MASALAH PENUGASAN
D I S U S U N Oleh :
Nama : Diana Bhakti NIM
: (35.13.3.040)
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUMATERA UTARA MEDAN 2016
KATA PENGANTAR Assalamualaikum wr.wb Puji syukur kehadirat Allah swt, yang senantiasa menganugrahkan nikmat, taufik, serta hidayah-Nya kepada saya sehingga saya dapat menyelesaikan makalah yang berjudul M Ma asala salah h Penuga Penugasa san n ini tepat waktu. “
”
Penyusunan makalah ini bertujuan untuk memberikan wawasan bagi mahasiswa agar mahasiswa dapat mengetahui dan mempelajari materi yang akan dibahas pada makalah ini . Semoga makalah ini bermanfaat bagi semua pihak yang membaca dan mempelajarinya. Dan senantiasa Allah meridhoi atas perbuatan yang baik, dan memberikan balasan atas kebaikan pihak-pihak yang memberi dukungan atas penyusunan makalah ini. Amin. Wassalamu’alaikum Wassalamu’alaikum Wr.Wb.
Medan,
Juni 2016
Penyusun
i
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ..................................................................................... i DAFTAR ISI .................................................................................................... ii BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang ..................................................................................... 1 B. Rumusan Masalah ................................................................................ 1 C. Tujuan Penulisan .................................................................................. 1 BAB II PEMBAHASAN A. Pengembangan Masalah Penugasan..................................................... 2 B. Penyelesaian Masalah Penugasan dengan Menghitung ....................... 6 C. Langkah – Langkah Penugasan............................................................ 15 BAB III PENUTUP A. Kesimpulan .......................................................................................... 21 DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... iii
ii
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang
Masalah penugasan (Assignment Problem ) sering muncul dalam banyak kasus pembuatan keputusan, seperti kasus menentukan siapa mengerjakan apa, menetapkan fungsi sebuah mesin, menentukan selesman untuk suatu wilayah pemasaran dan sebagainya. Dengan kata lain, masalah penugasan berkaitan dengan masalah penetapan tugas atau pekerjaan sebuah mesin, seorang pekerja, atau suatu proyek dengan tujuan tertentu dan merupakan suatu kasus khusus dari masalah linier. Tujuan yang dimaksud, antara lain : memaksimumkan keuntungan,m emaksimumkan hasil produksi, meminimumkan waktu pengerjaan, dan meminimumkan jumlah personel. Oleh karenanya, metode yang diterapkan untuk kasus penugasan telah didesain khusus untuk menyelesaikan masalah penugasan, yang disebut dengan Metode Penugasan Hungarian (Hungarian Metode/Flood’s Technique). Metode ini menggunakan apa yang disebut pengurangan matriks (Matrix Reduction). Dengan mengurangi dan menambah suatu nilai dalam matriks. Sehingga akan menghasilkan penyelesaian optimal masalah penugasan. Contoh kegiatan yang termasuk masalah penugasan antara lain yaitu: penempatan karyawan pada suatu posisi jabatan di perusahaan, pembagian wilayah tugas salesman, pembagian tugas dalam suatu tim renang estafet. Melihat pentingnya masalah penugasan ini, maka di dalam makalah ini akan dibahas mengenai masalah penugasan yang di jelaskan dalam program linier. B. Rumusan Masalah
1. Bagaimana pengembangan masalah penugasan ? 2. Bagaimana penyelesaian masalah penugasan dengan menghitung ? 3. Bagaimana langkah-langkah dalam masalah penugasan? B. Tujuan Penulisan
1. Mengetahui pengembangan masalah penugasan. 2. Memahami penyelesaian masalah penugasan dengan menghitung. 3. Memahami langkah-langkah dalam masalah penugasan .
