENTRALA KOTA ............................................................................................................ 57 RISANJE KOTOV S ŠESTILOM ........................................................................................... 57 SKLADNOSTNI IZREKI ........................................................................................................ 60 Načrtovanje na osnovi skladnostih izrekov .............................................................................. 60 ŠTIRIKOTNIK ......................................................................................................................... 62 PARALELOGRAMI ................................................................................................................ 62 TRAPEZI ................................................................................................................................. 63 DELTOID ................................................................................................................................. 64 VEČKOTNIKI ......................................................................................................................... 64 PRAVILEN 6 KOTNIK ........................................................................................................... 64 KROG....................................................................................................................................... 65 KONCENTRIČNA KROGA ................................................................................................... 65 SREDIŠČNI IN OBODNI KROG ........................................................................................... 66 TALESOV IZREK – kot v polkrogu ....................................................................................... 66 1
Matematika TANGENTA NA KROŢNICO ................................................................................................ 66 KOTNE FUNKCIJE ................................................................................................................ 67 POTENCE IN KORENI........................................................................................................... 73 KVADRATNI KOREN ........................................................................................................... 75 DELNO KORENJENJE ........................................................................................................... 76 RACIONALIZACIJA IMENOVALCA .................................................................................. 76 KORENI POLJUBNIH STOPENJ .......................................................................................... 77 POTENCE Z RACIONALNIMI EKSPONENTI .................................................................... 78 IRACIONALNA ENAČBA ..................................................................................................... 78 KVADRATNA ENAČBA ....................................................................................................... 79 KVADRATNA FUNKCIJA .................................................................................................... 81 EKSPONENTNA FUNKCIJA ................................................................................................ 86 EKSPONENTNA ENAČBA ................................................................................................... 88 POLINOMI ............................................................................................................................ 101 RAČUNANJE S POLINOMI ................................................................................................ 102 HORNERJEV ALGORITEM ................................................................................................ 103 NIČLE POLINOMA .............................................................................................................. 105 GRAF POLINOMA ............................................................................................................... 108 RACIONALNA FUNKCIJA ................................................................................................. 113 RACIONALNA ENAČBA IN NEENAČBA ........................................................................ 119 RACIONALNA ENAČBA .................................................................................................... 119 RACIONALNA NEENAČBA ............................................................................................... 119 KVADRATNA ENAČBA ..................................................................................................... 121 KOTNE FUNKCIJE .............................................................................................................. 122 ENOTSKA KROŢNICA ........................................................................................................ 123 ADICIJSKI IZREKI ............................................................................................................... 125 DVOJI KOTI .......................................................................................................................... 125 ZAPOREDJA ......................................................................................................................... 131 ARITMETIČNO ZAPOREDJE (AZ) ................................................................................... 133 GEOMETRIJSKO ZAPOREDJE (GZ) ................................................................................. 135 GEOMETRIJSKA TELESA .................................................................................................. 137 NAVADNO IN OBRESTNO OBRESOVANJE ................................................................... 148 NAVADNO OBRESTOVANJE ............................................................................................ 148 OBRESTNO OBRESTOVANJE ........................................................................................... 149 STATISTIKA ......................................................................................................................... 149 GRAFIČNO PRIKAZOVANJE PODATKOV ..................................................................... 151 SREDNJA VREDNOST ........................................................................................................ 152 ARITMETIČNA SREDINA .................................................................................................. 152 RAZPRŠENOST PODATKOV ............................................................................................. 153
2
Matematika
ŠTEVILSKE MNOŢICE Naravna števila – so tista števila s katerimi štejemo. 1 je najmanjše naravno število. Največje pa ne obstaja. Mnoţica naravnih števil :
{1, 2,3, 4,5, 6, 7,...} 0 {0,1, 2,3, 4,5, 6,...}
Osnovne računske operacije so: seštevanje, odštevanje, mnoţenje in deljenje. V mnoţici naravnih števil sta notranji računski operaciji samo seštevanje in mnoţenje. Da bi postali notranji operaciji tudi odštevanje in deljenje se pojavi potreba po razširitvi mnoţice naravnih števil na druge številske mnoţice. Slika Mnoţica celih števil :
{..., 3, 2, 1,0,1, 2,3,...} V mnoţicah celih števil postane tudi odštevanje notranja računska operacija 3:4 = 0,75
3: 4
3 4
števec imenovalec
Slika
Mnoţice racionalnih števil : Racionalna števila so tista števila, ki jih lahko zapišemo z ulomki. V mnoţici racionalnih števil postane tudi deljenje notranja računska operacija.
3
Matematika
MNOŢICA NARAVNIH ŠTEVIL Seštevanje vsota 2 3 5vrednost _ vsote
Za seštevanje veljata dva računska zakona:
člena
Komutativnost seštevanja ( zakon o zdruţevanju členov ) a+b = b+a Asociativnost seštevanja ( zakon o zdruţevanju členov ) (a+b)+c = a+(b+c) Primer: 3+12+5+25+18+17 = (3+17)+(12+18)+(5+25) = 20+30+30 = 80 Mnoţenje produkt Tudi za mnoţenje veljata dva računska zakona 6 5 30vrednost _ produkta faktorja
Komutativnost mnoţenja a*b = b*a Asociativnost mnoţenja a*b*c = a*(b*c) Primer: 250*50*4*125*6*8 = 250*4*(50*6)*(125*8) = 1000*300*1000 = 3 000 000 00
Računski operaciji seštevanje in mnoţenje pa povezuje zakon distributivnosti : (a+b)*c = a*c + b*c Primer: (5+3)*7 = 5*7+3*7 = 35+21 = 56
ali
(5+3)*7 = 8*7 = 56
Številski izrazi Številski izrazi so računi z več seštevanji, odštevanji, mnoţenji in deljenji hkrati. Lahko so prisotni tudi oklepaji. Številski izrazi brez oklepajev: Primer: 2+2*2 = 2+4 = 6 4+3+15:3-6*2 = 7+5-12 = 0 Najprej opravimo vsa mnoţenja in deljenja nato pa še seštevanje in odštevanje
4
Matematika Številski izrazi z oklepaji: V številskih izrazih z oklepaji najprej izračunamo vrednost oklepajev. Ko izračunamo vrednost oklepaja, oklepaj izpustimo. Če je oklepajev več najprej izračunamo vrednost notranjih oklepajev in gremo postopoma navzven.
Primer: 4+2*(5-2*2)*(4+7) = 4+2*(5-4)*11 = 4+2*1*11 =4+22 = 26 20-3((12-4*2)*5-4*5) = 20-3*((12-8)*5-20) = 20-3*(4*5-20) = 20-3*0 = 20
DELJIVOST V NARAVNIH IN CELIH ŠTEVILIH Večkratniki Če si izberemo poljubno naravno število in ga pomnoţimo z vsemi naravnimi števili, dobimo večkratnike danega števila. Večkratnike danega števila lahko zdruţimo v mnoţico. Večkratnik števila 7 :
V7 {7,14, 21, 28,35,...}
Delitelji Če »a« deli »b« potem velja da je število »b« večkratnik števila »a«. tudi delitelje nekega števila lahko zapišemo z mnoţico.
D1 {1}
D13 {1,13}
D2 {1, 2} D3 {1,3}
D14 {1, 2,7,14} D15 {1,3,5,15}
D4 {1, 2, 4}
D16 {1, 2, 4,8,16}
D5 {1,5}
D6 {1, 2,3,6}
D17 {1,17} D18 {1, 2,3,6,9,18}
D7 {1,7} D8 {1, 2, 4,8} D9 {1,3,9}
D19 {1,19} D20 {1, 2, 4,5,10, 20} D28 {1, 2, 4,7,14, 28}
D10 {1, 2,5,10} D11 {1,11} D12 {1, 2,3, 4,6,12}
D36 {1, 2,3, 4,6,9,12,18,36}
D72 {1, 2,3, 4,6,8,9,12,18, 24,36,72}
Praštevila -- 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97 Praštevila so tista števila, ki imajo natanko dva delitelja število 1 in samo sebe. Najmanjše praštevilo je 2 in je edino sodo praštevilo.
5
Matematika Sestavljena števila -- 4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,… Sestavljena števila so tista števila, ki imajo več kot dva delitelja Število »1« ni ne sestavljeno število niti praštevilo. Vsako sestavljeno število se da zapisati kot produkt samih praštevil, pravimo da sestavljena števila razcepimo na prafaktorje. 90 45 15 5 1
288 144 72 36 18 9 9 1
2 3 3 5
90 2 32 5
2 2 2 2 2 3 3
1000000 500000 250000 125000 62500 31250 15625 3125 525 125 25 5
288 25 32
Največji skupni delitelj D
2 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 5
1000000 26 56
Največji skupni delitelj dveh števil je največje naravno število, ki deli obe števili.
D12 {1, 2,3, 4, 6,12}
D18 {1, 2,3,6,9,18}
D(12,18) 6
Primer: D(18,28) 2
D(15,60) 15
D(16,40) 8
D(3,7) 1 - števili sta tuji, kadar je njun najvišji delitelj 1
D(144,324) 2 2 3 3 36 144 72 36 18 9 3 1
2 2 2 2 3 3
324 162 81 27 9 3 1
D(288,360) 2 2 2 3 3 72 2 2 3 3 3 3
288 144 72 36 18 9 3 1
D(150,720) 2 3 5 30 150 75 25 5 1
2 3 5 5
720 360 180 90 45 15 5 1
6
2 2 2 2 3 3 5
2 2 2 2 2 3 3
360 180 90 45 15 5 1
2 2 2 3 3 5
Matematika Najmanjši skupni večkratnik Najmanjši skupni večkratnik je najmanjše naravno število, ki je deljivo z obema številoma. v(6,15) 30
v6 {6,12,18, 24, 30,36, 42, 48,54, 60,66,72,78,84, 90, ...}
v15 {15, 30, 45, 60,75, 90.105,...} Primeri: v(4,6) = 12
v(5,10,15) = 30
v(60,144) = 2*2*2*2*3*3*5 = 720 60 30 15 5 1
2 2 3 5
v(12,18) = 36
v(120,324) = 2*2*2*3*3*3*3*5 = 3240
144 72 36 18 9 3 1
2 2 2 2 3 3
120 60 30 15 5 1
D(54,60) = 2*3 = 6 54 27 9 3 1
2 3 3 3
60 30 15 5 1
v(2,9) = 18
324 162 81 27 9 3 1
2 2 2 3 5
2 2 3 3 3 3
v(54,60) = 2*2*3*3*3*5 = 540 2 2 3 5
54 27 9 3 1
2 3 3 3
60 30 15 5 1
2 2 3 5
Osnovni izrek o deljenju Če dve naravni števili »a« in »b«, pri čemer je »a« večji od »b« nista v relaciji deljivosti, se deljenje števila »a« s številom »b« ne izide. V tekem primeru dobimo pri deljenju nek ostanek, ki je vedno manjši od delitelja. 45:9 = 5
45…deljenec
9…delitelj
5…vrednost količnika
0…ostanek
Primer: Števila 15, 21 in 37 deli s številom 5 zapiši jih v obliki osnovnega izreka o deljenju. 15 = 3*5+0
21 = 4*5+1
37 = 5*7+2
7
Matematika
CELA ŠTEVILA {..., 3, 2, 1,0,1, 2,3,...} +a = a …pozitivno število +(+a) = +a
+(-a) = -a
-a …negativno število -(+a) = -a
+a,-a…nasprotni števili
-(-a) = +a
Seštevanje Če sta števili enako predznačeni, predznak prepišemo števili pa seštejemo. (+a) + (+b) = +(a+b)
(-a) + (-b) = -(a+b)
Če sta števili različno predznačeni ima vsota predznak po absolutno večjem številu, števili pa odštejemo. a b (+a) + (-b) = +(a-b)
(-a) + (-b) = -(a-b)
Primer: (+5) + (+8) = 5+8 = 13
(-3) + (-8) = -3-8 = -11
(+12) + (-5) = 12-5 = 7
Mnoţenje Če sta števili enako predznačeni je produkt pozitiven, če pa sta števili različno predznačeni produkt negativen. (+a)*(+b) = +a*b
(-a)*(-b) = +a*b
Primer: (+3)*(+9) = 27
(+a)*(-b) = -a*b
(-3)*(-7) = 21
(+8)*(-5) = -40
Števili sta nasprotni kadar je njuna vsota 0
(-9)*(+6) = -54
5,-5 1 5, 5
Števili sta obratni kadar je njun produkt 1 Vaje:
(-a)*(+b) = -a*b
12 3 (8 3 (4) 8 5)
3 8 ((12 3 4) (5 3)) (9 2 5)
12 3 (8 12 40)
24 ((12 12) (8)) (9 10)
12 3 (36)
24 (24 (8)) (1)
12 108 120
24 24 8 (1) 24 192 216
35 3 (4 (2 3) (4 3 2)) 2 15 35 3 (4 (5) 2) 2 15 35 3 (20 2) 2 15 35 3 40 2 15 35 240 15 220
8
Matematika
POTENCE S CELIMI EKSPONENTAMI 2 2 2 2 2 2 2 2 28 256 a n a a a a a... a n
n
Potenca a je produkt "n" enakih faktorjev "a"
23 2 2 2 8
2- osnova 23 - potenca 2 2 2 -produkt enakih faktorjev
3
- stopnja(exponent) 8- vrednost potence
Seštevanje in odštevanje Seštevamo in odštevamo lahko le tiste potence, ki imajo enake osnove in enake eksponente.
a3 a 2 ne gre
x3 y3 ne gre
m3 m2 ne gre
7 y3 4 y3 2 y3 9 y3
Mnoţenje Potence z enakimi osnovami mnoţimo tako, da osnovo prepišemo eksponent pa seštejmo
a m a n a m n
a3 a 2 a5 … a a a a a
Deljenje
am a : a n a mn a m
n
a8 a a a a a a a a a :a 2 a6 a aa 8
2
9
Matematika
POTENCIRANJE Potence potenciramo tako, da osnovo prepišemo eksponente pa zmnoţimo
(a m )n a mn
(a5 )2 a10
Potenciranje produkta Produkt potenciramo tako, da potenciramo vsak faktor posebej
(a b)m a m bm
(a3 b4 )3 a9 b12
Potenciranje količnika Ulomek potenciramo tako, da posebej potenciramo števec in posebej imenovalec 4
a2 a8 3 12 b b
m
am a mm b
a0 1
a1 a
a 1
1 a
an
1 an 10.10 2007
Vaje:
3a
2 3 1 9 1 b3 2a 3 b 9a8 b6 a9 b3 a17 b9 1 a17 b 9 8 8 8 2 2 2 2 3x 7 3x 2 3x 7 7 9 x 42 x 49 4
5a 1 25a2 10a 1 3 4a 5 64a3 3 16a2 5 3 4a 25 125 64a3 240a2 300a 125 3 2 x 1 8x3 3 4 x2 1 3 2 x 1 1 8x3 12 x2 6 x 1 2
1 5 1 62 36 0 7 1
51
10
Matematika
RAZSTAVLJANJE (faktoriziranje) To pomeni da izraz zapišemo v obliki produkta Izpostavljanje skupnega faktorja ac bc c a b
Primer!
3a 6b 3 a 2b
8x 12 y 4 4 2 x 3 y 1
5x6 2 x 2 x 2 5x 4 2
Razlika kvadratov a 2 b2 a b a b
Primer!
2x 5 3x 5 9 x 15x 15x 25 9 x2 25 25x2 4 5x 2 5x 2 36a 2 81 6a 9 6a 9 x2 16 x 4 x 4
x2 5 x 5 x 5
x16 1 x8 1 x8 1 x8 1 x 4 1 x 4 1 x8 1 x 4 1 x 2 1 x 2 1
x
8
1 x 4 1 x 2 1 x 1 x 1
x4 16 x 2 4 x 2 4 x 2 4 x 2 x 2
Vsota in razlika kubov
23 8
13 1
33 27
43 64
a 3 b3 a b a 2 a b b 2
Primer!
x3 27 x 3 x 2 3x 9
125a3 8 5a 2 25a 2 10a 4 8a3 729 2a 9 4a 2 18a 81
125x3 27 5 x 3 25 x 2 15 x 9 x
11
53 125
Matematika Vaje: Faktoriziraj! 8x 2 4 4 2 x 2 1 25x2 49 5x 7 5x 7
a 2 16 ne _ gre
x3 125 x 5 x 2 5x 25
8x3 1 2 x 1 2 x 1 4 x2 2 x 1 _____???????
