Catatan Kuliah :
Fisika Matematika I Muhammad Fauzi Mustamin
\ 2015
press
Muhammad Fauzi Mustamin
Catatan Kuliah: Fisika Matematika 1 Edisi Pertama
\
press ©2015
KATA PENGANTAR
Ilmu Fisika merupakan ilmu mendasar dengan tujuan mendeskripsikan bagaimana alam semesta bekerja. Berbagai fenomena alam kemudian diformulasikan ke dalam Matematika untuk mencari tahu deskripsi tersebut secara terperinci. Hasil perincian ini kemudian dikembangkan menjadi berbagai bidang keteknikan yang memfokuskan pada salah satu cabang ilmu Fisika. Bahkan penjabaran ilmu Fisika tidak jarang diterapkan dalam pemecahan masalah-masalah sosial-politik. Buku ini merupakan kumpulan catatan kuliah saat mengikuti mata kuliah Fisika Matematika I di program studi Fisika, Universitas Hasanuddin. Terinspirasi Te rinspirasi dari hadits Rasulullah, “Ikatlah ilmu dengan menuliskannya”, saya memulai sedikit demi sedikit menuliskan bahan perkuliahan. Setelah satu tahun berlalu, buku ini akhirnya bisa saya rampungkan meskipun masih jauh dari kata sempurna untuk menjelaskan luasnya samudera Fisika Matematika. Kepada dosen-dosen pengajar; Prof. Wira Bahari Nurdin dan Dr. Tasrief Surungan, serta temanteman sekelas pada mata kuliah Fisika Matematika semester ganjil 2014, saya mengucapkan banyak terimakasih atas berbagai inspirasi saat perkuliahan. Bagi
teman-teman,
para
pembaca
[email protected].
Makassar, September 2015 Muhammad Fauzi Mustamin
sekalian,
saran
dan feedback selalu
dinanti
di
DAFTAR ISI 1. Kalkulus Vektor .........................................................................................................................1
1.1 Diferensial Vektor ..................................................................................................................1 1.2 Integral Vektor .......................................................................................................................2 1.3 Kurva Ruang ..........................................................................................................................3 1.4 Operasi Vektor .......................................................................................................................5 1.5 Kordinat Silinder dan Kordinat Bola .....................................................................................8 1.6 Integral Kalkulus ..................................................................................................................11 2. Deret ..........................................................................................................................................15 15
2.1 Deret Konvergen dan Deret Divergen .................................................. ................................15 2.2 Uji Konvergen Suatu Deret ..................................................................................................15 2.3 Deret Selang Seling ..............................................................................................................17 2.4 Deret Pangkat .......................................................................................................................18 2.5 Deret Taylor .........................................................................................................................18 3. Bilangan Kompleks .............................................. ..................................................... 21 .................................................................... ...............21
3.1 Dasar Bilangan Kompleks .................................................. ..................................................21 3.2 Manipulasi Bilangan Kompleks ...........................................................................................22 3.3 Representasi Polar ................................................................................................................25 3.4 Teorema de Moivre ..............................................................................................................26 3.5 Fungsi Hiperbolik ............................................. ..................................................... ....................................................................28 ...............28 4. Deret Fourier ............................................................................................................................30 30
4.1 Kondisi Dirichlet ..................................................................................................................30 4.2 Koefisien Fourier Fou rier.............................................. ..................................................... ....................................................................31 ...............31 4.3 Fungsi Diskontinu ................................................................................................................32 4.4 Fungsi Non-Periodik ............................................................................................................32
4.5 Deret Fourier Kompleks ...................................................... .......................................................................................................33 .................................................33 4.6 Teorema Parseval .................................................................................................................34 5. Transformasi Fourier ..............................................................................................................35 35
5.1 Pengantar Transformasi Fourier .................................................. .........................................35 5.2 Fungsi Delta Dirac
.........................................................................................................36 ........................................................ .................................................36
5.3 Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap ................................................. .........................................38 6. Persamaan Diferensial Biasa ..................................................................................................39 39
6.1 Persamaan Diferensial Orde I...............................................................................................39 6.2 Persamaan Diferensial Orde II .............................................................................................42 7. Transformasi Laplace .................................................... 48 ........................................................................................................ .......................................................... ......48
7.1 Definisi .................................................................................................................................48 7.2 Fungsi Elementer.............................................. ..................................................... ....................................................................48 ...............48 7.3 Hubungan Fungsi Tertentu dengan Transformasi Laplace ..................................................50 7.4 Penerapan Transformasi Laplace pada Diferensial ................................................. .............51 Daftar Pustaka .............................................................................................................................54 54
1. KALKULUS VEKTOR
Sebagaimana diketahui bersama, kalkulus merupakan alat yang sangat penting dalam pendeskripsian berbagai kuantitas fisis. Pada tingkatan sekolah menengah tentu telah diperkenalkan dasar dari kalkulus; diferensial, integral, dan berbagai materi berkaitan dengan hal tersebut. Perbedaan mendasar dari kalkulus pada kuantitas skalar, kalkulus vektor, sesuai namanya, mengolah berbagai vektor dengan menggunakan prinsip kalkulus. Hal ini mengingat banyaknya kuantitas fisis berupa vektor, misalnya sebaran medan magnet pada sebuah muatan listrik, kecepatan alir fluida, dan masih banyak lagi fenomena alam lain yang dalam pendeskripsiannya menggunakan kalkulus vektor. 1.1 Diferensial Vektor
∆ ∆ ∆ ∆ ∆→ ∆ ∆∆ .. Misalkan sebuah vektor
yang terdiri dari fungsi skalar dengan variabel
menuliskan vektor tersebut sebagai
. Kita dapat
. Misalnya pada kordinat kartesian,
.
Perubahan kecil pada vektor . Diferensial dari
menghasilkan perubahan
sehingga
terhadap terhadap didefinisikan :
Gambar 1.1 Skema diferensial vektor.
1
̂ ̂ .. dan .. ∙ ∙ ∙ . × × × . ∆→0, ..
Pada kordinat kartesian, diferensial vektor
:
Pada vektor komposit, setiap vektor atau skal ar dapat berupa fungsi dari variabel . Dengan mengasumsikan
adalah vektor terdiferensiasi terhadap skalar dan bahwa
fungsi skalar terdiferensiasi terhadap
Dari persamaan (1.1), dapat dilihat saat
adalah
:
perubahannya terhadap akan sangat kecil. perubahannya
Sehingga diperoleh persamaan :
Sebagai pemisalan adalah perubahan yang sangat kecil dari vektor posisi sebuah partikel pada selang waktu :
Dengan adalah kecepatan partikel.
1.2 Integral Vektor
Kita ketahui bahwa intgerasi merupakan invers da ri diferensiasi. Beberapa poin penting dalam integrasi : (i)
Integral dari vektor atau skalar memiliki perlakuan yang sama dengan integral biasa.
(ii)
Tetapan dari integrasi haruslah sama dengan sifat alami integral.
2
⁄ .. .. .. ,,
Misalnya, jika
menghasilkan integral
: :
Dimana adalah konstanta vektor. Jika ditetapkan batas dari
sampai
:
1.3 Kurva Ruang
Sebuah kurva pada ruang dapat dideskripsikan dengan vektor awal
terhubung dengan titik
dari sebuah sistem kordinat menuju sebuah titik pada kurva. Karena variasi v ariasi , vektor
tersebut akan terus bergerak sepanjang kurva. Pada kordinat kartesian :
Dengan
dan dan
merupakan persamaan parameter dari kurva merupakan ku rva tersebut.
, , , .. ̂
Gambar 1.2 Tangen satuan , normal dan binormal terhadap kurva pada titik Kurva ruang juga dapat direpresentasikan dengan
..
yang dapat dikonversei
seperti persamaan parameter :
3
Sebuah kurva terkadang dideskripsikan dengan formasi parametrik dengan vektor
,
,
dimana dimana
parameter adalah panjang garis sepanjang kurva diukur dari titik tetap. Untuk kurva yang dideskripsikan dengan
perubahan vektor yang sangat kecil : perubahan
.. . .
