PERTEMUAN 9 APLIKASI TURUNAN 2 KEMONOTONAN DAN KECEKUNGAN (NAIK/TURUNNYA FUNGSI DAN KECEKUNGAN ATAS/BAWAH FUNGSI)
1. KEMONOTONAN DAN KECEKUNGAN :
Definisi : Jika f terdefinisi pada selang I (buka, tutup, atau tak satupun), dikatakan bahwa : a. f naik pada I jika,untuk setiap setiap pasang bilangan x 1 & x2 dalam I , x1 < x2 --f(x1) < f (x2) b. f turun pada I jika, untuk setiap pasang bilangan x 1 & x2 dalam I , x1 <>x2 => f (x1) > f (x 2) c. f monoton murni pada I jika f naik pada I atau turun pada I
a. Turunan pertama dan kecekungan :
Teorema Kemonotonan : Jika f kontinu pada selang I dan terdiferensiasi pada setiap titik-dalam dari I . - Jika f ’(x) ’(x) > 0 untuk semua titik-dalam I --- maka f naik pada I . - Jika f ’(x) ’(x) < 0 untuk maka f turun pada I .
Contoh soal 1. Jika f (x) = x3 – 3x2 – 6x + 6 , carilah dimana f naik dan dimana f turun!
Jawab : f’(x) = 3x2 – 6x – 6x – 9 = (3x + 3) (x – (x – 3) Tentukan dimana : (3x + 3) (x – (x – 3) > 0 dan (3x + 3) (x – (x – 3) < 0 ----- titik-titik titik-ti tik pemisah : x = - 3 dan x = 3 dan membagi garis bilangan menjadi 3 selang yaitu (- ∞, - 3 ) , ( - 3, 3 ) dan ( 3, ∞ ) ---- pergunakan titik – titik – titik uji untuk tiap – tiap – tiap selang, misal diambil : - 4, 0 dan 4, kemudian diperiksa / masukkan pada (3x + 3) (x – (x – 3) : x = - 4 ----- { 3 (-4) (-4) + 3 } { - 4 – 4 – 3 } = (- 19)(-7) = 133 > 0 --- naik x =
0 ----- ( 3.0 + 3 ) ( 0 – 3 )
= (3) ( - 3) = - 9 < 0 ----- turun
x =
4 ----- ( 3.4 + 3 ) ( 4 - 3 )
= (15) (1)
=
15 > 0 --- naik
Titik – titik uji ++++ +
----------3
(- ∞, - 3 )
+++++ 3
( - 3, 3 )
( 3, ∞ )
Jadi menurut teorema kemonotonan , f naik pada (- ∞,-3] dan [-3, ∞) dan f turun pada [-3,3]. 2. Jika f (x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 7 , carilah dimana f naik dan dimana f turun!
Jawab : f’(x) = 6x2 – 3x2 – 12 = 6 (x + 1) (x – 2) Tentukan dimana : (x + 1) (x – 2) > 0 dan (x + 1) (x – 2) < 0 ----- titik-titik pemisah : x = - 1 dan x = 2 dan membagi garis bilangan menjadi 3 selang yaitu (- ∞, - 1 ) , ( - 1, 2 ) dan ( 2, ∞ ) ---- pergunakan titik – titik uji untuk tiap – tiap selang, misal diambil : - 2, 0 dan 3, kemudian diperiksa / masukkan pada (x + 1) (x – 2) : x = - 2 ----- ( -2 + 1 } { - 2 – 2 ) = (- 1)(-4) = 4 > 0
--- naik
x =
0 ----- ( 0 + 1 ) ( 0 – 2 )
= (1) ( - 2) = - 2 < 0 --- turun
x =
3 ----- ( 3 + 1 ) ( 3 - 2 )
= (14) (1)
=
14 > 0 --- naik
Titik – titik uji ++++ +
----------
-1 (- ∞, - 1 )
+++++
2 ( - 1, 2 )
( 2, ∞ )
Jadi menurut teorema kemonotonan , f naik pada (- ∞,-1] dan [ 2, ∞) dan f turun pada [-1,2].
b. Turunan kedua dan kecekungan : Definisi : Jika f terdiferensial pada selang buka I, f cekung ke atas pada I jika f’ naik pada I dan cekung kebawah pada I jika f’ turun pada I
Teorema kecekungan : Jika f terdiferensial dua kali pada selang buka I : - Jika f’’ (x) > 0 untuk semua x dalam I, maka I cekung ke atas pada I - Jika f’’(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka I cekung kebawah pada I
Contoh : Dimana f (x ) =
x3 - x2 - 3x + 4 naik, turun, cekung ke atas dan cekung
ke bawah ?
