I. TRANSFORMASI LAPLACE I. 1. Pengertian
Transformasi adalah teknik atau formula matematis yang digunakan untuk mengubah representasi persamaan matematika dari satu bentuk ke bentuk representasi yang lain. Adanya transformasi mengharuskan juga adanya inverse transformasi, yang melakukan hal yang sebaliknya. Transformasi
diperlukan sebagai
alat bantu untuk memecahkan
persoalan matematika yang rumit. Penggunaan transformasi dan inversenya dapat diilustrasikan pada gambar di bawah ini.
Gambar Penggunaan Transformasi dan Inversnya
Terdapat beberapa
tipe/jenis transformasi
yang digunakan,
tergantung pada persamaan matematika matematika yang ingin dicari penyelesaiannya. Beberapa contoh transformasi transformasi yang digunakan dalam bidang teknik antara lain : 1. Transformasi Laplace 2. Transformasi Z 3. Trasnformasi Fourier 4. Trasnformasi Wavelet
1
Dalam hal ini, Transformasi Laplace digunakan untuk memecahkan Persamaan Differensial Biasa (ODE, Ordinary Differential Equation). Contoh sederhana
pemakaian transformasi
adalah penggunaan logaritma dan inverse-nya, Apabila diinginkan untuk menghitung
hasil
dalam matematika
yaitu fungsi perpangkatan. dari : 1234 x
5678 tanpa
menggunakan kalkulator, namun dengan menggunakan tabel logaritma, maka solusi hasil perhitungan 1234 x 5678 dapat dicari dengan mudah. Langkah
pertama
adalah
mengubah/lakukan
transformasi
perhitungan 1234 x 5678 menjadi logaritma basis 10. Langkah ke
dua
adalah menyelesaikan kalkulasi algoritmanya. Langkah terakhir adalah x
mencari inverse logaritma (10 ), sehingga hasil akhir dari inverse logaritma ini adalah solusi dari 1234 x 5678. Apabila dikerjakan menjadi : Langkah ke-1. Ubah/transformasi ke logaritma basis 10 1234 x 5678 => Log (1234 x 5678) Langkah ke-2. Selesaikan kalkulasi algoritma. Log (1234) + Log (5678) = 3,0913 + 3,7542 = 6,8455 Langkah ke-3. Gunakan inverse transformasi untuk mencari solusi dari 1234 x 5678. x
Dalam hal ini, inverse transformasinya adalah : 10 , sehingga : 6,8455 => 10 6,8455 = 7.006.482
2
Dengan menggunakan kalkulator, didapatkan jawaban eksak dari 1234 x 5678 = 7.006.652. Tampak bahwa jawaban yang didapat dengan menggunakan
transformasi logaritma (dan inverse logaritma) mendekati
jawaban eksaknya. Perhitungan menggunakan transformasi Laplace
dapat
dilakukan secara langsung melalui penggunaan formula/rumus transformasi, dan dengan menggunakan bantuan tabel Tranformasi Laplace. Pada tabel telah
dicantumkan
Transformasi
Laplace
dari
bentuk-bentuk
umum
Persamaan Differensial Biasa yang sering digunakan. Penggunaan tabel Transformasi Laplace ini memudahkan pencarian solusi, karena tidak diperlukan kalkulasi Transformasi Laplace dengan menggunakan rumus transformasi. Transformasi laplace adalah metode transformasi yang digunakan untuk penyelesaian persamaan diferensial yang digagas oleh Piere Simon Laplace. Pierre Simon Laplace pertama kali mengembangkan transformasi ini memang hanya bermaksud untuk mempermudah penyelesaian persamaan deferensial dalam matematik. Perkembangannya transformasi laplace banyak digunakan
di
bidang
fisika,
optik,
kendali
dan
pengolahan
sinyal.