Hasil kuadratnya memberikan :
Sehingga didapatkan :
yang dapat diformasi ulang menjadi jarak antara dua titik pada kurva :
, dengan
dan
.
.. ⁄ ⁄ ̂ × d an ̂ ̂ , ̂, dandan , t̂, dandan ̂ , ̂, ..
Jika kurva dideskrippsikan dengan seuah tangen vektor dari
, pada setiap titik di kurva terebut,
pada titik tersebut, dengan arah
dimana parameter adalah panjang sepanjang kurva,
merupakan
meningkat. Pada kasus khusus
adalah satuan vektor tangen dari
dan dinotasikan .
Vektor satuan terhadap
. Vektor
, tegak lurus terhadap permukaan datar d atar
disebut sebagai binormal
membentuk sistem kordinat kartesian tangan-kanan pada setiap
titik di .
Secara ringkas,
serta diferensiasinya terhadap saling berhubungan, hubungan ini
disebut juga dengan formula Frenet-Serret :
4
1.4 Operator Vektor
Proses diferensiasi dapat dilakukan pada medan skalar dan medan vektor yang memiliki aplikasi sangat luas dalam dunia fisika. Medan skalar secara sederhana dapat diperhatikan pada tekanan dalam fluida dan potensial elektrostatis akibat adanya sebuah muatan listrik. Adapun medan vektor berhubungan dengan hal tersebut adalah kecepatan vektor dalam fluida serta medan listrik. Dalam penjabaran tersebut diperlukan operator vektor. Operator terpenting penerapannya adalah
mencari gradien mencari gradien dari dari medan skalar serta mencari divergen dan divergen dan curl dari dari medan vektor. Operator ini menggunakan konsep diferensiasi. Operator vektor
atau sering disebut del atau nabla
memiliki peran sentral pada pembahasan ketiga operator vektor tersebut. Pada kordinat kartesian didefinisikan :
≡ ..
Penjabaran selanjutnya memfokuskan pada sifat matematis dari operator vektor tersebut. 1.4.1 Gradien sebuah Medan Skalar
,,, grad .. ,,, . ..
Gradien dari medan skalar
Secara matematis, grad
didefinisikan didefinisikan :
merupakan medan vektor yang setiap komponennya diturunkan satu
kali secara parsial terhadap
.
Secara umum, perubahan terhadap jarak
pada arah :
yang disebut sebagai turunan berarah. Dapat dilihat bahwa
|| 5
dengan merupakan sudut antara vektor
,,
dan
yang ditunjukkan pada gambar 1.3.
/ , , , ≡ ≡ .
Gambar 1.3 Sifat geometri Sifat menarik lain,
,
merupakan nilai
pada arah .
merupakan vektor normal pada permukaan
titik, seperti ditunjukkan pada gambar 1.3. Jika
pada setiap
normal satuan permukaan dengan arah
meningkat, maka gradien juga sering dituliskan meningkat,
dimana
≡ ||
adalah adalah perubahan pada arah dan disebut sebagai turunan normal.
1.4.2 Divergen
Secara sederhana, divergen dapat dianggap sebagai kuantitas pengukuran dari seberapa banyak medan vektor menyebar (divergen) atau menyusut (konvergen) pada sebuah titik.
,,, div . .. , dan
Divergen dari medan vektor
dimana
didefinisikan didefinisikan :
merupakan komponen dari vektor
menghasilkan sebuah medan skalar.
. Jelas terlihat bahwa
.. 6
..
. ≡ .
Selanjutnya, jika suatu medan vektor akan membentuk
atau
merupakan diferensiasi dari medan skalar,
, dimana
, maka
yang disebut Laplacian dan muncul pada persamaan diferensial parsial. 1.4.3 Curl
,,, curl × .. , dan × .. , , × ×≠ ×
Curl dari sebuah medan vektor
dimana
didefinisikan didefinisikan :
merupakan komponen dari vektor
. Hasil dari sisi sebelah kanan
persamaan tersebut didapatkan dari proses determinan :
Untuk medan vektor sebuah fluida,
yang mendeskripsikan kecepatan lokal pada setiap titik di dalam
adalah pengukuran kecepatan sudut dari fuida pada daerah sekitar titik
tersebut. Jika sebuah kincir air kecil ditempatkan di dalam fluida tersebut, maka kincirnya akan berotasi pada daerah
, sementara kincirnya tidak akan berotasi pada daerah
.
Sebagai rangkuman hasil kombinasi dari ketiga operator vektor, tabel 1.1 menyajikan hal tersebut.
Tabel 1.1 Rangkuman kombinasi operator vektor
7
1.5 Kordinat Silinder dan Kordinat Bola
Pendeskripsian fenomena fisis tidak hanya diekspresikan dalam kordinat kartesian. Dalam berbagai situasi, kordinat sistem lain lebih mendasar, seperti kordinat silinder dan kordinat bola. Seperti fluida dalam pipa pendeskripsiannya lebih alami menggunakan kordinat silinder, ataupun muatan listrik dalam ruang pendeskripsiannya lebih alami dengan kordinat bola. 1.5.1 Kordinat Silinder
Posisi titik
,, c cos , s sin , .
pada kordinat kartesian
dapat diekspresikan dalam kordinat silinder
seperti terlihat pada gambar 1.5, dimana :
,,
,, ≥ 0, 0 ≤ < 2 dan∞ n ∞ < < ∞ cos cos sinn . ,, dandan 1 cossin .. sincos .. . Gambar 1.4 Kordinat silinder
dan
. Posisi vektor dari titik kemudian dapat ditulis
dimana, dengan melakukan diferensial parsial terhadap
lalu membagi dengan setiap
modulusnya didapatkan vektor pada kordinat silinder
8
. , dan ∙ × .
Perpindahan sangat kecil
dari titik memenuhi
Elemen volume dari kodinat silinder diperoeh dengan mengkalkulasi bidang paralelipiped bidang paralelipiped sangat sangat kecil, didefinisikan oleh vektor
:
Gambar 1.5 Elemen volume kordinat silinder Perubahan kordinat ini juga memengaruhi operator vektor. Tabel 1.2 merangkum operator vektor dalam kordinat silinder.
Tabel 1.2 Opertor vektor dalam kordinat ko rdinat silinder
9
1.5.2 Kordinat Bola
,, si sincn cos,s , si sinsn sin,n , co cos .
Posisi titik dalam kordinat bola
dapat diamati pada gamba 1.6, dimana
,, ≥ 0, 0 ≤ ≤ dan 0 ≤ < 2 sinsinsincos . ,, ,, dandan sicoscoscossi ncossinsinncos . . si n . sincos . sin . Gambar 1.6 Kordinat bola
dengan
. Posisi vektor dapat dituliskan sebagai
Vektor satuannya, kembali dapat ditelusuri dengan melakukan diferensial parsial terhadap , lalu membaginya dengan modulus tiap vektor
Perpindahan sangat kecil vektor tersebut pada kordinat bola
Elemen volume pada kordinat bola merupakan volume dari paralelipiped sangat kecil yang memenuhi
∙ ×sin sin . 10
Gambar 1.7 Elemen volume kordinat bola
,,
Perubahan kordinat ini tentu juga memengaruhi perubahan operator vektor. Tabel 1.3 merangkum perubahan operator vektor untuk kordinat bola.
Tabel 1.3 Operator vektor pada kordinat bola, dengan 1.6 Integral Kalkulus
Φ
medan skalar dan
medan vektor.