Razstavljanje tričlenika (Veitovo pravilo) x2 a b x a b x a x b
Primer!
x2 11x 18 x 2 x 9 x2 9 x 20 x 4 x 5 x2 4 x 21 x 3 x 7 x2 9 x 36 x 12 x 3
Vaje: Skrči izraz in rezulta razstavi
x 2
2
2 x 3 x 3 x 2 x 1 x 2 4 4 2 x x 2 9 2 x 2 x
x 2 4 x 4 2 x 2 18 2 x 2 x x 2 5 x 14 x 7 x 2
12
Matematika
ULOMKI IN RACIONALNA ŠTEVILA
So tista števila, ki jih lahko zapišemo z ulomkom.
števec ulomkova _ črta imenovalec
Ulomek:
Ulomek je število s katerim lahko zapišemo en ali več enakih delov celote. Imenovalec nam pove na koliko enakih delov je razdeljena celota. Števec nam pove koliko enakih delov vzamemo od celote. a 0 7 a :b 0 ne _ gre b 7 0 Primer!
Ponazori s kvadratom!
7 12 2 4
5 2 1 3 3 Enakost ulomkov
a c ad bc b d
3 9 .............3 15 9 5.............45 45 5 15
Razširjenje ulomkov Razširiti ulomek pomeni da števec in imenovalec ulomka mnoţimo z istim od 0 različnim številom številom. Prvotni in razširjeni ulomek sta enaka. Primer!
Dane ulomke razširi s 3.
23 6 33 9
4 3 12 9 3 27
7 3 21 15 3 45
1 3 3 8 3 24
7 2 14 12 2 24
Razširi na imenovalec 24
5 4 20 6 4 24
13
Matematika Krajšanje ulomkov Krajšati ulomek pomeni, da števec in imenovalec ulomka delimo z istim od 0 različnim številom. Prvotni in razširjeni ulomek sta enaka. Primer!
4:2 2 10 : 2 5
Okrajšaj ulomke
15 : 5 3 20 : 5 4
! Okrajšaj pomeni da delimo kako daleč se da.
16 : 8 2 : 2 1 48 : 8 6 : 2 3
63: 3 21 : 7 3 84 : 3 28 : 7 4
Urejanje ulomkov po velikosti Za urejanje ulomkov po velikosti velja natanko ena od relacij.
a c b d
a c b d
a c b d
Primer! Uredi po velikosti od najmanjšega do največjega naslednje ulomke:
3 5 1 1 3 5 ; ; ………. 8 8 8 8 8 8
7 7 7 7 7 7 ; ; ……… 3 8 2 8 3 2
5 11 7 3 2 20 22 21 18 16 2 3 5 7 14 ; ; ; ; ..na skupni imenovalec.. ; ; ; ; …….. 6 12 8 4 3 24 24 24 24 24 3 4 6 8 12
14
Matematika
RAČUNSKE OPERACIJE Z ULOMKI Seštevanje in odštevanje Seštevamo in odštevamo lahko le ulomke z enakimi imenovalci. Če so imenovalci različni jih najprej razširimo na skupni imenovalec. Ulomke z enakimi imenovalci seštevamo in odštevamo tako, da imenovalec prepišemo števce pa seštejemo ali odštejemo. Primer!
3 1 2 3 1 2 6 3 8 8 8 8 8 4
1 5 1 10 17 17 10 4 17 2 17 3 40 34 51 23 11 3 2 4 1 3 6 4 3 6 4 3 4 6 2 4 3 12 12 12 ! Ulomek mora biti okrajšan in spremenjen v cele –VEDNO 1 2 1 5 21 8 3 35 21 6 8 10 3 15 35 5 4 2 1 5 5 3 2 6 5 3 2 6 30 126 80 45 175 76 16 8 2 2 30 30 30 15
Mnoţenje Ulomek z ulomkom mnoţimo tako, da pomnoţimo števce posebej in imenovalce posebej. Pred mnoţenjem pogledamo, če se da prej krajšat.! Primeri! 3 7 3 7 21 4 8 4 8 32
1 1 26 1 27 27 2 5 1 5 5 26 5 26 1 5 5
1 7 1 3 2 3 1 10 5 17 1 18 9 19 1 40 5 15 3 3 1 675 1 3 2 1 2 2 3 1 337 3 5 17 8 19 4 2 2 2 3 1 5 1 17 1 8 1 19 1 4 2 2 1
72063 6255 150105 903 361 2871 639 4971 28884 1251 1201 843 301 151
2025 1 506 4 4
15
Matematika
Deljenje ulomkov Ulomek z ulomkom delimo tako, da ga z obratno vrednostjo pomnoţimo Primeri!
1 2 17 8 17 3 51 2 :2 : 8 3 8 3 8 8 64
1 7 2 16 9 3 19 5 : 2 :1 1 3 9 3 3 25 5 125
krajšamo krajšamo 2 5 4 1 3 3 8 11 15 3 8 15 2 1 1 1 : 3 1 5 1 4 3 6 11 2 8 4 3 6 2 11 1 2 1 3 1 4 8 5 4 15 32 30 48 45 65 5 5 3 2 1 4 12 12 12
Dvojni ulomki Primer!
5 3 7 5 2 3 4 7 29 29 29 1183 29 960 60 1740 567 8 4 16 16 16 16 : 1 81 1 1215 32 1183 16 960 16 1 1183 1183 1183 15 3 27 1 64 30 960 960 16 20 4 30 Določitev skupnega imenovalca:
64 26 30 2 3 5 26 3 5 64 15 960
64 32 16 8 4 2 1
16
2 2 2 2 2 2
30 15 5 1
2 3 5
Matematika
RAČUNANJE Z ALGEBERSKI ULOMKI Z njimi računamo kot z navadnimi ulomki Primeri!
2 3 2 4 3 3 8 9 17 5 1 3 4 12 12 12 12
2 x x 4 x 20 x 15 x 24 x 11x 3 2 5 30 30
Zapiši z decimalnim številom!
7 7 : 8 0,875 8
3 15 3 15 : 4 3, 75 4 4
1
7 27 27 : 20 1,35 20 20
Zapiši z ulomkom!
4, 05 4
5 1 4 100 20
2, 7 2
7 10
10 x 54, 4
625 5 1000 8
1000 x 2341, 41 10 x 23, 41
x 5, 4
4 5, 4 5 9
0, 625
9 x 49
169 2,34 1 2 495
49 9 4 x5 9 x
990 x 2318 2318 990 1159 x 495 169 x2 495 x
Izračunaj! a 2 a 6 2 a a 2 2a 1 a 3 a 2 2 a a 1 a 1 2 a 1 10a 4 a a 3 a 1 2 5 a 2 a 3a
a 2 a 1 2 a a a 1 a 2 2a a 2 2a a 2 a 1 a a 1 2 5a 2 a a 1 2 5a 2 2 a 1 5a 2 a 1 a a 1 2 5a 2 2a 2
2
4a b a 6b 3b 4a b 2a a 6b 12ab 3b2 2a 2 12ab 2a 2 3b2 2a 3b 6ab 6ab 6ab
17
Matematika
x 1 x 7 x 1 1 x1 x2 6 x 7 x 1 2 2 x 1 x 7 x x 1 x 1 x x 7 x 5 x x 6 x 6 x 8 5 5 x 2 30 x x 4 8 x3 5 x 2 30 x x 2 2 x 48 : 2 5 x 2 2 2 2 4 3 32 x 36 x 2 x 48 x 36 x 8x x x 6 x 6 x x 8
2z 1 z 1 4 z 17 2z 1 z 1 4 z 17 2 z 5 z 2 z 7 z 10 z 5 z 2 z 2 z 5
2 z 1 z 2 z 1 z 5 4 z 17 1 z 5 z 2 z 2 z 5 z 5 2 z z 4 z 2 z 2 z 5 z 5 4 z 17 z 2 3z 10 z 5 z 2 z 5 z 2 z 5 z 2 z 5 a 3a 2 4 7a 2a 2 a 2 a a 2 3a 2 a 2 4 7a 2a 1 a 2 a2 4 a a a 2 a 2 a2 a2 a 2 2a 3a 2 2a 6a 4 4 7a 2a 2 a 2 a a2 1 a 2 a a 2 a 2 a 2 a 2 a 2
18
Matematika
DECIMALNA ŠTEVILA
Seštevanje in odštevanje
3, 2 4,54 7,74
13,5 7,945 5,555
Mnoţenje Mnoţenje z 10 ------prestavlja se samo vejica------v desno
5, 234 10 52,34
0,584 100 58, 4
1,3 10000 13000
Klasično mnoţenje 8, 23 1,568 12,90464 Deljenje Deljenje z 10-------prestavlja se samo vejica---------v levo
42,8:10 4, 28
23, 45:1000 0,02345
Deljenje
13: 4 3, 25 3: 5 0,6 5,76 :1, 2 57,6 :12 4,8 14 : 9 1,5555.......
144,16 : 5 28,832 10, 24 : 0, 0032 102400 32 3200 8,33: 9 0, 242424.......
Periodična decimalna števila so tista števila, kjer se ena ali več decimalk ponavlja.
1,55555..... 1, 5
0, 242424..... 0, 24
19
Matematika Primeri! Zapiši z decimalnim številom!
4 9 1 9 : 5 1,8 5 5
2
7 47 47 : 20 2,35 20 20
5
7 457 457 : 90 5, 07 90 90
Zapiši z ulomkom!
4,5 4
–na maturi!
5 1 4 10 2
3, 8 3,8888...
2, 04 2
4 1 2 100 25
0,375
375 3 1000 8
1, 24 1, 2424.... 0,38 = 0,3888... 1,526 1,52626... 2,348 234888...
......................... .......................... ........................ 10 x 38,8 100 x 124, 24 100 x 38,8
............................. ............................. 1000 x 1526, 26 1000 x 2348.8
x 3,8
x 1.24
10 x 3,8
10 x 15, 26
100 x 234,8
9 x 35
99 x 123
90 x 35
990 x 1511
900 x 2114
35 9 8 x3 9
x
123 99 41 8 x 1 33 33
x
35 90 7 x 18
x
1511 990 521 x 1 990
x
x
2114 900 1057 157 x 2 450 450
ZAOKROŢEVANJE ŠTEVIL
37 63 129 831 5 488 34 712
DESETICE 40 60 130 800 5 490 34 710
STOTICE 0 100 100 800 5 500 34 700
TISOČICE 0 0 0 1000 5 000 35 000
DESETTISOČICE 0 0 0 0 10 000 30 000
25,48 7,5217 0,1263 15,6755 177,348 51,97362
DESETICE 25,5 7,5 0,1 15,7 177,3 52
STOTICE 25,48 7,52 0,13 15,68 177,35 51,97
TISOČICE 25,48 7,522 0,126 15,676 177,348 51,974
NA TRI MESTA 25,5 7,52 0,13 15,7 177 52
20
Matematika Primeri!
Algebrski ulomek!
x 5 1 x 1 x x 15 1 x 5 x x 1 x 15 2 : 2 2 x x 5 x 5 x 5 x x 10 x 25 x x 5 1 x 2 x x 15
x 5
2
x 2 2 x 15
x 5
2
x 5 x 3 x 3 2 x5 x 5
1. Izračunaj! 8 15 2 3 6 2 24 11 8 15 6 12 2 13 8 3 26 8 23 184
1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 42 48 1 2 3 44 1 6 88 83
8 4 6 5 3 8 3 5 8 32 6 15 24 3 32 15 3 32 45 77
2. Potenciraj! 2 a b a2 2ab b2 3x 5 9 x2 30 x 25 3 2 a b a3 3a2b 3ab2 7a 6b 49a2 84ab 36b2 3 a 5 a3 3a2 5 3a 25 125 a3 15a2 75a 125 3 2 4 x 3 48x3 3 4 x 3 3 4 x 32 33 48x3 144 x2 108x 27 2 2 2 5a 6 5a 2 5a 6 6 25a2 60a 36 2 8 7 x 64 122 x 49 x2
2
3. Razstavi! 55 25 ab 5a 5a 5b 1
43 4v 12 v3 4v 2 1 3v 2
x2 49 x 7 x 7
a 4 81 a 2 9 a 2 9 a 3 a 3 a 2 9 y3 64 y 4 y 2 4 y 16 125x3 27 5x 3 25x 2 15 9 x2 5x 4 x 4 x 1 y 2 6 y 40 y 10 y 4 58 5 16 2 5a 40 a 80 5 a 2 8a 16 5 a 4 2
21
b3
Matematika 4. Skrči izraz, rezultat razstavi! 4 x x 2 2 x x 4 x 3 x 3 1 x 4 x 4 2 x 8x x2 9 1 4 x 4 2
2
x 3
2
2
5 x 7 x 7 7 x x 1 11 x 20 14
x 2 6 x 9 5 x 2 49 7 x 2 7 11x 220 14 x 2 6 x 9 5 x 2 245 7 x 2 7 11x 220 14
3x 2 17 x 247 206 3x 2 17 x 41
x 3
3
8 x x 7 x x 5 x 5 6 x 5
x3 3x 2 3 3x 27 27 8 x 2 56 x x x 2 5 x 5 x 25 6 x 30 x3 9 x 2 81x 27 8 x 2 56 x x3 25 x 6 x 30 x 2 56 x 3
22
Matematika
INTERVAL Interval je mnoţica vseh realnih števil, ki leţijo med številoma A in B. A in B sta robni točki intervala. Interval je lahko zaprt (robni točki spadata k intervalu), lahko pa je odprt (robni točki ne spadata k intervalu). a, b ab
Zaprt interval a xb
Odprt interval a xb
a, b
a, b
Primeri! Dane mnoţice zapiši z intervali in jih ponazori na številski premici!
A x ;3 x 5
3,5
B x ; 1 x 2
1, 2
Absolutna vrednost
23
Matematika Absolutna vrednost je razdalja od nič pa do izbranega števila. Razdalja je vedno ne negativno število (o ali pozitivno število). Absolutno vrednost zapišemo tako, da damo število med dve pokončni črti. Absolutna vrednost št. a a
Definicija ABS. vrednosti a; a 0 a a; a 0 5 5
Primeri!
3 3
1 1 2 2
Izračunaj!
7 5 2 4 7 5 2 4 0
4 2 8 2 17 20 6 6 3 6 6 3 3
24
2, 4 2, 4
Matematika
ENAČBE Če imamo dva izraza s spremenljivko in jih enačimo, dobimo enačbo.
5x 1
leva _ stran
11
desna _ stran
Enačbe po številu neznank: Enačba z eno neznanko Enačba z dvema neznankama Enačba s tremi neznankami
3x 5 7 4 x 2 y 12 x 7 y 8z 1
Enačbe po stopnji neznank: Enačba prve stopnje ali linearna enačba Enačba druge stopnje ali kvadratna enačba Enačba tretje stopnje
4x 5 8 x2 10 x 25 0 x 4 3x 3 7 x 2
Linearna enačba z eno neznanko Za neznanke ponavadi jemljemo črke z konca abecede (x,y,z…) 5x 8 2 x 1 Rešit enačbo pomeni, da moramo poiskati takšno vrednost za neznanko x da bo leva stran enačbe enaka desni. Enačbi sta ekvivalentni, kadar imata isto mnoţico rešitev. Ekvivalentno se ohranja: Če levi in desni strani enačbe prištejemo (odštejemo) isto število. Če levo in desno stran mnoţimo z istim od 0 različnim številom.
5x 8 2 x 1 5x 8 8 2 x 1 8 5x 2 x 9 5x 2 x 2 x 9
-enačaj mora biti v istem stolpcu
3 x 9 x 9 : 3 x 3
25
Matematika Reševanje enačb: Odpravimo ulomke. Rešimo oklepaje. Skrčimo levo in desno stran kolikor je mogoče. Člene z neznanko prenesemo na eno stran enačbe (na levo stran) ostale člene pa na drugo stran enačbe. Kadar nesemo člene preko enačaja se predznak spremeni! Izračunamo vrednost neznanke. Naredimo preizkus.
