Nevenka Adžić
MATEMATIKA 1 za studente Fakulteta tehničkih nauka
Novi Sad, 2011.
Naziv udžbenika: ”M A T E M A T IK A 1 za studente Fakulteta tehničkih nauka” Autor: dr Nevenka Adžić, redovni profesor Fakulteta tehničkih nauka u Novom Sadu
Recenzenti: dr Boško Jovanović. redovni profesor Prirodno-matematičkog falculteta u Beogradu dr Zorica Uzelac, redovni profesor Fakolteta tehničkih nauka u Novom Sadu
Izdavai: Centar za tehničkih matematiku i statistiku Fakulteta nauka u Novom Sadu
15,
A u tor i zadržavaju s va prava . Be z pismene sag las nost i autora nije dozvoljeno reprodukovanje (fotokopiranje, fotograflsanje, magnetni upis ili umnožavanje na bilo koji način) ili ponovno objavljivanje sadržaja (u celini ili delovima) ove knjige.
Predgovor Ova knjiga obuhvata elemente više mateinatike koji su potiebni stuđentima Arhitektonskog, Saobraćajnog, Mašinskog i Građevinskog odseka, Industrijskog menadžmenta, Grafičkog inženjerstva kao i studenti Inženjerstva zaštite životne sredine i zaštite na radu Fakulteta tehničkih.nauka u Novom Sadu. U lcnjizi je obrađena materija vezana za realae funkcije realne promenljive. polinome, sisteme Iinearnili jednačina, matrični račun. analitičku geometriju u prostoru i kompleksne brojeve. Knjiga je pisana na osnovu predavanja koja je autor držao na Arhitektonskom odseku poćev od njegovog osnivanja i ima karakter udžbenika koji studentima treba da posluži ne samo za uspešno savladavanje predviđenog gradiva, već i za pralctičnu primenu pri rešavanju određenili problema sa kojima će se sretati u stručnim predmetima. U knjizi su date osnovne defmicije i teoreme iz navedenih oblasti, kao i veći broj primera kojima se ilustruje izloženo gradivo. Najv ažn iji po jmovi su jasno istaknuti u olcviru samog teksta posebnom vrstom slova, tako da ih čitalac može lako uočiti. Autor se zahvaljuje recenzentima na korisnim primedbama i savetima koji su doprineli da knjiga bude napisana matematički korektno. Autor se nada da će knjiga korisno poslužiti svima koji žele da savladaju oblasti matematike o k ojima je ovde reč. Autor se unapred zahvaljuje svima koji mu ukažu na eventualne greške kako bi ih u narednim izdanjhna mogao otkloniti.
prof. dr Nevenka Adžić
I/
I
! i
! !
SADRŽAJ
Sadržaj 1 Realn e funkci je realne pro m enljiv e 1.1 Osnovni po jmovi o pr es lik ava nju ............................................... 1.1.1 Jednoznačna i višeznaćna preslikavanja ........................ 1.1.2 Osnovne osobine fu n k c ija ............................................... 1.2
1.3
N i z o v i ......................................................................................... 1.2.1 Pojam n i z a ..................................................................... 1.2.2 Ograničenost niza .......................................................... 1.2.3 Tačka nagomilavanja n i z a .............................................. 1.2.4 Granična vrednost n i z a ................................................. 1.2.5 Divergentni n i z o v i ......................................................... 1.2.6 Monotoni nizovi ............................................................. Granične vrednosti fn n k c ij e .......................................................
5 5 5 6 7 7 7 S 9 11 12 14
14 1.3.2 Granična vrednost u t a č k i............................................... 16 i (1 + x ) i kad x —*0 . . 17 1.3.3 Granične vrednosti funkcija Neprfikidnost, fnnkcije ............................................................. 1* 18 1.4.1 Neprekidnost u ta č k i..................................................... 2'i 1.4.2 Neprekidnost na intervalu ............................................ 22 Izvođ funkcije i njegove primene ............................................ 9,0 1.5.1 Definicija prvog iz vo d a ................................................. 1.5.2 Viši izvodi i diferencijal funkcije ................. ............. , 23 93 1.5.3 Pravila za nalaž enje iz v o d a .......................................... ?5 1.5.4 Tzvodi elementarnih fiirikcija.......................................... ?,7 1.5.5 Geometrijska interpretacija i z v o d a .............................. ?8 1.5.6 Monotonost i ek stremne v r e d n o s ti .............................. 30 1.5.7 Tavlorova f o r m u la ........................................................ 33 1.5.8 L ’Hospitalovo pravilo .................................................. 34 1.5.9 Pre vojna t a č k a ............................................................. 35 1.5.10 Tspitivanje funkcija........................................................ 38 Polinomi i racionalne fu n k cije.................................................. 38 1.6.1 Polinom - osnovne defin icije ......................................... 1.3.1
Granična vrednost kada x —* ± c o ................................... .
..
1.6.2 Nule Operacije sa polinomima ............................................... i faktorizacija p o li n o m a ....................................... ,
38 4(1 1.6.3 1.6.4 Racionalne funkcije........................................................ . 41
2
Sist emi linearnih jedn ač ina i matrice 42 2.1 Sistemi lineamih je d n a č in a ....................................................... 42 2.1.1 Jednačina i njeno rešenje ................................................ 42 2.1.2 Sistem jednačina i njegovo r e š e n je .................................. 42 2.1.3 Priroda sitema lineamiii jednačina . . ............................ 43
2.1.4 Homogen sistem jedn ačina................................................ 2.1.5 Ekvivalentni sistemi jednaSina .......................................
44 44
4
SADRŽAJ 2.1.6 Gaussov algoritam i diskusija prirode sis te m a ................. 2.2 Matrice i deter mina nt e................................................................ 2.2.1 Definicija matrice i osnovni p o jm o v i ............................... 2.2.2 Osnovne operacije sa m atr ic ain a ..................................... 2.2.3 Determinante —definicija i izračunavanje ....................... 2.2.4 Osobine d et er m in a n ti ..................................................... Inverzna m a tr ic a .............................................................
56 58
Rešavanje sistema pomoćudeterminanti i matričnog računa . . . 2.3.1 Cramerovo p r a v ilo ........................................................... 2.3.2 Određivanje prirode rešenja homogenog sistema jednačina 2.3.3 Matrične je dnači ne...........................................................
61 61 63 64
Vektorski račun i analitička geom etrija 3.1 Veictori u p r o s to r u ...................................................................... 3.1.1 Koordinate vektora u prostoru i osnovne operacije . . . . 3.1.2 Vektor koji spaja dve tačke i podela duži u datoj razmeri 3.1.3 Pojam i osobine skalarnog pro iz vod a............................... 3.1.4 Vektorski proizvod i njegove o so b in e ............................... 3.1.5 Mešoviti proizvod ..........................................................
66 66 66 68 69
2.2.5 2.3
3
45 48 48 50 53
3.2
Ravan u p rosto n i........................................................................ 3.2.1 Jednačina ravni / .................................: ........................ 3.2.2 Međusobni polož aj ra vn i ................................................. .
.
3.3
Prava u prostoru ....................................................................... 3.3.1 Jeđnačina prave u p ro s to ru ............................................. 3.3.2 Međusobni'položaj prafah' u prostoru . . . : .................... 3.3.3 Uzajamni položaj prave i ravni ....................................... 3.3.4 Prodo r prave kroz ra van ................. .. . ........................ .
.
4 Do đa tak 1 — Kom plek sni bro jev i
70 72 74 74 76 77 77
79 81 82
85
Algebarski oblik kompleksuog broja ..................................... . . 85 4.1.1 Osnovne operacije . ................... .............................. 85 4.1.2 Geometrijska interpretacija kompleksnog b r o j a ............... 86 4.2 Trigonometrijski i eksponencijalnioblik ...................................... 87 4.2.1 Kompleksan broj u trigonometrijskom o b li k u ................. 87 4.2.2 Koropleksan broj u eksponencijalnom obliku ................. 88 4.2.3 Stepenovanje kompleksih brojeva i Moivreov obrazac . . . 88 4.2.4 Korenovanje ........................................................ .............. 89
4.1
.
..
.
5
1 Rea lne funkcije realne promenlji ve 1.1
Osnovni po jm ov i o preslikavanju
Ako elementima nekog skupa A dodelimo (pridružimo) elemente nekog drugog skupa B , kažemo da smo izvršili preslikavanje skupa A u skup B. Elemente skupa A nazivamo srcinali ili nezavisno promenljive i obično ih obeležavamo slovom x, a elemente u lcoje se srcinali preslikavaju nazivamo slike ili za visn o p ro m en ljiv e i obi čno ib obeležavamo sa y. Skup svih srcinala zovemo d om en pr esl ika va nja i obeležavamo ga sa D, a skup slika nazivamo D. Mi ćemo posmatrati presantidomen ili kodomen i obeležavamo ga sa likavanja skupa realnih brojeva u skup realnih brojeva, tj. domen i kodomen će biti podskupovi skupa R. Dalde, preslikavanje je skup uređenih parova-(x,y), gde je x 6 D , a y € D. Ako ove uređene parove predstavimo u koordinatnom sistemu u ravni, dobijamo grafik presli kavanja. 1.1.1
Jednoznačna
i višeznač na presli kavanja
Akp svakom srcinalu odgovara samo jedna slika, kažemo da je presiikavanje jednozn ačno. Ako nekim originalima odgovara više slika, kažemo da je preslikavanje više zn ač no. Jednoznačno preslikavanje nazivamo funk cija . Preslikavanja najčešće zadajemo an ed itič ki, tj. formulom koja predstavlja vezu između promenljivih x i y. Ova formula može imati oblik
0, mora važiti 4 — x2 >0 . Na sličan način se zaključuje da je i kodomen ovog preslikavanja interval [—2, 2]. Grafik ovog preslikavanja predstavlja kružnicu poluprečnika r = 2 sa centrom u koordinatnom početku. Vidimo da ovo preslikavanje nije funkcija. pošto jednoj vrednosti nezavisno promenljive x odgovaraju po dve vrednosti zavisno promenljive y (npr. vrednosti x = 0 odgovaraju vrednosti y = ± 2 ). Ovde je reč o jednom dvoznačnom preslikavanju.
Preslikavanje x — sin y je takođe dato u implicitnom obliku jer ga možemo zapisati kao x — siny = 0. Domen ovog preslikavanja je interval [—1,1] pošto vrednosti sinusa bilo kog ugla pripadaju ovom intervalu, dok je kodomen ceo skup R , pošto sinus možemo izračunati za bilo koji argument (ugao). 'zamsno proPosmatrano preslikavanje je višeznačno jer jednoj vredno, vrednosti menljive x odgovara bezbroj vrednosti zavisno prom enlji x = 0 odgovaraju vrednosti y = kit, k 6 TL).
Primer 1.2
6
1 REA LNE FUNKCIJE REALNE PROM ENLJIVE
Prim er 1.3 Preslikavanje y —x —2 = Qje zadato imp licitno, ali se može izraziti
i eksplicitno kao y — x + 2. Domen i kodomen ovog preslikavanja je ceo skup R . Grafik preslikavanja predstavlja pravu liniju koja sa pozitivnim smerom x-ose zaklapa ugao od 45°, a odsečak na y-osi isnosi 2. Kako svakoj vrednosti nezavisno promenljive x odgovara samo jedna vrednost zavisno promenljive y, to je reč o jednoznačnom preslikavanju, tj. funkciji. 1.1.2
Osnovn e osobine funkcija
Neka funkcija / preslikava skup A u skup B (što možemo zapisati kraće / : .4 — B ). Ovo preslikavanje je in je kti vn o (” ako svakoj slici odgovara samo jedan srcinal, tj. ako važi f ( x i) = f(x ^ ) ■&■ x± = s j. Posmatrano preslikavanje je si rje kti vn o (” na” ) ako se svi elementi skupa B pojavljuju kao slike, tj. ako j e D = B. Preslilcavanje koje je u isto vreme i injektivno i sirjektivno se naziva bijekcija. Primer 1.4 Funkdja / : R —*• R zadata analitički kao y= x2 nije injekcija je r jed noj slici, npr. y = 4. odgovaraju dva srcinala x — 2 i x = —2. Ovo preslikavanje nije ni sirjekcija. je r je D = [0, oo). Da smo zadatu funkciju posmatrali kao preslikavanje f : B, —►[0,oo). tada bi ona predstavljala sirjekciju. Primer 1.5 Funkcija y = x + 2 koju smo posmatrali u Primeru 1.3 jeste injekcija i sirjekdja, tj. predstavlja jed.no bijektvmo prsslikavanje je r svakoj slici odgovara samo jedan srcinal i p ri tom je moguće za svaki realan broj y odrediti srcinal koji se u njega preslikava. Posmatrajmo dve funkcije f : A —>■ B i g : B —<■ C. Za funkciju h : A -* C, definisanu kao h(x) = g{f(x)), reći ćemo da predstavlja ko m po ziciju fuiikcija / i g, ođnosno složenu funkciju.
Posmatrajmo ftmkciju / : A —►B. Za preslikavanje / -1 : B —* A za koje je / (/ - 1(x )) = x za sve x € A, reći ćemo da predstavlja inverzno preslikavanje za f{ x ). Može se pokazati da inverzno preslikavanje predstavlja funlcciju samo ako je f (x ) bijekcija.
1.2 Nizovi Posmat rajmo funkci je f ( x ) = x 2 i g (x ) = x + 2. Kompozici ja ovih funkcij a je funkcij a h(x ) = g(f(x)) = f ( x ) + 2 = x 2 + 2:. Inverzno pr eslikavanje za f ( x ) je /- 1(:r) = ±\/x, jer f (f ~ 'L(x )) = (is/ r)2 = x. Dobijen i izraz f ~ x(x ) nije funkcija već predstavlja dvoznačno preslikavanje. Inverz no preslikavanje za g (x ) je g ~l (x ) = x — 2 i ono predstavlja funkc-iju.
Primer 1.6
1.2 1.2.1
Nizovi P o ja m niza
Nizovi su funkcije kod kojih je domen D = 1N. To znači da re aln i b ro jn i niz predstavlja preslikavanje skupa prirodnih brojeva u skup realnih brojeva kod koga svakom prirodnom broju' n odgovara tačno jedan realan broj an. Slike oi, d2. su čla no vi br oj n og niza, a an nazivamo opšti član niza. Niz se često može zadati analitički eksplicitnom formulom a „ = f (n ).
Članovi niza an = n2 su a\= 1, = 4, 03 = 9, 04 = 16,..., članom niza bn = £ sui>i = 1, 62 = *3 = .§, 64 = 5 ,..., a članovi niza c„ = 2 su C], = 2, C2 = 2, C3 = 2, C4 = 2,.....
Primer 1.7
Niz kod koga svi članovi imaju istu vrednost (kao u slučaju niza cn u Primeru 1.7 Kako ) se naziva niz.skup izolovanih tačaka na x-osi, to je grafik niza je kod stacionaran nizova domen skup izolovanih tačaka u ravni čije ordinate su jednake članovima niza. Radi jednostavnijeg grafičkog pri.kaza dovoljno je posmatrati samo jednu brojnu osu na koju se nanose vrednosti članovajiiza. Primer 1.8
Za nizove iz Primera 1.7 imamo sledeće prikaze na brojnoj osi: tlo
„
.
4
0 1
9 63 ’
... 64
1.2.2
16 &2
61
1 2
1
1 ■ 3 I c2 = • • ,
0
0
(I 4
&3
1
2
3
4
Og raniče nost niza
Ako postoji realan broj G takav da VneN,
an < G,
kažemo da je niz an ograničen s gornje strane brojem gornje ograničenje niza.
G. Broj G se naziva
8
1 REALN E FUNKCIJ E REALNE PRO MEN LJIVE Ako postoji realan broj g takav da Vn € N ,
an >g,
kažemo da je niz an ograničen s donje strane brojem g. Broj g se naziva donje ograničenje niza. Aka postoji i gornje i donje ograničenje niza, kažemo da je niz ograničen. Očigiedno je da donje, kao i gornje ograničenje jednog niza, nije jedinstveno. Najm anje gornje ogranićenje niza s e naziva su pr em um i označava sa sup an, a najveće donje ograniče nje se naziva i nfinu m i označava sa inf an.
Ispitaćemo ograničenost nizova iz Primera 1.7. Niz an = n2 je ograničen s donje strane. Brojevi 0, —2, i. 1 itd. predstavljaju njegova donja ograničenja. a inf an = 1 je r je n2 > 1 za svako n 6 1ST. Ovaj niz nije ograničen sa goi'nje strane. Niz 6n = i je ograničen (i sa go mje i sa donje strane). a poito je Primer 1.9
0<
< 1,
Vn € K ,
to je sup6n = 1 i inf 6„ = 0. Niz cn = 2 je takođe ograničen i važi supcn = inf cn = 2 . 1.2.3
Tačka nag om ilavanja niza
Neka je A proizvoljan realan broj, a £ proizvoljan pozitivan broj. Otvoreni interval (A — s, A 4- s ) nazivamo e-okolina tačke A. Realan broj .4 predstavlja tačku nagomilavanja za niz u„ ako se u svakoj e-okolini tačke A nalazi bezbroj ćlanova niza, t-j. ako za bezbroj vrednosti n € N važi *4 - £ < an < A + s. Ova nejednakost se može zapisati i u obliku |a„ — A| < e .
Odredimo tacke nagomilavanja za nizove iz Primera 1.7. Za niz bn = £ tačku nagomilavanja predstavlja broj 0 je r se u proizvoljnoj £-okolini tačke A = 0, tj. u intervalu ( —£,£) nalazi bezbrvj članova niza, tj. svi članovi či ji je indeks veći od Naime, ^ < s n > ~. Za niz cn = 2 tačka nagomilavanja je broj 2 je r se svi članovi posmatranog niza nalaze u- bilo kojo j okoiini tačke A = 2. Niz an = n2 nema tačaka nagomilavanja je r se njegovi članov i neograničeno povećavaju. Primer 1.10
Niz može imati i više tačaka nagomilavanja. Primer 1.11 N-iz sa opštim članom dn= ( —l ) re--2j^ ima dve tačke nagomilavanja 1 i —1 što se lako može zaključiti na osnovu prikaza njegovih članova na
brojnoj osi
1.2 Nizovi
9
di
d,3 d&
-2
4 6 "3 "5
d±
, "i
đ2
1 i 1 •*•4 2
Niz čiji članovi uzimaju aaizmenično pozitivne i negativne vrednosti, kao u prethodnom primeru, zovemo o sc ila to ra n niz. 1.2.4
Gran ična vredn ost niza
Za broj -4 ćemo reći da pređstavlja graničnu vrednost niza o„ alco se gotovo svi članovi niza nalaze unutar proizvoljne £-okoline tačke A (van ove okoline ima samo konačno nmogo članova niza). To znači da se za svako e > 0 može pronaći broj u q , lcoji zavisi od e. talcav da se svi članovi niza čiji je indeks veći o d no nalaze u c-okolini tačke A, tj. Včt > 0 , ^no—1
, Vn > no(ć) , ®n.o^no+l
A —e
|a„ —A\ < e .
A
A +e
Za granićmi vrednost niza se upotrebljavaju sledeće oznake: lim an = A ili an —*■A kad n —>oo. n —-cc
Za niz koji ima graničnu vrednost kažemo da je ksonvergen tan. (N iz on konvergira ka A.) Očigledno je da je granična vrednost niza ujedno i tačka nagomilavanja za dati niz, kao i da niz sa više tačaka nagomilavanja nije konvergentan. P rim er 1.12 Niz an = n 2 nije konvergentan jer smo u Primeru 1.10 pokazali
da on nema tačaka nagomilavanja. Niz dn = (—l ) 71• nije konvergentan jer smo u Primeru 1.11 pokazali da on ima dve tačke nagomilavanja. Niz Cn = 2 je očigledno konvergentan i vazi lim Cn = 2 je r se u svakoj n —*oc
2 nalaze s-okolini članovi ovog(konvergira niza. Niz bntačke = i je takođe svi konvergentan ka broju 0). jer je | i- 0] < e
n > i,
što znači da se unutar proizvoljne s-okoline tačke 0 nalaze svi članovi niza čiji indeks je veći od Uq = j . Na isti način kao u slučaju niza cn = 2 (videti Primer 1.12) može se zaključiti da svaki stacionarni niz konvergira, tj. da važi lim c = c , gde je c bilo koja n —*-oo
konstanta. Ođredićemo granične vređnosti nekih najčešće kDrisćenih nizova:
1 REA LNE FUNKCI JE REALN E PROM ENLJIVE
10
a) Pr vi niz je an= pri čemu je k bilo koji pozitivan reala n broj. Na isti način kao kod niza bn = ^ (vid eti Prim er 1.12) može se pokazati da je n
lim A = 0 . Ovd e je n0 = (£ )^ . -+oc n
'e
b) Drugi niz je an = qn, gde je q realan broj za koji je |g| < 1. Pokažimo da je lim qn = 0 . n —+cc
Logaritmovanjem nejednakosti |qn — 0| < e dobijamo nlog |q| < log£ pošto je |g| < 1 pa je log |q |< 0. Dakle, u proizvoljnoj £-okolini tačke 0 se nalaze svi članovi niza čiji indeks je veći od no = Može se pokazati da- za računanje sa graničnim vrednostima nizova važe sledeća pravila: Neka su an i bn dva konvergentna niza. Tada je 1. Iim (a „ ± 6n) = Iim an ± lim 6n, n-+oo
n —*-oc
n-—►oc
2. lim (an - 6n) = lim an • lim 6n, n — oo
■ n.-^-oo
n —»oo -
lim On 3. lim = n~*°° . , uz uslov lim bn ^ 0. Ti—oo bn lim bn —<» » n—*■oo
4. Ako za dovoljno veliko n važi a„ < bn onda je lim an < lim bn. n —>oo
n —*-cc
5. Ako je lim an — lim 6n = A, a niz cn je takav da za dovoljno veliko n n —+oc n — co važi an < cn < b„, onda je i lim = A. n —+oo
Koris teći ova pravila možemo odrediti granične vrednosti još dva često korišćena niza: a) Pr vi niz je an = \fn. Počevši već od drugog čla na niza je tfn > 1, tj.
= l + hn, hn > 0 . Nakon stepenovanja sa n, primenom binonmog obrasca ćemo imati
n = (1 + hn)n = 1 + nhn + ^=^-h2 n + ... + h’l Ceo zbir (koji je jednak n) je veći od trećeg sabirka, tj.
n > ^ h l
^ h n < y / ^.
1.2 Nizovi
11
Prema tome za niz hn važi 0 < hn < J
Lako je videti da je
/ 2 1 lim \ ----- = 2 l im — r = 0
n -r
oo V n 1—
-
m -»
oo
(uvedena je smena n — 1 = m), pa je i lim
= 0. Vidimo da je
ft-n
n —j-o o
lim \/n —lim (1 + hn) = lim 1 + lim
n —*•oc
n —*■oo
n —*00
n —*-oo
hn = 1 + 0 = 1.
b) Drugi niz je an = tfa, a > 0. Razmotrićemo dva slučaja: 1. Ako je a > 1, orida post oji n e K takvo da je a < n. Vidimo da važi 1 < y/a < \/n. Kako je lim ^Jn —1, jasno je da je i lim tfa = 1. n —*oo
n —-*-oc
2. Ako je a < 1, onda je 6 = i > 1, pa je lim °
lim n—oo y/a= Vlim n—oo 0
n —»cc
= n—oo
lim -^= =
\/b = l. Sada je
----
— ■= = 1.
n —t o o
Dakle, lim z/a = 1 za svako a > 0. n—oo
1.2.5
D iverge ntn i nizov i
Za svaki niz koji nije konvergentan kažemo da divergira. Ako članovi niza postaju veći od ma kog una pred zadato g broja, tj. ako
V K > 0, 3 n o(if ),
Vn > no(K) , an > K ,
onda kažemo da niz an divergira ka +o o i pišemo lim an = +o o. n-+oo
Lako je vid eti da važi sledeća osobina: Ako je lim an = +co i n —*oc
bn > an
poćev od nekog člana niza bn, tada je i lim 6n = +o o, jer ako Vn > n0(A") važi n —*oo
an > K, onda je i bn > K , gde je K p roizvoljan pozitivan broj. Primeri nizova koji divergiraju ka +co su: 1. an = log0 n jer je loga n > K <& n> aK. 2. an = na, a > 0 jer je n“ > K
n>K i.
