DIKTAT PERKULIAHAN
Z = a +jb Z = r (Cos Ө + jSin Ө= arc tg (b/a)
Ө)
MATEMATIKA I UNTUK MAHASISWA TEKNIK TELEKOMUNIKASI SEMESTER SATU
R
r R
1/2h
r
Oleh: Ir. Sutanto,MT. NIP.195911201989031002
Dibiayai Dengan : Dana DIPA Penyusunan Naskah Bahan Ajar Nomor Kontrak : 021/K7.A/UP2AI/2010 021/K7.A/UP2AI/2010
JURUSAN TEKNIK ELEKTRO
POLITEKNIK NEGERI JAKARTA DESEMBER, 2010 1
PRAKATA
Penulisan diktat ini bertujuan untuk memudahkan dan membantu mahasiswa program studi Teknik Telekomunikasi semester satu dalam mempelajari, memahami dan mengaplikasikan matakuliah matematika dalam bidang teknik telekomunikasi. Selain Selain dari pada itu itu diktat ini juga juga sangat bermanfaat dalam memberikan bekal pada para mahasiswa sebagai bahan penunjang mata kuliah lain dan sebagai sarana pembantu dalam menyelesaikan persoalan keteknikan yang membutuhkan matematika tingkat tinggi. Sebagaimana diketahui bahwa dalam bidang teknik telekomunikasi sangat banyak persoalan yang penyelasaiannya sangat membutuhkan bantuan matematika. Sebagai contoh perhitungan medan listrik, medan magnet, rangkaian listrik, pengolahan sinyal, otomatisasi system dan sebagainya. Berdasarkan penelusuran diperpustakaan dan informasi dari dosen pengasuh masing-masing materi tersebut ternyata antara 70% – 90 % penyelesaian persoalan hitungan sangat membutuhkan bantuan matematika. Materi yang akan dibahas dalam diktat ini antara lain diferensial, integral, penerapan diferensial, penerapan integral, akar, pangkat, persamaan kuadrat, persamaan linier, bilangan kompleks, penerapan bilangan kompleks dan penerapan persamaan linier. Pada kesempatan ini penulis sebelumnya mengucapkan terimakasih kepada: 1. Kepala UP2AI PNJ yang telah menyediakan pendanaan untuk penulisan diktat 2. Ketua Jurusan Teknik Elektro dan Ketua Program Studi Teknik Telekomuniksi PNJ yang telah memberi kepercayaan pada penulisan diktat ini.
Depok, 29 Desember 2010 Penulis diktat
Ir. Sutanto,MT NIP.195911201989031002
2
PRAKATA
Penulisan diktat ini bertujuan untuk memudahkan dan membantu mahasiswa program studi Teknik Telekomunikasi semester satu dalam mempelajari, memahami dan mengaplikasikan matakuliah matematika dalam bidang teknik telekomunikasi. Selain Selain dari pada itu itu diktat ini juga juga sangat bermanfaat dalam memberikan bekal pada para mahasiswa sebagai bahan penunjang mata kuliah lain dan sebagai sarana pembantu dalam menyelesaikan persoalan keteknikan yang membutuhkan matematika tingkat tinggi. Sebagaimana diketahui bahwa dalam bidang teknik telekomunikasi sangat banyak persoalan yang penyelasaiannya sangat membutuhkan bantuan matematika. Sebagai contoh perhitungan medan listrik, medan magnet, rangkaian listrik, pengolahan sinyal, otomatisasi system dan sebagainya. Berdasarkan penelusuran diperpustakaan dan informasi dari dosen pengasuh masing-masing materi tersebut ternyata antara 70% – 90 % penyelesaian persoalan hitungan sangat membutuhkan bantuan matematika. Materi yang akan dibahas dalam diktat ini antara lain diferensial, integral, penerapan diferensial, penerapan integral, akar, pangkat, persamaan kuadrat, persamaan linier, bilangan kompleks, penerapan bilangan kompleks dan penerapan persamaan linier. Pada kesempatan ini penulis sebelumnya mengucapkan terimakasih kepada: 1. Kepala UP2AI PNJ yang telah menyediakan pendanaan untuk penulisan diktat 2. Ketua Jurusan Teknik Elektro dan Ketua Program Studi Teknik Telekomuniksi PNJ yang telah memberi kepercayaan pada penulisan diktat ini.
Depok, 29 Desember 2010 Penulis diktat
Ir. Sutanto,MT NIP.195911201989031002
2
DAFTAR ISI
Halaman pengesahan ....................... ....................... ........................ ..................... .... .......... Prakata …………………………………………………………………………. Daftar isi …...……………………………………………………………………. Pendahuluan ….......…………………………………………………………………. Gambaran umum materi kuliah …………………...............……… Tujuan pembelajaran umum ………………..................……………. Gambaran umum isi diktat ……………………..…………………… Proses pembelajaran ………………………………………………….... Bab I. Integral .................. ....................... .......................... ........................ ............ ............ Pendahuluan ..................... ....................... ....................... ...................... ... ............ Integral tunggal .................... ....................... ...................... ................. Integral rangkap ..................... ........................ ....................... ............. Tugas / latihan soal-soal ...................... ........................... ....................... ... Daftar Pustaka ...................... ....................... ........................ .................... Bab II. Diferensial ………………...................... ...………………………………….... Pendahuluan ……………………………………………………....... Prinsip dasar diferensial ...................... ....................... ....................... . Penerapan diferensial ........................ ...................... .......................... ..... Tugas / latihan soal-soal ...................... ........................... ....................... ... Daftar Pustaka ...................... ....................... ........................ ..................... Bab III. Pangkat............................ ........................ ......................... ........................ ........ Pendahuluan ................... ........................ ....................... ....................... .. Pangkat bulat .................... ....................... ....................... ...................... ... Pangkat pecah ..................... ........................ ....................... ....................... Tugas / latihan soal-soal .......... ........................ ....................... .......... Daftar Pustaka ..................... ....................... ........................ ..................... Bab IV. Akar ...................... ....................... ....................... ...................... ....................... .... ... Pendahuluan ....................... ....................... ...................... .......................... . Pernyataan bentuk akar ..................... ......................... ........................ ........ Tugas / latihan soal-soal ...................... ......................... ......................... ... Daftar Pustaka ...................... ........................ ......................... .................... Bab V. Persamaan non linier ..................... ........................ ........................ ................. Pendahuluan .................... ........................ ....................... ....................... ..... Persamaan kuadrat ................... ......................... ....................... .......... Penerapan (aplikasi) persamaan non linier........................... ............... Tugas / latihan soal-soal ...................... ........................... ................... Daftar Pustaka ..................... ....................... ........................ ....................... Bab VI. Persamaan linier .................... ....................... ........................... ....................... ........ Pendahuluan .................... ........................ ....................... ....................... .... Penyelesaian persamaan linier ...................... ........................ .................. Penerapan persamaan linier ..................... ........................ ....................... .. Tugas / latihan soal-soal ..................... ........................... ....................... .... Daftar Pustaka ...................... ....................... ........................ ...................... Bab VII. Bilangan kompleks .................... ........................ ......................... .... ............ Pendahuluan .................... ........................ ....................... ....................... ..... Bentuk umum bilangan kompleks .................. ...................... .................... Penerapan bilangan kompleks .................... ....................... ................ Tugas/latihan soal-soal................................ ........................ ................ Daftar Pustaka ...................... ....................... ........................ ......................
3
Halaman i ii iii 1 1 1 1 1 2 2 2 10 13 13 14 14 14 28 33 33 34 34 34 37 42 43 44 44 44 48 48 49 49 49 73 83 85 86 86 92 94. 98 99 100 100 100 109 112 113
PENDAHULUAN 1.1. Gambaran Umum Materi Kuliah
Materi yang akan dibahas dalam diktat Matematika I ini terdiri atas diferensial, integral, penerapan diferensial, penerapan integral, akar, pangkat, persamaan kuadrat, persamaan linier, bilangan kompleks, k ompleks, penerapan penerapa n bilangan bilanga n kompleks ko mpleks dan penerapan persamaan linier. Dalam setiap materi yang akan diajarkan pada mahasiswa selalu diberikan gambaran umum tentang isi materi yang akan dipelajari dan manfaat dari materi tersebut dalam kaitannya dengan mata kuliah lain maupun pada saat mahasiswa tersebut bekerja di masyarakat umum atau industri. 1.2.
Tujuan Pembelajaran Umum
Supaya Mahasiswa Teknik Telekomunikasi Semester I mampu menerapkan dasardasar matematika pada Teknik Telekomunikasi 1.3.
Gambaran Umum Isi Diktat
Secara umum diktat d iktat terdiri atas kata pengantar, pendahuluan, topik bahasan, b ahasan, uraian topik
bahasan
(meliputi pendahuluan , penjelasan masing-masing topik, contoh soal,
latihan soal- soal dan tugas) dan daftar pustaka 1.4.
Proses Pembelajaran
Proses pembelajaran yang akan dilakukan terdiri atas: a. memberikan penjelasan kepada mahasiswa b. memberikan informasi, uraian dan contoh c. memberikan latihan dan tugas d. memeriksa latihan dan tugas yang telah diselesaikan oleh mahasiswa e. memberikan bimbingan berdasarkan umpan balik dari latihan atau tugas yang telah dikerjakan mahasiswa f. memberikan penilaian pada setiap mahasiswa berdasarkan tugas/latihan, tes harian dan UTS dan UAS
4
BAB I. INTEGRAL
I.1.Pendahuluan
Integral merupakan kebalikan dari hitungan diferensial. Artinya jika hasil integral didiferensialkan, maka hasilnya
harus sama sama dengan soal yang diintegralkan tersebut. tersebut.
Pembagian integral berdasarkan batas integral dibedakan menjadi integral tertentu dan tak tentu. Integral tertentu artinya batas bawah dan batas atas telah ditentukan nilainya, sedangkan integral tak tentu nilai batas bawah dan atas belum ditentukan. Berdasarkan tingkat integrasinya, maka integral dibedakan menjadi itegral tunggal, integral rangkap dua,integral rangkap tiga dan seterusnya. Tetapi dalam pembahasan integral ini hanya dibatasi sampai integral rangkap tiga saja. Dalam aplikasinya integral rangkap dua antara lain digunakan untuk menghitung luas bidang, sedangkan integral rangkap tiga antara lain digunakan untuk menghitung volume dalam ruang tertutup. I.2. Integral tunggal tak tentu Contoh
1.
ʃ x dx = ½ x 2 + C
2.
ʃ (1/x)dx = ln x + ln C
3.
ʃ e x dx = e x + C
4.
ʃ e 2x dx = ½ e 2x + C
5.
ʃ Sinx dx = - Cosx + C
6.
ʃ Cosx dx = Sinx + C
7.
ʃ tgx dx = ln(Sec x) + C
8.
ʃ Cotx dx = ln(Sinx) + C
9.
ʃ Secx dx = ln(Sec x + tg x) + C
10. ʃ Cosec x dx = ln(Cosec x – Cot x) + C 2
11. ʃ Sin x dx = ½ (x) -1/4 (Sin 2x) + C
5
12. ʃ Cos x dx = ½ (x) +1/4 (Sin 2x) + C 2
2
13. ʃ tg x dx = tg x – x + C 2
14. ʃ cot x dx = -cot x – x + C 15. ʃ a dx = (a /lna)+ C x
x
16. ʃ lnx dx = x ln x –x + C 17. ʃ (1/x lnx) dx = ln (lnx) + C 18. ʃ Sinhx dx = Cosh x + C 19. ʃ Cosh x dx = Sinh x + C 20. ʃ tghx dx = ln (Cosh x) + C 21. ʃ Cothx dx = ln (Sinh x) + C 22. ʃ Sech x dx = arc tg (Sinh x) + C 23. ʃ Cosech x dx = ln [tgh(1/2 x)] + C 24. ʃ Sinh x dx = ¼ Sinh 2x – ½ x + C 2
25. ʃ Cosh x dx = ¼ Sinh 2x + ½ x + C 2
2
26. ʃ tgh x dx = x – tgh x + C 2
27. ʃ Cotgh x dx = x – Cotgh x + C I.3. Bentuk umum integral tunggal tak tentu
1. ʃ x dx/(a + bx) = 1/(b ) [ a + bx – a ln(a +bx)] + C, dengan a dan b adalah tetapan ≠ 0 2
2
3
2
2
2. ʃ x dx/(a +bx) = 1/(b ) [1/2( a + bx) – 2a(a +bx) + a ln (a +bx)] + C, dengan a dan b adalah tetapan ≠ 0 3. ʃ xdx/(a +bx) = 1/(b ) [ a/(a + bx) + ln(a +bx)] + C 2
2
2
2
3
2
4. ʃ x dx/(a +bx) = 1/(b ) [ a + bx – a /(a +bx) - 2a ln (a +bx)] + C 6
5. ʃ x 6. ʃ x
√(a + bx) dx = 2/(15b3)(3 bu -2a)( a + bu)3/2 + C 2
√(a + bx) dx = 2/(105b3)(15 b2u2 - 12abu + 8 a 2)(a + bu)3/2 + C
7. ʃ x dx/(
√a + bx) = [2/(3b2)][ bu -2a) √ a +bx + C
2
√a + bx) = [2/(15b3)][ 3b2 u 2 - 4abu + 8a 2 ) √ a +bx + C
8. ʃ x dx/( 2
2
-1
9. ʃ dx /( a + x ) = 1/a [arc tg (x/a)] + C = 1/a [tg (x/a)] + C 10. ʃ dx /( a - x ) = 1/2a ln[(x+a)/(x-a) ] + C 2
2
2
2
11. ʃ dx /( x - a ) = 1/2a ln[(x - a)/(x+a) ] + C 12. ʃ dx/(
√ a2 + x 2) = ½ (x√ a2 + u 2 ) - (a 2/2) ln [( 1/a√ a2 + u 2 - u/a )] + C
13. ʃ x e dx = x e -n n
x
n
x
n
x
n
n-1
x
x e dx + C
x
n-1
14. ʃ x a dx = [(x a ) / lna] – n/lna n
n-1
x
x a dx + C
2
15. ʃ (lnx)( x ) dx = [x / (n +1) ][(n+1) ln x -1] + C I.4. Metoda penyelesaian integral tunggal tak tentu I.4.1. Metoda subsitusi trigonometri Contoh: 2 3/2
1. Selesaikan: ʃ [1/(4 – x ) ] dx Jawab: Sin Ө = x/2
x
dx/ dӨ = 2 Cos x
Ө
Ө dx = 2 Cos Ө d Ө
√4 – x2
Cos Ө = ½
2
= 2 Sin
√4 – x2 = 2 Cos Ө √ 4 – x2Ө
Ө (4 – x2)1/2(3) = (2 Cos Ө)3 2 3/2 3 Ө (4 – x ) = 8 Cos Ө √4 – x2 ʃ [1/(4 – x 2)3/2] dx = ʃ 2 Cos Ө d Ө /8 Cos 3 Ө = 1/4 ʃ Cos -2 Ө d Ө = 1/4 ʃ Cos -2 Ө d Ө 2 =1/4 ʃ Sec Ө d Ө 2 =1/4 tg Ө + C = ¼ [ x/√4 – x ] + C 2 1/2
(4 – x ) = 2 Cos
= x/[ 4/√4 – x ] + C 2
2. Selesaikan: ʃ 1/[x
2
√ (9 – x 2)] dx 7
Jawab: Sin Ө = x/3
x
dx/dӨ = 3 Cos x
Cos Ө = 1/3
3
Ө
= 3 Sin dx
Ө
= 3 Cos
√9 – x2
√9 – x2 = 3 Cos Ө √ 9 – x2Ө
2 1/2
(9 – x ) = 3 Cos
Ө
√9 – x2
ʃ 1/[x 2√ (9 – x 2)] dx
Latihan Dengan subsitusi trigonometri selesaikan integral berikut:
I.4.2. Metoda integral sebagian Contoh:
1.Tentukan : ʃ arc Cos 2 x dx Jawab: Misal: u = arc Cos 2x
8
Ө d Ө
dv = dx
v
=x
ʃ arc Cos 2 x dx = ʃ udv = uv - ʃ vdu
Menentukan:
2
Misalkan: 1 - 4x = m atau m = 1 - 4x
2
dm/dx = - 8 x 2x
dm = - 8 x dx
dx = - 1/4 dm
Sehingga:
= -1/4 (2 m
1/2
) = - 1/2 m
= - 1/2√ 1- 4 x
1/2
2
Jadi:
ʃ arc Cos 2 x dx = x arc Cos 2x - 1/2 √ 1- 4 x 2 + C 2.Tentukan: ʃ x
2
√1 – x dx
Jawab: Misal: u = x
2
du/dx
= 2x atau du = 2x dx 1/2
dv = √1 – x dx = (1-x) dx
v = - 2/3 (1-x)
3/2
ʃ x 2√1 – x dx = ʃ udv 2
= uv - ʃ vdu = -2/3 x (1-x) 2
= - 2/3 x (1-x) Menentukan : ʃ x (1-x)
3/2
3/2
3/2
+ 2/3 ʃ 2x (1-x)
+ 4/3 ʃ x (1-x)
dx 9
3/2
dx
3/2
dx
Misal: u = x du/dx = 1 atau du = dx 3/2
dv = (1-x) dx
v
= - 2/5 (1 - x)
5/2
Sehingga:
ʃ x √1 – x dx = ʃ udv = uv - ʃ vdu = -2/5(x) (1 - x) – ʃ - 2/5 (1 - x) dx 5/2
5/2
5/2 5/2 = -2/5(x) (1 - x) + 2/5 ʃ (1 - x) dx 5/2
7/2
= -2/5(x) (1 - x) + ( 2/5)(-2/7) (1 - x) 5/2 7/2 = -2/5(x) (1 - x) - 4/35 (1 - x)
Jadi:
ʃ x 2√1 – x dx = - 2/3 x 2 (1-x) 3/2 + 4/3 x (1-x) 3/2 dx 2
3/2
5/2 7/2 + 4/3[-2/5(x) (1 - x) - 4/35 (1 - x) ] + C
2
3/2
-8/15(x) (1 - x) - 16/105 (1 - x) ] + C
= - 2/3 x (1-x) = - 2/3 x (1-x)
5/2
I.4.3. Metoda pecahan sebagian Contoh:
1. Tentukan :
Jawab:
Misal:
Nampak bahwa : 1 = x (A+B) +3(A-B)
10
7/2
0
Bila dilakukan evaluasi koefisien pada x dan x Ruas kiri
1
Ruas kanan
x
0
1
3(A-B)
x
1
0
A+B
Diperoleh persamaan: 3(A-B) = 1 ....................................(1) A + B = 0 ...................................(2) Dari persamaan (1) dan (2) didapat harga A = 1/6 dan B = -1/6 Sehingga:
= 1/6 ln (x-3) - 1/6 ln (x+3) + ln C
2. Tentukan:
Jawab: Misal:
Terlihat bahwa: 3
2
3
2
x + x + x +3 = (A+C) x + (B+D) x +(3A+C) x + (3B+D) 11
3
2
0
Berdasarkan evaluasi koefisien pada x , x , x, x diperoleh persamaan: A + C = 1 ...............................................(1) B + D = 1 ..............................................(2) 3A + C = 1 ..............................................(3) 3B + D = 3 ...............................................(4) Dari persamaan (1) s/d (4) diperoleh harga: A= 0, B=1, C = 1, D = 0
2
= arc tg x + ½ ln (x +3) + C Catatan: Menentukan :
Misal: 2
u= x +3 du/dx = 2x atau du = 2x dx
Latihan 1.