Preizkus:
Leva stran:
Desna stran:
5x 8
2x 1
5 3 8
2 3 1
15 8 7
6 1 7
Ali skupna rešitev: 5x 8 2 x 1 5 3 8 2 3 1 15 8 6 1 7 7
R= 3 Reši enačbe in napravi preizkus!
Primeri!
7 x 3 2 x 6 4 x 7 12 5x 9 4 x 5
Preizkus!
7 14 3 2 14 6 4 14 7 12 98 3 28 6 56 7 12
5 x 4 x 5 9
61 61
x 14 R 14
Rešitev:
4 2 x 5 2 x 3 5
Preizkus! 4 2 x 5 2 x 3 5
4 2 2 5 2 2 3 5
8 4 x 10 x 15 5
4 0 5 4 3 5
8 4 x 10 x 20 4 x 10 x 20 8 : 14
0 5 1 5
x2
0 55 00
Rešitev:
R 2
26
Matematika
Preizkus!
x 2x 1 1 30 3 5 10 2 10 x 12 x 3 15
x 2x 1 1 3 5 10 2 6 2 6 1 1 3 5 10 2 6 12 1 1 3 5 10 2 60 72 3 1 30 2
2 x 3 15 2 x 15 3 2 x 12 : 2 x 6
15 30
:15
:15
1 2
1 1 2 2 Rešitev:
R 6
Preizkus!
3y y 4 1 2 2 5 5 15 y 2 y 4 20 2 10 10 15 y 2 y 4 20 2
3y y 4 1 2 2 5 5 3 2 2 4 2 1 2 5 1 5 6 6 2 1 2 5 1 5 30 12 20 1 10 5
10
15 y 2 y 8 20 2 13 y 28 2 13 y 2 28
2
13 y 26 :13
10
y 2
Rešitev:
:2 :2
1 5
1 1 5 5
R 2
27
Matematika
2 x 5 11 3 x 5 x 1 3 4 6 4 4 2 x 5 3 11 3 x 10 x 3 12 12 4 2 x 5 3 11 3 x 10 x 3
Preizkus:
2 8 5 11 3 8 5 8 1 3 4 6 4 11 13 40 1 3 4 6 4 4 11 3 13 2 40 3 12 12 44 39 83 12 12 12 83 83
12
8 x 20 33 9 x 10 x 3 17 x 53 10 x 3 17 x 10 x 3 53 7 x 56 : 7 x 8
Rešitev:
R 7
3 5 x 2 x 1 1 3 x
Preizkus:
15 3 x 2 x 2 1 3 x 5 x 17 1 3 x
3 5 2 2 2 1 1 3 2 15 6 4 2 1 6 77
5 x 3 x 1 17 8 x 16 : 8 x2 Rešitev:
R 2
28
Matematika
REŠLJIVOST ENAČB Enačba ima natanko eno rešitev:
5x 3 4 x 7 5x 4 x 7 3 x4 R 4
Enačba ni rešljiva:
2 x 4 2 x 15 2 x 8 2 x 15 2 x 2 x 15 8 0 23 R
Enačba ima neskončno mnogo rešitev (IDENTITETA)
3 x 5 3 x 15 3 x 15 3 x 15 3 x 3 x 15 15 00 R Primeri!
x 5 x 3 x 2 x 2 7 0
x 3
x 2 3x 5 x 15 x 2 4 7 0
2
5 x x 7 x 7 50
x 2 6 x 9 5 x x 2 49 50
x 2 2 x 15 x 2 4 7 0
x 9 1
2 x 4 0
x 1 9 : 1
2 x 0 4 : 2
x 8
x 2
R 8
R 2
Če sta x-a vsak na svoji strani enačaja in sta enako predznačena jih črtamo
29
Matematika
Razcepne enačbe a, b
a b 0 0
0
2 x 7 2 x 7 3x 5
2
2 x 8 2 x 26
4 x 49 9 x 30 x 25 16 x 4 x 2 26 2
5 x 2 30 x 74 4 x 2 16 x 26
x6 0
5 x 30 x 74 4 x 16 x 26 0 2
2
x 2 14 x 48 0 1
x 8 0
x 06
x 08
x6
x 8
x 2 14 x 48 0
x 6 x 8 0 Če se kvadrati ne uničijo damo vse na levo stran in enačimo z 0 ! Enačbe z neznanko v imenovalcu Pogoj: x4 x2 x 1 x 4 x4 x4 x 2 16 x 2 2 x x 2
16 3 x 2 3 x 2 16 3 x 18 : 3 x6
x 1 0
x40
x 0 1 x 1 x 1
x 04 x4 x4
R 6
1 2 1 2 2 x 3x x 9 x 3x 1 2 1 x x 3x x 3 x 3 x x 3
Pogoj : x0
2
1 x 3 2 x 1 x 3 x x 3 x 3 x x 3 x 3
................
x x 3 x 3
..........
1 x 3 2 x 1 x 3
x3 0 x 3
x 3 2x x 3 2 x 3 3 2 x 6 : 2 x 2...........glej.. pogoj R
x3 0 x3
30
Matematika
SISTEM DVEH ENAČB Z DVEMA NEZNANKAMA ax by c dx ey f a, b, d , e koificienti x, y neznanki
5,-5 --------sta nasprotni si števili
5 + (-5) = 0
Metoda nasprotnih koeficientov Na maturi ! Prvo izračunamo tistega ki je nasprotno predznačen! 2 x 3 y 13 2
3x 5 y 6 3
3 x 2 y 13 3
2 x 3 y 13 2 5 3 y 13
2 x 3 y 23 5
2 x 3 y 23 2 7 3 y 23
4 x 6 y 26
10 3 y 13
9 x 15 y 18
14 3 y 23
9 x 6 y 39
3 y 13 10
10 x 15 y 115
3 y 23 14
13 x 65 :13
3y 3 : 3
19 x 133 :19
3y 9 : 3
x5
y 1
x7
y3
3 x 12 y 33 3
9 x 10 y 31
2 x 5 y 17 2
2 x 5 y 17
9 x 10 y 31
9 x 10 5 31
3 x 2 y 3 5
2 1 5 y 17
9 x 36 y 99
9 x 50 31
4 x 10 y 34
2 5 y 17
9 x 10 y 31
9 x 31 50
15 x 10 y 15
26 y 130 : 26
9 x 81 : 81
19 x 19
y 5
x9
x 1
31
5 y 17 2 5 y 15 y3
Matematika
SISTEM TREH LINEARNIH ENAČB Z TREMI NEZNANKAMI a) _ 2 x 3 y 4 z 24 b) _ 3x 4 y 5 z 35 c) _ 5 x 2 y 3z 39 a) 5.............10 x 15 y 20 z 120
b) 3.....9 x 12 y 15 z 105
b) 4 ..... 12 x 16 y 20 z 140
c) 5....25 x 10 x 15 z 195
.................................... 2 x y 20
.......................34 x 22 y 300
2 x 3 y 4 z 24
2 x y 20 22 34 x 22 y 300 44 x 22 y 440 34 x 22 y 300 10 x 140 x 14
2 x y 20
2 14 3 8 4 z 24
2 14 y 20 28 y 20
28 24 4 z 24
y 20 28 y 8
4 z 24 4
4 4 z 24 4 z 20 z 5
a) _ x y z 36 b) _ 2 x y z 21 c) _ x 2 y 2 z 13
b) 2.........4 x 2 y 2 z 42
a).......................x y z 36
c)..................x 2 y 2 z 13
b) 1 ..... 2 x y z 21
..................................5 x 55
........................... x 2 z 15
x 2 z 15 11 2 z 15 2 z 15 11 z 26 : 2 z 13
....................................x 11
a ) _ x y z 36 11 y 13 36 y 36 11 13 y 12
32
Matematika Linearna neenačba z eno neznanko
Linearno neenačbo rešujemo isto kot linearno enačbo. Če linearno neenačbo mnoţimo z negativnim številom se znak neenakosti obrne. x 3 x 8 15 4 x 23 23 4 3 x5 4 x
3 zapiši z oklepaji 5 , 4
rešitev ponazori na številski premici Vaje! 4 2 x 5 3 10 x 1 8 x 20 3 10 x 1 8 x 17 10 x 1
9,
8 x 10 x 1 17 2 x 18 x 18 : 2 x 9
Oče je kupil mami za rojstni dan šopek iz 12 tulipanov in 7 vrtnic ter zanj plačal 5.900sit. Enak znesek bi plačal če bi kupil 17 tulipanov in 5 vrtnic. Izračunaj ceno tulipanov in ceno vrtnic! 12t 7v 5900 5 17t 5v 5900 7 60t 35v 29500
12t 7v 5900 12 200 7v 5900 7v 5900 2400
119t 35v 41300
7v 3500
59t 11800
v 3500 : 7
11800 59 t 200 sit t
v 500sit
33
Matematika
MNOŢICE TOČK V RAVNINI Ravnina je neomejena ravna ploskev. Premica je neomejena ravna črta.
34
Matematika V koordinatni sistem nariši naslednje točke!
V kordinatni sistem načrtaj naslednje točke!
Če je znak < ali > narišemo --------- črtkano
35
Matematika
Razdalja med točkama v ravnini
36
Matematika
PITAGOROV IZREK
d A, B x 2
2
d A, B
x1 y2 y1 2
x2 x1 y2 y1 2
2
2
x1 y1 x2 y2 V pravokotni koordinatni sistem vriši točki s koordinatama A 3, 4 B 1, 1 jih poveţi in izmeri njihovo razdaljo. Dobljeno razdaljo preveri še računsko!
d A, B
x2 x1 y2 y1
d A, B
1 3 1 4
d A, B
4 3
2
2
2
2
d A, B 16 9 d A, B 25 d A, B 5(enot )
Točke A(-2,-4) B(3,3) C(-1,2) določajo trikotnik A,B,C. a) V kordinatni sistem natančno nariši trikotnik A,B,C in izračunaj dolţino njegove najdaljše stranice na dve decimalni mesti natančno. b) Zapiši enačbo nosilke A,B c) Na minuto natančno izračunaj kot A,C,B d) Izračunaj še obseg trikotnika ( o = d(A,B) + d(B,C) + d(C,A) )
37
2
2
Matematika
d A, B
x2 x1 y2 y1
d A, B
3 2 3 4
2
2
d A, B 52 7 2 d A, B 25 49 d A, B 74 d A, B 8, 6
Ploščina in orientacija trikotnika
Determinanta a, b c, d
2So
ad bc
38
x2 x1 , y2 y1 x3 x1 , y3 y1
2
2
Matematika Vaje! Izračunaj ploščino in orientacijo trikotnika! 2 So
A 2,1 ........x1 , y1 B 8,3 ........x2 , y2
2 So
C 5, 7 ........x3 , y3 2 So
2 So
A 4,8 ........x1 , y1 B 3, 2 ........x2 , y2
2 So
C 5, 1 ........x3 , y3 2 So
x2 x1 , y2 y1
2 So 6 6 2 3
x3 x1 , y3 y1
2 So 30
8 2,3 1
s 30 : 2
5 2, 7 1
s 15
6, 2
o 1
3, 6
x2 x1 , y2 y1
2So 7 9 6 9
x3 x1 , y3 y1
2So 9 s 9 : 2
3 4 , 2 8 5 4 , 1 8
s 4,5 o 1
7, 6 9, 9
Izračunaj obseg in ploščino trikotnika! A 4,1
o d A, B d B, C d C, A
B 5,5
o 9,8 +8, 9 6, 4
C 1, 3
o 25,1
A 4,1 B 5,5
d A, B
x2 x1 y2 y1
d A, B
5 4 5 1
2
2
2
2
B 5,5
d A, B 81 16
C 1, 3
d A, B 97 d A, B 9,8
A 4,1 C 1, 3
x2 x1 y2 y1
d C , A
4 1 1 3
2
d C , A 41 d C , A 6, 4
x2 x1 y2 y1
d B, C
1 5 3 5
2
2
2
d B, C 16 46 d B, C 80 d B, C 8,9
d C , A
d C , A 25 16
d B, C
2
2
2 So
2
2 So 2 So
39
x2 x1 , y2 y1 x3 x1 , y3 y1 5 4,5 1 1 4, 3 1 9, 4 5, 4
2 So 9 4 5 4 2 So 56 s 56 : 2 s 28 o 1
2
Matematika
FUNKCIJA (odvisnost)
Obseg kvadrata je odvisen od dolţine stranice a. obseg je funkcija a-ja.
40
Matematika Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu iz mnoţice A priredi natanko eden element iz mnoţice A.
Ena slika pa lahko ima dva originala. Vsaka funkcija ima svoj graf. Graf funkcije imenujemo mnoţica vseh urejenih parov x,y pri čemer velja da x pripada definicijskem območju Df , y pa k zalogi funkcijskih vrednosti Zf.
LINEARNA FUNKCIJA
41
Matematika Zapiši k in n! y 2x 3
n 3
k 2 k 5
y 5 x 7
n7 n 1
x 1 2 y 5x
k k 5
n0
y7
k 0
n7
y x
k 1
n0
y
1 2
Nariši graf naslednjih funkcij!
y 2x 1 x -1 0 1
y -3 1 1
y 2x x -1 0 1
y 2x 4 y -2 0 2
x -1 0 1
y 2 4 6
Graf vsake linearne funkcije je premica. Grafi linearnih funkcij z enakim k so vzporedne premice. Mnoţico vzporednih premic imenujemo snop.
42
Matematika
y x3 x -1 0 1
y 2 x 3 y 2 3 4
x -1 0 1
y 5 3 1
y 4x 3 x -1 0 1
y -1 3 7
Grafi linearnih funkcij z enakim n se sekajo v isti točki (če je n enako 0, je ta točka kordinatno izhodišče). Mnoţica premic ki se sekajo v isti točki se imenuje šop premic.
43
Matematika
y 5x 2 x -1 0 1
y -7 -2 3
y x -3 0 3
x 3
y 4 y -1 0 1
Od vrednosti k je odvisna je odvisna strmina premice, čim večji je k po absolutni vrednosti, tem bolj strma je premica. Zato k imenujemo smerni koificient. y x 2...........k 0 y 2 x 1......k 0
Če je k > 0 je funkcija naraščajoča, Če je k < 0 je funkcija padajoča.
44
Matematika
V katerih točkah seka graf linearnih funkcij koordinatni osi? y 2 x 6 x -1 0 1
y 8 6 4
Računsko: osx : M (3, 0) y 2 x 6 0 2 x 6 2x 6 x 6:2 x3
osy : N (0, 6) y 2 x 6 y 2 0 6 y 06 y6
45
Matematika
n k y 3 x 1
y 2 x 5
46
Matematika
Enačbe premice y y1 k x x1
y kx n
y y1 k x x1
A 3,8
y 8 2 x 3
y 2x 1
Eksplicitna enačba premice
y 2x 6 8
k 2
y 2 x 14
y y1 k x x1
A 6, 1
y 1 3 x 6
y 3 x 1
y 3 x 18 1
k 3
y 3 x 17
Zapiši enačbo premice, katere graf gre skozi točki: A 3, 2 1. B 2, 4 k
y2 y1 x2 x1
42 k 2 3 2 k 1 k2
2.