3. an = an, a > 1 jer je an > K & n > 4. an = n! jer je n! > n, a lim n = +o o.
loga K .
1 REALNE FUNKCI JE REALNE PROM ENLJIVE
12
Ako članovi niza postaju manji od ma kog unapred zadatog broja, tj. alco VIi < 0,
3n o(I ),
an < L,
Vn > no(L) ,
onda kažemo da niz an divergira ka —cc i pišemo lim an = —co. n »oc
Za nizove koji divergiraju ka +oo ili —oo kažemo da divergiraju u užem smislu. Svi nizovi koji ne konvergiraju ili ne divergiraju u užem smislu divergira ju u ši re m smi slu. Viđimp da svi nizovi koji imaju više od jedne tačlce nagomilavanja divergiraju u širem smislu. Pr im er 1. 13 Niz dn — ( —1)" ■
divergira u širem smislu je r smo 1.11 pok-azali da on ima dve tačke nagomilavanja.
1.2.6
Prim eru
M on oton i nizovi
Za niz an se kaže da je monotono rastući ako je svaki sledeći član niza veći od prethodnog, tj. ako važi Vn € JM,
an+i > an.
Za monotono rastući niz se upotrebljava oznaka an Za niz an se kaže da je m on ot on o op ad aj uć i ako je svaki sledeći član niza manji od prethodnog, tj. a.ko važi Vn € N ,
an+i < an.
Za monotono opadajući niz se upotrebljava oznaka an \ . Monotono rastući i monotono opadajući nizovi su strogo monotoni, za razliku od nizova kod kojih neki susedni članovi mogu imati istu vrednost. Ako je an+i — o.n kažemo da je niz neo pa da juć i, a ako je an+i < an niz je nerastu ći.
Niz an = n2 je monotono rastući je r je (n + l ) 2 > n2 za svaki prirodan broj n. Niz an = [g|rl, gde je g|| < 1, je opadajući je r je
Primer 1.14
—
an
= ¥ lir = M < l |g|n
an+1
Posmatrajm o jedan monotono neopadajući ograničen niz an. Neka je inf an = m i
sup an = M .
Kako je M supremum posmatranog niza, to za srako s > 0 postoji član niza (označimo ga sa a ^ ) takav da važi
1.2 Nizovi
13
(Da ovakvih članova nema, onda bi supremum posmatranog niza bio manji ili jednak M — e.) Kako je niz monotono neopadajući, to za sve naredne članove posmatranog niza važi
M — e < Oiv < Oiv+i < a/v+2 < ••• < M , što znači da se u e-okolini tačke M naiaze skoro svi članovi posmatranog niza. Dakle, lim an = M . 71— *-OG
Na isti način se može pokazati da ako m predstavlja infimun jednog monotono nerastućeg niza an, onda je lim an = m. n.—►co
Ovim je dokazan princip monotonije: Svaki monoton i ograničen niz je konvergentan. Monotono neopadajući ograničen niz konvergira ka svom supremumu, a monotono nerastući ograničen niz konvergira ka svom infinumu. Koristeći princip monotonije može se pokazati konvergencija još jednog veoma često korišćenog niza. To je niz sa opštim članom « - - (!+ *) " • Kod ovo g niza. izraz ko ji predstavlja osnov u 1 + £ teži broju 1, a eksponent n teži beskonačnosti, pa opšti član ovog niza predstavlja neodređeni izraz oblilca Može se pokazati da je ovaj niz ograničen, tj. da je 2 < an < 3 i da je monotono rastući, što znači da konvergira ka svom supremumu. Supremum ovog niza je iracionalan br oj e, čija vrednost zaokružena na pet decimala iznosi 2,71828. Po laze ćio d ove grajiične vrednosti važi i sle deće: Ako f (n ) —>0 i g(n) —*■+cc kad n —* oo. onda je lim fl + f ( n ) ) 7*T = e i
n —*-oo '
lim (1 + f ( n ) ) 9
n
—**oo
.
Posmatrajmo niz zatvorenih. intervala kod koga je svaki sledeći interval sadržan u prethodnom i kod koga dužina posmatranih intervala teži nuli: [ai, &i] D [a2,62] 3 ... D[o », 6nj 3 ... ,
lim (b„ - an) = 0. n
—»00
Ovakav niz naaivamo nizom sužavajućih intervala.
A = B Oi
a2 a3
an
bn
63
ž>2‘
Niz sužavajućih intervala određuje dva bro jna niza an i b„. Niz an je monotono neopadajući niz ograničen sa gornje strane (ograničen je npr. brojem 61) pa, prema principu monotonije, ovaj niz k onvergira. Neka je lim an = A . Niz bn je
1 REAL NE FUNKCIJ E REALN E PROM ENLJIVE
14
monotono nerastući niz ograničen s donje strane(bn > ai), pa i on konvergira. Nelca je lim bn = B . Iz n —*-oo
B —A =
lim bn — lim an = lim (bn — an) = 0
n —*-oo
n — co
n —*cc
sledi da je B = A, tj. oba niza konvergiraju lca istom broju koji predstavlja suprcmum niza ani infinum niza Ovaj broj pripada svim posmatranim intervalima. Kako dužina posmatranih intervala teži nuli to ne mogu postojati dva broja koja b i pripada la svim posmatranim intervalima. Ovim je pokazano da niz sužavajućih intervala ima jednu i samo jednu zajedničku tačku.
1.3
Gra nič ne vred nosti funkcije
Realnu funlcciju realne promenljive smo definisali kao funkciju čiji domen i kodomen su podskupovi skupa realnih brojeva. Ponašanje realne funkcije u nelcoj taćki, kao i'za proizvoljno velike ili male vrednosti nezavisno promenljive, određuje se na osnovu graničnih. vrednosti posmatrane funkcije. 1.3.1 Gra nična vređ no st kad a x —>±oo Slično kao kod nizova i za realnu funkcije f ( x ) možemo definisati graničnu vrednost kada nezavisno promenljiva teži beskonačnosti, tj. kad nezavisno promenljiva postaje veća od bilo kog filcsnog pozitivnog realnog broja. Broj A je granična vredn ost funkci je kad x —* +oc ako Ve > 0 , 3 A (e ) > 0 , Va: > A(.s) ,
\f( x) - A\ < e ,
tj. ako Va; > x q , gde je xo dovoljno velilco, vrednosti funkcije f ( x ) se nalaze unutar proizvoljne e-okoline tačke A. (Podrazumeva se da je funkcija f ( x ) definisana za dovoljno velike vrednosti x.) Kao i kod nizova, i ovde se za graničnu vrednost upotrebljava oznaka lim f ( x ) = A . x —H-ec
Ako broj A predstavlja graničnu vređnost funkcije f ( x ) lcad x —►+oo, kažemo da prava y = A predstavlja horizontalnu asimptotu funkcije f(x) kad x —►+oo. Na isti način, za broj B ćemo reći da pređstavlja graničnu vrednost funkcije kad
x —►—oo ako Ve > 0 , 3A(e) > 0,. Va: < - A ( e ) ,
\f(x) -B \ < s .
Pisaćemo lim f ( x ) = B . oo
Ako broj B predstavlja graničnu vrednost funlccije f ( x ) kad x —►—oo, kažemo da prava y = B predstavlja horizontalnu asimptotu funkcije f ( x ) kad x —> —oo.
1.3 Gran ične vrednosti funkcije
15
Ako Vx > xo gde je xo đovoljno veliko, vrednosti funkcije postaju. proizvoljno velike, tj. ako
V K > 0 , 3A(K)
Vx> A(K
>0,
) , f(x) > K ,
f ( x ) = +o o . Ako umesto uslova f ( x ) > K važi f ( x ) < - K ,
onda je ^lim
onda je x— lim H-oo f ( x ) = —oc- . Na sličan način se može definisati anaiogno ponašanje funlccije lcad x — *• —co. Lako je vide ti da je lim xm = +oo
x —H-oo
jer V K > 0S xm > K « x > Km Na isti način se pokazuje da je
za m > 0
, pa je A ( K ) = K™ .
lim
X-—+3 0 Xm
= 0 za m > 0
jer Vs > 0, |^r — 0| < s ^ > (7 ) ” pa je A(e) = (A) ™. Ovaj primer ilustrtije tvrđenje: Kad jedna veličina teži beslconačnosti, onda njena recipročna vrednost teži nuli. Može se pokazati da za računanje sa graničnim vrednostima funkcija važe ista pravila kao i za računanje sa graničnim vrednostima nizova: Neka su f ( x ) i g(x) dve realne funkcije definisane za sve x > xo> gde je a'o dovoljno veliko, i nelca postoje granične vređnosti ovih fimkcija lcad x —> ■+cc. Tada je 1.
lim (f(x)±g(x))=
lim (f(x)
2. X
3.
lim f ( x ) ±
x —*H-oe — '4 “ CO
- g(x)) =
—* + O G
T
fM
) . = x ~! 00—— , uz uslo v lim +00 g[x) lim g(x) X—H-00
4. Ako za svako x > x q , gde je Iim f ( x ) < lim g(x). 5. Ako je
—x
—i-+oo
lim f ( x ) =
x —*-+oo
x—++00
lim f ( x ) - lim
X
x-H-oo JK
lim g ( x ),
x—^+oo
w
xq
g(x),
— *- + O G
li m
x^+
g( x) ^
0.
dovoljno veliko, važi f ( x ) < g(x) onda je
.
lim g( x) = A, a. funkcijah(x) je takvada za svako
x— +00
x > xo, gde je xo dovoljno veliko, važi f ( x ) < h(x) < g( x), onda je i lim h(x) = A.
x—H-00
Ista pravila važe i za računanje sa graničnim vrednostima realnih funkcija kad
1 REALNE FUNKCIJE REALNE PROM ENLJIVE
16
Ako dve funkcije f ( x ) i g(x) obe teže ili +00 ili —00 kad x —* +cc; a lim ^ 7—r = 1 i —+oc g(x) —^+oo
i
lim (/ (x ) - ff(x’)) = 0, 1 ’ '
kažemo da je funkcija g(x) aisimptota funkcije f ( x ) kad x —> + 00. U specijalnom slučaju, da bi ftmkcija g(x) = kx + n (koja predstavlja jednačinu prave) bila asimptota funkcije f ( x ) , iz lim delenjem l^+n= brojioca i imenioca sa x dobijamo 1-
/M
k+ 5 _ odakie je =k Iim
lim ^
X
X —* +O Q
k
* -
’
•
lim (f(x) —(A:z + n)) = 0 sledi da je n = lim (/ (x ) — kx) . X— *+CC OO s Prava y = kx + n sa ovako ođređenim koeficijentom pravca k i odsečkom na y- osi n predstavlja kosu asimptotu funkcije f ( x ) kad x —►+ 00. Na isti način se dolazi i do jednačine kose asimptote kađ x - * —00. Primetimo da i u slučaju kad prava y = .4 predstavlja horizontalnu asimptotu funkcije f ( x ) važi da je lim = 1 i lim (f(x ) —A ) = 0. Iz
X—cc
1.3.2
^+oo
Gran ična vredn ost u tački
Kod funkcija je moguće definisati i graničnu vrednost .funkcije u tačla. Posebno se mogu definisati leva i desna granična vreduost. Za broj A ćemo reći da predstavlja levu graničnu vrednost funlccije f(x) u tački Xq ako se vrednosti funkcije nalaze u £-okolini tačlceA za sve vrednosti a: koje se nalaze ulevo od tačke a;o na dovoljno malom rastojanju, tj. ako Ve > 0 , 3t5(e) > 0, Vz e (xo —6, xo) ,
\f(x)—A\
Uslov |/(i) — A\ < s možemo zapisati i u obliku A —s < f( x)
Za broj B ćemo reći da predstavlja desn u g ra ni čn u v re dn os t funkcije f ( x ) u tački xo ako se vrednosti funkcije nalaze u £-okolini tačkeB za sve vrednosti x koje se nalaze udesno od tačke x q na dovoljno malom rastojanju, tj. ako Vs > 0 , 35(e) > 0, Vx 6 (zo. zo + <5) , Za desnu graničnu vrednost upotrebljavamo ozuaku
|/(x) —B\ < e . lim f ( x ) = B.
Ako su leva i desna granična vrednost u nekoj tački x q iste, onda funkcija ima graničnu vrednost u taćki xo, što zapisujemo kao Um f ( x ) = A .
X —*X0
1.3 Granične vrednost i funkcije Dalde. f ( x ) —►A
kad
17
x - * x0 alco S, x0+ 5) A x / x0 ,
Ve > 0 , 35(e) > 0 , V i e (^o -
|/(x) —A\ <
e .
Primetim o da je u prethodnim defmicijama bilo potrebno da funk cija f ( x ) bude definisana u nekoj okolini tačke xo, dok u samoj tački ne mora bitidefinisana. Moguće je da funkcija u nekoj tački teži ka +oo ili —oo. Reći ćemo da je lim f ( x ) — +oo ako X—*-*0 VjK > 0 , 36(K) >0 , Vx e (xo — S, xq + <5) A x ^
xq
,
f ( x ) > K.
Na isti način se može definisati i lim f ( x ) = —oo, kao i odgovarajuće jedX— nostrane granične vrednosti. Na osnovu definicije vidinio da je
1
lim — = +o o ' 1—0+ x jer je \/K >0, j > K
•«► x <
, pa je 5(K) =
Ovaj primer ilustruje tvrdenje: Ka d jedna vehčina teži nuli, onda njena recipročna vrednost teži beskonačnosti. Za računajije sa gianičnim vredn ostima funkcija u tački važe ista prav ila kao i za računanje sa graničnim vrednostima kad x —►+o o. Ako j e bax jedna o d jednostranih graničnih vrednos ti funkcije f ( x ) u tačld xq beslconačna, onda za pravu x = xq kažemo da predstavlja ve rt ik al nu asim pto tu funkcije f ( x ) .
Funkcija y = e* u tački x = 0 nerna graničnu vrednost jer leva i desna granična vrednost u tački x = 0 nisu iste. Naime.
Primer 1.15
lim e« = 0 r—
i
lim e* = +oo . x—*0-1-
Prava x = 0 je vertikalna asimptota ove funkcije. Funkcija se pozitivnom delu y-ose asimptotski približava samo sa desne strane. 1.3.3 Gra nične vr ed n os ti funkcija
i (1 + x ) i kad.x —►0
Koristeć i pravila za računanje sa graničnim vredno stima funkcija izrač unaćemo dve granične vrednosti koje se često upotrebljavaju u praksi: a) Posmatrajmo jediničnu kružnicu i uočimo centralni ugao x, 0 < x < f . Dužina luka ko ji odgovara uočenom ugl u je jednaka x pa je sinx < x < tgx .
1 REA LNE FUNKCIJE REALN E PRO ME NLJIVE
18
Za recipročne vrednosti važi je sin s > 0 za 0 < x < j , dobijamo cos x <
< 1.
Kako je granična vrednost funkcija f ( x ) = cos x i g(x) = 1, kad x — ♦ 0, ista i iznosi 1, to je i lim ^ = 1. ®—*0 b) Posmatrajmo proizvoljno veliki rea lan broj t. Funkcija h(t) = (l + kad t —* + oo, predstavlja neodređen izraz oblika ” l° c” .
,
Jasno je da za svaki dovoljno veliki realan broj t
n
3n £ N,
Tada je < j < ^ •Nakon đođavanja broja 1 svakom izrazu u prethodnoj n ejednakosti, a s obzirom n a n < t < n + l, imaćemo da je n-f*l ( X + S + l)
< (X + t) * < ( X + n)
Kada t —<•+oo tada i n —>+ cc . Kako je ,•
,
n—o limc V 1 +
1 \n
—7T
V n T l/
(i1 1 V
e
V> »+1/ n—c o
n+l
1 + - L .= 1 lim
----y --------- = - =
1 \ n+X
lim (1 + i ) " + = lini (1 + i ) n • (1 + 1 ) = e •1 = e, to Je i t “ ?loc( 1-+..T)t = eSmenom t = - se direktno dobija da je liiri^(l + x ) i = e. Može se pokazati da je i odgovarajuća leva granična vrednost ista pa je lim(l +a;)* =
x-*0
1.4
e.
Nepr ekid nost funkcije
1.4.1 Ne pre kid no st u tački Ako je funkcija f ( x ) definisana u nekoj okolini tačkex q kao i u samoj tački xo i ako je lim f ( x ) = f( xo) , ®—►ajo onda kažemo da je funkcija f ( x ) neprekidna u tački x q . Dakle, za neprekidnost funkcije u taćki potrebno je da
e.
1.4 Neprekidnost fankcije
19
1. postoji granična vrednost funkcije u posmatranoj tačld i 2. da ta granična vrednost bude baš jednaka vrednosti funkcije u posmatranoj tački. Prem a definiciji graničn e vrednosti funkcije u tački to znači da V o > 0 , 3J(ff) > 0, |x-a:o| < 5(s) ,
\f(x ) - f ( x 0)\ < s.
Izraz A x = x — x0 se naziva priraštaj nezavisno promenljive. Vidimo da je vrednost promenljive x u okolini tačke x0 moguće prikazati preko priraštaja nezavisno promenljive kao x — x 0 + A x. Tada je odgov arajuća vređnost funkcije f ( x ) = f ( x 0 + A x). Izraz Ay = f ( x + A x ) —f ( x ) se na.ziva prir ašta j fu nk cije . Priraštaj fi mkcije u tački x0 je Ay = f(x 0 + Ax ) - f ( x 0).
Vidimo da je funkcija neprekidna u nekoj tački ako dovoljno malom priraštaju nezavisno promenljive odgovara proizvoljno mali priraštaj funkcije, tj. ako je lim A y = 0 . Drugim rečima malim promenama nezavisno promenljive odgovaraju male proinene funkcije. Na osnovu pravila za računanje sa graničnim vrednostima funkcija lako se može pokazati sledeće: Ako su f ( x ) i g(x) dve neprekidne funkcije u nekoj tački .x‘o, o n d a je i 1. h(x) = f ( x ) ± g(x) neprekidna funkcija u posmatranoj tački, 2. h(x) = f ( x ) ■g(x) neprekidna funkcija u posmatranoj tački, 3. h(x) = neprekidna funkcija u posmatranoj tački, pod uslovom da je 5(x0) ž 0.
1 REA LNE FUNKCIJE REALNE PROM ENLJIVE
20
Iz definicije neprekidnosti funkcije u tački vidimo da funlccija nije neprekidna u nekoj tački, tj. da u nekoj tački post oji p rek id funkc ije ako bilo koji od dva uslova lcoji su potrebni za neprekidnost nije ispunjen: a) Ako postoji granična vrednost funkcije u tački, ali ona nije jednaka vrednosti funkcije, što značii da funkcija može biti i nedefinisana uposmatranoj tački, radi se o pr iv id n om pr ek id u funkcije. b) Ako u posmatranoj tački ne postoji granična vrednost. što se dešava ako su leva i desna granična vrednost konačni ali različiti brojevi ili ako je bar jedna od. jednostranih graničnih vrednosti beskonačna ili uopšte ne postoji, radi se o stvarnom prekidu funkcije.
Funkcija f(x ) = ima u tackix = 0 prividan prekid je r u ovoj taiki nije definisana, ali postoji granićna vrednost funkcije u ovoj tačkA. Naime, pokazali smo da jelini = 1 . Ovaj prividan prekid je moguće otkloniti tako Primer 1.16
što se umesto funkcije f ( x ) posrnatra funkcija ^
={
I
x= 0 '
Jasno je da g(x) predstavlja neprekidnu funkciju u tački x = 0. Funkcija f ( x ) = e* ima stvami prekid u tački x = 0. U Primeru 1.15 smo videli daje leva granična vrednost u ovoj tački lim f ( x ) = 0 , a desna
Primer 1.17
x
— 0—
lim f ( x ) = +00 , tako da ne postoji granična vrednost posmatrane funkcije u
x —s-0-i-
tački x = 0. Posmatrajmo složenu funkciju f ( g ( x ) ) đefinisanu u nekoj okolini tačkex0. Ako funkcija u = g(x) ima graničnu vrednost u tački x$, tj. ako je lim g(x) = 0
X—*-Xo
i ako je funlccijaf ( u ) neprekidna u tački ff, tj. lim f ( u ) = f( i3), s obzirom da u -+/5
u —> [3k ad i- n o ,a f ( u ) = f ( g ( x ) ) , vidimo da je x
lim f ( g ( x ) ) = f( j3) = f ( lim p(x)'] . —*x q
\ x —*x q
J
Ovim smo pokazali da je dozvoljeno s limesom ući pod neprekidnu funkciju. = ln(l + x) . Posmatrajmo funkciju neprekidna funkcija u b-ilo kojoj tačkih(x) iz skupaR + , to je
Primer 1.18
Kako je f(x)
= Ina;
lim ln (l + x) = ln ^Iixa(1 + x )j = ln l = 0 . Ako je funkcija u = g(x) neprekidna u tački xo, a funkcija f ( u ) neprekidna u tački (3 = g(xo), jasno je da je složena funkcija f ( g ( x ) ) neprekidna u tački
1.4 Neprekidnost funkcije
1.4.2
21
Nep rek idn ost n a intervalu
Funkcija je neprekidna na intervalu (otvorenom ili zatvorenom) ako je neprekidna u svakoj tacki posmatranog intervala. Posmatrajm o funkciju f ( x ) , koja je neprekidna na zatvorenom intervalu [a, 6] i koja na kraje vima to g intervala uzima vrednosti različitog znaka, tj. za koju je f ( a ) ■f (b ) < 0. Podelimo interval [a, 6j na dva dela tačkom c = su dva slučaja: a) f ( c ) =
Moguća
0 i
b) f ( c ) j* 0. U ovom slučaju jedan od dobijenih podintervala [a, c] ili [c, b] je takav da funkcija f ( x ) na njegovim krajevima uzima vrednosti različito g znaka. Označimo ta j interval sa [ai,& i] i ponovimo opisan postupak polovljenja. Ako, stalno ponavljajući opisan postupalc, ni u jednoj deobenoj tački vrednost funkcije f ( x ) ne bude jednaka nuli, onda smo dobili niz sužavajućih intervala jer je [a,6] D [ai,6i] D [a2,&2]D ... D [a„,6n] D ..., n—► —‘ oo “ = 0. limoo (bn —a„)= nlim Poznato j e da post oji samo jedna tačka £ koja pri paćla svim o vim intervalima i za nju važi f = lim an = lim bn. n —*oo
n —»co
Ivako je f ( a n) ■f ( b n) < 0 za svako n 6 N , to je lim f ( a n) ■f( b n) < 0 . Pošto n —'CC
je f ( x ) neprekidna funkcija na intervalu [a, 6], tj. u svakoj tački ovog intervala, onda je lim f { a n) -f ( b n) = lim f ( a n)- lim /(&„) = / ( lim an) - f ( lim 6n) = f 2(£).
n — oo
n —*-oo
n —*•00
\n—*•oc
/
\n— co
/
Dakle, /2(|) < 0. Medutim, kako kvadrat bilo kog broja ne može biti negativan, zaključujemo da je /2( f ) = 0. tj. /(£ ) = 0. Broj za koji jesmo /(£ da ) = svaka 0 zovefunkcija se nulakoja fu nk /( x). Dakle, pokazali jecije neprekidna na nekom zatvorenom intervalu i na njegovim krajevima uzima vrednosti različitog znaka, imutar tog intervala ima bar jednu nulu. Takođe se može pokazati da fimkcija f ( x ) neprekidna na zatvorenom intervalu [a.&] bar jednom, na tom intervalu dostiže svoju najveću i najmanju vrednost. Samim tim, ova funkcija je i ograničena, tj. postoje realni brojevi m i M , takvi da Vx € [a, 6] , m < f ( x ) < M . Iz neprekidnosti funkcije f ( x ) na intervalu [a, &] sledi da Vpt,' m < jj. < M , 3$ 6 [a,6],
/(£ ) = fj,.