Jawab : f’ (x) = x2 - 2x - 3 = ( x + 1) ( x - 3 ) f’’(x) = 2 x - 2 = 2 ( x - 1 ) Tentukan dimana : a. ( x + 1) ( x - 3 ) > 0 dan ( x + 1) ( x - 3 ) < 0 b. 2 ( x - 1 ) > 0 dan 2 ( x - 1 ) < 0
a.
+++ ------ ++++ - 1 3 - Titik pemisah - 1 dan 3 - Selang (- ∞, - 1 ) , ( - 1, 3 ) dan ( 3, ∞ ) - Titik uji - 2, 1 dan 4 - f naik pada selang (- ∞, - 1 ) dan ( 3, ∞ ) dan turun pada ( - 1, 3 )
b.
------
++++ 1
- Titik pemisah 1 - Selang (- ∞, 1 ) dan ( 1, ∞) - Titik uji - 2 dan 3 - f cekung keatas pada selang (1, ∞ ) dan cekung kebawah pada ( - ∞, 1 )
2. MAKSIMUM DAN MINIMUM LOKAL / RELATIF
Definisi : Andaikan S, daerah asal dari f, mengandung titik c. Kita katakan bahwa: a.
f (c)
adalah suatu nilai maksium lokal dari f jika terdapat sebuah interval (a,b) yang berisi
c sehingga f (c) adalah nilai maksimum dasri f pada (a,b) ∩ S ;
b.
f (c)
adalah suatu nilai minimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval (a,b) yang berisi
c sehingga f (c) adalah nilai minimum dari f pada (a,b) ∩ S ; c.
f (c)
adalah suatu nilai ekstrim lokal dari f jika kedua-duanya adalah sebuah nilai
maksimum lokal atau sebuah nilai minimum lokal.
Teorema : Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal Jika f kontinu pada selang buka (a,b) yang memuat titik kritis c : a.
Jika f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (c, b), maka f (c) adalah nilai maksimum lokal f .
b.
Jika f’(x) > 0 untuk semua x dalam (a,c ) dan f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (c, b), maka f (c)
c.
adalah nilai minimum lokal f .
Jika f ”(x) bertanda sama pada kedua pihak c maka f (c) bukan nilai ekstrim lokal f .
Contoh : 1. Cari nilai ekstrim lokal dari fungsi f (x) = x 2 - 6x + 5 pada ( - ∞, ∞ )
Jawab : f’ (x )
= 0
2x - 6 = 0 x = 3
----- merupakan satu-satunya titik kritis, membagi garis bilangan menjadi 2 selang yaitu (- ∞, 3 ) dan ( 3, ∞ )
------
++++ 3
Ambil titik uji 0 dan 4, diperoleh : f’ (0) = 2 (0) - 3) = - 3 < 0 ---- maka fungsi turun pada (- ∞, 3 ) f’ (4) = 2 (4 - 3)
= 5 > 0
---- maka fungsi naik pada ( 3, ∞ )
2. Cari nilai ekstrim lokal dari fungsi f (x) =
Jawab : f’ (x )
= 0
x2 - 2x - 3 = 0 ( x + 1) ( x - 3 ) = 0
x3 - x2 - 3x + 4 pada ( - ∞, ∞ )
+++ ------ ++++ - 1 3 - Titik pemisah / titik kritis - 1 dan 3 - Selang (- ∞, - 1 ) , ( - 1, 3 ) dan ( 3, ∞ ) - Titik uji - 2, 1 dan 4 - ( x + 1) ( x - 3 ) > 0 pada selang (- ∞, - 1 ) dan ( 3, ∞ ) - ( x + 1) ( x - 3 ) < 0 pada selang ( - 1, 3 ) Nilai titik kritis dimasukkan pada f (x), diperoleh : - f(-1) =
(- 1)3 - (-1)2 - 3(-1) + 4 = -
maksimum lokal - f(3 ) =
-1 + 3 + 4 =
(3)3 - (3)2 - 3(3) + 4 = 9 - 9 - 9 + 4 = - 5
--- adalah nilai
--- adalah nilai
minimum lokal
Teorema : Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal Andaikan f ’ dan f ” ada pada setiap titik selang buka (a,b) yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0 a.Jika f ” (c) < 0, f (c) adalah nilai maksimum lokal f . b.Jika f ” (c) > 0, f (c) adalah nilai minimum lokal f .