A 3, 2 k 2 y y1 k x x1 y 2 2 x 3 y 2 2x 6 y 2x 6 2 y 2x 8
A 1, 3 B 2, 6 k
y2 y1 x2 x1
6 3 k 2 1 9 k 3 k 3
B 2, 6 k 3 y y1 k x x1 y 6 3 x 2 y 6 3x 6 y 3x 6 6 y 3x
47
Matematika
Oblike enačb premic 1. y kx n 2. ax by c 0 x y 1 3. m n
EKSPLECITNA oblika enačbe premice (razvita) INPLICITNA oblika enačbe premice (nerazvita) SEGMENTNA oblika enačbe premice (odsekovna)
Zapiši enačbo premice v ostalih dveh oblikah! segmentna 3 x y 6 0
eksplicitna
inplicitna
y 3x 6
3x y 6 0
3 x y 6 0 : 6 3x y 1 6 6 x y 1 2 6
segmentna 6x 2 y 8
eksplicitna inplicitna 6x 2 y 8 0
2 y 6 x 8 : 2 y 3x 4
6x 2 y 8 : 8 6x 2 y 1 8 8 3x y 1 4 4
inplicitna segmentna x 7 1 10 2
eksplicitna
x 7 1 10 10 2 x 5 y 10
5 y x 10 : 5 x y 2 5
x 5 y 10 0
48
Matematika
GEOMETRIJA V RAVNINI Snov 2. letnika
Evklidska grometrija Osnovni geometrijski elementi so: točka, premica in ravnina. Točka: nima nobene dimenzije. Ponazoritev: označba : A, B, C Premica: je ravna neomejena črta, ima eno razseţnost. Ponazoritev : označba: a,b,c Ravnina je neomejena ravna ploskev ima dve razseţnosti. Ponazoritev: Označba: A, B,, Poltrak: je na eni strani omejena omejena ravna črta Daljica: je na obeh straneh omejena ravna črta
ab
a b
49
Matematika
Imejmo v ravnini dva poltraka s skupnim izhodiščem. Ta poltraka nam ravnino razdelita na dva dela (kota). Poltraka imenujemo kraka kota, njuno skupno izhodišče pa vrh kota. Velikost kotov označujemo z malimi grškimi črkami. , , ,
Velikost kotov merimo v stopinjah. 1 stopinja je 360 del kroga. 1 60 min ut 1 60 sekund
1 3600
Radian
50
Matematika Stopinje radiani Stopinje 15 120 135
180............
Radiani
180............
12 2 3 3 4
15..............x 180 x 15
x
15 180
10
x..............
180
12
180............
180............
135..............x
x..............
x
180 3 x 4
18
180 18 x 10 x
135
Dvojni koti 90 -----KOMPLIMENTARNA kota 180 ----SUPLIMENTARNA kota
51
2 x 3
180 2 x 3 60 2 x 120 1
18
180 x 135
2 3
Matematika
TRIKOTNIK Trikotnik je geometrijski lik omejen s tremi daljicami. Daljicam pravimo stranice trikotnika. Po dve in dve se stikata v točki, ki jo imenujemo oglišče trikotnika. Oglišče so točke A,B,C
Trikotnik delimo glede na: Stranice:
Raznostraničen Enakokrak Enakostraničen
Kote: Ostrokoten Pravokoten Topokoten Koti v trikotniku:
1 180 1 180 1 180
1 1 1
180...notranji koti 1 1 1 360...zunanji koti
52
Matematika Izračunaj neznane notranje in zunanje neznane kote, če poznaš!
1 180
1 180
7233
1 180
180 1
1 107 25
1 17960 7233
17960 107 25
1 107 27
7235
1
1 180
1 7233 7235
180 1
1 14468
17960 14508
1 15508
3452
Vsota vseh kotov je 540 stopinj.
IZREK O SKLADNOSTI TRIKOTNIKA Lika sta skladna, če se natančno pokrijeta, če damo enega na drugega. Na podlagi skladnosti teh izrekov lahko trikotnik načrtujemo. 1. Trikotnika sta skladna, kadar se ujemata v vseh treh stranicah. (SSS). 2. Trikotnika sta skladna, kadar se ujemata v dveh stranicah in kotu ki ga ti dve stranici oklepata (SKS). 3. Trikotnika sta skladna, kadar se ujemata v stranici in dveh prileţnih kotih (KSK). 4. Trikotnika sta skladna, kadar se ujemata v dveh stranicah in kotu ki leţi daljši stranici nasproti (SSK)
ZNAMENITE TOČKE TRIKOTNIKA 1. Središče trikotnika očrtane kroţnice Središče trikotniku očrtane kroţnice je sečišče simetral stranic.
2. Središče trikotnika včrtane kroţnice Je sečišče simetral kotov.
53
Matematika 3. Teţišče Teţišče je točka, v kateri se sekajo teţiščnice trikotnika. Teţiščnica je daljica, ki poteka iz oglišča razpolovišče nasprotne stranice.
4. Višinska točka trikotnika Višinska točka je sečišče višin trikotnika. Višina je daljica ki poteka iz oglišča pravokotno na nasprotno stranico.
PRAVOKOTEN TRIKOTNIK
54
v
Matematika
PITAGOROV IZREK Vsote ploščin kvadratov med katetama je enaka ploščini kvadrata ned hipotenuzo.
3, 4,5 6,8,10 pitagorska štavila 9,12,15
a1 je pravokotna projekcija katete a na hipotenuzo b1 je pravokotna projekcija katete b na hipotenuzo Višinski izrek: v a1 b1
Evklidova izreka:
Obseg: o a b c
a b 2 Ploščina: cv s 2
2
s
TALESOV IZREK
1. 2. 3. 4. 5.
Narišeš poljubno daljico Poiščeš središče daljice in v središče narišeš polkrog Poiščeš poljubno točko C na polkrogu Poveţeš vogale iz točke C Na vodalu točke C moraš dobiti pravi kot 55
a 2 c : a1 b 2 c b1
Matematika
ENAKOKRAKI TRIKOTNIK o 2a c s
c vc a va b vb , 2 2 2
c a 2 vc2 2
2
ENAKOSTRANIČNI TRIKOTNIK 60 o 3a a2 3 4 a 3 v 2 s
SIMETRALA DALJIC Simetrala daljic je premica, ki daljice razpolovi in je pravokotna nanjo. Za vse točke, ki leţijo na simetrali daljice velja, da so enako oddaljene od vseh krajišč daljice.
56
Matematika
SIMENTRALA KOTA Je premica ki poteka skozi vrh kota in kot razpolovi. Za vse točke, ki leţijo na simetrali kota velja, da so enako oddaljene od vseh kotov.
RISANJE KOTOV S ŠESTILOM S pomočjo šestila lahko rišemo kote, ki so večkratniki kota 15 stopinj. Osnovni kot, ki ga lahko narišemo s pomočjo šestila je 60 stopinj.
ZNAMENITE TOČKE V TRIKOTNIKU - NAČRTOVANJE _
57
Matematika 1. Središče trikotniku očrtane kroţnice
1. Ostrokoten trikotnik je s v notranjosti 2. Topokotni trikotnik , s je v zunanjosti 3. Pravokotni trikotnik je s na hipotenuzi 2. Središče trikotniki včrtane kroţnice
3. Teţišče trikotnika
58
Matematika
4. Ostrokoten trikotnik ( vsi koti so manjši od 90stopinj)
5. Topokotni trikotnik ( vsi koti več kot 90)
59
Matematika
SKLADNOSTNI IZREKI Načrtovanje na osnovi skladnostih izrekov 1. Stranica, stranica, stranica (SSS)
a 4cm b 5cm c 6cm Postopek načrtovanja -nosilka c -stranica c -a -b
2. Stranica, kot, stranica (SKS)
a 4cm b 5cm
45 -a - -b
60
Matematika 3. Kot, stranica, kot (KSK)
b 6cm
60 45 b
4. Stranica, stranica, kot (SSK)
a 4cm b 6cm
45 a b
61
Matematika
ŠTIRIKOTNIK Vsota notranjih kotov v vsakem štirikotniku je 360 stopinj.
PARALELOGRAMI Je štirikotnik, ki ima po dve in dve stranici vzporedni in enako dolgi. 1. PRAVOKOTNIK Obseg:
o 2a 2b o 2(a b)
Ploščina: S a b Pitagorjev izrek: d 2 a 2 b2 Diagonala je daljica ki povezuje dve sosednji ogljišči. Diagonali sta enako dolgi in se razpolavljajo. 2. KVADRAT Obseg: o 4a
d2 2 Pitagorjev izrek: d a 2 Ploščina: S a 2
Diagonali se razpolavljata in se sekata pod pravim sta enako dolgi. Ker se sekata pravokotno, tudi kot. 3. ROMB Obseg: o 4a Ploščina: S
e f av 2 2
l f Pitagorjev izrek: a 2 2 2
2
Diagonali se razpolovijo in sekajo pravokotno. Nasprotna kota sta si enaka , 180
62
kotom, razpolavljata
Matematika
4. PARALELOGRAM (romboid) Obseg: o 2 a b Ploščina:
s a va s b vb
Diagonali se razpolovita, sosednja kota sta enaka.
TRAPEZI Trapez je štirikotnik , ki ima en par vzporednih stranic. Vzporedni stranici se imenujeta osnovnici, nevzporedni pa kraka. Obseg: o a b c d
S s v Ploščina:
S
Srednjica: s
ac v 2 ac 2
Srednjica je daljica, ki povezuje razpolovišče dveh krakov.
180 180
Enakokraki trapez AED – enakokrak bd l f ac Pitagorjev izrek: b v 2 2
2
2
63
Matematika
DELTOID Obseg: o 2a 2b Ploščina: S
e f 2
Pitagorjev izrek:
e a2 x2 2 e b y 2
2
2
2
f x y
VEČKOTNIKI Trikotniki Štirikotniki
Petkotniki Pravilen 6 kotnik
Večkotnik je pravilen, kadar ima enako dolge stranice in enake kote. Enakostranični trikotnik 60, kvadrat 90, pravilen 6 kotnik
PRAVILEN 6 KOTNIK Obseg: o 6a 3a 2 3 2 n = št. Stranic večkotnika Vsota notranjih kotov : n 2 180
Ploščina: S
Vsota zunanji kotov: 360 n n 3 Število diagonal: 2 Vaja: Izračunaj št. diagonal, vsoto zunanjih in notranjih kotov v 20 kotniku. n=20
n n 3 20 20 3 170 2 2 Notranji koti: n 2 180 20 2 180 3240 Število diagonal:
Zunanji koti: vsota je 360
64
Matematika
KROG Krog je del ravnine omejen z krivo črto, ki se imenuje kroţnica. Kroţnica je mnoţica točk za katere velja, da so vse enako oddaljene od neke stalne točke , ki se imenuje središče kroga.
r = polmer kroga (radij) d = premer kroga (diameter) l = kroţni lok
d l r
Obseg: 2 r Ploščina: r 2
Koţni odsek: S
središčni kot
3,14
22 7
r 2 sin 2 180
T – tetiva Lok : l
r 180
Kroţni izsek: S
r 2 360
KONCENTRIČNA KROGA Sta kroga ki imata skupno središče.
Ploščina:
S R2 r 2 S R2 r 2
65
Matematika
SREDIŠČNI IN OBODNI KROG - središčni kot - obodni kot 2
TALESOV IZREK – kot v polkrogu
TANGENTA NA KROŽNICO A) V točki A, ki leţi na kroţnici Tangenta je vedno pravokotna na kroţnico.
B) V točki B, ki ne leţi na kroţnici
66
Matematika
KOTNE FUNKCIJE b 3 0,51 c 5,8 a 5 0,86 c 5,8 b 3 0, 6 a 5 a 5 1, 66 b 3
Razmerje med dvema stranicama v pravokotnem trikotniku je odvisno samo od velikosti kotov. Razmerje med dvema stranicama je funkcija. b 0,5 c a cos 30 0,86 c b tan 30 0,58 a
sin 30
nasprotiležna kateta sin hipotenuza priležna kateta COSINUS kota cos hipotenuza nasprotiležna kateta TANGENUS kota tg , tan priležna kateta SINUS kota
KOT TANGENS
priležna kateta ctg , cot nasprotiležna kateta
Vaje: Na 4 decimalna mesta napiši! sin 36 0,5877 cos 75 0, 2588
sin 45 22 22 : 60 sin 0,366 45 0, 7116 cos 3517 17 : 60 cos 0, 2834 35 0,8163
tan16 0, 2867
tan 77 44 44 : 60 tan 0, 7334 77 4,5993
cot 48 0,9004
c tg1533 33 : 60 ctg 0,55 15 3,5934
67
Matematika sin 0,3333........... 19 28 cos 0,5151.......... 5859 tg 1, 4444............. 5518 ctg 0,8888.......... 48 22
c 20cm
2230 a ? b ?
? 90
a c c c sin a
90
a c sin
8960 2230
a 20 sin 2230
6730
sin
a 7, 7cm
b2 c2 a 2 b 2 202 7, 7 2 b 340, 71 b 18,5cm
Razširi pravokotni trikotnik!
a 6cm b 8cm c
90 Znani so kateti – uporabiš tangens (tg) c2 a 2 b2
a 6 tg 0, 75 b 8 3652
90
c 2 6 2 82
8960 3652
c 2 100
5308
c 100 c 10cm
68
Matematika Izračunaj notranje kote trikotnika s stranicami:
ZA IZPIT
a 13cm b 14cm c 15cm
? ? ? b2 c2 a 2 2bc 2 14 152 132 cos 2 14 15 252 cos 0, 6 420 5307 cos
a 2 c2 b2 2ac 2 13 152 142 cos 2 13 15 189 cos 0.50 390 59 29 cos
a 2 b2 c2 2ab 2 13 142 152 cos 2 13 14 140 cos 0,3846 364 67 22 cos
HERONOV OBRAZEC Kadar so podane vse tri stranice trikotnika izračunamo njegovo ploščino po: S s s a s b s c s
s
abc 2
a b c 13 14 15 21 2 2
S s s a s b s c 21 21 13 21 14 21 15 705 84cm2 Pod kakšnim kotom se sekata diagonali pravokotnika s stranicami: a 16cm b 12cm
6 tg 0, 75 2 8 3652 2 72104 73 44
69
Matematika Za poljuben trikotnik veljata dva izreka: KOSINOSUV IZREK a. Uporabljamo kadar sta podani dve stranici in kot, ki ga ti dve stranici oklepata b. Uporabljamo kadar so podane vse tri stranice a. a2 b2 c2 2bc cos b2 a 2 c2 2ac cos
c2 a2 b2 2ab cos b2 c 2 a 2 b. cos 2bc 2 a c2 a2 cos 2ac a 2 b2 c 2 cos 2ab
Polmer trikotniku včrtane kroţnice:
r
S s
Polmer trikotniku očrtane kroţnice:
R
a bc 4 S
Vb
2S b
Višine: Na a: Va
2S a
na b:
na c:
Teţiščnice: Na a: ta
2b2 2c 2 a 2 4
Na c: tc
2b 2 2a 2 c 2 4
na b:
70
tb
2a 2 2c 2 b 2 4
Vc
2S c
Matematika
Vaje: Izračunaj notranje kote trikotnika s stranicami:
a 12cm b 35cm c 37cm 1. o a b c 12 35 37 84cm 2. s
a b c 12 35 37 42 2 2
S s s a s b s c S 42 42 12 42 35 42 37 210cm2
3. r
S 210 5cm s 42
4. R
a b c 12 35 37 18,5cm 4 S 4 210
5. cos
b2 c 2 a 2 1225 1369 144 0,9 1855 2bc 2590
6. cos
a 2 c 2 a 2 144 1369 1225 71 4 2ac 888
7. cos
a 2 b2 c 2 144 1225 1369 90 2ab 840
8. va
9. tc
2S 2 210 35cm a 12 288 2450 1369 18,5cm 4
71
Matematika
SINOSOV IZREK Ta izrek uporabljamo za razreševanje poljubnega trikotnika, kadar sta podani dve stranici in kot, oziroma stranica in dva kota.
a b c 2R sin sin sin Vaja: Razreši trikotnik!
a 7cm b 5cm
75 a b sin sin
7 5 sin 75 sin
....
7 sin 5sin 75 5 sin 75 sin 7 5 0,9659 sin 7 sin 0, 6899
4337 Na računalniku: shift – sin – 0,6899 =43,62219352 – potem pa v stopinje
75...........? a c sin sin
c
a sin sin
c 2 a 2 b2 2ab cos
c 2 a 2 b 2 2ab cos c 2 7 2 52 2 7 5 cos 4337 c 2 74 50, 68.....?
72
Matematika
POTENCE IN KORENI 1. Potence s celimi eksponenti
a 3 a 2 a ne gre m3 m 2 a 3 a 3 2a 3
a m a n a mn
a1 a
am : an
a0 1
a0
a b
1 a a 1 an n a 1
a
2n
n
am a mn n a
a n bn
n
an a bn b
a 2 n ; a
2 n 1
a 2 n
Vaje: Izračunaj! 50 1 7 2
43 64 1 49
2
1
4 1 3 1 3 3 4 2
2
4 1 5 2 25 2 2 29 512 42 16 32 9
5 25 3 5 125 4 5 625
5
2
25
52 25
52 25 16 1
3
3
1 6 1 63 1 6 216 2 2 5 1 5 25
minusa se znebimo v potenci, da obrnemo ulomek Reši !