1 REALNE FUNKCIJE REA LNE PRO ME NLJIVE
22
1.5
Izv od funkcije i njegove primene
1.5.1 De finicija prv og izvoda Neka je funkcija f ( x ) đefinisana u nekoj okolini tačke x. Ako postoji gr anična vrednost količnika priraštaja funkcije i priraštaja aezavisno promenljive kad priraštaj nezavisno promenljive teži nuli, tj.
rlim - — , Az-»o tada ovu graničnu vrednost nazivamo prvi izvod funkcije izvod funkcije) u tački x i obeležavamo sa f '{ x) . Dakle,
f{x) =
lim
Ax-»0
+
f { x ) (ili kraće samo
Ax
Za funkciju koja ima izvod u tački x kažemo da je diferencijabilna u tački x. Postupak nalaženja izvoda zovemo d iferen cirar sje. Ako u prethodnoj formuli posmatramo levu, ođnosno desnu graničnu vrednost, dobijamo levi. odnosno desni izvod u tački x. koji obeležavamo sa f ( x —), odnosno f { x + ) . Polazeći od definicije granične vrednosti funkcije u tački dolazimo do sleđećeg tvrđenja: Ako je funkcija diferencijabilna u nekoj tački, onda su levi i desni izvod u toj tački jednaki i obrnuto. Iz definicije granične vrednosti sleđi da lim Ay = lim / '(i)A i = 0 A i—0
f ' ( x ) -0 = 0.
Ovim je pokazano da ako je funkcija diferencijabilna u nekoj tački, onda je ona u toj tački i neprekidna. Obruuto nije tačno, što pokazuje sleđeći primer. Primer 1.19
Funkcija f(x)
= |a;| je neprekidna u tački x = 0 je r je
lim f ( x ) = lim jarj = 0 = / (0) .
ali nije diferencijabUna, pošto je f ( 0+ ) =
Iim
p -=
A.o;-+0+ A x
im l Ax -*0+
Iim
^
= 1
f ( Q - ) = Iim lim ^ = lim Ax—o-A x A i—oA x A i—o- Aa: pa f ( 0) ne postoji.
i
A i -*0 t
= -1 ,
1.5 Izvod faakcije i njegove prime ne 1.5.2
23
V iši izvo di i diferen cijal funkcije
Videli smo da je prvi izvod funkcije f ( x ) ponovo funkcija promenljive i pa je moguće ovu funkciju ponovo diferencirati. Tako dolazimo do pojma viš eg izvođa. Izraz
je treći iz v o d itd. U opštem slučaju n -ti iz v o d funkcije je n€W. Samu funlccijuf ( x ) možemo smatrati nultim izvodom, tj. /(0) (x ) = f ( x ) . Za funkciju koja ima n-ti izvod kažemo da je n puta diferencijabilna. Proizvod izvoda funkcije i priraštaja nezavisno promenljive nazivamo diferencijal funkcije i obeležavamo ga sa dy. Dakle, za funkc-iju y = y(x) je
dy = y'( x)A x . Kako je za funkciju y( x) - x izvod x' = lim 1+^ x = 1. to je diferencijal ove &.x—0 funkcije dx = 1 ■Ax, tj. dx = Ax, pa je diferencijal funkcije y = y(x) jednak proizvodu izvoda funkcije i diferencijala nezavisno promenljive, ti.
dy = y'(x)d.x . Odavde vidimo da se izvod funkcije y = y(x) može prikazati i kao koiičnik diferencijala zavisno pronienljive i diferencijala nezavisno promenljive, tj.
1.5.3 Pr av ila za nalaženj e izvo da Neka su f ( x ) i g(x) diferencijabilne funkcije u tački x. Ta.da važe sledeća pravila: Izvod konstante Ako je f ( x ) = c, onda je A y = f( x + Ax) —f(x) = c — c = 0, pa je lim 0 = 0 .
A x —»0
Izv od zbira i r azl ike
f ( x + Ax) (f(x) ± g(x)) ' = lim Aa:-f0
± g( x + A j ) Ax
(f(x) ± g(x ))
24
1 REALN E FUNKCIJE +
= iim
Ax-*o
REALNE PRO ME NLJIVE
iim 9( * + t e ) - g {x)
Ax
Ax—fO
Ax
j\
j y\
1
Izvod proizvoda !■ = ^
(f(x ) ■g(x))
= iim
f ( x + Ax)g(x + A x ) - f ( x ) g ( x ) _ ------------------— ------------------=
f ( x + Ax)g(x + A x ) ± f ( x ) g ( x + A x ) - f ( x ) g ( x )
----------------------------------------------------------------------------------= -
- lim„ ( »+& Ax^ 0yV
Ito / w a ( »+A x ) - g M _ Ax^0 V ' Ax
Ax
= /'( i ) j { i ) + / W s ' ( i ) '
Spftcijalno (r.f(x))' Izvod količnilca
= c!f(x)
f f ( x ) \ ' _lim g(x+Ax) ~ \g(x)) As-*o Ax
+ r.f'(x) =
0 ■f ( x ) + r. f'(x) = c.f '(x).
^
Ax—o
f ( x + Ax) g( g) - f ( x ) g ( x + A x ) Ax g( x + Ax)g(x)
jjm f ( x + A x)g (x ) ± f (x )g (x ) - f(x) g(x + Ax—-o Axg(x + Ax)g(x) lim Ax-*o
9(x ) H* +*zi-rw - f(x) g(x)g(x + Ax)
pri čemu mora važ iti g(x) ^ 0. Izvod složene funkcije Neka je kod složene funkcije y = f(g( x))
(f(g(x)))' =
A i) _
r{x)9 (x) - f ( x W (x) g2(x)
uvedena oznaka u = g(x).
Tada je
£ = £ • % = f ' ( u ) g ' ( x ) = f ’ (g(x))g'(x).
Izvo d inver zne funkcij e Neka x = /_ 1(y ) predstavlja inverznu funkciju za f ( x ) . Pod pretpostavkom da postoji izvod inverzne funkcije i da je f ' ( x ) 7^ 0, imaćemo
x =
1.5 Izvo d funkcije i njegove primene
25
(Napomenimo da nije uvek moguće izvTŠiti eliminaciju parametra t, tj. dobiti implicitnu jednačinu kao u posmatranom primeru.) Ako funkcije ip(t) i ip(t) imaju izvode u t ački t i ako je y'{t) / 0,onda je W (x = \
= - i- =
= £
x' ||. Ovde smo upotrebili standardnu oznaku za izvod fimkcije po parametru:
1.5.4 Izv od i eleme ntarnih funkcija Koristeći definiciju prvog izvoda i pravila za računanje sa graničnim vrednostima možemo odrediti izvode elementarnih funkcija:
1. Izvod stepena Formulu ćemo izvesti samo za slučaj kada je eksponent prirodan brcj, a može se pokazati da ona važi i za svaki realni eksponent. Pvilikom izvođenja koristićemo binomni obrazac. (*»)' = _ ^m o
Ax—0
& ± * fn~ Ax
* n=
x n + (” ) z n_1Ax + ( 2)a;n -2(Aa:)2 + ... + (” )(Aa -)n - i n :
= Almi o (© X " - 1+ O
—
n- 2A z + ... + (™) (A x )n_1) =
=
nxn_1 .
2. Izvod logaritamske funkcije Prilikom izvođenja koristićemo Sinjenicu da je loga o > 0, neprelcidna funkcija za sve x > 0, da je log0 b= kao i da je lirn (1 + t) * = e. (logaX)' = ^ tog J ^ + M -i o g ^ ^ ■ &a ’ Az-0 Ax
Ax-*Q
( z±*x\& a\ X )
=
( A x \ * '■ j. 1 1 = log0 lim 11 + ---= logQe* = — loga e = —;— . “ Ax->o \ x ) x ik a Specijalno je (ln x )f = j .
3. Izvod eksponencijaine funkcije Eksponencijalna funkcija y = ax je inverzna logaritamskoj funkciji x = loga y pa je potrebno primeniti pravilo za nalaženje izvoda inverzne funkcije.
(a*), = -r.— - —— = — r— = j/lna = a* l na .
'
0ogoy)'
Specijalno je (ex)' = ex.
^
1 REA LNE FUNKCIJE REA LNE PROM ENL JIVE
4. Izvod i trigonom etrijskih funkcij a Prilikom izvođenja koristićemo formule za razliku sinusa i kosinnsa. kao i da je lim sint = 1. Takođe ćemo primeniti pravila za nalaženje izvoda . . j * Tkoličnika, izvoda složene funkcije i identitet sin2 x + cos2x = 1. .. sin(a; + Aa;) —sinx (s inz ) = lim — t —‘-------------
Ax
A:x-*Q
=
2 sin cos (a; + lim m u ----------------- =— — : -—1-= -£ ---- == —lim cos
Ax—*-o
Ax
Ax->o
/ Aa;\ s in 4 r a; -I— i *ju—\ 1-----------— i x '
\
2y
s*
= cos x ■1 = cos X . , cosfa; + Ax) — cos x (cos x) = lim ----5-------— ----------= -
v
=
—2 sin lim ----------
As-0
.
A i—o
Ax
sin (x + 4&)
.
/
A x\ sin ^
—t— ------- = _ iim sin + x— .2 A x. Ax-0 \ 2 ) ^ = —sin x ■1 = —sin x . ., _ / sin x V _ (sin x )' ■cos x — sin x • (cos x )' _ \cosx) cos2x
cos x •cosx — sin x ■(— sinx) cos2 x (ctgx)' = (tg xx )' = - t g 2x • (tgx )'
cos2x+ sin2x cos2 x C° S X
=
1 cos2 x 1
1 sin^x
5. Izvod i mverznih trigonom etrijskih funkcij a Prilikom izvođenja koristićemo pravilo za nalaženje izvoda inverzne funkcije i identitet sin2 x + cos2 x = 1. Funkcija y = arcsin x je inverzna funkciji x = sin y, pa je (axcsmx) -
^siny y ~ cosy ~ ^
_ gin2 y ~
_
'
x 2
Funkcija y = arccosx je inverz na funkciji x = cos y, pa je i i i 1 (arccosx)': (cos y)' -siny ^/l - cos2 y V'l - x2 Funkcija y = arctgx je inverzna funkciji x = tgy, pa je (arctgx)' =
1 (tg2/y
*
^ co^cV + ^ y
'l
1 l + tg2j/
l + x2
Funkcija y = arcctgx je inverzna funkciji x = ctgj/, pa je
(arcctgrr)' =
1 (etg V)'
1
-
1
-1
-1
-zsrg
,ctg
1.5 Izv od funkcije i njegove primene 1.5.5
27
Geo m etrij ska interp retacija izvo da
Posmatrajmo grafik funkcije y = f(x ) i na njemu proizvoljne tačke M(x , y ) i L ( x + Aa;, y + A y). Sečica M L zaklapa ugao 0 sa pozitivnim smerom a>ose i važi
to-fl = = /(z + Aa~) ~ / » 8P Ax Aa: Kada priraštaj nezavisno promenljive A x teži nuli, tačka L teži ka tački M , a sečica M L t eži ka tangenti krive postavljenoj u tački M . Ako ugao između ove tangente i poaitivnog smera x-ose označimo sa a, onda je tga = lim tg 8 = lim ix - 0
Ai - >0
f ( x + As ) - f ( x ) Ax
-f' ix )
.
Dakle, prvi izvod funkcije u nekoj tački predstavlja koeficijent pravca tangente u posmatranoj tački. Je dnačina ta ngente na krivu / (x ) u tački M ( x q , y 0) . pri čemu je uvedena oznaka y 0 = f( x 0), glasi
V - Vo - f ' ( x 0)( x - x0) . a je dn ač in a no rm ale , tj. prave koja prolazi kroz posmatranu tačku M i normalna je na tangentu, glasi
y-yo~-
f ' ( x o)
(x - x0) .
Alco presek x-ose sa tangentom označimo sa T , a presek sa normalom sa N , onda možemo izračunati dužinu tangente kao t = \M?| i dužinu norma ie kao n = |M]$\. Projekcija tačke M na ar-osu je P (z q, 0). Duži T P i N P
28
1 REALN E FUNK CIJE REAL NE PROM ENLJIVE
nazivamo subtangenta i subnormal a. Dužin e subtangente i subnormale možemo izračunati kao
st = \T?\ i
Primer 1.20
\NP\.
sn =
Posma trajmo krivu koja predstavlja grafik funkc ije f ( x ) = e2x + l
i tačku M (0 , t/o) na njoj. Napisimo jednačinu tangente i normale na krivu u posmatranoj tački, a zatim odredimo dužine tangente i subtangente. Koordin ate tačke M zadovoljavaju jednači nu krive pa je yo = e° + 1 = 2. Kako je f ' ( x ) = e2x ■ 2 pa je f ' ( 0) = 2, to je jednačina tangente u tački x = 0, tj. u tački M ( 0,2), y - 2 = 2(x - 0),
tj.
y = 2x + 2,
a jednačina normale y —2 = —\ ( x —0). tj. y = —~x + 2. Presek tangente sax -o so mj ex = —1 (rešenje jednačine 2x +2 — 0). tj. T ( — 1,0) pa je M T = ( —1, —2). Dužin a tangente je t = \MT\ = \/5. Kako je projekc ija tačke M na x-osu P ( 0,0), to je T P = (1,0), a dužina subtangente St = |TP| = 1.
1.5.6
Mo noto nos t i ekstremne vredno sti
Za funkciju f ( x ) ćemo reći da je monotono rastuća na intervalu [a, 6], ako važi da je Vxi,x2 e [a,6] , x2 > x i =? f ( x 2) > f ( x i), tj. ako se, gledano sleva aadesno, vrednosti funkcije stalno povećavaju. Ako je V x i,x 2 £ [a,b] , x2 > x i =*■ f ( x 2) < f ( x i), tj. ako se, gledano sleva nadesno, vrednosti funkcije stahio smanjuju, za funkciju ćerno reći da je m on ot on o op ad aj uć a. Ako j e funkcija y = f ( x ) diferencijabilna i monotono rastuća u svakoj tački posmaferanog intervala, onda za A x > 0 je A y = f ( x + A x ) — / (x ) > 0, a za A x < 0 je A y = f ( x + A x) — f ( x ) < 0. Vidimo da je izraz ^ uvek pozith'an, paje
f ( x ) = lim
zix~*-0 I \ X
> 0, x € [a ,6],
Dalde, ako je diferencijabilna funkcija f ( x ) monotono rastuća na nekom intervalu, onda je f ' ( x ) > 0 na tom intervalu. Znak jednakosti može važiti samo za pojedin e tačke posmatranog intervala.
Primer 1.21 Funkcija f(x) = x 3 je rastuća na celom skupu realnih brojeva, a f ( x ) = 3x2 > 0 za sve x 6 R osim za x = 0, gde je f ( 0) = 0.
1.5 Izvo d funkcije i njegove primene
29
Obrnuto, ako za diferencijabilnu funkciju f ( x ) na nekom intervalu [a, b1važi f ' { x ) = 0), /'(x) > 0 (osim možda u pojedinim tačlcama tog intervala gde je onda to znači da je izraz ^ uvek pozitivan, pa je funkcija f ( x ) rastuća. Na sličan način se može p osmatrati i monotono opadajuća fun kcija. Na osnovu ovih razmatranja dolazi se do sledećeg zaključka: Diferencijabilna funkcija f { x ) je monotono rastuća (opadajuća) na nekom intervalu, ako i samo alc° je f ' ( x ) > 0 (/ '( x ) < 0) na tom intervalu, pri čemu f ' ( x ) = 0 može važiti samo u pojedinim tačkama intervala.
Za funkciju f ( x ) kažemo da u tački x q ima loka lni m inim um ako dovoljno maloj okolini tačke x q važi f ( x ) > f ( x o). To znači da u toj okolini ulevo od tačke x q funkcija opada, a udesno raste. Ako je funkcija f (x) diferencijabilna u okolini tačke xo, onda. to znači da je u toj okolini ulevo od tačke x0 prvi izvod funkcije negativan, a udesno pozitivan, tj. u samoj tački x0 prvi izvod funkcije menja znak. Ako u samoj tački x q postoji prvi izvod, onda je f ' ( x o) = 0. Slično. za funkciju /(x) kažemo da u tački xo ima lokalni maksimum alco u dovoljno maloj okolin i tačke xo važi / (x ) < /(x o)- To znači da u toj okolini ulevo od tačke x0 funkcija raste. a udesno opada. Ako je funkcija /(x ) diferencijabilna u okolini tačke xo, onda to znači da je u toj okolini ulevo od tačke xo prvi izvod funkcije pozitivan, a udesno negativan. Ako u samoj tački Xo posto ji prv i izvod, onda je f { x 0) = 0. Na ovaj način je pokazano sledeće: Pot-reban uslov da diferencijabilna funkcija f ( x ) u nekoj tački xo ima ekstrem (lokalni minimiun ili maksimum) je da u toj tačla važi f ( x 0) = 0. Međutim, uslov f ( x o) = 0 nije i dovolja n uslov za postoja nje ekstrema u tački xo, tj. ako je f (x o) = 0, to još uvek ne znači da u tački x 0 funkcija f ( x ) ima ekstrem. Dovoljan uslov za pos tojanje ekstrema u tački xo je d a prvi izvod u tački xo menja znak. P rim er 1. 22 Funkcija f(x)
= x2 je diferencijabilna na celom skupu I I je r je
1 REA LNE FUNKCIJE REA LNE PRO ME NLJIVE
30
f ' ( x ) = 2x. Vidimo da je f ' { x ) = 0 za x = 0, f ( x ) < 0 za x < 0
i
f'(x)
> 0 za x > 0,
pa ova funkcija u tački x = 0 ima lokalni minimum. Međutim, za funkciju f{x) = |x| ne postoji izvod u tački x = 0 (videti Prime r 1.19), ali je
«*>={1: * ? 2 •
pa posmatrana funkcija u tački 2 = 0 ima lokalni minimum jer ulevo od tačk-e x = 0 opada. a udesno raste. U Pri meru 1.21 smo pokazali da za funkciju f { x ) = x3 važi f ' { 0) = 0, ali funkcija nema ekstrem u tački x = 0 je r je ona rastuća na celom skupu R . 1.5.7
Tayloro va form ula
Posmatrajmo funkciju f { x ) koja je neprekidna na intervalu [a, 6], diferencijabilna u svakoj tački unutar posmatranog intervala i za koju je f( b) = f ( a) . Kako neprelcidna funkcija na zatvorenom intervalu dostiže svoju najmanju i najvećii vrednost, to je ili f ( x ) = c na celom intervalu [o, 6], u kom slučaju je f ' ( x ) = 0 za sve x £ [o,6], ili postoji lokalni minimum ili maksimum date funkcije unutar posmatranog intervala. S obzirom da je f { x ) diferencijabilna funkcija na intervalu ( a,b ), u tački lokalnog minimuma ili maksimuma mora prvi izvo d biti jednak nuli. Ovim je dokazana R o lle o va te ore m a: Ako je funkcija f { x ) neprekidna na zatvorenom intervalu [a, 6] i ima izvod u otvorenom intervalu (o, b) i ako je f ( a ) = /(&), onda postoj i bar jedna tacka £ 6 (a, b) takva da je f' ( £) = 0. Posmatrajmo funkciju f ( x ) koja je n —1 puta diferencijabilna na intervalu [o,6] i koja u svakoj tački intervala {a,b) ima n-ti izvod. Neka je xo £ [tz, 6]. Pokušajmo funkciju f ( x ) prikazati u obliku
f ( x ) = Pn-i(x)
+ Rn(x),
gde je
Pn-i{x)
= a o+ o i(x— x o )+ 02(ar -xo) 2H
ban- i { x —xo)n~l ,
-----
ao, ...on_ i £ R
polinom stepena n — 1, a Rn(x) = M ( x —xo)n, M € R, pri čemu vrednost M zavisi od posmatranili tačaka x i xo. Kako želimo da posmatrana jednakost važi za svako x € [a, 6], to ona mora biti taćna i za x = xq, što nam daje
f ( x o) = P „- i(x 0) + Rn(x c) = Oo,
tj.
oo = f ( x o).
Diferen.ciran.jem posmatrane jednakosti dobijamo da je
/ '(* )= Pn-
i(x) + K( x) =
1.5 Izvođ funkcije i njegove primene
31
= ax 4- 2a2(x — x q ) H------h (n - l)a„_ i( x -
x0) n 2 + nM(x - x 0) n l .
I ova jednalcost mora biti tačna za x = x0, što daje ai = f ' ( x 0). Drugi izvo d posmatrane jednakosti je
f"(x )= P Z -i(*)+ K (x ) = = 202+ 603(1 —x0)-\
h(n —l) (n —2)an_ i ( x —x0)n~3+n (n —l )M (x —x0)n~2.
-----
Za x = x 0 dobijamo / "(x 0) = 2a2, tj. postupak n — 1 puta zaključujemo da je f ^ ( x o) = k( k — 1) ■■•2 • 1 • afc,
a2 = f - l2x°K Pona vljajući opisan
tj. ak = Č ^ ,
k=
0, 1,. . ., n - 1.
Dobijeni polinom
P n - 1(*
) = /(X0)
+
^
( X - X 0) + ^
(X - X 0) 2+ -••+
(X - ^ o )-1 ,
koji se kraće može zapisati u obliku
se naziva T a y io ro v p o lia o m funkcije f ( x ) u tački x0 stepena n - 1. Izraz Rn(x) = M ( x — x0)n se zove ostatak. Da bismo odredili M u izrazu za ostatak, posmatrajmo funkciju
F(x) = f(x
) - Pn-i( x) - Rn(x ),
gde je Pn-i(x)
Taylorov polinom funkcije f ( x ) . Tražili smo da jednakost f ( x ) = bude z adovoljena za sve x e [a, 6], što znači da je F(x) = 0 na celom interra.Iu [a, 6]. Tada i svi njeni izvodi moraju biti identićki jednaki nuli na celom intervalu [a, 6], Označimo izvod reda n —1 sa if(x). Vidimo da je P n -i ( x) +
Rn
(x )
V?(x) = F (n_1)(x) = / (" - «( x ) -
PtS^)
- R^H^)
tj.
tj.
M=Č-$±.
Dakle. ostatak kod posmatranog Ta yloro vog polinoma je
Rnfr) = :£~S^i (a: -® o )n> £ fc(x 0,x ).
32
1 REA LNE FUNKCIJE REALNE PROM ENLJIVE
Ista formula važi i za interval [x, Xo] s tim što je tada £ e (x, xo)U specijalnom slučaju kada je xo = 0 dobijamo M ac lau rin ov po lin om funkcije /(x) /( * ) = E1 ^
* * + * » (* )■
fe=0
Taylorov i Maclaurinov polinom služe za aproksimiranje funkcije / (x ) polinomom (n — l)- og stepena u okolini tačke x = xo, odnosno x = 0,
/(*)*
fc=0
pri čemu se učinjena greška meri ostatkom /žn(x).
Za funkciju /( x) = ex je
Primer 1.23
V&SIN' / ^ ( a O ^ e 1 t7. /W (0) = e° = l, tafco rfase za Maclaurinov polinom ove funkcije dobija
P n - i(aO = E &=o
= 1+3 + fH
+ ^ rij r ■
----
Afco, koristeć i ovu formulu. posmatranu funkciju aproksimiramo polino mom drugog stepena e^ al + i+ j učinjena greška je |i?3(x)| = -|rx3, |£| < x. = 1.105, pri čemu je učinjena Za x = 0.1 dobija se ea l « 1 + 0.1 + greška |J?3(0.1)| = f ■O.l3 < ■0.001 < 0.0005. Na sličan način kao u prethodnom primeru dolazi se do Maclaurinovik polinoma i za neke druge elementarne funkcije: sinx = TE ( - l ) fcIf ^ T , |i?2n(x)| = W | x | 2", ||t < x,
fc=0
n—1 COSX= E o( - l ) fe^(2 k)l I , > l*3»(*)l lu 2n W I =— K
i
+
^ ^
e
V
fc=l
n—1 (i + *)“ = 'E (2 )* *-
i
^
t
.
(2 n) !
I
I
|£|
! * » ( * ) ! = d JT+eP fc .
l^ (*)l = l (S | N "| i+ €la"".