ʃ x arc tg x dx
2.
ʃ Sin x Sin 3x dx
3.
ʃ x arc Sin x dx
12
xdx
= ½ du
I.5. Integral rangkap dua tak tentu
Prinsip penyelesaian integral rangkap dua:
∫ ∫f(x)
f(y) dy dx
integral dalam integral luar Penyelesaian dapat dimulai dari integral dalam terlebih dahulu dilanjutkan integral luar atau sebaliknya. Contoh:
1. Selesaikan: ∫
∫ x y dy dx
Jawab: a. Penyelesaian dimulai dari integral dalam (dy)
∫ ∫ x y dy dx = ∫ ½ y 2 x dx = (½ y 2)( (½ x2) + C = ¼ y2 x 2 + C b. Penyelesaian dimulai dari integral luar (dx)
∫ ∫ x y dy dx =
2
2
2
2
2
½ x y dy = (½ x )( (½ y ) + C = ¼ y x + C
c. Penyelesaian dengan cara memisahkan masing-masing integral (hanya berlaku untuk bentuk perkalian):
2.
∫ ∫ x y dy dx =[ ∫ y dy][ ∫ x dx] = (½ y 2)( (½ x2) + C = ¼ y2 x 2 + C 2 2 Selesaikan: ∫ ∫ (x + y ) dy dx Jawab: a. Penyelesaian dimulai dari integral dalam (dy)
∫ ∫ (x 2 + y 2) dy dx = ∫ (y x 2 + 3
3
1/3 y ) dx 3
3
3
= y(1/3 x ) + 1/3 y (x) + C = 1/3 y x +1/3 y x + C
13
b. Penyelesaian dimulai dari integral dalam (dx)
∫ ∫ (x 2 + y 2) dy dx = ∫ ( 1/3 x 2 +
2
y x) dy
2
3
= (1/3 x )(y) + 1/3 y (x) + C =
I.6. Integral rangkap tiga tak tentu Contoh:
1.
ʃ ʃ ʃ x2 y z 2 dy dx dz Jawab:
ʃ ʃ ʃ x2 y z 2 dy dx dz
a. Penyelesaian dimulai dari integral dalam (dy)
ʃ ʃ ʃ x2 y z 2 dy dx dz = ʃ ʃ (x2)(1/2 y 2)( z2)dx dz 3
2
2
= ʃ (1/3x )(1/2 y )( z ) dz 3
2
3
= (1/3x )(1/2 y )( 1/3z ) 3 2 3
= 1/18 (x y z ) + C b. Penyelesaian dimulai dari integral tengah (dx)
ʃ ʃ ʃ x2 y z 2 dy dx dz = ʃ ʃ (1/3 x3)( y)( z2)dy dz 3
2
2
= ʃ (1/3x )(1/2 y )( z ) dz 3
2
3
= (1/3x )(1/2 y )( 1/3z ) 3 2 3
= 1/18 (x y z ) + C c. Penyelesaian dimulai dari integral luar(dz)
ʃ ʃ ʃ x2 y z 2 dy dx dz = ʃ ʃ (x2)( y)( 1/3z3)dy dx = ʃ (1/3x )( y)( 1/3 z ) dy 3
3
3
2
3
= (1/3x )(1/2 y )( 1/3z ) 3 2 3
= 1/18 (x y z ) + C
14
1/3 y
2
3
x + 1/3 y x + C
d. Penyelesaian dilakukan dengan memisahkan masing-masing integral
ʃ ʃ ʃ x2 y z 2 dy dx dz = [ ʃ x2 dx][ ʃ ydy][ ʃ z 2dz] 3
2
3
= (1/3x )(1/2 y )( 1/3z ) 3 2 3
= 1/18 (x y z ) + C 2. Tentukan : ʃ ʃ ʃ (x + y + z ) dy dx dz 2
2
Jawab: Pilihan memulai penyelesaian bebas. Bila dipilih integral luar, maka hasil integral:
ʃ ʃ ʃ (x2 + y + z 2) dy dx dz = ʃ ʃ (zx2 + zy +
3
1/3z ) dy dx
3
3
= ʃ ( 1/3 zx + zyx + 1/3z x) dy 3
2
3
= 1/3 zx y + ½ zy x + 1/3z xy + C Bila dipilih integral tengah, maka hasil integral:
ʃ ʃ ʃ (x2 + y + z 2) dy dx dz = ʃ ʃ (1/3 x3 + yx +
2
xz ) dy dz
3 3 = ʃ (1/3 zx + zyx + 1/3z x) dy 3
2
3
= 1/3 zx y + ½ zy x + 1/3z xy + C Catatan:
Untuk integral yang memiliki variabel dalam bentuk penjumlahan atau pengurangan, maka penyelesaian integral tidak bisa dipisahkan kedalam integral masing-masing variabel. Tetapi untuk bentuk perkalian, maka penyelesaian integral bisa dipisahkan kedalam masing-masing integral. I.7. Integral tertentu Contoh:
Selesaikan integral berikut:
Jawab: Misal : u = 1- x
du/dx
= -1
du = - dx atau dx = - du
15
3/2
1/2
=2/3[1-x]
0
= 2/3 [(1 - ½) = 2/3 [(½)
3/2
3/2
– (1-0)
– (1)
3/2
3/2
]
] = 2/3 [0,353553 -1]= -0,43096
Jawab:
Latihan
Selesaikan:
I.8. Daftar Pustaka
Kreyzig, E., 1979. Advenced Engineering Mathematics. 4nd, John Willey and Sons, New York. pp. 249-468,509-560,563-590 Mundit,A.K., 1984. Soal- Penyelesaian Kalkulus Deferensial dan Integral.Jilid I, Armico, Bandung. hal. 37-238, 305-433 16
BAB II. DIFERENSIAL II.1. Pendahuluan
Pada bagian ini akan dibahas prinsip dasar cara penyelesaian diferensial total dan parsial dari suatu fungsi. Selanjutnya dari prinsip dasar yang telah dilakukan tersebut akan dibuat suatu rumusan umum yang berkaitan dengan tata cara penurunanan atau diferensiasi dari berbagai bentuk fungsi. Tujuan utama dari bahasan ini adalah untuk mempelajari cara mendiferensialkan berbagai bentuk fungsi baik secara total maupun secara parsial.
II.2. Prinsip dasar diferensial total
Pada prinsipnya diferensial atau turunan dari suatu fungsi x atau y = f(x) dapat dihitung dengan menggunakan dasar persamaan:
Atau dapat juga dituliskan sebagai:
II.2.1. Prinsip dasar diferensial fungsi aljabar
Fungsi aljabar mempunyai bentuk yang sangat beragam, sehingga hasil diferensialnya juga sangat beragam. II.2.1.1. Bentuk Polinomial Contoh:
Dengan menggunakan prinsip bahwa:
2
1. Tentukan dy/dx dari y = x +1 Jawab: y +∆y
x∆x2 1 x2 2 x ∆x ∆x2 1
∆y
y +∆y ‐ y 17
= x2 2 x ∆x ∆x2 1 –[x +1] 2
= 2 x ∆x ∆x 2
2. Tentukan dy/dx dari : Jawab:
∆y
y +∆y ‐ y
Latihan Dengan menggunakan prinsip bahwa :
18
Tentukan dy/dx dari: 2
1. y = 2x + 2x 2. y = x/(x+1) 2
3. y = (x +1)/(2x +2)
II.2.1.2. Bentuk Esponensial
Contoh: Dengan menggunakan prinsip bahwa:
1.
Tentukan y’ dari : y = e
x
Jawab:
Dengan acuan turunan polinomial, maka: 2
3
y’ = 0 +1 +2x/2! + 3x /3! + 4x /4! 2
3
y’ = 1 + x + x /2! + x /3! = e
2.
x
2x
Tentukan y’ dari : y = e Jawab:
2
3
4
y = 1 +2x +4x /2!+ 8 x /3! + 16 x /4! + ... Dengan acuan turunan polinomial, maka: 2
3
2
3
y’ = 0 +2 +8x/2! + 24x /3! + 64x /4! + ... = 2(1+4x/2! + 12x /3! + 32x /4! + ...) 2
3
y’= 2[1+2x + (2x) /2! + (2x) /3! + ...] = 2 e
Bentuk umum turunan eksponensial: y=e
f(x)
y’= f
’
(x) e
f(x)
19
2x
II.2.1.3.Bentuk logaritma Hubungan antara log dengan ln adalah : log x = 1/2,3[ lnx]
1. Tentukan y’ dari : y = ln x Jawab y
x=e
y
e
y = ln x
x’
= x y
= dx/dy = e y
y’= dy/dx = 1/ e = 1/x
2. Tentukan y’ dari : y = ln x
2
Jawab: 2
y = ln x 2
x = e
y
2x
dx/dy = e
y
y
y’
y
dx/dy = e /2x dy/dx = 2x / e = 2x/x
2
3. Tentukan y’ dari : y = log x
= 2x/x
2
2
Jawab : 2
2
y = log x =1/2,3[ln x ] 2
y’= 1/2,3[2x/x ] Bentuk umum turunan fungsi logaritma y = ln[f (x)]
y’= f ’(x) / f (x)
y = log[f (x)]
y’=1/2,3[f ’(x) / f (x)]
Latihan Tentukan y’ ataua dy/dx dari: 3
2
1. y = log (2x + x + x +3) 4
2
4
2. y = log (3x + 3x + 2x +4) 4
3
2
3
4
3
2
1/2
3. y = ln(x + 3x + 2x +4x+2 ) 4. y = ln(x + 3x + 2x +4x+2 ) (5x+4)
5. y = e
20
II.2.2. Prinsip dasar diferensial fungsi Trigonometri
Ada beberapa fungsi trigonometri yang sering dijumpai pada pemakaian sehari-hari. fungsi tersebut antara lain: Sin x, Cos x, tg x dan sebagainya. Contoh:
Dengan menggunakan prinsip bahwa:
1. Tentukan dy/dx dari : y = Sin x Jawab: y + ∆y = y + ∆y = Sin (x +∆x)
∆y = y + ∆y – y = Sin (x +∆x) - Sin x
21
2. Tentukan dy/dx dari : y = Cos x Jawab: y + ∆y = Cos (x +∆x)
∆y = y + ∆y –y = Cos (x +∆x) – Cos x
Latihan Dengan menggunakan prinsip bahwa :
Tentukan dy/dx dari: 1. y = tg x 2. y = Cot x 3. y = Sec x 4. y = Cosec x II.3. Bentuk umum diferensial fungsi aljabar dan trigonometri
Dengan menggunakan prinsip bahwa :
22
maka bentuk diferensial dari berbagai fungsi dapat dilihat seperti pada tabel 2.1 berikut: Tabel 2.1. Bentuk persamaan umum turunan atau difrensial dari berbagai fungsi No Bentuk fungsi n 1 y=x n 2 y = [f(x)] 3 y =[f1(x)][ f2(x)] 4
Bentuk turunan n-1)
dy/dx = y’= n x( (n-1) y’ = n [f(x)] [f’(x)] y’ =[f ‘1(x)][ f2(x)] + [f1(x)][ f ‘2(x)]
5
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
y = Sin x y = Sin f(x) n y = Sin f(x) y = Cos x y = Cos f(x) n y = Cos f(x) y = tg x y = tg f(x) n y = tg f(x) y = Cotg x y = Cotgf(x) n y = Cotg f(x) y = Sec x y = Sec f(x) n y = Sec f(x) y = Cosec x y = Cosec f(x) n y = Cosec f(x) y = ln[f(x)] n y = ln[f(x) ] f(x) y=e y = log [f(x)]=[1/2,3][lnf(x)]
y’ = Cos x y’ = f ’(x)Cos f(x) (n-1) y’ = n f ’(x)Cos f(x) Sin f(x) y’ = - Sin x y’ = - f ’(x) Sin f(x) (n-1) y’ = - n f ’(x) Sin f(x) Cos f(x) 2 y’ = Sec x 2 y’ = f ’(x) Sec f(x) 2 (n-1) y’ = n f ’(x) Sec f(x) tg f(x) 2 y’ = - Cosec x 2 y’ = - f ’(x) Cosec f(x) 2 (n-1) y’ = - n f ’(x) Cosec f(x) tg f(x) y’ = tg x Sec x y’ = f ’(x) tg f(x) Sec f(x) (n-1) y’ = n f ’(x) tg f(x) Sec f(x) Sec f(x) y’ = - Cotg x Cosec x y’ = -f ’(x) Cotg f(x) Cosec f(x) y’ = -n f ’(x) Cotg f(x) Cosec f(x) Cosec y’ = f’(x)/f(x) (n-1) n y’ = n [f(x)] [f’(x)]/f(x) f(x) y’= f’(x) e y’ =[1/2,3][ f’(x)/f(x)]
Contoh penggunaan tabel 2.1
Tentukan y’ atau dy/dx dari: 3
1. y = x
Jawab: 23
(n-1)
f(x)
2
y’ = 3 x
2
2. y = (2x +3x +2)
3
Jawab: n =3 2
f
f (x) = 2x +3x +2 y’ = n [f(x)]
’ (x)= 4x +3
(n-1)
[f’(x)]
2
2
= 3 (2x +3x +2) (4x +3) 2
= (12x +9) (2x +3x +2) 4
2
2
3
3. y = Sin (2x +3x +2)
n
y = Sin f(x)
y’ = n f ’(x)Cos f(x) Sin
(n-1)
f(x)
Jawab: n =4 2
f (x) = (2x +3x +2 ) y = [f(x)]
n
3
y’ = n [f(x)]
2
y = (2x +3x +2 )
3
f(x)=
2
(n-1)
[f’(x)]
2
2x +3x +2
f
2
’
(x)= 4x +3
2
f ’(x) = 3 (2x +3x +2) (4x +3) = (12x +9) (2x +3x +2)
2
(n-1)
y’ = n f ’(x)Cos f(x) Sin
f (x)
2
2
2
3
3
2
3
2
2
2
3
3
2
3
= 4(12x +9) (2x +3x +2) Cos(2x +3x +2) Sin (2x +3x +2) = (48x +36) (2x +3x +2) Cos(2x +3x +2) Sin (2x +3x +2) (3x +4)
4. y = e
f ’(x)=
f (x) = 3x +4
3
(3x +4)
y’= 3 e
2
3
5. y = ln [(2x +3x +2 ) ] 2
f(x)= [2x +3x +2]
3
f
’
2
2
2
(x)= 3 (2x +3x +2) (4x +3) = (12x +9) (2x +3x +2) 2
2
2
y’ = f’(x)/f(x) = [(12x +9) (2x +3x +2) ] / [ 2x +3x +2] 2
3
2
3
3
6. y = log [(2x +3x +2 ) ] = [1/2,3] ln [(2x +3x +2 ) ] 2
2
2
y’ = f’(x)/f(x) = [1/2,3] [(12x +9) (2x +3x +2) ] / [ 2x +3x +2] 24
3
2
4
2
3
2
3
7. y = [Sin (2x +3x +2) ][ln [(2x +3x +2 ) ] 4
2
f 1(x) = Sin (2x +3x +2) f
‘
2
1(x) =
2
‘
2
2
3
3
2
4(12x +9) (2x +3x +2) Cos(2x +3x +2) Sin (2x +3x +2)
f 2(x) = ln [(2x +3x +2 ) f
3
3
2
2(x) =
3
2
2
[(12x +9) (2x +3x +2) ] / [ 2x +3x +2]
3
y’ =[f ‘1(x)][ f 2(x)] + [f 1(x)][ f ‘ 2(x)] 2
2
2
3
3
2
3
2
3
=[4(12x +9) (2x +3x +2) Cos(2x +3x +2) Sin (2x +3x +2) ][ln [(2x +3x +2 ) ] 4
2
3
2
2
2
+ [Sin (2x +3x +2) ][(12x +9) (2x +3x +2) ] / [ 2x +3x +2] (3x +4)
8. y = [ e
2
3
]/[ (2x +3x +2) ]
(3x +4)
f 1(x) = e
2
f 2(x) = (2x +3x +2)
‘
f 1 3
(x) =
(3x +4)
3e ‘
f 2 (x)
2
}{(2x +3x +2) }- {e
(3x +4)
}{(2x +3x +2) }- {e
=[{3 e
2
= 3(2x +3x +2) (4x +3)
(3x +4)
=[{3 e
2
3
(3x +4)
}{3(2x +3x +2) (4x +3)}]/[(2x +3x +2) ]
2
3
(3x +4)
}{3(2x +3x +2) (4x +3)}]/[(2x +3x +2) ]
Latihan Dengan menggunakan tabel 2.1, tentukan y’ dari:
2. y
2
= (x - 4x +3) tg(2x+4) 2
2
3
3. y = Cos[(x - 4x +3)/{ 2x +3x +2) }] Petunjuk soal no 3: 2 f 1(x) =(x - 4x +3) 2
3
f 2(x) = (2x +3x +2)
3
25
2
2
2
3 2
2
2
2
6
II.4. Diferensial fungsi invers trigonometri Contoh:
1. Tentukan diferensial (turunan) dari y = arc Sin 2x Jawab: y = arc Sin 2x
2x
= Sin y
x = ½ Sin y dx/dy = ½ Cos y Cos y = √1 – 4x 1 2x
1 y
dy/dx
= 2/Cos y
2
dy/dx = 2/Cos y = 2/√1 – 4x
2
Bentuk umum: y = arc Sin f(x)
dy/dx = f’(x)/ 1 – [f(x)]
2
√ 1 – 4x2
2. Tentukan diferensial (turunan) dari y = arc Cos 2x Jawab: y = arc Cos 2x
2x
= Cos y
x = ½ Cos y dx/dy = - ½ Sin y
dy/dx
= -2/Sin y
Sin y = √1 – 4x
2
√ 1 - 4x2
dy/dx = - 2/Sin y = - 2/ √1 – 4x
2
1 y
Bentuk umum: y = arc Cos f(x)
dy/dx = - f’(x)/ 1 – [f(x)]
2x
3. Tentukan diferensial (turunan) dari y = arc tg 2x Jawab:
26
2
y = arc tg 2x
2x = tg y x = ½ tg y 2
dy/dx
dx/dy = ½ Sec y Cos y = 1/√1 + 4x
2
2x
√1 + 4x2 y
2
Cos
2
2
= 2/Sec y = 2 Cos y
2
2
y = 1/(1 + 4x ) 2
dy/dx = 2 Cos y = 2/(1 + 4x ) Bentuk umum: y = arc tg f(x)
2
dy/dx = f’(x)/[1 + f(x) ]
1
Latihan Tentukan dy/dx dari: 1. y = arc Cotg 3x 2. y = arc Sec 4x 3. y = arc Cosec 5x II.5. Prinsip diferensial parsial
Diferensial parsial biasanya dipakai untuk menurunkan atau mendiferensialkan suatu fungsi yang mempunyai perubah bebas minimum 2. Dalam hal ini variabel yang tidak didiferensialkan dianggap tetap sehingga dapat dikeluakan dari tanda diferensial. Misal: m = f(x,y,z), dengan variabel bebas x,y,z maka bentuk diferensial dari fungsi tersebut dapat d ituliskan sebagai berikut:
27
II.5.1.Diferensial parsial fungsi aljabar Contoh: 2
3
m = x y z , tentukan harga dari:
Jawab:
II.5.2. Diferensial parsial fungsi trigonometri 2
m = y Sin x Cos z, tentukan harga dari:
28
Jawab:
II.6. Turunan fungsi implisit
Perbedaan cara penulisan antara fungsi implisist dan eksplisit: Fungsi
y = 2x +4 2
2xy +y+ x y = 4x
eksplisit
Fungsi implisit
Contoh: 2
1. Tentukan dy/dx atau y’ dari : 2xy +y+ x y = 4x Jawab: 2
d/dx{2xy +y+ x y }=d/dx( 4x) 2
2
y d/dx (2x) + 2x d/dx(y) + d/dx(y) + y d/dx ( x ) + x d/dx (y) = 4 2
y (2) + 2x dy/dx + dy/dx + 2xy + x dy/dx = 4 2
dy/dx[ 2x + 1 + x ] = 4 – 2y - 2xy 2
dy/dx = [4 – 2y - 2xy] /[ 2x + 1 + x ] 3
2
2. Tentukan dy/dx atau y’ dari : 2x + y + xy = x 29
2
Jawab: 3
2
2
d/dx [2x + y + xy ]= d/dx[x ] 3
2
2
d/dx (2x) + d/dx(y ) + d/dx(xy )= d/dx[x ] 2
2
2
2 + d/dx(y .y) + y d/dx (x) + x d/dx (y ) = 2x 2
2
2
2 + y d/dx(y) + y d/dx(y ) + y d/dx (x) + x d/dx (y.y) = 2x 2
2
2 + y dy/dx + y d/dx(y.y) + y + x [yd/dx (y) + yd/dx (y)] = 2x 2
2
2 + y dy/dx + y [y d/dx(y) + y d/dx(y) ] + y + x [ 2ydy/dx ] = 2x 2
2
2
2 + y dy/dx + 2y dy/dx + y + 2x ydy/dx = 2x 2
2
2 + 3y dy/dx + y + 2x ydy/dx = 2x 2
dy/dx [ 3y + 2xy ] = 2x -2 - y 2
2
2
dy/dx = [2x -2 - y ] / [ 3y + 2xy ] Catatan: n
d( y ) /dx = n y
(n-1)
dy/dx
Latihan Tentukan y’ atau dy/dx dari: 3 3
2
2
1. 2xy + x y + x y = x 4
4
2
2
2. x + y + 4xy = x y
2
4
II.7. Tugas A. Tentukan y’ dari: 4
5
2
1. y = [ tg( x +4) ] /[Cosec(x - 4x +3) 2
4
2
2. y = Sin ( 3x+2) Cotg(x + 3x +3x+3) 4
2
7
3
2
7
3. y = (x + 3x +3x+3) (x + 2x +x+2) 4
5
2
4. y = [ ln( x +4) ] /[log(x - 4x +3) (3x +3)
/(x + 2x +x+2)
(4x+2)
/[ ln(x + 2x +x+2) ]
5. y = e 6. y = e
3
(4x+2)
7. y = [e 4
4
2
7
3
2
3
7
2
7
][ ln(x + 2x +x+2) ] 4
2
2 4
8. x y + 2xy + xy = 6x y 4
4
2xy
9. ln (x y )+ e
2
2 4
+ xy = log (x y ) 3
2
2xy
10. ln (Cos 2x)+ ln(x + 2x ). e
2
2 4
+ xy = log (x y ) 30
3
2
B. Diketahui m = (Sin x)(Cosy)(z + z - 6)
II.8. Aplikasi turunan (diferensial) total
Untuk menentukan harga variabel bebas dalam suatu fungsi , maka harga turunan pertama dari fungsi tersebut harus berharga nol (0). Untuk
menguji sutu fungsi apakah fungsi
tersebut berharga maksimum atau minimum, maka harus dilihat pada harga turunan kedunya pada saat variabel yang diperoleh dari turunan pertma dimasukkan ke dalam turunan kedua dari funhsi tersebut. Ada dua kemungkinan yang terjadi pada saat harga variabel tersebut dimasukkkan dalam turunan kedua, yaitu: a. Jika harga turunan adalah negatip atau kurang dari nol (0), maka fungsi mempunyai harga maksimum b. Jika harga turunan adalah positip atau lebih dari nol (0), maka fungsi mempunyai harga minimum Contoh
1. Sebuah bejana berbentuk kotak persegi bagian atas terbuka dan bagian bawah tertutup. 3
Bejana diisi penuh dengan cairan sebanyak 216 m . Alas bejana berbentuk bujur sangkar 2
dan dinding berbentuk persegi panjang. Biaya pembuatan alas Rp 5000; per m dan 2
dinding Rp2.500; per m .Tentukan ukuran bejana yang paling ekonomis, sehingga maksud pembuatan tercapai sesuai rencana. Jawab:
Volume bejana = V = Luas alas x tinggi 216 = (x)(x)(y) 2
216 = x y 2
y
y =216/x .....................................(1) 2
Biaya alas = 5.000(x)(x)= 5000 x
Biaya total dinding = 4(x)(y)(2.500) = 10.000xy 2
Biaya total pembuatan bejana= 5000 x +10.000xy 2
H = 5000 x +10.000xy .................................... (2) x x
Masukkan persamaan (1) ke (2):
. 31
2
H = 5000 x +10.000xy 2
2
= 5000x +10.000x(216/x ) 2
=5000x + 2.160.000 /x ................................(3) 2
dH/dx = 10.000 x - 2.160.000 /x
2
dH/dx = 0 10.000 x - 2.160.000 /x = 0 2
10.000 x = 2.160.000 /x
3
x
= 216
2
x = 6 dan y =216/x = 216/36 = 6 2
2
2
3
d H/dx = d/dx (10.000 x - 2.160.000 /x ) =10.000 +4.320.000/x 3
= 10.000 +4.320.000/x = 10.000 +4.320.000/216 = 10.000+20.000 = 30.000 2
2
Dengn demikian d H/dx > 0
memenuhi
syarat minimasi
Jadi x = y = 6 bejana berbentuk kubus dengan panjang sisi-sisi 6 m
6cm
6 cm
2.Tentukan ukuran dari silinder lingkaran tegak dengan luas selimut maksimum yang dapat dilukis pada sebuah bola dengan jari-jari 20 cm Jawab: h = tinggi silinder R = jari-jari bola = 20 cm r = jari-jari silinder 2
2
2
2
R = (1/2h) + r = ¼ h + r 1/2h 1/2 h
r R R
2
2
2
400 = ¼ h + r ......................(1) Luas selimut silinder = 2IIrh
r
A = 2IIrh ................................(2) dA/dr = 2IId/dr (rh) = 2II[rdh/dr+hdr/dr] 32
= 2IIr dh/dr + 2IIh ..........(3)
2
Dari persamaan (1):
400 = ¼ h + r 2
2
2
h + 4r = 1600 2
2
d/dr (h + 4r ) = d/dr (1600) 2
2
d (h )/dr + 4 d(r )/dr = 0 2h dh/dr + 8r = 0 2h dh/dr = - 8r dh/dr = - 4 r/h
................................................ ................
(4)
Masukkan persamaan (4) ke (3): dA/dr = 2IIr dh/dr + 2IIh = 2IIr (-4r/h) + 2IIh 2
= -8IIr /h + 2IIh .........................................................
(5)
Menentukan harga r dari persamaan dA/dr =0 dA/dr =0 2IIr (-4r/h) + 2IIh = 0 2
-8Iir /h = -2IIh 2
2
4r = h
h= 2r atau r = h/2 Dari persamaan (5): dA/dr = 2IIr dh/dr + 2IIh 2
= -8IIr /h + 2IIh dA/dr
Jika h = 2r 2
Artinya
2
2
= -8IIr /2r + 2II(2r) = -4IIr + 4IIr = 0
d A/dr = 0
tidak bisa dipakai untuk evaluasi harga maksimum atau
minimum fungsi. Untuk mengatasi persoalan tersebut, maka diasumsikan bahwa harga h dianggap konstan atau tetap. 2
Dengan demikian: dA/dr = -8IIr /h + 2IIh 2
2
d A/dr = - 16IIr/h = -16II(h/2)/h = - 8 II 2
2
2
2
Artinya d A/dr < 0 atau d A/dr berharga negatip (memenuhi syarat untuk harga maksimum). 2
Dari persamaan (1): 400 = ¼ h + r
2
33
2
¼ h + r
2
= 400
2
2
¼ h + [(1/2)h] = 400 2
2
¼ h + ¼ h = 400 2
½(h ) = 400 2
h = 800 h = 20√2 cm dan r = ½(h) = 10√2 cm
Latihan 1. Tentukan jari-jari R dari kerucut ingkaran tegak dengan volume maksimum yang dapat dilukiskan dalam sebuh bola dengan jari-jari r (kunci R= 2/3 (r √2). 2. Sebuah silinder lingkaran tegak dilukiskan di dalam sebuah kerucut lingkaran tegak dengan jari-jari r. Bila volume silinder maksimum, maka tentukan jari-jari R silinder [kunci R = 2/3(r)] 3. Sebuah bejana (tabung) yang tertutup rapat berisi cairan setengahnya.Bentuk tabung 2
adalah silinder tegak dengan biaya pembuatan dinding Rp 10.000; per m dan tutup Rp 2
5.000; per m . Bila dikehendaki tabung tersebut diisi penuh dapat menampung cairan 3
1000 m , maka tentukan ukuran ekonomis tabung tersebut. II.9. Aplikasi turunan (diferensial) parsial Contoh:
1. Kerapatan muatan ruang dinyatakan sebagai:
2
Bila D = xy z
5
ax
3
2
+ x y z
5
3
Tentukan ρv pada A (1,2,3) Jawab: 2
5
3
2
5
3
2
5
2
5
Dx = x y z Dy =x y z Dz =x y z
= y z
2
ay + x y z
34
5
az
3
= 2 y x z
4
3
5
= 5z x y
2
2
5
3
5
4
3
= y z + 2 y x z + 5z x y 2
5
5
2 4
2
3
= (2 )(3 ) + 2(2)(1)( 3 ) +5 (3 )(1)(2 ) = 3564 [C/m ] 2. Persamaan untuk medan listrik listrik ( E ) dinyatakan sebagai: E= -
V, dengan:
Tentukan medan listrik pada A(1,2,3), jika diketahui bahwa medan potensial (V) 2
2
dinyatakan sebagai V = 50 x yz + 20 y [ Volt] Jawab:
∂V/∂x = ∂/∂x (50 x2yz + 20 y2) = 50 yz d/dx (x2) + 20 y2d/dx (1)= 100xyz + 0 = 100xyz
∂V/∂y= ∂/∂y (50 x2yz + 20 y2) = 50 x2z dy/dy + 20d(y2)/dy = 50 x2z + 40 y ∂V/∂y= ∂/∂y (50 x2yz + 20 y2) = 50 x2y dz/dz + 20 y2 d(1)/dz = 50 x2y 2
2
E = - (100xyz ax + (50 x z + 40 y) ay + 50 x y) az 2
2
EA = -[100(1)(2)(3) ax + [50(1 )(3) + 40(2)] ay + 50 (1 )(2)] az = - 600 ax - 230 ay - 100 az[ V/m]
35
Latihan 1. Kerapatan muatan ruang dinyatakan sebagai:
2
5
Bila D = xy ln(z ) ax
3x
2
+ e y z
5
2
3
ay + x y z
4
az
Tentukan ρv pada A (2,4,6)
2. Persamaan untuk medan listrik listrik ( E ) dinyatakan sebagai: E= -
V, dengan:
Tentukan medan listrik pada A(1,2,3), jika diketahui bahwa medan potensial (V) 2
3
2
dinyatakan sebagai V = 50 ln(x ) y z + 20 x z y [ Volt]
II.10. Daftar Pustaka
Kreyzig, E., 1979. Advenced 1979. Advenced Engineering Mathematics. Mathematics. 4nd, John Willey and Sons, New York. pp. 249-468,509-560,563-590
Mundit,A.K., 1984. Soal- Penyelesaian Penye lesaian Kalkulus Deferensial dan Integral.Jilid I, Armico, Bandung. hal. 37-238, 305-433
Hayt, W.H., 1989. Engineering Electronics. Fith Edition, Mc Graw Hill International Aditions,Toronto. pp. 34-106, 188-204
36
BAB III. PANGKAT III.1. Pendahuluan
Dalam kehidupan sehari-hari sering kita berhadapan dengan suatu angka yang nilainya sangat besar. Misal tabungan seseorang dalam suatau bank nilainya 1 milyar rupiah atau kalau dituliskan dengan angka, maka nialainya adalah Rp1.000.000.000;. Dalam bidang matematika atau keteknikan cara penulisan seperti ini cukup panjang, menyulitkan dan banyak memakan tempat. Untuk menghindari kesulitan-kesulitan tersebut dibutuhkan alaternatif lain. Salah satu
cara penulisan yang cukup sederhana adalah dengan
menuliskan dalam bentuk pangkat. Angka 1.000.000.000 tersebut dalam bentuk pangkat 9
dapat dituliskan sebagai 10 . Dalam hal ini 10 disebut bilangan pokok, sedangkan 9 disebut bilangan pangkat. Karena pangkatnya bilangan bulat, maka disebut bilangan berpangkat bilangan bulat. Pada bab III ini akan dibahas secara rinci tentang bentuk bentuk pangkat dan cara penghitungannya. III.2. Pengelompokan pangkat
Berdasarkan tanda operasionalnya pangkat dapat dikelompokkan menjadi pangkat positip dan negatip. Sedangkan berdasarkan nilainya pangkat dikelompokkan menjadi pangkat bulat, pecah , nol dan tak tentu (∞) III. 2.1. Pangkat bulat III. 2.1.1. Pangkat bulat dan positip
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemui perkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama. Misalkan kita temui perkalian bilangan-bilangan sebagai berikut: a. 2 x 2 x 2 = 8 b. 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 c. 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 4.096 Perkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama seperti di atas, disebut sebagai perkalian berulang. Setiap perkalian berulang dapat dituliskan secara ringkas
37
dengan menggunakan notasi bilangan berpangkat. Perkalian bilangan-bilangan di atas dapat kita tuliskan dengan:
3
a. 2 x 2 x 2 = 2
5
b. 3 x 3 x 3 x 3 x3 = 3
6
c. 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 4 3
5
6
Bilangan 2 , 3 , 4 disebut bilangan berpangkat sebenarnya (riil) karena bilangan bilangan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian berulang. Bilangan n
berpangkat a dengan n bilangan bulat positif didefinisikan sebagai berikut: n
a = a x a x a..............x a .................................(1) Berdasarkan persamaan (1) tersebut dapat diturunkan berbagai rumusan atau formulasi sebagai berikut: n
m
n +.m
............................... (2)
n m
n.m
............................... (3)
a a = a (a ) = a n
n
n
(a.b) = a .b
................................ (4)
(a/b) = a / b ,dengan b≠0 n
m
n
n
n
(a /a ) = a
,denga m > n dan a ≠0
m–n
................................ (5) .............................. (6)
Contoh 2
3
2
3
5
1. 2 .2 = 4 . 8 = 32 atau 2 2 = 2 = 32 2 3
3
2 3
6
2. (2 ) = 4 = 64 atau (2 ) = 2 = 64 3
3
3
3
3
3. (2.2) = 4 = 64 atau (2.2) = 2 .2 = 8.8 = 64 3
3
3
3
4. (4/2) = (2) = 8 atau (4 /2 ) = 64/8 = 8 5.
3
2
3
2
(3 – 2)
(2 /2 ) = (8/4) = 2 atau (2 /2 ) = 2
=2
Latihan
Tentukan : 1.