Contoh soal 1. Gunakan uji turunan kedua untuk mengenali ekstrim lokal dari f (x) = x 2 - 6x + 5
Jawab : f ’ (x) = 2x - 6 = 2 (x - 3) ----
titik kritis x = 3
f’’(x) = 2 Jadi f’(3) = 2 (3 - 3) = 0 dan f’’(3) > 0 ----- menurut uji turunan kedua, f (3) adalah nilai minimum lokal 2. Gunakan uji turunan kedua u/ mengenali ekstrim lokal dari f (x) =
Jawab : - f ’ (x) = x2 - 2x - 3 = ( x + 1) ( x - 3 )
a)
- f’’(x) = 2x - 2
b)
titik kritis x = 3
- Titik kritis - 1 dan 3
------
masukkan pada a)
f’ (-1) = (-1 + 1) ( - 1 - 3 ) = (0) ( - 4) = 0
dan b)
x3 - x2 - 3x + 4
f’(3)
= (3 + 1) (3 - 3) = (4) (0) = 0
f’’(-1) = 2 (-1) - 2 = - 2 - 2 = - 4 < 0
------ nilai maksimum lokal
f’’(3)
-------- > nilai minimum lokal
= 2 (3) - 4 = 2 > 0
3. LEBIH BANYAK MASALAH MAKSIMUM - MINIMUM
Masalah yang telah kita bahas sebelumnya, biasanya menganggap bahwa himpunan yang akan kita maksimumkan / minimumkan suatu fungsi berupa selang tutup. Namun selangselang yang muncul dalam praktek tidak selalu tertutup, kadang-kadang terbuka atau bahkan setengah terbuka, setengah tertutup seperti pada pembahasan berikut :
a. Ekstrim pada selang buka
Contoh : 1. Cari (jika mungkin) nilai maksimum dan minimum dari f (x) = x 4 - 4x pada (-∞,∞) Jawab f’ (x)
= 0
4x3 - 4
= 0
4 (x3 - 1)
= 0
4 (x - 1) (x2 + x - 1) = 0 (x - 1) = 0 ----- x = 1 , merupakan satu-satunya titik kritis karena x 2 + x - 1 = 0 tidak mempunyai penyelesaian bilangan real (dengan rumus abc),
Untuk x < 1 (misal x = 0 ) -----
f’ (0) = 4 (0)3 - 4 = - 4 < 0
Untuk x > 1 (misal x = 2 ) -----
f’ (2) = 4 (2)3 - 4 = 28 > 0
f (1) = (1) 4 - 4(1) = - 3
----- merupakan nilai minimum local untuk f, dan apabila
digambar grafiknya akan terlihat bahwa f turun disebelah kiri I dan naik disebelah kanan I, memang benar merupakan nilai minimum dari f.
Fakta diatas menunjukkan bahwa f tidak mempunyai nilai maksimum 2. Cari (jika mungkin) nilai maksimum dan minimum dari f (x) = x / x 3 + 2 pada [0,∞)
Jawab f’ (x)
= 0
( )() ( ) ( ) ( )
= 0
= 0
( )( ) ( )
= 0
Pada (0, ∞) terdapat 2 titik kritis, titik ujung 0 dan titik stationer 1. Untuk 0 < x < 1, f’(x) > 0, sedangkan untuk x > 1, f’(x) < 0. Jadi f (I) =
adalah nilai maksimum f
pada [ 0, ∞ ).
Jika f mempunyai nilai minimum, harus terjadi pada titik kritis yang lainnya, yaitu x = 0. Sekarang f (0) dan f (x) > 0 untuk semua x > 0, sehingga f (0) adalah nilai minimum pada [0,∞)
b. Masalah – masalah praktis
Contoh : Sebuah surat edaran memuat 50 cm2 bahan cetakan. Jalur bebas cetak diatas dan di bawah selebar 4 cm dan di samping kiri dan kanan selebar 2 cm. Berapa ukuran surat edaran tersebut yang memerlukan kertas sesedikit mungkin?