Transformasi laplace digunakan untuk penyelesaian sistem linier tidak ubah waktu (LTI). Aplikasi transformasi laplace banyak dijumpai dalam bidang teknik, mekanika, dan
Elektronika. Transformasi Laplace didefinisikan sebagai
3
berikut:
Dan invers transformasi laplace adalah:
Adapun Latar belakang penggunaan Transformasi Laplace adalah : 1. Solusi
Persamaan Diferensial Biasa
Linear Homogen melibatkan
bentuk eksponensial yang relatif cukup sulit untuk dikerjakan 2. Transformasi Laplace dapat digunakan untuk mengubah persamaan diferensial menjadi bentuk persamaan aljabar,sehingga mengurangi kerumitan penggunaan bentuk eksponensial menjadi bentuk ekspresi persamaan aljabar. 3. Solusi persamaan dalam bentuk aljabar dapat ditulis sebagai penjumlahan
tiap-tiap
komponennya
dengan
tiap
komponen
merupakan Transformasi Laplace dari bentuk eksponensial.
4
Tabel Transformasi Laplace
5
II.
APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE
II. 1. Sistem Kontrol Pada Jaringan Penukar Panas ( H eat Exchan ger )
Dalam proses industri terdapat banyak variabel yang harus dikontrol. Tindakan kontrol dapat dilakukan secara manual oleh operator, tetapi karena dalam proses industri terdapat ratusan variabel yang harus dikontrol, sehingga konsekuensinya dibutuhkan ratusan operator. Karenanya langkah yang paling tepat adalah menerapkan kontrol otomatis dalam proses industri. Panas proses digunakan untuk banyak aplikasi yang bervariasi. Persyaratan suhu tergantung pada jenis industri meliputi, suhu tinggi sampai sekitar 1500 °C. Industri kimia adalah contoh industri dengan suhu antara 500-600 °C. Industri logam non besi, serta produksi hidrogen adalah aplikasiaplikasi yang menggunakan suhu antara 600 – 1000 °C. Bila keadaan suhu sebuah benda berubah terhadap waktu, maka proses perpindahan panas yang berlangsung di dalam benda tersebut dikatakan sebagai proses yang berlangsung dalam keadaan tak ajeg/tak tunak (transient /unsteady state). Dalam industri, contohnya dapat ditemui dalam banyak hal misalnya, dalam proses sterilisasi makanan, vulkanisasi karet, quenching (pendinginan dengan cepat), annealing (pendinginan dengan pelan) dan lain lain. Jenis lain dari soal perpindahan panas tak tunak yang dijumpai dalam teknik adalah yang menyangkut perubahan suhu dan
6
aliran panas secara periodik. Aliran panas secara periodik ini mempunyai arti penting
di
dalam
motor
bakar,
penyejuk
udara,
instrumentasi dan
pengendalian proses. Contohnya, pada penghujung hari yang panas, udara luar menjadi lebih dingin, namun suhu di dalam gedung gedung bertembok akan tetap tinggi selama beberapa jam setelah matahari terbenam. Di pagi hari, meskipun udara luar sudah panas, udara di dalam gedung-gedung akan tetap sejuk dan nyaman selama beberapa jam. Penyebab gejala ini ialah adanya kelambatan waktu sebelum tercapainya keseimbangan di dalam gedung dan alam di luar. Contoh lain yang khas adalah aliran panas periodik melalui dinding motor yang dipanaskan hanya selama sebagian siklus operasinya, setelah motor tersebut menjadi panas dan beroperasi dalam keadaan stedi, maka suhu pada titik manapun di dindingnya akan menjalani perubahan siklik terhadap waktu. Selama motor tersebut sedang mulai menjadi panas, maka hal ikhwal aliran panas tak tunak disuperposisikan pada perubahan siklik tersebut. Ada tiga operasi dasar dalam setiap system kontrol, yaitu: measurement (M), decision (D) dan action (A). Pada tindakan measurement dilakukan proses pengukuran oleh sensor. Berdasar hasil pengukuran tersebut kontroler kemudian memutuskan apa yang harus dilakukan agar variabel yang dikontrol dipertahankan pada nilai setting pointnya. Sebagai hasil keputusan kontroller melakukan aksi, dalam hal ini dilakukan oleh elemen final control .