1.6.1 Integral Garis
Integral garis secara umum memiliki persamaan
∙
. 11
Gambar 1.8 Visualisasi integral garis
. .
dimana merepresentasikan fungsi vektor dan
adalah vektor perpindahan untuk elemen kecil,
dengan integralnya dilakukan sepanjang titik sampai titik . Saat integrasinya dilakukan untuk lintasan tertutup,
, maka bentuk integrasinya dapat dituliskan sebagai integral tertutup
Esensi dari integral garis ini, kita melakukan perkalian skalar vektor dari perpindahan elemen kecil
dengan vektor
sepanjang lintasan. Bagi fisikawan, bentuk paling sering dijumpai
adalah integral garis persamaan kerja oleh sebuah gaya,
∫ .
.
Integral garis untuk beberapa kasus memiliki keunikan, dimana integral garis antara dua titik
∫ ∙ ∮ ∙ ×0 ∙
tidak bergantung pada lintasan yang dilalui. Medan vektor dengan karakteristik tersebut disebut konservatif. Sebuah vektor dengan diferensial parsial berhubungan pada daerah konservatif jika dan hanya jika memenuhi beberapa syarat berikut. (i)
Integral
, dengan
lintasan ke
(ii) (iii) (iv)
dan
berada pada daerah
. Dapat dikatakan bahwa
Terdapat fungsi nilai tunggal
dikatakan
, tidak bergantung pada
pada lintasan tertutup adalah nol.
dari posisi, dimana
.
.
merupakan diferensial eksak.
Kasus lain terjadi untuk menghubungkan integral garis dan integral bidang. Integral garisnya dapat dihubungkan dengan luas daerah cakupan dengan menggunakan teorema Green untuk bidang memenuhi
12
∬ .
terlihat hubungan integral garis sepanjang lintasan terhadap integral lipat dua dengan luas . 1.6.2 Integral Permukaan
Integral permukaan secara umum memiliki persamaan
. .
dimana
Gambar 1.9 Visualisasi integral permukaan merupakan fungsi vektor dan
merupakan elemen kecil luas, dengan arah tegak lurus
dengan permukaan. Saat permukaannya tertutup, maka persamaannya dapat dituliskan sebagai integral tertutup
Jika
. . mendeskripsikan aliran fluida (massa persatuan luas persatuan waktu), maka
∫ ∙
merepresentasikan massa total persatuan waktu yang melewati permukaan atau lebih sering disebut sebagai flux. Lebih detail, elemen luas dapat dituliskan
.
dimana merupakan normal satuan permukaan.
13
1.6.3 Integral Volume
Integral volume memiliki persamaan umum
dengan
fungsi skalar dan
.
. elemen volume kecil, dimana untuk kordinat kartesian
Misalnya adalah densitas suatu bahan, maka 1.6.4 Teorema Divergence
∫
merepresentasikan massa total.
Teorema divergence menghubungkan flux total dari medan vektor yang menyebar dari permukaan tertutup
menuju integrasi divergence dari medan vektor volume tertutup
Ungkapan matematis dari teorema divergence memenuhi
.
∙ ∙ . . 1.6.5 Teorema Stokes
Teorema Stokes menghubungkan integral dari curl dari medan vektor sepanjang sebuah permukaan terbuka
dengan integral garis dari medan vektor sekitar lintasan
menghubungkan permukaan. Ungkapan matematis teorema Stokes memenuhi
yang
× ∙ ∙ .
14
2. DERET
Banyak situasi fisika yang kita sajikan dalam bentuk deret. Sebuah deret dapat berupa
penjumlahan berhingga ataupun a taupun penjumlahan tak hingga dari d ari sekumpulan angka. Secara umum, penjumlahan dari
∞
bagian dari sebuah deret dapat ditulis :
= ⋯
Jenis deret berhingga, berarti nilai nilai
..
mencapai angka tertentu. Sedangkan untuk deret tak hingga
. Dalam dunia fisika, banyak kejadian alam yang memenuhi konsep deret tak
berhingga. Atas dasar ini, pembahasan selanjutnya akan fokus pada deret tak hingga. 2.1 Deret Konvergen dan Deret Divergen
Dalam pembahasan deret untuk menganalisa keadaan fisis, perlu diperhatikan bahwa kita akan menjumlahkan sekian banyak angka yang jumlahnya tak berhingga. Sesuai dengan persamaan (2.1), karena deretnya tidak berhingga :
= ⋯
..
Atau juga dapat dicari engan menggunakan konsep limit :
±∞
→ ..
Jika nilai menuju sebuah angka tertentu deretnya dikatakan deret konvergen. Sementara jika menuju
, deretnya dikatakan sebagai deret divergen.
2.2 Uji Konvergen Suatu Deret 2.2.1 Nilai Mutlan dan Konvergensi Deret
Secara umum, deret tak hingga
∑
dapat memiliki bagian kompleks dan pada kasus khusus
terdiri dari nilai positif dan negatif. Untuk sebuah deret, kita dapat mengasumsikan deret lain
15
∑||
yang setiap bagiannya merupakan nilai absolut dari deret awal yang
∑
yang hendak dicari.
Setiap bagian dari deret mutak tersebut akan menghasilkan nilai positif.
∑|| ∑||
Jika deret
konvergen, maka deret konvergen,
∑
juga konvergen, dan
∑
dapat dikatakan sebagai
deret konvergen mutlak. Untuk deret konvergen mutlak, setiap bagiannya dapat disusun ulang tanpa mempengaruhi konvergensi dari deret tersebut. Jika deret
divergen namun deret
∑
konvergen, deretnya dikatakan konvergen
kondisional. Untuk deret konvergen kondisional, jika urutan bagiannya diubah, maka akan berpengaruh pada deret semula, sehingga tidak jelas, apakah deretnya konvergen atau divergen. 2.2.2 Konvergensi Deret Positif
Deret positif merupakan deret yang semua bagiannya terdiri dari bilangan konstan positif. Untuk meguji konvergensitas suatu deret positif, ada beberapa cara yang dapat dilakukan : 1. Uji Awal
∑
Uji awal digunakan untuk mendeteksi apakah deret tersebut sudah pasti divergen. Untuk deret dikatakan konvergen jika hasilnya menuju nol saat menuju tak hingga.
0 →
Jika kondisi tersebut tidak terpenuhi, maka deretnya sudah pasti divergen. Namun, meski telah terpenuhi, deretnya juga bisa berupa deret divergen, sehingga membutuhkan pengujian yang lain untuk membuktikan. 2. Uji Banding
∑ ∑
Uji banding merupakan pengujian paling mendasar dalam menguji konvergensi suatu deret. Misalkan kita memiliki dua deret,
∑
dan
konvergen. Sehingga jika setiap bagian dari deret
deret awal
dan kita mengetahui bahwa salah satunya deret
, untuk setiap yang lebih besar dari nilai tetap juga merupakan deret konvergen.
Dengan kata lain, jika
∑
pada deret awal kurang dari atau sama dengan bagian yang bisa bervariasi setiap deret,
konvergen dan
≤ ,untuk > 16
Maka deret
∑ ∑ ∑
juga konvergen.
Namun jika
divergen dan
Jika sebuah deret
∑
≥
untuk setiap yang lebih besar untuk nilai tetap, maka
merupakan deret divergen.
3. Uji Perbandingan d’Alembert dan didefinisikan :
Berlaku hubungan, jika
→ + .. <1 >1 deretnya konvergen; jika
deretnya divergen; jika
maka deretnya bisa konvergen mapun divergen. 4. Uji Integral
∑ ..
Misalkan terdapat sebuah fungsi dari niali tetap berhingga :
dan untuk
1
yang secara monoton menurun sepanjang lebih besar . Deret
konvergen jika integral pembandingnya
Namun jika integralnya tak hingga, maka deretnya dikatakan deret divergen. 2.3 Deret Selang Seling
Deret selang seling dapat ditulis sebagai :
1 ++ ⋯ 1 =
..