1
BAB II PEMBAHASAN A. Pengembangan Masalah Penugasan
Masalah penugasan adalah masalah yang berhubungan dengan penugasan optimal dari bermacam-macam sumber yang produktif atau personalia yang mempunyai tingkat efisiensi yang berbeda-beda untuk tugas-tugas yang berbeda beda pula yang merupakan suatu kasus khusus dalam masalah program linier pada umumnya. Masalah penugasan berkaitan dengan keinginan perusahaan dalam mendapatkan pembagian atau alokasi tugas (penugasan) yang optimal, dala arti apabila penugasan tersebut berkaitan dengan keuntungan maka bagaimana alokasi tugas atau penugasan tersebut dapat memberikan keuntugan yang maksimal, begitu pula sebaliknya bila menyangkut biaya. Contoh kegiatan yang termasuk masalah penugasan antara lain yaitu: penempatan karyawan pada suatu posisi jabatan di perusahaan, pembagian wilayah tugas salesman, pembagian tugas dalam suatu tim renang estafet. Maksud dari penugasan adalah menetapkan jumlah sumber-sumber yang tugaskan kepada sejumlah tujuan (satu sumber untuk satu tujuan), sedemikian hingga didapat ongkos total yang minimum atau keuntungan total yang maksimum. Biasanya yang dimaksud dengan sumber ialah pekerja. Sedangkan yang dimaksud dengan tujuan adalah obyek dari pekerjaan tersebut. Jadi, masalah penugasan akan mencakup sejumlah m sumber yang mempunyai n tugas. Ada n! (n faktorial) penugasan yang mungkin dalam suatu masalah karena berpasangan satu-satu. Apabila pekerjaan i (i= 1,2,3,....n) ditugaskan kepada obyek j (j=1,2,3,...m) akan muncul biaya penugasan Cn maka sudah jelas bahwa tujuan dari penugasan adalah mencari ongkos dari tiap-tiap pekerjaan kepada obyek dengan total ongkos yang minimum atau memberikan keuntungan yang maksimum. Dalam masalah penugasan ini yang menjadi pokok utama yaitu jumlah dari tugas dan pekerja yang tersedia. Dalam kasus normal jumlah tugas dan pekerja sama jumlahnya membentuk sebuah matriks persegi( bujur sangkar). Penugasan ini dapat di samakan dengan tipe dari aktifitas sedangkan pekerja dapat disamakan dengan berbagai tipe dari sumber yang ada dan juga waktu bagi tenaga pekerja
2
untuk menyelesaikan tugas dengan baik yang juga dapat dinyatakan sebagai efektifitas yang sangat terkait dengan penggunaan tipe sumber pada kebutuhan aktivitasnya. Bila efektifitas menyatakan kerugian pada suatu biaya tertentu maka seluruh efektifitas itu terkait dengan satu penunjukan dan hanya satu tipe dari sumber untuk setiap aktivitas untuk suatu minimalisasi persoalan penunjukan, dan kalau ini bukan maka akan menunjuk pada persoalan maksimum. Pada efetifitas untuk berbagai persoalan penunjukan dan mulai sumbernya untuk ditunjukkan pada aktifitas yang pada umumnya ditempatkan pada suatu tabel yang disebut dengan matriks efektifitas yang dapat dilihat pada tabel di bawah ini: Tabel 1 Tenaga
I
II
III
IV
A
5
8
6
2
B
4
6
5
1
C
6
10
7
4
D
9
9
7
3
Petugas
Masalah penugasan ini sebenarnya merujuk pada penerapan dalam usaha untuk memperoleh kerugian yang minimum atau keuntungan yang maksimum. Contoh Soal : Sebuah perusahaan agribisnis di Jember akan mengembangkan pemasarannya di beberapa kota di Jawa Timur. Oleh karena itu ada 4 (empat) orang manajer pemasaran yang akan diberi tugas di 4 (empat) kota di Jawa Timur. Waktu yang diperlukan setiap pekerjaan adalah sebagai berikut :
3
Tentukan alokasi penugasan yang akan meminimumkan jumlah waktu yang diperlukan ! (anggap semua manajer pemasaran dibayar dengan tingkat yang sama; bila tidak, biaya seharusnya juga dipertimbangkan). Jawaban : Dalam memecahkan masalah penugasan (assignment problem) di atas, kita menggunakan metode alokasi yang dikenal dengan nama Hungarian method. Langkah- langkah penyelesaian masalah alokasi sebagai berikut : a. Pertama, memodifikasi matriks waktu (biaya) dan mengurangi dengan waktu terkecil (bukan nol) dalam setiap kolom dari sleuruh sel dalam kolom itu untuk mendapatkan paling sedikit satu angka nol dalam setiap kolom. (Dalam mempermudah pengerjaan, maka dipergunakan simbol): A = Malang
a = Bakir
B = Surabaya
b = Tomo
C = Pasuruan
c = Badrun
D = Mojokerto
d = Denok
A
B
C
D
A
B
C
D
0
1
5
7
(15-15)
(18-17)
(21-16)
(24-17)
4
6
6
1
(19-15)
(23-17)
(22-16)
(18-17)
11
0
0
2
(26-15)
(17-17)
(16-16)
(19-17)
4
4
7
0
(19-15)
(21-17)
(23-16)
(17-17)
b. Dalam setiap baris, waktu terkecil (bukan nol) dipakai untuk mengurangi seluruh sel dalam baris itu. Ini hanya dilakukan pada baris kedua karena semua baris lainnya telah mempunyai angka nol. Bila langkah pertama telah menghasilkan paling sedikit satu angka nol adalah setiap baris, langkah kedua dapat dihilangkan.