2
3
3 .6
2 3
2. (9 )
3
4. (8/5) 3
6. (3.4)
2
4
5. (4 /3 )
4
3
7. (-3 / 4 ) 38
III. 2.1.2. Pangkat bulat dan negatip
Dari bentuk perkalian : a. 2 x 2 x 2 = 8 b. 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243 c. 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 4.096 Dikembangkan menjadi bentuk pangkat negatip sebagai berikut : a. 2 x 2
-1
-1
x2
-1
= ½ x ½ x ½ = 1/(2 )= 1/8
b. 3 x 3
-1
-1
x3
-1
x3
-1
x3
-1
-1
x4
-1
x4
-1
x 4 x 4 = 1/4x1/4x1/4x1/4x1/4x1/4=1/(4 ) =1/4096
c. 4 x 4
3
-1
5
= 1/3x1/3x1/3x1/3x1/3 = 1/(3 ) = 1/243
-1
-1
6
Atau kalau menggunakan persamaan (2), maka dapat dituliskan sebagai: a. 2 x 2
-1
-1
x2
-1
=2
(-1-1-1)
-1
-1
x3
-1
x3
-1
b. 3 x 3 -1
c.4 x 4
-1
x4
-1
x4
= 2
-1
x3
-1
-1
-3
= 1/8
=3
-5
= 1/243
-1
x 4 x 4 = 4
-6
=1/4096
Berdasarkan dari uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa: 1/(2 ) = 2
3
-3
1/(3 ) = 3
5
-5
6
-6
1/(4 ) = 4
Bila dinyatakan secara umum,maka bentuk pangkat bulat dan negatip dapat dituliskan sebagai: n
– n
(1/a ) = a
, dengan a
≠0
Latihan
Tentukan harga: 4
1. 1/( 3 ) 4
2. 1/( -3 ) 3. (-5)
-5
(-3)
4. 5
4
-3
5. -3 / (4 ) 6. (3.4)
-5
39
…..………………………(7)
Berdasarkan persamaan (7) tersebut dapat diturunkan berbagai rumusan atau formulasi sebagai berikut: -n
-m
= a
- (n +.m)
-n
m
= a
(- n +.m)
a .a a .a n
-m
a a
n -m
(a )
............................... (8) ................................ (9)
(n -.m)
................................ (10)
[(n)(- m)]
................................. (11)
= a = a
-n -m
[(-n)(- m)]
(a )
-n m
= a
................................. (12)
[(-n)( m)]
............................... .. (13)
-n
-n
................................. (14)
(a/b) = a / b ,dengan b ≠0
.............................. (15)
,dengan a ≠0
............................. (16)
(a )
= a
-n
(a.b) = a .b -n
-m
n
-m
-n
-n
-n
(-m–n)
(a /a ) = a
(-m + n)
(a /a ) = a
,dengan a ≠0
............................. (17)
Contoh -2
-3
-2
-3
2. (2 ) = 4 = 1/64 atau (2 ) = 2
- 6
1. 2 2 = 1/4 .1/ 8 =1/ 32 atau 2 2 = 2 2 -3
-3
-3
-3
-3
= (2)
2 -3
4. (4/2) -3
= 1/32
= 1/64
-3
3. (2.2) = 4
-5
-3
-3
= 1/64 atau (2.2) = (2 )(2 ) = (1/8)(1/8) = 1/64 -3
= 1/8 atau (4
-3
-3
/2 ) = (1/64) / (1/8) = 8/64 =1/8
-2
-3
-2
(-3 + 2)
5. (2 /2 ) = (1/8) / (1/4) = 4/8 =1/2 atau (2 /2 ) = 2
-1
= 2 =1/2
III. 2.2. Pangkat pecah III. 2.2.1. Pangkat pecah positip
Dari bentuk perkalian : a. 4 x 4 x 4 = 64 b. 9 x 9 x 9 x 9 = 6.561 c. 16 x 16 x 16 x 16 x 16 = 1.048.576 Dikembangkan menjadi bentuk pangkat pecahan sebagai berikut: 1/ 2
a. 4
x 4
1/ 2
x 4
1 /2
=
√4 x √4 x √4 = 2 x 2 x 2= 8 40
1/2
b. 9 x 9 1/2
c. 16
1/2
x9 1/2
x 16
1/2
x9
x 16
1/2
1/2
=
√9 x √9 x √9 x √9 = 3 x 3 x 3 x3 =81
x 16
1/2
x 16
1/2
=
√16 x √16 x √16 x √16 x √16 = 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1024
Atau dapat dituliskan pula sebagai: 1/ 2
a. 4
x 4
1/2
b. 9 x 9 1/2
c. 16
1/ 2
1/2
x9 1/2
x 16
1 /2
x 4
1/2
(1/ 2+1/2+1/2)
= 4
x9
x 16
1/2
1/2
= 9
x 16
3/ 2
= 4
=√4 =
(1/ 2+1/2+1/2 +1/2) 1/2
x 16
3
√64 = 8
2
= 9 = 81
1/2
= 16
(1/ 2+1/2+1/2+1/2+1/2)
=16
Dengan demikian dapat dikatakan bahwa: 1/ 2
a. 4
x 4
1/2
b. 9 x 9 1/2
c. 16
1/ 2
1/2
x9
x 16
1 /2
x 4
1/2
1/2
= 4
x9
x 16
1/2
1/2
3/ 2
= √4 = 8 3
=9
x 16
4/2
1/2
2
= 9 =81
x 16
1/2
= 16
Dapat disimpulkan bahwa :
Latihan Tentukan harga dari 1/ 2
1. 4
x 9
2
2. 4 x 9 2/3
3. 8
2
1/4
1/2
x 10
4. 9 x 6
1/2
x 3
x 6 1/2
1/ 3
2/ 3
x 5
x 16
2/ 3
2/ 3
III. 2.2.2. Pangkat pecah negatip
Dari bentuk perkalian : a. 4 x 4 x 4 = 64 b. 9 x 9 x 9 x 9 = 6.561 c. 16 x 16 x 16 x 16 x 16 = 1.048.576
41
5/2
=
√165 = 1024
5/2
= √16 = 1024 5
Dikembangkan menjadi bentuk: -1/ 2
a. 4
x 4
- 1/ 2
x 4
- 1/ 2
1/ 2
= 1/4
x 1/ 4
- 1/ 2
x 1/4
- 1/ 2
=1/√4 x 1/√4 x 1/√4 =
1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8 -1/2
b. 9
x 9
-1/2
x9
-1/2
x9
-1/2
= 1/9
1/2
x 1/9
1/2
x 1/9
1/2
x 1/9
1/2
=
1/√9 x 1/√9 x 1/√9 x 1/√9 = 1/3 x 1/3 x 1/3 x 1/3 = 1/81 -1/2
c. 16
x 16
-1/2
x 16
-1/2
x 16
1/16
1/2
-1/2
x 16
x 1/16
-1/2
1/2
=
x 1/16
1/2
x 1/16
1/2
x 1/16
1/2
=
1/√16 x 1/√16 x 1/√16 x 1/√16 x 1/√16 = 1/4 x 1/4 x 1/4 x 1/4 x 1/4 = 1/1024 Atau dapat dituliskan pula sebagai: -1/ 2
a. 4
x 4
-1/2
b. 9
x 9
-1/2
c. 16
- 1/ 2
-1/2
x 16
x 4
x9 -1/2
- 1/ 2
-1/2
(-1/ 2-1/2-1/2)
= 4
x9
x 16
-1/2
-1/2
=9
x 16
= 4
-3/ 2
=1/√4 = 1/ √64 = 1/8
(-1/ 2-1/2-1/2 -1/2)
-1/2
x 16
-1/2
3
2
= 1/9 = 1/81
= 16
(-1/ 2-1/2-1/2-1/2-1/2)
=16
=1/ √16 = 1/1024
-5/2
5
Dengan demikian dapat dikatakan bahwa: -1/ 2
a. 4
x 4
-1/2
b. 9
x 9
-1/2
c. 16
- 1/ 2
-1/2
x 16
x 4
x9 -1/2
- 1/ 2
-1/2
1/ 2
4
x9
x 16
-1/2
x 4
-1/2
1/ 2
=9
x 16
x 4
1 /2
= 4
(-1/ 2-1/2-1/2 -1/2)
-1/2
x 16
-1/2
-3/ 2
=1/√4 = 1/ √64 =1/84 3
(-1/ 2-1/2-1/2-1/2-1/2)
5
Tentukana harga dari: -1/ 2
1. 4
- 2
x 9
2. 4 x 9
- 1/4
1/2
x 3
x 6
-1/ 3
- 2/ 3
42
3
2
= 1/√16 = 1/ 1024
Latihan
= 1/√4 =1/ 8
= 1/9 = 1/81
= 16
Dapat disimpulkan bahwa :
3/ 2
=16
-5/2
= 1/16
5/2
- 2/3
3. 8
1/2
x 10
-2/ 3
x 5
III. 2.3. Pangkat nol III. 2.3.1. Pangkat nol positip
Dari bentuk perkalian : a. 4 x 4 x 4 = 64 b. 9 x 9 x 9 x 9 = 6.561 c. 16 x 16 x 16 x 16 x 16 = 1.048.576 Dikembangkan menjadi bentuk: 0
0
0
a. 4 x 4 x 4 = 1 x 1 x 1 =1 0
b. 9 x 9
0
x9
0
c. 16 x 16
0
0
x9
0
= 1x 1x 1x 1 = 1
0
x 16 x 16
0
0
x 16
= 1 x1 x 1 x1 x 1 =1
III. 2.3.2. Pangkat nol negatip
Dari bentuk perkalian : a. 4 x 4 x 4 = 64 b. 9 x 9 x 9 x 9 = 6.561 c. 16 x 16 x 16 x 16 x 16 = 1.048.576 Dikembangkan menjadi bentuk: - 0
a. 4 x 4 - 0
b. 9 x 9 - 0
c. 16
- 0
- 0
x 16
x 4
x9 - 0
- 0
- 0
0
0
0
0
0
= = 1/4 x 1/4 x 1/4 =1/1 x 1/1 x 1/1 =1 x9
x 16
- 0
- 0
0
0
= 1/9 x 1/9 x 1/9 x 1/9 =1/1 x 1/1 x 1/1x1/1 =1
x 16
- 0
x 16
-0
0
0
0
0
= 1/16 x 1/16 x 1/16 x 1/16 x 1/16 = 1 x 1x 1 x 1x 1 = 1
Kesimpulan: 0
a = a
– 0
= 1 .................................................. ................................(22)
43
III. 2.4. Pangkat tak terhingga (tak tentu ) III. 2.4.1. Pangkat tak terhingga (tak tentu ) positip ( + ∞ )
Harga + ∞ berarti harga tersebut sangat besar sekali dan positip. Dari bentuk perkalian : +∞
a. 2
+ ∞
b. 9
= 2 x 2 x 2 x ..... x 2 = besar sekali = x 9
+ ∞
= +∞
Tetapi untuk 1
∞
∞ x ∞ = ∞ = 1x1x1x ….x1= 1
Dapat disimpulkan bahwa : ∞
a =
∞,
dengan a ≠0 dan a >1 ………………………………………(23)
Jika -1< a < 1 dan a ≠ 0, maka : ∞
∞
a = kecil atau kecil sekali, sehingga a = 0,00000……. ≈ 0 …………(24) Jika a < -1, maka :
│a∞│= besar atau besar sekali, sehingga
∞
a
≈ ∞
…………………(25)
III. 2.4.2. Pangkat tak terhingga (tak tentu ) negatip ( - ∞ )
Harga - ∞ berarti harga tersebut besar sekali dan negatip. Dari bentuk perkalian : -
a. 2
b. 2
∞
-∞
∞
= 1/2 = 1/2 x 1/2 x ..... x 1/2 = 0,0000000..... = kecil sekali ≈0 x 2
-
∞
=0x0 =0 -∞
Tetapi untuk 1
= 1x1x1x ….x1= 1
Dapat disimpulkan bahwa : -∞
a = 0, dengan a
≠1
……………………………………(26) ………………………… …………(26)
Jika -1< a < 1, maka :
│ a - ∞│=
kecil atau kecil sekali, sehingga boleh didekati ≈0
Contoh soal komprehensip: -3
-3
2/3
1. Tentukan harga dari: 3 x 1/ 8 x 9 Jawab:
44
…………(27)
-1/3
2. Tentukan harga dari : 4
-3/2
x 1/ 8
-3/4
x 9
Jawab: 0.19245 = 6,92 -1/3
3. Tentukan harga dari: 8
- 3/2
x 1/6
x 5
-2/3
Jawab: 0.37 x 108 x0,34 = 13,59 -∞
4. Tentukan harga dari : 4 x 1/ 8
-∞
x 9
-3/4
Jawab: -∞ -∞ -3/4 ∞ ∞ 3/4 4 x 1/ 8 x 9 = 1/4 x 8 x 1/ 9 = 0 x ∞ x 1/ 9 -∞
5. Tentukan harga dari : 1 x 1/ 8
3/4
= 0
-∞
x 9
-3/4
Jawab: -∞
1 x 1/ 8
-∞
x 9
-3/4
∞
= 1/ 1 x x 8
Tugas Tentukan harga dari : -1/3
x 1/ 2
-1/3
x 1/6
1. 8 2. 8
-∞
3. 3 4.
-3/2
- 3/2
x 5
∞
x 8 x 9
∞
6 x 1/ 8
-
x 4
1/3
x 1/(4
6. 16
1/3
x 1/4
- 3/2
- 0
∞
-0
7. 3 x 8 x 9 -2
-5/4
-2/3
-3/4
∞
5. 16
-3
x 100
-3/4
)x 9
x 9
-2/3
0
-3/4
-3
-3
8. (2 /2 ) x (2.2) x (4/2)
45
∞
x 1/ 9
3/4
= 1 x
∞ x 9 -3/4 = ∞
Kunci jawaban
1. 0.004472 2. 2.513141 3. 0 4.
∞
5. 4.659095812 6. 16 7.
1/3
∞
8. 0.000977 Daftar Pustaka:
…….., 1982. Aljabar Semester 1 dan 2. Edisi pertama, Departemen Elekteronik Politeknik, TEDC, Bandung. Hal. 22-29
46
BAB IV. AKAR
IV.1.
Pendahuluan
Akar merupakan pernyataan lain dari pangkat dalam bentuk pecahan baik positip atau negatip dari suatu bilangan, dimana bilangan tersebut harus berharga positip dan tidak boleh berharga nol. Bila bilangan tersebut berharga nol, maka hasil pengakaran adalah nol juga. Sedangkan kalau bilangan tersebut berharga negatip, maka akan dihasilkan bilangan khayal atau imajiner yang membutuhkan pembahasan khusus atau tersendiri. Oleh karena itu pada bagian pembahasan akar ini hanya akan dibatasi dulu pada hasil yang nyata atau riil saja. Dengan demikian sebenarnya hasil perhitungan menggunakan
pangkat pecahan dan akar bisa saling bertukar tempat, karena hasil
perhitungan baik dengan menggunakan bentuk akar atau bentuk pangkat pecahan dari suatau bilangan akan menghsilkan suatu harga yang sama saja.
IV.2.
Pernyataan bentuk akar
Secara umum bentuk akar dapat dinyatakan sebagai: ............................................................................ (1) dengan: n = indeks atau ordo dan berharga positip dan untuk n=2 biasanya tidak pernah dituliskan a= bilangan yang diakar dan berharga positip Hubungan antara akar dengan bentuk pangkat pecahan dapat dinyatakan sebagai berikut =
................................................................................(2)
Contoh:
1. Tentukan harga dari:
Jawab : =3 1/2
Dengan perhitungan secara manual menggunakan alat hitung didapat bahwa 9 = 3 Oleh karena itu
1/2
=9
=3 47
2. Tentukan harga dari:
Jawab: = 2.666667 (dihitung dengan kalkulator) Dengan menggunakan alat hitung (komputer) didapat bahwa:
8
1/2
= 2.666667 =8
Oleh karena itu
IV.3.
1/2
= 2.666667
Sifat - sifat akar
Beberapa sifat akar antara lain:
a. b. c. d.
=
e.
=
Contoh:
1. Tentukan harga dari : Jawab: 3/3
1
=4 =4 =4 3
Bila dihitung dengan kalkulator harga dari : Dengan demikian :
=4
3/3
1
= ( 1.587401) = 4 3
= 4 = (1.587401) = 4
2. Tentukan harga dari : Jawab:
(1.44225)( 1.587401) = 2.289429 48
Atau dengan cara lain :
3. Tentukan harga dari : Jawab:
Dengan menggunakan cara lain dapat pula dihitung sebagai berikut: 0.829827
4. Tentukan harga dari : Jawab
Atau dengan cara lain dapat pula dihitung sebagai berikut:
5. Tentukan harga dari : Jawab:
Dengan cara lain dapat pula dihitung sebagai berikut:
6. Tentukan harga dari :
1,090508 Dengan cara lain dapat pula diselesaikan sebagai berikut:
49
1,090508 Latihan
Tentukan harga dari: a.
b. c. d. e. IV.4.
Akar dari bilangan negatip
Untuk menyelesaikan akar dari suatu bilangan negatip bisa digunakan sifat dari akar seperti yang ditunjukkan dalam bentuk Contoh
Catatan:
, dengan j atau i adalah bilangan khayal atau imajiner Bilangan khayal atau imajiner sangat bermanfaat pada pemakaian bilangan kompleks dan akan dibahas pada bagian tersendiri. Perlu dikatahui sebagai bahan pengantar bahwa bilangan kompleks terdiri atas bilangan nyata yang digabungkan dengan bilangan khayal atau imajiner dan biasanya dituliskan dalam notasi Z dan merupakan bentuk dari suatu vektor. Bilangan kompleks dalam bidang teknik elektro banyak dipakai sebagai alat bantu pada perhitungan rangkaian listrik arus bolak-balik (AC). Contoh pernytaan bilanag kompleks adalah Z = 2 + 3j atau Z = 2 + 3i.
Latihan
Tentukan hasil dari :
dan 50
Catatan:
Tugas Tentukan harga dari a.
+
b.
c.
d.
+
+
Kunci jawaban
a. 1.84917 b. 0.210731 c. 26.62187 d. 9.103802 e. 1.84917 + 2.828427 j Daftar Pustaka:
…….., 1982. Aljabar Semester 1 dan 2. Edisi pertama, Departemen Elekteronik Politeknik, TEDC, Bandung. Hal. 22-29
51
BAB V. PERSAMAAN NON LINIER V.1. Pendahuluan
Persamaan nojn linier adalah suatu persamaan polynomial dengan orde dua atau lebih. Jika orde tersebut berharga dua, maka disebut persaman kuadrat. Sedangkan menurut jenisnya persamaan non linier dapat dikelompokkan
menjadi persamaan kuadrat, persamaan
eksponensial dan sebaginya. V.2. Persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah …………………………….(1) dengan:
Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien. Dalam hal ini koefisien kuadrat a adalah 2
koefisien dari x , koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas. V.3. Grafik atau kurva persamaan kuadrat
Bentuk atau sketsa dari grafik (kurva) persamaan kuadrat sangat dipengaruhi oleh perubahan harga koefisien dari a,b dan c. Perubahan dari grafik atau kurva ditunjukkan seperti pada gambar 1, 2 dan 3.
52
Gambar 1. Kurva dari
Gambar 2. Kurva dari variasi Gambar 3. Kurva dari
variasi a
variasi c
b
Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.Harga a menentukan tingkat kecekungan atau kecembungan parabola yang dibentuk oleh fungsi kuadrat, seperti ditunjukkan pada gambar 1. Nilai a > 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke bawah. Harga b menentukan kira-kira posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang dibentuk, seperti terlihat pada gambar 2. Posisi tepatnya adalah -b/2a. Harga c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau saat x = 0, seperti terlihat pada gambar 3. . V.4. Menghitung harga akar-akar persamaan kuadrat V.4.1. Menghitung dengan rumus kuadrat
Rumus kuadrat dikenal pula dengan nama rumus abc karena digunakan untuk akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c dari suatu persamaan kuadrat. Jika persamaan kuadrat tersebut dinyatakan seperti pada persamaan (1) , yaitu: . Maka rumus yang dimaksud adalah:
………………………………………(2)
53
Persamaan ( 2 ) hanya dapat digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila harga y pada persamaan (1) adalah nol (0) atau y = 0 . Pada kondisi ini persamaan berubah menjadi: ……………………………………………………………………(3) Contoh: 2
Tentukan harga akar-akar dari persamaan: 0,75x – 2x -15 = 0 Jawab:
V.4.2. Menghitung akar dengan cara memfaktorkan
Berdasarkan rumus pada persaman (2) akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula yang dinyatakan dalam bentuk: .. dapat dituliskan menjadi : ............………...................................................(5) Pada harga y = 0, maka persamaan (5) dapat dinyatakan sebagai: 0 = a(x - x1)(x - x2) atau (x - x1)(x - x2) = 0 dengan x1 dan x 2 adalah harga akar-akar dari persamaan hasil pemfaktoran. 54
Dari persamaan (5) dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, bahwa:
……………………………………………………………(6) dan
.
……………………………………………………..............(7)
Contoh: 2
Tentukan harga akar-akar dari persamaan: y = 0,75x – 2x -15 Jawab: Dengan menggunakan bantuan kurva atau grafik persamaan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:
2
Gambar 4. Ilustrasi penerapan persamaan y = 0,75x – 2x -15 Berdasarkan gambar 4, dapat dilhat bahwa harga akar – akar dari persamaan pada saat y = 0 adalah x1 = -3,333 dan x 2 = 6. Harga akar-akar tersebut ternyata sama dengan harga akar-akar yang dihasilkan dengan rumus a,b,c. Jika digunakan cara pemfaktoran, maka 2
persamaan y = 0,75x – 2x -15 dapat dinyatakan sebagai:
y = 0.75 (x + 3,333) (x –
6,000). Selanjutnya untuk mencari akar-akar persamaan dari y = 0.75 (x + 3,333) (x – 6,000), diubah terlebih dahulu menjadi: 0 = 0.75 (x + 3,333) (x – 6,000) 55
atau 0.75 (x + 3,333) (x – 6,000) = 0 (x + 3,333) (x – 6,000) = 0 (x + 3,333) = 0 (x – 6,000) = 0
x 1 = x 2 =
-3,333
6,000
Pengujian hasil hitungan menggunakan persamaan (6) dan (7), yaitu:
.