Syarat deret selang-seling konvergen adalah 1. Limit dari harga mutlak suku
adalah 0.
|| 0 →
2. Deret selang-seling haruslah deret yang monoton turun untuk setiap suku mutlaknya.
17
|+| < ||
Jika setiap suku dalam deret diambil harga mutlaknya, kita peroleh deret baru yang sema bagiannya positif. Deret ini disebut deret mutlak, yang bisa bersifat konvergen ataupun divergen. 2.4 Deret Pangkat
Formasi umum dari deret pngkat adalah :
Dimana
⋯ .. , , , , ….…. || < 1
Meruakan konstanta. Deret tersebut secara umum sering muncul dalam Meruakan
fisika dan sangat berguna, untuk
, bagian seanjutnya deret tersebt dapat menjadi sangat
kecil dan diabaikan.
Dengan menggunakan uji perbandingan d’Alembert, kita dapat melihat bahwa mutlak jika :
konvergen konvergen
→ + || → + < 1 || < 1 .. 0 ∞ 0 1⁄ <<1⁄ 1⁄ 1⁄
Atau dapat ditulis :
Konvergensi dari 1. Jika 2. Jika 3. Jika
bergantung bergantung pada nilai , dimana daerah bergantung pada nilai .
, deretya konvergen untuk semua nilai . , deretnya konvergen hanya untuk nilai
.
, deretnya konvergen untuk daerah antara
sampai
.
2.5 Deret Taylor
Ekspansi Taylor merupakan alat yang sangat berguna untuk menjabarkan deret pangkat dari
≤≤
sebuah fungsi. Dengan mengasumsikan fungsi pada selang
memiliki sebuah turunan ke- yang kontinu memiliki
, kemudan mengintegralkanya sebanyak :
18
−− −− −− [−− −−] −− −− −− [−− −− −−] − − − − − − 2!2! −−
… − − 2!2! ⋯ 1! − − − 2!2! ⋯ 1! − .. … .. . . ≤≤ !! .. 0 → Dengan mengintegralkan sebanyak kali, didapatkan formasi :
Dengan melakukan pengurutan ulang, didapatkan nilai
Dimana
: :
merupakan pengintegralan kali :
dapat ditulis dengan menggunakan konsep integral kalkulus :
Dengan
Saat fungsi
. Dengan mengintegralkan kali, didapatkan suku sisa :
, nilai
kemudian menjadi deret Taylor : kemudian
19
− − ! ⋯ 1! −
..
Atau disederhanakan menjadi :
= !!
..
ℎ ℎ ℎ = !! .. 0 = !! 0 ..
Deret Taylor yang didapatkan mendefinisikan nilai fungsi pada titik , yang merupakan bagian dari nilai fungsi dan turunannya pada titik variable, atau
. Definisi ini dapat memperjelas deret Taylor dengan menggunakan formasi
alternative, menggantikan dengan
Jika dipilih
. Ini merupaan ekspansi pangkat dari perubahan
dan
dengan :
, ekspansi Taylor di atas berubah menjadi ekspansi Mclaurin :
20
3. BILANGAN KOMPLEKS
3.1 Dasar Bilangan Kompleks
Perhatikan persamaan kuadrat berikut :
450 , 2 ± √ −−
(3.1)
Solusinya dapat dicari dengan menggunakan persamaan akar persamaan kuadrat : (3.2)
Setiap persamaan kuadrat selalu memiliki dua solusi dan tentunya juga berlaku untuk persamaan (3.2). Bagian kedua dari persamaan sebelah kanan disebut bagian
karena memilii akar
dari sebuah bilangan negative, sementara bagian pertamanya disebut bagian
. Solusi totalnya
merupakan jumlah antara bagian ril dan bagian imajiner yang disebut dengan bilangan kompleks. Fungsinya dapat dilihat dari gambar di bawah.
450
Gambar 3.1 Grafik persamaan kuadrat
Persamaan umum dari bilangan kompleks disimbolkan sebagai , yang merupakan gabungan dari bagian ril dan dikalikan dikalikan bagian imajiner :
(3.3)
21
ℑ 42√ 12 12 √ 42 , 2 ± 22 2± 2 ±1 ,,
Dengan digunakan digunakan sebagai symbol dari akar -1. Bagian ril dinotasikan dengan bagian imajiner dinotasikan sebagai Pada contoh di atas,
Dengan
dan
.
ℜ
sementara
, sehingga solusi yang kita dapatka adalah :
.
Persamaan bilangan kompleks biasa ditulis dengan bentuk :
Dimana komponen dari bisa umpamakan berada pada koordinat kartesian. Plot fungsi tersebut disebut diagram Argand diagram Argand .
Gambar 3.2 Diagram Argand 3.2 Manipulasi Bilangan Kompleks 3.2.1 Modulus, Argumen dan Konjugat Kompleks
Modulus dari bilangan kompleks dinotasikan sebagai
||
| |
dan dan didefinisikan :
(3.4)
Sehingga modulus dapat diartikan sebagai jarak sebuah titik dar titik pada diagram Argand.
Argumen dari bilangan kompleks dinotasikan dengan
arg
dan didefinisikan :
22
Dapat pula dilihat bahwa
arg− arg
(3.5)
adalah sudut yang menghubungan titik asal sampai
pada
diagram Argand dengan sumbu- positif. Menurut hasil konvensi, arah berlawanan jarum jam adalah positif.
∗
Gambar 3.3 Representasi modulus dan arg bilangan kompleks
Sementara konjugat kompleks, didenotasikan sebagai
∗
, dimana jika
, maka
. Secara umum, konjugat kompleks adalah nilai yang sama dengan besar yang jika
dikalikan dengan menghasilkan hasil ril.
Gambar 3.4 Hubungan geometri konjugat bilangan kompleks
∗ ||
Hal ini dapat diuktikan, misalkan
, maka jika dikalikan dengan konjugat kompleksnya
akan menghasilkan :
Kompleks konjugat juga dapat dipandang sebagai refleksi dari .
23
3.2.2 Operasi Matematika
Penjumlahan dalam bilangan kompleks pada kordinat kartesian sama persis dengan penjumlahan biasa :
|| || | ±1 ± 1 ⁄2 ⁄2
(3.6)
Untuk perkalian :
(3.7)
Perkalian dari suatu bilangan kompleks memenuhi a turan komutatif dan asosiatif : (3.8)
(3.9)
Produk dari perkalian bilangan kompleks juga menghasilkan hubungan : (3.10)
(3.11)
Untuk bilangan kompleks yang dikalikan dengan
dan
menarik. Ketika mengalikan dengan kesatuan (yang memiliki argument nol) memberikan yang tetap dikedua modulus dan argument. Adapun dengan mengalikan
(argumennya
, menghasilkan suatu pola yang
) mengakibatkan rotasi, sepanjang sudut , dari
garis yang menghubungkan titik asal dengan pada diagram Argand. Sama halnya dengan mengalikan atau atau
yang menghasilkan putaran yang
atau
.
Gambar 3.5 Pola menarik saat menglikan bilangan kompleks dengan
±1 ± dan
24
Sementara untuk operasi pembagian, misalkan diketahui bilangan kompleks keduanya dibagi akan membentuk formasi :
..
dan
, jika
Untuk mendapatkan hasil yang terpisah antara bagian ril dan kompleksnya, kita kalikan dengan rasio kompleks konjugat dari pembagi atau dalam persamaan (3.12) adalah
:
.. |||| .. argarg arg ..
Sama halnya dengan perkalian, pembagian bilangan kompleks juga menghasilkan beberapa persamaan yang sesuai dengan persamaan (3.10) dan (3.11) :
3.3 Representasi Polar
,, c cos , s sin , atau , tan .. . co c o s s si s i n n cossin ..