4
c. Sekarang tarik sejumlah minimum garis yang akan meliput semua angka nol (perhatikan garis biru yang ditarik berdasarkan pada sel yang ada angka nol). Dalam matriks di atas, tiga garis telah mencukupi. Bila ada jumlah garis yang sama dengan jumlah baris atau kolom, alokasi optimal mungkin tercapai. Bila tidak, matriks harus diubah. Di sini ada tiga garis dibanding empat baris atau kolom, sehingga langkah berikutnya diperlukan. A
B
C
D
a
0
1
5
7
b
3 (4-1)
5 (6-1)
5 (6-1)
0 (1-1)
c
1
0
0
2
d
4
4
7
0
d. Seluruh sel yang belum terliput garis-garis dikurangi dengan sel terkecil yang belum terlalui (yaitu 3). Kemudian tambahkan dengan jumlah yang sama ke elemen-elemen yang ada pada garis-grais silang (7 dalam garis a, dan 2 dalam garis c), sehingga nilaninya menjadi 10 dan 5. Masukkan hasil-hasil ini pada matriks dan menyelesaikan matriks dengan seluruh elemen-elemen yang telah terliput tanpa perubahan. e. Ulangi langkah ketiga; sekali lagi, hanya ada ti ga garis yang meliput angka nol (0). Oleh ebab itu, ulangi langkah keempat, dan mendapatkan empat garis yang meliput seluruh angka nol (0). Jadi, dapat dihasilkan matriks optimal. A
B
C
D
a
0
1
5
10 (7+3)
b
0 (3-3)
2 (5-3)
2 (5-3)
0
c
11
0
0
5 (2+3)
d
1 (4-3)
1 (4-3)
4 (7-3)
0
5
A
B
C
D
a
0
0 (1-1)
4 (5-1)
10
b
0
1 (2-1)
1 (2-1)
0
c
12 (11+1)
0
0
6 (5+1)
d
1
0 (1-1)
3 (4-1)
0
f. Buat alokasi tugas yang nyata, mulai dengan angka nol yang khas dalam baris atau kolom. (Bila tidak ada angka nol tersebut, mulai dengan sembarang angka nol). Dari hasil tersebut adalah cC. Penyelesaian alokasi ini muncul 2 (dua) kemungkinan yang dapat ditunjukkan dengan lingkaran garis merah dan biru.
Kemungkinan 1 : cC, aA, bD, dB ; waktu yang diperlukan adalah = 16 + 15+ 18 + 21 = 70 hari. Sehingga penugasannya adalah : Badrun di Pasuruan, Bakir di Malang, Tomo di Mojokerto, dan Denok di Suraba ya. Kemungkinan 2 : cC, aB, bA, dD ; waktu yang diperlukan adalah = 16 + 18 + 19 + 17 = 70 hari. Sehingga penugasannya adalah :Badrun di Pasuruan, Bakir di Surabaya, Tomo di Malang, dan Denok di Mojokerto.
B. Penyelesaian Masalah Penugasan dengan Menghitung
Dalam menghitung masalah penugasan ini dikenal sebuah metode yang bernama metode hungarian. Metode ini ditemukan oleh seorang matematikawan yang bernama D. Konig yang berasal dari Hungaria. Penemuan inilah ia membuktikan teorema penting untuk mengembangkan metode tersebut. Metode ini cukup sukses dalam modifikasi baris dan koloom matriks, efektif sampai dengan terdapatnya paling sedikit satu hasil nol pada baris atau kolom
6
dengan menyatakan proses operasi penunjukan ini sudah mendapat nol pada setiap baris dan kolom. Dalam metode hungarian ini selalu menuju pada penunjukan yang optimal dalam langkah langkah yang yang terbatas. Basis dari metode ini adalah suatu kenyataan bahwa suatu konsanta dapat ditambahkan atau dikurangi dari setiap baris dan kolom dengan sama sekali tidak mengubah penunjukan yang optimal. Ada dua cara yang digunakan untuk menghitung masalah penugasan dengan metode hungaria yaitu: 1. Algoritma perhitungan minimasi 2. Algoritma perhitungan maksimasi Keduanya dalam penghitungan memiliki langkah yang hampir sama, hanya saja untuk langkah pertama dalam minimasi membentuk tabel menjadi matrik opportunity cost( ditandai dengan mengurangkan baris dengan elemen terkecil pada tiap baris) sedangkan untuk maksimasi itu langkah pertama mengubah tabel menjadi matrik opportuniti loss( ditandai dengan mengurangkan baris dengan elemen terbesar pada tiap baris dengan mengabaikan nilai negatif).