Dengan x1 = -3,333 dan x2 = 6,000, maka: x1+ x2 = -3,333 + 6,000 = 2,667= 2,67 (sama dengan hasil hitungan dengan persamaan 6) x1. x2 = (-3,333)( 6,000) = -19,998= -20 (sama dengan hasil hitungan dengan persamaan 7). Dengan demikian didapat bahwa x1 = -3,333 dan x2 = 6,000 V.5. Diskriminan atau determinan
Dalam rumus kuadrat seperti disebutkan pada persamaan (2) tertulis suatu harga yang berada dalam naungan tanda akar. Harga yang dimaksud adalah berbentuk:
2
Dalam istilah matematik harga dari b - 4ac dikenal sebagai harga diskriminan atau juga sering disebut harga determinan dari suatu persamaan kuadrat. Notasi dari harga determinan biasanya dituliskan sebagai D. Dengan demikian harga determinan dari suatu persamaan kuadrat dapat dituliskan sebagai: 2
D = b - 4ac
………………………………………………………….. (8)
56
Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat memiliki hanya sebuah akar atau dua buah akar yang berbeda, di mana akar-akar yang dimaksud dapat berbentuk bilangan riil atau kompleks. Dalam hal ini dikriminan menentukan jumlah dan sifat dari akarakar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin muncul berkaitan dengan harga determinan, yaitu: Jika diskriminan berharga positif (D > 0), maka akan terdapat dua akar berbeda yang kedua-duanya merupakan bilangan riil . Untuk persamaan kuadrat dengan koefisien
berupa bilangan bulat, apabila diskriminan merupakan suatu kuadrat sempurna, maka akarakarnya merupakan bilangan rasional atau sebaliknya dapat pula merupakan bilangan irrasional kuadrat. Jika diskriminan bernilai nol (D = 0), maka diperoleh satu akar eksak dan akar yang dimaksud merupakan bilangan riil. Hal ini kadang disebut sebagai akar kembar, di mana nilainya adalah:
Jika diskriminan berharga negatif
( D < 0 ), maka tidak terdapat akar riil . Sebagai
gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain merupakan konjugat kompleks: Dan Gambar 5 menunjukkan perubahan atau pergeseran pola kurva atau grafik sebagai akibat perubahan harga dari determinan D.
57
Gambar 5. Perubahan pergeseran pola kurva akibat perubahan harga determinan Jadi akar-akar akan berbeda, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak sama dengan nol, dan akar-akar akan bersifat riil, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak negatif. V.6. Akar riil dan kompleks
Persamaan kuadrat dapat memiliki sebuah akar (akar kembar) atau dua buah akar yang berbeda. Harga dua buah akar dapat bersifat riil atau kompleks tergantung dari nilai diskriminannya. Akar-akar persamaan kuadrat dapat pula dipandang sebagai titik potongnya dengan sumbu x atau garis y = 0. Contoh:
Tentukan akar-akar dari persamaan 2
a. y = x + 4x – 6 2
b. y = 2x - 4x + 6 Jawab: Sebagaimana disebutkan pada teori bahwa akar-akar persamaan kuadrat dapat dipandang sebagai titik potongnya dengan sumbu x atau garis y = 0. Dengan demikian akan didapat jawaban sebagai berikut: 2
a. y = x + 4x – 6 2
2
0 = x + 4x – 6 atau x + 4x – 6 = 0 Dengan menggunakan rumus a,b,c didapat akar-akar persamaan: 58
Uji kebenaran jawaban dengan persamaan (6):
Dari hasil hitungan telah didapat bahwa x1 =1,1623 dan x2 = -5,1623, kedua harga akar adalah riil (nyata) x1 + x 2 = 1,1623 - 5,1623 = -4 (cocok dengan hasil uji dari persamaan 6) 2
b. y = 2x - 4x + 6 2
Untuk y = 0, maka persamaan dapat dituliskan menjadi: 2x - 4x + 6 = 0 Dengan menggunakan rumus a,b,c didapat akar-akar persamaan:
Didapat dua harga akar berbentuk bilangan kompleks dimana akar-akar tersebut merupakan konjugat satu sama lainnya. Uji kebenaran jawaban dengan persamaan (6):
59
Dari hasil hitungan telah didapat bahwa x1 =1+ 1,4142 j dan x2 =1- 1,4142 j, kedua harga akar berbentuk bilangan kompleks. X1 + x 2 = 1+ 1,4142 j + (1- 1,4142 j ) = 2 (cocok dengan hasil uji dari persamaan 6)
Latihan Tentukan akar-akar dari persamaan 2
a. y = 4 x + 4x – 16 2
b. y = 2x – 4x + 5 2
c. y = 3 x + 2x +16 2
d. y = -2x + 4x + 5 2
e. y = -9 x – 2x -16 Uji akar yang didapat dengan persamaan:
atau
V.7. Titik potong kurva non linier dengan garis y = d (garis linier)
Dengan cara pandang ini, rumus persamaan kuadrat dapat digunakan apabila diinginkan untuk mencari titik potong antara suatu persamaan kuadrat ( dengan suatu garis mendatar (
)
). Hal ini dapat dilakukan dengan mengurangi
persamaan kuadrat tersebut dengan persamaan garis yang titik potong antar keduanya ingin dicari dan menyamakannya dengan nol.
Intepretasi yang sama pun berlaku, yaitu bila: diskriminan positif, terdapat dua titik potong antara 60
dan
,
diskriminan nol, terdapat hanya satu titik potong antara
dan
, dan
diskriminan negatif, tidak terdapat titik potong antara kedua kurva,
dan
.
Contoh:
Tentukan titik potong antara: 2
a. y = 6 dengan y = x + 4x – 6 2
b. y = 5x -8 dengan y = x - 4x + 12 Jawab: 2
a. y = 6 dengan y = x + 4x – 6 Lakukan subsitusi antar persamaan, sehingga didapat persamaan baru berbentuk: 2
2
6 = x + 4x – 6 atau x + 4x -12 = 0 Dengan cara memfaktorkan didapat bentuk persamaan : (x+6) (x-2) = 0 x + 6 = 0 x 1 = - 6 x - 2 = 0 x 2 = 2 Titik potong antara dua kurva tersebut adalah (-6, 6) dan (2,6) 2
b. y = 5x - 8 dengan y = x - 4x + 12 Lakukan subsitusi antar persamaan, sehingga didapat persamaan baru berbentuk: 2
2
5x - 8 = x - 4x +12 atau x –9 x +20 = 0 Dengan cara memfaktorkan didapat bentuk persamaan : (x - 4) (x - 5) = 0 x - 4= 0 x 1 = 4 x - 5 = 0 x 2 = 5 Dari x1 = 4
y1 =
5x -8 = 5(4) - 8 = 20 – 8 =12
Dari x2 = 5
y2 =
5x -8 = 5(5) - 8 = 25 – 8 =17
Titik potong antara dua kurva tersebut adalah (4,12) dan (5,17)
c. Tentukan dengan metoda kurva/grafik untuk memperkirakan titik potong antara: 61
3
2
y = 4x +8x dengan y = x +2x +6 Jawab: 3
2
4x
y1 = 4x +8x dengan y 2 = x +2x +6
3
2
+8x= x +2x +6
3
2
4x - x +6x – 6 = 0 Tabel pembantu: x
y1
-3 -2 -1 0 1 2 3
-132 -48 -12 0 12 48 132
y2 9 6 5 6 9 14 21
3
3
Diperkirakan nilai x= 0,9 , perkiraan y= 4x +8x=4(0,9) +8(0,9) = 10,11 (mendekati kurva sesungguhnya) 62
2
2
Kalau digunakan y = x +2x +6 = (0,9) +2(0,9)+6= 8,61 (kurang sesuai dengan kurva) , dapat diabaikan. Kesimpulan : x =0,9 dan y =10,11 Catatan Cara ini kurang presisi (akurat) perlu dihindari Ralat jawaban yang benar dengan cara Newton-Raphson x = 0,7826 dan 3
3
y = 4x +8x = 4(0,7826) +8(0,7826) = 8,178 . Jadi titik potong antara dua kurva tersebut adalah (0,7826 , 8,178)
d. Tentukan dengan metoda kurva/grafik untuk memperkirakan titik potong antara: 2
2
y = 4x +4 dengan yx = 3x +8x +4 Jawab: 2
2
y1 = 4x +4 dengan yx = 3x +8x +4 2
2
yx = 3x +8x +4
y2 =
3 +8/x + 4/x
2
Tabel pembantu: x
y1
-3 -2 -1 -0.5 -0.6 0 1 2 3
-8 -4 0 2 1.6 4 8 12 16
63
y2 0.78 0 -1 3 0.78 15 8 6.11
y = 4x +4
y =3 +8/x + 2
y =1,5
x=-
Berdasarkan kurva dapat diperkirakan bahwa harga x= 1,5 dan x = -0,7. Untuk x = 1,5
y = 4x +4 = 4(1,5) + 4 = 10 dan untuk x = -0,7
y = 4 (-0,7)+ 4= 1,2. Didapat koordinat (1,5, 10) dan (-0,7, 1,2)
Latihan Tentukan titik potong antara kurva: 2
a. y = 6 -2x dengan y = x + 4x – 6 2
b. y = -5x +8 dengan y = 2x - 4x – 12 2
c. y = 3x dengan y =5x -8x + 9 2
d. y = -6 dengan y = 4x - 4x – 8 2
e. y/x = -5 dengan y = 4x + 4x + 6 f.
2
y/x = -5 - 4x dengan y = 4x + 4x + 6
Tugas A. Tentukan akar-akar dari persamaan: 2
1. y =9 x + 4x – 10
64
y = 4x +4
2
2. y = -2x + 4x - 5 2
3. y = -3 x - 2x +16 Uji akar yang didapat dengan persamaan
B. Tentukan titik potong antara kurva: 2
1. y = -6 -12x dengan y = 3x + 4x + 9 2
2. y = 5x + 10 dengan y = -2x + 4x – 12 2
3. y/x = -5 dengan y = -4x + 8x + 5 2
4. y/x = 5 + 6x dengan y = 9x + 6x – 6 2
5. y + 6 x = 9 dengan y = 2x - 4x – 12 2
6. y = x+1 dengan y = 3x + 4 2
7. y x = 2x +1 dengan y = 3x + 4 2
8. y + x = 2 dengan y = 2x + 3 V.8. Titik potong dua kurva non linier
Untuk menentukan titik potong antara dua kurva non linier dapat dilakukan dengan cara subsitusi atau elemininasi. Contoh: 2
1.Tentukan titik potong antara dua kurva yang mempunyai persamaan y = 2 x +3 x - 4 2
dan y = - x +5x +5 Jawab: Digunakan penyelesaian dengan cara eliminasi 2
y = 2 x + 3 x - 4 2
y = - x + 5x + 5 -
65
2
2
0 = 3 x - 2 x - 9 atau 3 x - 2 x - 9 = 0 Harga akar-akar dicari dengan rumus a,b,c :
Mencari harga y1dan y2: 2
2
y1 =- x +5x +5= - (2,0972) + 5(2,0972) + 5 =11,0878 2
2
y2 =- x +5x +5= - (-1,4305) + 5(-1,4305) + 5 = - 4,1988 Jadi titk potong yang dimaksud adalah: (2,0972 , 11,0878) dan (-1,4305 , - 4,1988) 2. Tentukan titik potong antara dua kurva yang mempunyai persamaan 2
y = 2 x +3 x + 4 ............................(a) dan 2
x y = -3x – 5 ............................... (b) Jawab: 2
Dari persamaan (b) : x y = -3x – 5
y
= -3/x – 5/x
2
.................. (c)
Masukkan persamaan (c) ke persamaan (a): 2
2
2
-3/x – 5/x = 2 x +3 x + 4 kalikan dengan x , maka didapat: 4
3
- 3x - 5 = 2 x + 3 x + 4 x
2
2x
4
3
+ 3x + 4x
2
+ 3x + 5 = 0
Penyelesaian menggunakan metoda Newton Raphson dengan bentuk formulasi: ’
x n+1 = x n –f(x n )/ f (x n )
66
4
3
2
f(xn) = 2xn + 3x n + 4x n + 3xn + 5 ’
f (xn) =turunan pertama f(xn)
3
2
= 8xn + 9x n + 8x n+ 3 4
3
2
3
2
xn+1 = x n – {2xn + 3x n + 4x n + 3xn + 5}/{8x n + 9x n + 8x n+ 3} Pilih harga awal (n = 0) atau x0 untuk menghitung x n+1, penghitungan dilakukan secara terus menerus sampai didapat harga xn+1 mendekati konstan atau tetap. Misal dipilih saat n =0 harga dari x 0 = 0, sehingga didapat: ’
3
2
f (xn) = 8xn + 9x n + 8x n+ 3 ’
3
f
’
3
2
(x0) = 8x0 + 9x 0 + 8x 0+ 3
2
f (x0) = 8(0) + 9(0) + 8(0)+ 3=3 4
3
2
f(xn) = 2xn + 3x n + 4x n + 3xn + 5 4
3
f(x0) = 2(0) + 3(0) + 4(0)
2
4
f(x 0)
3
2
= 2x0 + 3x 0 + 4x 0 + 3x0 + 5
+ 3(0) + 5 = 5
’
x n+1 = x n –f(x n )/ f (x n ) ’
x0+1 = x 0 – f (x0)/f (x0) = 0 - 5/3= - 5/3 x 1 = - 5/3 = -1,6667 Untuk n = 1 ’
3
2
’
3
2
f (xn) = 8xn + 9x n + 8x n+ 3 f (x1) = 8x1 + 9x 1 + 8x 1+ 3 ’
3
2
f (x1) = 8 (- 5/3) + 9(- 5/3) + 8(-5/3) + 3 = -22,3704 4
3
2
4
3
2
f(xn) = 2xn + 3x n + 4x n + 3xn + 5 4
3
2
f(x1) = 2x1 + 3x 1 + 4x 1 + 3x1 + 5=2(-5/3) + 3(-5/3) + 4(-5/3) +3( -5/3) + 5 =12,65432 x n+1 = x n –f(x n )/ f ’ (x n ) ’
x1+1 = x 1 – f (x1)/f (x1) x2 = - 5/3 – {12,65432/-22,3704} = -1.10099 Dari pembandingan harga x1 dengan x 2 belum mendekati sama, sehingga perhitungan terus dilakukan sampai mendekati harga yang sama atau mendekati sama (convergen) . 67
Untuk n = 2 ’
3
2
’
3
2
f (xn) = 8xn + 9x n + 8x n+ 3 f (x2) = 8x2 + 9x 2 + 8x 2+ 3 ’
3
2
f (x2) = 8(-1.10099) + 9(-1.10099) + 8(-1.10099) + 3 = -5.57508 4
3
2
4
3
2
f(xn) = 2xn + 3x n + 4x n + 3xn + 5 f(x2) = 2x2 + 3x 2 + 4x 2 + 3x2 + 5 4 3 2 =2(-1.10099) + 3(-1.10099) + 4(-1.10099) +3(-1.10099)+5 = 5.480711 ’
x n+1 = x n –f(x n )/ f (x n ) ’
x2+1 = x 2 – f (x2)/f (x2) x3 = -1.10099 –{5.480711 /-5.57508} = -0.11792 Untuk n = 3 ’
3
2
’
3
2
f (xn) = 8xn + 9x n + 8x n+ 3 f (x3) = 8x3 + 9x 3 + 8x 3+ 3 ’
3
2
f (x3) = 8(-0.11792) + 9(-0.11792) + 8(-0.11792) + 3 = 2.168669 4
3
2
4
3
2
f(xn) = 2xn + 3x n + 4x n + 3xn + 5 f(x3) = 2x3 + 3x 3 + 4x 3 + 3x3 + 5 4
3
2
=2(-0.11792) + 3(-0.11792) + 4(-0.11792) +3(-0.11792)+5 = 4.697328 ’
x n+1 = x n –f(x n )/ f (x n ) ’
x3+1 = x 3 – f (x3)/f (x3) x4 = - 0.11792 –{4.697328 /2.168669} = 2.048076 Untuk n = 4 ’
3
2
’
3
2
f (xn) = 8xn + 9x n + 8x n+ 3 f (x4) = 8x4 + 9x 4 + 8x 4+ 3 ’
3
2
f (x4) = 8(2.048076) + 9(2.048076) + 8(2.048076) + 3 = 125.863 4
3
2
4
3
2
f(xn) = 2xn + 3x n + 4x n + 3xn + 5 f(x4) = 2x4 + 3x 4 + 4x 4 + 3x4 + 5 4
3
2
=2(2.048076) + 3(2.048076) + 4(2.048076) +3(2.048076)+5 =88.88496 ’
x n+1 = x n –f(x n )/ f (x n ) ’
x4+1 = x 4 – f (x4)/f (x4) x5 = 2.048076 –{88.88496 /125.863} = 1.341872 Untuk n = 5
68
’
3
2
’
3
2
f (xn) = 8xn + 9x n + 8x n+ 3 f (x5) = 8x5 + 9x 5 + 8x 5+ 3 ’
3
2
f (x5) = 8(1.341872) + 9(1.341872) + 8(1.341872) + 3 = 49.27018 4
3
2
4
3
2
f(xn) = 2xn + 3x n + 4x n + 3xn + 5 f(x5) = 2x5 + 3x 5 + 4x 5 + 3x5 + 5 4
3
2
=2( 1.341872) + 3( 1.341872) + 4( 1.341872) +3( 1.341872)+5 =29.96117 ’
x n+1 = x n –f(x n )/ f (x n ) ’
x4+1 = x 5 – f (x5)/f (x5) x6 =1.341872 –{29.96117/49.27018} = 0.733773 Untuk n = 6 ’
3
2
’
3
2
f (xn) = 8xn + 9x n + 8x n+ 3 f (x6) = 8x6 + 9x 6 + 8x 6+ 3 ’
3
2
f (x6) = 8(0.733773) + 9(0.733773) + 8(0.733773) + 3 =16.8766 4
3
2
4
3
2
f(xn) = 2xn + 3x n + 4x n + 3xn + 5 f(x6) = 2x6 + 3x 6 + 4x 6 + 3x6 + 5 4
3
2
=2(0.733773) + 3(0.733773) + 4(0.733773) +3(0.733773)+5 =11.12 ’
x n+1 = x n –f(x n )/ f (x n ) ’
x5+1 = x 6 – f (x6)/f (x6) x7 =0.733773 –{11.12/16.8766} = 0.074873 Untuk n = 7 ’
3
2
’
3
2
f (xn) = 8xn + 9x n + 8x n+ 3 f (x7) = 8x7 + 9x 7 + 8x 7+ 3 ’