I€l <*.
k= 0 pri čemu je ( “ ) = , Q e M. Ako u Taylorovo j formuli stavimo da je n = 1, imaćemo
f(b ) - f ( a ) = f'(£) (b - a) , £ e (a, 6). I
33
1.5 Izvod fimkc ije i njegove prim ene
Ova osobina je iskazana Lagrangeovom teoremom o srednjoj vrednosti: Ako je funkcija f ( x ) neprekidna u zatvorenom intervalu [a, 6] i ima izvod u otvorenom intervalu (a, b), onda postoji bar j edna tačka f € (a, b) takva da je
b —a
1.5.8
L ’H osp italovo pra vilo
Posmatrajmo dve funkcije tačke x q , imaju izvod za x ^ x0 vrednost
i g(x) koje su neprekidne u nekoj okolini i za koje je f ( x 0 ) = g(xci') = 0. Tada granična
f(x )
f(x )
lim •*» fl (* )
(
predstavlja neodređen izraz oblik Ako na funkcije Taylorovu formulu u tački x 0 sa n = 1, dobićemo da je lim M
=
+
lir n
*0 g(x)
=
f(x )
lim
g ( x o) + g ' (& )( x - x0 )
x-*o
gde su £l. £2 €(xQ,x) ili Ci, £2 £ (x, a-'o). Kada x pa možemo pisati
i
g(x)
m
)
primenimo
(
g ' ({2 ) ’
x0 onda i
—► x0 i £2-* x0,
l i m 4 4 = li m /,(3:) x 0 g(x )
x^ x0 g'(x)
Na ovaj n ačin smo dokazali L ’H o sp it alo vo pra vil o: Ako su funkcije i g(x) neprekidne u nekoj obolini tačkex 0 i imaju izvod za x ^ x 0 uz g'(x) za x t* x 0 i ako je lim f ( x ) = lim g(x) = 0, onda je X-^X
*Xq
f(x )
0
0
g(x)
g'(x)
’
pocl uslovom da poslednja granična vrednost postoji. Ako je lim f ( x ) = lim g(x) = 0, tada ćemo, uvođenjem smene x = 7, x —>±00
x— ioo
‘
imati t o Ufi.= x- *± x g(x )
u „ 4 |1 =
»0t— ±
g (i)
t-0±
/ '« ) ( - » ; = l l m
g ' ( I) (_
£ ) t - 0±
( gi ')
lim
*- . ±ao
g'(x)
Dakle, L ’Hospitalovo pravilo važi i kad nezavisno promenljiva teži beskonačnosti, pod uslovom da navedene pretpostavke o funkcijama f ( x ) i g(x) važe za dovoljno velike pozitivne (ili negat ivne) vrednosti nezavisno promenljive x. Ako umesto uslova lim f ( x ) = lim g(x) = 0 važi da je X-*X0 X—*XQ lim ® —+ X q
f(x )= —*X
g(x) —
lim X
±00 ,
q
|
1 REALN E FUNKC IJE REA LNE PROM ENLJIVE
34
onda je lim -4-4 = lim ^ r- < P « čemu, sada, i brojilac i imenilac teže nuli z-xo *-*o ^Lkad x -* x q , pa možemo primeniti L ’Hospitalovo pravilo. Dobićemo m ■»
--
—r~ —
*-*=0 g{x)
lim x-xo
Z 2 ;------H £—- ±- —l. irIl i mt o/“ W ' ij \X-*XQ g(x) J
f(x)
* lim
9'(x) j't/ \ • j (x)
f ( x)
lim ,, ' , tj. vidimo da i u Iz ove jednakosti nalazimo da je lim *zo g(x ) x-*xa g' (x ) ’ ovom slučaju važi L ’Hospitalovo pravilo . L ’Hospitalovo pravilo se može primenjivati i više put a uzastopno uz proveru navedenib. uslova u svakom lcoraku. Primer 1.24
Da bismo izračunalilim
£— *+00 , e koji predstavlja neodređen izraz
oblika" H ” . moramo L ’Hospitalovo pravilo prim en iti n puta (onoliko pu ta koliki je stepen proraenljive x ). U svakom koraku stepen promenljive x će se sniziti za 1, ali ćemo i dalje, sve do poslednjeg koraka, imati izraz oblika ” f§" .
x —f+oo
1.5.9
ex
= lim
x—*+oc
x —*+oo
n(n —l)!rn
= ... =
lim —^ = 0 . x—!-+oce
Pr ev oj na tač ka
Posmatrajmo funkciju f ( x ) koja je diferencijabilna na intervalu [a, b] i lcoja ima drugi izvod u svalcoj tački intervala (a, b).
Ako se u svim tačkama intei-vala kriva y = f ( x ) nalazi iznad tangen te postavljene u posmatranoj tački, onda kažemo da je funkcija f ( x ) konveksna nad ole na intervalu (a,b). Ako se kriva nalazi ispod tangente, funkcija je ko nv ek sn a nagore. Jednačina tangente na krivu y = f ( x ) u proizvoljnoj tački x0 e (a, b) glasi Vt
- f ( x o) = /'( *o) (a; - x0),
1.5 Izvod funkcije i njegove primene
35
pri čemu su sa yr označene orđinate tačaka koje se nalaze na tangenti. Primenimo na datu funkciju Taylorovu formulu u tačlci xo sa n = 2:
f ( x ) = f { x 0) + f ( x 0) ( x - x 0) + Q p -(x - x0) 2, gde je £ e (*oi x) ili £ € (*,xo), pri čemu x G (a, b). Vidimo da je
f(x) - y r =
- a:0)2,
pa je znak ove razlike jednak znaku drugog izvoda u tački £. Ovim je dokazano sledeće tvrđenje: Purikcija f ( x ) je konveksna nađole na intervalu (a, b) ako i sanio ako je f ' ( x ) > 0 za sve 1 6 (a, b), a konveksna nagore, ako i samo ako je f " ( x ) < 0 za sve x e ( a,b), pri čemu znalc jednakosti može TOŽiti samo u pojedinim tačkama intervala. Tačka u kojoj funkcija prelazi iz jednog oblika konveksnosti u drugi zove se pr ev ojn a tač ka fun kcije. Ako je tačka x0 prevojna tačka funkcije i ako postoji drugi izvod funkci je u ovoj tački, onda je / " ( x0) = 0. Dakle, potreban uslov da dva puta diferencijabilna funkcija ima prevoj u nekoj tački je da drugi izvod posmatrane funlccije u toj tački bude jednak nuli. Međutim ovaj uslov nije i dovoljan, tj. ako je f " ( x 0) = 0, to još uvek ne znači da funkcija / ( x) u tački x = x0 ima prevoj. Dovoljan uslov za postojanje prevojne taćke je da drugi izvod u posmatranoj tački menja znak. Primer 1.25 Za funkciju f ( x ) = x :i je f " ( x ) = 6:c. odakle vidimo da je ona konveksna nagore za x < 0. a konveksna nadole za x > 0. Tačka x = 0 je prevojna tačka date funkcije i važi f " ( 0) = 0. Međutim, za funk ciju f ( x ) = x4 je f " ( x ) = 12x2 pa je. i za nju f " ( 0) = 0.. ali ovde x = 0 nije prevojna tačka jer je funkcija konveksna nadole na celom domenu I I. < x < 1 Za f(x ) = |lnx| = je f " ( x ) Ina-, x > 1 X > .1 što pokazuje da, iako/ " (1) ne postoji, drugi izvod funkcije u tački x = 1 menja znak, pa tačka x= 1 jeste prevojna tačka za posmatranu funkciju.
1.5.10
Ispit ivan je funkcija
Granične vrednosti i izvodi omogućuju detaljno ispitivanje funkcija i crtanje njihovih grafika-. Prilikom ispitivanja funkcije potrebno je odrediti 1. domen funkcije, 2. ponašanje funkcije na krajevima intervala definisanosti, tj. vertilcalne, horizontalne i kose asimptote, 3. nule funkcije, 4. ekstremne vrednosti i intervale monotonosti (analizom prvo
1 REALN E FUNKC IJ E REALN E PRO ME NLJIVE'
36
5. prevojne tačke i intervale konveksnosti (analizom drugog izvoda). Ako u domenu postoje tačke u kojima funkcija nije diferencijabilna, preporučljivo je da se u tim tačkan#i odrede levi i desni izvo d (ako postoje), radi preciznijeg crtanja grafika funkcije. Grafici nekih funkcija su simetrični u ođnosu na y- osu ili koordinatni početak, ili se sastoje niza identičnih delova. U takvim slučajevima je moguće ispitivanje funkcijeizograničiti samo na deo domena. Simetričnost funkćije u odnošu nay-osu znači da z a suprotne vrednosti nezavisno promenljive funkcija ima istu vrednost, tj. da je Vx e D , f ( -x ) = f(x) . Ovu osobinu nazivamo parnost funkcije. Na primer, funkcija f ( x ) = coax je parna jer je cos(—x) = cosx za svaki realan broj x. Simetričnost funkcije u odnosu na koordinatni početak znači da za suprotne vrednosti nezavisno promenljive funkcija ima suprotne vrednosti, tj. da je Vx 6 D , f ( - x ) = -f(x). Ovu osobinu nazivamo neparnost funkcije. Na primer, f ( x ) = sinx je neparna funkcija jer je sin (- x ) = —sinx za svaki realan broj x. Kod parnih i neparnih funkcija dovoljno je ispitati ponašanje funkcije nad delom domena koji pripada skupu nenegativnih realnih brojeva. Ako se vrednosti funkcije periodično ponavljaju, tj. ako je Vx € D ,
f.(x + w ) = f ( x ) ,
gde je w ^ 0 neki fiksni realau broj, onda kažemo da je funkcija periodična. Najmanji broj u>. za koji važi prethodna jednakost se naziva osnovni period. U ovom slučaju je dovoljno ispitati ponašanje funkcije nad bilo kojim delom domena dužine w. Na primer, funkcija f ( x ) = sin x je periodična sa osnovnim periodom w = 2ir jer je sin( x + 2-ir)= sinx i oj = 2ir predstavlja najmanji broj koji zadovoljava jednakost sin(x + u.’) = sinx za sve x € R.
Primer 1.26
Ispitajmo funkciju f(x) =
e_ I (2 - x2) i nacrtajmo njen grafik.
1. D = R je r su eksponencijalna funkcija i polinom definisani Vx 6 R . 2. Funkcija nema vertik'alnih asimptota je r je definisana Vx € R . v 2 — x2 hm --------= x—h-oo ex
—2x -2 hm --------- hm — = 0, ex —f+oo * ex
x— *+cq
pa funkcija ima horizontalnu asimptotu y = 0 kad x —* +oo. Um e- x (2 — x2) = —oo i X—♦—oo
T
1.5 Izvod funkcije i njegove prime ne
=k lim
x —*—00
x
=
37
lim
x —*•—00
ex ( - - x\ = \x
J
+ 00,
pa funkcija ntma ni horizontalnu, ni kosu asimptotu kad x —> —00. 3. Kako je eksponencijalna funk cija uvek pozitivna, iz f ( x ) = 0 sledi da je 2 — x 2 = 0 pa su xi = —V 2 i x 2 = v/2 jedine nule date funkcije. 4- Prv i izvod date funk cije je f ' ( x ) = - e ~ x(2 - x 2) + e~x( —2x) = e~x (x2 - 2 x - 2). Nule pruog izvoda su reienja kvadratne jednačine x 2 — 2x — 2 = 0, tj. x i = 1 — \/3 i *2 = 1 + \/3. Z a x S ( —oo, 1 —-v/3) je f ' ( x ) > 0, pa funkcija raste, za x € (1 — i/3, 1 + t/S) je f ( x ) < 0. pa funkcija opada. a za x £ (1 + \/3, + 00) je f ( x ) > 0. pa funkcija raste. Za x = 1 — -s/3funkcija -ima maksimum /(I — v/3) = 2ev^ -1 (\/3 — 1), a :a 1 = 1+ V3 funkcija ima minimum f ( 1 + \/3) = —2e-v/^-1 (\/3 + 1). 5. Drugi izvod date funkcije je
f " ( x ) = - e ~ x (x2 - 2x - 2 ) + e~x(2x - 2) = e~x( - x 2 + 4r). Nule drugog izvoda su rešenja kvadratne jednačine —x 2+ i x = 0, tj. xi = 0 i x 2=4. Z a x 6 (—co,0) je f " ( x ) < 0, pa je funkcija konveksna nagore. za x 6 (0,4) je f " ( x ) > 0, paje funkcija konveksna nadole, a za x€ (4, + o c) je f " ( x ) < 0, pa je funkcija konveksna nagore. Za x = 0 i x = 4 funkcija ima prevojne tačke, za koje je f ( 0) = 2 i /(4) = —14e-4 .
1 REALN E FUNKCIJE REA LNE PRO ME NLJIVE
40
Primer 1.28 Odrediti ostatak pr i deljenju polinoma P ( x ) = x3 — 1 sa x + 1. R = P (- 1) = ( - l )3 - 1 = - 2 Ako ostatak odredimo primenom Homerove šeme, odmah ćemo dobiti i koeficijente količnika S ( x) = x2 —x + 1.
1.6.3
N u le i fafctorizacija polin om a
Nula (ili fcoren) polinoma Pn(x ) je (kompleksan) broj a'o za koji je Pn(xo) = 0. Osnovni stav algebre glasi: Svaki polinom stepena n, n > 1, ima bar jednu nulu (rednu ili kompleksnu). Na osnovu Bezoutovog stava sledi tvrđenje: Ako je xq nula polinoma Pn(x) onda je Pn(x) deljiv sa x —x0. Naime, u ovom slučaju je R = Pn(cso) = 0. Dakle, ako je x = x 0 nula polinoma Pn(x) onda je moguće Pn(x) prikazati u obliku Pn (x ) = ( x - 2r0 ) • S(x). Nalazeći sukcesivno nule za svaki dobijeni količnik i primenjujući prethodni zapis u svakom koraku dolazimo do fak to riz ac ije p oli no m a nad skupom €
Pn(x) =
(x - x0y° ■■■(x ~ Xk)tk,
io +
i-ik=n.
----
Ako je ij = m ^ 1 onda broj xj predstavlja višes tru ku nulu po hnoma Pn(x) reda m. Pr i tome je Pn(x) = (x xj)ms(x). Diferenciranjem ove jednakosti dobijamo da je
P'n{x) = m(x - Z j) "1-1^ * ) + (x - X j) mS'( x) = ( x - T j)”1- 1^ !^ ), gde je S\(x) = mS(x) + (x — xj)8'(x) polinom istog stepena kao i S(x ). Na ovaj naćin je polcazano da ako broj x = Xj predstavlja nulu reda m za Pn(x), onda on predstavlja nulu reda m — 1 za Pn(x). Posledica ove činjenice je da za broj x = Xj koji predstavlja nulu reda m mora važiti
PP(xj)
= 0,
r = 0, 1,.. .. m - 1 i
Pim)(xj)
# 0.
Na osnovu faktorizacije pohnoma zaključujemo da svaJd polinom stepena n ima tačno n nula (realnih ili kompleksnih) uraćunajući i njihovu višestrulcost.
Primer 1.29 Odrediti nule polinoma P ( x ) = 2x3—4x2+2x iQ(x) = i 2—2x+2. Za polinom P(x) = 2x3 — 4x2 + 2x broj x\ = 0 predstavlja jednostruku, a broj X2 = 1 dvostruku nulu, s obzirom da je P ( x ) = 2x(x — l) 2. Polinom Q(x) ima dve kompleksne nule £1,2 = 1 ± i, pa faktorizacija ovog polinoma nad C predstavlja Q ( x) = (x — 1 i— )(x — 1 + i).
1.6 Po lin om i i racionalne funkcije
41
Prethodni primer pokazuje da ako kompleksan broj zq predstavlja nulu reahiog polinoma Pn(x), onda i io predstavlja njegovu nulu, tj. kompleksne pule se javljaju uvek u paru konjugovano kompleksnih vrednosti. Dokaz ove osobine potiče iz činjenice da je P(zo) = P ( zq ) == P ( zq ). Proizvo d faktora ( x —zq ) ( x —£q ) predst avlja prost kvadratni trinom. Naime;
(x —a —ib) (x —a + ib) = (x —a)2 — (ib)2 = x2 — 2ax + a2 + b2 = A x2+ Bx + C, pri čemu je A = 1, B = -2a, C = a2+b2 i D = B 2—4A C = -462 < 0. Polazeći od faktorizacije nad skup om C dolazimo do faktorizacije nad skupom I I kod koje se polinom predstavlja u obliku proizvoda linearuih i prostih kvadratnih faktora. Ako polinom Pn (x ) ima celobrojne koeficijente, onda njegove racionalne nule x = | (also ih ima) možemo odrediti iz činjenice da p deli a„. a q deli oq. Naime, množenjem jednakosti a0^- + ai^p rr + • + O n - if + “ n = 0 sa qn-1 dobijamo a0^- + axj>n_1 -I------1- a„gn-1 = 0. Očigledno je da su svi sabirci koji se dodaju prvom sabirku ceh broj evi. To znači da i prvi sabirak mora biti ceo broj. S obzirom da su p i q uzajamno prosti brojevi zaključujemo da mora važiti q \a0. NaI o,n. isti način, množenjem polazne jednakosti sa P
1.6.4
dobijamo da mora važiti
Racio naln e funkcije
Raeionalna funkcija je količnik dva pohnoma. Ukohko je stepen polinoma u brojiocu manji od stepena polinoma u imeniocu, reč je o pravoj racionalnoj fu nkc iji. Ako je stepen polinoma u brojiocu veći ih jednak stepenu polinoma u imeniocu reč je o n ep ra voj ra ci on al n oj fun kc iji. Svaka neprava ra.cionalna funkcija se može delenjem predstaviti u obliku zbira polinoma i prave racionalne funkcije. Prava racionalna funkcija se, dalje, može predstaviti u obliku zbira parcijalnih razlomaka. Parcijalni razlomci odgovaraju prostim falctorima imenioca racionalne funkcije i oni imaju oblik
A (x — a)k
.
Ax + B (x2 + p x + q)k
, za p ' —4
gde su A, B, a. p i q realni brojevi, a k je prirodan broj k oji uzima vre dnosti od 1 pa do vrednosti eksponenta posmatranog prostog faktora. To znači da svakom faktoru imenioca racionalne funkcije odgovara onohko parcijalnih razlomaka lcoliki je njegov stepen. ReaLni brojevi u brojiocu posmatranih parcijalnih razlomaka određuju se svođenjem zbira parcijalnih razlomaka na zajed nički imenilac i izjednačavanjem koeficijenata uz odgova rajuće stepene promenljive x.
2 SISTEMILI NEA RNIH JED NAČI NA IMATRJCE
42
2
Sistemi linearnih jed nač ina i matrice
2.1
Sistemi linearnih jed nač ina
2.1.1
Jednač ina i njeno rešenje
Jeđnakost u kojoj figuriše jedna ili više nepoznatih veličina naziva se je dnačina. St ep en je dn ač in e je određen naj višim stepenom nepoznatih u dat oj jednačini.
Izraz 3x2 —9x + 6 = 0 predstavlja kvadratnu jednačinu (jednačinu drugog stepena) sa jednom nepoznatom. izraz x — xy 2 = 1 predstavlja kubnu jednačinu (jednačinu trećeg stepena) sa dve nepoznate, dok —3x + 2y + z = 4 predstavlja lineamu jednačinu (jednačinu pruog stepena) sa tri nepoznate. Primer 2.1
Reš enje jedna čine s a n nepoznatih je uređena 72-torka brojeva koja zadovoljava datu jednačinu: Ako elemente ove n-torke zamenimo redom umesto nepoznatih, posmatrana jednačina će preći u brojnu jednakost. Primer 2.2
Upretho dnom primeru. posmatrali smo jednač inu sa jednom nepoz-
natom 3x2 —9x + 6 = 0 pa je njeno rešenje broj. Postoje dva broja koja zadovoljavaju datu jednačinu, što znači da ona ima dva rešenja. Jedno rešenje je broj 1, a drugo broj 2, je r je 3 -i2 —9-l + 6 = 0
i
3-22 —9-2 + 6 = 0 .
U istom primeru posmatrali smo i jednačinu sa tri nepoznate -3a- + 2y + z = 4
pa je njeno rešenje uređena trojka brojeva. Na primer. jedno rešenje date jednačine je uređena trojka (—1,0,1), je r je —3 • ( —1) + 2 ■0 + 1 = 4 Posmatrana jednačina, ustvari, im a bezbroj rešenja je r svaka uređena trojka (a,0,4 + 3a — 20), gde su a i 0 proizvoljni realni brojevi, zadovoljava datu jednačinu:. —3a + 20 + 4 + 3a — 20 = 4 . 2.1.2
Sistem jednačina i
njegovo r ešenje
Skup od dve ili više jednačina sa dve ili više nepoznatih. naziva se sistem jednač in a. Sistem linearnih jednačina sa n nepoznatih se sastoji od dve ili više jednačina oblika diXx + a^xi + ■••+ anXn — b , gde su Oj, i = 1,2, ..., n i b realni brojevi. Bro jev i o, (k oji stoje uz nepoznate xi,X 2 , ■• ■, x n) nazivaju se koeficijenti sistema, a brojevi koji stoje sa desne strane jednakosti (uz koje se ne nalazi ni jedna nepoznata) se uazivaju sl ob od ni članovi.
2.1 Sistezai linearnih jednačina
43
Primer 2.3
y2
X2
+
2x
— 3y
=
9
= 0
predstavlja sistem od jedne kvadratne i jedne lineame jednačine sa dve nepoznate, dok 2x —
3a;
+
2 3y + 5s = 2y — 4z = 3
predstavlja sistem dve lineame jednačine sa tri nepoznate. R eš en je s istem a line arn ih jed na čin a sa n n ep oz na tih j e svalca uieđena ra-torka brojeva koja zadovoljava sve jednačine sistema. Primer 2.4
Posmatrajmo sistem tri lineame jednačine sa dve nepoznate x x 2x
+ 2y = 3 — y — 0 + y = 3 .
V
Njegovo jedino rešenjeje uređenpar ( 1, 1). Ako bi. n ap rim er, u trećoj jednačini slobodan član bio promenjen, tj. X X 2x
ako posmatramo sistem + 2y = 3 — V = 0 + V = 4
vidimo da njegovo rešenje ne postoji pošto jedini uređen par ( 1, 1) koji zadovoljava prue dve jednačine sistema, ne zadovoljava i treću jednačinu. U praksi se najčešće javljaju sistemi linearnih jednačina kod kojih je broj nepoznatih jedna.k broju jednaćina. To su takozvani kvadra tn i sis temi. Pr im er 2. 5 Posmatrajmo kvadratni sistem tri lineame jednačine sa tri nepo-
znate
x x 2x
+ 2y +
+
y y+
3z =
3 = 0 3s = 3 •
Ovaj sistem ima bezbroj rešenja pošto svaka uređena trojka( a , a, 1 —a ), gde je a proizvoljan realan broj, zadovoljava sve tri jednačine. 2.1.3
P rir o d a sitem a Lme arnih jednačin a
Na osnovu Primera 2.4 i 2.5 vidimo da su kod sistema linearnih jednačina moguća sledeća tri slučaja: 1.
Sistem tnože imati sa mo je d n o re še nje , tj. postoj i samo jedna uređena n-torka koja zadovoljava sve j ednačine sistema ( prvi sistem u Primeru 2.4). Za takav sistem kažemo da je od re đen.