73
Matematika
2 2 1
0
5 2 2 1
2
1 2
2
1 1 2 1 5 4 2 4 3 5 1 1 2 4 12 10 1 3 4 4 Izračunaj oziroma skrči izraze
a b a b a 2 b2 2 a b a 2 2ab b
2
n2 n2
2
2
n 1
2 n 2 2 n 3 2 n 2 2 n
2
:4
n n 1
22 n
2
2n 2
2 n 3 2 n 2 2 n
n2
2
n 1
23
: 22
2
n n 1
2n
2
4 n 2 2 n 1
: 22 n
2
2n
1 8
Pri mnoţenju osnovo prepišemo eksponente pa seštejemo. Pri deljenju osnovo prepišemo eksponente pa odštejemo. 6 2 6a 12 6 a 2
x6 x 4 x 2 x 2 x 4 x 2 x0 ........x 2 x 4 x 2 1
Okrajšaj ulomek! 2 x2
32 x 5 5 32 x 3 6 32 x 2 3 4 32 x 2
3
3
5 31 6 30
4 32 x 2
9
32 x 2 27 5 3 6 1 36 32 x 2 32 32 x 2 32 2 x 2 1 2 x2 2 x2 4 32 x 2 3 3 2 x2 4 3 32 x 4 2 x 4 2 x 2 3 32 x 4 2 x 2 36 729 2 x2 3
Izračunaj vrednost izraza!
3 3 4 7 4a 1 a a a a
74
16 1 16 1 x x 1 16 x 1 napaka 16 x 16 x 1
Matematika 2 2 x 16 x 2 x 2 x x 16 2 x x 2 2 1 5x x 4 x 2 1 x 1 1 4 x x2 x 2 16 2x 2 2 2 x x 2 x 16 1 2 2 x 2 x 5 x 1 1 4 x 5x 1 x4 x 1 x2 x 2 16 2 2 x 2 x 2 16 2 x 4 2 x 2 5x2 1 x 4 5x2 x4 1
1
2
x 16 2 x 8 2 x 2 5x2 x4 2
x 4 x 4 1
2
5 x2
2 x 4 10 x2 x4
Nadaljuj zaporedje! 2 2 2 2 9 10 4 11 52 62 72 82 1, 4 , 9 ,16, 25,36, 49, 64,81,100,121
12 22 32
to so popolni koreni
Kvadriranje: 62 36
0, 62 0,36
602 3600 6002 360000
0, 062 0, 0036
Ničle in decimalna mesta se pri kvadriranju podvojijo.
KVADRATNI KOREN 72 49 kvadriranje sta obratni funkciji 49 7 korenjenje Vrednost korena je vedno nenegativno število. 7 2 49
7
2
49
Če pri korenu nič ne piše je koren iz dva:
2 Če je na ena, pomeni da ga ni: 1
324 18 32400 180 3, 24 1,8
75
a a
Matematika
DELNO KORENJENJE Pri delnem korenjenju število razcepimo na produkt dveh faktorjevm, od katerih je en faktor popoln kvadrat. Ker lahko ta faktor korenimo, drugega pa ne, pravimo temu delno korenjenje.
12 3 4 4 3 2 3 12 112
poiščemo popoln kvadrat
12 2 6 12 3 4 18 9 2 3 2
72 8 9 3 8 3 4 2 3 2 2 6 2 48 16 3 4 3 108 36 3 6 3 980 .....................
Najpogosteje razstavljaš z števili: 2,3,5
RACIONALIZACIJA IMENOVALCA
Je postopek pri katerem odpravimo koren iz imenovalca ulomka.
a b
b - imenovalec a a a
5 5 25 5
a
8 8 64 8
76
2
a
Matematika
Vaja! 3 3 2 3 2 1 2 2 2 2
6 3 6 3 2 3 3 3 3
3 5 10 3 10 50 3 10 25 2 3 10 5 2 10 10 10 10 10
KORENI POLJUBNIH STOPENJ n
am
n – korenska stopnja 3
a – korenjenec
8 2 23 8
4
m – potenčni eksponent
265 4 44 256
1. Seštevanje in odštevanje Seštevamo in odštevamo lahko le tiste korene, ki imajo enake korene in korenske eksponente 3
a 3 a 3 a 33 a
x 3 x ne gre
5
4
x8 4 x7 ne gre
2. Mnoţenje in deljenje Mnoţimo in delimo lahko korene z enakimi korenskimi eksponenti. Če so korenski eksponenti različni jih najprej razširimo na skupni korenski eksponent. Korene z enakimi korenskimi eksponenti mnoţimo tako, da korenski eksponent prepišemo korenjence pa zmnoţimo. a 4 4 a 3 6 a13 12 a16 12 a 9 12 a 26 12 a35 4 a11
5
a3 5 a 4 5 a3 a 4 5 a 7
3
a 4 b5 a 4b4 8 a 7b5 24 a32b40 a 12b48a 21b15 24 a1b23
3
3. Potenciranje korenov Koren potenciramo tako da potenciramo korenjenec.
3
a4
5
3
a
4 5
3 a 20
77
Matematika
4. Korenjenje korenov Korene korenimo tako da korenjenec prepišemo korenske eksponente pa zmnoţimo.
3 4 5
5
x 4 y 2
3
3
12
12
x 3 y 5 x 6 y 7
x 4 5 x3 y 2
x80 y 40 x 9 y15 15
6
4
x 23 y 2
x3 y 2 4 x 3
x10 y1 2 x1 y 2
12
12
x107 y 67 x 23 y 2
x12 y 8 x 3 20
2 1
x 20 y 20 4 x 3 y 5 2 x 6 y 2
3
x 20 x3 y 2
3 5
15
6 4
x y xy
2
24 24
a 4 60 a 4 15 a
x535 y 335 60 443 327 x y x 23 y 8
60
x9 y 8 24
x y
24 x 12 y 2
0
POTENCE Z RACIONALNIMI EKSPONENTI m
2 3
a n n am
27 27 9
1 2
4 2 41 4 2 ali 1 2
4 2
2 3 3
3
3
1 2 2
3
21 2
3
2
3 9 2
16 4 2 4
3 4
23 8
16 4 4 163 8 3
4 2 2 1 0, 04 100 25 3 2
2
1 1 16525 25
IRACIONALNA ENAČBA Enačba je iracionalna, če je neznanka v enačbi pod korenom. Pri teh enačbah naredimo preizkus.
78
3
Matematika
4 3x 2 0
x 2 8 2
3 x 2 0 4 2 3 x 2 16
x 2 64 x 64 2 x 62
3 x 18 x 6 ni rešitve
Preizkus
Preizkus
x2 8
4 3x 2 0
62 2 8
4 3 6 2 0
64 8
4 16 0
88
80
x x 1 7
Preizkus x 10 0
Preizkus x 5 0
x 1 49 14 x x 2 ..... je dvočlenik
x 10
x5
x 1 49 14 x x 2 0
x x 1 7
x x 1 7
x 15 x 50 0 1
10 10 1 7
5 5 1 7
x 15 x 50 0
10 3 7
5 2 7
x 10 x 5 0
13 7 ...ni rešitve
77
x 1 7 x
2
2
2
KVADRATNA ENAČBA
a – vodilni koeficient a 0
a, b,c – koeficienti
ax2 bx c 0
Reševanje: 1. Z razcepom: (Veitovo pravilo) x 2 4 x 21 0
x 2 3x 0
x 3 x 7 0
x x 3 0
x1 3 x2 7
x1 0 x2 3
2. Z uporabo formule: O rešljivosti kvadratne enačbe odloča število, ki se imenuje diskriminanta (D). a) D > 0 – enačba ima dve različni rešitvi b) D = 0 – enačba ima dve enaki rešitvi (ali eno dvojno rešitev) c) D < 0 – enačba nima realne rešitve
79
Matematika
ax2 bx c 0
x1,2
b D 2a
D b2 4ac
Vaja: ( z razcepom – vietovo pravilo)
x 2 7 x 12 0
x 3 x 4 0
x3 0
x40
x 03
x 04
x3
x4
Vaja: ( z uporabo formule ) x1,2 a b c 2 x 4 x 21 0
D b 2 4ac D 4 4 1 21 2
a 1
D 16 84
b 4
D 100
c 21
D 0 – dve različni rešitvi
x1,2
b D 2a 4 100
2 1 4 10 x1,2 2 4 10 14 x1 7 2 2 4 10 6 x2 3 2 2
Reši kvadratno enačbo!
x1,2 2x 7x 3 0 2
a2 b7 c3
D b 2 4ac
7 25 22 7 5 x1,2 4 7 5 2 1 x1 4 4 2 7 5 12 x2 3 4 4 x1,2
D 72 4 2 3 D 49 24 D 25 D 0 – dve različni rešitvi
80
b D 2a
Matematika
x1,2
D b 2 4ac
2x 8x 8 0 2
D 64 64
b8
D0
c 8
8 0 22 8 0 x1,2 4 8 0 8 x1 2 4 4 8 0 8 x2 2 4 4 x1,2
D 82 4 2 8
a2
b D 2a
D 0 – dve enaki rešitvi
D b 2 4ac
x2 2x 3 0
D 2 2 4 1 2
a 1
D 4 12
b2
Ni rešitve v
D 8
c3
D 0 – enačba nima realne rešitve
BIKVADRATNA ENAČBA x2 t x 2 t1 x 4 5 x 2 36 0 t 2 5t 36 0
t 4 t 9 0
t 40
t 9 0
t1 4
t2 9
x2 4 x1 2
ni rešitve v
x2 2 x 2 t2 x 2 9
KVADRATNA FUNKCIJA Vedno na maturi!
f x kx n
f x ax 2 bx c - kvadratna funkcija a 0
Zapisi kvadratne funkcije: 1. Splošni zapis:
f x ax 2 bx c 2. Temenski zapis:
81
Matematika
f x a x p q 2
3. Ničelni zapis:
f x a x x1 x x2
GRAF KVADRATNE FUNKCIJE ( parabola )
x 0 1/4 1/2 3/4 1 3/2 2 3
f(x) 0 1/16 1/4 9/16 1 9/4 4 9
b 2a
q
p
D 4a
f x ax - teme je vedno v točki 0
p q T (0, 0) (T – teme)
f x ax 2 bx c
T (0, c)
f x ax 2 bx c
T ( p, q)
2
Nariši naslednje grafe!
1 y x2 2 T (0, 0)
y 3x 2 T (0, 0)
82
Matematika
y 2 x2 3
y 4 x2 5
T (0,3)
T (0, 5)
f x x 2 6 x 5 a 1 b6 c5
b 2a 6 p 2 1 p 3 p
D b 2 4ac D 6 2 4 1 5 D 36 20 D 16
T(p,q) 83
D 4a 16 q 4 1 q 4 q
Matematika T(-3,-4) Ničle:
x 6x 5
x2 6x 5
x2 6x 1 0
x 1 x 5 0 x1 1 x2 5
6 16 2 1 6 4 x1,2 2 6 4 2 x1 1 2 2 6 4 10 x2 5 2 2 x1,2
2
ali
x2 6x 1 0 x1,2
Začetna vrednost:
f 0 5 ničle vstavimo v enačbo f x 02 6 0 5 f x 0 0 5 5
f x x 2 4 x 4 T (2, 0) a 1 b4 c4
84
b D 2a
Matematika
b 2a 4 p 2 1 p 2 p
D 4a 0 q 4 1 q0 q
D b 2 4ac D 4 2 4 1 4 D 16 16 D0
x2 4x 4 0
x 2 x 2 0 x1 2 x2 2
f x 2 x 2 4 x 1 T (1, 3) a 2 b 4 c 1
x1,2 b 2a 4 p 2 2 p
p 1
D 16 8
D 4a 24 q 4 2
D 24
q3
D b 2 4ac D 4 4 2 1 2
q
VLOGA D IN a PRI RISANJU GRAFOV
85
x1,2
b D 2a 4 24 2 2
4 4,9 4 4 4,9 8,9 x1 2, 2 4 4 4 4,9 0,9 x2 0, 2 4 4 x1,2
Matematika
Zapiši dano funkcijo v ostalih dveh oblikah! f x 2 x 2 2 x 4 a 2 b2 c4
b 2a 2 p 22 1 p 2 p
D 4 32
D 4a 36 q 4 2
D 36
q
q
D b 4ac 2
D 22 4 2 4
9 2
x1,2
b D 2a
x1,2
2 36 2 2
2 6 4 2 6 4 x1 1 4 4 2 6 8 x2 2 4 4 x1,2
Splošni zapis: f x ax bx c = f x 2 x 2 2 x 4 2
f x a x p q = f x 2
Temenski zapis:
2
1 1 2 x 4 2 2
Ničelni zapis: f x a x x1 x x2 = f x 2 x 1 x 2
VAJE:
mat 012 ----------mat 018 (izpuščeno)
EKSPONENTNA FUNKCIJA 86
Matematika Snov 3. letnika
f x x n - potenčna funkcija f x x 2 - kvadratna funkcija f x x x - eksponentna funkcija
a0 1. a 1 2. 0 a 1
f x a x a 1 f x 2 x f 3 2 3 f 2 2 2
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8
Graf … Asimptota je premica, h kateri se graf neke funkcije poljubno pribliţa vendar se je ne dotakne. Za funkcijo f x a x je asimptota os x ali abcisna os.
f x a x A(0,1) B (1, a ) f x 3x
f x 3x
A(0,1)
A(0,1)
B (1, 3)
B (1, 3)
Grafa 020
f x 4 x 3
87
Matematika
EKSPONENTNA ENAČBA m n
a nm
a
f x
a
g x
f x g x
2
271 91 x 1
27 2 91 x 1
5 x 25
1 8 2 2 x 1 2 2 23
5 x 52
22 2 x 1 23
x2
2 2 x 1 3
33 2 32
4 22 x 1
1 x
3 3 321 x 2 3 2 1 x 2 3 4 1 x
4 x 4 ne gre
2 x 6 : 2
2
3 4 4x
x 3
4x 1 x
3x 2 3x 90
1 4
53 x 1 125x 251,5 x 495
3x 0 32 30 90
53 x 1 53 x 5
21,5 x 1
495
3x 9 1 90
53 x 2 53 52 50 495
3x 10 90 :10
53 x 2 125 25 1 495
3x 9
53 x 2 99 495 : 99
3x 32 x2
53 x 2 51 3x 2 1 Izpostavi skupni faktor (vsota – razlika)
88
Matematika
Če sta osnovi različni in eksponenta enaka potem moramo eksponent enačit z 0
3x 5x 2 x 2 x 1 2 3x Izpostavi skupni faktor 2 x 20 21 2 3x 2 x 1 2 2 3x 2 x 3 2 3x
:6
1 1 x 3 2 3 1 1 2 x 3x 2 3 x 2 21 31 3x 2x
2 x 1 3x 1 x 1 0 x 1
Rešljiva z logaritmom: 5x 7 5x 1 5 x 50 x0
INVERZNE FUNKCIJE (obratne linearne funkcije)
f x funkcija f x 1 obratna funkcija
89
a
f x
bf x
f x 0
Matematika
Poišči inverzne funkcije!
y 2x 4 x 2y 4 2 y x 4 : 2 y
x 2 2
Spremenljivke med sabo zamenjamo in na novo y izrazimo. Funk ciji sta obratni.
Vsota inverznih funkcij sta zrcalna glede na premico y x
90
Matematika
y x2 x y2 y2 x y x
91
Matematika
LOGARITEMSKA FUNKCIJA x Logaritemska funkcija je inverzna eksponentni funkciji y a
y ax
x ay
y log a x
ay x
y – logaritem števila x pri osnovi a
y 2x
y log 2 x - rdeče ne more biti negativno število
y 5x
y log5 x
y 10 x
y log10 x
y lx
y logl x
= =
y log x
- če nič ne piše je osnova 10
ln x
- za strojništvo
y ax
y 2x
y log a x
y log 2 x
A 0,1
A 0,1
A 0,1
A 1, 0
B 1, a
B 1, 2
B a,1
B 2,1
92
Matematika
Primer pri maturi!