Sebuah alternative untuk memetakan bilangan kompleks adalah dengan menggunakan kordinat
polar
, yang memenuhi persamaan :
Dengan melakukan subtitusi pada persamaan umum bilangan kompleks pada kordinat kartesian, , diperoleh persamaan :
Dimana
merupakan persamaan euler yang sesuai definisi :
25
Gambar 3.6 Representasi polar bilangan kompleks
2 <0≤ + . ≡ + + . − .
Penyederhanaan representasi dari modulus dan argument merupakan salah satu alas an
menggunakan kordinat polar. Sudut secara konvensional terletak pada karena rotasi adalah sama dengan rotasi
, namun
, dengan adalah bilangan bulat, didapatkan
persamaan umum bilangan kompleks :
Jika kita memiliki dua buah bilangan kompleks dengan formasi polar,
, jika dikalikan :
Sementara untuk pembagian :
3.4 Teorema de Moivre
Kita tahu bahwa
() cossin ..
dan
, sehingga sesuai dengan persamaan euler didapatkan :
Hasil ini disebut teorema de Moivre dan sering digunakan dalam maniulasi bilangan kompleks. Manipulasinya anatara lain; mencari identitas trigonometri, mencari akar ke- suatu besaran.
26
3.4.1 Mencari Identitas Trigonometri
cos si n , cos3sin3 3 cos cossin coscos 3cossin 3si3sincos sin cos si n 1 cos cossin cos cossin−− 1 cossincossin2cos .. 1 cos cossin cos cossin−− 1 cossincos sin 2sin .. 1 ±1 1 ⁄ .. 1 ,,…., 1, ⁄ , … , −−⁄ 0,1,2,…,1, 1, 2,
Misalkan kita ingin mencari bentuk pangkat dari d ari
dan
Metode ini juga dapat digunakan untuk mencari ekspansi pangkat dari
dan
untuk
setiap bilangan bulat.
Dan
3.4.2 Mencari Akar ke-
Persamaan
memiliki solusi
. Dengan menggunakan konsep bilangan kompleks,
kita dapat menyelesaikan persamaa umum dari memiliki buah solusi. Persamaan
Dengan
. Ingat bahwa persamaan tersebut
dapat ditulis ulang :
adalah bilangan bulat sembarang dan dengan melakukan penyederhanaan kita
dapatkan :
Sehingga, solusi untuk
adalah :
Dengan nilainya mulai dari
baru karena akarnya telah berulang untuk
.Nilai yang semakin besar tidak memberi membe ri solusi dan dan seterusnya.
27
Misalna mencari solusi dari
1
, sesuai persamaan (4.25) kita dapatkan :
⁄ ⁄, ⁄ , 3 3 1
Selanjutnya, solusinya didapatkan dengan memasukkan nilai
⁄
,
. Ketika memasukkan nilai yang lebih besar, misalya ,
terbukti hanya terdapat tiga buah solusi untuk
.
Gambar 3.7 Representase geometri solusi 3.5 Fungsi Hiperbolik
. Sehingga
1
Fungsi hiperbolik merupakan analogi kompleks d ari fungsi trigonometri. Memiliki hubungan yang mirip dengan fungsi trgonometri, baik dari identitas maupun kalkulusnya.
cosh si n h cosh 12 − .. sinh 12 − . sech csch coth Terdapat dua fungsi fundamental,
dengan
dan
dan
, yang masing-masing merupakan mirip
. Fungsi tersebut didefinisikan dengan relasi :
Dengan fungsi tersebut, leih jauh dapat dicari hubungan dari fungsi hiperbolik lain untuk ,
, dan
.
tanh, 28
Sesuai dengan persamaan euler, kita mendapatkan :
cos 12 − sin 12 −
Sehingga didapat hubungan yang sangat jelas antara fungsi hiperbolik dengan fungsi trigonometri :
coshcos sinhsin coscosh sinsinh
. .. . ..
29
4. DERET FOURIER
Fenomena periodik seperti gelombang, gerak harmonis, atau gaya-gaya berulang lain dideskripsikan dengan fungsi berulang. Deret dan transformasi Fourier merupakan media yang menjadi dasar untuk memecahkan berbagai fenomena berulang tersebut. 4.1 Kondisi Dirichlet
Deret Fourier dapat digunakan untuk merepresentasikan suatu fungsi yang tidak dapat dilakukan dengan ekspansi Taylor. Agar fungsi harus memenuhi kondisi Dirichlet :
memenuhi kriteria deret Fourier, maka deret tersebut
(i)
Fungsinya harus periodic
(ii)
Bernilai tunggal dan kontinu, kecuali mungkin pada nilai berhingga tertentu.
(iii)
Memiliki hanya satu titik maksimum dan minimum pada satu periode.
(iv)
Integral sepanjang periode
| |
harus harus konvergen.
Gambar 4.1 Sebuah contoh fungsi yang dapat direpresentasikan dengan deret Fourier Deret Fourier terdiri dari fungsi sinus dan kosinus. Esensi dari hal ini adalah sinus merupakan fungsi ganjil sementara kosinus merupakan fungsi genap, dimana keduanya merupakan fungsi periodik.
30
Setiap bagian pada deret Fourier saling ortogonal, setiap satu periode. Setiap bagiannya memenuhi sifat matematis berikut :
+ sin 2 cos2 semuaa dandan 0 untuntuk semu + cos 2 cos21 uunnttuukk > 00 20 untuk ≠ + sin 2 sin201 uunnttuukk > 00 20 untuk ≠
.. .. .
dengan dan merupakan bilangan bulat lebih besar atau sama dengan nol.
2 2 2 cos si n . = , , dandan + 2 cos2 .. + 2 sin2 .. 0 /2 . cos 2 / .. , .. , dandan .. Ekspansi Fourier dari fungsi
dimana
memiliki bentuk umum : memiliki
merupakan koefisien Fourier.
4.2 Koefisien Fourier
Untuk fungsi periodik
dimana
dengan dengan periode , koefisien Fourier memenuhi persamaan :
adalah nilai sembarang namun sering diambil sebagai
formula ini dapat dilakukan dengan mengalikan
atau
pada pada persamaan
, lalu mengintegralkan sepanjang satu periode penuh terhadap
kemudian diselesaikan dengan menggunakan persamaan
. Penjabaran
, dengan
. Hasil dari tahap tersebut, .
Fungsi yang simetri atau asimetri pada titik awal dapat mempermudah perhitungan dari koefisien Fourier. Fungsi dengan ganjil tidak memiliki bagian kosinus dan semua koefisien
bernilai
31
nol. Sebaliknya, fungsi dengan
genap tidak memiliki bagian sinus dan semua koefisien
bernilai nol. Karena deret Fourier dengan fungsi ganjil atau genap hanya menyisakan setengah koefisien untuk menjabarkan perilaku keseluruhan periode, perhitungan deret Fourier akan menjadi lebih mudah. 4.3 Fungsi Diskontinu
Ekspansi deret Fourier juga dapat diimplementasikan untunk fungsi diskontinu pada selang tertentu. Hasil ekspansinya sendiri tidak lah diskontinu dan nilain dari fungsi akan bernilai setengah antara nilai batas atas dan nilai batas bawahnya.
hasil hasil ekspansi
Pada titik diskontinu, representasi deret Fourier akan meampaui nilainya. Lebih banyak bagian digabungkan, posisi nilai lampauannya menyebabkan fungsi ekspansi bergerak mendekati diskontinu, tidak akan pernah hilang meskipun terdapat takberhingga bagian. Hal ini dikenal sebagai fenomena sebagai fenomena Gibbs. Gibbs.
Gambar 4.2 Konvergensi deret Fourier fungsi setengah g elombang, dengan (a) satu bagian, (b) dua bagian (c) tiga bagian, dan (d) 20 bagian dengan menunjukkan lampauan fungsi. 4.4 Fungsi Non-Periodik
Deret Fourier dapat pula digunakan untuk mengekspansi suatu fungsi non-periodik pada selang tertentu. Hasil dari selang tersebut kemudan diterapkan kepada selang lain sehingga membentuk suatu fungsi ekspansi periodik.