1. Contoh masalah minimasi Sebuah perusahaan memiliki 4 orang karyawan yang harus menyelesaikan 4 pekerjaan yang berbeda. Karena sifat pekerjaan dan juga ketrampilan, karakteristik dari masing masing karyawan, maka biaya yang timbul dari berbagai alternatif penugasan dari ke-4 karyawan tersebut juga berbeda, seperti terlihat dari tabel / matrik penugasan berikut ini: Karyawan
Pekerjaan I
II
III
IV
A
15
20
18
22
B
14
16
21
17
C
25
20
23
20
D
17
18
18
16
Catatan : Nilai-nilai dalam tabel tersebut dalam rupiah. Dari kasus penugasan tersebut di atas, penyelesaiannya adalah :
7
a. Langkah 1
Mencari biaya terkecil untuk setiap baris, dan kemudian menggunakan biaya terkecil tersebut untuk mengurangi semua biaya yang ada pada baris yang sama. Dengan langkah ini hasil yang diperoleh adalah : Karyawan
Pekerjaan I
II
III
IV
A
0
5
3
7
B
0
2
7
3
C
5
0
3
0
D
1
2
2
0
b. Langkah 2
Memastikan semua baris dan kolom sudah memiliki nilai nol. Dan ternyata masih ada kolom yang belum memiliki nilai nol, yakni kolom 3. Dengan demikian perlu dicari nilai terkecil pada kolom tersebut untuk selanjutnya digunakan untuk mengurangi semua nilai yang ada pada kolom tersebut, sehingga akan menjadi: Karyawan
Pekerjaan I
II
III
IV
A
0
5
1
7
B
0
2
5
3
C
5
0
1
0
D
1
2
0
0
Sekarang setiap baris dan kolom sudah memiliki nilai nol, maka langkah selanjutnya adalah: c. Langkah 3
Langkah selanjutnya adalah memastikan atau mengecek apakah dalam tabel penugasan tersebut, telah berhasil ditemukan nilai nol, sebanyak sumber daya (bisa karyawan, mesin, alat transportasi, atau sumber daya lainnya) yang juga tercermin dengan jumlah barisnya. Misalnya bila yang akan ditugaskan adalah 4 karyawan, maka harus ditemukan nilai nol sebanyak 4 buah yang terletak di baris dan kolom yang berbeda. Sebaiknya dimulai dari baris yang hanya
8
memiliki 1 nilai nol. Langkah ini menganduk arti bahwa setiap karyawan hanya dapan ditugaskan pada satu pekerjaan saja.
Perhatikan!
Dari matrik di atas ternyata nilai nol yang ditemukan dalam baris 1 dan 2, meskipun berbeda baris namun masih berada dalam kolom yang sama, sehingga dapat dipastikan masalah belum optimal dan perlu dilanjutkan ke langkah berikutnya. d. Langkah 4
Karena belum optimal maka langkah selanjutnya adalah menarik garis yang menghubungkan minimal dua buah nilai nol dalam tabel penugasan tersebut, seperti terlihat pada tabel atau matrik berikut ini: Karyawan
Pekerjaan I
II
III
IV
A
0
5
1
7
B
0
2
5
3
C
5
0
1
0
D
1
2
0
0
Dari langkah di atas terlihat bahwa garis yang berhasil dibuat adalah tiga, dengan menyisakan beberapa nilai yang tidak terkena garis. e. Langkah 5
Selanjutnya, perhatikan nilai-nilai yang belum terkena garis. Pilih nilai yang paling kecil (dari tabel di atas adalah nilai 1), kemudian nilai 1 tersebut dipergunakan untuk mengurangi nilai-nilai lain yang belum terkena garis, dan gunakan untuk menambah nilai-nilai yang terkena garis dua kali. Dengan langkah ini hasilnya adalah: Karyawan
Pekerjaan I
II
III
IV
A
0
4
0
6
B
0
1
4
2
C
6
0
1
0
D
2
2
0
0
9
Perhatikan !
Semua nilai yang tidak terkena garis nilainya akan berkurang sebesar nilai terkecil dari nilai yang belum terkena garis sebelumnya. Sementara itu nilai 5 dan 1 pada kolom 1 akan bertambah 1, karena kedua nilai tersebut terkena garis dua kali. f.