Jawab : Misal x = lebar dan y = tinggi surat edaran tersebut, maka luasnya = A = x.y Kita bermaksud meminimumkan A :
Persamaan A terdiri dari 2 variabel yaitu x dan y. 4 cm
Untuk memudahkan perhitungan, salah satu variabel dinyatakan dalam bentuk variable lainnya, sebagai berikut :
2
2
- Ukuran bahan cetakan adalah (x - 4) dan (y - 8) - Luas = 50 cm 2 - Sehingga
Harga y
=
: (x - 4) (y - 8) = 50 y - 8
=
y
=
+ 8
+ 8 dimasukkan pada persamaan : A = x.y A = x ( =
+ 8)
+ 8x
Nilai-nilai x yang diperbolehkan adalah 4 < x < ∞, kita ingin meminimumkan A p ada selang buka ( 4, 8 ), maka kita cari dimana titik kritisnya dengan mendiferensialkan A terhadap x (syarat titik kritis
= 0 ) sebagai berikut :
( ) ()() ( )
= 0
+ 8 = 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
= 0 = 0 = 0
( )
=0
( ) ( )
=0
( ) ( )( ) ( )
=0
------ - Titik kritis adalah pada x = - 1 dan x = 9 - Karena x = -1 tidak dalam selang yang diminta ( 4, ∞), maka tidak terpakai - Setelah diambil titik uji dalam selang (4,9) dan (9, ∞) dan dimasukkan pada maka diperoleh :
< 0
untuk x dalam selang (4,9) dan
,
> 0 dalam
selang (9, ∞). - Kita simpulkan bahwa A mencapai nilai minimumnya pada x = 9 -
y
=
+ 8 =
+ 8 = 10 + 8 = 18
- Jadi ukuran kertas surat edaran akan menggunakan kertas minimum 9 cm x 18 cm
4. METODE UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH MAKSIMUM – MINIMUM TERAPAN Untuk menyelesaikan soal-soal terapan maksimum – minimum kita dapat menggunakan beberapa langkah berikut. Namun
demikian, dalam beberapa soal bias saja beberapa
langkah dihilangkan untuk mempermudah perhitungan. Langkah tersebut adalah :
Langkah 1 : Buat sebuah gambar untuk masalah dan berikan variable- variable yang sesuai untuk besaran kunci
Langkah
2:Tuliskan
rumus
untuk
besaran
Q
yang
harus
dimaksimumkan
(atau
diminimumkan) dalam bentuk variable – variable tersebut.
Langkah 3 : Gunakan kondisi masalah untuk menghilangkan semua kecuali satu dari variable –variabel ini dan karenanya menyatakan Q sebagai fungsi dari satu variable, misal x Langkah 4 : Tentukan himpunan nilai – nilai x yang mungkin, biasanya untuk selang
Langkah 5 : Tentukan titik kritis ( titik ujung, titik stationer, titik singular). Yang sering dipakai adalah titik stationer dengan
= 0
Langkah 6 : Pergunakan teori mengenai nilai maksimum – minimum untuk mendapatkan nilai maksimum / minimum
SOAL – SOAL : 1. Gunakan teorema kemonotonan untuk mencari dimana fungsi yang diberikan naik / turun : a. f (x ) = 3x + 3 b. f (x ) = (x + 1) (x - 2) c. f (x ) = x 2 + 2x - 3 d. f (x ) = x 3 - 1 e. f (x ) = 2x 3 - 9x2 + 12x
2. Gunakan teorema kemonotonan untuk mencari dimana fungsi yang diberikan cekung ke atas / cekung ke bawah : a. f (x ) = (x - 1) 2 b. f (x ) = x2 - 1 c. f (x ) = 3x3 - 18t d. f (x ) = x4 + 8x3 - 2 e. f (x ) = x4 - 6x 3 - 24x2 + 3x + 1
3. Cari dua bilangan yang hasil kalinya - 16 dan jumlah kuadratnya minimum
4. Bilangan manakah yang akar kuadratnya melebihi delapan kali bilangn tersebut
5. Bilangan manakah yang akar pangkat empatnya (yang utama) melebihi dua kali bilangan tersebut sebesar mungkin