32
Misalnya mencari deret Fourier
pada selang
2≤≤2
. Dari gambar 4.3 terlihat
periodenya 4. Catat juga bahwa fungsinya merupakan fungsi genap, mengakibatkan bagian bernilai nol dan menyisakan bagian kosinus.
2≤≤2 .. 4 24 − cos24 cos2 2 sin2 20 4 sin2 16 11 2 4 − 13 20 83 . 4 16 1 1 3 = cos2 untuk2≤≤2 cossin Gaambar 4.3 Fungsi
Dengan persamaan
adapun untuk
, dimana
dengan selang
.
didapatkan
,
Hasil akhir untuk
, sesuai persamaan
, didapatkan
4.5 Deret Fourier Kompleks
Dari pelajaran bilangan kompleks, bentuk
. Secara sepintas, terlihat
bagian kosinus dan sinus muncul sekaligus. Hal ini membuat penyederhanaan deret Fourier. Deret Fourier dalam bentuk kompleks memiliki persamaan:
33
= exp2 . + 1 exp 2 .
dengan koefisien Fourier:
. exp + exp 2exp 2 { , . 0 , ≠ 121 − 2 − ∗
yang dapat diturunkan dengan mengalikan
pada
dengan
dan
mengintegralkannya, serta dengan memperhatikan relasi ortogonal:
Koefisien kompleks dari deret Fourier memiliki hubungan:
Untuk
real, real, maka
, atau biasa disebut sebagai kompleks konjugat dari
.
4.6 Teorema Parseval
Teoream Parseval beguna dalam menghubungkan koefisien Fourier dengan fungsi yang dideskripsikannya. Bentuk umumnya:
1 +| | =− || 1 1 2 2 = . | |
Persamaan tersebut menyatakan penjumlahan dari modulus kuadrat dari koefisien deref Fourier kompleks memiliki nilai yang sama dengan
dalam satu periode. Teorema Parseval biasa
digunakan dalam penjumlahan deret.
34
5. TRANSFORMASI FOURIER
5.1 Pengantar Transformasi Fourier
Transformasi Fourier merepresentasikan fungsi terdefinisi pada interval takberhingga dan tidak
periodik. Dengan kata lain, transformasi Fourier merupakan me rupakan generalisasi gene ralisasi dari deret Fourier yang merepresentasikan fungsi periodik. Misalkan untuk sebuah fungsi dengan periode direpresentasikan sebagai deret Fourier kompleks
Saat periode
=− / =− . ∆2/ / / 1 ∆ − / −/ 2 −/− . menuju tak terhingga, frekuensi quantum,
spektrum frekuensi yang diizinkan
dapat
menjadi sangat kecil dan
menjadi kontinu. Penjumlahan tak terhingga berbentuk
deret Fourier menjadi sebuah integral, dan koefisien
menjadi fungsi kontinu dengan variabel
, dimana persamaannya
. / ∆ =− 2 −/− . 2/ ∞2/∆ 2/ 2/ ∆ → 1 2 2 =−
Substitusi ke persamaan
sampai disini,
, didapatkan bentuk
masih merupakan fungsi diskrit yang nilainya
.
Untuk memudahkan imajinasi, perhatikan gambar 5.1. Setiap titik pada kurva merupakan alur dari
sebagai fungsi dari dan jelas bahwa
panjang (garis putus-putus) ke- . Saat
menuju
memberikan luas dari persegi
, maka
menjadi sangat kecil,
lebar dari persegi panjang akan menuju nol dan, dari definisi matematis dari integral,
35
Gambar 5.1 Hubungan bagian Fourier untuk fungsi periode dan integral Fourier dari suatu fungsi dimana
Sehingga persamaan
/ −/− . 21 − − − menjadi
.
Hasil ini dikenal dengan teorema inversi Fourier.
√ 221 − − . 1 √ 22 − .
Transformasi Fourier dari
dengan inversnya
kemudian didefinisikan
5.2 Fungsi Delta Dirac ( )
Fungi delta Dirac dapat divisualisasikan sebagai pulsa sangat tajam (waktu, ruang, densitas, dsb) yang memproduksi sebuah efek dengan magnitude tertentu.
Fungsi -Dirac memiliki sifat
0 untuk ≠ 0 .. 36
namun secara fundamental sifatnya memenuhi
. 1 untuk setiap , > 0 .. − 1 1 . , |1| , 0 . 10 untuntuukk >0<0 . 0 . . 1 2 −−− . √ 122 − − √ 122 .
menghasilkan selang integasi pada titik
; selain itu integralnya sama dengan nol. n ol. Hal ini
mengarahkan pada dua hasil lebih lanjut
dan
memberikan selang integasi
.
Sifat lain dari fungsi delta Dirac antara lain
Fungsi yang mirip dengan delta Dirac adalah fungsi Heaviside
namun fungsi ini diskontinu pada
. Hubungannya dengan fungsi delta Dirac
Dari teorema inversi Fourier, persamaan Dirac
, dapat dilihat hubungannya dengan fungsi delta
Adapun transformasi Fourier dari fungsi secara sederhana
37
5.3 Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap
Jika
ganjil atau genap, teorema inversi Fourier da pat disajikan dalam bentuk berbeda.
Untuk fungsi ganjil, didapatkan teorema inversi Fourier
2 si n sin ̃ 2 sin . 2 ̃sin . 2 cos cos 2 ̃ cos . 2 ̃cos .
menghasilkan transformasi Fourier sinus untuk fungsi ganjil
Untuk fungsi genap, didapatkan teorema inversi Fourier
menghasilkan transformasi Fourier sinus untuk fungsi ganjil
38
6. PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
6.1 Persamaan Diferensial Orde I
Persamaan diferensial merupakan kelompok dari persamaan yang mengandung derivatives. Sesuai dengan namanya, persamaan diferensial biasa (PDB) hanya mengandung turunan biasa (tidak mengandung turunan parsial) dan mendeskripsikan hubungan antara variable tidak
⁄
bebasnya, dengan variable bebasnya. Orde dari PDB secara sederhana mengacu pada orde
⁄
tertinggi dari turunannya (derivatives (derivatives). ). Persamaan yang hanya mengandung orde satu. Untuk persamaan yang mengandung 6.1.1 Bentuk Umum
disebut PDB orde 2, dan seterusnya.
Persamaan diferensial biasa dengan derajat satu hanya mengandung komponen suatu fungsi x fungsi x dan dan y y.. dan dapat ditulis dalam dua bentuk umum :
,, ,
dimana
disebut PDB
,, ,, 0 0 . ,, ,, ⁄ ,, ,, , ,, , ,, , , dan
⁄
untuk
secara umum dapat berupa
fungsi x fungsi x dan dan y. y.
6.1.2 Persamaan Variabel Pisah
Persamaan variable pisah merupakan persamaan yang dapat dengan sederhana dituliskan dalam bentuk :
Dimana
dan
.
adalah fungsi dari x dan y, termasuk juga dalam kasus
atau
adalah sebuah konstanta. Dengan melakukan pengaturan ulang, persamaan tersebut dapat ditulis kedalam bentuk integral
.
yang solusinya didapat dengan menyelesaikan persamaan tersebut.
39
6.1.3 Persamaan Eksak
Persamaan diferensial eksak memenuhi bentuk umum
,, ,, 0, 0, dimana . ,, ,, ,, ,, . ,, . ,, 0 ,, ,, ,, . ,,
Persamaan
dapat dituliskan dalam variable
, atau dengan kata
lain
sehingga terlihat hubungan
Dengan merujuk pada persamaan diferensial eksak, . Dimana
, sehingga memiliki solusi
disini dapat dicari dengan menyelesaikan salah satu dari dua persmaan
diatas, dimana hasilnya adalah solusi dari persamaan d iferensial eksak.