Langkah 6
Dari hasil lagkah di atas tersebut, apakah sekarang telah berhasil ditemukan nilai nol sejumlah atau sebanyak sumber daya (bisa karyawan, mesin, alat transportasi, atau sumber daya lainnya) yang juga tercermin dengan jumlah barisnya (mulai dari baris yang hanya memiliki 1 nilai nol)? Dari tabel atau matrik di atas ternyata telah berhasil ditemukan 4 nilai nol (sejumlah karyawan yang akan ditugaskan), yang berada di baris dan kolom yang berbeda. Karyawan
Pekerjaan I
II
III
IV
A
0
4
0
6
B
0
1
4
2
C
6
0
1
0
D
2
2
0
0
Dari hasil di atas dapat dikatakan bahwa kasus penugasan tersebut telah optimal, dengan alokasi penugasan sebagai berikut : Karyawan A ditugaskan mengerjakan pekerjaan III dengan biaya
Rp 18,-
Karyawan B ditugaskan mengerjakan pekerjaan I dengan biaya
Rp 14,-
Karyawan C ditugaskan mengerjakan pekerjaan II dengan biaya
Rp 20,-
Karyawan D ditugaskan mengerjakan pekerjaan IV dengan biaya
Rp 16,-------+
Total biaya
Rp 68,-
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa dengan metode Hungarian, kasus penugasan dalam perusahaan di atas dapat diselesaikan dengan biaya optimal sebesar Rp 68,-
10
2. Contoh masalah maksimasi Sebuah
perusahaan
memiliki
5
orang
karyawan
yang
harus
menyelesaikan 5 pekerjaan yang berbeda. Karena sifat pekerjaan dan juga ketrampilan, karakteristik dari masing-masing karyawan, produktifitas atau keuntungan yang timbul dari berbagai alternatif penugasan dari ke-5 karyawan tersebut juga berbeda, seperti terlihat dari tabel / matrik penugasan berikut ini : Pekerjaan
Karyawan
I
II
III
IV
V
A
10
12
10
8
15
B
14
10
9
15
13
C
9
8
7
8
12
D
13
15
8
16
11
E
10
13
14
11
17
Catatan : Nilai-nilai dalam tabel tersebut dalam rupiah. Dari kasus penugasan tersebut di atas, penyelesaiannya adalah : a.
Langkah 1
Mencari produktifitas atau keuntungan terbesar untuk setiap baris, dan kemudian nilai tersebut dikurangi dengan semua nilai produktifitas yang ada pada baris yang sama. Dengan langkah ini hasil yang diperoleh adalah : Karyawan
b.
Pekerjaan I
II
III
IV
V
A
5
3
5
7
0
B
1
5
6
0
2
C
3
4
5
4
0
D
3
1
8
0
5
E
7
4
3
6
0
Langkah 2
Memastikan semua baris dan kolom sudah memiliki nilai nol. Dan ternyata masih ada kolom yang belum memiliki nilai nol, yakni kolom 3. Dengan demikian perlu dicari nilai terkecil pada kolom tersebut untuk selanjutnya
11
digunakan untuk mengunrangi semua nilai yang ada pada kolom tersebut, sehingga akan menjadi: Karyawan
Pekerjaan I
II
III
IV
V
A
4
2
2
7
0
B
0
4
3
0
2
C
2
3
2
4
0
D
2
0
5
0
5
E
6
3
0
6
0
Sekarang setiap baris dan kolom sudah memiliki nilai nol, maka langkah selanjutnya adalah: c.
Langkah 3
Langkah selanjutnya adalah memastikan atau mengecek apakah dalam tabel penugasan tersebut, telah berhasil ditemukan nilai nol, sebanyak sumber daya (bisa karyawan, mesin, alat transportasi, atau sumber daya lainnya) yang juga tercermin dengan jumlah barisnya. Misalnya bila yang akan ditugaskan adalah 5 karyawan, maka harus ditemukan nilai nol sebanyak 5 buah yang terletak di baris dan kolom yang berbeda. Sebaiknya dimulai dari baris yang hanya memiliki 1 nilai nol. Langkah ini menganduk arti bahwa setiap karyawan hanya dapan ditugaskan pada satu pekerjaan saja. Perhatikan !
Dari matrik di atas ternyata nilai nol yang ditemukan dalam baris 1 dan 3, meskipun berbeda baris namun masih berada dalam kolom yang sama, sehingga dapat dipastikan masalah belum optimal dan perlu dilanjutkan ke langkah berikutnya. d.
Langkah 4
Karena belum optimal maka langkah selanjutnya adalah menarik garis yang menghubungkan minimal dua buah nilai nol dalam tabel penugasan tersebut, seperti terlihat pada tabel atau matrik berikut ini: Karyawan A
Pekerjaan I
II
III
IV
V
4
2
2
7
0
12
B
0
4
3
0
2
C
2
3
2
4
0
D
2
0
5
0
5
E
6
3
0
6
0
Dari langkah di atas terlihat bahwa garis yang berhasil dibuat adalah empat, dengan menyisakan beberapa nilai yang tidak terkena garis. e.
Langkah 5
Selanjutnya, perhatikan nilai-nilai yang belum terkena garis. Pilih nilai yang paling kecil (dari tabel di atas adalah nilai 2), kemudian nilai 2 tersebut dipergunakan untuk mengurangi nilai-nilai lain yang belum terkena garis, dan gunakan untuk menambah nilai-nilai yang terkena garis dua kali. Dengan langkah ini hasilnya adalah : Karyawan
Pekerjaan I
II
III
IV
V
A
2
0
0
5
0
B
0
4
3
0
4
C
0
1
0
2
0
D
2
0
5
0
7
E
6
3
0
6
2
Perhatikan !