3
2
f (x7) = 8(0.074873) + 9(0.074873) + 8(0.074873) + 3 =3.6528 4
3
2
4
3
2
f(xn) = 2xn + 3x n + 4x n + 3xn + 5 f(x7) = 2x7 + 3x 7 + 4x 7 + 3x7 + 5 4
3
2
=2(0.074873) + 3(0.074873) + 4(0.074873) +3(0.074873)+5 =5.24836 ’
x n+1 = x n –f(x n )/ f (x n ) ’
x7+1 = x 7 – f (x7)/f (x7) x8 =0.074873 –{5.24836/3.6528} = -1.36193 Untuk n = 8
69
’
3
2
’
3
2
f (xn) = 8xn + 9x n + 8x n+ 3 f (x8) = 8x8 + 9x 8 + 8x 8+ 3 ’
3
2
f (x8) = 8(-1.36193) + 9(-1.36193) + 8(-1.36193) + 3 =-11.4112 4
3
2
4
3
2
f(xn) = 2xn + 3x n + 4x n + 3xn + 5 f(x8) = 2x8 + 3x 8 + 4x 8 + 3x8 + 5 4
3
2
=2(-1.36193) + 3(-1.36193) + 4(-1.36193) +3(-1.36193)+5 =7.636044 ’
x n+1 = x n –f(x n )/ f (x n ) ’
x8+1 = x 8 – f (x8)/f (x8) x9 =-1.36193 –{7.636044/-11.4112} = -0.69276 Untuk n = 9 ’
3
2
’
3
2
f (xn) = 8xn + 9x n + 8x n+ 3 f (x9) = 8x9 + 9x 9 + 8x 9+ 3 ’
3
2
f (x9) = 8(-0.69276) + 9(-0.69276) + 8(-0.69276) + 3 = -0.8826 4
3
2
f(xn) = 2xn + 3x n + 4x n + 3xn + 5 4
3
2
f(x9) = 2x9 + 3 9 + 4x 9 + 3x9 + 5 4
3
2
=2(-0.69276) + 3(-0.69276) + 4(-0.69276) +3(-0.69276)+5 =4.304625 ’
x n+1 = x n –f(x n )/ f (x n ) ’
x9+1 = x 9 – f (x9)/f (x9) x9 = - 0.69276 –{4.304625/-0.8826} = 4.18445 Harga x tidak ada yang memenuhi (tidak bisa mencapai konvergensi) Dibuat tabel pembantu untuk menunjukkan perubahan kecenderungan perubahan dari harga x dimulai dari harga awal x0=0, sebagai berikut: n
x n+1
Keterangan
0
-1,6667
divergen
1
-1.10099
divergen
2
-0.11792
divergen
3
2.048076
divergen
4
1.341872
divergen
5
0.733773
divergen
6
0.074873
divergen 70
7
-1.36193
divergen
8
-0.69276
divergen
Catatan cara Newton Raphson umumnya hanya membutuhkan langkah hitungan sekitar 3 sampai 5 kali saja sudah mencapai konvergen (tidak ada beda harga x yang berarti). Artinya bila langkah hitungan telah melibihi dari lima tahapan, maka dimungkinkan tidak ada jawaban yang memenuhi syarat untuk harga x. 2. Tentukan titik potong antara dua kurva yang mempunyai persamaan 2
y = x +3 x + 4 ............................(a) dan xy = -3x – 5 ............................... (b) Dari persamaan (b) : xy = -3x – 5
y
= -3 – 5/x
.................. (c)
Masukkan persamaan (c) ke persamaan (a): 2
-3 – 5/x = x +3 x + 4 kalikan dengan x , maka didapat: 3
2
- 3x - 5 = 2 x + 3 x + 4 x
2x
3
2
+ 3x + 7x + 5 = 0
Penyelesaian menggunakan metoda Newton Raphson dengan bentuk formulasi: ’
x n+1 = x n –f(x n )/ f (x n ) 3
2
f(xn) =2x + 3x + 7x + 5 2
f ’(xn) = 6x + 6x + 7 Pilih harga x0 = 0, untuk n = 0 3
2
f(x0) =2x0 + 3x 0 + 7x 0 + 5= 2(0)+3(0)+7(0)+5=5 2
f ’(x0) = 6x0 + 6x 0 + 7=6(0)+6(0)+7=7 x 0+1 = x 0 –f(x 0 )/ f ’ (x 0 ) ’
x1 = x 0 –f(x0)/ f (x0) = 0 – 5/7 = -5/7= - 0.71429 Untuk n=1 ’
2
2
f (x1) =6x1 + 6x 1 + 7= 6(- 0.71429) +6 (- 0.71429)+7=5.775521 3
2
3
2
f(x1) =2x1 + 3x 1 + 7x 1 + 5= 2(- 0.71429) +3(- 0.71429) +7(- 0.71429)+5= 0.801725 71
x 1+1 = x 1 –f(x 1 )/ f ’ (x 1 ) ’
x2 = x 1 –f(x1)/ f (x1) = - 0.71429-{0.801725/5.775521}= - 0.8531 Untuk n=2 ’
2
2
f (x2) =6x2 + 6x 2 + 7= 6(- 0.8531) +6 (- 0.8531)+7=6.248078 3
2
3
2
f(x2) =2x2 + 3x 2 + 7x 2 + 5= 2(- 0.8531) +3(- 0.8531) +7(- 0.8531)+5= -0.0301 x 2+1 = x 2 –f(x 2 )/ f ’ (x 2 ) ’
x3 = x 2 –f(x2)/ f (x2) = - 0.8531-{- 0.0301/6.248078}= - 0.8483 Untuk n=3 ’
2
2
f (x3) =6x3 + 6x 3 + 7= 6(- 0.8483) +6 (- 0.8483)+7= 6.22788 3
2
3
2
f(x3) =2x3 + 3x 3 + 7x 3 + 5= 2(- 0.8483) +3(- 0.8483) +7(- 0.8483)+5= -0.00016 x 3+1 = x 3 –f(x 3 )/ f ’ (x 3 ) ’
x4 = x 3 –f(x3)/ f (x3) = - 0.8483-{-0.00016/6.22788}= -0.84827 Untuk n=4 ’
2
2
f (x4) =6x4 + 6x 4 + 7= 6(- 0.84827) +6 (- 0.84827)+7= 6.22775 3
2
3
2
f(x4) =2x4 + 3x 4 + 7x 4 + 5= 2(- 0.84827) +3(- 0.84827) +7(- 0.84827)+5= 3.03E-05 x 4+1 = x 4 –f(x 4 )/ f ’ (x 4 ) ’
x5 = x 4 –f(x4)/ f (x4) = - 0.84827 -{3.03E-05/6.22775}= - 0.848265 (dianggap sudah convergen atau mendekati sama dengan harga x sebelumnnya) Menentukan harga y: y = -3 – 5/x = -3 – {5/0,848265} = -8.89438 Jadi salah satu titik potong kedua kurva tersebut adalah{0,848265 , -8,89438} Dibuat tabel pembantu untuk menunjukkan perubahan kecenderungan perubahan dari harga x dimulai dari harga awal x0=0, sebagai berikut:
72
n
x n+1
Keterangan
0
- 0.71429
Divergen
1
- 0.8531
Divergen
2
- 0.8483
Divergen
3
- 0.84827
Divergen
4
- 0.848265
Konvergen (dianggap tidak ada beda
yang
nyata
antara harga x) 3. Tentukan titik potong antara dua kurva yang mempunyai persamaan 2
2
3x – y = 26 ...................................(a) dan 2
2
2x + 5y = 23 ............................... (b) Jawab: Penyelesaian dilakukan dengan eliminasi 2
2
Persamaan (a) dikalikan 2:
6x – 2y = 52
Persamaan (b) dikalikan 3:
6x +15y = 69 –
2
2
2
-17 y = - 17 2
y = 1 Menentukan harga x: 2
Untuk y =1 3x – y
2
2
= 26 2
3x – (1) = 26 2
3x = 27
2
x = 9 x=±3
2
Untuk y = -1 3x – y
2
= 26
73
y
=±1
2
2
3x – (-1) = 26 2
3x = 27
2
x = 9 x=±3
Dengan demikian didapat titik potong antara dua kurva tersebut adalah: (3,1),(-3,1), (3,1) dan (-3,-1)
Latihan Tentukan titk potong antara dua kurva berikut: 2
2
1. y = x +4 x + 4 dengan y = 3x + 8 x + 4 2
2
2. y = 4 x +9 x + 4 dengan y = 3x + 8 x + 2 2
2
3. y = x +5 x + 4 dengan y = x - 8 x + 4 2
2
4. y = -2x +4 x + 4 dengan y = -3x + 9 x + 4 2
2
2
5. y = x + 4 x + 4 dengan y = 3x + 8 x + 4 2
2
6. y = 12 x +4 x - 9 dengan y = x + 8/ x + 4 2
2
2
7. y = x +4 x + 4 dengan y x = 3x + 8 x + 4 2
2
2
(x +4 x + 4)(x ) = 3x + 8 x + 4 4
3
2
4
3
2
4
3
2
x +4 x + 4x = 3x + 8 x + 4 2
x +4 x + 4x -3x - 8 x – 4 = 0 2
x +4 x + x - 8 x – 4 = 0
8.
2
2
x + 4 x + y + 4y = 41 dengan y/2 = 2/x 2
2
2
9. y = x +6 x + 9 dengan yx = 3x + 8 x + 4
74
2
2
2
(x +6 x + 9)( x )= 3x + 8 x + 4 4
3
2
4
3
2
2
x +6 x + 9 x = 3x + 8 x + 4 x +6 x + 6 x - 8 x - 4 =0
V.9. Linierisasi persamaan non linier
Linierisasi adalah proses pengubahan persamaan dari bentuk non linier menjadi linier atau mengubah kurva garis lengkung menjadi garis lurus. a. Persamaan
2
y = ax + bx adalah non linier dapat diubah menjadi linier
dengan cara membagi y dengan x, sehingga persamaan menjadi:y/x= ax +b dan untuk memudahkan pemahaman perubahan tersebut dapat dilihat pada perubahan bentuk kurva yang dihasilkan. b. Hasil linierisasi selengkapnya untuk berbagai persamaan non linier menjadi linier dapat dilihat pada tabel berikut:
Gambar 6. Sket kurva :
2
Y = ax + bx
Sket kurva non linier
Gambar 7. Sket kurva : Y/x = ax+b Sket kurva linier
Persamaan untuk mencari a dan b: nb + a∑x = ∑Y/x……………...(1) b∑x+a∑(x)(x)=∑(x)(Y/x)=∑Y...(2)
75
Gambar 8. Sket kurva :
b
Y = ax
Gambar 9.Sket kurva:logY=loga+b logx Persamaan untuk mencari a dan b:
Sket kurva non linier
Sket kurva linier
n log a + b∑ logx =
∑log Y
....(1)
log a ∑log x + b ∑(logx)(logx) =
∑(logx)(logY) ………. (2)
bx
Gambar 10.Sket kurva : Y = ae
Gambar 11.Sket kurva:lnY=ln a + bx Persamaan untuk mencari Sket kurva liniera dan b: n lna + b∑x = ∑ln y ……...(1)
Sket kurva non linier
ln a∑x+ b∑(x)(x)=∑(x)(lnY) ..... (2)
Gambar 12.Sketkurva:Y= b/(1+ax)
Gambar 13. Sket kurva : 1/Y =ax/b + 1/b Sket kurva linier
Sket kurva non linier
76
Persamaan untuk mencari a dan b: n1/b+a/b∑x=∑1/Y ………...(1) 1/b∑x +a/ b∑(x)(x) =∑(x)(1/Y).. (2)
V.10. Aplikasi kurva dan persamaan non linier
1. Diketahui dari percobaan pencahayaan pada permukaan lantai dari penggunaan beberapa lampu dengan jarak tertentu terhadap kuat cahaya didapatkan data sebagai berikut: No
Jarak lampu (d), meter
Kuat cahaya (I), unit
1
1
270
2
1,5
120
3
2
67,5
4
2,5
43,2
5
3
30
6
3,5
20
7
4
16,9
Dengan menggunakan bantuan kurva tafsirkan atau perkirakan : a. Kuat cahaya ketika jarak lampu sejauh 2,4 m terhadap lantai b. Jumlah lampu minimum yang dibutuhkan untuk menghasilkan kuat cahaya 140 unit pada jarak pencahayaan 2,7 m Jawab:
77
a. Pada jarak pencahayaan 2,4 m diperkirakan bahwa berdasarkan penarikan garis merah didapat kuat cahaya sekitar 49 unit b. Pada jarak 2,7 m diperkirakan bahwa berdasarkan penarikan garis biru muda didapat kuat cahaya sekitar 38 unit. Dengan demikian diperkirakan jumlah lampu yang dibutuhkan sekitar : 140/38 = 3,6842 dibulatkan menjadi 4 lampu Catatan :
Pembacaan dengan kurva berupa garis lengkung sangat tidak teliti, karena setiap orang bisa berbeda penafsiran. Oleh karena itu cara ini harus dihindari dan disarankan menggunakan kurva linier (dilakukan proses linierisasi terlebih dahulu). Melihat kecenderungan kurva yang diperoleh dimungkinkan data dapat diwakili b bentuk persamaan umum: I = a d , dengan a dan b adalah tetapan yang harus dicari
lewat proses linierisasi. Dalam hal ini model persamaan linier yang digunakana adalah: log I = log a + b log d. Dibuat tabel pembantu berikut: d
I
log d
log I
log d . log d
log d . log I
1
270
0
2.43
0
0
1,5
120
0.18
2.08
0.0324
0.3744
78
2
67,5
0.3
1.83
0.09
0.549
2,5
43,2
0.4
1.64
0.16
0.656
3
30
0.48
1.48
0.2304
0.7104
3,5
20
0.54
1.3
0.2916
0.702
4
16,9
0.6
1.23
0.36
1.134
∑=1.1644
∑= 3.7298
∑=2.5
∑=11.99
Digunakan persamaan statistik: n log a + b∑ logd =
∑log I
.................................………....(1)
log a ∑log d + b ∑(log d)(log d) = ∑(log d)(log I) ………. (2) 7 log a + 2.5 b = 11.99
….... (3)
2.5 log a +1.1644 b = 3.7298 ………(4) Persamaan (3) x 2.5
: 17.5 log a + 6.25
= 29.975
Persamaan (4) x 7
: 17.5 log a + 8.1508b = 26.1086 – -1.9008 b = 3.8664 b = -2.0341
Dari persamaan (3):
7 log a + 2.5 b = 11.99 7 log a + 2.5 (-2.0341) =11.99 7 log a = 2.5 (2.0341) + 11.99 7 log a = 17.0753 log a = 2.4393 a = 274.9793
Jadi persamaan untuk data adalah I = 274.9793 d Bila menggunakan excel didapat kurva berikut: 79
– 2.0341
Didapat harga b =-2,034 dan log a = 2,439 persamaan: I = 274,79 d
yaitu I = 274.9793 d Untuk d = 2,4 Untuk d= 2,7
-2.034
a =
274,79, sehingga didapat
(tidak jauh dengan hitungan dari statistik
– 2.0341
)
= 274,97(2,4) -2.0341 = 46.33377 unit -2.0341 I = 274,97(2,7) = 36.4626 unit, jumlah lampu yang I
dibutuhkan = 140/36.4424 = 3.84 = 4 lampu 2. Diketahui dari percobaan pengosongan kapasitor didapat data sebagai berikut: No
Waktu pengosongan (t), menit
Arus yang dikeluarkan (I), amper
1
10
12,1
2
20
7,36
3
40
2,71
4
60
0,996
5
80
0,366
Bila hubungan antara arus (I) dengan waktu pengosongan (t) dinyatakan sebagai: I kt
=ae
, dengan e = bilangan alam = 2,72, a dan k adalah tetapan (konstanta),
maka: 80
a. Tentukan harga dari a dan k b. Waktu yang dibutuhkan untuk mencapai arus 50% dari arus semula Jawab: a. Dibuat kurva hubungan antara waktu (t) dan arus (I)
Nampak bahwa kurva hubungan antara waktu dan arus tidak linier dan diperkuat kt
pula dengan persamaan pengganti yang bebentuk : I = a e . Untuk menjamin hasil yang akurat dalam menentukan harga a dan k sebaiknya kurva di buat garis linier dan persamaan pengganti juga dibuat linier dengan bentuk menjadi:ln I = ln a +kt. Dengan demikian data diubah manjadi No
t, menit
I, amper
ln I
1
10
12,1
2,493
2
20
7,36
1,996
3
40
2,71
0,997
4
60
0,996
-0,004
5
80
0,366
-1,005
81
Dari kurva hubungan antara ln I terhadap waktu (t), nampak bahwa sekarang diperoleh kurva yang linier. Dengan bantuan statistik harga a dan k dicari dengan peresamaan berikut: n ln a + k ∑ t = ∑ln I ..........................(1) ln a∑ t + k ∑(t.t) =∑(ln I.t) ......... (2) dengan n adalah jumlah data, dalam hal ini n = 5 Dibuat tabel pembantu: t
I
ln I
(t).(t)
(ln I).(t)
10
12,1
2,493
100
24,93
20
7,36
1,996
400
39,92
40
2,71
0,997
1600
39,88
60
0,996
-0,004
3600
-0,24
80
0,336
-1,005
6400
-80,4
∑=210
∑=4,477
∑=12100
Diperoleh bentuk persamaan berikut: 5 ln a + 210 k = 4,477 ................. (3) 210 ln a + 12100k =24,09 ............(4) Persamaan (3) x 210: 1050 ln a + 44100 k = 940,17 Persamaan (4) x 5:
1050 ln a + 60500 k = 120,45 – -16400 k = 819,72 k = - 0,050
Dari persamaan (3): 5 ln a + 210 k = 4,477 5 ln a + 210 (-0,050) = 4,477 82
∑=24,09
5 ln a – 10,5 = 4,477 5 ln a = 14,977 ln a = 2,9954 a = 19,9933 Persamaan sebenarnya untuk data percobaan adalah: -0,050 t
I =19,9933 e
b.Waktu yang dibutuhkan untuk mencapai arus 50% dari arus semula dihitung sebagai berikut: -0,050 t
Arus mula-mula adalah saat t= 0 I = 19,9933 e
(-0,050)(0)
= 19,9933 e
= 19,9933 (1) = 19,9933 A Sehingga untuk arus 50% adalah 50% x 19,9933 A = 9.99665 A -0,050 t
I =19,9933 e
-0,050 t
9.99665 = 19,9933 e
-0,050 t
ln 9.99665 = ln19,9933+ ln e
ln 9.99665 = ln19,9933 + (– 0,050 t) 2,3023 = 2,9953 – 0,050 t 0,050 t = 2,9953 – 2,3023 0,050 t = 2,9953 – 2,3023 0,050 t =0,693
t
=13,86 menit