2
44
SI STEMILI NEARNIH JEDNA
ČI NA IM A TR ICE
2. Sistem može imati b ezb roj reš enja , tj. postoji bezbroj ur eđenih n-torki koje zađovoljavaju sve jednačine sistema (sistem u Primeru 2.5). Za takav sistem kažemo da je ne od ređ en . 3. Moguće je da sistem nem a rešen ja, tj. da ne postoji nijedna uređena n-torka koja zadovoljava sve jednačine sistema (drugi sistem u Primeru 2.4). Za takav sistem kažemo da je n em og uć , odnosno kont ra dik to ra n (protivrečan). U prva dva slučaja, tj. kada sistem ima rešenje (bez obzira da li postoji jedinstveno rešenje ili ih ima više), kažemo da je sistem saglasan. O postupcima za određivanje rešenja sistema, kao i ispitivanja prirode s tema, biće reči kasnije. 2.1.4
H om ogen sis tem jednači na
Sistem jednačina kod koga su svi slobodni članovi jednaki nuli naziva se hom ogen sis tem. Homogen sistem je uvek saglasan pošto uređena n-torka čiji su svi elementi jednaki nuli zadovoljava sve jednačine homogenog sistema. Ovo rešenje (kod kogasve nepoznate imaju vrednost nula) liazivamo tr iv ija ln o re šen je. Ako homogen sistem ima i neko drugo rešenje osim trivijalnog, tj. rešenje kod koga nisu sve nepoznate je'đnake nuli, onda kažemo da postoje i netrivijalna rešenja. Prim er 2. 6 Sistem
x x 2x
+ 2y + Zz = 0 —y = .0 + y + 3^ = 0
pored trivijalnog resenja (0,0,0) ima i netrivijalno rešenje ( a , a, —a), gde je a proizvoljan realan broj različit od nule. 2.1.5
Ek vivalentn i sistemi jednačina
Jedan od najčešće korišćenih metoda za rešavanje sistema linearnih jednačina je Gaussov algoritam. On se zasniva na konstruisanju ekvivalentnih sistema jednačina. Ekvivalentni si st em i je dn ači n a su oni sistemi čiji skupovi rešenja su isti, tj. kod kojih svako rešenje jednog sistema ujedno predstavlja i rešenje drugog i obrnuto. Prim er 2. 7 Sistemi
x 2x
+ y= 0 —y = 3
.
x
1
—
x
+
y = 2y =
2 —1
2.1
Sistemi linestrnih jednačina
45
su ekvivalentni pošto uređen par (1, —1) predstavlja jedino rešenje oba sistema. Sistemi x + y = 0 . x — y = 2 2x - y = 3 1 2x - 2y = 4 nisu ekvivalentni jer, iako jedino rešenje prvog sistema (1, —1) ujedno predstavlja i rešenje drugog sistema, sva rešenja drugog sistema (a to su uređeni parovi (a,a — 2), a fc R j ne zadovoljavaju jednačine prvog sistema (os im za a = 1). Ekvivalentni sistemi se dobijaju pr imenom e kv iva ien tn ih tran sform acija.. Postoje t ri v rste elcvivalentnih tiansformacija: 1. zamena mesta dveju jednačina u sistemu, 2. množenje neke jednaćine biojem različitim od nuie, 3. dodavanje jedne jednačine, piethodno pomnožene nekim brojem, nekoj drugoj jednačini u sistemu. Očigledno je da će svako rešenje polaznog sistema predstavljati i lešenje sist.ema koji se dobije nakon piimene ekvivalentnih transformacija i obrnuto.
2.1.6
Gau ssov a dgori tam i diskusija pr irod e sistema
Gaussov algoritam se sastoji u tome da se prvo, zamenom mesta jednačina, na prvo mesto u sistemu dovede jednačina u kojoj je koeficijent uz prvu nepoznatu (koju najčešće označavamo sa x ) različit od nule. Zatim se svim ostalim jednačinama u sistemu dodaje ova prva jednačina pomnožena određemm brojem lcoji. je talco' odabran da, nakon sabiianja, koeficijent uz pivu nepoznatu bude jednak nuli. Time se dobija ekvivalentan sistem u kome samo u pivo j jednačini figuriše nepoznata x. U sledećem koiaku se opisaui postupak ponavlja u podsistemu koji čine sve dobijene ekvivalentne jednačine, tj. jednačine u kojima više nema piom enljive x. Piilikom piimene Gaussovog algoritma mogu se desiti dve stvaii: 1. Eliminacijom jedne nepoznate iz neke od jednačina dobija se da su i koeficijenti uz ostale nepoznate u ekvivalentnoj jednačini jednaki nuli, dok slobodan član u ovoj jednačini nije nula. Tada je algoritam zavišen pošto je dobijena jednačina lcoja nema rešenja. U ovom slučaju posmatrani sistem je kontrad ikt oran. 2. Eliminacijom jedne nepoznate iz neke od jednačina dobija se da su i koeficijenti uz ostale nepoznate, kao i slobodan član, u ekvivalentnoj jednačini jednaki nuli, tj. dobije se jednačina- oblika 0 = 0. Ovakve jednačine se u daljem radu jednostavno zajiemaruju (pošto su očigledno zadovoljene za svako rešenje preostalih jednačina).
46
2 SISTEMILI NEAR NIH JEDN AČI NA IM AT RIC E
Ako sistem nije kontradiktoran, na ovaj način, primenom Gaussovog algoritma, na kraju ćemo dobiti ekvivalentan sistem u kome se javlja jedan od sledeća dva slučaja: a) U poslednjoj jednačini figuriše samo jedna nepoznata, a u svakoj prethodnoj po jedna nepoznata više. Sistem ovakvog oblika nazivamo trougaoni sistem i u njemu je broj jednačina jednak broju nepoznatih. U ovom slučaju, iz poslednje jednačine izračunavamo nepoznatu koja u njoj figuriše pa dobijenu vrednost uvrštavamo u prethodnu jednačinu, nalazimo rešenje ove jednačine, uvrštavamo oba rešenja u prethodnu jednačinu itd., sve dok ne dođemo do prve jednačine i nađemo i njeno rešenje. Uređena ntorka koja je na ovaj način dobijena predstavlja jedinstveno rešenje datog sistema, što znači da je sistemodređen. b) Sistem nema trougaoni oblik, već je broj jednačina manji od broja nepoznatih, tako da u poslednjoj jednačini figuriše više nepoznatih. Jednu od njih izražavamo preko preostalih nepoznatih koje proizvoljno biramo. Proizvoljno izabrane nepoznate zovemo slobodne promenljive. Nepoznatu koju smo izrazili prelco slobodnih promenljivih uvrštavamo u prethodnu jednačinu, a zatim iz nje izražavamo sledeću nepoznatu preko istih slobodnih promenljivih itd., sve dolc, na ovaj način, ne rešimo i prvu jednačinu. Ovakav sistem je neodređen, a broj slobodnih promenljivih predstavlja stepen neodređenosti sistem a.
Primer 2.8 Posmatrajmo prvi sistem iz Primera 2-4 x + 2y = 3 x — y = 0 2x + y = 3 . Pomn ožimo prvu jednačinu sa —1 i dodajmo je drugoj jednačim, a zatim pomnožimo prvu jednačinu sa —2 i dodajmo je treć oj jednačini. Dob ijamo ekvivalentan sistem x + 2y = 3 - 3y - 3y
= =
-3 -3 .
U drugom koraku množimo drugu jednačinu sa - 1 j dodajemo trećoj, pri čemu ona prelazi u identitet 0 = 0 koji zanemarujemo. Tako smo dobili sistem od dve jednačine x + 2y = 3 - 3y = -3 . Dobijen i sistem je trougaonog oblika. Iz poslednje jednačine izračunavamo da je y = 1 i uvrštavamo u prvu jednačinu, odakle dobijamo x = 1. Ovako dobijen uređen par (1,1) je jedino rešenje polaznog sistema, što znači da je sistern određen.
2.1 Sistemi liaea mih jednačin a Primer 2.9
47
Posmatrajmo drugi sistem iz Primera 2-4 X X 2x
+ +
=
2y
3 0 4
y = V =
Posle prvog koraka, kojije isti kao u prethodnom prim eru, dobijamo ekvivalentan sistem x + 2y = 3 -
3y
=
-3
3y = - 2 a u drugom koraku, oduzimanjem druge jednačine od treće, dobijamo netačnu jednakost 0 = 1, što znači da je sistem kontradiktoran. ( Ovo se vidi već posle prvog koraka pošto ne postoji realan broj koji pomnožen sa —3 u isto vreme ima vrednost —3 i —2.) -
Primer 2.10
Posmatrajmo sistem iz Primera 2.5 x
+
2y +
3z
=
x 2x
—
y y +
3z
= 0 = 3
+
3
Množenjem prve jednačine sa —1 i dodavanjem drugoj, a zatim množenjem prve jednačine sa —2 i dodavanjem trećoj, dobijamo ekvivalentan sistem x
2y + Zy 3y-
+
-
3s
=
3z
3
=
3z =
-3 -3
. ■
Vidimo da treću jednačinu možemo odbaciti jer bi množenjem druge jednačine sa —1 i dodavanjem trećoj jednačini dobili identitet 0 = 0. Dakle, ostaje nam sistem od dve jednačine sa tri nepoznate. Ovaj sistem nema trougaoni oblik. On je jednostruko neodređen pošto jednu nepoznatu možemo proizvoljnc izabrati. Neka to bude nepoznata z. Iz druge jednačine izračunauamo y= 1 —z. Uvrštavanjem ove vrednosti u prvu jednačinu dobijamo x + 2(1 — z) + 3z = 3,
tj.
x = 1 —z .
Dakle, rešenje datog sistema je svaka uređena trojka(1 —z, 1 — z, z), gde je z bilo koji realan broj. Primetimo još da sistem u kome je broj nepozaatih veći od broja jednačina ne mora biti neodređen. On može biti i kontradiktoran. Primer 2.11
Sistem x
+
2y
+
3z
=
3
x
+
2y
+
3z
=
0
2 SISTEM ILI NEA RNIH JEDN AČI NA IM A TR ICE
48
se sastoji od dve jednačine sa tri nepoznate. Ovaj sistem je kontradiktoran pošto ne postoji ni jedna trojka brojeva ( x , y ,z ) za koju izraz x + 2y + 3z istovremeno ima vrednost 3 i 0. Primenom Gaussovog algoritma, oduzimanjem prue jednačine od druge, dobili bismo ekvivalentan sistem x + 2y
+
3z = 0
=
3 -3
.
Sistem u kome je broj nepoznatih veći od broja jednačina jedino nikada ne može b iti određen. Sto se tiče sistema kod kojih je broj jednačina veći ili jednak broju nepoznatih, oni mogu biti i određeni i neođređeni i kontradiktorni.
2.2
M at ric e i determinante
Da bi se ođređila priroda sistema linearnih jednačina, lcao i da bi se izračunalo njegovo rešenje (ukoliko postoji), dovoljno je poznavati koeficijente sistema i slobodne članove. Posmatranje ovih veličina zapisanih u obliku pravougaone šeme zahteva uvođenje dva nova pojma - pojm a matrice i po jma determinante.
2.2.1 D efinicija m atrice i osnovni po jm ov i M a tric a je pravougaona šema brojeva. Ove brojeve nazivamo el em en ti matrice, horizontalne redove u matrici zovemo vrste, a vertikalni redovi se zovu kolo ne . Broj vrsta i kolona određiije for m at m at ric e: Za matricu koja ima m vrsta i n kolona kažemo da je formata m x n. Ako element i-te vrste i j-te kolone označimo sa onda ćemo matricu A koju čine element.i cijj, i = 1,... , m, j = 1 ,. .. , n označiti sa
A =
«n
0,12
aij
0,21
<222
^2 j
&il
&i2 0,m2
ti'ln
0>mn
ili kraće A = {a^}, i = 1 ,..., m, j = 1,..., n , odnosno A = {oy } mx„. Matrica čiji svi elementi su jednaki nuli zove se nula-matrica i za nju se koristi oznaka 0. M a tr ica kolona je matrica formata m x 1, m € JN, tj. matrica koja ima samo jednu kolonu, dok matrica vrsta ima samo jednu vrstu, odnosno predstavlja matricu formata 1 x n, n 6 N,
2.2 Matric e i determinahte
49
Svakom sistemu linearnih jenačina odgovara matrica sistema koju čine lcoeficijenti sistema. Ako se radi o sistemu m jednačina sa n nepoznatih, matrica sistema je formata m x n. Slobodnim članovima sistema odgovara ma trica kolona slobodnih članova, a nepoznatima odgovara matrica kolona nepoznatih. Primer 2.12
Posmatrajmo sistem iz Primera 2.8 x x 2x
+ 2y —y + y
= = =
3 0 3.
Matrica sistema A je formata 3x2 , matrica kolona slobodnih članova B je formata 3 x 1, a matrica kolona nepoznatih je formata 2x1 i one glase ' 1 2 ' 1 -1 , 2 1
B =
‘ 3 ' 0 3
r
,
x =
X
. v .
Matricu lcod koje je broj vrsta j ednak broju kol ona zovemo kv adra tn a matrica. Ona se javlj a kao matrica sistema kod koga je broj jeđnačina jednalc broju nepoznatih, tj. kod kvadratnih sistema. Kod lcvadratne matrice. elementi koji se nalaze na dijagonali koja spaja levi gomji ugao sa desniin donjim čine glavnu dijagonalu, dok sporednu dijagonalu čine elementi koji se nalaze na đijagonali koja spaja desni gornji ugao matrice sa levim donjim uglom. Pr im er 2.13 Posmatrajmo sistem iz Primera 2.6
x x 2x
+ — +
2
y + Sz y y + 3z
=
0
= 0 = 0
.
Matrica sistema. matrica kolona slobodnih članova i matrica kolona nepoznatih sv '1 2 3 " '0■ X 1-10 21 3
,
o= 0
0
,
x =
V z
Matrica sistema je kvadratna matrica form ata 3x3. Glavnu dijagonalu čine elementi 1, —1, 3.a sporednu3, —1,2. S obzirom d aje posmatrani sistem hom ogen, matrica kolona slobodnih članova je nula matrica. Kvadratna matrica kod koje su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki 1, a svi elementi van glavne dijago nale jednaki 0, zove se je din ič n a m atr ic a i za nju se upotrebljava oznaka E ili I.
■2 SISTEMILI
50 2.2.2
NEA RNM JED NA ČI NA I M ATR ICE
Osnovne op eracije sa matricama
Osnovne operacije sa matricama su: sabiranje matrica, množenje matrice reaJnim brojem i množenje matrica. Pr e nego što definišemo ove operacije moramo uvesti pojam jednakosti matrica. Dve m at ric e su jed nak e ako imaju isti format i ako su im odgovarajući elementi jednaki. Sabiranje matrica Mogu samo matrice istog formata. dve matrice formata m xsen,sabirati dobija se matrića istog formata m xSabiranjem n čiji elementi su jednaki zbiru odgovarajućih elemenata matrica koje se sabiraju. Dakle, ako imamo dve matrice A = { a^ } i B = {bij}, i = 1. ... , m, j = 1 ,... ,n. o nda je A + B = C, gde je
C = { Cij } ,Cij = a.ij + bij ,
i = 1,.. ., m,
j = 1,..., n .
Množenje matrice realnim brojem Matrica se množi realnim brojem tako što se svaki element matrice pomnoži datim brojem. Dakle, ako je A = {a^}, i = 1,. .. ,m , j = i a € R, onda je 0:^4 = C, gde je
C = {cij} ,
d j = acnj, i = l,
j = 1,... , n .
Množenjem matrice A brojem —1 dobija se suprotna matrica —.4. Oduzimanje matrica, tj. nalaženje matrice A —B predstavlja sabiranje matrice A i matrice —B . Ako je A = {a,^-} i B = {bij}, i = 1,..., m, j = 1 ,..., n, onda je A — B = C, gde je
C = {ci j } ,Cij = &ij
bij . i = l,. .., m , j = 1 ,..., n .
Lako je videti da je sabiranje matrica komutativno, asocijativno i distributivno u odnosu na množenje realnim brojem. Primer 2.14
Odredimo matricu A za koju je 2A —AI = B, gde je
Iz date jednakosti dobijamo jedinična matrica formata 2x2.
2A = B + 41 o A = \B + 21, gde je I Prim eno m definicija množe nja realnim brojem
i sabiranja matrica nalazimo 1 2
_2 4
'1 0 6 ' + 2 0 0 1
'- 1
3' 2 0
+
'2 0 ' 0 2
'13' 2 2
Množenje matrica Proizvod dve matrice A ■B postoji samo ako je broj kolona prve matrice (matrice .4) jednak broju vrsta druge matrice (matrice B ), tj. ako je broj
2.2 Matr ice i determinan te
51
elemenata u vrst i matrice A jednak broju elem.en.ata u koloni matrice B. Dakle, ako je matrica A = {a y } formata m x r, a matrica B = {6 ^ } formata r x n, onda je moguće ove dve matrice pomnožiti, tj. odr editi matricu C = {ctJ} koja predstavlja proizvod A ■B. Da bismo objasnili kako se određuju elementi matrice C = A ■B moramo uvesti pojam skalarnog proizvoda : Posmatrajm o bilo koju vrstu matrice A , na primer i-tu koju čine elementi Oii, ai2, ... , Oir , i bilo koju kolonu matrice B , na primer j- tu koju čine elementi 6 y . 6oJ;. . . : brj . Skalarni p ro iz vo d vrste matrice A i kolone matrice B je broj koji se dobija tako što se njihovi odgovarajući elementi pomnože i dobijeni proizvodi saberu. Dakle, skalarni proizvod i-te vrste i j- te kolone je broj određen kao Cjj —
— f- ai2&2j I
• • * 4" 5^'
>
Proizbod C — A ■B matrice A = {a y } formata m x r i matrice B = {btJ} formata r x n je matrica C = { c y } formata m x n čiji elementi se određuju tako što se vrste matrice A redom skalamo pom nože sa kolonama matri ce B . Dakle, elementi matrice C su
C-ij= 0 >i2.b\j -J - &i2^2j+ * * ■“T
i — 1> * •-, ni,
j — 1 ,.. ., n .
1
Pr im er 2. 15 Odredimo A - B za matric e 1 2
0 -3
-1 0
2 ' 0
i
d _ ±> =
4 1 0-1
0 2 2 0
-1 0 0 3
Kako je matrica .4 formata 2x 4, a matri ca B formata 4 x 3, to će matrica C = {cij } koja predstavlja njihov proizvod biti formata 2x3. Elemente matrice C nalazimo na sledeći način: Element cu dobijamo skalarnim množenjem prve vrste matrice A i prue kolone matrice B cu = 1 •4 + 0 -1 + (- 1 ) •0 + 2 •( - 1 ) = 2 .
Element C12dobijamo skalarnim množenjem prve vrste matrice A i druge kolone matrice B c 12 = 1 - 0 + 0 •2 + (- 1 ) ■(- 2 ) + 2-0 = 2. Element C13dobijamo skalamim množenjem prve vrste matrice A i treće kolone matrice B C13 = 1 • ( - 1 ) + 0 •0 + ( - 1 ) - 0 + 2 •3 = 5
2 SISTEM ILI NEA RNIH JEDNAČI NA I MATRICE
52
Element C21 dobijamo skalamim množenjem druge vrste matrice A i prve kolone matrice B C2i =
3-1 + 0- 0 + 0- (-1 )
2-4 —
=
5 .
Element C22 dobijamo skalamim množenjem druge vrste matrice A i druge kolone matrice B c22 =
2
•0 - 3 • 2 + 0 •(-2 ) + 0 •0 = -6 .
Element C 23 dobijamo skalamim množenjem druge vrste matrice A i treće kolone mairice B c23 = 2 • (- 1 ) —3 '0 + 0- 0 + 0- 3 = —2.
-1
Dakle,
0
4
0
2
1
2
0
0
-1
-2
-1
0
‘ 2
0
‘ 2
0
_ 5-
5 -2
6
3
S obzirom na način na koji je definisan proizvod dve matrice jasno je da nmoženje matricanije komutativno, tj. da u opštem slucaju ne važi A -B = B-A. Može se pokazati da je množenje matrica asocijativno i distributivno prema operaciji sabiranja matrica. Prim er 2.16 Posmatrajmo matrice -1
A =
2
0
B
1
i
C =
i izračunajmo A - B , B ■A, A - C i C ■A. -1
A B =
0
2
‘2
1
_
-
-3
"- 2+2
3 + 0
1
0
-1
2 ’
- 2 +0
1
-1 + 0
0
+
0 + 0
1
dok je B ■A =
0
Vidimo da je A ■B A C =
r
- 1 0
4-
3 '
-2
.1 1
2 + 0
-1
2 J
B ■A. 2 i . 1 1
j
‘ 2
-3 '
0
-
-1
' -2
+0 0 + 0
3-21
1
= h
0-1 _
2 L
‘
- 1 0
a 1
t
C ■A =
"2
- 3 1 0
- 1
‘-1
2 0
1
’
I I
‘- 2 +0 0 + 0
4 -3 0 -
' 1
1 o r
1 1 r
Vidimo da su matrice A i C komutativne, tj. da je A ■C = C ■A.
0
1
1
2.2 Matrice i đetermmau te
53
Polazeći od definicije jedinične matrice lako se može videti da za bilo koju matricu A važi A ■I = I ■A = A, gde je I jedinična matrica odgovarajućeg formata. Stepenovanje matrica Pomo ću operacije množenja matric a može se definisati i stepenovanje matrice prirodnim brojem na isti način kao kod stepenovanja realnih brojeva:
A° = I,
A X= A,
A 2 = A - A,
A n = An~x ■A,
n
= 2,3,...
.
S obzirom na način na koji se množe dve matrice, jasno je da se mogu stepenovati samo kvadratne matrice i da je rezultat stepenovanja ponovo kvadratna matrica istog formata kao i polazna matrica A. Primer 2.17
-1 2 0 2
Odredimo A 5 za matricu A = -1 0
'
Prvo ćemo odrediti A2 = A ■A =
2
■ I - 1
2
L
0
2'
. 0
2
obzirom da je množenje matrica asocijativno mozemo odmah izračunati A* = A 2 ■A 2 =
1
2
'
'
1
2
0
4
10 1 16
_
j
4 J
•
04 Konačno A 5 = A 4 ■A ■ 2.2.3
‘
1
1 0
0
16
'
'
- 1
2
0
'
- 1
2
0
2 2
'
32
De term inan te — de flnicija i izračunavanj e
D et er m in an ta je vrednost koja se , na određe n način, pridružuje kvadratnoj matrici ili, opštije, bilo koj oj kvadratno j šemi brojeva. Determinantu koja odgovara matrici A obeležavaćemo sa |A|. Determinanta reda 1 sastoji se od jednog jeainog realnog broja i njena vrednost je jednaka tom broju, tj. |a| = a,
a 6 H.
Determinanta reda 2 (koja odgovara kvadra.tnoj matrici formata 2 x 2) je određena kvadratnom šemom koju čine četiri elementa, zapisujemo je u obliku a
c
b d
a, b, c, d 6 R
i njena vrednost se izračunava tako što se od proizv oda elemenata na glavnoj đijagonali oduzme proiz vod elemenata na sporednoj dijagonali. Dakle,
a b c d
= ad — bc.
2
54
Primer 2.18
SISTEMILINEARNIH J
EDNA ČI NA IMA TR ICE
Determinanta koja odgovara matrici A =
|A| =
1
-2
2
J/e
= 1 •3 - 2 ■(-2 ) = 7.
3
D ete rm ina nt a red a 3 (koja odgovara matrici formata 3 x 3 ) je'odre đena kvadratnom šeraom koju čini devet elemenata i zapisujemo je u obliku
a\ 0/2
6i cx 62 C2
03
63
C3
Ako izostavimo vrstu i kolonu u kojoj se nalazi jedan element determinante (odnosno kvadratne matrice), preostali elementi će određivati determinantu nižeg reda koju nazivamo min or posmatranog elementa. Ako se ovaj minor pomnoži sa ( —l ) l+-' , gde je i redni broj vrste, a j redni broj kolone posmatranog eiementa, dobijamo kofa kto r posmatranog elementa. Na primer, minor elementa C2 je W2 C2 =—
a\ «3
61 ,
»3
=—CI1&3 U.IV3 —— 6iCl3, i/iu.3,
a kako se posmatrani element nalazi u drugoj vrsti i trećoj koloni, to je njegov kofaktor
Č2 = (-1 )2+3C2 = ( - l )5
ai 61 = -{a ifo - bia^). 03 &3
Izračunavanje vrednosti determinante reda 3 se može svesti na nalaženje vrednosti određenili determinajiti reda 2 razvijanjem determinante po nekoj od vrsta ili kolona. Razvoj determinante po elementima neke vrste se vrši tako što se svaki elemenat posmatrane vrste pomnoži odgovarajućim kofalctorom i dobijene vrednosti saberu. Može se pokazati da razvoj po bilo kojoj vrsti iii koloni uvek daje isti rezultat koji, ustvari, predstavlja vrednost determinante. Za determinantu reda 3 razvoj po elementima prve vrste (što se najčešće koristi) je cii
b\
cL
62 C2 <13 63 C3 0,1
= ai
62
C2 -6 1
bz c3
a2 a3
= a i(bo c3 — c2 63) — 6 i(a 2c3 — c2 a3) +
c2 + Ci c3 c i(a
a2 a3
62 63
2 &3 — 62a3) =
= aib2C3 + fcic2a,3+ cia263 — Ci62fl3 — ajCo63 —bia^c^.