5x 7 x log 5 7
log a b
log 7 x log 5 x 1, 209061955
logb log a
PRAVILA ZA LOGARITMIRANJE
a, b
log a log b log a b
log a log b log
a b
n log a n log a n
LOGARITEMSKE ENAČBE Pri reševanju logaritemskih enačb uporabljamo pravila za računanje z logaritmi. Lahko jih rešujemo tudi po definiciji. Pri logaritemskih enačbah je obvezen preizkus!
VAJE:
Reši enačbe!
93
Matematika log 2 x 3 eksponent
log 2 8 3
osnova
Preizkus:
2 x 3
23 8 88
8 x x 8
log 4 x 1,5 41,5 x 4
3 2
x
22
3 2
prizkus:
x
1 8
x
log x 8 3 3
x 8 x8
23 x
15 3 -1,5 v ulomek 10 2
1 3
1 3
1 x 3 8 1 x 2
10 3 x 1 2
log 2 16 x 2 16 x
2 2 x
4
log 3 x 1 2
osnova je 10 100 3 x 1 3 x 1 100 3 x 99 : 3 x 33
log x log x 1 log 6 log x x 1 log 6 x x 1 6 x2 x 6 0
x 2 x 3 0 x1 2 je x2 3 ni
log 3 x 4 log 3 x 2 x4 log 3 9 x x4 9 x 1 x 4 9x
log
log x log 8 3 log aritmiraj log 8 x log103 anti log aritmiraj 8 x 1000 : 8
x 9 x 4
x 125
8 x 4 : 8 x
94
1 2
Matematika log 2 x 3 log 2 x 2 1 log 2 x
log x 1 2 log x log 6
log 2 x 3 log 2 x 2 log 2 2 log 2 x
log x 1 log x 2 log 6 log x 1
log 2 x 3 x 2 log 2 x
log 6
x 2 3x 2 x 6 2 x
log x 2 x 1 6 križno x2 1 2 6x x 1
x2 x 6 0
x 2 x 3 0 x1 2 ni
6x x 1 0 2
x2 3 je
x1,2 6x x 1 0
D b 4ac
a6
D 1 4 6 1
b 1
D 1 24
c 1
D 25
log 2 x 2 log x 3 0 A 2A 3 0 2
a 1 b 2 c 3
2
log x A
D b 2 4ac D 2 4 1 3 2
D 4 12 D 16
24 A1,2 2 24 A1 3 2 24 A2 1 2
log 2 x 3 log x 1 log x 5 2x 3 log x 5 x 1 2x 3 x 5 x 1 1 x 1 x 5 2 x 3
1 25 26 1 5 x1,2 12 1 5 6 1 x1 12 12 2 1 5 4 1 x2 12 12 3 x1,2
2
2
b D 2a
log
x ni enak 1
x2 x 5x 5 2 x 3 0 x2 2x 8 0 x1 2 je x2 4 ni
95
log x A
log x A
log x A1
log x A2
log x 3
log x 1
10 x
101 x
3
x 100
x
1 10
Matematika VAJE:
------NA TESTU Zapiši enačbo premice ki gre skozi točko A(3,-2) in je vzporedna premici: f x x 2
a) A(3, 2)
y kx n
k = -1 ker je vzporedna
A x1 , y1
y y1 k x x1 y 2 1 x 3 y 2 1x 3 y 1x 3 2
x y 1 :1 x y 1 0 IMPLICITNA
x y 1 1 1 SEGMENTNA
y x 1 EKSPLICITNA A(4.12)
b)
B (6, 4) A( x1 , y1 ) b( x2 , y2 )
k
y2 y1 x2 x1
4 12 6 4 k 8 k
8 x y 44 : 44
y y1 k x x1 y 12 8 x 4 8 x y 44 0 IMPLICITNA
y 12 8 x 32 y 8 x 32 12 y 8 x 44 EKSPLICITNA
8 x y 1 44 44 x y 1 44 44 8 x y 1 11 44 2 SEGMENTNA
Reši sistem! ------NA TESTU Preizkus:
3x 2 y 11 3
4 x 3 y 26 4 5 3 y 26
4 x 3 y 26 2
20 3 y 26
9 x 6 y 33
3 y 26 20
8 x 6 y 52 17 x 85
3y 6 y2
x5
96
Matematika
Romb!
------NA TESTU
Ploščina romba (S) meri 24m2 njegova diagonala l=8m. Izračunaj obseg (o) in kot !
S 24m l 8m o
Skica:
Pitagorov izrek :
l f S 2 2S l f l f 2S 2S f l
2S f l 2 24 f 8 f 6m
2
l f a2 2 2 a 2 42 32
S a 2 sin
2
o 4a o 45 o 20m
a 2 25 a 25 a 5m
S a2 24 sin 0,96 25 73, 7 73 44 sin
Dan je trikotnik s stranicami a,b,c. Izračunaj ploščino, notranje kote, višino na a in teţiščnico na b. Skica: a 8cm
b 29cm c 35cm abc s 2 8 29 35 s 2 s 36cm
S s s a s b s c s 36 36 8 36 29 36 35 s 7056 s 84cm 2
a 2 c2 b2 cos 2ac 448 cos 0,8 560 3652
a 2 b2 c 2 cos 2ac 320 cos 0, 6896 464 13335
b2 c2 b2 2ac 2 29 352 82 cos 2 29 35 2002 cos 0,9862 2030 931 cos
Heronov obrazec
2S va a 2 84 va 8 va 21cm
tb
2a 2 2c 2 b 2 4
tb
2 64 2 1225 841 4
tb 434, 25 tb 20,8cm
97
Matematika
3652 931 4583 4623 ............... 17960 4623 13337 Ali koreni ali potence!
------NA TESTU
2 3 3 2 3 2 2 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 6 4 9 6 3 2 3 2 6 4 9 6 2 3 5
Reši enačbe!
4
3
3a 9b 8 a 6b3 2 4 3 2 a b 3a b 34 a 36b32 a18b 9 a 8b16 33 a 9b 6 34 a18b 23 33 a17b 22 31 a 1b 1
------NA TESTU
3x 2 5 x 2 0 a3 b5 c 2 2
x 1 6 2x
x2 2 x 1 6 2 x D b 2 4ac
x2 2 x 1 6 2 x 0
D 52 4 3 2
x2 4 x 5 0
D 49
x 1 x 5 0 x1 1 x2 5
x 1 6 2x
b D 2a 5 7 2 1 x1 6 6 3 5 7 12 x2 2 6 6 x1,2
2
x2 2 x 1 6 2 x x2 2 x 1 6 2 x 0 x2 4 x 5 0
x 1 x 5 0 x1 1
Pr eizkus :
Pr eizkus :
1 1 6 2 1
5 1 6 2 5
2 4
4 16
22
4 4
x2 5 ni rešitev
98
Matematika 1004 x 7 0,1x 2 10
2 4 x 7
10
1 x 2
108 x 14 10 x 2 8 x 14 x 2 9 x 12 : 9 x
0,1
1 10
12 4 1 1 9 3 3
D b 2 4ac
x 2 2 x 5 23
D 22 4 1 3
x2 2 x 3 0
D 16
2, 4 1
b D 2a 2 4 2 x1 1 2 2 2 4 6 x2 3 2 2 x1,2
log 2 x 2 x 5 3 2
7 3 1 1,5 50 11 5 1
22 18 15 3 1 9 11 10 5 4 10 3 1 15 5 10 9 4 15 1 4 15
2, 4 2, 444...
3, 485 3, 48555...
10 x 24, 4
1000 x 3485,5
x 2, 4
100 x 348,5
9 x 22
900 x 3137
x
99
22 9
x
3137 900
Matematika Dana je funkcija! V splošno obliko f x ax 2 bx c
f x x 3 x 1 določi ničle
f x x 2 3x x 3
D b 2 4ac
x 3 x 1 0
f x x 2 2 x 3
D 22 4 1 3
x1 3
a 1
D 16
x2 1
b2 c 3
b p 2a 2 p 1 2 1
D 4a 16 q 4 1 q 4 q
Teme T ( p, q ) T (1, 4)
f x x 2 2 x 3 f 0 02 2 0 3 f 0 3 vedno na osi y
Temenska () 2 f x 1 x 1 4 2
f x x 1 4 2
100
Matematika
POLINOMI Veččleniki ali mnogočleniki
Dvočlenik (binom)
x 5 4 x 5,8 y 2 7a
Veččlenik (trinom)
5 x 3x 7
Enočlenik (nionom) 3x 2 ,8,
Polinomi
2
y 3x 0 ........................STOPNJA :0 y x1 5.....................STOPNJA :1 y x 2 5 8................STOPNJA :2 y x5 4 x3 7 x..........STOPNJA :5 y 7 x8 6 x 2 7..........STOPNJA :8
Splošen zapis:
p X an xn an1 x n1 an2 x n2 ... a2 x 2 a1 x1 a0 n
- stopnja polinoma
5
-stopnja polinoma
a - vodilni koificient
an x n - vodilni člen
p X 7 x5 3x 4 2 x 2 x 5
7 - vodilni koificient
7x5 - vodilni člen
5 - prosti člen
Dva polinoma sta enaka samo v premeru, če imata enake koeficiente pri spremenljivkah iste stopnje.
VAJA Določi koeficienta a in b tako da bosta polinoma p X in q X enaka. p X 3x 4 Ax 3 4 x 2 7 q X 3x 4 4 x 2 B A0 B 7
Izračunaj vrednost polinoma! p 0 03 2 02 3 0 4 4 p 1 1 2 1 3 1 4 1 2 1 3 1 4 1 2 3 4 0 3
2
p 4 43 2 42 3 4 4 64 2 16 12 4 64 32 16 80
101
Matematika
RAČUNANJE S POLINOMI Seštevanje in odštevanje
p x 3x 4 2 x3 x 7 q x 6x4 2x2 7 x 8
p x q x 3x 4 2 x 3 x 7 6 x 4 2 x 2 7 x 8
3x 4 2 x3 x 7 6 x 4 2 x 2 7 x 8 9 x 4 2 x3 2 x 2 8 x 15
p x q x 3x 4 2 x3 x 7 6 x 4 2 x 2 7 x 8
3x 4 2 x3 x 7 6 x 4 2 x 2 7 x 8 3x 4 2 x3 2 x 2 6 x 1 Mnoţenje
p x q x 3x 4 2 x3 x 7 6 x 4 2 x 2 7 x 8
18 x8 12 x 7 6 x5 42 x 4 6 x 6 4 x5 2 x5 14 x 2 21x5 14 x 4 7 x 2 56 24 x 4 16 x3 8 x 56 18 x8 12 x 7 6 x 6 29 x5 80 x 4 16 x3 21x 2 8 x 112 naprej mi n i razumljivo
Deljenje
2x
4
5 x3 2 x 2 x 1 : x 2 5 x 3 2 x 2 5 x 2
102
Matematika
6x
3
11x 2 5 x 13 : 2 x 3 3 x 2 x 4
6 x3 9 x 2 2x 2 5 x 13
2 x 2 3x
k x 3x 2 x 4
2 x 13
r x 1
2 x 12 1
x
3
4 x 2 6 x 7 : x 3 x 2 x 3
x3 3x 2 x2 6x 7
x2 x 3
x 2 3x
r x 2
3x 7
3x 9 2
HORNERJEV ALGORITEM Je postopek za deljenje poljubnega polinoma z linearnim polinomom
x
3
4 x 2 6 x 7 : x 3 x 2 x 3
3
1 Prvi se prepiše 1 (x2)
-4 (3*1) 3 -1 (x1)
Količnik: x2 x 3
103
6 (3*-1) -3 3 (x0)
-7 (3*3) 9 2 - ostanek
Matematika
p ( x) 3x 4 2 x 3 7 x 2 8 x 1 p(3) 299
3 34 2 33 7 32 8 3 1 3 81 2 27 7 9 24 1 243 54 63 24 1 229 S pomočjo Hornerjevega algoritma lahko izračunamo vrednost polinoma za vrednost določenega x-a. 3
-2 9 7
3 3
x
4
-8 184 176
1 228 229
8x3 5x 2 13x 2 : x 2 x 2 x2 7 x 1
x x x 4
7 21 28
3
2
7 x 3 8 x 2 13 x 2 7 x 3 7 x 2 14 x x2 x 2 x2 x 2 0
Če je ostanek 0 je polinom x4 x3 x2 deljiv s polinomom x2 x 2
x2 x 2
x 2 x 1
po Vietu razstavljeno
ali
x1,2
x x20
D b 4ac
a 1
D 12 4 1 2
b 1
D 1 8
c 2
D9
2
2
1 1 1 -2 1
8 1 9 -2 7
6 9 15 -14 1
Ker je ostanek 0 sta 1 in -2 ničle polinoma
104
b D 2a
1 9 2 1 x1 1 x2 2 x1,2
-13 15 2 -2 0
-2 2 0
Matematika
NIČLE POLINOMA Ničla polinoma je tisto število, ki ga vstavimo namesto x, da dobi polinom vrednost 0. Polinom n-te stopnje ima lahko največ n ničel. ( če je x8 ima lahko 8 ničel , če je x 4 ima lahko 4 ničle…). Ni pa nujno da so vse realne.
Zapiši vse ničle polinoma!
2. Naloga v testu
p x x 2 9 x 20
- polinom 2. Stopnje
x 9 x 20 0 2
x1 4 L
D b 4ac 2
D 92 4 1 20
x2 5 L
D 81 80
liha ali enojna ničla
D 1
x1,2
b D 2a
9 1 2 1 x1 5 x2 4 x1,2
ali
Viet
x 5 x 4
x2 9 x 20 0 Najprej določimo moţne ničle. Moţne ničle so delitelji svobodnega člena. Moţne ničle: 1, 2, 4, 5, 10, 20 Poišči z Hornerjem! 1 1 1
1 4 1
1
-9 1 8
20 8 12
-2
-9 4 -5
20 -20 0
5
1
1 1
105
-9 -2 -11
20 22 42
-9 5 -4
20 -20 0
Matematika Določi ničle polinoma! p x x3 3x 2 9 x 5
1. Enači z nič:
x 3 3x 2 9 x 5 0 2. Moţne ničle:
x2 4 x 5 0
x 3 3x 2 9 x 5 0
1, 5
x 1 x 5
x1 1
x1,2 1 S soda
x2 1
x3 5 L liha
x3 5
3. Horner
1 1 1
-3 1 -2
-9 -2 -11
-5 -11 -16
1
-3 -1 -4
-1 1
-9 4 -5
-5 5 0
Zapiši vse moţne ničle polinoma! p x 3x 3 4 x 2 7 x 2
Ničle prostega člena : 1, 2 Ničle vodilnega člena : 1, 3 p x 5 x 4 3x 2 6
Ničle:
1, 5 1, 2, 3, 6
1 2 1, , 2, 3 3
vsakega z vsakim
x4 5
x3 0
x2 3
x 0
Št. 6
1 1 1 5 5 5 1, , , , 5, , , 2 3 6 2 3 6
p x 8x3 12
Ničle:
1, 2, 4, 8 1, 2, 3, 4, 6, 12
1 1 1 1 1 2 4 8 1, , , , , , 2, , 4, , 8, 2 3 4 6 12 3 3 3 Kar se ponavlja ne pišemo!