Jadi waktu yang dibutuhkan untuk mencapai 50 % dari arus semula adalah 13, 86 menit 3. Data percobaan pengukuran antara konduktivitas (σ) terhadap suhu (T) pada bahan semikonduktor murni Ge didapat sebagai berikut :
T, °C
10
56
140
215
σ, ohm-1 . m-1
1
10
100
800
83
Berdasarkan data diatas perkiraan besar harga energi gap (Eg) untuk bahan tersebut (perlu diingat bahwa menurut tabel harga Eg untuk Ge adalah 0,7 eV). Persamaan untuk data tersebut dinyatakan sebagai:
σ = σ0 e
−
Eg 2kT
Jawab :
Dari persamaan:
σ = σ0 e
−
Eg 2kT
nampak bahwa hubungan antara σ terhadap T
adalah tidak linier dan diperkuat dengan kurva berikut:
Untuk menjamin keakuratan dalam menentukan energi gap (Eg), maka persamaan
σ = σ0 e ln σ = ln
−
Eg 2kT
diubah menjadi:
σ0 + ln e
−
Eg 2kT
ln σ = ln
σ0 −
Eg 2kT
Hubungan antara ln σ dengan 1/T adalah linier yang diperkuat dengan kurva berikut: 1/T : 3,54 x 10-3
3,04 x10-3
2,42 x 10-3
2,05 x 10-3
ln σ: 0
2,30
4,61
6,68
84
Nampak dari kurva bahwa garis merah merupakan garis linier hasil pendekatan dengan persamaan: ln σ = ln
σ0 −
Eg 2kT
dan dinyatakan sebagai:
ln σ = 14,95 – (4229)(1/T) , nampak dari persamaan diperoleh bahwa : ln σ0 = 14,95 dan Eg/2k = 4229
E g
= (2k)(4229) = (2)( 86,1 x10-6)( 4229) = 0,73 eV
Bila evaluasi dengan cara statistik,maka digunakan persamaan (1) dan (2) : na − b
1
∑ T = ∑ In
σ
.................................... (1)
85
1
1 1
∑ T − b∑ T T = ∑ (In
a
1 ........... (2) T
)
σ
Catatan a = ln σ0 b=
Eg 2k
Untuk membantu supaya mudah dalam penggunaan persamaan (1) dan (2) dibuat tabel berikut :
°C
T, K
σ, ohm-1.m-
1
1
T
ln σ
1 1 T T
(ln σ) (
1 T
)
10
283
1
3,54 x 10-3
0
12,53 x 10-6
0
56
392
10
3,04 x10-3
2,30
9,24 x 10-6
6,99 x 10 -3
140
413
100
2,42 x 10-3
4,61
5,86 x10-6
11,16 x 10 -3
215
488
800
2,05 x 10-3
6,68
4,20x10-6
13 x 10 -3
∑=11,05 x10-3
∑= 13,5 9
∑=31,83x106
∑= 31,84x10-3
Masukkan hasil penjumlahan diatas kedalam persamaan (1) dan (2). 4a – 11,05 x10-3 b = 13,59 ....................................... ................(3) 11,05 x10-3 a – 31,83 x 10-6 b = 31,84x10-3......................... (4) Dalam data diatas jumlahnya adalah 4, maka n =4. Untuk mengevaluasi harga Eg yang perlu dicari adalah nilai b, karena : b=
Eg 2k
..................... (5)
atau Eg = 2k b ....................... (6)
86
Dari persamaan (6) harga Eg bisa dicari. Penyelesaian persamaan (3) dan (4) adalah sebagai berikut : Pers (3) x11,05 x 10-3 : 44,2 x 10 -3a – 122,10 x 10-6 b = 150,17 x 10-3 : 44,2 x 10-3a – 127,32 x 10-6 b = 127,36 x 10-3 -
Pers (4) x 4
5,22 x 10-6 b = 22,81 x 10-3 b=
22,81 × 10 −3 5,22 × 10 −6
= 4,37 x 103 = 4370 Dari persamaan (5) : Eg
= 2kb
= 2 (86,1 x 10-6) (4,37 x 103) = 0,75 eV
Tugas
Tentukan titik potong antara dua kurva berikut: 2
2
1. y = 0,5 x + 9 x + 4 dengan y = 3x + 8 x - 7 2
3
2. y = x +4 x + 4 dengan yx = 3x + 8 x + 4 2
2
2
3. x + xy = 3 dengan 2x - 3 xy + 4y =12 2
2
4. x - yx + y = 21 dengan xy = 5 x
(x-1)(x-1)
5. 2 = 8 dengan 4
= 0,25
6. Data pengukuran antara suhu (T) terhadap konduktivitas (σ) dari Si menunjukkan sebagai berikut : T, °C
ohm-1. m-1
σ
30
6,59 x 10-29
40
1,29 x 10-28
50
2,43 x 10-28
87
60
4,40 x 10-28
70
7,71 x 10-28
Perkiraan berapa harga Eg (energi gap) bahan tersebut. 7. Diketahui dari percobaan pengosongan kapasitor didapat data sebagai berikut: No
Waktu pengosongan (t), menit
Arus yang dikeluarkan (I), amper
1
2
81,9
2
4
67,0
3
6
54,9
4
8
44,9
5
10
36,8
Bila hubungan antara arus (I) dengan waktu pengosongan (t) dinyatakan sebagai: I kt
= a e dengan a dan k adalah tetapan (konstanta), maka: a. Tentukan harga dari a dan k b. Waktu yang dibutuhkan untuk mencapai arus 20% dari arus semula 8. Data hasil pengukuran tegangan (V) dan arus listrik (I) menunjukkan sebagai berikut: No
Tegangan (V), Volt
Arus (I), amper
1
5
0,41
2
10
0,78
3
15
1.14
4
20
1,51
88
5
25
1,76
6
30
2,22
7
35
2,69
8
40
3,01
9
45
3,40
10
50
3,76
a. Dengan menggunakan bantuan kurva tentukan bentuk persamaan yang cocok
untuk data tersebut (gunakan hukum Ohm I = V/R), atau dengan pendekatan umum sebagai I = aV + b dimana a= 1/R atau R = 1/a b. Perkirakan nilai tahanan (R)
yang digunakan untuk percobaan (gunakan
pendekatan R = 1/a). 9. Diketahui dari percobaan pencahayaan pada permukaan lantai dari penggunaan beberapa lampu dengan jarak tertentu terhadap kuat cahaya didapatkan data sebagai berikut: No
Jarak lampu (d), meter
Kuat cahaya (I), unit
1
2
360
2
4
90
3
6
40
4
8
22,5
5
10
14,4
Tentukan kuat cahaya pada waktu lampu diturunkan 7 m dari permukaan lantai, b apabila data diwakili dengan persamaan I = a d dengan a dan b adalah tetapan.
89
V.11. Daftar Pustaka: …….., 1982. Aljabar Semester 1 dan 2. Edisi pertama, Departemen Elekteronik Politeknik, TEDC, Bandung. Hal. 22-29
90
BAB VI. PERSAMAAN LINIER VI.1. Pendahuluan
Persamaan linier adalah persamaan yang mempunyai satu variabel bebas dengan orde satu atau pangkat satu. Ciri dari persamaan linier adalah antara variabel bebas (dependen) dan tidak bebas (independen) selalau berbanding lurus dan biasanya kurva hubungan antara kedua variabel tersebut selalu berbentuk garis lurus atau linier.
VI.2. Kurva atau grafik persamaan linier
Sebagaimana telah disebutkan pada pendahuluan bahwa pada umumnya persamaan linier mempunyai bentuk kurva berupa garis lurus. Kecenderungan atau arah kurva tergantung dari angka arah atau slope dan juga harga intersep atau titik potong dengan sumbu y. y = ax + b y
Ө
b = intersep
a = angkaarah a= tgӨ
x Gambar 14. Sket kurva hubungan y terhadap x dari persamaan y= ax +b
Dari gambar 14 nampak bahwa kurva hubungan antara y terhadap x cenderung miring ke kanan, karena angka arah (a) berharga positip dan kurva memotong pada sumbu y positip, karena kurva mempunyai intersep (b) positip.
.
y = - ax + b b = intersep
Ө
a = angka arah = tg Ө
x Gambar 15. Sket kurva hubungan y terhadap x dari persamaan y= - ax +b
91
Dari gambar 15 nampak bahwa kurva hubungan antara y terhadap x cenderung miring ke kiri, karena angka arah (a) berharga negatip dan kurva memotong pada sumbu y positip, karena kurva mempunyai intersep (b) positip.
Gambar 16. Perubahan kecenderungan terhadap perubahan angka arah (a) Dari gambar 16 semakin besar harga a, maka kurva semakin bergeser mengarah sumbu y atau bergerak ke arah kuadran dua.
Gambar 17. Kecenderungan pergeseren intersep karena perubahan konstanta b
Dari gambar 17 semakin besar harga b, maka intersep semakin bergeser keatas meninggalkan titik (0,0). Gambar 18 menunjukkan perbandingan kecenderungan 92
kemiringan kurva sebagai akibat perbedaaan angka arah (a) atau slope. Sebagaimana telah disebutkan bahwa untuk harga slope positip, maka kurva cenderung miring ke kanan. Sedangkan untuk harga slope negatip, maka kurva cenderung miring ke kiri. Perlu diketahui juga bahwa slope atau angka arah sebenarnya dapat dihitung dari tg Ө, dalam
Ө merupakan sudut yang dibentuk antara perpotongan sumbu x dengan garis dari kurva yang terbentuk (tg Ө = a). hal ini
Ө
Ө b -
Gambar 18. Kurva perubahan arah akibat perubahan harga a (slope) Contoh:
Berdasarkan kurva berikut tentukan bentuk persamaan penggantinya yang paling sesuai.
Jawab: Berdasarkan gambar nampak bahwa harga intersep (b) adalah 0 (nol), karena kurva tepat melewati titik (0,0). Sedangkan harga tg
Ө =2/2
=1 atau a = 1. Dengan memasukkan
persamaan umum linier y = ax + b, maka didapat bahwa : y = x. Atau dapat juga dicari lewat koordinat yang terbentuk, misal (-4, -4), (0,0), (2,2) lalu digunakan persamaan 93
(y-0)/(2-0)
garis (y-y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)
= (x-0)/(2-0) , y/2=x/2 atau y = x.
Berdasarkan persamaan y=x, maka titik-titik koordinat dapat dianalisis sebagai berikut: x:
-4
0
2
4
y:
-4
0
2
4
Letak titik-tik koordinat tersebut sangat sesuai dengan koordinat yang ditampilkan pada kurva diatas. Sehingga dapat dsimpulkan bahwa y = x merupakan jawaban untuk soal yang dimaksud.
VI.3. Penyelesaian dua atau lebih sistem persamaan linier VI.3.1. Penyelesaian dengan cara eliminasi
Cara ini dilakukan dengan menghilangkan salah satu variabel yang ada pada persamaan tersebut boleh yang bebas atau yang tidak bebas. Contoh
Selesaikan persamaan linier simultan berikut: 1. y = 2x – 4 .............................(a) y = - 4x + 6 ............................(b) Jawab: y = 2x – 4 y = -4x + 6 0= 6 x -10
6 x =10
x = 10/6 = 1,6667 y = 2x - 4 = 2(1,6667) - 4 = - 0.6666 atau y =2(10/6)-4=20/6-24/6=-4/6 Uji kebenaran jawaban y = - 4x + 6 = -4(1,6667) +6 = -0.6668 (mendekati – 0,6666) y = - 4x + 6 - y +4x = 6 -4/6 +4(10/6) = 6 36/6 = 6 6 = 6 (ok)
2. 2x – 4y + 3 z =2 .............................(a) 4x + 6y – 4z = 0 .............................(b) 6x – 8y - 2 z = 2 .............................(c) Jawab: 94
Eliminasi persamaan (a) dan (b) Persamaan (a) x 2 :
4x – 8y + 6 z =4 4x + 6y – 4z = 0 -14 y + 10 z = 4 ……(d)
Eliminasi persamaan (a) dan (c) Persamaan (a) x 3:
6x – 12y + 9 z =6 6x – 8y - 2 z = 2 – -4 y +11 z = 4 ……(e)
Eliminasi persamaan (d) dan (e) Persamaan (d) x 4:
-56 y +40 z = 16
Persamaan (e) x 14:
-56 y +154 z =56 – -114 z = - 40
z
= 40/114
Dari persamaan (e): - 4 y +11 z = 4 - 4 y + 11 (40/114) = 4 -4 y +440/114 = 4 - 4y =4 - 440/114 = (456 - 440)/114 -4y = 16/114 y = - 4/114 Dari persamaan (a):
2x – 4y + 3 z =2 2x – 4 (- 4/114) + 3 (40/114) =2 2x = - 4(4/114) - 3 (40/114) +2 = - 16/114 – 120/114 + 228/114 2x = (228-16-120)/114 = 92/114 x = 92/228
Uji kebenaran jawaban: 2x – 4y + 3 z =2 2(92/228) – 4(-4 /114) + 3(40/114) =2 ? (92/114) – 4(-4 /114) + 3(40/114) =2 ? (92+16+120)/114 =2? 228/114 = 2? 2 = 2 (ok)!
Jadi:
x = 92/228
= 0,4035
y = -4/114
= -0,0351
z = 40/114
= 0,3509 95
3. 2x – 4y + 3 z + 2 m = 2 .............................(a) 4x + 6y – 4z -5 m
=0
........................... (b)
6x – 8y- 2 z + 4 m = 2 .............................(c) 5x – 6y- 3 z + 2 m = 0 .............................(d) Jawab: Lakukan eliminasi persamaan (a) dan (b): Persamaan (a) x 2:
4x – 8y + 6 z + 4 m = 4 4x + 6y – 4z -5 m
=0–
-14 y +10 z +9 m =4 …............ (e)
Lakukan eliminasi persamaan (a) dan (c): Persamaan (a) x 3:
6x – 12y + 9 z + 6 m = 6 6x – 8y - 2 z + 4 m = 2 -4 y +11 z +2 m
= 4 ……….........(f)
Lakukan eliminasi persamaan (a) dan (d): Persamaan (a) x 5:
10x – 20y + 15 z + 10 m = 10
Persamaan (d) x 2:
10x – 12y- 6 z + 4 m
=0 -
-8 y +21 z +6 m = 10 ……….......(g) Lakukan eliminasi persamaan (e) dan (f): Persamaan (e) x 4:
-56 y +40 z +36 m = 16
Persamaan (f) x 14:
-56y +154 z +28 m = 56 -114 z + 8 m = -40 ……….............(h)
Lakukan eliminasi persamaan (e) dan (g): Persamaan (e) x 8:
-112 y +80 z +72 m = 32
Persamaan (f) x 14:
-112y +294 z +84 m = 140 -214 z -12 m = -108 ………......, (i)
Lakukan eliminasi persamaan (h) dan (i): -114 z + 8 m = -40 ……….............(j) -214 z -12 m = -108 ……….......(k) Persamaan (h) x 12:
-1368 z + 96 m = - 480
Persamaan (i) x 8:
-1712 z - 96 m = - 864 + 96
-3080 z Dari persamaan (i):
= - 1344
z
= 1344/3080 = 0,44
-214 z -12 m = -108 -214 (0,44) -12 m = -108 -12 m =
-108 + 94,16 = - 13,84
m = 1,15 Dari persaman (g):
-8 y +21 z +6 m = 10 -8 y +21(0,44) + 6 (1,15) = 10 -8 y = 10 - 21(0,44) - 6 (1,15) = -6,14 y = 0,7675
Dari persamaan (b):
4x + 6y – 4z -5 m
=0
4x + 6( 0,7675) – 4(0,44) -5(1,15) = 0 4x = - 6(0,7675) + 4(0,44) +5( 1,15)= 2,905 x = 0,72625 Uji kebenaran jawaban: 5x – 6y - 3 z + 2 m = 0 5(0,72625) – 6( 0,7675) - 3(0,44) +2(1,15) = 0? 0,00625=0? Dianggap 0 = 0
Jadi didapat jawaban: x = 0,72625 y = 0,7675 z = 0,44 m =1,15
VI.3.2. Penyelesaian dengan metode Cramer (matriks) Contoh
Selesaikan persamaan linier simultan berikut: 1. y = 2x – 4 .............................(a) y = -4 x+ 6 ............................ (b) Jawab: -2x + y = - 4 4x+y=6 Bentuk matriks dari persamaan adalah: 97
Harga determinan dari matriks adalah:= [(-2)(1)-(1)(4)] = - 6 Menentukan harga :
Uji kebenaran hasil hitungan:
y = 2x – 4 -0.6667 = 2(1.6667) -4 -0.6667 = -0.6666
(ok)
Jadi x = 1,6667 dan y = -0,6667
2. 2x – 4y + 3 z =2 ..............................(a) 4x + 6y – 4z = 0
............................. (b)
6x – 8y- 2 z = 2 ............................. (c) Jawab: Bentuk matriks dari persamaan adalah:
Harga determinan dari matriks adalah:
= [(2)(6)(-2)+(-4)(-4)(6)+(4)(-8)(3)-[(3)(6)(6) +(-4)(4)(-2)+(-4)(-8)(2)]=-228 Menentukan harga :
98
Uji kebenaran hasil hitungan:
2x – 4y + 3 z =2 2(0,4035) – 4(- 0,0351) + 3(0.3509) =2 ? 2,0001 = 2 ? dianggap sama 2 = 2 (ok!)