2.2 Matric e i determinante
55
Razvoj po elementima druge kolone je a1 a2 a3
Cl
&i &2
C2 C3
&3
a2
= - &l
o-z
C2 C3
+ &2
ai
Cl
03
c3
-& 3
ai a2
Cl c2
= —&l( 02 C3 — C2&3) + &2(
Razvijajući posmatranu determinantu po preostalim vTstama i kolonama možemo se uveriti d a je rezultat uvek isti i on predstavlja vrednost determ inante. Formulu za izračunavanje vrednosti determinante reda 3 nazivamo Sarusovo p ravilo i možemo ga formulisati na sledeći način: Ako iza posmatrane determinante dopišemo redom prve dve kolone, vrednost determinante ćemo dobiti tako što ćemo pom nožiti sve element e na glavn oj đijagonali i pomoćnim glavnim dijagonalama i ove proi zvod e sabrati, a zatim pomn ožiti sve elemente na sporednoj dijagonali i pomoćnim sporednim dijagonalama i sv e ove proizvode oduzeti od prethodn og zbira. Dakle, ai
&i
ai
&i ci
a2 a3
&2 c2 a 2 62 &3 C3 a 3 &3
Primer 2.19
= ai&2C3 + &1 C2 123 + c ia 2 &3 — Ci &2a 3 — aiC2&3 — &ia 2cs.
Izmčunajmo vrednost determinante koja odgovara matrici 21
A =
9 3
-1
2 3
razvojem po elementima neke vrste ili kolone i primenom Samsovog pravila. Najbrze ćemo doći do rezultata ako determinantu razvijemo po elementima prve kolone ili druge vrste fjer je u njima jedan elemenat 0 pa za njega nije potrebno računati vrednost kofaktoraj. Ako se odlučimo za razvoj po elementima prve kolone, imaćemo |A| =
1 21 0 9 -2 3
-1 2 3
=1 -
9 3
2 3
- 0-
21 3
-1 3
+ ( - 2) ■
= 1 • (27 - 6) - 0 - 2 • (42 + 9) = 21 - 2 • 51 =
21 9
-1 2
-8 1
Primena Sarusovog pravila nam daje |A| =
1 0 -2
21
9 3
1 21 0 -2
= 1 •9 •3 + 21 •2 - ( - 2 ) + ( - 1 ) •0 • 3 - ( - 1 ) • 9 • ( - 2 ) - 1 •2 -3 - 21 -0- 3 = = 27 - 84 + 0 - 18 - 6 - 0 = -8 1.
2
56
SISTEMILI NEARNIH JEDN
AČI NA IM AT RIC E
Kod determinanti višeg reda ne važi Sarusovo pravilo. Njihov u vrednost izračunavamo razvojem, tj. svođenjem na determinante nižeg reda. Pr im er 2. 20 Odredimo vrednost determinante koja odgovara matrici 2 0 —1 3 5 -4 2 0 5 0
A=
0 0 5
1 0 - 7 0 0 0
1
0
2
0
1 -1
Razvojem po elementima druge kolone (u njoj ima najviše nula) imamo da je
|A| = 2.
2-13 0 1 0 5 0 0 1
2
0
Dalje, dobijenu determinantu reda 4 (kofaktor elementa 2 iz druge kolone polazne determinante) razvijamo po elementima treće kolone što daje 0
1
|-4| = 2 •3 ■ 5 0 1 2
Na dobijenu determinantu reda 3 možemo primeniti Sarusovo pravilo pa je |A| - 6 • (0 + 1 - 70 - 0 - 0 + 5) = 6 ■(-6 4 ) = -38 4 . 2.2.4
Osobine determ inan ti
Osobine determinanti ćemo dokazati na determinantama reda 2. Kako se izračunavanje đeterminanti višeg reda, razvojem po nekoj od vrsta- ili kolona, na kraju svođi na izračunavanje determinanti reda 2, to se može pokazati da iste osobine važe i za determinante bilo kog reda. Pri dokazivanju posmatraćemo proizvoljnu determinantu reda 2
D =
a b c d = ad —bc.
Za determinante važe sledeće osobine: 1. Determinanta ne menja vrednost ako vrste i kolone zamene ulogu.
a c b d
= ad —cb = D.
2.2 Ma trice i determinant e
57
2. Ako dve suseđne vrste zamene mesta, determinanta menja znak.
c a a b
= cb — da = —(ad — bc) = —D.
3. Determ.in.anta se množi brojem tako što se svi elementi jedne vrste pomnože tim hrojem.
\a c
Xb = Aad —Xbc = \(ad — bc) = \D = A d
a b c d
4. Determinanta ne menja vrednost ako se elementima jedne vrste dodaju odgovarajući elementi neke druge vrste prethodno pomnoženi nekim brojem. ci + Ac b -{- Ad = (a + Ac)cl —(b + Ađ)c =
d
= ad + A cd — bd —\cd = ad —bc = D =
a b c d
5. nula. Ako su svi elementi jedne vrste jednaki nuli, vrednost determinante je 0 0 = 0- d — 0 •c = 0. c d 6. Alco su elementi jedne vrste proporcionalni (ili jednalci) odgovarajućim elementima neke druge vrste, vrednost determinante je jednaka nuli.
a \a
b \b
= a\b —b\a — 0.
U slučaju jednakosti vrs ta uzima se A = 1. 7. Ako elemente jedne vrste pomnožimo kofaktorima odgovarajućih elem enata neke druge vrste i dobijene proizvode saberemo dobićemo vrednost 0. Na primer, kad kod posmatrane determinante reda 2 elemente prve vrste pomnožimo kofaktorima odgovarajućih elemenata druge vrste, vidimo da je njihov zbir a ■b + 6 • ( —a) = ab —ab = 0 . Na osnovu osobine 1. jasno je da sve osobine determinanti koje sino naveli za vrste automatski važe i za kolone. Na osnovu osobine 2. je jasno da u dokazima nije bitno na koju vrstu se odnose navedene osobine. Navedene osobine se često koriste i pri izračunavanju vrednosti determinanti.
2
58 Primer 2.21
SISTEMILI NEA RNIH JED NAČI NA IM AT RICE
Izračunajmo vrednost determinante iz Primera 2.19 D =
1
21
0 -2
9 3
-1
2 3
koristeći osobine determinanti, tako da je pri razvoju potrebno izračunati samo jednu detei'minantu reda 2. Prvo ćemo, koristeći osobinu 3., izvući zajednički faktor 3 iz druge kolone. Dobijamo da je 17-1 0 3 -2 1
D = 3-
2 3
Ako, zatim. koristeći osobinu 4- trećoj vrsti dodanio pruu vrstu pomnozcnu sa 2, imaćemo 1
D =3-
0
7
3 0
-1 2 15 1
Razvojem po elementima prue kolone. dobijamo da je 3
2
15
1
D = Z- 12.2.5
= 3 •(3 - 30) = -81.
Inve rzn a m atrica
Inverzna mairica za matricu
A, u oznaci A ” 1, je matrica za koju je
>1 •.4- 1 = A -1 ■A = I . S obzirom na način na koji se vrši množenje matrica jasno je da inverzna matrica može posto jati samo za lcvadratne matrice. Uslov pod kojim inverzna matr ica postoj i i način na koji se inverz na matrica nalazi izvešćem o za matrice formata 3 x 3 . No, pre toga mo ramo uvesti još neke nove pojmove. Ako kod neke matrice A vrste i kolone zamene ulogu, tj. ako posmatramo matricu kod koje su vrste redom jednake kolonama matrice A. onda tu matricu nazivamo transponovana matrica matrice A i označavamo je sa A T . Sam postupak zamene vrsta kol onama polazne matrice zovemo tra ns po no va nj e. Ako elemente neke matrice zamenimo njihovim kofaktorima, a zatim dobijenu matricu transponujemo, dobijamo a dju ngov anu m atr ic u matrice A, koju označavamo sa A*. Primer 2.22
Odredimo A * za matricu iz Primera 2.19
21 -1 A =
9 3
2 3
2.2 Matr ice i determinante
59
Kofaktori elemenata matrice A (gledano po vrstama) su redom Cu =
0 -2
Ćl2 = —
21
Č 21 = -
2 3 -1
3
3
1
= Č?23
21
-2
3 1 0
Č3 2 = —
-1 2
9 3
2 3
= 2 7 -6 = 21, 0 -2
— —(0 + 4) — —4. C13
9 3
= 0 + 18 = 18:
-1 -2
= -(6 3 + 3 ) = -66, Č22 = 21
= - (3 + 42) = -45, C31=
1 3
-1
9 1 0
= -(2 + 0) = - 2, C33 =
2
3 - 2 = 1, = 42 + 9 = 51,
21 = 9 -0 = 9 . 9
Kad svaki element polazne matrice zamenirno njegovim kofaktorom dobijamo 21
( A *f =
-4
-6 6
51
18 -45
1
-2
Transponovanjem ove matrice dobijamo adjungovanu matricu matrice A A* =
21 -4 18
-66
51
1
-2
-45
9
Posmatrajmo proizvoljnu matr icu A formata 3 x 3 i njenu adjungovanu matricu A*
’ A =
.
cn Cl2 Cl3 C21 C22 C23 C31 C32 C33
A* =
' ć u Ć21 Ć31 ‘ Ć12 Ć22 Ć32 . Ć13 Ć23 Ć33 .
Ako ove dve matrice pomuožimo dobićemo
A - A* =
" Cu Cl2 Cl3 C21 C22 C23 . C31 C32 C33
.
ć n Ć21 ćl 2 Ć22 Ć13 Ć23
Ć31 ‘ Ć32 Ć33 .
Cllčll + C12 1 2 + C13Ć13 C11C21 + C12C22 + C13Ć23 C11C31 + C12C32 + C13C33 C2lćn + C22C12 + C23C13 C21Ć21+ C22C22 + C23C23 C2lC 31 + C22Ć32+ C23C33 C31Č11 + C32Ć12 + C33Č13 C31Ć21 + C32Č22 + C33Č23 C31Č31 + C32Č32 + C33Ć33
Kako je, prema osobini 7. (vid eti Osobine determinanti) C11C21
+
C12C22
+
C13C23
= 0,
C11C31
+
C12C32
+
C13C33
= 0.
2
60
SISTEMILI NEARNIH JEDNA
022Č12 + C23C13 = + C32C12+ C33C13 =
C21C 11
+
C31C11
ČI NA IM AT RIC E
0
,
C21C31 + C22C32+ C
0
,
C31C21 + C32C22 + C
a kao razvoj determmante matrice A po elementima prve, druge, odnosno treće vrste c n č i i + C12C12 + C13Č13 = |A| ,
C21Č21 + C22C22 + C23C23 = |A| , C31Č31 + C32C32 + c33Č33 = |j4|, to je I I
r \a \ 0 0 \A\ 0 0
0 0
= |AJ-
14. Na isti način se dobija da je i A* ■A = \A\ ■I. Ako je | j 4 | 0 prethodne jednakosti daju
' 1 0 0 ‘ 1 0 0 0 0 1
što, s obzirom na definiciju inverzne matrice (.4 1 •A = A ■A 1 = I ) znači da se inverzna matrica matrice -4 izračunava na sledeći način
Matrica A za koju postoji inverzna matrica naziva se regularna matrica. a us lov z a p o st oj a n je in ve rz n e m atr ice je JA| 7^ 0. Pr im er 2.23 Odredimo inverznu matricu za matricu iz Primera 2.19
1 21 0 9 -2 3
U Primeru 2.19 smo izraiunali
| A| = —81, a u Primeru 2.22 smo odredili
21 -4 18
Prema tome.
-1 2 3
-6 6 1 -4 5
51 -2 9
2.3 Rešavanje sistema pom oću determinanti i ma trično g računa
2.3
61
Rešavanje sistema pom oću determinanti i matričnog računa
2.3.1
Cra me rovo pravilo
Kvađratne sisteme možemo rešavati koristeći determinante primenom Cramerovih formtila. Posmatrajmo sistcm n iincarnih jcdnačina sa n ncpoznatih. Matrici sistema odgo vara determinanta reda n koju naz ivamo de ter m in an ta sist em a i označavamo sa D. Svakoj nepoznatoj može se, talcođe, dodeliti po jedna determinanta koja se, polazeći od determinante sistema, dobija na sledeći način: Kolona koeficijenata koji u sistemu stoje uz posmatranu nepoznatu zameni se kolonom slobodnih članova. Kod sistema tri linearne jednačine sa tri nepoznate aiz + biy + a 2 X + &2j/ + a3x + bAy +
c\z = c2z = czz =
di d2 d-i
đeterminanta sistema i pomoćne determinante su
D =
Dx =
dx d-2 d3
bi
c 1
62
C2
63
C3
ai
b\
Ci
cl 2
b2
C2
a-3 &3
C3
fll
,
Dy =
02
«3
d\ d2 d3
a\
Cl C-2
, Dz=
C3
h
0.2 az
^3
di
do dz
Neka ureaena trojlca brojeva (a:, y, z) predstavlja rešenje sistema tri lineame jednačine sa tri nepoznate. Posmatrajm o determinantu sistema i pomnožimo je sa x tako što ćemo sve elemente prve kolone pomnožiti sa x. Dakle,
x ■D =
&\X b\ C\ a2x 62C2 a3x 63c3
Dodajmo. sađa, prvoj koloni drugu kolonu, prethodno pomnoženu sa y i treću kolonu, prethodno pomnoženu sa z. Na osnovu osobine 4. (videti Osobine determinanti) posmatrana determinanta ne menja vrednost pri ovoj transformaciji, pa je d\ b\ Cl a\X + b\y + Cjz bi Ci x ■D = a2x + 62J/+ c2z 62 C2 = d2 62 C2 a3 X + b3y + C3 Z &3 C3 d3 63 C3 Dobili smo da je x ■D = D x . Na isti način se dolazi i do jednakosti y ■D — D y i z ■D = D z. Ako postoji jedinstveno rešenje sistema, onda postoji samo jedna
2
62
SISTEMIL INEARNIH JEDNA
ČI NA IMA TR ICE
vrednost nepoznatih x. y i z koja za dovoljava prethodne jednakosti, p a je
DX
X= -D '
Dy
.
V=- D
1
Dz
2=
Prethodne jednaJcosti pomoću kojih se izračunavaju nepoznatex, y i z nazivaju se Cr am er ov e form ule. Jasno je da pri tom mora biti D / 0, tj. ako sist.em rešenje ondadva je D ^ 0. (.t1,{/i,zi) i (12, 1/2,22), onda bi Akoima je Djedinstveno £ 0 i ako bi postojala rešenja na osnovu prethodnog razmatranja važilo
xi ■ D = Dx
i
X2 •
D = Dx
i analogno za ostale nepoznate. Oduzimanjem ovih jednakosti bismo dobili (2'l —X-2) ■D = 0
=>
X\ —X2 —0,
jer je D 7^ 0. Dakle, moralo bi važiti x\ = X 2 i analogno za ostale nepoznate, što znači da se posmatrana rešenja poklapaju, tj. da postoji samo jedno rešenje. Ovim je pokazano da je kvadratni sistem linearnih jednačina određen alco i samo ako je determinanta sistema različita od nule. Cramerovo pravilo se može primeniti na sve kvadratne sisteme od n linearnih jednaćina sa n nepoznatih, n 6 N.
Primenom Cramtrovih formula rešiti sistem
Primer 2.24
x + —2x
21 y— 2 = 0 9y + 2z = 0 + 3y + 3z = 81 .
U Primtru 2.19 smo izračunali determinantu sistema D =
1 0 -2
21 9 3
-81
Determinante koje odgovaraju nepoznatima su 0 21 0 9
=
A ,=
-1 2
= 81-
81 3 3 1 0 -1 2 = -810 0 3 - 2 81
D, =
1 21 0 0 9 0 _2 3 81
= 81-
21 -1 0 9 & 1
-1
0
2
1
21
0
9
: 81 • (42 + 9) = 81 •51
= -81 • (2 + 0) = -81 •2 ,
= 8 1 -(9 -0 ) = 81-9 ,
2.3 Rešavanje sistema pom oć u determinanti i ma trično g računa
63
pa je Dx * -i
81-51 r - — —
Dy 61' * =
d
-81-2
^ - ^
š
Dz
„ - 2' ‘ --D
t
-rs
81-9 - -9 . r
Ako je determinanta sistema jednaJsa nuli, potrebna su naknadna ispitivanja (pomoću Gaussovog algoritma), koja će nam pokazati da li je sistem neodređen ili kontradiktoran. U ovom slučaju prirodu rešenja sistema ne možemo odrediti na osnovu determinanti, što pokazuju sledeći primeri. Primer 2.25
Sistem
x+y+z= x+ y+z= x+ y+ z =
1 1 1
je očigledno dvostruko neodređen, a na osnovu osobine 6. (videti Osobine determinanti) je 1
1
D = Dx = D v = D z
Pr im er 2.26 Sistem
: = 0.
x+ y+ z= x+y+z= x+y+z=
1 2 3
je očigledno kontradiktoran iako je det.erminanta sistema ista kao u prethodnom primeru, tj. D = 0. a i determinante koje odgovaraju svakoj nepoznatoj su na osnovu osobine 6. (videti Osobine determinanti) jednake nidi, npr. Dx =
2.3.2
1 1 1 2 1 1 3 1 1
Od ređivan je prirode rešenj
= 0 .
a hom ogenog sis tema jednačina
Priroda rešenja homogenog sistema linearnih se može na osnovu determinante sistema. Homogen sistem jejednačina uvek saglasan pa odrediti su moguća samo dva slučaja: 1. Ako je D ^ 0 sistem je određen, tj. ima samo jedno rešenje. Kako svaki homogen sistem ima trivijalno rešenje, to znači da ako je D ^ 0 homogen sistem ima. samo trivijalno rešenje. 2. Ako je D = 0, kako homogen sistem ne može biti kontradiktoran, onda je on neodređen, tj. ima bezbroj rešenja. T o znači da ako je D — 0 homogen sistem ima i netrivijalna rešenja.
2 SISTEMILINEARNIH
64
JEDN AČI NA IM A TR ICE
Pr im er 2.27 Kod. sistema iz Primera 2.6
x x 2x
+ 2y + — y + y +
3z = 0 = 0 3z = 0
1 2 3 1-10 — —3 + 0 + 3 + 6 —0 — 6 — 0 tako 2 1 3 da posmatrani sistem ima i netrivijalna rešenja.(a, a, —ct), a S R, a 7^ 0. koja
determinanta sistema je D =
se mogu naći jedino primenom Gaussovog algoritma. 2.3.3
M atričn e jednačine
Prinienu matričnog raćuna na rešavanje sistema lineainih jednačina prikazaćemo na sistemu tri linearne jednačine sa tri nepoznate
a\x a? x a3x
+ biy + ciz = di + b-},y + C2- = d% + b3y + c3z = d3
uz napomenu da se na. isti način može rešavati i bilo koji drugi kvadratni sistem. Viđeli smo da posma.tranom sistemu linearnih jednačina mogu da se pridruže matrica sistema, matrica kolona nepoznatih i matrica kolona slobodnih članova
i
A =
bi Ci ' a2 b2 C2 “ 3 h C3
,
x =
X y s
' d! ‘ i
B =
d2 d3
Ako pomnožimo matricu sistema i matricu lcolonu nepoznatili, imaćemo
' A •X =
bx Ci C2 Q>2 az &3
oi
X y z
a\x + bxy + c\Z =
“l"
a%x + fe3y + c&z
Ako postoji rešenje posmatranog sistema, onda možemo pisati da je
A -X = B . Dakle, posmatrani sistem je elcvivalentan dobijenoj matričnoj jednačini, tako da umesto da direktno rešavamo sistem linearnih jednačina, mi mošemo rešavati dobijenu matričnu jednačinu. Rešenje matrične jednačine dobijamo množenjem inverznom matricom A-1. S obzirom da množenje matrica nije komutativno, moramo naglasiti da se množenje matrične jednačine vrši s leve strane, tj. posmatramo jednakost
A '1 ■A - X = A '1 ■B .
2.3 Rešavanje sistema pom oću determina nti i nmtr ičn og računa
65
Naravno, ovaj postupak ima smisla samo ukoliko je matrica A regularna, tj. pod uslovom |/1| ^ 0, a kako je |A| ustvari determinanta posmatranog sistema linearnib jednačina, uslov |j4| 7^ 0 je ispunjen samo u slučaju kada je sistem određen, tj. kad ima jedinstveno rešenje. S obzirom da je A_ 1 ■A = I i l ■X = X, dobijamo da je X = A _1 • B što izjednačavanjem odgovarajućih. elemenata daje rešenje polaznog sistema. Pr im er 2. 28 Primenom matričnog računa rešiti sistem iz Primera 2.24
x
+ 21y — z = 0 Qy + 2z = 0 + Sy + 3z = 81 .
-2 x
U Primeru 2.23 smo za matricu sistema A =
1
21
0 -2
9 3
-1
2 3
izračunali inverznu matricu 21
A*1■
'81
-6 6
51
1 -45
_2
-4 18
9
pa rešenje posmatranog sistema dobijamo iz X =A~
B=- Š I
21 -6 6 -51 ' -4 1 -2 18 -45 9
0' 0 81
Množenjem matrica sa desne strane jednakosti nalazimo da je 51-81 ' -2-81
X ~
81
9-81
=
' -51 ' 2 -9
Dakle, x = —51, y = 2, z = —9, tj. rešenje posmatranog sistema je uređena trojka (x,y, z) = ( —51,2. —9) .
66
3 VE KTO RS KIRA ČU NIAN ALITIČKA
GEOME TR IJA
3
Vektorski rač un i analitička geom etrija
3.1
Vekto ri u prost oru
Koordinatrii sistem u prostoru čine tri uzajamno normalne ose koje se seku u jednoj tački koju nazivamo koordinatni početak i obeležavamo sa O. Horizontalnu ravan određuju i-osa i y- osa, a z-osa je vertikalna i usmerena na gore. TJsvojićemo orijentaciju koja se dobija na sledeći način: alco posmatramo ij/-ravan iz pozitivnog smera -s-ose, onda se rotacijom i-ose za 90° u smeru suprotnom od kretanja kazaljke na časovniku dolazi do y-ose. 3.1.1
Ko ord ina te vek tora u prostoru i osnovne ope racije
Pod pojmom vektora se podrazumeva veličina koja ima određeni pravac, smer i intenzitet. U matematici, sl obodan v ek to r predstavlja skup ineđusobno paralelnih. podudarnih orijentisanih duži. Slobodan vektor u prostoru možemo predstaviti pomoću orijentisane duži čija početna tačlca je u koordinatnom početku, a krajnja u tački T(xi,yi,zi). Vektor, koji je na ovaj način određen, ima iste koordinate kao i sama krajnja tačka, tj. v = O T = (Si.ja.zi).
Ovaj vekto r se često naziva ve k to r po lo ža ja tačke T. •Jasno je da su dva vektoravi = (xi , yi, z i) i v2 = (x 2, y2, z2) jednaka ako su im odgovarajuće koordinate jednake, tj.
(x i,y i,z i) = (x2 ,y 2,z2)
x i = x2 A yi = y2 A z i= z2 .
Vektor O = (0,0 ,0), tj. vektor kod koga je i krajnja i početna taćka u koordinatnom početku, nazivamo nuia vektor. O T i označavamo ga sa |y|, Intenzitet vektora predstavlja dužinu duži odnosno |0?j. Prema Pitagorinoj teoremi je
3.1
Vektori u pros toru
67
Vektor čiji in tenzitet je jed nak jedinici se naziva je d in ič n i ve kt or . Poznato je da se vektori sabiraju ili po principu paral elograma - ako dva vek tora sa istom početnom tačk om predstavljaju strani ce paralelograma, n jihov zbir je jednak dijagonali ili nadovezivaajem - ako koji se početak drugog vekto ra nadoveže nai kraj prvog, zbir je jednak vektoru je ođređen početnom tačkom prvog krajnjom tačkom dmgog vektora. Vektor se množi realnim brojem (skalarom) A tako što se za rezultat dobija vektor istog pravca, A puta većeg intenz iteta i smera koji zavisi od znaka broja A (ako je A > 0 smer je isti, a ako je A < 0 smer je suprotan).
Vektor koji se dobija množenj em vektora v brojem —1 naziva se su pr otan vektor i označava se sa —v. Oduzimanje vektora v[ —vn pređstavlja sabiranje vektora v\ i suprotnog vektora za vektor . Vektore koji imaju isti pravac nazivamo ko lin ea rn i ve kto ri . Iz definicije množenja vektora skalarom dobijamo uslov za kolinearnost dva vektora: Potreban i dovoljan uslo v da vektori v\ i V2 budu kolinearni je da postoji realan broj A takav da važi Vi = Xv2-
Uočimo na koordinatnim osama jedinične vektore: i na s-osi, j na y-osi i k na s-osi. tako da im smer odgovara po zitiv no j orijentaciji osa. Ove vektore
3 VEK TOR SK IRAČU NIAN ALITIČKA
68
GEOMET RI JA
nazivamo o rt ovi. Očigledno je (na osnovu načina množenja vekto ra skalarom i sabiranja vekto ra) da svalci vektor v = (z i, j/i, 21) možemo zapisati u obliku
v = xii + yij
+ zik.