Semua nilai yang tidak terkena garis nilainya akan berkurang sebesar (2) atau nilai terkecil dari nilai yang belum terkena garis sebelumnya. Sementara itu nilai 2, 5 dan 0 pada kolom 5 akan bertambah 2, karena kedua nilai tersebut terkena garis dua kali. f.
Langkah 6
Dari hasil lagkah di atas tersebut, apakah sekarang telah berhasil ditemukan nilai nol sejumlah atau sebanyak sumber daya (bisa karyawan, mesin, alat transportasi, atau sumber daya lainnya) yang juga tercermin dengan jumlah barisnya (mulai dari baris yang hanya memiliki 1 nilai nol, yakni baris ke-5)?. Dari tabel atau matrik di atas ternyata telah berhasil ditemukan 5 nilai nol
13
(sejumlah karyawan yang akan ditugaskan), yang berada di baris dan kolom yang berbeda. Karyawan
Pekerjaan I
II
III
IV
V
A
2
0
0
5
0
B
0
4
3
0
4
C
0
1
0
2
0
D
2
0
5
0
7
E
6
3
0
6
2
Dari hasil di atas dapat dikatakan bahwa kasus penugasan tersebut telah optimal, dengan alokasi penugasan sebagai berikut: Karyawan A ditugaskan mengerjakan pekerjaan II dengan biaya
Rp 12,-
Karyawan B ditugaskan mengerjakan pekerjaan I dengan biaya
Rp 14,-
Karyawan C ditugaskan mengerjakan pekerjaan V dengan biaya
Rp 12,-
Karyawan D ditugaskan mengerjakan pekerjaan IV dengan biaya
Rp 16,-
Karyawan E ditugaskan mengerjakan pekerjaan III dengan biaya
Rp 14,---------+
Total biaya
Rp 68,-
Namun demikian, alternatif lain dari penugasan di atas dapat dipilih seperti terlihat pada tabel berikut ini : Karyawan
Pekerjaan I
II
III
IV
V
A
2
0
0
5
0
B
0
4
3
0
4
C
0
1
0
2
0
D
2
0
5
0
7
E
6
3
0
6
2
Karyawan A ditugaskan mengerjakan pekerjaan V dengan biaya
Rp 15,-
Karyawan B ditugaskan mengerjakan pekerjaan IV dengan biaya
Rp 15,-
Karyawan C ditugaskan mengerjakan pekerjaan I dengan biaya
Rp 9,-
Karyawan D ditugaskan mengerjakan pekerjaan II dengan biaya
Rp 15,-
Karyawan C ditugaskan mengerjakan pekerjaan III dengan biaya
Rp 14,-
14
-------- + Total biaya
Rp 68,-
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa dengan metode Hungarian, kasus penugasan dalam perusahaan di atas dapat diselesaikan dengan biaya optimal sebesar Rp 68,Catatan :
Dalam praktek sehari-hari, tidak semua masalah penugasan memiliki matrix biaya atau keuntungan seperti dalam dua contoh kasus di atas. Ada kalanya seorang karyawan misalnya, tidak dapat dialokasikan atau ditugaskan untuk sebuah pekerjaan tertentu (karena alasan, usia, jenis kelamin, ketrampilan yang tidak memadai, kondisi fisik, atau karena sebab lainnya). Dengan demikian karyawan dengan keterbatasan seperti itu tidak dapat dipaksakan mengerjakan sebuah pekerjaan yang memang tidak mungkin baginya. Untuk mengatasi hal semacam ini, maka dalam proses penyelesaiannya, perlu ditambahkan sebuah bilangan yang sangat besar, dan disebut dengan bilangan M (untuk masalah minimalisasi) dan
– M
(untuk masalah maximalisasi). Proses
penyelesaian selanjutnya dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti pada kasus penugasan yang normal, hanya saja pada keptusan optimalnya akan dihindari menugaskan karyawan pada tugas yang memiliki bilangan M atau – M tersebut.1
C. Langkah-langkah Masalah Penugasan
Secara umum langkah-langkah penyelesaian masalah penugasan adalah: 1.
Identifikasi dan penyederhanaan masalah dalam bentuk tabel penugasan.
2.
Untuk kasus minimalisasi, mencari biaya terkecil untuk setiap baris, dan
kemudian menggunakan biaya terkecil tersebut untuk mengurangi semua biaya yang ada pada baris yang sama. Sedangkan untuk kasus maksimalisasi, mencari nilai tertinggi untuk setiap baris yang kemudian nilai tertinggi tersebut dikurangi dengan semua nilai yang ada dalam baris tersebut.