VI.4. Aplikasi persamaan non linier
Persamaan non linier dalam Teknik Elektro banyak dipakai untuk memaentu menyelesaikan rangkaian listrik arus searah (DC). Persamaan linier yang dihasilkan dari hasil analisis loop dapat diselesaikan dengan cara eliminasi,subsitusi atau metoda Cramer. Namun disarankan jika terbentuk tiga persamaan
linier, maka sebaiknya digunakan
metoda Cramer (matriks). Contoh:
1. Tentukan I1 dan I2 dari rangkaian listrik berikut:
99
Jawab: Analisis loop untuk I1:
∑V = 0 2 I1 +4 I 1 - 4 I2 – 12= 0 6 I1 - 4 I2 = 12 …………(1) Analisis loop untuk I2:
∑V = 0 8 I2 + 6I 2 + 4 I2 – 4I 1= 0 -4 I1 + 18 I2 = 0 …………(2) Dengan metode eliminasi harga I1 dan I2 dicari sebagai berikut: Persamaan (1) x 4 : 24 I1 - 16 I2= 48 Persamaan (2) x 6 : -24 I1 +108 I2= 0 + 92 I2 = 48 I2 = 48/92 amper Dari persamaan (2): -4 I1 + 18 I2 = 0 -4 I1 + 18 (48/92) = 0
- 4 I1 = -864/92
I1 = 216/92 amper Penyelesaian dengan metoda Cramer
Dari persamaan :
6 I1 - 4 I2 = 12 -4 I1 + 18 I2 = 0
Bentuk matriks dari persamaan tersebut adalah:
│6 │-4
│ 18│
-4
108‐16 92
Menghitung I1:
│ 12
-4
│ 100
│
18 │
0
216
I1 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐ amper
92
Menghitung I2:
│ 6 │- 4
12 0
│ │
48
I2 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐‐ amper
92
2. Lihat rangkaian berikut kemudian hitung I1, I2 dan I 3
Jawab: Analisis loop ABCD (loop I1): -10I1 + 10I3 - 10I1 + 10I 2 -5I 1+20 = 0 -25 I1 +10 I 2+10 I3 = - 20 .............. (1) Analisis loop BEFCB (loop I2) : -18I2 -10I2 + 10I1 -4I 2 = 0 10I1 – 32 I 2= 0 ...........................(2) Analisis loop DCHGD (loop I3): -10I3 + 10I1 - 12I3 +10 = 0 10I1 - 22I3= -10
.........................(3) 101
Persamaan 1,2 dan 3 diselesaikan dengan subsitusi: Dari persamaan 2: 10I1 – 32 I 2 = 0
-32
I 2 = -10I 1
I2 = (10/32) I 1 ..........................(4) -
Dari persamaan 3: 10I1 – 22 I 3 = -10
22 I 3 = - 10I 1 -10
I3 = (10 I 1+10)/22 ..........................(5) Masukkan persamaan 4 dan 5 ke persamaan 1: -25 I1 +10 I 2+10 I3 = - 20 -25 I1 +10 (10/32)I 1+10[(10 I1 +10)/22 ] = - 20 -25 I1 + 3,125I 1+ 4,5454 I1 + 4,5454 = - 20
-17,3296 I 1= -24,5454
I1= 1,4164 amper (arah arus harus dibalik) I2 =(10/32) I 1 = (10/32)( 1,4164) = 0,4426 amper (arah arus harus dibalik) -25 I1 +10 I 2+10 I3 = - 20 -25(1,4164) +10 (0,4426) +10 I3 = - 20 -35,41 + 4,426 + 10 I3 = -20 10 I3 =10,984 I3 = 1,0984 amper (arah arus harus dibalik) Uji kebenaran jawaban: -25 I1 +10 I 2+10 I3 = - 20 -25 (1,4164) +10(0,4426)+10 (1,0984) = - 20 -20 = -20 (ok!) Atau : 10I1 - 22I3 = -10
10(1,4164)
-22(1,0984) = -10
14,164 – 24,1648 = -10 -10,008 = - 10 dianggap -10 = -10
Penyelesaian dengan metoda Cramer:
Dari persamaan : -25 I1 +10 I 2+10 I3 = - 20 10I1 – 32 I 2 = 0 10I1 - 22I3 = -10 Diuat matriks sebagai berikut:
│-25 │10
10
10 │
-32
0│
=
- 17600+ 3200 +2200 = -12200
102
│10
0
-22 │
Menghitung I1:
│-20 │ 0 │-10
10
10 │
-32
0│
0
-22 │
- 14080 - 3200
I1= -------------------------------- = ------------------- = 1,4164 amper
‐12200
Menghitung I2:
│-25 │ 10 │ 10
-20
10 │
0
0│
-10
-22 │
-1000 - 4400
I2= -------------------------------- = --------------------------- = 0,4426 amper
‐12200
Menghitung I3:
│-25 │ 10 │ 10
10
-20 │
-32
0│
0
-10 │
- 8000 – 6400 +1000
I3= -------------------------------- = ---------------------------- = 1,098 amper
‐12200
Latihan Selesaikan persamaan linier berikut: 1. 2x + 5y = 9 .................... (1) 6x - 8y = 0,5 ..................(2)
2. 3x + 5y + 10 z = 6 .......... (1) -5x - 8y + 7 z = 2 ...........(2) 9x + 8y + 20 z = 16 ..........(3) 103
3. Lihat rangkaian berikut kemudian hitung I1 dan I 2 A
B
F
5 Ohm +
- 20 V
18 Ohm I1
10 Ohm
D
I2
C
G 4 Ohm
Tugas 1.Lihat rangkaian berikut kemudian hitung I1, I2 dan I 3 A
B
E
15 Ohm +
- 20 V
6 Ohm I1
5 Ohm
D
I2
C 10 Ohm
_ +
10V 8 ohm
F 4 Ohm
I3
G
H
2.Lihat rangkaian berikut kemudian hitung I1 dan I 2 A
B
F
5 Ohm +
D
- 20 V
18 Ohm I1
10 Ohm
I2
C
G 104
4 Ohm 3.Selesaikan persamaan: 3x – 2y + 5 z + 2 m = 5
............................ (1)
4x - 5y – 4z - 5 m
= 2 .............................. (2)
3x – 6y- 2 z + 6 m
= 4 ............................. (3)
5x – 6y- 3 z + 2 m
= 0 ............................. (4)
VI.5. Daftar Pustaka
Hayt, W.H., 1989. Engineering Electronics. Fith Edition, Mc Graw Hill International Aditions,Toronto. pp. 34-106, 188-204
Donovan, R., 2002. Electronics Mathematics. Second Edition, Prentice Hall, Ohio. pp.266-331, 332-348, 432-450,452-547, 586-614
Kreyzig, E., 1979. Advenced Engineering Mathematics. 4nd, John Willey and Sons, New York.
105
BAB VII. BILANGAN KOMPLEKS VII.1. Pendahuluan
Bilangan kompleks adalah gabungan bilangan riil (nyata ) dengan bilangan khayal (imajiner) atau bilangan yang hanya mengandung bilangan khayal saja. Dalam bidang
Teknik
Elektro bilangan kompleks banyak dimanfaatkan untuk membantu
memecahkan persoalan rangkaian listrik arus boak-balik. Dalam menyatakan bilangan kompleks dapat dilakukan dengan beberapa pilihan antara lain dalam bentuk umum (rectangular), eksponensial, trigonometri dan
polar. Bentuk polar dan eksponensial
biasanya dipakai untuk operasional perkalian dan pembagian, sedangkan bentuk rectangular banyak dipakai untuk operasional penjumlahan dan pengurangan.
VII.2. Bentuk umum (rectangular) bilangan kompleks
Secara umum bilangan kompleks dapat dinyatakan sebagai:
dengan: a : bagian riil (nyata) b: bagian imajiner (khayal) j:
= bilangan khayal
106
Model bilangan ini banyak dimanfaatkan untuk menyelesaikan penjumlahan dan pengurangan. Contoh:
1. Diketahui: Z1 = 2 + j4 dan Z 2 = -5- j6 Tentukan : a.Z = Z1 + Z 2 b.Z = Z1 - Z 2 Jawab:
a.Z = Z1 + Z 2 = (2 + j4) +( -5- j6) = [2 + (-5)] + j (4-6) = [2-5] + j (-2) = -3 - j2
b.Z = Z1 - Z 2 = (2 + j4) –[ -5- j6] = 2 +j4 +5+ j6 = (2 +5) +j(4+6) = 7 + j10 2. Diketahui: Z1 = 5 – j8 dan Z 2 = -3+ j4 Tentukan : a.Z = Z1 + Z 2 b.Z = Z1 - Z 2 Jawab:
a.Z = Z1 + Z 2 = (5 – j8) + ( -3+ j4) = (5-3) +j ( -8+4) = 2 –j4 b.Z = Z1 - Z 2 = (5 – j8) - ( -3+ j4) = 5 –j8 +3 –j4 107
= (5+3) + j(-8 - 4) = 8 + j (-12) = 8 – j12
VII.3. Bentuk trigonometri bilangan kompleks
Dari bentuk umum bilangan kompleks:
Mengingat bilangan kompleks merupakan bentuk vektor, maka bilangan kompleks dapat digambarkan dalam bentuk diagram Argan sebagai berikut:
+jb
+a
r
-a
-jb
Z =a+jb, Z bentuk vektor 2 2 2 r = a + b r = b
Ө a
Ө = arc tg (b/a) = tg -1(b/a) Didapatkan hubungan bahwa: b = r Sin Ө a = r Cos Ө
Ө= arc tg (b/a) Dengan demikian Z = a +jb dapat dinyatakan sebagai:
108
Z = r Cos Ө + j r Sin Z = r (Cos Ө+ j Sin
Ө Ө) ………………(2)
Persamaan (2) merupakan pernyataan bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri. Pernyataan selengkapnya bilangan kompleks dalam diagram Argand dapat digambarkan sebagai berikut:
Contoh
1. Diketahui Z = 2 +j4 Nyatakan Z tersebut dalam bentuk trigonometri Jawab: r =√2 + 4 2
2
= √20
Ө= arc tg (b/a)= arc tg(4/2) -1
= arc tg 2 =tg (2) 0
= 63,43 Jadi: Z =
√20 ( Cos 63,430+ j Sin 63,430)
2. Diketahui Z = 2 – j3 Nyatakan Z tersebut dalam bentuk trigonometri Jawab: r =√2 + (-3) 2
2
= √13
Ө= arc tg (b/a)= arc tg(-3/2) = arc tg -1,5 109
0
= -56,31 Jadi: Z =
√13 [ Cos(-56,310 )+ j Sin( -56,310)]
VII.4. Bentuk eksponensial bilangan kompleks
Untuk menyatakan bilangan kompleks dalam bentuk eksponensial dibutuhkan dasardasar deret sebagai berikut:
Catatan: j = j.j = ( √-1) (√-1)= (√-1) = -1 2
2
3
2
4
2
5
4
j = j .j = (-1) (j)= -j 2
j = j .j = (-1) (-1)= 1 j = j .j = (1) (j)= j dan seterusnya untuk j dengan pangkatyang lebih tinggi dapat dikembangkan sendiri.
110
jӨ
e = Cos Ө + j Sin
Ө
Dengan demikian dari bentuk bilangan kompleks: Z = r (Cos Ө + j Sin
Ө) dapat diubah
dalam pernyatan: jӨ
Z = r e ……………………………(6)
dengan: r = √a + b 2
2
dan
Ө = arc tg (b/a)
Persamaan (6) merupakan bentuk eksponensial dari bilangan kompleks. Catatan: bentuk eksponensial bilangan kompleks lebih cocok untuk perhitungan perkalian dan pembagian Contoh
1. Diketahui Z = 2 +j4 Nyatakan Z tersebut dalam bentuk eksponensial Jawab: r =√2 + 4 2
2
= √20
Ө= arc tg (b/a)= arc tg(4/2) = arc tg 2 0
=63,43
2. Diketahui Z = 2 – j3 Nyatakan Z tersebut dalam bentuk eksponensial Jawab: r =√2 + (-3) 2
2
= √13
Ө= arc tg (b/a)= arc tg(-3/2) = arc tg -1,5 0
= -56,31
VII.5. Bentuk polar bilangan kompleks
111
Dari pernyataan : Z = r (Cos
Ө+ j
Sin
jӨ
Ө)
atau Z = r e versi penulisan ini dapat
dinyatakan sebagai :
Ө ........................ (7) Ө+ j Sin Ө = e jӨ
Z=r
Ө = Cos
Dalam hal ini dengan:
r = √a + b 2
2
Ө = arc tg (b/a)
dan
Persamaan (4) merupakan bentuk polar dari bilangan kompleks Contoh: 1. Diketahui : Z = 2 +j4 Nyatakan Z tersebut dalam bentuk polar Jawab: r =√2 + 4 2
2
= √20
Ө= arc tg (b/a)= arc tg(4/2) = arc tg 2 0
=63,43
Jadi : Z
√20
0
63,43
2. Diketahui Z = 2 – j3 Nyatakan Z tersebut dalam bentuk polar Jawab: r =√2 + (-3) 2
2
= √13
Ө= arc tg (b/a)= arc tg(-3/2) = arc tg (-1,5) 0
= -56,31
Jadi : Z
√13
0
-56,31
VII.6. Bentuk perkalian bilangan kompleks
Dengan menggunakan dasar bahwa Z = r e Ө , maka bentuk perkalian bilangan kompleks j
dapat dituliskan sebagi berikut:
Atau : Z= r 1. r 2
(Ө1+ Ө2) Polar 112
Contoh: 1. Diketahui : Z1 = 2 +j4 dan Z 2 = 2 – j3 Tentukan Z = Z 1. Z2 Jawab: Z1 = 2 +j4
Z2 = 2 – j3
Z = Z 1. Z2
Atau Z √ 260 < 63,430‐56,310 √ 260 < 7,120
2. Diketahui : Z1 = 2 +j2 dan Z 2 = 2 +j3 Tentukan Z = Z 1. Z2 Jawab: Z1 = 2 +j2 r 1 =√4+4=√8
Ө1 = arc tg (2/2)= arc tg 1=45 0 Z2 = 2 +j3 r 2 =√4+9=√13
Ө2 = arc tg (2/3)=33,69 0 Z = Z 1. Z2
113
VII.7. Bentuk pembagian bilangan kompleks jӨ
Dengan menggunakan dasar bahwa Z = r e kompleks dapat dituliskan sebagi berikut: Z = (Z1)/(Z2)
Atau : Z=(r 1/r 2 ) (Ө1 -
Ө2) Polar
Contoh: 1. Diketahui : Z1 = 2 +j4 dan Z 2 = 2 – j3 Tentukan Z = (Z 1)/( Z2) Jawab: Z1 = 2 +j4
Z2 = 2 – j3
Z=(Z1)/(Z2)
2. Diketahui : Z1 = 2 +j2 dan Z 2 = 2 +j3 Tentukan Z = Z 1/ Z2 Jawab: Z1 = 2 +j2 r 1 =√4+4=√8
Ө1 = arc tg (2/2)= arc tg 1=45 0 114
, maka bentuk pembagian
bilangan
Z2 = 2 +j3 r 2 =√4+9=√13
Ө2 = arc tg (3/2)=56,31 0
Z = Z 1/Z2
Latihan 1. Diketahui: Z1 = - 8 +j 6 dan Z2 = 10 - j9 Tentukan dalam bentuk rectangular dan polar dari: a. Z = Z1 +Z 2 b. Z =Z1 - Z 2 2. Diketahui: Z1 = 6 +j2 dan Z2 = - 4 – j6 Tentukan dalam bentuk rectangular dan polar dari: a. Z = Z1.Z2 b. Z =Z1 / Z 2 c. Z =(Z1 .Z 2)/( Z1 +Z 2 )
Tugas Diketahui : Z1 = -4 +j 6
Z4 = 9 e
j(1/2)(Π)
0
Z2 = 5 < 60
0
0
Z3= 10 ( Cos 45 –j Sin 45 ) Tentukan harga dari: a. Z = Z1 + Z2 + Z3 + Z 4 115
b. Z = Z1 + Z2 - Z3 - Z 4 c. Z = (Z1 + Z2 + Z3)/ (Z2 - Z3 + Z 4) d. Z = (Z1 Z 2 Z3)/ (Z1 + Z2 + Z3 +Z4)
VII.8. Aplikasi bilangan kompleks
Dalam Teknik Elektro
bilangan kompleks banyak dipakai untuk membantu dalam
penyelesaian rangkaian arus listrik bolak balik (AC).Beberapa komponen yang diperlukan dalam rangkaian tersebut antara lain:
a. Induktor
L Notasi komponen
Z Notasi impedansi
Pada umumnya induktor mempunyai harga reaktansi induktif yang dinyatakan sebagai: XL. Dalam hal ini harga XL dihitung dengan persamaan sebagai berikut: XL = 2Π f L dengan: f = frekuensi [Hz] L = induktansi [Henry] Impedansi
Z = j XL = j2Π f L = 2
∏ f L<+90 0
b. Kapasitor
C
Z
Notasi komponen
Notasi impedansi
Pada umumnya kapasitor mempunyai harga reaktansi kapasitif yang dinyatakan sebagai: XC. Dalam hal ini harga XC dihitung dengan persamaan sebagai berikut: XC = 1/( 2Π f C ) dengan: f = frekuensi [Hz] C = kapasitansi [Farad]
116
Impedansi Z = -j XC = -j/( 2 Π f C ) = 1/( 2
Π f C ) < -90 0
c. Transistor R
Z
Notasi komponen
Notasi impedansi
Resistor mempunyai resistensi R dan dan impedansi Z =R = R< 0
0
Contoh 3 Ώ
I1 A
3 Ώ
0,01 F
B 0,04 H
C I2
2 Ώ
I
j4 Ώ
0
V = 250 V = 250<0 V f = 50 Hz Tentukan I, I1 ,I2 ,V AB dan V BC Jawab:
Z2 Z1
A
I1 B
C I2
Z3
I V Z1 = 3 + j X L = 3 + j 2 Π f L = 3 + j 2 Π (50)(0,04) = 3 + j 12,56 117
0
=12,9 < 76,57
Z2 = 3 - j X C = 3 – j/ (2 Π f C) = 3 - j /[2 Π (50)(0,01)] = 3 - j 0,32 0
=3,02< - 6,09
Z3 = 2 + j 4 = 4,47< 63,43
0
Z AC = Z 1 + Z BC Z AC = Z 1 + Z 2.Z3/(Z2 + Z 3) 0
0
ZAC = 3+ j12,563 + (3,02<-6,09 )(4,47<63,43 )/(3-j0,32 + 2 + j 4) 0
ZAC=3+ j12,563+(13,50<57,34 )/(5 + j 3,68) 0
0
ZAC=3+ j12,563+(13,50<57,34 )/( 6,21<36,35 ) 0
ZAC=3+ j12,563+2,17<20,99
0
ZAC=3+ j12,563+ 2,03+ j 0,78 = 5,03+ j 13,34 = 14,26< 69,34 a.Menghitung I 0
0
0
I = V/ ZAC = 250<0 /(14,26< 69,34 ) =17,53< -69,34 = 6,184 -j 16,402 A 0
0
0
V BC = I ZBC = (17,53< -69,34 )(2,17<20,99 ) = 38,04< - 48,35 0
0
0
I1 = V BC / Z2 = 38,04< - 48,35 /( 3,02< -6,09 ) = 12,60< -42,26 A = 9,325 – j8,473 A 0
0
0
I2 = V BC / Z3 =38,04< - 48,35 /(4,47< 63,43 ) = 8,51< -111,78 A = -3,157 – j 7,90 A b. Menghitung V BC 0
0
0
V BC = I ZBC = (17,53< -69,34 )(2,17<20,99 ) = 38,04< - 48,35 V 0
0
0
V AB = I.Z 1 = (17,53< -69,34 )( 12,9< 76,57 ) = 226,14< 7,23 V Uji kebenaran jawaban I = I1 + I 2 0
0
17,53< -69,34 = 12,60< -42,26 + 8,51< -111,78
0
6,184 – j 16,402 = 9,325 – j8,473 - 3,157 – j 7,90 6,184 – j 16,402 = 6,168 – j 16,373 Pendekatan 6,2 – j 16,4 = 6,2 - j16,4 (dianggap sama) Ok!
118
Latihan I1 A
4 Ώ
5 Ώ
0,01 F
B 0,1 H
C I2
I
5 Ώ
0,25 H
V = 250 V f = 50 Hz Tentukan I, I1 ,I2 ,V AB dan V BC
Tugas I1 A
4 Ώ
5 Ώ
B I2
0,1 H
I
0,01 F 5 Ώ
0,25 H
0,25 H
C
4 Ώ
I3
0
V = 250 V = 250 < 0 V f = 50 Hz Tentukan I, I1 ,I2 , I3, VAB dan V BC
VII.9. Daftar Pustaka
…….., 1982. Aljabar Semester 1 dan 2. Edisi pertama, Departemen Elekteronik Politeknik, TEDC, Bandung. Hal. 4 - 5, 22-29, 38-41
Cisca, L.C., dan Marpaung, M., 1983. Rangkaian Listrik . Armico, Bandung. hal. 37-74, 75-167
119