Koristeći ovakav način predstavljanja vektora možemo izvesti formule za sabiranje i oduzimanje vektora, kao i množenje vektora skaJarom. Neka je
vi = {xi,yi,zi)
= x-ii + y ij + zi k
i
v2 = {x2,yi,Z2) = Xzi + yi j + z2k.
Z b ir (ra zlik a) ovih vektora je = xi %+yij + z ik ± (x ii + y - 2 j + zzk) = (xi±x
2
)i + (yi±y
2
)j + (zi±z
2
)k,
tj- (Xi. yi, 2i) ± (X2,V2 ,Z 2 ) = (ll ± X 2 ,Vl ± 2/2,21 ± 22). Proizvod vektor a tii i realnog b roja A je Avj = \(xii + y ij + zik) = \x-ri + \ y ij + \zik, tj. A (ii,y lt zi) = (Ari,Ayi,A2 i). Primer S.l
. gde je Za vektore a = (2,1, —1) i b = (0, —1,3) odredimo |c|
Č = —2a + 3b . Prema pravilu za množenje vektora skalarom i sabiranje vektora prvo nalazimo c = -2(2, 1, -1 ) + 3( 0, -1 ,3 ) = (-4 , -2,2 ) + (0, -3,9 ) = (-4 , -5,11). Intensitet ovog uektora je |Č| = \/l6 + 25 + 121 = \/162 . 3.1.2
Ve ktor ko ji spaja dve t ačke i po dela duži u da toj razmeri
Koristeć i operacije sabiranja i oduzimanja vek tora možemo odre diti koordinate vektora koji spaja dve tačke. Neka su A (x i, y i, z i) i B (x 2, 2/2, z2) dve tačke u prostoru kojima odgovaraju vektori vi i v2. Očigledno je Vi + A Š = v2, odakle je
^ = (x2 - xi, y2 - yi, z2 - 21) . AB______ = v 2 —vi
3.1 Vekto ri u prostor u
69
Koriste ći operacijri množenja vekto ra skalarom možemo odrediti koordinate tačke koja duž A B đeli u datoj razmeri m : n. Označimo traženu tačku sa T (x, y, z ) i uvedimo oznalcu A = Očigledno je AT
= XAS
(x
-x
1 , y -y
1 , z -z
1 ) = \ ( x' i- xi.
. y
2 - y - i .,zi
- zx
) .
Rešavanjem jednačina x - xi=
ACr2 - x i)
,
y - yi
=
\(y2
-
3/1)
i
z - z i=
\ ( z2
-
z\ )
nalazimo koordinate tražene tačke
x = \ x2 + (1 — A )xi . y = A2/2+ (1 — \)yi
i
2: = A?2 + (1 —A)?i .
U specijalnom slućaju, lcada se radi o srediai dužiA B (A = i ) , dobićemo taćku čije koordinate su 1 = Jv+g.s , y = , z= ■.
Posmatrajmo tačke A(3,0,5) i B (— 2,5,0) i odredimo vektor koji spaja ove dve tačke kao i tačku T (x ,y ,z ) koja deli duž A B u odnosu A T : T B =
Primer 3.2 2 : 3.
Traženi vektor je AB =
(—2 — 3,5 — 0; 0 — 5) = ( —5,5. —5) .
Tačka T se dobija iz uslova A T= l A B (x —3, y ,z — 5) = § ( —5,5, —5) = ( —2 ,2 ,- 2 ) . Ova jednakost je zadovoljena za x —3 = —2 , y = 2 . a —5 = —2 odakle dobijamo x = 1, y = 2, z = 3 pa je tražena tačka T ( l, 2, 3). 3.1.3 Po jam i osobine skalar nog proizvod a Skalarni proizvod dva vektora i7i i v% je broj koji je jednak proizvodu intenziteta datih vektora pomnoženog lcosinusom ugla koji ovi vektori zaldapaju. Skalami proizvod označavamo sa vi ■V 2 - Ako ugao između vektora zTi i v-2 označimo sa tp, onda je t?i ■ V2 = l^iHtT^I COSip.
Za skalarni proizvod važe sledeće osobine: 1. v\■ = V 2 ■v i ■pošto veličina kosinusa ne zavisi od orijentacije, već samo od veličine ugla. 2. v-v = |{T|2, jer je za vj. = v^ = v ugao između posmatranih vektora jednak nuli pa je cos tp = 1. 3. Ako su vi i V'2 uzajamno normaJni vektori, koji su različiti od nule, onda je r i • ?2 = 0 i obrnuto. pošto je cos90° = 0.
3 VEK TOR SKIRAČ UN IANALITI
70
ČK A GEO MET RI JA
Skalarni proizvod nam omogućuje da izraćunamo ugao između dva vektora prema formuli
Vi ■V2
COSlfi =
7 = - 77=rT.
KINI
Iz navedenih osobina je jasno da za ortove i, j i k važi
i . i = j ■j = k ■k = 1, i ■j
= i ■k = j ■k = 0.
Može se pokazati da je operacija skalarnog množenja đistributivna prema operaciji sabiranja vektora pa je
VI ■V2 = (xii + y j + Zi k) ■ (x2T + V2j + z2k) = = x ix 2 i ■ i +yiZ2j
+
x\
*x sat •
y2 t- j +
• k + siarii •
k
+
k +
t/ix2' i • J +
zi y ^ j • k
-j +
yiV2j
+ zizo k ■ k
=
= x iT 2 + 0 + 0 + 0 + t/ij/2 + 0 + 0 + 0 + z iz 2 ■ Dakle. (x i,y i,3 i) •(x 2.y2. 22) = ^ i’^+ V i Vi +
Z •
31 2
Odredim o ugao između ve k tora a = (4, —3.0 ) i b = (1, 2,2) . Kako je a ■b = 4 ■1 + ( —3) • 2 + 0 • 2 = —2, to ugao između ova dva vektora možemo naći pomoću
Primer 3.3
^
a -b
-2
|a| •|fe|
v 16 + 9 • \/l + 4 + 4
2
5 •3
Dakle, p = arccos 3.1 .4 Vektoi -ski pr oizv od i njegove osobine Vektorski proizvod dva vektora; koji označavamo sa određen na sledeći naćin:
v i x v2, je vektor
1. Intenzitet vektorskog proiz\roda je jvt x v2|= |vi||tT2|sin^, gde je veksan ugao koji zaklapaju posmatra ni vektori.
kon-
2. Prava c vektorskog proizvoda je normalan na ravan vekto ra vi i v^3. Smer vektorskog proizvoda se određuje na sledeći način: ako se ravan u kojoj l eže velctori vi i V2 zamisli kao horizontalna i ako se od vektora vi ka vektoru vo kreće u smeru suprotnom od smera kretanja kazaljke na satu, onda će njihov vektorski proiz vod b iti usmeren nagore.
3.1
Vek tori u pro storu
71
;i x v2
7
h
Na osnovu ove definicije lako je pokazati sledeće osobine velctorskog proizvoda: 1. Intenzitet vektorskog proizvoda je jednak površini paralelograma konstruisanog nad posmatranim vektorim a kao stranicama. jer l^ l sin^ predstavlja visinu koja odgovara stranici |vi |, a površina paralelograma je jednaka proizvodu dužine stranice i odgovarajuće visine. 2. Ako su v i i v2 kolineami nenula velctori, onda je vj x r2 = 0 i obrnuto, pošto je z a kolinearne vektore s in ^ = sinO = 0. 3. vi x V 2 = —(v 2 x ?i), što sledi direktno iz načina određivanja smera vektorskog proizvoda. Ako posmatramo ortove i, j i k, na osnovu definicije velctorskog proizvoda
osobine 2. je i x i = 0, j x j = 0, k x k = 0. Može se pokazati da je vektorski pro izvo d distributivan prema operaci ji sabiranja vektora. Sada možemo izvesti formulu za izračunavanje vektorskog proizvoda. Neka su ui = (x i, j/i, 2i) i V2 = (x2, V2 , s2) dva proizvoljna vektora u prostoru. Tada
vx x
= (Xii + y ij + zik.) x ( x 2i + V2 3 +
=
xix2(i
+yix20 +zix2(k
x
i)
x
i ) + y iy 2 (]
x
i)
+
+
x j ) + xi22(i x fc) +
Xiy2(i
ziy2(k
=
x J) +
x j) +
yiz2(j ziz2(k
x
x
k )+ k).
Korišćenjem prethodnih rezultata dobijamo
vi x v2 = xiy2 k - xiz 2j - yix2 k + yxz2i + zxx2j - siy2i = = (y\z-z ~ z im S t- (x iz
-2
- zix2)j + (xiy 2 - yix 2)k.
Poslednji izraz možemo. pomoću determinanti reda 2, zapisati kao
3 V' EKTOR SKI RA ČU NIA NA LTTIČK A GEOMETRIJA
72
Ako napišemo kvađratnu šemu kod koje prvu vrstu čine ortovi i, j i k. a drugu i treću vrstu čine koordinat e vek tora v'i i v2, onda prethodnu jednakost možemo smatrati razvojem po elementima prve vrste, analogno kao kod determinanti reda 3. Dakle,
i j v ix v 2= x i yi
k zi
%2 V2 z2 pri čemu je oznaka za determinantu samo formalna. Primet imo da su koordinate vektorskog proizv oda jednake kofaktorima elemenata prve vrste.
Primer 3.4
Vektorski proizvod, vektora a= (1, 0,1) i b = (0,1, —1) je
a x b=
t j k 1 0 1 0 1 -1
tj. a x b = —i + j + k = 3.1.5
=
11 1 1 0 1 i — O 11 — 1 1 -1
1 0 0 1
J+
(—1,1,1).
Me šov iti proizvođ
M e š o v it i p ro iz vo d tri vekto ra je skalar koji se dobija kad se vektorski proizvod d va vekto ra skalarno pomnoži trećim, t j. (vi x v2) ■V3 Izvedimo formulu za izračunavanje mešovitog proizvoda: Označimo sa v i = (xi.yi,zi), V2 = (x2-.y-2,z2) i V3 = {xz,yz,z3) tri vektora u prostoru. Videli smo da kofaktori elemenata prve vrste u determinanti kojom je određen vekto r vi x v2 predstavljaju redom koordinate tog vektora, tj. vi x v2 = v = ( A,B,C ), gde je
A =
3/1
Zi
V2
Zo
XI
, B = -
Zi
z2
X2
, C =
XI
yi
x2
V2
Kako ovaj vektor treba skalarno pomnožiti sa v ?J, prema formuli za izračunavanje vrednosti skalarnog proizvoda imaćemo
v-v3=
x 3A
+ y3B + z3C = x3
Vi V2
zi Z2
- 1/3
Xl
Z\
Xn
Z2
+ Z3
xi *2
y1 V2
Dobijenu jednakost možemo smatrati razvojem po tr ećoj vrsti determinante čiji elementi su koordinate vektora vi, v2 i v3, napisani redom po vrstama. Dakle, (iTi x v2) ■v3 ■ x 2
xi
y1 zi 2/2 z2
x3
y3 z3
3.1
Vekt ori u prostor u
73
Posmatrajmo tri komplanarna vektora Vi, V2 i vs- Za vektore ćemo reći da su kom pla narn i ako leže u istoj ravni. Pre ma definiciji vektorskog proizvoda velctor v = vi x v^ je normalan na ravan 11kojoj leže posmatrani vektori. Kako i treći vektor vz leži u toj istoj ravni, to je velctor v normalan i na njega. Prema osobini 3. skalarnog proizvoda, tada je v ■V3 = 0. Na ovaj način smo dobili nslov za komplanarnost tri vektora: Tri vektora, različita od nula vektora. su komplanarni ako i samo ako je njihov mešoviti proizvod jednak nuli. Posmatra jmo t ri nekomplanarna vekto ra i“ i, H2 IV 3 . Oni u prostoru ođređuju paralelopiped čije ivice su jednake posmatranim velctorima. Intenzitet. vektora t = i’i x V2 je, prema definiciji vektorskog proizvoda, jednak površini paralelograma određenog ovim vektorima, tj. predstavlja površi nu baze paralelopipeda
B.
S druge strane, ako saa označimo ugao između vektora v i £3, onda apsolutna vrednost izraza |v3|co sa predstavlja visinu paralelopipeda. Kako je zapremina paralelopipeda jednaka proizvodu površine baze i odgovarajuće visine, to je
■B-HPrema definiciji skalarnog proizvoda, izraz sa desne strane jednakosti predstavlja apsolutnu vrednost slcalarnog proizvoda vektora v i O3, tj.
V = |(tfi x v2) ■ŽJ3I . Primer 3.5 Izračunajmo zapreminu paralelopipeda konstruisanog nad vektorima a = ( 1,0, 1), 6 = (0, 1, —1) i č = (2, 1,0).
Kako je (axb)-Č=
1
0
2
0
1 1
1
—1 = —2 + 1 = —1 0
to je traženazapremina V = |(a x 6) - c| = 1. S obziromda smo u Prim er u 3-4 izračunali da je a x b = ( —1,1,1) , traženi rezultat smo mogli dobiti i skalamim množenjem ovog vektora sa vektorom Č V = | (- 1 ,1,1) - (2,1,0)1 = I - 2 + 1 + 0| = 1.
3 VE KTO RS KIRA ČU NIAN ALITI ČK A GEOME TR IJA
74
3.2
Rav an u pros tor u
3.2.1
Jednačina rav ni
Ravau je određena sa tri nekolinearne tačke. Označimo ih. sa P {x i,y i, z \), Q (x 2jS/2iz'2 ) i R(x-i,V 3 , 23). Ove tri tačke određuju dvanekolinearna vekto ra q = P Q = (x2 -x x,y 2-yi,2 2 -3 i) i f - PlŽ = (13- * i , 1/3- 1/1, 23- 21)- Posmatrajmo proizvoljnu tačkupT=(x.T y, datoj ravni i vektor određen tačkama P i T, tj. vektor * t z) = koja (x - pripada x\, y - yi, z - zi).
Vektori q. r i p su komplanarni pa je njihov mešoviti proizvod jednak nuli, tj. (p x q) ■f = 0 . Na ovaj način smo dobili jednacinu ravni kroz tri tačke:
x— xi y --y y 1 2 - zi - xi y2 1 zz-zi X3- xi y3— yi Z 3 —.Z1
:0
.
Ako kofalctore elemenata prve vrste označimo redom sa A
=
Vi - 2/i 2/3 — 3/1
Z2 - Z 1 |: B = Z$ —Zl |
Z-2 —Z\ 3?2 X3 - X\ 23 ~ z\
,c =
X2 —X\
2/2 -
2/1
13 —XI 2/3- 2/1
razvijanjem determinante po prvoj vrsti ćemo dobiti
A(x - xi) + B( y - yi ) + C( z - z{ )
= 0.
Dobijena formula predstavlja jed na ćin u ra vn i k roz je dn u tačku. Koeflcijen ti A, B i C predstavljaju koordinate vektorskog proizvoda
qx r =
i X2 - X l
1/2 -
yi
X3 -X
2/3 -
2/1
l
j
k 22 - 21
2 3 - 21
Prema definiciji vektorskog proizvoda vektor q x r = (A,B,C) je normalan na ravan u kojoj leže vektori q i f, tj. normalan je na ravan čiju jednačinu posmatramo. Vektor n = (A,B,C) nazivamo vektor normale ravni i to može biti bilo koji nenula vektor čiji pravac je normalan na posmatranu ravan (smer i intenzitet ovog vektora nisu bitni).
3.2 Ravan u prostoru
75
Ako se u jednačini ravni kroz jedmi tačku oslobodimo zagrada i uvedemo oznaku —A x i — Byi — Cz\ — D, dobićemo opšti oblik jednačine ravni
A x + By + Cz + D =
0,
koji se najčešće koristi. Dakle. vidim o da svaka linearna jednačina sa tri nepoznate predstavlja jednačinu ravni. Nepo znate (x, y, z) (svako rešenje date jednačine) predstavljaju koordinate neke tačke u ravni. Prema tome, ako tačka leži u ravni, onda njene koordinate moraju zadovoljavati jednačinu ravni. Primer 3.6 Pokažimo da tačka T ( —1,1.0) ne leži u ravni određenoj tačkama A(1,0,0), 5(1 ,2,1 ) * C(0,0,1).
Tačke A , B i C određuju ravan a čija jednačina je x
- 1
y
0
2
-1
0
= 0
2
(x —1) —y + 2 z= 0
2
x — y + 2 z — 2 = 0.
Tačka T ( —1,1,0) ne pripada ovoj ravni jer uvrštavanjem njenih koordinata u jednačinu ravni a dobija,mo netačnu jednakost 2 -( -1 )- 1 + 2- 0-2 = 0
-5 = 0.
Ako u opštem obliku jednačine ravni nisu svi koeficijenti različiti od nule, imamo sledeće specijalne slučajeve: 1. Ako je D = 0, tj. ako imamo jednaćinu oblika Ax + By + Cz = 0, onda ravan koja je njome određena prolazi kroz koordinatni početalc, pošto koordinate taćke 0 (0 ,0 ,0 ) zadovoljavaj u ovu jednačinu.
2. Ako je jedan od koeficijenata uz nepoznate jednak nuli, onda je ravan paralelna odgovara jućoj osi. Na primer, ako je B = 0, tj. ako jeđnačina ravni glasi Ax + Cz + D = 0 , onda je vektor normale ravni n = (A, 0, C ) normalan na ort j jer je njihov skalami proizvod jednak nuli: n •J = (A , 0, C ) - (0,1,0) = A • 0 + 0 •1 + C ■0 = 0. Lako je vide ti da to znači da je data ravan normalna na a;z-ravan, tj. paralelna sa t/-osom.
76
3 VE KTO RSK IRA ČU NIANA LI TIČKA GEO MET RI JA 3. Ako su dva koeflcijenta uz nepoznate jednaka nuli, onda je ravan normalna na ođgovarajuću osu. Na primer, ako je A = 0 i B = 0, tj. ako jednačina ravni glasi Cz + D = 0, onda je vektor normale ravni n = (0, 0, C ) = (7(0,0,1), dakle kolinearan je sa ortom k. Ravan je normalna na ovaj vektor, a samim tim i na z-osu.
3.2.2 M eđusob ni polož aj ravni Dve ravni mogu a) da se poklapaju, b) da budu paralelne (nemaju zajedničkih tačalca), c) da se seku (duž jedne prave). Posmatrajmo dve ravni date opštim jednačinama
a : A ix+ B iy + C\z + D\ = 0,
j3 : A^x + Bzy + C iz + D i = 0.
Dobih smo sistem od dve linearne jednačine sa tri nepoznate. Velctori normala datih ravni su na = (Ai , B\, C\) i n^ = (A 2 , B 2 , Co). Ako se ravni poklapaju, onda se one mogu zadati istom jednačinom, što znači da se množenjem jedne jednačine u sistemu dobija druga, tj. da su odgovarajući koeficijenti sistema, kao i slobodni članovi, proporcionalni. Dakle, sistem je dvostrulco neodređen pošto će, nakon primene Gausovog algoritma, ostati samo jedna jednačina sa tri nepoznate. Iz proporcionalnosti koeficijenata i slobodnih članova zaključujemo sledeće: Potreban i dovoljan uslov da se dve ravni po kla pa ju je da postoji re alan broj k Q, takav da važi
na = k n j i D\ = kD^(P rv i uslov znači da su vektor i normala ovih ravni kolinea rni.) Ako su ravni paralelne, onda one nemaju zajedničkih tačaka, pa. je sLstem jednačina kontradiktoran. I ovde su vektori normala ravni kolinearni, tj. odgovarajući koeficijenti sistema su proporcionalni, ali slobodni članovi nisu. Prema tome: Potreban i dovoljan uslov da dve ra vn i b ud u pa ra le ln e je da postoji realan broj 0, takav da važi
na = kns
i D\
kD^-
3.3 Prava u prostoru
77
Ako se ravni seku duž jedne prave, onda odgOTOrajući koeficijenti sistema nisu proporcionalni, tj. sistem je jednostruko neodrecTen. pošto se kod primene Gaussovog algoritma, jedna nepoznata može proizvoljno birati. Prema tcftne: Potreban i dovoljan uslov da se dve ravni seku je da
na ^ kn@, 'ik e R . Alco se ravni seku, ugao
\na \\n0 \
Ako su ravni normalne, onda su i njihovi vektori normala međusobno nornialni, tj. mora važiti na ■np = 0.
Posmatmjmo ravni a : as — 2y = 4 i fi : Ax + y + Cz = 0. Odredim.o realne brojeve A i C tako da ra'mi a i 0 budu
Primer 3.7
a) paralehieb) normalne.Vektori normala posmatranih ravni su n a = (1, —2,0) i ng = (.4,1, C). Ravni će biti paralelne ako su vektori normala kolinearni, tj. ako postoji (1, =—2,0 ) = daje realan broj kako takav da je k(A,A 1, ). Ova je zadovoljena je kA = na 1, k= =kilg —2, kC 0, što = C—| i C =jednakost 0. Ravni će biti normalne ako su vektori norrnala nonnalni, tj. ako je
na -nl 3= 0
&
( l , - 2 , 0 ) - (A 1, C) = 0
Dalđe, ra m i su normalne ako je A =
3.3
2
<£>
A - 2 = 0.
. aC- bilo koji realan broj.
Pr av a u prostoru
3.3.1 Jednač ina prav e u pro storu Pravajeodređe nasadvetačlce. Označimoihsa A(x\, y\,z{ ) iB (x 2 :y2 - sz), a vektor određennjima sa p = (x 2 —x\,yn.—y\,z2 —zi ). Posmatrajm o proizvoljnu tačku T(x,y,z) koja pripada datoj pravoj i vektor određen tačkama A i T , A t = (x - H ,y - yi, z-s i ) .
3 VEK TOR SKIRAČ UN IAN ALITI ČK A GEO METR IJA
78
Vektori A t i p su kolinearni pa postoji realan broj A takav da važi
A f = Xp
(x - x i , y - y i , z - = X(x
2
-xi.y
2
- yi ,z 2 -z i) .
Ova jednakost znači da je
x - xi = A(x2 - x i) , *
y - 2/1 = X(y2 — y i)
z -z i = X (z
i
£ ^ £ l = a , -2 ^ L = A i x2 ~ X i 3/2 — 3/i
2
- z i)
*Z i L = A . z2 - z i
Eliminacijom paiametra A iz preth.odnili jednakosti dolazimo do jednačine prave kroz dve tačke
x-xi
z-zi
/ —2/i
3
t/2 — 2/1
X2 — X l
z 2 — Z\
Možemo pisati.da je p = (a i, a2, a.3), pa jednačina prave dobija oblik
x -xi
_ y
-
CL\
2/1 _ z-zi
(22
Vektor p nazivamo vektor pravca prave i to može biti bilo koji nenula vektor koji ima isti pravac kao posmatrana prava. tj. koji jo j je paralelan. Poslednju jednakost zovemo kanonički oblik jednačine prave. Vidimo da je za pisanje jednačine prave u kanoničkom oblilcu potrebno poznavanje vektora pravca i jedne tačke na pravoj. Napomenimo da izrazi u dobijenoj jednačini ne predstavljaju stvarne razlomke pošto neka od koordinata vektora pravca može biti jednaka nuli. Ako je na primer ai = O. tad a zapis znači da je x —xi = 0. Pošto je svaki od razlomaka u kanoničkom obliku jednačine prave jednak parametru A, rešavanjem jednačina
x- x i
2/~ 2/i
CLi
0,2
,
----------- A , --------= A
. z - «i . 1 -------- = A &3
po nepoznatiraa x, y i 2 dobijamo parametarski oblik jednačine x
=
y
xi+Aai,
=
2/1 + Aa2 ,
z =
zi
+
prave
Aa3.
Nepoznate x, y i z predstavljaju koordinate taičke sa prave i za razne vrednosti parametra A dobijamo koordinate svih mogućih tačaka na pravoj.
Primer 3.8 Jednačina prave p. određene tačkama A (l, 0, —3) i B (— 1,4,5), je x—1 _ y _ z+ 3 -2
~ 4“
8
11
x - 1_ y _ z + 3 -1 ~ 2 ~ 4 ’
3.3 Prav a u prost-oru
79
je r je A Š = (-2,4,8) = 2(-l,2,4), pa se za vektor pravca prave može uzeti vektor p — (—1,2,4). Parametarski oblik jednačine prave p je x = —X + 1,
y = 2A,
z = 4A — 3.