1
http://indriastuti90.blogspot.co.id/2011/06/makalah-masalah-penugasan.html diakses tanggal : 03 juni 2016
15
3. Memastikan semua baris dan kolom sudah memiliki nilai nol. Apabila masih ada kolom yang belum memiliki nilai nol, maka dicari nilai terkecil pada kolom tersebut untuk selanjutnya digunakan untuk mengurangi semua nilai yang ada pada kolom tersebut. 4. Setelah semua baris dan kolom memiliki nilai nol, maka langkah selanjutnya adalah memastikan atau mengecek apakah dalam tabel penugasan tersebut, telah berhasil ditemukan nilai nol, sebanyak sumber daya (bisa karyawan, mesin, alat transportasi, atau sumber daya lainnya) yang juga tercermin dengan jumlah barisnya. Misalnya bila yang akan ditugaskan adalah 4 karyawan, maka harus ditemukan nilai nol sebanyak 4 buah yang terletak di baris dan kolom yang berbeda. Sebaiknya dimulai dari baris yang hanya memiliki 1 nilai nol. Langkah ini menganduk arti bahwa setiap karyawan hanya dapan ditugaskan pada satu pekerjaan saja. 5. Apabila belum, maka langkah selanjutnya adalah menarik garis yang menghubungkan minimal dua buah nilai nol dalam tabel penugasan tersebut. 6. Selanjutnya, perhatikan nilai-nilai yang belum terkena garis. Pilih nilai yang paling kecil, kemudian pergunakan untuk mengurangi nilai-nilai lain yang belum terkena garis, dan gunakan untuk menambah nilai-nilai yang terkena garis dua kali. 7. Dari hasil lagkah ke-6 tersebut, apakah sekarang telah berhasil ditemukan nilai nol sejumlah atau sebanyak sumber daya (bisa karyawan, mesin, alat transportasi, atau sumber daya lainnya) yang juga tercermin dengan jumlah barisnya. 8. Jika sudah, maka masalah penugasan telah optimal, dan apabila belum maka perlu diulangi langkah penyelesaian ke-5 di atas. Salah satu metode yang digunakan untuk masalah penugasan optimal adalah Metode Hungarian. Metode ini dikembangkan oleh seorang ahli matematika yang berkebangsaan Hungaria yang bernama D Konig pada tahun 1916. Masalah penugasan bermula dari penempatan para pekerja pada bidang yang tersedia agar biaya yang ditanggung perusahaan dapat diminimalkan. Jika pekerja dianggap sebagai sumber dan pekerjaan dianggap sebagai tujuan, maka model penugasan akan sama dengan masalah transportasi, dimana jumlah sumber
16
dan tujuan sama, setiap sumber hanya menghasilkan satu demikian pula setiap tujuan hanya memerlukan satu. Suplai pada semua sumber adalah 1, yaitu i a =1 untuk semua i . Halyang sama juga terjadi pada tujuan, permintaan pada semua tujuan adalah 1, yaitu j b =1 untuk semua j . Karena Penentuan solusi optimal dilakukan menggunakan metode Hungarian. Langkah-langkah solusi menggunakan metode Hungarian secara manual adalah sebagai berikut: 1. Menyusun tabel penugasan. Letakkan pekerjaan sebagai baris dan pekerja (mesin) sebagai kolom). Jumlah baris sama dengan jumlah kolom, untuk memenuhi asumsi. Jika tidak sama maka diperlukan dummy. 2. Untuk setiap baris, kurangkan semua nilai dengan dengan nilai terbesar (untuk kasus maksimasi) atau nilai terkecil (untuk kasus minimasi) yang ada pada baris tersebut. 3. Periksa kolom, jika ada kolom yang belum memiliki nilai nol, maka semua nilai pada kolom tersebut dikurangi dengan nil terkecil yang ada pada kolom yang bersangkutan. 4. Periksa apakah solusi layak sudah optimum. Pemeriksaan dilakukan dengan menggambarkan garis-garis vertikal dan horizontal yang melewati nilai nol. Jika jumlah garis yang terbentuk sama dengan jumlah baris/kolom maka solusi layak optimal sudah diperoleh. 5. Jika solusi layak optimal belum diperoleh, kurangkan semua nilai yang tidak dilewati garis dengan nilai terkecil, dan tambahkan nilai terkecil tersebut pada nilai yang terletak pada perpotongan garis. Nilai lainnya (yang dilewati garis tapi tidak terletak pada perpotongan) tidak berubah. 6. Kembali ke langkah 4. 2
2
Endang Lily Idris, Sukamto. Modifikasi Metode Hungaian untuk Menyelesaikan Masalah
Penugasan. Jurnal. Universitas Riau.