Dimana untuk
dapat ditemukan dengan menurnkan persamaan
kemudian melakukan penyamaan dengan persamaan
.
diatas diatas terhadap ,
6.1.4 Persamaan Linear
Persamaan diferensial linear dapat ditulis dalam bentuk sederhana :
.
Persamaan tersebut dapat dirubah menjadi persamaan eksak dengan mengalikan factor pengintegralan. Faktor pengintegralan disini hanya berupa fungsi x semata.
40
,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,, , ∫ −∫−∫ ∫ .
Dengan memisalkan faktor pengintegralan
, persamaan umum PDB linear menjadi
yang dengan melakukan pengintegralan,
faktor pengintegralan
dapat ditemukan dengan melihat bahwa :
yang memberikan hubungan sederhana :
Sehingga penyelesaian umumnya memenuhi persamaan
6.1.5 Persamaan Bernoulli
Bentuk umum persamaan Bernouli adalah :
, dengan ≠ 0 atau 1 . − 1 − 1
PDB Bernoulli merupakan kasus khusus dari PDB linear, tapi PDB Bernoulli ini tidaklah linear. Hal ini disebabkan karena adanya
dengan melakukan pemisalan sebuah variable baru .
. Namun, PDB Bernoulli dapat diubah menjadi PDB linear yang mengakibatkan
41
dimana dengan menggantikan dy pada dy pada persamaan sebelumnya didapatkan :
1 1 .
yang merupakan bentuk PDB linear. Tentu saja, solusinya dicari dengan metoda PDB linear. 6.1.6 Persamaan Homogen
Persamaan diferensial homogen merupakan PDB yang dapat ditulis :
,,,, . ,,, , ,, ,
dimana fungsi
dan
merupakan fungsi homogen dengan derajat yang sama. Sebuah
homogen dengan derajat n jika, untuk setiap , memenuhi
Misalnya, jika
dan
, kita lihat bahwa A A dan B B merupakan fungsi
homogen dengan derajat 3. Secara umum, untuk fungsi dengan bentuk A dan B, keduanya merupakan fungsi homogen, dan dengan derajat yang sama. Kita menjumlahkan setiap pangkat dari x dan y pada bagian A A dan B untuk menjadi sama. Sisi kanan dari PDB homogen dapat
ditulis sebagai fungsi y/x. y/x. Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan melakukan substitusi , sehingga
.
Ini kemudian merupakan PDB variabel pisah dan dapat langsung diintegralkan
6.2 Persamaan Diferensial Orde II
6.2.1 Persamaan Diferensial Linear Secara Umum
Bentuk umumnya :
− − −− −− ⋯ 42
Saat
0
, persamaannya disebut homogen, sebaliknya, persamaannya disebut tidak
homogen. Solusi umum untuk persamaan diferensial linear, mengacu pada persamaan diatas, akan mengandung n buah konstan. Kasus paling umum yang sering dijumpai dalam masalah fisika adalah persamaan diferensial linear orde dua. Karena itu, buku ini memfokuskan untuk kasus PD Linear orde dua :
Dimana
, dan
adalah sebuah fungsi yang kontinu. Persamaan ini biasa digunakan adalah
untuk mempelajari gerak dari sebuah pegas.
6.2.2 PD Linear Homogen Orde Dua dengan Koefisien Konstan
0 0
Seperti di awal pembahasan, saat
, persamaannya menjadi homogen. Bentuk umunya :
Dua fakta dasar membantu kita untuk dapat memecahkan solusi untuk persamaan di atas. Pertama adalah jika kita mengatahui dua solusi
dan
untuk persamaan tersebut,
kombinasi linearnya juga merupakan solusi :
Dengan subtitusi
dan
adalah suatu konstanta tertentu. Hal ini dapat dibuktikan dengan melakukan
dan
pada persamaan yang menghasilkan nilai 0 dan menurunkan
kali lalu melakukan subtitusi pada persamaan awal.
dua
Fakta lain yang membuat kita mampu memecahkan solusi persamaan ini adalah, solusi
2 , dan
umumnya berupa kombinasi linear dari dua solusi linear yang independen
berarti antara
jelasnya, fungsi dan
dan
dan
. Ini
bukanlah merupakan kelipatan antara satu sama lain. Lebih
dan
merupakan fungsi tidak bebas secara linear, tapi
merupakan fungsi bebas secara linear.
Secara umum tidak mudah mencari solusi khusus untuk PD linear orde dua. Namun saat
koefisiennya,
adalah sebuah konstanta, hal tersebut dapat dengan mudah adalah
43
dilakukan.
PD linear homogen orde dua dengan koefisien konstan akan memiliki formula
sebagai berikut :
Dengan
, dan ’ 0’
0 . ≠ 0.0.
adalah konstanta dan
Solusi persamaan di atas adalah sebuah fungsi y fungsi y,, teerdiri dari sebuah konstanta dikalikan dengan turnuan keduanaya
′
ditambah dengan kontastanta lain yang dikalikan dengan turunan
pertamanya
yang ditambah lagi dengan konstanta kemudian dikalikan dengan
menghasilkan
. Kita mengatahui bahwa fungsi eksponensial
(dengan
′ ′ 0 0 0 . 0
konstanta) memiliki turunan sebuah konstanta yang dikalikan dengan dirinya sendiri Adapun turunan keduanya
atau :
Tapi
adalah .
. Dengan melakukan substitusi dengan persamaan diatas :
tidak pernah 0, sehingga
adalah solusi untuk PD linear homogen orde dua
dengan koefisien konstan, dengan r adalah akar-akar dari persamaan :
Persamaan di atas disebut persamaan karakteristik dari persamaan
.
Nilai bisa didapatkan dengan cara pemfaktoran, namun tidak jarang juga menggunakan rumus akar persamaan kuadrat :
±√ ,, 2 4 4 4>0 0. Dimana kita dapatkan tiga kasus yang bergantung pada diskriminan
Kasus pertama, saat
berbeda. Sehingga
. Kasus ini, akar-akar
dan
dan
.
merupakan persamaan yang
adalah dua solusi linear yang bebas dari persamaan
Sehingga solusi umumnya dapat ditulis : Sehingga
44
Kasus kedua, saat
. 40 − 20
. Pada kasus ini r 1 = r 2. 2. Sehingga akar-akarnya real dan sama.
Kita misalkan akar-akar sama ini dengan . Sehingga, rumus akar persamaan kuadrat : sehingga
Dari syarat-syarat tersebut, didapatkan solusi untuk PD linear homogen orde dua dengan koefisien konstan dan akar-akar yang sama memberikan :
. 4<0. ⁄22 √ 42 (++) −(−−) cos cos cos cos cossinsin cos sisinn cos sin cos sin . 0
Kasus ketiga, saat
Pada Pada kasus ini, r 1 dan r 2 terdiri dari bilangan kompleks. Kita
dapat menuliskan :
dan
Dimana dan adalah bilangan real ( dengan menggunakan persamaan Euler :
dan
), sehingga
Solusi yang kita dapatkan menjadi :
atau disederhanakan
Dengan
dan
. Formula ini memberikan semua solusi yang
dibutuhkan untuk persamaan diferensial.
Rangkuman solsui untuk persamaan diferensial
45
6.2.2 PD Linear Tidak Homogen Orde Dua dengan Koefisien Konstan
Formasi umum dari persamaannya adalah :
Dimana A, B, dan C adala suatu konstanta dan G adalah fungsi kontinu. Kita tahu bentuk homogennya adalah :
0 .
Solusi umum dari persamaan linear tidak homogen adalah :
Dengan
adalah solusi khusus dari persamaan linear orde dua tidak homogen dengan
koefisien konstan. Salah satu metode menyelesaikan persamaan jenis ini, pertama-tama, kita ilustrasikan sebuah persamaan :
.