Ove jednačine, za A = 0, daju koordinate tačke A, zaA = 2, koordinate tačke B. a za ostcde vrednosti parametra X dobijamo koordinate preostalih tačaka prave. Na prim er, za X = 1 imaćemo tačku 5(0,2,1). Videli smo da dve ravni k oje se seku određuju pravu pa se prava u prostoru može zađati i sistemom jednačina
A\x + B iy + C\3 + Z?i — 0,
A ix + B%y + C2z + D 2 = 0.
Ako nađcmo dva različita rcšcnja ovog sistclna, dobićcmo dvc tačkc kojc pripadaju posmatranim ravnima, pa možemo napisati jednačinu presećne prave kao jednačinu prave kroz dve tačke. 3.3.2 Međusobni položaj pravih u prostoru Dve prave u prostoru mogu a) biti paralelne, b) poklapati se, c) seći se, d) bit i mimoilazne. Neka su prave date jednačinama u kanoničkom oblilcu
x-x\
_ y - yi
ftj
02
_ z-zi a3
_ x - x 2 _ y - y2 _ z - z2 b2 63
Označimo sa A(xx, -yi, s i) tačku na pravo j p, sa B (x 2 ,y2, z 2 ) tačku na pravoj q, doksu vekto ri pravaca ovih pravih dati sa p = (a i, a 2 ,a-z) i q = (bi.b2, b$). Tačke A i B određuju vektor A B = (x 2 — X i, y 2 — y i , z 2 — zi). Ako su prave paxalelne, onda njihovi vektori pravaca moraju biti kolinearni, dok vektor A B nije kolinearan sa njima. Dakle, potreban i dovoljan uslov da dve prave budu paralelne je da € B ., p = kq
i
AB^mp,
Vm € R.
Ako se prave pok!a,paju, onda su njihoi'i vektori pravaca takođe kolinearni, ali je i vektor A B kolinearan sa njima. Dakle, potreban i dovoljan uslov da se dve prave poklapaju je da
Bk e I I , p = kq
i
3m € B ., A Š = mp.
3 VE KT OR SK IRAČ UN I ANALIT IČKA GEO MET RI JA
80
Ako se prave seku, onda im vektori pravaca nisu kolineami. P oznato je da prave koje se seku leže u jednoj ravni. To znači da vektori p, q i A Š moraju biti komplanami. Dakle, potreban i dovoljan uslov da se prave seku je da
p j^ kq , VA: 6 I I
(p x q) ■AB = 0.
i
Ako se prave mimoilaze, onda ne postoji ravan u kojoj leže ove dve prave. To znači da vektori i A Dakle, potreban i dovoljan B nisujekomplanarni. uslov da prav e budup,mqim oilazne da
(p x q) ■A Š ^ 0. (Naravno, i u ovom slučaju vektori pravaca posmatranih pravih nisu kolinearni, ali ovaj uslov nije potrebno ispitivati.) Rastojanje između dve mimoilazne prave možemo zamisliti teo visinu paralelopipeda određenog vektorima p, q i A B . Kako mešoviti proizvod ova tri velctora predstavlja zapreminu paralelopipeda, a intenzitet vektorskog proizvoda vektora pravaca pravih predstavlja površinu baze (kojoj odgovara posmatrana visina), to je traženo rastojanje jednalco količnikuzapremine i površine baze, tj. F = [(p xg)-AŠ\ B |p x q\
■
Ako vektori pravaca posmatranih pravih nisu kolinearni, odnos posmatranih pra\ih možemo odrediti i primenjujući postupak za nalaženje presečne tačke. Presečnu tačku dve prave određujemo kao rešenje sistema četiri jednačine sa tri nepoznate V-Vl
X-Xi
X —X i
0-2
ftl
Z-ZI
al
-
X
0,3
X-z
V -V
61
62
X - X2
2 ’
61
3
- 32 63
Ako postoji jedinstveno rešenje ovog sistema, onda ono određuje koordinate presečne tačke pravih, tj. prave se seku. Ako rešenje ne postoji, tj. ako je sistem kontradiktoran, onda su prave mimoilazne. Prilikom određivanja presečne tačke mogu se koristiti i parametarslce jednačine datih pravih, što će biti ilustrovano sledećim primerom. Primer 3.9
Odredimo presečnu tačku pravih x —1
V ■
y —7
2
1
z —5
x —6
,
4
3
y +1 —2
z 1
Vektori pmvaca ovih pramh p = (2,1, 4) i q = (3, —2,1) nisu kolineami, što znači da prave nisu paralelne, niti se poklapaju. Ostaju dve mogućnosti: da se prave seku Ui da budu mimoilazne. Posmatrajmo parametarske jednačine datih pravih x = 2m + 1 f 1 = 3t + 6 y= m + 7 i q : < y = —21 — 1 .
{
=z 4m + 5
I
z=
t
3.3 Prav a u prostoru
81
Za razne vrednosti parametara m i t ovim jednačinama su zadate koordinate svih mogućih tačaka na posmatranim pravama. Ako se prave seku, mora postojati jedna vrednost parametra m i jedna vrednost parametra t koje daju istu tačku na obe prave. tj. mora važiti 2m + l = 3č + 6, m + 7 = —2 1 —1, 4m + 5 = t.
Za primer, ovaj sistem postoji jedinstveno rešenje m = a—2, t =proveravamo —3. (Dobijamo na rešavanjem druge i treće jednačine. zatim da jega; za nađeno rešenje zadovoljena i prva jednačina.) Prema tome, date prave se seku, a koordinate presečne tačke dobijamo uvrštavanjem nađenih vrednosti parametara u parametarske jednačin e datih pravih. Na prim er, kad t = —3 uvrstimo u jednačinu prave q dobijamo x = —3, y = 5 i z = —3, što znači da se prave seku ■u tački T ( —3, -5, -3 ). D a je sistem bio kontradiktoran, tj. da rešenje, koje bismo našli posmatrajući dve jednačine sistema, nije zadovoljavalo i treću jednačinu, zaključili bismo da prave nemaju zajedničkih tačaka. tj. da su rrdmoilazne. 3.3.3 Uzajamni položaj prave i ravni Prava može a) ležati u ravni, b) biti paralelna ravni, c) prodirati ravan. u jednoj tački. Ako jednačinu prave predstavimo kao skup od dve linearne jednačine
x - xi _ y - yi i a fl-2
y - yi _ z - zi a2 a3
i njima dodamo jeđnačimi ravni Ax + By + Cz + D = 0, dobićemo sistem od tri lineame jednačine sa tri nepoznate. Ako prava leži u ravni, onda postoji bezbroj zajedničkih. tačaka prave i ravni, tj. bezbroj rešenja posmatranog sistema. Dakle, sistem je neodređen. Ako je prava paralelna ravni, onda prava i ravan nemaju zajedničkih tačaka, pa posmatrani sistem nema rešenja. Dakle, sistem je kontradiktoran. Ako prava prodire ravan, onda postoji samo jedna zajednička tačka prave i ravni, tj. samo jedno rešenje posmatranog sistema. Dakle, sistem je određen. Koordinate prodome tačke se dobijaju kao rešenja ovog sistema. Praktične kriterijume za ispitivanje odnosa- prave i ravni ćemo dobiti posmatranjem vektora pravea prave p = (a i, a^, 03), tačke na pravoj A(xi,yi, si) i vektora normale ravni n = (A, B, C). Ako prava leži u ravni, onda je vektor normale ravni normalan na velctor pravca prave, a tačka A (kao i sve dmge tačke sa prave) pripada ravni, tj.
82
3 VE KTO RS KIRAČ UN IANALITIČKA
GEOME TK IJA
koordinate tačke A zadovoljavaju jednačinu ravni. Dakle, potreban i dovoljan uslov da pra va lež i u ra vn i je da važi
p ■n = 0
Ax\ + B y i + Cz\ + D = 0.
i
Ako j e prava paralelna ravni, onda je vektor normale ravni takođe normal an na vektor pravca prave, ali tačlce sa prave ne leže u ravni, tj. koordinate tačke A ne zadovoljavaju jednačinu ravni. Dakle, potreban i dovoljan uslov da p ra va i ravan budu pa rale lne je da važi p ■n = 0
i
A x i + By\ + Cz\+D^0.
Ako prava prodire ravan, onda vektor normale ravni nije nonnalan na vektor pravea prave. Đakle, potreban i dovoljan uslov da pr av a p ro d ir e ra va n je da važi p ■n 0.
S.S.4
P ro d o r prave kroz rav an
Koordinate prodorne tačke najlakše izračunavamo korišćenjem parametarskih jeđnačina prave
x=
+ Aci],
y = yx + Aa2, z = z\ + Aa3-
Uvi'štavajući ove izraze u jednačinu ravni dobijamo jednačinu sa jednom nepoznatom A. Rešenje te jednačine nam daje vrednost parametra A za koju tačka sa prave u isto vreme pripada i posmatranoj ravni. Uvrštavanjem nađene vrednosti parametra A u parametarsku jednačinu prave dobijaju se koordinate prodorne tačke. U specijalnom slučaju, kada je prava normalna na ravan, vektor pravca prave je normalan na ravan, što znači da je kolinearan sa vektorom normale ravni. Dakle, potreban i dovoljan uslov da prava bude normalna na ravan je da €I I ,
p ~ kn.
Pravu normalnu na ravan koristimo prilikom određivanja projekcije tačke na ravaji i pravu.
3.3 Prava u prosto ru
83
T (x 0, y0, z0) od ravni a : Ax + By + Cz + D = 0 je Rastojanje tačke jednako intenzitetu vektora T P, gde je P projekcija tačke T na ravan a. Ovu projekciju dobijamo kao prodor prave x - x0 y - y0 U : A ~ B ~
z - z0 C
(koja prolazi kroz tačku T i normalna je na ravan a) kroz ravan a. Primer 3.10 Odredimo rastojanje tačke T ( 1,0, —1)
od
ravni
a : x —y + z + 3 = 0. P ri’O ćemo kroz tačku T post-aviti prami n normalnu na ravan a. Za vektor pravca ove prave možemo uzeti vektor normale date ravni n = (1, —1,1). Jednačina prave glasi x —1 y s+ 1 U ' 1 ~ ^l “ 1 ' Zatim ćemo odrediti prodor ove prave kroz ravan a tako što ćemo parametarske jednačine prave n x = t + 1, y = —t, z = t —1, uurstiti u jednačinu ravni a: t + 1 — ( —t) + i — 1 + 3 = 0
3č + 3 = 0 .
Rešenje ove jednačine je t = —1. Zamenom ove vrednosti u parametarske jednačine prave dobijamo koordinate prodome tačke x = 0. y = 1. z = —2. Dakle, projekcija ta čke T na ravan a je P ( 0,1, —2). Traženo rastojanje d predstavlja intenzitet ve ktora T P = ( —1,1, —1).. pa je d = \/3. Istim postupkora određuje se rastojanje dve paralelne ravni kao i rastojanje između prave koja je paralelna ravni a od ove ravni: Izabere se proizvoljna tačka na pravoj, odnosno u paralelnoj ravni, i nađe se njeno rastojanje od ravni a.
84
3 VE KTO RS KIRA Č UN I ANALITI ČKA GEOME TR IJA Rastojanje tačke
T(xo ,yo, zo ) °d prave x-xi di
_ y - y i _ z - zi &2
ffl3
je jednako intenzitetu vektora TQ , gde je Q projekcija tačke T na pravu p. Ovu projekciju dobijamo kao prodor prave p kroz ravan a : ai(a; - x0) + a2(y - yo) + a3(-s - so) = 0, koja prolazi kroz tačku T i normalna je na pravu p. Prim er 3.11 Odredimo rastojanje tačke T(1 ,0 , —1) od prave
Prvo ćemo odrediti ravan (3 koja je normalna na pravu p i sadrži datu tačku T . Za- vektor normale ove ravni uzimamo vektor pravca date prave p = (1,0,0) pa jednačina ravni glasi 1 • (a: - 1) + 0 • (y - 0) + 0 • (z + 1) = 0
* - 1 = 0.
Uvrštavanjem parametarskih jednačina prave p : x = t, y = 0, z = 1, u jednačinu ravni dobijamo t — 1 = 0, tj. t. = 1. Prema tome projekcija tačke T na pravu p je Q ( 1,0.1). Vektor koji spaja tačke T i Q je T Q = (0,0 ,2), a traženo rastojanje je d = \TQ\= \/4 = 2. Na isti način se odrectuje i rastojanje dve paralelne prave, tako što se na jednoj ođ pravih. izabere proizvoljna tačka i određi njeno rastojanje od druge prave.
85
4
Do da ta k 1 — Kompleksni bro jev i
4.1
Alg eba rski oblik kompleksnog br oja
Skup kom pleksnih br ojev a je s kup C = {z = x + i y |x ,y e E.},
i 2 = —1 .
Izraz x + iy nazivamo alge bar sk i o b lik kompleksnog broja. Realan broj x nazivamo realein deo kompleksnog broja z, a realan broj y imaginaran deo i koristimo oznake x = Rez , y = Im z . Ako je Im z = 0, onda je z realan broj, npr. 3, —5,0 ,1. Ako je Re s = 0, onda je z čisto iniaginaran broj, npr. 3t. —2i. 4.1.1
Osnovne op erac ije
Jednakost komplelcsnih brojeva se definiše na sledeći način: Re zi = Re Z2 A Im si = Im z% .
si = s2
Sabiranje, oduzimanje, množenje i delenje se izvode na sledeći način: zi ± z2 = jji + iy i ± [x 2 ± iyi ) = x x± x 2+ i(yi ± y2)
Zi-Z £L =
2
= (xi + iy i) ■ (x
2
+ iyz) = x ix
2
- yiy 2 + i(xiy
+TOT. . X 2 —iVi _ ^ 1^ 2+VlV 2 +»'('g2 » I —ziv-z)
^2+'iV2 *2 —iyi
2
+ x 2 y{)
r. u. 0
'
Primer 4.1 Za brojeve zi = 3 + i i z 2 = 1 — 2i odrediti 3zi — 2z2 3zi — 2z2 = 3(3 + i ) —2(1 —2i) = 9 + 3? — 2 + 4i = T + 7i = T ( l + 2 ) iL — 3+ t ZZ ~ 1 -2 i
l+ 2t _ 3+6 i+ š+ 2i _ ■ l+ 2 i — 1—4i-
3~2 +7i _ l+7t _ — 1+4,
i
!. , 7 • ~ 5 — 5 ~l~ 5 ‘
Konjugovano kompleksan broj za z = x + iy je ž = x —i y Za konjugovanje kompleksnih brojeva važe sledeće osobine: 1. 1 = z 2. Re z = i Im s = -3. z ■ž = x 2 + y~ 4. z\ i z2 = ži ± ž2
5. 'z'i ■i ' 2 = ži-ž
2
6.
= |£,
z2 j^ 0
Prim er 4. 2 Odrediti konjugovano kompleksne brojeve zaz i = 3 + i, Z2 = 1 —2*. 23=5^4= ~ i-
ži = 3 — i,
ž 2 = 1 + i,
Ž3= 5 i Ž
4
= i.
može se izračunati u algebarskom Kvadratni koren kompleksnog broja obliku. Ako je %/ž = a + ib, kvadriranjem. dobijamo
x+i y= a
2
+ 2 abi + i 2 b~ = a2 — b2 +
2
abi.
4 DODATAK
86
1 - KOMPLEKSN
IBROJEVI
Upoređivanjem realnih i imaginarnih delova dobijamo da je x = o2 —62
i
y=
2
ab.
Rešavanjem ovog sistema dobijamo realni deo a i imaginarni deo 6 traženog korena.
Primer 4.3 Izračunati V3 + 4i. •s/3 + 4i = a + i ’o =>■
ar - b
2
=3
A
a2 — = 3
3 + 4i = a2 —b2 + 2 abi 2a6 = 4
4^
b=\
=>
a4 — 3a2 — 4 = 0.
Uvođenjem smene a2 = t dobijamo kvadratnu jednačinu t 2 —Zt — 4 = 0 čija rešenja su t\o = 3±'/|+lg = tj. ti = 4, t 2 = —1. ifa&o t ne može biti negativno. vidimo da je a2 = 4. što daje 'a i = 2,
a2 = -2 , = 2 + i,
4.1.2
fci - 1,
62 = -1 ,
tj.
22 = —2 —i.
Geo met rijska interpretacija kompieksnog b ro ja
Kompleksne brojeve je moguće predstaviti u kompleksnoj ravni, tj. u xykoordinatnom sistemu. Svakom komplekšnom broju z = x + iy odgovara jedna i samo jedna tačka M (x, y ). _______ ' \z\ = y jx 2 + y2 predstavlja rastojanje tačke Modul kompleksnog broja M od koordinatnog početka. z = x + iy, koji označavamo sa args je Argument kompleksnog broja orijentisani ugao koji duž O M zaklapa sa pozitivnim smerom realne ose. Lako je videti da ako je arg z =
=>
arctg^ ,
- 7t <
Naravno, argument je moguće predstaviti i kao args =
+ 2&7T =
___
Za z = 0 argument se ne definiše. Kako je konjugovana vrednost ž simetrična broju z u odnosu na realnu osu, to je |š| = \z\ A ar gš = —args.
Primer 4.4 Odrediti moduo i argument zakompleksne brojeve z\ = 2 — 2i, z2 ~ 3. 23 = —1, 24 = 2i s 25— —2i. = V22 + 22 = \/8. Kako je tg 0, y < 0,to je argz i = tp = —j + 2A:7r, k = 0, ±1,...,
4. 2
Tr igonome tr ij sM i ek spone ncija ln i ob li k
87
Ako preostale kompleksne brojeve prikažemo u kompleksnoj ravni, s obsirom da se oni nalaze na koordinatnim osama, vidimo da je |s2|= 3 i |s4|= 2
4.2
|sa| — 1 i
arg 32 = 0 + 2fc7r,
i ar gz * =
j +2fcx,
\z5 \ =
2
arg z^ = tt + 2kir
i ar gz5 = - f +
2
kn.
Trigonometrijski i eksponencijalni oblik
4.2.1 Kom pleksa n broj u tr igonometrijskom obliku Ako kompleksan broj s = x+iy predsta vimo u kompleksnoj ravni i označimo !s| = r, vidimo da je y = r sirn^.
sin tp = ^,
cosp = ^
x = r cos tp, tj.
z = x + iy = rcosif + i ■ rsm p = r( cos^ + isi n^). [izraz r(cos^> + {s in ijj) predstavl ja trig ;o nom et rii sk i o b lik komnleksnog broja. Jednakost dva kompleksna broja predstavljena u trigonometrijskom obliku definiše se na sledeći način:
zi = z 2
|zi| =
\z2\A ar g2X= args 2.
Operacije konjugovanja, množenja i delenja se izvode na sledeći način: 3 = r(cos( —>p) + isi n(— p )) jer je cos(—ip) = cost^ i sin(—v?) = —sin^. Ako je z\ = r i (cos tp\ + i sin
3^ - — r(cos<čH-*sm^)
--
z
-------
. r(cos-tsm9?)
= r( co s(-^ in ^ ))= 1 r 2(cos 2 ^+s m"
'•r
( c o s ( _ y )+ i
V t '/ »
dobijamo da je = z\ ■± = r\(casip\ + ism
S m (—. ^)) \
r '//
4 DODATAK 1 - KOM PLEKSNIBROJE17
88
4.2.2
Kom pleks an br oj u ekspone ncija lnom obliku
Ako uvedemo oznaku cos(^+isin = ev% onda z = r(cos v?+isin<£) možemo predstaviti u obliku z = re'p%, što zovemo eksponenc ijal ni oblik kompleksnog
broja. Opcije u eksponencijalnom obliku se izvode kao operacije sa običnim stepenima:
zi- Z
2
= r 1 e(fili ■r^e^-* = r xr%e^1-iJr'e-i = r ir aeift,l+ 'w)
£L = rie 1" 1* = i L p V i i -Vii
r 2e',2‘
= Z L p iiVi-V z)
r2
’
■= — rp ~ ‘Pi
c
Iioristećieksponencijalnii trigonometrijskioblilc z&ziž dobijamo Eulerove
formule e’^’ + eCOS
’4’ ,
---
• e ~ iv smtp = *e' v -jf . ---
---
Primer 4.5 Koristeći trigonometrijski i eksponencijalni oblik kompleksnih brojeva zi = 1 + VŠi- i Z2 = 1 + * odrediti njihov proizvod i količnik. \/2 , argz2 = f|zi| = V I + 3 = V4 = 2, argzi = f , |z2|= v/l + T = Dakle, zi = 2(cos | + i sin f ) i Z2 = \/2(cos f + i sinf). tj. zi = 2e^” i z^ = V 2 e zi ■z2 = 2V2 (cos ( f + f ) + tsin ( f + f )) = 2 \/2 (cos + i sin ^ f)
=
(cos (f
7 2 t ~ f ) + ^s in ( f — f )) = V2 (cos zi •z2 = 2 e ■y/2 e^z = 2V2e^1 fji = =
4.2.3
% + i sin £ ) y/2 e^l~^'' = \f 2 e ^ %.
Stepenovanje kompleksih bro jeva i M oiv reo v obrazac
Posmatrajmo kompleksan broj z = r(cos
zn = r n( cos np + i sin rnp). Isto se dobija i posmatranjem eksponencijalnog oblika z = rel
zn = (reii f) n = rneinv. Primer 4.6
Izračunajmo (1 + i ) 97.
(1 + i)9 7 = (V 2 (co sf + i s in f))9 7 = 24SV 2 (co s 2 l2 i+ isin ^ ) =
= 248\/2 (cos (247T + f ) + isin (247T + f ) ) = 248V2 (cos f + i s i n f )) =
= 248(1 + i) = 248 + 248i, odnosno
= 248 •V 2 (1 + i f
7
= ( V 2 e^
) 97
= ( V ^ e * ? 4= 2« V2e (a4' +*)1 =
= 2 ^ V2 • e24,ri ■e** = 248V2 •1 •
+ i ^ ) = 248(1 +
i).
4.2 Trigonom etrijski i eksponendj alni oblik
89
Ak o uzmemo r = 1 tj. z = cos
Vn 6 N
Ova jednakost važi i za n — 0 jer je (cos tp + isint p)° = 1 = cosO + isinO = 1 + i ■0 = 1 Icao i za negativne cele brojeve, pošto je tp)~n = ( ^COSV?+lSlIlV? (cos xr + i sin T' -----— 'l =J \ 1
= (cos(— tp) + isin (—
(cos tp + i sin tp)n = cos ntp + i sin ntp.
Korenovanje
Posmatramo jednačinu zn = a, gde je a £ C poznato. Treba naći kompleksne brojeve s za koje je z = \/a. Neka je z = <^(cos i? + i sint?) i o = r(cos
zn = a <3-
tpn = r. ni3 = tp +2feir
<=>
ip = tf r A i9 = y+^fc7r, f c e l .
o
Za k = 0, 1,. . . , n —1 dobijamo različite vrednosti z a ^ , a z a A = n,n + l , . . . one se ponavljaju. Dakle. postoji n različitih vrednosti za ^fa:
zk =
(cos
+ isin ^
i )
k = 0, 1,... ,n - 1.
Rešenja leže na kružnici poluprečnika tfr i čine temena pravilnog n-tougla čije jedno teme (zo) ima argument a za svako sledeće teme argument se povećava za
Naći tj. sva rešenja jednačine r6 + 1 = 0. Kako je -1 = 1- (cos(tt + 2kir) + i sin (x + 2&7r)), to je
Primer 4.7 =
z
(cos
odnosno so = cos j + i sin ^ 22 = cos
+ isi n ^
+ isin ^ f^ r ) ,k = 0,1,... , 5, + i
si = c os f + i sin f = 0 + i- l = i
+ i • \, z3 = - zQ = -&
- i■
5,
Z4, = - Z l = —i, 35 = ~Z2 = ^ - i ■IDo istog rezultata smo mogli doći i korišćenjem eksponencijalnog oblika i rotacije. Polaz eći od —1 = e’rt => zq = \f—l = š/e** = e%1= ^ + i ■~ dobijamo zx = z0 ■e2^"1= e$* • e%1= e^ + ^ )' = e '?1
=i ,