17
Contoh Soal : Sebuah perusahaan membutuhkan 7 orang tenaga kerja yang akan ditempatkan di 7 jenis posisi yang masih kosong, setelah dilakukan tes terpilihlah 7 orang. Biaya penugasan seorang karyawan untuk pekerjaan yang berbeda adalah berbeda karena sifat pekerjaan berbeda-beda. Setia p karyawan mempunyai tingkat ketrampilan, pengalaman kerja dan latar belakang pendidikan serta latihan yang berbeda pula. Sehingga biaya solusi pekerjaan yang sama oleh para karyawan yang berlainan juga berbeda.
Bagaimanakah seorang manager harus menempatkan tenaga kerjanya agar biaya yag dikeluarkan perusahaan seminimum mungkin. Solusi: Banyaknya pekerjaan = banyaknya pekerja, sehingga asumsi sudah dipenuhi 1. Tabel penugasannya
18
2. Pengurangan nilai terkecil pada setiap baris
3. Berdasarkan tabel di atas, kolom 1 belum memiliki angka 0, dan nilai terkecil pada kolom tersebut adalah 0.5, sehingga semua angka pada kolom 1 dikurangi dengan nilai terkecil pada kolom tersebut yaitu angka 0.5, sehingga tabelnya menjadi seperti berikut:
4. Berdasarkan tabel di atas, karena banyaknya garis tidak sama dengan banyaknya baris/kolom maka solusi belum optimal, sehingga angka yang tidak terkena garis harus dikurangi dengan angka terkecil yang tidak terkena garis tersebut, dan angka yang terkena coretan sebanyak 2 kali ditambahkan dengan
19
angka terkecil yang tidak terkena garis tersebut. Angka terkecil yang tidak dilalui garis pada tabel di atas adalah angka 0.5. 5. Pada tabel di atas banyaknya garis adalah 7 sama dengan banyaknya baris/kolom sehingga dikatakan solusi sudah optimal. Pembacaan tabel optimlnya dengan mencoba menugaskan pekerja ke pekerjaan dengan nilai pada tabel optimal adalah 0. Berdasarkan nilai 0 pada tabel di atas dapat digambarkan sebagai berikut: 3
3
Ruminta. 2009. Matriks, persamaan dan pemrograman linier. Bandung. Rekayasa Sains.
20
BAB III
A. KESIMPULAN
Masalah penugasan adalah masalah yang berhubungan dengan penugasan optimal dari bermacam-macam sumber yang produktif atau personalia yang mempunyai tingkat efisiensi yang berbeda-beda untuk tugas-tugas yang berbeda beda pula yang merupakan suatu kasus khusus dalam masalah program linier pada umumnya. Masalah penugasan berkaitan dengan keinginan perusahaan dalam mendapatkan pembagian atau alokasi tugas (penugasan) yang optimal, dala arti apabila penugasan tersebut berkaitan dengan keuntungan maka bagaimana alokasi tugas atau penugasan tersebut dapat memberikan keuntugan yang maksimal, begitu pula sebaliknya bila menyangkut biaya. Contoh kegiatan yang termasuk masalah penugasan antara lain yaitu: penempatan karyawan pada suatu posisi jabatan di perusahaan, pembagian wilayah tugas salesman, pembagian tugas dalam suatu tim renang estafet. Dalam menghitung masalah penugasan ini dikenal sebuah metode yang bernama metode hungarian. Metode ini ditemukan oleh seorang matematikawan yang bernama D. Konig yang berasal dari Hungaria. Penemuan inilah ia membuktikan teorema penting untuk mengembangkan metode tersebut. Dalam metode hungarian ini selalu menuju pada penunjukan yang optimal dalam langkah langkah yang yang terbatas. Basis dari metode ini adalah suatu kenyataan bahwa suatu konsanta dapat ditambahkan atau dikurangi dari setiap baris dan kolom dengan sama sekali tidak mengubah penunjukan yang optimal. Penggunaan Metode Hungarian bisa membantu dalam pencarian solusi optimal dari masalah penugasan secara manual Ada dua cara yang digunakan untuk menghitung masalah penugasan dengan metode hungaria yaitu: 4. Algoritma perhitungan minimasi 5. Algoritma perhitungan maksimasi
21
DAFTAR PUSTAKA
Idris, Endang Lily, Sukamto. Modifikasi Metode Hungaian untuk Menyelesaikan Masalah Penugasan. Jurnal. Universitas Riau. Ruminta. 2009. Matriks, persamaan dan pemrograman linier. Bandung. Rekayasa Sains. http://indriastuti90.blogspot.co.id/2011/06/makalah-masalah penugasan.html http://adamjulian.net/wp-content/uploads/2014/10/upload_1_Contoh-SoalMasalah-Penugasan_Assignment1.pdf http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/pendidikan/Penny%20Rahmawaty, %20M.Si./Modul%20OR%20-%20Masalah%20Penugasan.pdf
iii