7
Dalam pembahasan selanjutnya system kontrol akan diwakili oleh model matematikanya. II. 2. Model Matematika Sistem
Pemodelan berarti menyatakan system dalam dunia nyata (real world) menjadi bentuk persamaan matematika. Modeling juga dapat diartikan sebagai usaha menirukan kelakuan proses (real world system) didalam usaha untuk memahaminya. Hal tersebut dilakukan dengan menyusun hubunganhubungan fisik dari sistem sesungguhnya dengan menggunakan hukumhukum ilmu alam. Dengan pemodelan dapat berbicara banyak mengenai suatu sistem tanpa harus menghadirkan sistem tersebut. Dengan penyusunan model maka sifat (karakteristik) sistem akan lebih mudah dianalisis/dipelajari. Selain itu modeling merupakan usaha yang tidak membutuhkan biaya banyak dan resiko yang kecil.
II. 3. Dinamika Sistem
Dinamika sistem orde satu dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial:
Dalam bentuk fungsi alih:
8
Sedangkan tanggapan sistem untuk masukkan tangga satuan (unit step) :
Dinamika sistem orde dua dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial:
Fungsi alih dalam bentuk Transformasi Laplace:
dengan tanggapan sistem untuk masukan tangga satuan (unit step):
Tanggapan langkah ( step response):
9
Keterangan notasi : y(t) : tanggapan system u(t) : masukan (input) system τ
: konstanta waktu
ζ
: redaman system
ωn
: frekuensi alamiah system (rad/s) Untuk selanjutnya model matematik system keseluruhan (kontroler
dan plant) dapat diwakili dengan model sistem orde dua.
II. 4. Teori Kontrol
Teori kontrol modern berbeda dengan teori kontrol konvensional. Teori kontrol modern dapat diterapkan pada sistem multi input multi output , yang kondisinya linier ataupun tidak linier, dengan parameter sistem konstan atau berubah terhadap waktu. Sedangkan teori kontrol konvensional hanya dapat diterapkan pada sistem satu masukan, satu keluaran, dengan parameter konstan. Persamaan ruang keadaan ( state space) merupakan representasi dari teori control modern, sedangkan model fungsi alih (transfer function) merupakan representasi dari teori kontrol konvensional. Fungsi alih sistem didefinisikan sebagai perbandingan transformasi Laplace keluaran terhadap transformasi Laplace masukan, dengan semua
10
syarat awal nol. Fungsi alih sistem juga merupakan model matematika yang menghubungkan variabel masukan dengan variabel keluaran, namun ia sendiri tidak memberikan informasi mengenai struktur fisik sistem tersebut. Jika pangkat tertinggi dalam s dalam fungsi alih adalah n, maka sistem disebut orde ke-n. Kegunaan konsep fungsi alih terbatas pada sistem linier, parameter sistem tidak berubah terhadap waktu (time invariant ), sistem dengan satu masukan dan satu keluaran ( single input-single output ).
II. 5. Proses Thermal
Pemodelan proses industri selalu dimulai dengan keseimbangan konservasi kuantitas massa atau energi, dengan asumsi-asumsi aliran fluida yang masuk dan keluar memiliki kecepatan konstan, kerapatan cairan adalah konstan, kapasitas panas cairan adalah konstan. Keseimbangan energi pada keadaan tidak steady state
dalam tangki akan menggambarkan hubungan
antara temperature masukan dan temperatur keluaran.