106
Matematika Poišči vse ničle polinoma! p x x3 7 x 6
1. Enačimo z nič:
x3 7 x 6 0 2. Ničle: x1 1
1, 2, 3, 6
x2 2 x3 3
x2 x 6 0
x 2 x 3
3. Horner: 1 1 1
107
0 1 1
-7 1 -6
6 -6 0
Matematika
GRAF POLINOMA Graf polinoma p x je neprekinjena krivulja. Graf bomo lahko vsaj pribliţno narisali, če bomo preučili: 1. Kje se sekata abcisna in koordinatna os 2. Kako se obnaša daleč proč od koordinatnega izhodišča 3. Kako se obnaša v okolici ničle Načrtaj graf polinoma! p x x3 4 x 2 2 x 8
pove nam na kateri strani naj začnemo risati graf
(+)
p 0 8
Ničle:
x3 4 x 2 2 x 8 0 Moţne ničle:
-1 1 -1
-4 -1 -5
2 -5 -3
8 -3 5
-4 4 0
2 0 2
8 -8 0
1, 2, 4, 8
-1 2 -1
-4 -2 -6
2 -6 -4
-1
8 -4 4
-4 -1
x 2 2 0 1
x1 4 x2 2
nastavi kvadratno enačbo:
x3 2
108
x2 2 0
x 2 x 2
Matematika
p x 2 x3 5 x 2 x 6
Ničle: 2 x2 7 x 6 0 Delitelji:
1, 2, 3, 6
Kandidati:
1, 2
1 3 1, , 2, 3, , 6 2 2
Horner:
x1 1
2
3 x2 2 x3 2
1 2
-1 6 6
-6 -3 0
2 x2 7 x 6
Nastavit kvadratno enačbo:
a2
5 2 7
x2,3
D b 4ac 2
b D 2a
7 1 p 0 6 22 D 49 48 c6 3 D 1 x2 x3 2 2 Kje začneš risati graf določiš tako, da vodilnemu členu namesto vrednosti x vstaviš -1. 3 2 1
b7
D 72 4 2 6
x2,3
109
Matematika
p x x3 x 2 5 x 3
Ničle: x3 x2 5x 3 0
x1 1 S x2 1
Predznak: 13
1,, 3
Delitelji:
1 1 1
x3 3 L
1 1 2
-5 2 -3
3 -3 0
Nastavim kvadratno enačbo: x2 2 x 3 Veitovo pravilo: x 3 x 1 p 0 3
110
Matematika p x x 4 3x 3 3x 2 3x 4
Ničle: x4 3x3 3x2 3x 4 0 Horner: 1 1 1 -4 1
Predznak:
1,, 2 4
Kandidati: 3 1 4 -4 0
-3 4 1 0 1
3 1 4 -4 0
Kvadratna enačba:
x2 1 0
ni rešitve v
p 0 4
111
-4 4 0
14
Matematika p x x 4 9 x3 24 x 2 20 x
+
Ničle: x4 9 x3 24 x2 20 x 0 Izpostavi x :
1, 2, 4, 5, 10, 20
Kandidati:
x x3 9 x 2 24 x 20 0
Horner: 1 5 1 Nastavim kvadratno enačbo: Veitovo pravilo: Ničle:
-9 5 -4
24 -20 4
-20 20 0
x2 4 x 4 0 x 2 x 2 x1 0 ker je polinom 4 stopnje so 4 ničle! x2 5 x3,4 2
p 0 0
112
Matematika
RACIONALNA FUNKCIJA 3 4
števec imenovalec
f x
0 0 5
7 ne obstaja 0
p x
q x
p x 0 NIČLE če je števec 0 q x 0 POLI ima navpično asimptoto
Racionalno funkcijo razdelimo v tri skupine. 1. Stopnja števca je niţja od stopnje imenovalca:
f x
x 3 x 7x 5
q x
2
5 x 8
2. Stopnja števca je enaka stopnji imenovalca:
f x
3x 6 x 8
q x
x2 7 3x 2 8
3. Stopnja števca je višja od stopnje imenovalca
f x
x2 9 3x 4
q x
x 4 x3 x2 9
113
preizkus mora biti točen 6:3=2
Matematika Postopek reševanja racionalne funkcije 1. skupine Stopnja števca je niţja od stopnje imenovalca:
f x
x 3 x 2 16 x 2 16 0
Ničle:
x 3 0
Poli:
x1 3
x 4 x 4 0 x2 4 x3 4
Asimptote:
x 4 x4
Presečišče z y osjo:
y = 0 - pri prvi skupini je vedno 0
Asimptota je premica h kateri graf neke funkcije pride poljubno blizu, vendar se je ne dotakne.
f 0
3 16
Predznak:
1 1 - vstavi -1 v vodilne 12 1
Graf:
114
Matematika
f x
x3 x 2x 1 2
Ničle:
x3 0
Poli:
x1 3
Asimptote:
f x
x2 2 x 1 0
x 1
x 1 x 1 0 x2,3 1 S
p 0 3
y=0
Predznak:
3 x2 Ničle: Nima ker ni x
Asimptote:
x 1
y=0
Poli:
p 0
115
x2 0 x2
3 1,5 Predznak: 2
Matematika Postopek reševanja racionalne funkcije 2. skupine Stopnja števca je enaka stopnji imenovalca:
f x
3x 6 1x 4 3 1
Predznak : 1 1
Asimptota:
- deliš vodilna člena
3x 6 0 Ničle: 3 x 6
Ploli:
x2
3 3 1
116
y=3
f 0
x40 x 4
6 3 1,5 4 2
Matematika
f x
x2 4 x2 1 x2 4 0
12 Predznak : 2 1
Ničle:
x 2 x 2 x1 2
x2 1 0
Ploli:
x2 2
Asimptota:
117
x1 1 x2 1
f 0
x1 1 x2 1 y = 1
x 1 x 1
4 4 1
Matematika Postopek reševanja racionalne funkcije 3. skupine Stopnja števca je višja od stopnje imenovalca
x 2 25 x4
f x
Predznak:
-
Asimptote:
y=x+4
x 2 25 0
Ničle:
x 5 x 5 x1 5
Ploli:
x40 x1 4
x2 5
x
2
25 : x 4 x 4
x2 4x 4 x 25 4 x 16
x -1 0 1
9
118
y 3 4 5
f 0
25 6, 25 4
Matematika
RACIONALNA ENAČBA IN NEENAČBA
RACIONALNA ENAČBA x 3 x 1 x2 x3 x 3 x 1 x 2 x 3 x2 x3 x 3 x 3 x 1 x 2
x2 x 3
x2 9 x2 x 2 x 2
x20
Pogoji:
x2
9 x 2
x3 0
x 2 9
x 3
x7
RACIONALNA NEENAČBA 2 x 1 x3 x2 2 x 1 0 x3 x2 1 2 x 2 2 x 3 x x 3 x 2 1
x 3 x 2
0
Ničle: Ni
2 x 4 x 2 3x x 2 3x 2x 6 0 x 3 x 2 10 0 x 3 x 2
119
Poli:
x1 3 x2 2
Matematika
f 0
x2 4 x2 1
NA MATURI!
a) Določi ničle, pole, vodoravno asimptoto in presečišče grafa z ordinatno sojo. b) Nariši graf c) Neriši neenačbo X – Abscisna os Y – Ordinatna os x2 4 0
Ničle:
x2 1 0
x 2 x 2 0 x1 2
Poli:
x2 2 f 0 4
x 1 x 1 0 x1 1 x2 1
Predznak:
2, 1 ali 1, 2
120
Asimptote:
x1 1 x2 1
Matematika
KVADRATNA ENAČBA x 2 7 x 12 x 2 7 x 12 0 x 2 7 x 12 0
Ničle:
x 4 x 3 0 x1 4 x2 3
121
Matematika
KOTNE FUNKCIJE Kotna funkcija je razmerje med dvema stranicama v pravokotnem trikotniku.
0
6 45 4 60 3 90 2 30
sin
cos
0 1 2
1
2 2 3 2 1
tan tg 0
3 2 2 2 1 2 0
3 3 1
3 ∞
cot g ctg ∞
3 1 3 3 0
a 1 2 2 2 a 2 2 2 a tg 45 1 a a a 1 1 sin 35 2 a 2 a 2 1 a 3 a 3 1 3 cos 30 2 a 2 a 2 1 a a 2 1 3 3 tg 30 2 3 a 3 2 a 3 3 3 2 a 3 a 3 2 ctg 30 2 3 a 2 a 2 sin 45
sin
tg
nasprotiležna kateta hipotenuza
cos
nasprotiležna kateta priležna kateta
ctg
122
priležna kateta hipotenuza priležna kateta nasprotiležna kateta
Matematika
ENOTSKA KROŽNICA
sin
y 1
cos
y sin
x 1
x cos
sin 330 sin 30 Kotni funkciji sin in cos sta periodični funkciji s periodo 2 ali 360
sin 750 sin 30 0,5 Tangenus in ctg sta tudi periodični funkciji s periodo ali 180
sin k 360 sin
k
2 cos k 360 cos
tg k 180 tg Lihe ctg k 180 ctg funkcije sin k 180 sin
cos k 180 cos funkcija
Soda
123
Matematika
Soda funkcija
Liha funkcija
f x f x
f x f x
f x x2
f x x3
f 3 32 9
f 4 43 64
f 3 32 9
f 4 4 64 3
Povezave med kotnimi funkcijami:
sin 2 cos2 1
y 2 x 2 12
sin 2 ali sin
2
sin 2 nepravilen zapis sin cos cos ctg sin
tg
1 sin 30 1 2 1 3 3 2 cos 30 3 3 2 3 3 3 2
Tangenus je racionalna funkcija 1 cos 2 1 1 ctg 2 sin 2 tg ctg 1 1 tg 2
ctg 7 180
90 ctg 90
cos810 cos 2 360 90 cos90 0
ctg1350
sin
0
1350 : 180 = 7 ------ostanek 90
29 sin 5 sin sin sin 0,5 6 6 6 6 6
29 5 5 4 4 6 6 6 tg
37 tg 12 tg 3 3 3 3
124
29 1 5 6 6
Matematika
ADICIJSKI IZREKI sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin tg
tg tg 1 tg tg
Natančno izračunaj cos105 ! cos105 cos 60 45 cos cos cos sin sin
cos 60 45 cos 60 cos 45 sin 60 sin 45 cos 60 45
1 2 3 2 2 6 2 6 2 2 2 2 4 4 4
DVOJI KOTI sin 2 2sin cos cos 2 cos 2 sin 2 tg 2
2tg 1 tg 2
125
Matematika
GRAFI KOTNIH FUNKCIJ f x sin x
Kjer seka graf os x so ničle. Perioda je 2 in je liha funkcija. Ničle: x k Max: Min:
2k 2 3 x 2k 2
x
Definicijsko območje: Zaloga def. Funkcij:
k k k
Df : x Zf : y 1,1
Liha funkcija, perioda 2
126
Matematika
f x cos x
k 2 Max : x 2k
k
M in : x 2k
k
Ničle : x
k
Soda funkcija, perioda 2
Df : x Zf : y 1,1
127
Matematika
f x tgx
sin x cos x
tg – je racionana funkcija
x k x k 2
Ničle: sinx 0 Poli:
cos x 0
k k
Ničle ima tam kjer ima sin ničle
Df : x
brez
x
2
k
k
Zf :y = Liha funkcija, perioda
(vsak pi se začne ponavljat)
128
Matematika
f x ctgx
cos x sin x
Poli:
x
sin x 0
Df : x Zf : y =
k 2 x k
Ničle: cos x 0
brez
x k
Liha funkcija, perioda je
129
k k
k
Matematika
130
Matematika
ZAPOREDJA Nadaljuj zaporedje! 2,4,6,8,10,12,14,16 1,4,9,16,25,36
3,9,27,81,243,729 2,5,9,14,20,27,35
Zaporedje je funkcija ki vsak n periodi doda eden an
f : n an f n an
n
Df
an
Zf
Zaporedje je funkcija, ki mnoţico naravnih števil preslika v mnoţico realnih števil. f n an 1 a1 index
a1 , a2 , a3 , a4 , an
2 a2
Pr vi člen
3 a3
Členi zaporedja
4 a4
Splošni člen
n an
Zaporedje je ponavadi podano s splošnom členom. 1. Zapiši prvih pet členov zaporedja! an n2 4
a1 12 4 1 4 3 a2 22 4 4 4 0
3, 0,5,12, 21,...
a3 32 4 9 4 5 a4 42 4 16 4 12 a5 52 4 25 4 21
2.
131
To je naraščajoče zaporedje.
Matematika 2 2 1 2 a2 1 2 2 a3 3 2 1 a4 4 2 2 a5 5 a1
2 an n
2 1 2 2,1, , , 3 2 5 To je padajoče zaporedje.
Zaporedje je naraščajoče, če je razlika med sosednjima členoma pozitivna. Zaporedje je padajoče, če je razlika med dvema sosednjima členoma negativna. Dokaţi ali je zaporedje naraščajoče ali padajoče!
a1 , a2 , a3 , a4 ,..., an , an1... an1 an 0 Naraščajoče an1 an 0 Padajoče
an
4n n 1
an 1 an
an1
4 n 1
n 1 1
4n 4 n2
4n 4 4n 4n 4 n 1 4n n 2 n 2 n 1 n 2 n 1 4n 2 4n 4n 4 4n 2 8n 4 0 n 2 n 1 n 2 n 1
4 0 .............. 2 n 1 n Naravno število (n) je vedno pozitivno! Zaporedje je naraščajoče, ker:
an
1 n2 n
132
Matematika
an 1
1 n 1
n 1
2
1 n 2 2n 1 n 2 2n n 1 n 1
3 2 2 n 2 2n 1 n 2 n 2n n 1 1 n an 1 an n 1 n n n 1
2 n3 2n 2 n 1 n3 n 2 n 2 n 1 1 n n 1 0 n n 1 n n 1 n n 1
Padajoče
ARITMETIČNO ZAPOREDJE (AZ) Zaporedje je aritmetično, kadar je razlika med dvema sosednjima členoma stalna. 1,5,9,13,…
(…4…)
17,25,33,41,…
a2 a1 a3 a2
a1 , a2 , a3 ...
a1 1.člen
(…8…)
- LASTNOST AZ
d = razlika (diferenca)
a1 a2 a1 d a3 a1 d d a1 2d a4 a1 3d a5 a1 4d
Splošni člen AZ:
S n -Vsota prvih n členov zaporedja:
Primeri: Kakšna je vsota členov zaporedja!
133
an a1 n 1 d Sn
n 2a1 n 1 d 2
Matematika n 2a1 n 1 d 2 16 S16 2 6 16 1 6 2 S16 8 12 90 Sn
AZ a1 6 d 6 n 16
S16 816
Izračunaj vsoto prvih 100 naravnih števil!
n 2a1 n 1 d 2 100 2 1 100 11 2 50 2 99
Sn
AZ a1 1
S100
d 1
S100
n 100
S100 5050
Izračunaj x tako da bodo 2x-1, 3x+2 in 6x+1 prvi trije členi AZ. Izračunaj še 12 člen in vsoto prvih 20 členov. a2 a1 a3 a2
AZ a1 2 x 1
2 2 1 3
a2 3x 2
3 2 2 8
a3 6 x 1
6 2 1 13
3x 2 2 x 1 6 x 1 3x 2 3 3 3x 1 x 3 x 1 3
a1 3
2 x 4
d 5
x2
a12 a1 n 1 d
12 člen:
a12 3 12 1 5
n 2a1 n 1 d 2 20 S 20 2 3 20 1 5 2 S 20 10 101 S 20
Vsota prvih 20:
a12 59
S 20 1010
Poišči 7 in 12 člen zaporedja: 3,8,13 a7 ? a12 ? a1 3
a7 a1 n 1 d 3 7 1 5 33 a12 a1 n 1 d 3 12 1 5 59
d 5
Kakšna je vsota vseh 8-kratnikov naravnih števil manjših od 1000.
134
Matematika
a1 8 d 8 n 1000 : 8 125 n 2a1 n 1 d 2 125 2 8 125 1 8 2 62,5 1008
S125 S125 S125
S125 63000
GEOMETRIJSKO ZAPOREDJE (GZ) Zaporedje je geometrijsko, kadar je količnik med dvema sosednjima členoma stalen. q q a1 , a2 , a3 , a4 ...an
q – količnik
lastnost GZ:
a1
an a1 q n1
a2 a1 q a3 a2 q a1 q q a1 q
a2 a3 a1 a2
2
a4 a3 q a1 q 2 q a1 q 3 a5 a1 q 4
Sn
Vsota n členov GZ
a1 2 q3 a8 ?
a8 a1 q7 2 37 4374
S10 ? S10
2 3
a1 q n 1 q 1
10
59047
1
3 1
135
a1 q n 1 q 1
Matematika
Za kateri x je zaporedje geometrijsko.
X+5
25-x
30+2x
a1 x 5 a2 25 x a3 30 2 x a2 a3 a1 a2 25 x 30 2 x x5 25 x x 5 30 2 x 25 x 25 x 30 x 2 x 2 150 10 x 625 25 x 25 x x 2 2 x 2 40 x 150 x 2 50 x 524 0 x 2 90 x 475 0
D b2 4ac
D 902 4 1 475 10000
ax2 bx c 0 x1,2
b D 2a
x1,2
9 100 2
x1 5 x2 95
2. Rešitvi
a1 5 95 90
a1 5 5 10
1. a2 25 5 20
2.
a2 25 95 120
a3 30 2 95 160
a3 30 2 5 40
VAJA! Dano je zaporedje 6, 18, 54, 162 … zapiši 9 člen in vsoto prvih 10 členov.