Dimana
adalah sebuah polynominal. Masuk akal ketika kita menebak bahwa terdapat
solusi partikular jika
yang merupakan polynominal dengan derajat yang sama dengan
adalah polynominal, maka
dilakukan subtitusi
karena
juga merupakan polynominal. Kemudian
sebuah polynominal kedalam persamaan tersebut dan menentukan
koefisiennya. Misalkan
adalah sebuah polynominal
, kita dapat mencari solusi khususnya dengan
formasi :
Kemudian melakukan diferensiasi sebanyak dua kali, lalu subtitusikan hasilnya pada persamaan awal untuk mencari koefisien.
46
. cos sin cossin . 2 43 cos3 sin3
Adapun ketika Q(x) adalah Q(x) adalah sebuah fungsi dengan formasi
dengan C dan k adalah konstanta,
kita menggunakannya solusi percobaan dengan formasi sama
karena turunan dari Jika
adalah suatu konstanta yang dikalikan dengan
adalah fungsi yang terdiri dari
dan
.
, dengan memperhatikan aturan
penurunan terhadap sinus dan kosinus, kita ambil sebagai solusi percobaan partikular adalah fungsi dengan formasi :
Kasus lain, ketika
merupakan hasil dari suatu fungsi yang didahuli oleh sebuah variabel,
kita mengambil solusi percobaan partikular yang sesuai d engan fungsi tersebut. Misalkan :
Kita mencoba solusi khususnya :
47
7. TRANSFORMASI LAPLACE
7.1 Definisi
Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial. Meski berbeda dan menjadi alternatif untuk variasi parameter dan koefisien yang tidak ditentukan, metode Laplace bermanfaat secara terpisah untuk masukan bagian yang hanya terdefinisi sebagian, periodic, ataupun impulsive. Transformasi Laplace
} − . dari dari fungsi
didefinisikan didefinisikan :
yang merupakan bentuk umum integral biasa. Karena bentuk integral, sifat-sifat dari integral juga berlaku untuk transformasi Laplace ini. Misalnya :
} } } .
7.2 Fungsi Elementer
0 < 0 1, >0 1} − 1 ,>0 ,>0
Sebagai pengantar transformasi Laplace, mari kita mengaplikasikannya untuk beberapa fungsi elementer. Untuk setiap kasus, kita asumsikan
untuk
. Jika
transformasi Laplacenya menjadi :
Contoh lain,
48
transformasi Laplacenya menjadi :
} − 1 ,>
Dari dua bentuk diatas, transformasi Laplace untuk fungsi hiperbolikus diketahui. Kita tahu,
ℎ ℎ dan
dapat
cosh −, sinh − cosh} cosh} − + + sisinh} − + + > cos si n cos cos} + sisin}} + >0 } ∫ − ! untuk >0 dan >1 → 0 , ,
transformasi Laplacenya menjadi :
,
,
Dimana keduanya terpenuhi untuk
.
Hal tersebut juga dapat dibuktikan untuk mencari transofmasi dari
dan
, dimana :
,
,
Keduanya berlaku untuk
.
Fungsi elementer lain yang juga sering digunakan, adalah Laplacenya :
, yang transformasi
,
dengan menyelesaikan bentuk integral tersebut, didapatkan :
.
Dari beberapa persamaan di atas, setiap transformasi memiliki variabel
pada pembagi,
sehingga muncul sebagai pangkat negative. Dari definisi awal transformasi Laplace dan syarat keadaannya, dapat kita lihat bahwa jika
adalah sebuah transformasi Laplace, adalah
.
49
Suatu hal penting dari fakta ini adalah jika
bersifat asymptotis untuk nilai yang besar
sebagai pangkat positif dari , tidak ada transformasi invers yang memenuhi persamaan tersebut. 7.3 Hubungan Fungsi Tertentu dengan Transformasi Laplace
Secara umum, fungsi Heaviside merupakan fungsi diskontinu yang nilainya nol untuk bagian
,
negative dan nilainya satu untuk bagian positif. Misalkan fungsi Heaviside kita definisikan sebagai
{01,, <> ,, . Gambar 7.1 Contoh grafik fungsi Heaviside
dimana transformasi Laplace dari fungsi tersebut adalah :
} − 1 −
Misalnya sebuah grafik signal
0 } 1 − dengan tinggi
saat
sampai
, dengan
menggunakan fungsi Heaviside, signal tersebut dapat direpresentasikan sebagai : .
Transformasi Laplacenya menjadi :
.
Penggunaan lebih lanjut pada persamaan diferensial akan berguna dengan menggunakan konsep fungsi Delta Dirac. Transformasi dari fungsi Delta Dirac :
} − −,
untuk >0 . 50
Untuk
0
Gambar 7.2 Grafik fungsi Delta Dirac
≥ 0 ≥
perlu diperhatikan, karena fungsi Delta Dirac berpengaruh pada distribusi
kesimetrian dan definisi integral dari transformasi Laplace teerdestriksi untuk
. Hasil yang
konsisten dari transformasi Laplace, didapatkan ketika urutan delta pada jangkauan hasilnya :
} 1
, yang
Fungsi delta ini sering disebut fungsi impulse impulse karena sangat berguna dalam mendeskripsikan gaya impulsive, yakni gaya yang terjadi pada waktu yang singkat. 7.4 Penerapan Transformasi Laplace pada Diferensial
Salah satu fungsi dari transformasi Laplace adalah untuk menyelesaikan solusi dari persamaan difrensial.
Transformasi
Laplace
menjadikan
ditransformasi ke ruang Laplace menjadi fungsi
persamaan
diferensial
yang
dianalisis
. Fungsi terebut dapat dirubah bentuknya
menjadi aljabar sederhana, lalu melakkukan transformasi balik fungsi tersebut sehingga didapatkan solusi dengan variabel asal fungsi.
Gambar 7.3 Diagram alir penggunaan transformasi Laplace untuk diferensial
51
} − . ∞ − } 0 − } 0 } } 0 0 .
Misalkan transformasi Laplace untuk fungsi
: :
Dengan melakukan integral parsial :
Untuk turunan dengan orde dua, didapatkan :
Dari pemaparan tersebut, transformasi laplace untuk turunan den gan orde lebih tinggi akan mengikuti pola :
} } −0 ⋯−−0 . −} } } − } ∗ . ∗ ∗ . 1 1 − − 0 1 − Setelah mendapatkan fungsi dari
, persamaan tersebut diolah dengan operasi aljabar
sederhana kemudian melakukan transformasi balik untuk mendapatkan nilai
yang yang kembali
pada variabel awal :
Transformasi balik Lapace ini dikaji lebih dalam dengan teorema konvolusi. Misalkan dan dan
Dimana
, transformasi balik dari hasil kalinya :
adalah konvolusi dari fungsi dan yang memenuhi persamaan :
Adapun penerapan transformasi laplace pada integral :
Bagian pertama pada ruas kanan diabaikan, sehingga :
52
1 . − − −
Bentuk lain, ketika kita memiliki fungsi fungsi konvergen bervariabel :
Dengan mengubah urutan integrasinya dapat dilihat bahwa :
.
Dari berbagai penjabaran tentang transformasi Laplace di atas, berikut adalah table transformasi Laplace untuk fungsi-fungsi standard.
Tabel 7.1 Daftar Transformasi Laplace beberapa fungsi
53
DAFTAR PUSTAKA
[1].K. [1]. K. F. Riley, M. P. Hobson, S.J. Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering , 3rd Ed., Cambridge University Press, London, (2006) [2].G. [2]. G. B. Arfken, H. J. Weber, F. E. Harris, Mathematical Methods for Physicists, Physicists, 7th Ed., Elsevier, Walthman, (2013) [3].T.Surungan, [3]. T.Surungan, Fisika Fisika Matematika, Matematika, Vol. 1, Lembaga Kajian dan Pengembangan Pendidikan Universitas Hasanuddin, Makassar, (2012)
54