Model matematika sistem setelah dilinierisasi:
Fungsi alih Heat Exchanger dapat dinyatakan dalam bentuk sistem
11
orde satu:
Karena ada waktu tunda/death time pada plant maka fungsi alih plant menjadi:
dengan t merupakan death time process. Dalam paper ini fungsi alih plant dinyatakan sebagai:
Gambar Rangkaian Simulasi Plant
Sedangkan gangguan pada sistem dinyatakan dalam fungsi alih:
Gambar Rangkaian Simulasi Gangguan Plant
Gambar diatas merupakan perwakilan plant dan gangguan dalam
12
bentuk matematikanya pada program Matlab.
Gambar Sistem Kontrol F eedback dan Feedfoward pada H eat Ex changer
Unit ini bertujuan untuk memanaskan fluida proses dari temperatur masukan Ti(t) menjadi nilai temperatur fluida keluaran T(t), melalui aliran media pemanas Fh(s). Media pemanas menggunakan uap terkondensasi. Tujuan kontrol adalah untuk menjaga temperature sistem pada suatu nilai setting point tertentu.
Gambar Blok Diagram loop terbuka Jaringan Penukar Panas
Dari blok diagram diatas terlihat bahwa nilai besaran keluaran y langsung dipengaruhi oleh fungsi alih plant Gp, dan gangguan Gd tanpa adanya mekanisme umpan balik.
13
Gambar Respon Loop Terbuka Jaringan Penukar Panas
Suhu fluida ingin dipertahankan konstan pada nilai set pointnya. Tetapi sistem mendapat gangguan yaitu Gd yang menyebabkan output system akan terpengaruh oleh besaran gangguan. Karena tidak adanya mekanisme umpan balik maka sistem tidak dapat mengkompensasi adanya gangguan.
II. 6. Sistem Kontrol Berumpan Balik ( F eedback )
Gambar 12. F eedback Contr ol
Salah satu cara memenuhi tujuan control adalah dengan mengukur
14
temperatur fluida keluaran T(t) dan membandingkan dengan nilai temperatur yang diinginkan. Berdasar hasil pembandingan tersebut dapat diputuskan tindakan apa yang harus dikerjakan agar tidak terjadi deviasi temperatur T(t).
Gambar Blok Diagram Sistem kontrol Berumpan Balik (feedback ) Pada H eat Ex changer
Pada sistem kontrol loop tertutup seperti pada blok diagram diatas, kontroler Proporsional, Integral (PI) berfungsi sebagai kontroler proses yang akan meminimumkan sinyal error , dan membawa sistem menuju nilai settingnya. Jika temperatur T(t) melebihi nilai setting nya, maka katub uap ditutup agar fluida yang keluar mempunyai temperatur yang menurun. Jika temperatur T(t) dibawah nilai setting nya maka katub uap dibuka, agar uap mempengaruhi fluida yang mengalir dalam tangki.
15
III. CONTOH SOAL
2
1. Hitung : L [10 sin 4t + 4t ] Jawab : 2
2
L [10 sin 4t + 4t ] = L [10sin 4t] + L [4t ] 2
= 10L [sin 4t] + 4L [t ]
= 10
=
=
+
+
2. Hitung : L[F(t)], jika F(t) = Jawab :
L[F(t)] = = =
+ 4
{
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +
=5 =-
=
(1-
)
16
3. Hitung : L[F(t)], jika : F(t) =
L[F(t)] = = =
) (
∫ ∫ ∫ ∫ +
Substitusi u =
, du = dt
Batas integrasi, t =
→ u =
t=
L[F(t)] = = = =
=
→ u = 0
∫ ∫ L[cos u]
17
2
4. Hitung : L[( ) ]! Jawab : 2
L[t ] =
=
=
2
L[( ) ] = 4
=
=
18
DAFTAR PUSTAKA
http://blog.uny.ac.id/denybudi/files/2013/02/buku-Laplace-2-new.pdf http://id.scribd.com/doc/138148600/Sistem-Kendali-Laplace
19