GZ a9 ? S10 ? a1 6 q3
136
Matematika
an a1 q
n 1
91
a9 6 3
Sn S10
39366
a1 q n 1 q 1
177144
6 310 1 3 1
GEOMETRIJSKA TELESA Geometrijsko telo je omejen prostor z ravnimi ali krivimi ploskvami. Geometrijsko telo je oglato, kadar je omejeno s samimi ravnimi ploskvami in okroglo, kadar je vsaj ena mejna ploskev kriva. OGLATA geometrijska telesa: Prizme Piramide
OKROGLA geometrijska telesa: Valji Stoţci Krogle
Vsako geometrijsko telo ima poleg svoje značilne geometrijske oblike še svojo velikost. To velikost imenujemo prostornina ali volumen. V ( mm3 , cm3 , dm3 ) Če seštejemo ploščine vseh mejnih ploskev dobimo površino geometrijskega telesa. P ( mm2 , cm2 , dm2 , m2 , a, ha, km2 ) Vsakemu geometrijskemu telesu lahko izračunamo tudi njegovo maso. m V gostota (ro) V – volumen
PRIZME
137
Matematika
Prizma je oglato geometrijsko telo. Omejena je z dvema vzporednima skladnima večkotnikoma ( osnovni ploskvi O ) in z paralelogrami, ki tvorijo plašč ( pl ). Stranice osnovne ploskve so osnovni robovi, vsi drugi robovi pa so stranski. Vsi stranski robovi so vzporedni in so enaki višini prizme, če je prizma pokončna. Prizma je pravilna, če je pokončna in je osnovna ploskev pravilen večkotnik. Prizma je enakoroba, če so osnovni robovi enaki stranskima. Površina
Volumen V Ov
P 2 O pl
KOCKA Pravilna štiristrana, enakoroba je omejena s samimi kvadrati
Ploskovna diagonala
Površina kocke
Volumen kocke
d a 2
P 2O pl
V ov
Telesna diagonala
P 2a 4a
Da 3
P 6a 2
2
KVADER Kvader je omejen s samimi pravokotniki
138
2
V a2 a V a3
Matematika
Ploskovne diagonale kvadra
Telesna diagonala
Površina
d a b
D d c
P 2O pl
2 1
2
2
2
2 1
2
b22 a 2 c 2
D2 a 2 b2 c2
d32 b 2 c 2
D a b c 2
2
2
Volumen
P 2ab 2ac 2bc p 2 ab ac bc
V O v V abc
TRISTRANE PRIZME Pravilna 3-strana prizma (enakostraničen trikotnik) Ploščina P 2O pl P
a2 3 3av 2
Osnovna ploskev O
a2 3 4
Volumen
Plašč
V O v
pl o v
V
3-strana prizma (pravokoten trikotnik) Ploščina
Osnovna ploskev
P 2O pl
O
P a b a b c v
a b 2
Volumen V O v V
a b v 2
3-strana prizma (enakokraki trikotnik) Ploščina P 2O pl P c vc 2a c v
Osnovna ploskev O
Volumen V Ov
c vc 2
V
raznostrana prizma (raznostranični trikotnik)
139
c vc v 2
a2 3 v 4
Matematika Ploščina
Osnovna ploskev
P 2O pl
O s s a s b s c
P 2 s s a s b s c a b c v Volumen
s
V Ov
abc 2
4-strana prizma (kocka kvader)
Ploščina P 2O pl
Volumen V Ov
P a 2 4a v
V a2 v Pravilna 6-strana prizma
Ploščina
Volumen
P 2O pl
V O v
P 3a 2 3 6a v
V
3a 2 3 v 2
PIRAMIDE Je oglato geometrijsko telo. Omejeno je z poljubnim večkotnikom (osnovna ploskev), plašč pa tvorijo enakokraki trikotniki. Površina
Volumen
P O pl
V
Ov 2
VIŠINA (V) piramide je razdalja med vrhom in ravnino osnovne ploskve.
STRANSKE VIŠINE ali VIŠINE STRANSKIH PLOSKEV (v1) so višine trikotnikov plašča in potekajo iz vrha pravokotno na osnovni rob po stranskih ploskvah.
140
Matematika
OSNOVNI ROBOVI obdajajo osnovno ploskev. To so stranice n-kotnika v osnovni ploskvi.
Stranske ploskve se stikajo v STRANSKIH ROBOVIH. Ti veţejo oglišča osnovne ploskve z vrhom piramide.
Pravilna 3-strana piramida( ima za osnovno ploskev enakostranični trikotnik) ploščina osnovne ploskve
obseg osnovne ploskve o = 3a Uporaba Pitagorovega izreka v pravilni 3-strani piramidi Značilni pravokotni trikotniki:
141
Matematika
a 3 2 a 3 1 x ... je v 6 3
v
y
a 3 2 ... je v 3 3
va2 v 2 x 2
Ploščina
Volumen
s2 v2 y2
p O pl
V
Ov 3
V
a2 3 v 12
a 2 3 3a va a s 2 va2 P 4 2 2 2
Če je pravilna 3-strana piramida enakoroba jo imenujemo oktaeder
P a2 3
V
a3 2 13
v2
2a 2 3
Pravilna 4- strana piramida (ima za osnovno ploskev kvadrat)
ploščina osnovne ploskve O = a2 obseg osnovne ploskve
Uporaba Pitagorovega izreka v pravilni 4-strani piramidi Značilni pravokotni trikotniki:
142
o = 4.a
Matematika
Ov 3 2 a v V 3 V
P O pl P a 2 2a va
a v v 2
2
a s v 2
2
2 a
2
2
2 a
a 2 s v 2 2
Pravilna 6-strana piramida (osnovna ploskev pravilni šestkotnik)
ploščina osnovne ploskve
obseg osnovne ploskve Uporaba Pitagorovega izreka v pravilni 6-strani piramidi Značilni pravokotni trikotniki:
143
o = 6.a
2
Matematika
s2 = a2 + v2
s2 a2 v2
P O pl P
3a 2 3 3a va 2
V
Ov 3
V
a2 3 v 2
a s 2 vc2 2 2 2 va v x 2 x
2
a 3 2
Oktaeder To telo omejuje osem enakostraničnih trikotnikov. Sestavljen je iz dveh enakorobih štiristranih piramid z enakima osnovnima ploskvama.
144
Matematika
V
P 2a 2 3 V
1 a 2 v 3 a3 2 3
v
a 2 2
Valj VALJ je okroglo geometrijsko telo, omejeno z dvema skladnima in vzporednima krogoma in eno krivo ploskvijo. Kroga imenujemo OSNOVNI PLOSKVI, krivo ploskev pa PLAŠČ valja. Razdaljo med ravninama osnovnih ploskev imenujemo višina valja.
Mreţo valja sestavljajo PLAŠČ (pl) in dve osnovni ploskvi. Osnovni ploskvi sta dva skladna kroga. Če plašč pokončnega valja razgrnemo v ravnino, dobimo pravokotnik. Najlepše si to predstavljamo, če valj zakotalimo enkrat po ravnini.
P 2O pl
V Ov
P 2 r r v
V r2 v
Enakostranični valj (2r = ) P 2O pl
V Ov
P 6 r
V 2 r 3
2
Stoţec STOŢEC je okroglo geometrijsko telo, omejeno s krogom kot OSNOVNO PLOSKVIJO in krivo ploskvijo, ki je njegov PLAŠČ
145
Matematika
v - višina stoţca r - polmer osnovne ploskve V - vrh stoţca s - stranica stoţca
POKONČNI STOŢEC
P o pl P r r s
POŠEVNI ŠTOŢEC
Ov 3 r 2v V 3 V
pl rs
ENAKOSTRANIČNI STOŽEC (Osni presek tega stožca je enakostranični trikotnik)
P 3 r 2
vr 3
V
r3 3 3
Krogla Krogla je okroglo geometrijsko telo, omejeno s krivo ploskvijo, ki ji rečemo SFERA ali OBLA.
146
Matematika
P 4 R
4 R3 V 3
2
Vaje: Izračunaj površino in volumen 10 cm visoke pravilne 3-strane piramide z osnovnim robom 12cm.
a 12cm v 10cm P?
P
V ? Skica obavezna !
va2 v 2 x 2 v v x 2 a
x
2
a 3 6
x2 3
2
va2 102 2 3 va2 100 4 3 va 112 va 10, 6cm
2
a 2 3 3a va 4 2
V
a 2 3 3a va 4 2 12 3 3 12 10, 62 P 4 2 2 P 253,1cm P
a2 3 v 12
a2 3 v 12 2 12 3 10 V 12 v 207,8cm3 V
Izračunaj površino in volumen 6cm visoke pravilne 4-strane piramide z osnovnim robom 16cm.
147
Matematika
a 16cm v 6cm P?
V
P a 2 2a va
v? skica a v v 2 2 a
2
2
16 va2 62 2 va 10cm
P a 2 2a va
2
P 162 2 16 10 P 576cm 2
a2 v 3
a2 v 3 162 6 V 3 V 512cm3 V
NAVADNO IN OBRESTNO OBRESOVANJE Obresti so nadomestilo za uporabo določenega zneska denarja, ki ga posojilodajalec za določen čas pusti posojilojemalcu. Znesek obresti je odvisen od teh spremenljivk: -
Izposojenega zneska (glavnice) G Časa obrestovanja (v dneh, mesecih, letih) nmd Obrestne mere p
Pri običajnih posojilnih poslih ločimo predvsem dva načina obrestovanja: -
Navadno obrestovanje Obrestno obrestovanje
NAVADNO OBRESTOVANJE Pri navadnem obrestovanju se ves čas obrestuje le glavnica. -
Po n letih
-
Po m mesecih
-
Po dnevih
G pn 100 G pn O 100 12 G pn O 100 365 O
Vaje:
148
Matematika Koliko je treba vrniti čez 45 dni, če smo si izposodili 90 000€ pri 8% letni obrestni meri?
G 90000€ p 8% d 45dni O?
o
G p n 90000 8 45 887,67€ 100 365 100 365
G1 G o 90887,67€
Janja je 1. februarja 2002 vloţila v hranilnico 500€. Znesek je dvignla 1. Julija 2002. Kolikšne so bile obresti, če je letna obrestna mera 6%? Vsa prestopna leta so deljiva s 4.
2002:4 = 500 ostanek 2
NI PRESTOPNO
G 500€ d 150 p 6%
J F M A M 28 31 30 31 30 150 dni
O
G p n 500 6 150 12,32€ 100 365 100 365
o?
OBRESTNO OBRESTOVANJE Pri obrestnem obrestovanju obresti prištevamo glavnici, ter najprej obrestujemo glavnico s prištetimi obrestmi. Tako se pri obrestnem obrestovanju obrestujejo tudi obresti.
-
Gn Gr n
Po n letih
obrestovalni faktor:
r 1
p 100
Vaje: Na kakšno vrednost naraste vloga 400€ po pretih letih pri 7% obrestni meri pri obrestnem obrestovanju? n5 G 400€ p 7%
r 1
p 7 1 1, 07 100 100
STATISTIKA 149
Gn Gr n 400 1,075 561,02€
Matematika
Osnovni pojmi: -
Populacija: Statistična enota: Statistični znak: Vzorec:
je mnoţica ki jo statistično preučujemo je element te mnoţice, ki jo preučujemo je značilnost posameznega elementa (numeričen, atributen) je podmnoţica populacije, katere elementi predstavljajo značilnost celotne mnoţice. Na podlagi tega vzorca naredijo strokovnjaki oceno, ki velja za celotno populacijo. Ta ocena ni čisto natančna, je bolj ali manj vrjetna.
-
Urejanje podatkov:
podatki pridobljeni v raziskavi so neurejeni, zato jih moramo urediti. Če je podatkov veliko, jih uredimo po velikosti, lahko pa jih zdruţujemo tudi v skupine, ki jih imenujemo razredi.
Vaje: Luka je na petnajstih tekmovanjih v košarki prejel naslednje število točk: 15, 8, 7, 11, 9, 5, 9, 6, 12, 7, 8, 9, 11, 13,11. 1, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 11, 11, 12, 13, 15 Na neki fakulteti so študentje pri izpitih dosegli naslednje uspehe. Grupirajte naslednje podatke v 10 oz. 5 frekvenčnih razredov. 5, 4, 10, 7, 2, 8, 5, 7, ,6 ,6, 6, 10, 7, 2, 4,6, 10, 8, 5, 9, 7, 1, 9, 6, 10, 5, 4, 10, 4, 10, 5, 5, 6, 4, 8, 7, 9, 6, 7, 7 8, 2, 9, 5, 1, 6, 4, 9, 5, 6, 4, 10, 5, 9, 6, 9, 5, 8, 6, 7, 9, 6, 9, 2, 10, 6, 5, 10, 7, 5, 6, 8, 6, 10, 6, 7, 5, 6, 8, 6, 10, 6, 7, 5, 6, 8, 8, 7, 4, 9, 9
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f 2 4 0 8 13 17 11 8 11 10 84
1-2
f 6
3-4
8
5-6
30
7-8
19
9-10
21
150
V % ali relativna frekvenca f n 7,14 84 8 100 84 30 100 84 19 100 84 21100 84
Matematika Učenci 7. Razreda so pisali test iz biologije. Dosegli so naslednje število točk. Grupirajte jih v razrede, določi frekvenco, relativno frekvenco, kumulativno frekvenco. Podatki so: 54, 71, 46, 75, 69, 78, 70, 72, 62, 83, 88, 84, 74, 58, 68, 85, 65, 74, 54, 92, 63, 69, 65, 74, 66, 63, 90, 79, 85, 96. Frekvenčni razred 40 – 49
f 1
50 – 59
4
60 – 69
8
70 – 79
9
80 – 89
5
90 - 99
3
f%
F o
1 100% 30 4 100% 30 8 100% 30 9 100% 30 5 100% 30 3 100% 30
1 5 13 22 27
30
30
f– frekvenca je št. posameznih statističnih enot istih vrednosti f % - relativna frekvenca v % nam pove, kakšen deleţ celote pomeni posamezena vrednost Fkomulativna frekvenca nam pove, koliko podatkov je doseglo manjšo vrednost od zgornje meje frekvenčnega razreda.
GRAFIČNO PRIKAZOVANJE PODATKOV Kroţni diagram:
Stolpičen diagram:
Histogram:
100 100 80
50
60 40 20
0
0
1. čet. 2. čet. 3. čet. 4. čet.
151
1. čet.
2. čet.
3. čet.
4. čet.
Matematika
SREDNJA VREDNOST
ARITMETIČNA SREDINA
Povprečje ali aritmetična sredina je količnik vsote vseh vrednosti statistične spremenljivke s številom vseh vrednosti.
x
x1 x2 x3 ... xn n
x
k1 x1 k2 x2 k3 x3 ... kn xn k1 k2 k3 ... kn
Mediana ali središčnica Je vrednost, od katere je polovica vrednosti večjih, druga polovica pa manjših. Modus ali gostiščnica Je vrednost podatka, ki se najpogostje ponavlja.
Vaja: Določi vse tri srednje vrednosti za naslednje podatke:
Uredi po velikosti: n = 9 (števil)
7, 9, 12, 14, 42, 47, 79, 85
Aritmetična sredina: x Mediana: Modus:
42 47
12, 14, 47, 42, 7, 9, 85, 79, 47
x1 x2 x3 ... xn 7 9 12 14 42 47 47 79 85 38 n 9
(srednje število) (št. ki se največkrat ponavlja)
152
Matematika
RAZPRŠENOST PODATKOV Variacijski razmik Je razmik med maksimalno in minimalno vrednostjo.
R xmax xmin Varianca Je povprečje kvadratov odmikov od srednje vrednosti.
x x x 2
2
1
2
... xn x 2 x
2
n
Standardni odklon
x x x 2
1
2
2
x ... xn x
2
n
Vaja: R xmax xmin R 85 7 78
7 38 9 38 12 38 14 38 42 38 2
2
2
2
2
9
791,33 28,1
153
2
2 47 38 79 38 85 38 2
2
791,33